Theorems sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema. Ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw

Ang sistemang tinalakay sa theorem ay maaaring anumang mekanikal na sistema na binubuo ng anumang katawan.

Pahayag ng teorama

Ang dami ng paggalaw (impulse) ng isang mekanikal na sistema ay isang dami na katumbas ng kabuuan ng mga halaga ng paggalaw (impulses) ng lahat ng mga katawan na kasama sa system. Ang salpok ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa mga katawan ng system ay ang kabuuan ng mga impulses ng lahat ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa mga katawan ng system.

( kg m/s)

Ang theorem sa pagbabago sa momentum ng isang sistema ay nagsasaad

Ang pagbabago sa momentum ng system sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng salpok ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa system sa parehong yugto ng panahon.

Batas ng konserbasyon ng momentum ng isang sistema

Kung ang kabuuan ng lahat ng panlabas na puwersa na kumikilos sa system ay zero, kung gayon ang dami ng paggalaw (momentum) ng system ay isang pare-parehong dami.

, nakukuha natin ang pagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng system sa differential form:

Ang pagkakaroon ng pinagsama-samang magkabilang panig ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa loob ng arbitraryong kinuha na tagal ng panahon sa pagitan ng ilan at , nakukuha natin ang pagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng system sa integral form:

Batas ng konserbasyon ng momentum (Batas ng konserbasyon ng momentum) ay nagsasaad na ang vector sum ng mga impulses ng lahat ng katawan ng system ay isang pare-parehong halaga kung ang vector sum ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa system ay katumbas ng zero.

(sandali ng momentum m 2 kg s −1)

Theorem sa pagbabago sa angular momentum na may kaugnayan sa sentro

ang derivative ng oras ng momentum ng momentum (kinetic moment) ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa anumang nakapirming sentro ay katumbas ng sandali ng puwersa na kumikilos sa punto na may kaugnayan sa parehong sentro.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Theorem sa pagbabago sa angular momentum na may kaugnayan sa isang axis

ang derivative ng oras ng momentum ng momentum (kinetic moment) ng isang materyal na punto na nauugnay sa anumang nakapirming axis ay katumbas ng sandali ng puwersa na kumikilos sa puntong ito na nauugnay sa parehong axis.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Isaalang-alang ang isang materyal na punto M misa m , gumagalaw sa ilalim ng impluwensya ng puwersa F (Larawan 3.1). Isulat natin at buuin ang vector ng angular momentum (kinetic momentum) M 0 materyal na punto na nauugnay sa gitna O :

Ibahin natin ang expression para sa angular momentum (kinetic moment k 0) ayon sa oras:

kasi Dr /dt = V , pagkatapos ay ang produkto ng vector V ⊗ m ⋅ V (mga collinear vector V At m ⋅ V ) ay katumbas ng zero. Sa parehong oras d(m ⋅ V) /dt = F ayon sa theorem sa momentum ng isang materyal na punto. Kaya't nakukuha natin iyon

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

saan r ⊗F = M 0 (F ) – vector-sandali ng puwersa F may kaugnayan sa isang nakapirming sentro O . Vector k 0 ⊥ eroplano ( r , m ⊗V ), at ang vector M 0 (F ) ⊥ eroplano ( r ,F ), sa wakas meron na tayo

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Ang equation (3.4) ay nagpapahayag ng theorem tungkol sa pagbabago sa angular momentum (angular momentum) ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa gitna: ang derivative ng oras ng momentum ng momentum (kinetic moment) ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa anumang nakapirming sentro ay katumbas ng sandali ng puwersa na kumikilos sa punto na may kaugnayan sa parehong sentro.

Ang pagpapakita ng pagkakapantay-pantay (3.4) sa mga axes ng mga coordinate ng Cartesian, nakuha namin

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Ang mga pagkakapantay-pantay (3.5) ay nagpapahayag ng teorama tungkol sa pagbabago sa angular na momentum (kinetic momentum) ng isang materyal na punto na nauugnay sa axis: ang derivative ng oras ng momentum ng momentum (kinetic moment) ng isang materyal na punto na nauugnay sa anumang nakapirming axis ay katumbas ng sandali ng puwersa na kumikilos sa puntong ito na nauugnay sa parehong axis.

Isaalang-alang natin ang mga kahihinatnan kasunod ng Theorems (3.4) at (3.5).

Bunga 1. Isaalang-alang natin ang kaso kapag ang puwersa F sa buong paggalaw ng punto ay dumadaan sa nakatigil na sentro O (kaso ng sentral na puwersa), i.e. Kailan M 0 (F ) = 0. Pagkatapos mula sa Theorem (3.4) ito ay sumusunod na k 0 = const ,

mga. sa kaso ng isang sentral na puwersa, ang angular na momentum (kinetic moment) ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa sentro ng puwersang ito ay nananatiling pare-pareho sa magnitude at direksyon (Larawan 3.2).

Larawan 3.2

Mula sa kondisyon k 0 = const ito ay sumusunod na ang trajectory ng isang gumagalaw na punto ay isang patag na kurba, ang eroplano na kung saan ay dumadaan sa gitna ng puwersang ito.

Bunga 2. Hayaan M z (F ) = 0, ibig sabihin. ang puwersa ay tumatawid sa axis z o kahanay nito. Sa kasong ito, tulad ng makikita mula sa ikatlo ng mga equation (3.5), k z = const ,

mga. kung ang sandali ng puwersa na kumikilos sa isang punto na nauugnay sa anumang nakapirming axis ay palaging zero, kung gayon ang angular na momentum (kinetic moment) ng puntong nauugnay sa axis na ito ay nananatiling pare-pareho.

Patunay ng theorem sa pagbabago ng momentum

Hayaang ang sistema ay binubuo ng mga materyal na puntos na may mga masa at acceleration. Hinahati namin ang lahat ng pwersang kumikilos sa mga katawan ng system sa dalawang uri:

Ang mga panlabas na puwersa ay mga puwersang kumikilos mula sa mga katawan na hindi kasama sa sistemang isinasaalang-alang. Ang resulta ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa isang materyal na punto na may numero i tukuyin natin

Ang mga panloob na pwersa ay ang mga puwersa kung saan ang mga katawan ng sistema mismo ay nakikipag-ugnayan sa isa't isa. Ang puwersa kung saan sa punto na may numero i wasto ang puntong may numero k, ipakikilala natin ang , at ang puwersa ng impluwensya i ika punto sa k ika punto -. Malinaw, kapag , pagkatapos

Gamit ang ipinakilalang notasyon, isinusulat namin ang pangalawang batas ni Newton para sa bawat isa sa mga materyal na punto na isinasaalang-alang sa form

Isinasaalang-alang na at pagbubuod ng lahat ng mga equation ng pangalawang batas ni Newton, nakukuha natin:

Ang expression ay kumakatawan sa kabuuan ng lahat ng panloob na pwersa na kumikilos sa system. Ayon sa ikatlong batas ni Newton, sa kabuuan na ito, ang bawat puwersa ay tumutugma sa isang puwersa na, samakatuwid, hawak nito Dahil ang buong kabuuan ay binubuo ng gayong mga pares, ang kabuuan mismo ay zero. Kaya, maaari tayong magsulat

Gamit ang notasyon para sa momentum ng system, nakuha namin

Isinasaalang-alang ang pagbabago sa momentum ng mga panlabas na pwersa , nakukuha natin ang pagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng system sa differential form:

Kaya, ang bawat isa sa mga huling equation na nakuha ay nagpapahintulot sa amin na sabihin: ang isang pagbabago sa momentum ng system ay nangyayari lamang bilang isang resulta ng pagkilos ng mga panlabas na pwersa, at ang mga panloob na pwersa ay hindi maaaring magkaroon ng anumang impluwensya sa halagang ito.

Ang pagkakaroon ng pinagsama-samang magkabilang panig ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa isang arbitraryong kinuha na agwat ng oras sa pagitan ng ilan at , nakukuha natin ang pagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng system sa integral form:

kung saan at ang mga halaga ng dami ng paggalaw ng system sa mga sandali ng oras at, ayon sa pagkakabanggit, at ito ay ang salpok ng mga panlabas na puwersa sa loob ng isang yugto ng panahon. Alinsunod sa sinabi kanina at sa mga ipinakilalang notasyon,

Sa parehong paraan tulad ng para sa isang materyal na punto, makakakuha tayo ng isang teorama sa pagbabago ng momentum para sa sistema sa iba't ibang anyo.

Ibahin natin ang equation (teorama sa paggalaw ng sentro ng masa ng isang mekanikal na sistema)

sa sumusunod na paraan:

;

;

Ang resultang equation ay nagpapahayag ng theorem tungkol sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa differential form: ang derivative ng momentum ng isang mechanical system na may paggalang sa oras ay katumbas ng pangunahing vector ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa system .

Sa mga projection sa Cartesian coordinate axes:

; ; .

Ang pagkuha ng mga integral ng magkabilang panig ng mga huling equation sa paglipas ng panahon, nakakakuha tayo ng isang theorem tungkol sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa integral form: ang pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema ay katumbas ng momentum ng pangunahing vector ng panlabas na pwersa na kumikilos sa sistema .

.

O sa mga projection sa Cartesian coordinate axes:

; ; .

Corollaries mula sa theorem (mga batas ng konserbasyon ng momentum)

Ang batas ng konserbasyon ng momentum ay nakuha bilang mga espesyal na kaso ng theorem sa pagbabago ng momentum para sa isang sistema depende sa mga katangian ng sistema ng mga panlabas na pwersa. Ang mga panloob na puwersa ay maaaring anuman, dahil hindi ito nakakaapekto sa mga pagbabago sa momentum.

Mayroong dalawang posibleng kaso:

1. Kung ang kabuuan ng vector ng lahat ng panlabas na puwersa na inilapat sa system ay katumbas ng zero, kung gayon ang dami ng paggalaw ng system ay pare-pareho sa magnitude at direksyon

2. Kung ang projection ng pangunahing vector ng mga panlabas na pwersa sa anumang coordinate axis at/o at/o ay katumbas ng zero, kung gayon ang projection ng momentum sa parehong mga axes na ito ay isang pare-parehong halaga, i.e. at/o at/o ayon sa pagkakabanggit.

Ang mga katulad na entry ay maaaring gawin para sa isang materyal na punto at para sa isang materyal na punto.

Ang gawain. Mula sa isang baril na ang masa M, lumilipad ang isang projectile ng masa sa pahalang na direksyon m sa bilis v. Maghanap ng bilis V baril matapos magpaputok.

Solusyon. Ang lahat ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa mekanikal na sistema ng sandata-projectile ay patayo. Ibig sabihin, batay sa corollary sa theorem sa pagbabago sa momentum ng system, mayroon tayong: .

Ang dami ng paggalaw ng mekanikal na sistema bago magpaputok:

Ang dami ng paggalaw ng mekanikal na sistema pagkatapos ng pagbaril:

.

Ang equating ang kanang bahagi ng mga expression, makuha namin iyon

.

Ang sign na "-" sa resultang formula ay nagpapahiwatig na pagkatapos ng pagpapaputok ng baril ay babalik sa direksyon sa tapat ng axis. baka.

HALIMBAWA 2. Ang isang stream ng likido na may density ay dumadaloy sa bilis na V mula sa isang tubo na may cross-sectional area F at tumama sa isang patayong pader sa isang anggulo. Tukuyin ang presyon ng likido sa dingding.

SOLUSYON. Ilapat natin ang theorem sa pagbabago ng momentum sa integral form sa isang dami ng likido na may mass m pagtama sa pader sa loob ng mahabang panahon t.

MESHCHERSKY EQUATION

(pangunahing equation ng dynamics ng isang katawan ng variable na masa)

Sa modernong teknolohiya, ang mga kaso ay lumitaw kapag ang masa ng isang punto at isang sistema ay hindi nananatiling pare-pareho sa panahon ng paggalaw, ngunit nagbabago. Kaya, halimbawa, sa panahon ng paglipad ng mga rocket sa espasyo, dahil sa pagbuga ng mga produkto ng pagkasunog at mga indibidwal na hindi kinakailangang bahagi ng mga rocket, ang pagbabago sa masa ay umabot sa 90-95% ng kabuuang paunang halaga. Ngunit hindi lamang ang teknolohiya sa espasyo ang maaaring maging isang halimbawa ng dynamics ng variable mass motion. Sa industriya ng tela, may mga makabuluhang pagbabago sa masa ng iba't ibang mga spindle, bobbins, roll sa modernong bilis ng pagpapatakbo ng mga makina at makina.

Isaalang-alang natin ang mga pangunahing tampok na nauugnay sa mga pagbabago sa masa, gamit ang halimbawa ng translational motion ng isang katawan ng variable na masa. Ang pangunahing batas ng dinamika ay hindi maaaring direktang ilapat sa isang katawan ng variable na masa. Samakatuwid, nakakakuha tayo ng mga differential equation ng paggalaw ng isang punto ng variable na masa, na inilalapat ang theorem sa pagbabago sa momentum ng system.

Hayaang may masa ang punto m+dm gumagalaw sa bilis. Pagkatapos ang isang tiyak na butil na may masa ay pinaghihiwalay mula sa punto dm gumagalaw ng mabilis.

Ang dami ng paggalaw ng katawan bago lumabas ang butil:

Ang dami ng paggalaw ng isang sistema na binubuo ng isang katawan at isang hiwalay na particle pagkatapos ng paghihiwalay nito:

Pagkatapos ang pagbabago sa momentum:

Batay sa theorem tungkol sa pagbabago sa momentum ng system:

Tukuyin natin ang dami - ang kamag-anak na bilis ng butil:

Tukuyin natin

Sukat R tinatawag na reactive force. Ang reactive force ay ang engine thrust na dulot ng pagbuga ng gas mula sa nozzle.

Sa wakas nakuha namin

-

Ang formula na ito ay nagpapahayag ng pangunahing equation ng dynamics ng isang katawan ng variable na masa (Meshchersky formula). Mula sa huling pormula ay sumusunod na ang mga differential equation ng paggalaw ng isang punto ng variable na masa ay may parehong anyo tulad ng para sa isang punto ng pare-pareho ang masa, maliban sa karagdagang reaktibong puwersa na inilapat sa punto dahil sa pagbabago sa masa.

Ang pangunahing equation para sa dynamics ng isang katawan ng variable na masa ay nagpapahiwatig na ang acceleration ng katawan na ito ay nabuo hindi lamang dahil sa mga panlabas na pwersa, ngunit din dahil sa reaktibo na puwersa.

Ang reaktibong puwersa ay isang puwersa na katulad ng nararamdaman ng taong bumaril - kapag bumaril mula sa isang pistola, ito ay nararamdaman ng kamay; Kapag bumaril mula sa isang rifle, ito ay nakikita ng balikat.

Ang unang formula ni Tsiolkovsky (para sa isang single-stage rocket)

Hayaang gumalaw ang isang punto ng variable na masa o isang rocket sa isang tuwid na linya sa ilalim ng impluwensya ng isang reaktibong puwersa lamang. Dahil para sa maraming modernong jet engine, nasaan ang maximum reactive force (engine thrust) na pinapayagan ng disenyo ng engine; - ang puwersa ng grabidad na kumikilos sa makina na matatagpuan sa ibabaw ng lupa. Yung. pinahihintulutan tayo ng nasa itaas na pabayaan ang bahagi sa equation ng Meshchersky at tanggapin ang equation na ito sa anyo para sa karagdagang pagsusuri: ,

Tukuyin natin:

Ang reserba ng gasolina (para sa mga likidong jet engine - ang tuyong masa ng rocket (ang natitirang masa nito pagkatapos masunog ang lahat ng gasolina);

Ang masa ng mga particle na nahiwalay sa rocket; ay itinuturing bilang isang variable na halaga, na nag-iiba mula sa .

Isulat natin ang equation ng rectilinear motion ng isang punto ng variable na masa sa sumusunod na anyo:

Dahil ang formula para sa pagtukoy ng variable na masa ng isang rocket ay

Samakatuwid, ang mga equation ng paggalaw ng isang punto Ang pagkuha ng mga integral ng magkabilang panig ay nakukuha natin

saan- bilis ng katangian- ito ang bilis na nakukuha ng isang rocket sa ilalim ng impluwensya ng thrust pagkatapos na ang lahat ng mga particle ay sumabog mula sa rocket (para sa mga likidong jet engine - pagkatapos masunog ang lahat ng gasolina).

Inilagay sa labas ng integral sign (na maaaring gawin batay sa mean value theorem na kilala mula sa mas mataas na matematika) ay ang average na bilis ng mga particle na inilabas mula sa rocket.

Tingnan: ang artikulong ito ay nabasa nang 14066 beses

Pdf Pumili ng wika... Russian Ukrainian English

Maikling pagsusuri

Ang buong materyal ay dina-download sa itaas, pagkatapos piliin ang wika

Dami ng paggalaw

Momentum ng isang materyal na punto - isang dami ng vector na katumbas ng produkto ng mass ng isang punto at ang velocity vector nito.

Ang yunit ng pagsukat para sa momentum ay (kg m/s).

Ang momentum ng mekanikal na sistema - isang dami ng vector na katumbas ng geometric sum (pangunahing vector) ng momentum ng isang mekanikal na sistema ay katumbas ng produkto ng masa ng buong sistema at ang bilis ng sentro ng masa nito.

Kapag ang isang katawan (o sistema) ay gumagalaw upang ang sentro ng masa nito ay nakatigil, kung gayon ang dami ng paggalaw ng katawan ay katumbas ng zero (halimbawa, pag-ikot ng katawan sa paligid ng isang nakapirming axis na dumadaan sa gitna ng masa ng katawan ).

Sa kaso ng kumplikadong paggalaw, ang dami ng paggalaw ng system ay hindi mailalarawan ang umiikot na bahagi ng paggalaw kapag umiikot sa gitna ng masa. Iyon ay, ang dami ng paggalaw ay nagpapakilala lamang sa translational motion ng system (kasama ang sentro ng masa).

Puwersa ng salpok

Ang salpok ng isang puwersa ay nagpapakilala sa pagkilos ng isang puwersa sa isang tiyak na tagal ng panahon.

Puwersahin ang salpok sa loob ng isang takdang panahon ay tinukoy bilang integral na kabuuan ng kaukulang elementarya na impulses.

Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto

(sa differential forms e ):

Ang derivative ng oras ng momentum ng isang materyal na punto ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga puwersang kumikilos sa mga punto.

(V integral na anyo ):

Ang pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga impulses ng mga puwersa na inilapat sa punto sa panahong ito.

Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema

(sa differential form ):

Ang derivative ng oras ng momentum ng system ay katumbas ng geometric na kabuuan ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa system.

(sa integral form ):

Ang pagbabago sa momentum ng isang sistema sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga impulses ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa sistema sa panahong ito.

Ang teorama ay nagpapahintulot sa isa na ibukod ang malinaw na hindi kilalang mga panloob na pwersa mula sa pagsasaalang-alang.

Ang theorem sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema at ang theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ay dalawang magkaibang anyo ng parehong teorama.

Batas ng konserbasyon ng momentum ng isang sistema

1. Kung ang kabuuan ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa system ay katumbas ng zero, kung gayon ang vector ng momentum ng system ay magiging pare-pareho sa direksyon at magnitude.
2. Kung ang kabuuan ng mga projection ng lahat ng kumikilos na panlabas na pwersa sa anumang arbitrary axis ay katumbas ng zero, kung gayon ang projection ng momentum sa axis na ito ay isang pare-parehong halaga.

mga konklusyon:

1. Ang mga batas sa konserbasyon ay nagpapahiwatig na ang mga panloob na puwersa ay hindi maaaring baguhin ang kabuuang dami ng paggalaw ng system.
2. Ang theorem sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema ay hindi nagpapakilala sa rotational motion ng isang mekanikal na sistema, ngunit ang translational lamang.

Ang isang halimbawa ay ibinigay: Tukuyin ang momentum ng isang disk ng isang tiyak na masa kung ang angular velocity at laki nito ay kilala.

Halimbawa ng pagkalkula ng isang spur gear
Isang halimbawa ng pagkalkula ng spur gear. Ang pagpili ng materyal, pagkalkula ng mga pinahihintulutang stress, pagkalkula ng contact at baluktot na lakas ay natupad.

Isang halimbawa ng paglutas ng problema sa beam bending
Sa halimbawa, ang mga diagram ng transverse forces at mga baluktot na sandali ay itinayo, isang mapanganib na seksyon ang natagpuan at isang I-beam ang napili. Sinuri ng problema ang pagbuo ng mga diagram gamit ang differential dependencies at nagsagawa ng comparative analysis ng iba't ibang cross section ng beam.

Isang halimbawa ng paglutas ng problema sa shaft torsion
Ang gawain ay upang subukan ang lakas ng isang bakal na baras sa isang ibinigay na diameter, materyal at pinahihintulutang stress. Sa panahon ng solusyon, ang mga diagram ng torques, shear stresses at twist angles ay itinayo. Ang sariling timbang ng baras ay hindi isinasaalang-alang

Isang halimbawa ng paglutas ng problema ng tension-compression ng isang baras
Ang gawain ay upang subukan ang lakas ng isang bakal na baras sa tinukoy na pinahihintulutang mga stress. Sa panahon ng solusyon, ang mga diagram ng mga longitudinal na pwersa, normal na mga stress at displacements ay itinayo. Ang sariling timbang ng pamalo ay hindi isinasaalang-alang

Application ng theorem sa konserbasyon ng kinetic energy
Isang halimbawa ng paglutas ng problema gamit ang theorem sa konserbasyon ng kinetic energy ng isang mekanikal na sistema

Pagtukoy sa bilis at acceleration ng isang punto gamit ang mga ibinigay na equation ng paggalaw
Isang halimbawa ng paglutas ng isang problema upang matukoy ang bilis at acceleration ng isang punto gamit ang mga ibinigay na equation ng paggalaw

Pagpapasiya ng mga bilis at acceleration ng mga punto ng isang matibay na katawan sa panahon ng plane-parallel motion
Isang halimbawa ng paglutas ng problema upang matukoy ang mga bilis at acceleration ng mga punto ng isang matibay na katawan sa panahon ng plane-parallel motion

Pagpapasiya ng mga puwersa sa mga bar ng isang flat truss
Isang halimbawa ng paglutas ng problema sa pagtukoy ng mga puwersa sa mga baras ng isang flat truss gamit ang paraan ng Ritter at ang paraan ng pagputol ng mga node

Application ng theorem sa pagbabago sa angular momentum
Isang halimbawa ng paglutas ng problema gamit ang theorem sa pagbabago sa kinetic momentum upang matukoy ang angular velocity ng isang katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis.

(Mga fragment ng isang mathematical symphony)

Ang koneksyon sa pagitan ng salpok ng puwersa at ang pangunahing equation ng Newtonian dynamics ay ipinahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto.

Teorama. Ang pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng salpok ng puwersa () na kumikilos sa materyal na punto sa parehong yugto ng panahon. Ang mathematical proof ng theorem na ito ay maaaring tawaging isang fragment ng isang mathematical symphony. Heto siya.

Ang differential momentum ng isang materyal na punto ay katumbas ng elementarya na salpok ng puwersang kumikilos sa materyal na punto. Pagsasama ng expression (128) para sa differential momentum ng isang materyal na punto, mayroon kami

(129)

Napatunayan na ang theorem at itinuturing ng mga mathematician na natapos ang kanilang misyon, ngunit ang mga inhinyero, na ang tadhana ay sagradong maniwala sa mga mathematician, ay may mga tanong kapag ginagamit ang napatunayang equation (129). Ngunit sila ay mahigpit na hinaharangan ng pagkakasunud-sunod at kagandahan ng mga operasyong matematikal (128 at 129), na nakakabighani at naghihikayat sa amin na tawagin silang isang fragment ng isang mathematical symphony. Ilang henerasyon ng mga inhinyero ang sumang-ayon sa mga mathematician at namangha sa misteryo ng kanilang mga simbolo sa matematika! Ngunit pagkatapos ay mayroong isang inhinyero na hindi sumang-ayon sa mga mathematician at nagtanong sa kanila ng mga katanungan.

Mahal na mga mathematician! Bakit hindi tinatalakay ng alinman sa iyong mga textbook sa theoretical mechanics ang proseso ng paglalapat ng iyong symphonic result (129) sa pagsasanay, halimbawa, kapag inilalarawan ang proseso ng pagpapabilis ng kotse? Ang kaliwang bahagi ng equation (129) ay napakalinaw. Ang kotse ay nagsisimula sa acceleration mula sa bilis at nagtatapos ito, halimbawa, sa bilis. Ito ay medyo natural na ang equation (129) ay nagiging

At ang unang tanong ay agad na lumitaw: paano natin matutukoy mula sa equation (130) ang puwersa sa ilalim ng impluwensya kung saan ang kotse ay pinabilis sa bilis na 10 m / s? Ang sagot sa tanong na ito ay hindi matatagpuan sa alinman sa hindi mabilang na mga aklat-aralin sa theoretical mechanics. Tayo ay pumunta sa karagdagang. Pagkatapos ng acceleration, ang kotse ay nagsisimulang gumalaw nang pantay sa bilis na 10 m/s. Anong puwersa ang nagpapagalaw sa sasakyan????????? I have no choice but to blush along with the mathematicians. Ang unang batas ng Newtonian dynamics ay nagsasaad na kapag ang isang kotse ay gumagalaw nang pantay, walang puwersang kumikilos dito, at ang kotse, sa makasagisag na pagsasalita, ay bumahin sa batas na ito, kumonsumo ng gasolina at gumagana, gumagalaw, halimbawa, sa layo na 100 km. Nasaan ang puwersa na gumawa ng trabaho upang ilipat ang kotse ng 100 km? Ang symphonic mathematical equation (130) ay tahimik, ngunit ang buhay ay nagpapatuloy at humihingi ng sagot. Nagsisimula na kaming maghanap sa kanya.

Dahil ang sasakyan ay gumagalaw nang patuwid at pare-pareho, ang puwersang gumagalaw dito ay pare-pareho sa magnitude at direksyon at ang equation (130) ay nagiging

(131)

Kaya, ang equation (131) sa kasong ito ay naglalarawan ng pinabilis na paggalaw ng katawan. Ano ang katumbas ng puwersa? Paano ipahayag ang pagbabago nito sa paglipas ng panahon? Mas gusto ng mga mathematician na laktawan ang tanong na ito at iwanan ito sa mga inhinyero, sa paniniwalang kailangan nilang hanapin ang sagot sa tanong na ito. Ang mga inhinyero ay mayroon lamang isang pagpipilian na natitira - upang isaalang-alang na kung, pagkatapos makumpleto ang pinabilis na paggalaw ng katawan, magsisimula ang isang yugto ng pare-parehong paggalaw, na sinamahan ng pagkilos ng isang palaging puwersa, kasalukuyang equation (131) para sa sandali ng paglipat mula sa pinabilis tungo sa pare-parehong paggalaw sa form na ito

(132)

Ang arrow sa equation na ito ay hindi nangangahulugan ng resulta ng pagsasama ng equation na ito, ngunit ang proseso ng paglipat mula sa integral form nito patungo sa isang pinasimpleng anyo. Ang puwersa sa equation na ito ay katumbas ng average na puwersa na nagpabago sa momentum ng katawan mula sa zero hanggang sa huling halaga. Kaya, mahal na mga mathematician at theoretical physicist, ang kawalan ng iyong pamamaraan para sa pagtukoy sa laki ng iyong impulse ay nagpipilit sa amin na gawing simple ang pamamaraan para sa pagtukoy ng puwersa, at ang kawalan ng isang paraan para sa pagtukoy sa oras ng pagkilos ng puwersang ito ay karaniwang naglalagay sa amin sa isang walang pag-asa na posisyon at napipilitan tayong gumamit ng ekspresyon upang pag-aralan ang proseso ng pagbabago ng momentum ng isang katawan. Ang resulta ay na ang mas mahaba ang puwersa ay kumikilos, mas malaki ang salpok nito. Ito ay malinaw na sumasalungat sa matagal nang itinatag na ideya na ang mas maikli ang tagal ng pagkilos nito, mas malaki ang puwersa ng salpok.

Bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto (impulse of force) sa panahon ng pinabilis na paggalaw nito ay nangyayari sa ilalim ng pagkilos ng puwersa ng Newtonian at mga puwersa ng paglaban sa paggalaw, sa anyo ng mga puwersa na nabuo ng mga mekanikal na pagtutol at ang puwersa ng pagkawalang-galaw. Ngunit ang Newtonian dynamics sa karamihan ng mga problema ay binabalewala ang puwersa ng inertia, at ang Mechanodynamics ay nagsasaad na ang pagbabago sa momentum ng isang katawan sa panahon ng pinabilis na paggalaw nito ay nangyayari dahil sa labis na puwersa ng Newtonian sa mga puwersa ng paglaban sa paggalaw, kabilang ang puwersa ng pagkawalang-galaw.

Kapag ang isang katawan ay gumagalaw sa mabagal na paggalaw, halimbawa, isang kotse na nakapatay ang gear, walang Newtonian na puwersa, at ang pagbabago sa momentum ng kotse ay nangyayari dahil sa labis na mga puwersa ng paglaban sa paggalaw sa lakas ng inertia, na gumagalaw sa kotse kapag mabagal itong gumagalaw.

Paano natin ngayon maibabalik ang mga resulta ng nabanggit na "symphonic" mathematical actions (128) sa mainstream ng sanhi-at-epekto na mga relasyon? Mayroon lamang isang paraan - upang makahanap ng isang bagong kahulugan ng mga konsepto na "impulse of force" at "impact force". Upang gawin ito, hatiin ang magkabilang panig ng equation (132) sa oras t. Bilang resulta magkakaroon tayo

. (133)

Tandaan natin na ang expression na mV/t ay ang rate ng pagbabago ng momentum (mV/t) ng isang materyal na punto o katawan. Kung isasaalang-alang natin na ang V/t ay acceleration, kung gayon ang mV/t ay ang puwersa na nagbabago sa momentum ng katawan. Ang parehong dimensyon sa kaliwa at kanan ng pantay na tanda ay nagbibigay sa amin ng karapatang tawagan ang puwersa F bilang isang shock force at tukuyin ito sa pamamagitan ng simbolo, at ang salpok S - isang shock impulse at tukuyin ito sa pamamagitan ng simbolo. Ito ay humahantong sa isang bagong kahulugan ng puwersa ng epekto. Ang puwersa ng epekto na kumikilos sa isang materyal na punto o katawan ay katumbas ng ratio ng pagbabago sa momentum ng materyal na punto o katawan sa oras ng pagbabagong ito.

Bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang puwersa ng Newtonian lamang ang nakikilahok sa pagbuo ng shock impulse (134), na nagbago ng bilis ng kotse mula sa zero hanggang sa maximum - , samakatuwid ang equation (134) ay ganap na nabibilang sa Newtonian dynamics. Dahil mas madaling matukoy ang magnitude ng bilis sa eksperimentong paraan kaysa sa pagtukoy ng acceleration, ang formula (134) ay napaka-maginhawa para sa mga kalkulasyon.

Ang hindi pangkaraniwang resulta ay sumusunod mula sa equation (134).

Bigyang-pansin natin ang katotohanan na ayon sa mga bagong batas ng mechanodynamics, ang generator ng puwersa ng salpok sa panahon ng pinabilis na paggalaw ng isang materyal na punto o katawan ay Newtonian na puwersa. Binubuo nito ang pagbilis ng paggalaw ng isang punto o katawan, kung saan ang isang inertial na puwersa ay awtomatikong umusbong, na nakadirekta sa tapat ng Newtonian na puwersa at ang epekto ng Newtonian na puwersa ay dapat pagtagumpayan ang pagkilos ng inertial na puwersa, samakatuwid ang inertial na puwersa ay dapat na kinakatawan sa balanse ng mga puwersa sa kaliwang bahagi ng equation (134). Dahil ang inertial force ay katumbas ng masa ng punto o katawan na pinarami ng deceleration na nabuo nito, ang equation (134) ay nagiging

(136)

Mahal na mga mathematician! Makikita mo kung anong anyo ang ginawa ng modelong matematika, na naglalarawan sa shock impulse, na nagpapabilis sa paggalaw ng naapektuhang katawan mula sa zero speed hanggang sa pinakamataas na V (11). Ngayon suriin natin ang operasyon nito sa pagtukoy ng impact impulse, na katumbas ng impact force na nagpaputok sa 2nd power unit ng SShG (Fig. 120), at iiwan namin sa iyo ang iyong walang kwentang equation (132). Upang hindi kumplikado ang pagtatanghal, iiwan namin ang formula (134) na mag-isa sa ngayon at gumamit ng mga formula na nagbibigay ng mga average na halaga ng mga puwersa. Nakikita mo kung anong posisyon ang inilagay mo sa isang engineer na sinusubukang lutasin ang isang partikular na problema.

Magsimula tayo sa Newtonian dynamics. Nalaman ng mga eksperto na ang 2nd power unit ay tumaas sa taas na 14 m. Dahil tumaas ito sa larangan ng grabidad, sa taas na h = 14 m ang potensyal na enerhiya nito ay naging katumbas ng

at ang average na kinetic energy ay katumbas ng

kanin. 120. Larawan ng turbine room bago ang sakuna

Mula sa pagkakapantay-pantay ng kinetic (138) at potensyal (137) na enerhiya, ang average na rate ng pagtaas ng power unit ay sumusunod (Fig. 121, 122)

kanin. 121. Photon ng turbine room pagkatapos ng kalamidad

Ayon sa mga bagong batas ng mechanodynamics, ang pagtaas ng yunit ng kuryente ay binubuo ng dalawang yugto (Larawan 123): ang unang yugto ng OA - pinabilis na pagtaas at ang pangalawang yugto ng AB - mabagal na pagtaas , , .

Ang oras at distansya ng kanilang pagkilos ay humigit-kumulang pantay (). Pagkatapos ang kinematic equation ng pinabilis na yugto ng pagtaas ng power unit ay isusulat tulad ng sumusunod:

. (140)

kanin. 122. Tingnan ang balon ng power unit at ang power unit mismo pagkatapos ng kalamidad

Ang batas ng pagbabago sa rate ng pagtaas ng power unit sa unang yugto ay may anyo

. (141)

kanin. 123. Regularidad ng mga pagbabago sa bilis ng paglipad V ng isang power unit

Ang pagpapalit ng oras mula sa equation (140) sa equation (141), mayroon tayo

. (142)

Ang oras ng pag-aangat ng bloke sa unang yugto ay tinutukoy mula sa formula (140)

. (143)

Kung gayon ang kabuuang oras para sa pagtaas ng power unit sa taas na 14 m ay magiging katumbas ng . Ang masa ng power unit at cover ay 2580 tonelada. Ayon sa Newtonian dynamics, ang puwersa na nag-angat sa power unit ay katumbas ng

Mahal na mga mathematician! Sinusundan namin ang iyong symphonic mathematical na mga resulta at isulat ang iyong formula (129), kasunod ng Newtonian dynamics, upang matukoy ang shock pulse na nagpaputok sa 2nd power unit

at magtanong ng isang pangunahing tanong: paano matukoy ang tagal ng shock pulse na nagpaputok sa 2nd power unit????????????

mahal!!! Alalahanin kung gaano karaming tisa ang isinulat sa mga pisara ng mga henerasyon ng iyong mga kasamahan, na walang humpay na nagtuturo sa mga mag-aaral kung paano matukoy ang shock impulse, at walang ipinaliwanag kung paano matukoy ang tagal ng shock impulse sa bawat partikular na kaso. Sasabihin mo na ang tagal ng shock pulse ay katumbas ng agwat ng oras ng pagbabago sa bilis ng power unit mula zero hanggang, ipagpalagay namin, ang maximum na halaga na 16.75 m/s (139). Ito ay nasa formula (143) at katumbas ng 0.84 s. Sumasang-ayon kami sa iyo sa ngayon at tinutukoy ang average na halaga ng shock impulse

Ang tanong ay agad na lumitaw: bakit ang magnitude ng shock impulse (146) ay mas mababa kaysa sa Newtonian na puwersa na 50600 tonelada? Kayo, mahal na mga mathematician, walang sagot. Tayo ay pumunta sa karagdagang.

Ayon sa Newtonian dynamics, ang pangunahing puwersa na lumaban sa pagtaas ng power unit ay gravity. Dahil ang puwersang ito ay nakadirekta laban sa paggalaw ng power unit, ito ay bumubuo ng deceleration na katumbas ng acceleration ng free fall. Pagkatapos ang gravitational force na kumikilos sa power unit na lumilipad paitaas ay katumbas ng

Ang dinamika ni Newton ay hindi isinasaalang-alang ang iba pang mga puwersa na humadlang sa pagkilos ng puwersa ng Newtonian na 50,600 tonelada (144), at ang mechanodynamics ay nagsasaad na ang pagtaas ng yunit ng kuryente ay nilabanan din ng isang inertial na puwersa na katumbas ng

Ang tanong ay agad na lumitaw: kung paano mahahanap ang halaga ng deceleration sa paggalaw ng power unit? Ang Newtonian dynamics ay tahimik, ngunit ang mechanodynamics ay sumasagot: sa sandali ng pagkilos ng Newtonian force, na nag-angat ng power unit, ito ay nilabanan ng: ang puwersa ng gravity at ang puwersa ng inertia, samakatuwid ang equation ng mga pwersang kumikilos sa kapangyarihan ang yunit sa sandaling iyon ay nakasulat tulad ng sumusunod.

Ang dami ng paggalaw ay isang sukatan ng mekanikal na paggalaw, kung ang mekanikal na paggalaw ay nagiging mekanikal. Halimbawa, ang mekanikal na paggalaw ng isang bilyar na bola (Fig. 22) bago ang impact ay nagiging mekanikal na paggalaw ng mga bola pagkatapos ng impact. Para sa isang punto, ang momentum ay katumbas ng produkto .

Ang sukatan ng puwersa sa kasong ito ay ang puwersang salpok

. (9.1)

Tinutukoy ng momentum ang pagkilos ng puwersa sa loob ng isang yugto ng panahon . Para sa isang materyal na punto, ang teorama sa pagbabago sa momentum ay maaaring gamitin sa kaugalian na anyo
(9.2) o integral (finite) form
. (9.3)

Ang pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng salpok ng lahat ng pwersa na inilapat sa punto sa parehong oras.

Larawan 22

Kapag nilulutas ang mga problema, ang Theorem (9.3) ay mas madalas na ginagamit sa mga projection sa coordinate axes
;

; (9.4)

.

Gamit ang theorem sa pagbabago ng momentum ng isang punto, posibleng malutas ang mga problema kung saan ang isang punto o katawan na gumagalaw sa pagsasalin ay ginagampanan ng pare-pareho o variable na puwersa na nakasalalay sa oras, at ang ibinigay at hinahangad na dami ay kinabibilangan ng oras ng paggalaw at bilis sa simula at pagtatapos ng paggalaw. Ang mga problema gamit ang theorem ay nalutas sa sumusunod na pagkakasunud-sunod:

1. pumili ng coordinate system;

2. ilarawan ang lahat ng ibinigay (aktibong) pwersa at reaksyon na kumikilos sa isang punto;

3. isulat ang isang teorama tungkol sa pagbabago sa momentum ng isang punto sa mga projection sa mga napiling coordinate axes;

4. tukuyin ang mga kinakailangang dami.

HALIMBAWA 12.

Ang martilyo na tumitimbang ng G=2t ay bumagsak mula sa taas h=1m papunta sa workpiece sa oras na t=0.01s at tinatakpan ang bahagi (Larawan 23). Tukuyin ang average na puwersa ng presyon ng martilyo sa workpiece.

Ang pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng kabuuan ng mga impulses ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa parehong oras. Minsan mas maginhawang gamitin ang theorem sa pagbabago ng momentum sa projection sa mga coordinate axes
; (9.8)
. (9.9)

Ang batas ng konserbasyon ng momentum ay nagsasaad na sa kawalan ng mga panlabas na puwersa, ang momentum ng isang mekanikal na sistema ay nananatiling pare-pareho. Ang pagkilos ng mga panloob na pwersa ay hindi maaaring baguhin ang momentum ng sistema. Mula sa equation (9.6) ay malinaw na kapag
,
.

Kung
, Iyon
o
.

D

propeller o propeller, jet propulsion. Ang mga pusit ay gumagalaw nang pabigla-bigla, na nagtatapon ng tubig mula sa muscular sac tulad ng isang water cannon (Larawan 25). Ang naitaboy na tubig ay may tiyak na dami ng paggalaw na nakadirekta pabalik. Ang pusit ay tumatanggap ng kaukulang bilis pasulong na paggalaw dahil sa reaktibong puwersa ng traksyon , dahil bago tumalon ang pusit sa lakas balanse ng gravity .

Ang paglalapat ng theorem sa pagbabago ng momentum ay nagpapahintulot sa amin na ibukod ang lahat ng panloob na pwersa mula sa pagsasaalang-alang.

HALIMBAWA 13.

Ang isang winch A na may drum na radius r ay naka-install sa isang railway platform na malayang nakatayo sa mga riles (Larawan 26). Ang winch ay idinisenyo upang ilipat ang isang load B na may mass m 1 kasama ang platform. Timbang ng platform na may winch m 2. Ang winch drum ay umiikot ayon sa batas
. Sa unang sandali ng oras ang system ay mobile. Ang pagpapabaya sa alitan, hanapin ang batas ng pagbabago sa bilis ng platform pagkatapos i-on ang winch.

R SOLUSYON.

1. Isaalang-alang ang platform, winch at load bilang isang solong mekanikal na sistema, na ginagampanan ng mga panlabas na puwersa: gravity ng load at mga platform at mga reaksyon At
.

2. Dahil ang lahat ng panlabas na pwersa ay patayo sa x axis, i.e.
, inilalapat namin ang batas ng konserbasyon ng momentum ng isang mekanikal na sistema sa projection sa x-axis:
. Sa unang sandali ng oras ang sistema ay hindi gumagalaw, samakatuwid,

Ipahayag natin ang dami ng paggalaw ng system sa isang arbitrary na sandali sa oras. Ang platform ay umuusad nang mabilis , ang pag-load ay sumasailalim sa isang kumplikadong paggalaw na binubuo ng kamag-anak na paggalaw sa kahabaan ng platform sa isang bilis at portable na paggalaw kasama ang platform sa bilis ., saan
. Ang platform ay lilipat sa direksyon na kabaligtaran sa kamag-anak na paggalaw ng load.

HALIMBAWA 14.

saan ,
-- ang dami ng paggalaw ng plate at load, ayon sa pagkakabanggit.

;
, Saan --ganap na bilis ng pagkarga D. Mula sa pagkakapantay-pantay (1) sumusunod na K 1x + K 2x =C 1 o m 1 u x +m 2 V Dx =C 1. (2) Upang matukoy ang V Dx, isaalang-alang ang paggalaw ng load D bilang kumplikado, isinasaalang-alang ang paggalaw nito na may kaugnayan sa kamag-anak ng plato, at ang paggalaw ng plato mismo ay portable, pagkatapos
, (3)
; o sa projection sa x axis: . (4) Ipalit natin ang (4) sa (2):
. (5) Tinutukoy namin ang integration constant C 1 mula sa mga unang kondisyon: sa t=0 u=u 0 ; (m 1 +m 2)u 0 =C 1. (6) Ang pagpapalit ng halaga ng pare-parehong C 1 sa equation (5), makuha natin

MS.