Talaan ng lahat ng integral. Mga pangunahing pamamaraan ng pagsasama

Talaan ng mga antiderivatives ("integrals"). Talaan ng mga integral. Tabular na hindi tiyak na integral. (Ang pinakasimpleng integral at integral na may parameter). Mga formula para sa pagsasama ayon sa mga bahagi. Formula ng Newton-Leibniz.

Mga formula para sa pagsasama ayon sa mga bahagi. Mga panuntunan sa pagsasama.

Talaan ng mga derivatives. Tabular derivatives. Derivative ng produkto. Derivative ng quotient. Derivative ng isang kumplikadong function.

Kung ang x ay isang malayang variable, kung gayon:

Mga katangian ng logarithms. Mga pangunahing formula para sa logarithms. Decimal (lg) at natural logarithms (ln).

Natural logarithm ln (logarithm to base e = 2.718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Serye ni Taylor. Taylor series na pagpapalawak ng isang function.

Ang karamihan pala halos nakatagpo mathematical function ay maaaring kinakatawan sa anumang katumpakan sa paligid ng isang tiyak na punto sa anyo ng kapangyarihan serye na naglalaman ng mga kapangyarihan ng isang variable sa pagtaas ng order. Halimbawa, sa paligid ng puntong x=1:

Kapag gumagamit ng serye na tinatawag Mga hilera ni Taylor Ang mga mixed function na naglalaman ng, halimbawa, algebraic, trigonometriko at exponential function ay maaaring ipahayag bilang purong algebraic function. Gamit ang serye, madalas mong mabilis na maisagawa ang pagkita ng kaibahan at pagsasama.

Ang serye ng Taylor sa kapitbahayan ng point a ay may mga sumusunod na anyo:

1) , kung saan ang f(x) ay isang function na mayroong derivatives ng lahat ng order sa x = a. R n - ang natitirang termino sa serye ng Taylor ay tinutukoy ng expression

2)

Ang k-th coefficient (sa x k) ng serye ay tinutukoy ng formula

3) Ang isang espesyal na kaso ng seryeng Taylor ay ang seryeng Maclaurin (=McLaren). (ang pagpapalawak ay nangyayari sa paligid ng punto a=0)

sa a=0

ang mga miyembro ng serye ay tinutukoy ng formula

Mga kundisyon para sa paggamit ng serye ng Taylor.

1. Upang ang function na f(x) ay mapalawak sa isang serye ng Taylor sa pagitan (-R;R), kinakailangan at sapat na ang natitirang termino sa formula ng Taylor (Maclaurin (=McLaren)) para dito ang function ay nagiging zero bilang k →∞ sa tinukoy na interval (-R;R).

2. Ito ay kinakailangan na ang mga derivative ay umiiral para sa isang naibigay na function sa punto sa paligid kung saan tayo ay gagawa ng serye ng Taylor.

Mga katangian ng serye ni Taylor.

Kung ang f ay isang analytic function, kung gayon ang seryeng Taylor nito sa anumang punto a sa domain ng kahulugan ng f ay nagtatagpo sa f sa ilang kapitbahayan ng a.

Mayroong walang katapusang pagkakaiba-iba na mga function na ang Taylor series ay nagtatagpo, ngunit sa parehong oras ay naiiba mula sa function sa anumang kapitbahayan ng a. Halimbawa:

Ang serye ng Taylor ay ginagamit sa pagtatantya (ang pagtatantya ay isang siyentipikong pamamaraan na binubuo ng pagpapalit ng ilang mga bagay sa iba, sa isang kahulugan o iba pang malapit sa orihinal, ngunit mas simple) ng isang function sa pamamagitan ng mga polynomial. Sa partikular, ang linearization ((mula sa linearis - linear), isa sa mga pamamaraan ng tinatayang representasyon ng mga closed nonlinear system, kung saan ang pag-aaral ng isang nonlinear system ay pinapalitan ng pagsusuri ng isang linear system, sa ilang kahulugan na katumbas ng orihinal. .) Ang mga equation ay nangyayari sa pamamagitan ng pagpapalawak sa isang serye ng Taylor at pagputol ng lahat ng mga termino sa itaas ng unang pagkakasunud-sunod.

Kaya, halos anumang function ay maaaring katawanin bilang isang polynomial na may ibinigay na katumpakan.

Mga halimbawa ng ilang karaniwang pagpapalawak ng power function sa Maclaurin series (=McLaren, Taylor sa paligid ng point 0) at Taylor sa vicinity ng point 1. Ang mga unang termino ng expansion ng mga pangunahing function sa Taylor at McLaren series.

Mga halimbawa ng ilang karaniwang pagpapalawak ng mga power function sa Maclaurin series (=McLaren, Taylor sa paligid ng point 0)

Mga halimbawa ng ilang karaniwang pagpapalawak ng serye ng Taylor sa paligid ng punto 1

Antiderivative function at indefinite integral

Katotohanan 1. Ang pagsasama ay ang kabaligtaran na aksyon ng pagkita ng kaibhan, ibig sabihin, pagpapanumbalik ng isang function mula sa kilalang derivative ng function na ito. Ang pag-andar kaya naibalik F(x) ay tinatawag na antiderivative para sa function f(x).

Kahulugan 1. Function F(x f(x) sa ilang pagitan X, kung para sa lahat ng mga halaga x mula sa pagitan na ito ang pagkakapantay-pantay ay hawak F "(x)=f(x), iyon ay, ang function na ito f(x) ay ang derivative ng antiderivative function F(x). .

Halimbawa, ang function F(x) = kasalanan x ay isang antiderivative ng function f(x) = cos x sa buong linya ng numero, dahil para sa anumang halaga ng x (kasalanan x)" = (cos x) .

Kahulugan 2. Indefinite integral ng isang function f(x) ay ang set ng lahat ng antiderivatives nito. Sa kasong ito, ginagamit ang notasyon

∫

f(x)dx

nasaan ang tanda ∫ tinatawag na integral sign, ang function f(x) – integrand function, at f(x)dx - pagsasama at pagpapahayag.

Kaya, kung F(x) – ilang antiderivative para sa f(x), Iyon

∫

f(x)dx = F(x) +C

saan C - di-makatwirang pare-pareho (pare-pareho).

Upang maunawaan ang kahulugan ng hanay ng mga antiderivatives ng isang function bilang isang hindi tiyak na integral, angkop ang sumusunod na pagkakatulad. Hayaang magkaroon ng pinto (traditional wooden door). Ang tungkulin nito ay "maging isang pinto." Ano ang gawa sa pinto? Gawa sa kahoy. Nangangahulugan ito na ang hanay ng mga antiderivatives ng integrand ng function na "to be a door", iyon ay, ang indefinite integral nito, ay ang function na "to be a tree + C", kung saan ang C ay isang pare-pareho, na sa kontekstong ito ay maaaring tukuyin, halimbawa, ang uri ng puno. Kung paanong ang isang pinto ay ginawa mula sa kahoy gamit ang ilang mga tool, ang isang derivative ng isang function ay "ginawa" mula sa isang antiderivative function gamit ang mga formula na natutunan namin habang pinag-aaralan ang derivative .

Pagkatapos ang talahanayan ng mga pag-andar ng mga karaniwang bagay at ang kanilang mga kaukulang antiderivatives ("maging isang pinto" - "maging isang puno", "maging isang kutsara" - "maging metal", atbp.) ay katulad ng talahanayan ng basic indefinite integrals, na ibibigay sa ibaba. Ang talahanayan ng mga indefinite integral ay naglilista ng mga karaniwang function na may indikasyon ng mga antiderivatives kung saan "ginawa" ang mga function na ito. Sa bahagi ng mga problema sa paghahanap ng hindi tiyak na integral, ang mga integrand ay ibinibigay na maaaring direktang pagsamahin nang walang labis na pagsisikap, iyon ay, gamit ang talahanayan ng mga hindi tiyak na integral. Sa mas kumplikadong mga problema, dapat munang baguhin ang integrand upang magamit ang mga integral ng talahanayan.

Katotohanan 2. Kapag nire-restore ang isang function bilang isang antiderivative, dapat nating isaalang-alang ang arbitrary constant (constant) C, at upang hindi magsulat ng isang listahan ng mga antiderivative na may iba't ibang mga constant mula 1 hanggang infinity, kailangan mong magsulat ng isang set ng mga antiderivative na may arbitrary na pare-pareho C, halimbawa, tulad nito: 5 x³+C. Kaya, ang isang di-makatwirang pare-pareho (constant) ay kasama sa pagpapahayag ng antiderivative, dahil ang antiderivative ay maaaring maging isang function, halimbawa, 5 x³+4 o 5 x³+3 at kapag naiba, 4 o 3, o anumang iba pang pare-pareho ay napupunta sa zero.

Ibigay natin ang problema sa pagsasama: para sa function na ito f(x) hanapin ang gayong function F(x), kaninong hinango katumbas ng f(x).

Halimbawa 1. Hanapin ang hanay ng mga antiderivatives ng isang function

Solusyon. Para sa function na ito, ang antiderivative ay ang function

Function F(x) ay tinatawag na isang antiderivative para sa function f(x), kung ang derivative F(x) ay katumbas ng f(x), o, na ang parehong bagay, pagkakaiba F(x) ay pantay f(x) dx, ibig sabihin.

(2)

Samakatuwid, ang function ay isang antiderivative ng function. Gayunpaman, hindi lamang ito ang antiderivative para sa . Nagsisilbi rin sila bilang mga function

saan SA– di-makatwirang pare-pareho. Ito ay mapapatunayan sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan.

Kaya, kung mayroong isang antiderivative para sa isang function, kung gayon para dito mayroong isang walang katapusang bilang ng mga antiderivatives na naiiba sa isang pare-parehong termino. Ang lahat ng antiderivatives para sa isang function ay nakasulat sa form sa itaas. Ito ay sumusunod mula sa sumusunod na teorama.

Theorem (pormal na pahayag ng katotohanan 2). Kung F(x) – antiderivative para sa function f(x) sa ilang pagitan X, pagkatapos ay anumang iba pang antiderivative para sa f(x) sa parehong pagitan ay maaaring katawanin sa anyo F(x) + C, Saan SA– di-makatwirang pare-pareho.

Sa susunod na halimbawa, bumaling tayo sa talahanayan ng mga integral, na ibibigay sa talata 3, pagkatapos ng mga katangian ng hindi tiyak na integral. Ginagawa namin ito bago basahin ang buong talahanayan upang ang kakanyahan ng nasa itaas ay malinaw. At pagkatapos ng talahanayan at mga katangian, gagamitin namin ang mga ito nang buo sa panahon ng pagsasama.

Halimbawa 2. Maghanap ng mga hanay ng mga antiderivative function:

Solusyon. Nakahanap kami ng mga hanay ng mga antiderivative na function kung saan "ginawa" ang mga function na ito. Kapag binanggit ang mga pormula mula sa talahanayan ng mga integral, sa ngayon ay tanggapin na lamang na mayroong gayong mga pormula doon, at pag-aaralan pa natin ang talahanayan ng mga hindi tiyak na integral.

1) Paglalapat ng formula (7) mula sa talahanayan ng mga integral para sa n= 3, nakukuha namin

2) Gamit ang formula (10) mula sa talahanayan ng mga integral para sa n= 1/3, mayroon kami

3) Mula noon

pagkatapos ay ayon sa formula (7) na may n= -1/4 nakita namin

Hindi ang function mismo ang nakasulat sa ilalim ng integral sign f, at ang produkto nito sa pamamagitan ng differential dx. Ito ay ginagawa pangunahin upang ipahiwatig kung saan ang variable na hinahanap ang antiderivative. Halimbawa,

, ;

dito sa parehong mga kaso ang integrand ay katumbas ng , ngunit ang mga hindi tiyak na integral nito sa mga kasong isinasaalang-alang ay naiiba. Sa unang kaso, ang function na ito ay itinuturing bilang isang function ng variable x, at sa pangalawa - bilang isang function ng z .

Ang proseso ng paghahanap ng hindi tiyak na integral ng isang function ay tinatawag na pagsasama ng function na iyon.

Geometric na kahulugan ng hindi tiyak na integral

Ipagpalagay na kailangan nating maghanap ng isang kurba y=F(x) at alam na natin na ang tangent ng tangent angle sa bawat punto nito ay isang ibinigay na function f(x) abscissa ng puntong ito.

Ayon sa geometric na kahulugan ng derivative, ang tangent ng anggulo ng inclination ng tangent sa isang naibigay na punto ng curve y=F(x) katumbas ng halaga ng derivative F"(x). Kaya kailangan nating hanapin ang gayong function F(x), para sa F"(x)=f(x). Kinakailangan ang pag-andar sa gawain F(x) ay isang antiderivative ng f(x). Ang mga kondisyon ng problema ay nasiyahan hindi sa pamamagitan ng isang kurba, ngunit sa pamamagitan ng isang pamilya ng mga kurba. y=F(x)- isa sa mga kurba na ito, at anumang iba pang kurba ay maaaring makuha mula dito sa pamamagitan ng parallel na pagsasalin sa kahabaan ng axis Oy.

Tawagan natin ang graph ng antiderivative function ng f(x) integral curve. Kung F"(x)=f(x), pagkatapos ay ang graph ng function y=F(x) mayroong isang integral curve.

Katotohanan 3. Ang hindi tiyak na integral ay geometriko na kinakatawan ng pamilya ng lahat ng integral na kurba , tulad ng nasa larawan sa ibaba. Ang distansya ng bawat kurba mula sa pinanggalingan ng mga coordinate ay tinutukoy ng isang arbitraryong integration constant C.

Mga katangian ng hindi tiyak na integral

Fact 4. Theorem 1. Ang derivative ng isang indefinite integral ay katumbas ng integrand, at ang differential nito ay katumbas ng integrand.

Fact 5. Theorem 2. Indefinite integral ng differential ng isang function f(x) ay katumbas ng function f(x) hanggang sa isang pare-parehong termino , ibig sabihin.

(3)

Ang mga teorema 1 at 2 ay nagpapakita na ang pagkita ng kaibahan at pagsasama ay magkabaligtaran na mga operasyon.

Fact 6. Theorem 3. Ang constant factor sa integrand ay maaaring alisin sa sign ng indefinite integral , ibig sabihin.

Ang pagsasama ay isa sa mga pangunahing operasyon sa pagsusuri sa matematika. Ang mga talahanayan ng mga kilalang antiderivative ay maaaring maging kapaki-pakinabang, ngunit ngayon, pagkatapos ng pagdating ng mga computer algebra system, nawawala ang kanilang kahalagahan. Nasa ibaba ang isang listahan ng mga pinakakaraniwang primitive.

Talaan ng mga pangunahing integral

Isa pa, compact na opsyon

Talaan ng mga integral ng trigonometriko function

Mula sa mga rational function

Mula sa hindi makatwiran na mga pag-andar

Integrals ng transendental function

Ang "C" ay isang arbitrary integration constant, na tinutukoy kung ang halaga ng integral sa anumang punto ay kilala. Ang bawat function ay may walang katapusang bilang ng mga antiderivatives.

Karamihan sa mga mag-aaral at mag-aaral ay may mga problema sa pagkalkula ng mga integral. Ang pahinang ito ay naglalaman ng integral na mga talahanayan mula sa trigonometric, rational, irrational at transendental function na makakatulong sa solusyon. Ang isang talahanayan ng mga derivatives ay makakatulong din sa iyo.

Video - kung paano makahanap ng mga integral

>>Mga paraan ng pagsasama

Mga pangunahing pamamaraan ng pagsasama

Kahulugan ng integral, definite at indefinite integral, table of integrals, Newton-Leibniz formula, integration by parts, mga halimbawa ng pagkalkula ng integrals.

Indefinite integral

Tinatawag ang isang function na F(x) na naiba sa isang naibigay na interval X antiderivative ng function f(x), o ang integral ng f(x), kung para sa bawat x ∈X ang sumusunod ay pagkakapantay-pantay:

F " (x) = f(x). (8.1)

Ang paghahanap ng lahat ng antiderivatives para sa isang naibigay na function ay tinatawag na nito pagsasama. Indefinite integral function Ang f(x) sa isang ibinigay na interval X ay ang set ng lahat ng antiderivative function para sa function na f(x); pagtatalaga -

Kung ang F(x) ay ilang antiderivative para sa function na f(x), kung gayon ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

kung saan ang C ay isang arbitrary na pare-pareho.

Talaan ng mga integral

Direkta mula sa kahulugan ay nakukuha natin ang mga pangunahing katangian ng hindi tiyak na integral at isang listahan ng mga integral na tabular:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Listahan ng mga integral sa talahanayan

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Pagpapalit ng variable

Upang isama ang maraming mga function, gamitin ang variable na paraan ng pagpapalit o pagpapalit, na nagbibigay-daan sa iyong bawasan ang mga integral sa anyong tabular.

Kung ang function na f(z) ay tuloy-tuloy sa [α,β], ang function na z =g(x) ay may tuluy-tuloy na derivative at α ≤ g(x) ≤ β, kung gayon

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Bukod dito, pagkatapos ng pagsasama sa kanang bahagi, dapat gawin ang pagpapalit z=g(x).

Upang patunayan ito, sapat na upang isulat ang orihinal na integral sa form:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Halimbawa:

1)

2) .

Paraan ng pagsasama ayon sa mga bahagi

Hayaang ang u = f(x) at v = g(x) ay mga function na may tuluy-tuloy na . Pagkatapos, ayon sa gawain,

d(uv))= udv + vdu o udv = d(uv) - vdu.

Para sa expression na d(uv), ang antiderivative ay malinaw na uv, kaya ang formula ay mayroong:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Ang formula na ito ay nagpapahayag ng panuntunan integrasyon ng mga bahagi. Pinangunahan nito ang pagsasama ng expression na udv=uv"dx sa pagsasama ng expression na vdu=vu"dx.

Hayaan, halimbawa, gusto mong hanapin ang ∫xcosx dx. Ilagay natin ang u = x, dv = cosxdx, kaya du=dx, v=sinx. Pagkatapos

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Ang tuntunin ng pagsasama ng mga bahagi ay may mas limitadong saklaw kaysa sa pagpapalit ng mga variable. Ngunit mayroong buong klase ng mga integral, halimbawa,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax at iba pa, na tiyak na kinakalkula gamit ang pagsasama-sama ng mga bahagi.

Tiyak na integral

Ang konsepto ng isang tiyak na integral ay ipinakilala bilang mga sumusunod. Hayaang tukuyin ang isang function na f(x) sa isang pagitan. Hatiin natin ang segment [a,b] sa n mga bahagi sa pamamagitan ng mga puntos a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Ang kabuuan ng anyong f(ξ i)Δ x i ay tinatawag integral sum, at ang limitasyon nito sa λ = maxΔx i → 0, kung ito ay umiiral at may hangganan, ay tinatawag na tiyak na integral mga function f(x) ng a dati b at itinalaga:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Ang function na f(x) sa kasong ito ay tinatawag integrable sa pagitan, ang mga numero a at b ay tinatawag lower at upper limits ng integral.

Ang mga sumusunod na katangian ay totoo para sa isang tiyak na integral:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Ang huling ari-arian ay tinatawag mean value theorem.

Hayaang tuluy-tuloy ang f(x) sa . Pagkatapos sa segment na ito mayroong isang hindi tiyak na integral

∫f(x)dx = F(x) + C

at nagaganap Formula ng Newton-Leibniz, pag-uugnay ng tiyak na integral sa hindi tiyak na integral:

F(b) - F(a). (8.6)

Geometric na interpretasyon: ang tiyak na integral ay ang lugar ng isang curvilinear trapezoid na nakatali mula sa itaas ng curve y=f(x), tuwid na linya x = a at x = b at isang segment ng axis baka.

Mga hindi tamang integral

Ang mga integral na may walang katapusang limitasyon at integral ng mga di-tuloy (walang hangganan) na mga function ay tinatawag hindi sa iyo. Mga hindi tamang integral ng unang uri - Ito ay mga integral sa isang walang katapusang pagitan, na tinukoy bilang mga sumusunod:

(8.7)

Kung ang limitasyong ito ay umiiral at may hangganan, kung gayon ito ay tinatawag convergent improper integral ng f(x) sa pagitan [a+ ∞), at ang function na f(x) ay tinatawag maisasama sa isang walang katapusang pagitan[a+ ∞). Kung hindi, ang integral ay sinasabing ay hindi umiiral o diverges.

Ang mga di-wastong integral sa mga pagitan (-∞,b] at (-∞, + ∞) ay parehong tinukoy:

Tukuyin natin ang konsepto ng integral ng isang unbounded function. Kung ang f(x) ay tuloy-tuloy para sa lahat ng mga halaga x segment , maliban sa puntong c, kung saan ang f(x) ay may walang katapusang discontinuity, kung gayon hindi wastong integral ng pangalawang uri ng f(x) mula sa a hanggang b ang halaga ay tinatawag na:

kung ang mga limitasyong ito ay umiiral at may hangganan. pagtatalaga:

Mga halimbawa ng integral na kalkulasyon

Halimbawa 3.30. Kalkulahin ang ∫dx/(x+2).

Solusyon. Tukuyin natin ang t = x+2, pagkatapos ay dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Halimbawa 3.31. Hanapin ang ∫ tgxdx.

Solusyon.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Hayaan ang t=cosx, pagkatapos ay ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Solusyon.

Halimbawa3.33. Hanapin ang .

Solusyon. =

.

Halimbawa3.34 . Hanapin ang ∫arctgxdx.

Solusyon. Pagsamahin natin ayon sa mga bahagi. Tukuyin natin ang u=arctgx, dv=dx. Pagkatapos du = dx/(x 2 +1), v=x, kung saan ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; kasi
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Halimbawa3.35 . Kalkulahin ang ∫lnxdx.

Solusyon. Ang paglalapat ng integrasyon sa pamamagitan ng mga bahagi ng formula, makuha namin ang:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Pagkatapos ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Halimbawa3.36 . Kalkulahin ang ∫e x sinxdx.

Solusyon. Tukuyin natin ang u = e x, dv = sinxdx, pagkatapos ay du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Isinasama rin namin ang integral ∫e x cosxdx sa pamamagitan ng mga bahagi: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Meron kami:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Nakuha namin ang kaugnayan ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, mula sa kung saan 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Halimbawa 3.37. Kalkulahin ang J = ∫cos(lnx)dx/x.

Solusyon. Dahil dx/x = dlnx, kung gayon J= ∫cos(lnx)d(lnx). Ang pagpapalit ng lnx sa pamamagitan ng t, dumating tayo sa talahanayan integral J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Halimbawa 3.38 . Kalkulahin ang J = .

Solusyon. Isinasaalang-alang na = d(lnx), pinapalitan namin ang lnx = t. Tapos J = .