Theorem sa pagbabago ng momentum ng isang mekanikal na sistema. Dami ng paggalaw

§1. System momentum (system impulse)

Dami ng galaw (body impulse) – pisikal na dami ng vector na katumbas ng produkto ng masa ng isang katawan at ang bilis nito:

Ang salpok (dami ng paggalaw) ay isa sa mga pinakapangunahing katangian ng paggalaw ng isang katawan o sistema ng mga katawan.

Sumulat tayo II Ang batas ni Newton sa ibang anyo, dahil sa pagbilis na iyon Pagkatapos samakatuwid

Ang produkto ng isang puwersa at ang oras ng pagkilos nito ay katumbas ng pagtaas sa momentum ng katawan:

saan- isang salpok ng puwersa, na nagpapakita na ang resulta ng puwersa ay nakasalalay hindi lamang sa halaga nito, kundi pati na rin sa tagal ng pagkilos nito.

Ang dami ng paggalaw ng system (impulse) ay tatawaging vector quantity , katumbas ng geometric sum (pangunahing vector) ng mga halaga ng paggalaw (impulses) ng lahat ng mga punto ng system (Fig.2):

Malinaw mula sa pagguhit na, anuman ang mga halaga ng mga bilis ng mga punto ng system (maliban kung ang mga bilis na ito ay magkatulad), ang vectormaaaring tumagal sa anumang mga halaga at maging katumbas ng zero kapag ang isang polygon ay binuo mula sa mga vector, magsasara. Samakatuwid, sa lakiimposibleng ganap na hatulan ang kalikasan ng paggalaw ng sistema.

Fig.2. Dami ng paggalaw ng system

§2. Theorem sa pagbabago ng momentum (momentum)

Hayaang kumilos ang puwersa sa isang katawan na may mass m sa isang tiyak na maikling panahon Δt. Sa ilalim ng impluwensya ng puwersang ito, ang bilis ng katawan ay nagbabago ng Dahil dito, sa panahon ng Δt gumagalaw ang katawan nang may pagbilis:

Mula sa pangunahing batas ng dinamika(Ang pangalawang batas ni Newton) ay sumusunod:

§3. Batas ng konserbasyon ng momentum (batas ng konserbasyon ng momentum)

Mula sa theorem sa pagbabago ng momentum ng isang sistema, ang mga sumusunod na mahahalagang corollaries ay maaaring makuha:

1) Hayaan ang kabuuan ng lahat ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa isang saradong sistema ay katumbas ng zero:

Pagkatapos mula sa Eq. sumusunod na Q = = const. Kaya, kung ang kabuuan ng lahat ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa isang saradong sistema ay katumbas ng zero, kung gayon ang vector ng momentum (momentum) ng system ay magiging pare-pareho sa magnitude at direksyon.

2) Hayaang ang mga panlabas na puwersa na kumikilos sa system ay maging ang kabuuan ng kanilang mga projection sa ilang axis (halimbawa TUNGKOL SA x ) ay katumbas ng zero:

Pagkatapos mula sa Eq.ito ay sumusunod na sa kasong itoQ x= const. Kaya, kung ang kabuuan ng mga projection ng lahat ng kumikilos na panlabas na pwersa sa anumang axis ay katumbas ng zero, kung gayon ang projection ng dami ng paggalaw (momentum) ng system sa axis na ito ay isang pare-parehong halaga.

Ang mga resultang ito ay nagpapahayag batas ng konserbasyon ng momentum ng system: para sa anumang likas na pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga katawan na bumubuo ng isang saradong sistema, ang vector ng kabuuang momentum ng sistemang ito ay nananatiling pare-pareho sa lahat ng oras.

Ito ay sumusunod mula sa kanila na ang mga panloob na pwersa ay hindi maaaring baguhin ang kabuuang halaga ng paggalaw ng sistema.

Ang batas ng konserbasyon ng kabuuang momentum ng isang nakahiwalay na sistema ay isang unibersal na batas ng kalikasan. Sa mas pangkalahatang kaso, kapag ang sistema ay hindi sarado, mula sasumusunod na ang kabuuang momentum ng isang open-loop system ay hindi nananatiling pare-pareho. Ang pagbabago nito sa bawat yunit ng oras ay katumbas ng geometric na kabuuan ng lahat ng panlabas na puwersa.

Tingnan natin ang ilang halimbawa:

a) Ang phenomenon ng recoil o recoil. Kung isasaalang-alang natin ang rifle at ang bala bilang isang sistema, kung gayon ang presyon ng mga pulbos na gas sa panahon ng pagbaril ay magiging isang panloob na puwersa. Hindi mababago ng puwersang ito ang kabuuang momentum ng system. Ngunit dahil ang mga pulbos na gas, na kumikilos sa bala, ay nagbibigay dito ng isang tiyak na dami ng paggalaw na nakadirekta pasulong, dapat nilang sabay na ibigay sa rifle ang parehong dami ng paggalaw sa kabaligtaran ng direksyon. Ito ay magiging sanhi ng pag-urong ng rifle, i.e. ang tinatawag na pagbabalik. Ang isang katulad na kababalaghan ay nangyayari kapag nagpaputok ng baril (rollback).

b) Operasyon ng propeller (propeller). Ang propeller ay nagbibigay ng paggalaw sa isang tiyak na masa ng hangin (o tubig) kasama ang axis ng propeller, na ibinabalik ang masa na ito. Kung isasaalang-alang natin ang itinapon na masa at ang sasakyang panghimpapawid (o barko) bilang isang sistema, kung gayon ang mga puwersa ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng propeller at ng kapaligiran, bilang panloob, ay hindi maaaring baguhin ang kabuuang dami ng paggalaw ng sistemang ito. Samakatuwid, kapag ang isang masa ng hangin (tubig) ay itinapon pabalik, ang sasakyang panghimpapawid (o barko) ay tumatanggap ng katumbas na bilis ng pasulong, upang ang kabuuang dami ng paggalaw ng system na isinasaalang-alang ay mananatiling katumbas ng zero, dahil ito ay zero bago ang nagsimula ang paggalaw.

Ang isang katulad na epekto ay nakakamit sa pamamagitan ng pagkilos ng mga sagwan o mga gulong ng sagwan.

c) pagpapaandar ng jet. Sa isang rocket, ang mga gaseous na produkto ng pagkasunog ng gasolina ay inilalabas sa mataas na bilis mula sa isang butas sa buntot ng rocket (mula sa jet engine nozzle). Ang mga puwersa ng presyon na kumikilos sa kasong ito ay magiging mga panloob na pwersa, at hindi nila mababago ang kabuuang halaga ng paggalaw ng sistema ng rocket - mga produktong pagkasunog ng gasolina. Ngunit dahil ang mga tumatakas na gas ay may isang tiyak na dami ng paggalaw na nakadirekta pabalik, ang rocket ay tumatanggap ng kaukulang bilis ng pasulong.

Mga tanong sa pagsusulit sa sarili:

Paano nabuo ang teorama tungkol sa pagbabago sa momentum ng isang sistema?

Isulat ang mathematical expression ng theorem sa pagbabago ng momentum ng isang mekanikal na sistema sa differential at integral form.

Sa anong kaso hindi nagbabago ang momentum ng isang mekanikal na sistema?

Paano natutukoy ang isang salpok ng variable na puwersa sa isang takdang panahon? Ano ang katangian ng isang puwersang salpok?

Ano ang mga projection ng pare-pareho at variable na puwersa impulses sa coordinate axes?

Ano ang impulse ng resulta?

Paano nagbabago ang momentum ng isang punto na gumagalaw nang pantay sa paligid ng isang bilog?

Ano ang momentum ng isang mekanikal na sistema?

Ano ang momentum ng isang flywheel na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis na dumadaan sa sentro ng grabidad nito?

Sa ilalim ng anong mga kondisyon hindi nagbabago ang momentum ng isang mekanikal na sistema? Sa ilalim ng anong mga kondisyon hindi nagbabago ang projection nito sa isang tiyak na axis?

Bakit umuurong ang baril kapag pinaputukan?

Maaari bang baguhin ng mga panloob na puwersa ang momentum ng isang sistema o ang momentum ng isang bahagi nito?

Anong mga kadahilanan ang tumutukoy sa bilis ng libreng paggalaw ng isang rocket?

Ang huling bilis ba ng isang rocket ay nakasalalay sa oras ng pagkasunog ng gasolina?

Tingnan: ang artikulong ito ay nabasa nang 23264 beses

Pdf Pumili ng wika... Russian Ukrainian English

Maikling pagsusuri

Ang buong materyal ay dina-download sa itaas, pagkatapos piliin ang wika

Mekanikal na sistema ng mga punto ng materyal o katawan ay tulad ng isang koleksyon ng mga ito kung saan ang posisyon at paggalaw ng bawat punto (o katawan) ay nakasalalay sa posisyon at paggalaw ng iba.
Ang isang materyal na katawan ay itinuturing bilang isang sistema ng mga materyal na punto (mga partikulo) na bumubuo sa katawan na ito.
Sa pamamagitan ng panlabas na puwersa ay yaong mga puwersang kumikilos sa mga punto o katawan ng isang mekanikal na sistema mula sa mga punto o katawan na hindi kabilang sa sistemang ito.
Sa pamamagitan ng panloob na pwersa, ay ang mga puwersang kumikilos sa mga punto o katawan ng isang mekanikal na sistema mula sa mga punto o katawan ng parehong sistema, i.e. kung saan ang mga punto o katawan ng isang ibinigay na sistema ay nakikipag-ugnayan sa isa't isa.
Ang panlabas at panloob na pwersa ng system, sa turn, ay maaaring maging aktibo at reaktibo
Timbang ng system katumbas ng algebraic na kabuuan ng mga masa ng lahat ng mga punto o katawan ng system sa isang pare-parehong gravitational field, kung saan ang bigat ng anumang particle ng katawan ay proporsyonal sa masa nito. Samakatuwid, ang pamamahagi ng mga masa sa isang katawan ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng posisyon ng sentro ng grabidad nito - ang geometric na punto SA, ang mga coordinate na kung saan ay tinatawag na sentro ng masa o sentro ng pagkawalang-galaw ng isang mekanikal na sistema
Theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ng isang mekanikal na sistema: ang sentro ng masa ng isang mekanikal na sistema ay gumagalaw bilang isang materyal na punto, ang masa nito ay katumbas ng masa ng sistema, at kung saan ang lahat ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa sistema ay inilalapat
Mga konklusyon:

Ang isang mekanikal na sistema o isang matibay na katawan ay maaaring ituring bilang isang materyal na punto depende sa likas na katangian ng paggalaw nito, at hindi sa laki nito.
Ang mga panloob na pwersa ay hindi isinasaalang-alang ng teorama sa paggalaw ng sentro ng masa.
Ang teorama sa paggalaw ng sentro ng masa ay hindi nagpapakilala sa pag-ikot ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema, ngunit ang pagsasalin lamang.

Batas sa konserbasyon ng paggalaw ng sentro ng masa ng system:
1. Kung ang kabuuan ng mga panlabas na puwersa (ang pangunahing vector) ay patuloy na katumbas ng zero, kung gayon ang sentro ng masa ng mekanikal na sistema ay nasa pamamahinga o gumagalaw nang pantay at rectilinearly.
2. Kung ang kabuuan ng mga projection ng lahat ng panlabas na pwersa sa anumang axis ay katumbas ng zero, kung gayon ang projection ng bilis ng sentro ng masa ng system sa parehong axis ay isang pare-parehong halaga.

Theorem sa pagbabago ng momentum.

Ang dami ng paggalaw ng isang materyal na punto at ay isang vector quantity na katumbas ng produkto ng mass ng isang punto at ang velocity vector nito.
Ang yunit ng pagsukat para sa momentum ay (kg m/s).
Ang momentum ng mekanikal na sistema- isang vector quantity na katumbas ng geometric sum (pangunahing vector) ng momentum ng lahat ng mga punto ng system. O ang momentum ng system ay katumbas ng produkto ng masa ng buong system at ang bilis ng sentro ng masa nito
Kapag ang isang katawan (o sistema) ay gumagalaw upang ang sentro ng masa nito ay nakatigil, kung gayon ang dami ng paggalaw ng katawan ay katumbas ng zero (halimbawa, pag-ikot ng katawan sa paligid ng isang nakapirming axis na dumadaan sa gitna ng masa ng katawan).
Kung ang paggalaw ng katawan ay kumplikado, kung gayon hindi nito mailalarawan ang paikot na bahagi ng paggalaw kapag umiikot sa paligid ng sentro ng masa. Iyon ay, ang dami ng paggalaw ay nagpapakilala lamang sa translational motion ng system (kasama ang sentro ng masa).
Puwersa ng salpok nailalarawan ang pagkilos ng isang puwersa sa isang tiyak na tagal ng panahon.
Ang puwersang impulse para sa isang takdang panahon ay tinukoy bilang ang integral na kabuuan ng mga kaukulang elementarya na impulses
Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto:
(sa differential form): Ang derivative sa paglipas ng panahon ng momentum ng isang materyal na punto ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga puwersang kumikilos sa mga punto
(sa integral form): Ang pagbabago sa momentum sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga impulses ng pwersa na inilapat sa isang punto sa parehong yugto ng panahon.

Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema
(sa differential form): Ang time derivative ng momentum ng system ay katumbas ng geometric na kabuuan ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa system.
(sa integral form): Ang pagbabago sa momentum ng system sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga impulses na kumikilos sa sistema ng mga panlabas na pwersa sa parehong yugto ng panahon.
Ang teorama ay nagpapahintulot sa isa na ibukod ang malinaw na hindi kilalang mga panloob na pwersa mula sa pagsasaalang-alang.
Ang theorem sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema at ang theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ay dalawang magkaibang anyo ng parehong teorama.
Batas ng konserbasyon ng momentum ng isang sistema.

Kung ang kabuuan ng lahat ng panlabas na puwersa na kumikilos sa system ay katumbas ng zero, kung gayon ang vector ng momentum ng system ay magiging pare-pareho sa direksyon at magnitude.
Kung ang kabuuan ng mga projection ng lahat ng kumikilos na panlabas na pwersa sa anumang arbitrary axis ay katumbas ng zero, kung gayon ang projection ng momentum sa axis na ito ay isang pare-parehong halaga.

Ang mga batas sa konserbasyon ay nagpapahiwatig na ang mga panloob na puwersa ay hindi maaaring baguhin ang kabuuang dami ng paggalaw ng system.

Pag-uuri ng mga puwersa na kumikilos sa isang mekanikal na sistema
Mga katangian ng panloob na pwersa
Masa ng sistema. Sentro ng misa
Differential equation ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema
Theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ng isang mekanikal na sistema
Batas sa konserbasyon ng paggalaw ng sentro ng masa ng isang sistema
Teorama ng pagbabago ng momentum
Batas ng konserbasyon ng momentum ng isang sistema

Wika: Russian, Ukrainian

Sukat: 248K

Halimbawa ng pagkalkula ng isang spur gear
Isang halimbawa ng pagkalkula ng spur gear. Ang pagpili ng materyal, pagkalkula ng mga pinahihintulutang stress, pagkalkula ng contact at baluktot na lakas ay natupad.

Isang halimbawa ng paglutas ng problema sa beam bending
Sa halimbawa, ang mga diagram ng transverse forces at mga baluktot na sandali ay itinayo, isang mapanganib na seksyon ang natagpuan at isang I-beam ang napili. Sinuri ng problema ang pagbuo ng mga diagram gamit ang differential dependencies at nagsagawa ng comparative analysis ng iba't ibang cross section ng beam.

Isang halimbawa ng paglutas ng problema sa shaft torsion
Ang gawain ay upang subukan ang lakas ng isang bakal na baras sa isang ibinigay na diameter, materyal at pinapayagang diin. Sa panahon ng solusyon, ang mga diagram ng torques, shear stresses at twist angles ay itinayo. Ang sariling timbang ng baras ay hindi isinasaalang-alang

Isang halimbawa ng paglutas ng problema ng tension-compression ng isang baras
Ang gawain ay upang subukan ang lakas ng isang steel bar sa tinukoy na pinahihintulutang mga stress. Sa panahon ng solusyon, ang mga diagram ng mga longitudinal na pwersa, normal na mga stress at displacements ay itinayo. Ang sariling timbang ng pamalo ay hindi isinasaalang-alang

Application ng theorem sa konserbasyon ng kinetic energy
Isang halimbawa ng paglutas ng problema gamit ang theorem sa konserbasyon ng kinetic energy ng isang mekanikal na sistema

Pagtukoy sa bilis at acceleration ng isang punto gamit ang mga ibinigay na equation ng paggalaw
Isang halimbawa ng paglutas ng problema upang matukoy ang bilis at acceleration ng isang punto gamit ang mga ibinigay na equation ng paggalaw

Pagpapasiya ng mga bilis at acceleration ng mga punto ng isang matibay na katawan sa panahon ng plane-parallel motion
Isang halimbawa ng paglutas ng problema upang matukoy ang mga bilis at acceleration ng mga punto ng isang matibay na katawan sa panahon ng plane-parallel motion

Ang dami ng paggalaw ng system tawagan ang geometric na kabuuan ng mga dami ng paggalaw ng lahat ng materyal na punto ng system

Upang linawin ang pisikal na kahulugan ng (70), kalkulahin natin ang derivative ng (64)

. (71)

Paglutas ng (70) at (71) nang magkasama, nakukuha natin

. (72)

kaya, ang vector ng momentum ng isang mekanikal na sistema ay tinutukoy ng produkto ng masa ng system at ang bilis ng sentro ng masa nito.

Kalkulahin natin ang derivative ng (72)

. (73)

Ang paglutas ng (73) at (67) nang magkasama, nakukuha natin

. (74)

Ang equation (74) ay nagpapahayag ng sumusunod na theorem.

Teorama: Ang derivative ng oras ng momentum vector ng system ay katumbas ng geometric na kabuuan ng lahat ng panlabas na puwersa ng system.

Kapag nilulutas ang mga problema, ang equation (74) ay dapat na maipakita sa mga coordinate axes:

. (75)

Mula sa pagsusuri ng (74) at (75) ang sumusunod ay sumusunod: batas ng konserbasyon ng momentum ng isang sistema: Kung ang kabuuan ng lahat ng pwersa ng system ay zero, kung gayon ang momentum vector nito ay nagpapanatili ng magnitude at direksyon nito.

Kung
, Iyon
,Q = const . (76)

Sa isang partikular na kaso, ang batas na ito ay maaaring matupad kasama ang isa sa mga coordinate axes.

Kung
, Iyon, Q z = const. (77)

Maipapayo na gamitin ang theorem sa pagbabago ng momentum sa mga kaso kung saan ang sistema ay may kasamang likido at gas na mga katawan.

Theorem sa pagbabago sa angular momentum ng isang mekanikal na sistema

Ang dami ng paggalaw ay nagpapakilala lamang sa translational component ng paggalaw. Upang makilala ang rotational motion ng isang katawan, ang konsepto ng pangunahing angular momentum ng system na may kaugnayan sa isang naibigay na sentro (kinetic moment) ay ipinakilala.

Kinetic moment ng system na may kaugnayan sa isang naibigay na sentro ay ang geometric na kabuuan ng mga sandali ng mga dami ng paggalaw ng lahat ng mga punto nito na nauugnay sa parehong sentro

. (78)

Sa pamamagitan ng projecting (22) sa coordinate axes, makakakuha tayo ng expression para sa kinetic moment na may kaugnayan sa coordinate axes.

. (79)

Kinetic moment ng katawan na may kaugnayan sa mga axes katumbas ng produkto ng moment of inertia ng katawan na may kaugnayan sa axis na ito at ang angular velocity ng katawan

. (80)

Mula sa (80) sumusunod na ang kinetic moment ay nagpapakilala lamang sa rotational component ng paggalaw.

Ang isang katangian ng rotational action ng isang puwersa ay ang sandali nito na may kaugnayan sa axis ng pag-ikot.

Ang theorem sa pagbabago sa angular momentum ay nagtatatag ng kaugnayan sa pagitan ng katangian ng rotational motion at ang puwersa na nagdudulot ng paggalaw na ito.

Teorama: Ang derivative ng oras ng vector ng angular momentum ng system na may kaugnayan sa ilang sentro ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga sandali ng lahat ng panlabas na puwersa ng system na may kaugnayan saang parehong sentro

. (81)

Kapag nilulutas ang mga problema sa engineering (81), kinakailangan na magdisenyo sa mga coordinate axes

Ang kanilang pagsusuri sa (81) at (82) ay nagpapahiwatig batas ng konserbasyon ng angular momentum: Kung ang kabuuan ng mga sandali ng lahat ng panlabas na puwersa na nauugnay sa sentro (o axis) ay katumbas ng zero, kung gayon ang kinetic moment ng system na may kaugnayan sa sentro na ito (o axis) ay nagpapanatili ng magnitude at direksyon nito.

Ang kinetic moment ay hindi mababago sa pamamagitan ng pagkilos ng mga panloob na pwersa ng system, ngunit dahil sa mga pwersang ito posible na baguhin ang sandali ng pagkawalang-galaw, at samakatuwid ay ang angular velocity.

Sa parehong paraan tulad ng para sa isang materyal na punto, makakakuha tayo ng isang teorama sa pagbabago ng momentum para sa sistema sa iba't ibang anyo.

Ibahin natin ang equation (teorama sa paggalaw ng sentro ng masa ng isang mekanikal na sistema)

sa sumusunod na paraan:

;

Ang resultang equation ay nagpapahayag ng theorem tungkol sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa differential form: ang derivative ng momentum ng isang mechanical system na may paggalang sa oras ay katumbas ng pangunahing vector ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa system .

Sa mga projection sa Cartesian coordinate axes:

; ; .

Ang pagkuha ng mga integral ng magkabilang panig ng mga huling equation sa paglipas ng panahon, nakakakuha tayo ng isang theorem tungkol sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa integral form: ang pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema ay katumbas ng momentum ng pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa sistema .

O sa mga projection sa Cartesian coordinate axes:

; ; .

Corollaries mula sa theorem (mga batas ng konserbasyon ng momentum)

Ang batas ng konserbasyon ng momentum ay nakuha bilang mga espesyal na kaso ng theorem sa pagbabago ng momentum para sa isang sistema depende sa mga katangian ng sistema ng mga panlabas na pwersa. Ang mga panloob na puwersa ay maaaring maging anuman, dahil hindi ito nakakaapekto sa mga pagbabago sa momentum.

Mayroong dalawang posibleng kaso:

1. Kung ang kabuuan ng vector ng lahat ng panlabas na puwersa na inilapat sa system ay katumbas ng zero, kung gayon ang dami ng paggalaw ng system ay pare-pareho sa magnitude at direksyon

2. Kung ang projection ng pangunahing vector ng mga panlabas na pwersa sa anumang coordinate axis at/o at/o ay katumbas ng zero, kung gayon ang projection ng momentum sa parehong mga axes na ito ay isang pare-parehong halaga, i.e. at/o at/o ayon sa pagkakabanggit.

Ang mga katulad na entry ay maaaring gawin para sa isang materyal na punto at para sa isang materyal na punto.

Ang gawain. Mula sa isang baril na ang masa M, lumilipad ang isang projectile ng masa sa pahalang na direksyon m sa bilis v. Maghanap ng bilis V baril matapos magpaputok.

Solusyon. Ang lahat ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa mekanikal na sistema ng sandata-projectile ay patayo. Nangangahulugan ito, batay sa corollary sa theorem sa pagbabago sa momentum ng system, mayroon tayong: .

Ang dami ng paggalaw ng mekanikal na sistema bago magpaputok:

Ang dami ng paggalaw ng mekanikal na sistema pagkatapos ng pagbaril:

Ang equating ang kanang bahagi ng mga expression, makuha namin iyon

Ang sign na "-" sa resultang formula ay nagpapahiwatig na pagkatapos ng pagpapaputok ng baril ay babalik sa direksyon sa tapat ng axis. baka.

HALIMBAWA 2. Ang isang stream ng likido na may density ay dumadaloy sa bilis na V mula sa isang pipe na may cross-sectional area F at tumama sa isang patayong pader sa isang anggulo. Tukuyin ang presyon ng likido sa dingding.

SOLUSYON. Ilapat natin ang theorem sa pagbabago ng momentum sa integral form sa isang volume ng likido na may mass m pagtama sa pader sa loob ng mahabang panahon t.

MESHCHERSKY EQUATION

(pangunahing equation ng dynamics ng isang katawan ng variable na masa)

Sa modernong teknolohiya, ang mga kaso ay lumitaw kapag ang masa ng isang punto at isang sistema ay hindi nananatiling pare-pareho sa panahon ng paggalaw, ngunit nagbabago. Kaya, halimbawa, sa panahon ng paglipad ng mga rocket sa espasyo, dahil sa pagbuga ng mga produkto ng pagkasunog at mga indibidwal na hindi kinakailangang bahagi ng mga rocket, ang pagbabago sa masa ay umabot sa 90-95% ng kabuuang paunang halaga. Ngunit hindi lamang ang teknolohiya sa espasyo ang maaaring maging isang halimbawa ng dynamics ng variable mass motion. Sa industriya ng tela, may mga makabuluhang pagbabago sa masa ng iba't ibang mga spindle, bobbins, at roll sa modernong bilis ng pagpapatakbo ng mga makina at makina.

Isaalang-alang natin ang mga pangunahing tampok na nauugnay sa mga pagbabago sa masa, gamit ang halimbawa ng translational motion ng isang katawan ng variable na masa. Ang pangunahing batas ng dinamika ay hindi maaaring direktang ilapat sa isang katawan ng variable na masa. Samakatuwid, nakakakuha tayo ng mga differential equation ng paggalaw ng isang punto ng variable na masa, na inilalapat ang theorem sa pagbabago sa momentum ng system.

Hayaang may masa ang punto m+dm gumagalaw sa bilis. Pagkatapos ang isang tiyak na butil na may masa ay pinaghihiwalay mula sa punto dm gumagalaw sa bilis.

Ang dami ng paggalaw ng katawan bago lumabas ang butil:

Ang dami ng paggalaw ng isang sistema na binubuo ng isang katawan at isang hiwalay na particle pagkatapos ng paghihiwalay nito:

Pagkatapos ang pagbabago sa momentum:

Batay sa theorem tungkol sa pagbabago sa momentum ng system:

Tukuyin natin ang dami - ang kamag-anak na bilis ng butil:

Tukuyin natin

Sukat R tinatawag na reactive force. Ang reactive force ay ang engine thrust na dulot ng pagbuga ng gas mula sa nozzle.

Sa wakas nakuha namin

Ang formula na ito ay nagpapahayag ng pangunahing equation ng dynamics ng isang katawan ng variable na masa (Meshchersky formula). Mula sa huling pormula ay sumusunod na ang mga differential equation ng paggalaw ng isang punto ng variable na masa ay may parehong anyo tulad ng para sa isang punto ng pare-pareho ang masa, maliban sa karagdagang reaktibong puwersa na inilapat sa punto dahil sa pagbabago sa masa.

Ang pangunahing equation para sa dynamics ng isang katawan ng variable na masa ay nagpapahiwatig na ang acceleration ng katawan na ito ay nabuo hindi lamang dahil sa mga panlabas na pwersa, ngunit din dahil sa reaktibo na puwersa.

Ang reaktibong puwersa ay isang puwersa na katulad ng nararamdaman ng taong bumaril - kapag bumaril mula sa isang pistola, ito ay nararamdaman ng kamay; Kapag bumaril mula sa isang riple, ito ay nakikita ng balikat.

Ang unang formula ni Tsiolkovsky (para sa isang single-stage rocket)

Hayaang gumalaw ang isang punto ng variable na masa o isang rocket sa isang tuwid na linya sa ilalim ng impluwensya ng isang reaktibong puwersa lamang. Dahil para sa maraming modernong jet engine , kung saan ang maximum na reaktibong puwersa na pinapayagan ng disenyo ng engine (thrust ng makina); - ang puwersa ng grabidad na kumikilos sa makina na matatagpuan sa ibabaw ng lupa. Yung. pinahihintulutan tayo ng nasa itaas na pabayaan ang bahagi sa equation ng Meshchersky at tanggapin ang equation na ito sa anyo para sa karagdagang pagsusuri: ,

Tukuyin natin:

Ang reserbang gasolina (para sa mga likidong jet engine - ang tuyong masa ng rocket (ang natitirang masa nito pagkatapos masunog ang lahat ng gasolina);

Ang masa ng mga particle na nahiwalay sa rocket; ay itinuturing bilang isang variable na halaga, na nag-iiba mula sa .

Isulat natin ang equation ng rectilinear motion ng isang punto ng variable na masa sa sumusunod na anyo:

Dahil ang formula para sa pagtukoy ng variable na masa ng isang rocket ay

Samakatuwid, ang mga equation ng paggalaw ng isang punto Ang pagkuha ng mga integral ng magkabilang panig ay nakukuha natin

saan- bilis ng katangian- ito ang bilis na nakukuha ng isang rocket sa ilalim ng impluwensya ng thrust pagkatapos na ang lahat ng mga particle ay sumabog mula sa rocket (para sa mga likidong jet engine - pagkatapos masunog ang lahat ng gasolina).

Inilagay sa labas ng integral sign (na maaaring gawin batay sa mean value theorem na kilala mula sa mas mataas na matematika) ay ang average na bilis ng mga particle na inilabas mula sa rocket.

at mekanikal na sistema

Ang momentum ng isang materyal na punto ay isang sukat ng vector ng mekanikal na paggalaw, katumbas ng produkto ng masa ng punto at ang bilis nito, . Ang yunit ng pagsukat ng momentum sa SI system ay
. Ang dami ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema ay katumbas ng kabuuan ng mga halaga ng paggalaw ng lahat ng mga materyal na punto na bumubuo sa sistema:

. (5.2)

Ibahin natin ang resultang formula

Ayon sa formula (4.2)
, Kaya naman

Kaya, ang momentum ng isang mekanikal na sistema ay katumbas ng produkto ng masa nito at ang bilis ng sentro ng masa:

. (5.3)

Dahil ang dami ng paggalaw ng isang sistema ay tinutukoy ng paggalaw ng isa lamang sa mga punto nito (ang sentro ng masa), hindi ito maaaring maging isang kumpletong katangian ng paggalaw ng sistema. Sa katunayan, para sa anumang paggalaw ng system, kapag ang sentro ng masa nito ay nananatiling nakatigil, ang momentum ng system ay zero. Halimbawa, ito ay nangyayari kapag ang isang matibay na katawan ay umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis na dumadaan sa gitna ng masa nito.

Ipakilala natin ang isang sistema ng sanggunian Cxyz, pagkakaroon ng pinagmulan nito sa gitna ng masa ng mekanikal na sistema SA at paglipat ng pagsasalin na may kaugnayan sa inertial system
(Larawan 5.1). Pagkatapos ay ang paggalaw ng bawat punto
maaaring ituring na kumplikado: portable na paggalaw kasama ng mga palakol Cxyz at paggalaw na may kaugnayan sa mga palakol na ito. Dahil sa progresibong paggalaw ng mga palakol Cxyz ang portable na bilis ng bawat punto ay katumbas ng bilis ng sentro ng masa ng system, at ang dami ng paggalaw ng system, na tinutukoy ng formula (5.3), ay nagpapakilala lamang sa translational portable na paggalaw nito.

5.3. Puwersa ng salpok

Upang makilala ang pagkilos ng isang puwersa sa isang tiyak na tagal ng panahon, isang dami na tinatawag salpok ng puwersa . Ang isang elementarya na salpok ng isang puwersa ay isang sukat ng vector ng pagkilos ng isang puwersa, katumbas ng produkto ng puwersa sa pamamagitan ng elementarya na pagitan ng oras ng pagkilos nito:

. (5.4)

Ang SI unit ng force impulse ay
, ibig sabihin. Ang mga sukat ng puwersa sa salpok at momentum ay pareho.

Puwersahin ang salpok sa isang takdang panahon
ay katumbas ng isang tiyak na integral ng elementarya na salpok:

. (5.5)

Ang salpok ng isang pare-parehong puwersa ay katumbas ng produkto ng puwersa at ang oras ng pagkilos nito:

. (5.6)

Sa pangkalahatan, ang puwersa ng salpok ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng mga projection nito sa mga coordinate axes:

. (5.7)

5.4. Teorama ng pagbabago ng momentum

materyal na punto

Sa pangunahing equation ng dynamics (1.2), ang masa ng isang materyal na punto ay isang pare-parehong dami, ang acceleration nito
, na ginagawang posible na isulat ang equation na ito sa anyo:

. (5.8)

Ang resultang relasyon ay nagpapahintulot sa amin na bumalangkas teorama sa pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto sa differential form: Ang derivative ng oras ng momentum ng isang materyal na punto ay katumbas ng geometric na kabuuan (pangunahing vector) ng mga puwersang kumikilos sa punto.

Ngayon ay nakuha natin ang integral form ng theorem na ito. Mula sa kaugnayan (5.8) ito ay sumusunod na

Isama natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa loob ng mga limitasyong naaayon sa mga sandali ng panahon At ,

. (5.9)

Ang mga integral sa kanang bahagi ay kumakatawan sa mga impulses ng mga puwersa na kumikilos sa punto, kaya pagkatapos pagsamahin ang kaliwang bahagi ay nakukuha natin

. (5.10)

Kaya ito ay napatunayan teorama sa pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto sa integral form: Ang pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga impulses ng mga puwersang kumikilos sa punto sa parehong yugto ng panahon.

Ang vector equation (5.10) ay tumutugma sa isang sistema ng tatlong equation sa mga projection papunta sa mga coordinate axes:

;

; (5.11)

Halimbawa 1. Ang katawan ay gumagalaw sa pagsasalin sa isang hilig na eroplano na bumubuo ng isang anggulo α sa abot-tanaw. Sa unang sandali ng oras ito ay may bilis , nakadirekta paitaas kasama ang isang hilig na eroplano (Larawan 5.2).

Pagkatapos ng anong oras ang bilis ng katawan ay magiging katumbas ng zero kung ang koepisyent ng friction ay katumbas ng f ?

Kunin natin ang isang katawan na gumagalaw sa pagsasalin bilang isang materyal na punto at isaalang-alang ang mga puwersang kumikilos dito. Ito ay gravity
, normal na reaksyon ng eroplano at puwersa ng alitan . Idirekta natin ang axis x kasama ang inclined plane paitaas at isulat ang 1st equation ng system (5.11)

nasaan ang mga projection ng dami ng paggalaw, at ang mga projection ng mga impulses ng pare-parehong pwersa
,At ay katumbas ng mga produkto ng mga projection ng pwersa at oras ng paggalaw:

Dahil ang acceleration ng katawan ay nakadirekta kasama ang inclined plane, ang kabuuan ng mga projection papunta sa axis y sa lahat ng pwersang kumikilos sa katawan ay katumbas ng zero:
, kung saan sinusundan iyon
. Hanapin natin ang friction force

at mula sa equation (5.12) nakukuha natin

mula sa kung saan natin tinutukoy ang oras ng paggalaw ng katawan