Mga elemento ng teorya ng mga determinant at matrice. Abstract: Teorya ng Matrices at Determinants

Ipadala ang iyong mabuting gawa sa base ng kaalaman ay simple. Gamitin ang form sa ibaba

Ang mga mag-aaral, nagtapos na mga mag-aaral, mga batang siyentipiko na gumagamit ng base ng kaalaman sa kanilang pag-aaral at trabaho ay lubos na magpapasalamat sa iyo.

Mga elemento ng determinant theory

Ang determinant ay isang numero na nakasulat sa anyo ng isang parisukat na talahanayan ng mga numero, na kinakalkula ayon sa ilang mga patakaran.

Halimbawa, ang bawat isa sa mga talahanayan (1.1) ay binubuo ng pantay na bilang ng mga row at column at kumakatawan sa isang numero, ang mga panuntunan sa pagkalkula kung saan tatalakayin sa ibaba.

Tinutukoy ng bilang ng mga row at column ang pagkakasunud-sunod ng determinant. Kaya, ang determinant 1.1a) ay nasa ikatlong order, ang determinant 1.1b) ay nasa pangalawang order, 1.1c) ay nasa unang order. Tulad ng makikita mo, ang unang-order na determinant ay ang numero mismo.

Ang mga tuwid na patayong bracket sa mga gilid ng talahanayan ay ang tanda at simbolo ng determinant. Ang determinant ba ay ipinahihiwatig ng malaking titik ng alpabetong Griyego? (delta).

Sa pangkalahatang anyo, ang determinant ng ika-na-order ay nakasulat tulad ng sumusunod:

Bawat elemento A ij ang determinant ay may dalawang index: ang unang index i ay nagpapahiwatig ng numero ng linya, pangalawa j- numero ng column sa intersection kung saan matatagpuan ang elemento. Kaya para sa determinant 1.1a) na mga elemento A 11 , A 22 , A 23 , A Ang 32 ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng 2, 5, 4, 3.

Ang determinant ng 2nd order ay kinakalkula gamit ang formula

Ang determinant ng 2nd order ay katumbas ng produkto ng mga elemento sa pangunahing dayagonal minus ang produkto ng mga elemento sa pangalawang dayagonal.

Upang kalkulahin ang determinant ng 3rd order, ang "paraan ng tatsulok" at ang paraan ng Sarrus ay ginagamit. Ngunit kadalasan sa pagsasanay, upang kalkulahin ang determinant ng 3rd order, ang tinatawag na paraan ng epektibong pagbabawas ng order ay ginagamit, na tatalakayin sa ibaba.

Paraan ng tatsulok

Kapag kinakalkula ang determinant gamit ang pamamaraang ito, maginhawang gamitin ang graphical na representasyon nito. Sa Fig. 1.1 at 1.2, ang mga elemento ng determinant ng 3rd order ay schematically na kinakatawan ng mga tuldok.

kanin. 1.1 Fig. 1.2

Kapag kinakalkula ang determinant, ang produkto ng mga elemento na konektado ng mga tuwid na linya ay sumusunod sa diagram sa Fig. 1.1, kumuha ng plus sign, at ang produkto ng mga elemento na konektado ayon sa diagram sa Fig. 1.2, kumuha ng minus sign. Bilang resulta ng mga pagkilos na ito, ang formula na ginamit para sa pagkalkula ay nasa anyo:

Kalkulahin ang determinant ng 3rd order.

Paraan ng Sarrus

Upang ipatupad ito, kailangan mong italaga ang unang dalawang hanay sa kanan ng determinant, buuin ang mga produkto ng mga elemento na matatagpuan sa pangunahing dayagonal at sa mga linya na kahanay nito, at kunin ang mga ito na may plus sign. Pagkatapos ay buuin ang mga produkto ng mga elemento na matatagpuan sa gilid na dayagonal at kahanay dito na may minus sign.

Scheme para sa pagkalkula ng determinant gamit ang pamamaraang Sarrus.

Kalkulahin ang determinant na ibinigay sa Halimbawa 1.2 gamit ang pamamaraang Sarrus.

Minor at algebraic complement ng determinant na elemento

menor de edad M ij elemento A ij ay tinatawag na determinant ( n-1) -ika-order na nakuha mula sa determinant n-ika-utos sa pamamagitan ng pag-cross out i-ika-linya at j ika-kolum (ibig sabihin, sa pamamagitan ng pagtawid sa row at column sa intersection kung saan matatagpuan ang elemento A ij).

Hanapin ang menor de edad ng mga elemento A 23 At A 34 determinant ng ika-4 na order.

Elemento A 23 ay nasa 2nd row at 3rd column. Sa halimbawang ito A 23 =4. Ang pagtawid sa 2nd row at 3rd column sa intersection ng elementong ito (ipinapakita para sa metodolohikal na mga layunin sa pamamagitan ng patayo at pahalang na mga tuldok na linya), nakuha namin ang menor na M 23 ng elementong ito. Ito ay magiging 3rd order determinant.

Kapag kinakalkula ang mga menor de edad, ang operasyon ng pagtawid sa isang hilera at haligi ay isinasagawa sa pag-iisip. Nang magawa ito, nakukuha namin

Algebraic na pandagdag A ij elemento A ij determinant n Ang ika-utos ay ang menor de edad ng elementong ito, na kinukuha gamit ang sign (-1) i + j, Saan i+ j- ang kabuuan ng mga numero ng row at column kung saan kabilang ang elemento A ij. Yung. a-prioryo A ij=(-1) i + jM ij

Ito ay malinaw na kung ang halaga i+ j- ang bilang ay pantay, kung gayon A ij=M ij, Kung i+ j- ang bilang ay kakaiba, kung gayon A ij= - M ij.

Para sa determinant, hanapin ang algebraic complements ng mga elemento A 23 At A 31 .

Para sa elemento A 23 i=2, j=3 at i+ j Ang =5 ay isang kakaibang numero, samakatuwid

Para sa elemento A 31 i=3, j=1 at i+ j=4 ay isang even na numero, ibig sabihin

Mga katangian ng mga determinant

1. Kung ang alinmang dalawang magkatulad na hanay (dalawang hanay o dalawang hanay) ay ipinagpalit sa determinant, ang tanda ng determinant ay nagbabago sa kabaligtaran

Magpalit ng 2 parallel na column (ika-1 at ika-2).

Magpalit ng 2 parallel na linya (ika-1 at ika-3).

2. Ang karaniwang salik ng mga elemento ng anumang row (row o column) ay maaaring alisin sa determinant sign.

Mga katangian ng isang determinant na katumbas ng zero

3. Kung ang lahat ng elemento ng isang tiyak na serye sa isang determinant ay katumbas ng zero, ang naturang determinant ay katumbas ng zero.

4. Kung sa isang determinant ang mga elemento ng anumang serye ay proporsyonal sa mga elemento ng isang parallel series, ang determinant ay katumbas ng zero.

Mga katangian ng invariance (immutability) ng determinant.

5. Kung ang mga row at column sa determinant ay pinagpalit, ang determinant ay hindi magbabago.

6. Ang determinant ay hindi magbabago kung ang mga elemento ng anumang parallel na serye ay idinagdag sa mga elemento ng anumang serye, unang i-multiply sa isang tiyak na numero.

Ang Property 6 ay malawakang ginagamit sa pagkalkula ng mga determinant gamit ang tinatawag na mabisang paraan ng pagbabawas ng order. Kapag inilalapat ang pamamaraang ito, kinakailangang dalhin ang lahat ng mga elemento maliban sa isa hanggang zero sa isang hilera (isang hilera o haligi). Ang isang di-zero na elemento ng determinant ay magiging katumbas ng zero kung ito ay idinagdag sa isang bilang ng pantay na magnitude ngunit kabaligtaran ng tanda.

Ipakita natin sa isang halimbawa kung paano ito ginagawa.

Gamit ang mga katangian 2 at 6, bawasan ang determinant sa isang determinant na mayroong dalawang zero sa anumang row.

Gamit ang property 2, pinapasimple namin ang determinant sa pamamagitan ng pag-alis ng 2 mula sa 1st row, 4 mula sa 2nd row at 2 mula sa 3rd row bilang mga common factor.

kasi elemento A 22 ay katumbas ng zero, pagkatapos ay upang malutas ang problema ito ay sapat na upang bawasan ang anumang elemento sa ika-2 hilera o ika-2 haligi sa zero. Mayroong ilang mga paraan upang gawin ito.

Halimbawa, kunin natin ang elemento A 21 =2 hanggang zero. Upang gawin ito, batay sa property 6, i-multiply ang buong ikatlong column sa (-2) at idagdag ito sa una. Nang maisagawa ang operasyong ito, nakukuha namin

Posibleng null ang isang elemento A 12 =2, pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang elemento na katumbas ng zero sa ikalawang hanay. Upang gawin ito, kailangan mong i-multiply ang ika-3 linya sa pamamagitan ng (-2) at idagdag ang mga resultang halaga sa unang linya

Pagkalkula ng determinant ng anumang pagkakasunud-sunod

Ang panuntunan para sa pagkalkula ng determinant ng anumang pagkakasunud-sunod ay batay sa teorem ni Laplace.

Ang teorama ni Laplace

Ang determinant ay katumbas ng kabuuan ng mga pairwise na produkto ng mga elemento ng anumang row (row o column) sa pamamagitan ng kanilang mga algebraic complements.

Ayon sa theorem na ito, ang determinant ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng pagbubulok nito alinman sa ibabaw ng mga elemento ng anumang hilera o anumang column.

Sa pangkalahatan, ang determinant ng nth order ay maaaring palawakin at kalkulahin sa mga sumusunod na paraan:

Kalkulahin ang determinant gamit ang Laplace's theorem sa pamamagitan ng pag-decompose nito sa mga elemento ng 3rd row at mga elemento ng 1st column.

Kinakalkula namin ang determinant sa pamamagitan ng pagpapalawak nito sa ika-3 linya

Kalkulahin natin ang determinant sa pamamagitan ng pagpapalawak nito sa unang column

Epektibong paraan ng pagbabawas ng order

Ang pagiging kumplikado ng pagkalkula ng determinant gamit ang teorem ni Laplace ay magiging makabuluhang mas mababa kung mayroon lamang isang termino sa pagpapalawak nito alinman sa isang hilera o sa isang haligi. Ang ganitong pagpapalawak ay makukuha kung sa row (o column) kung saan pinalawak ang determinant, lahat ng elemento maliban sa isa ay katumbas ng zero. Ang paraan ng "zeroing" sa mga elemento ng determinant ay tinalakay kanina.

Kalkulahin ang determinant gamit ang epektibong paraan ng pagbabawas ng order.

kasi determinant ng 3rd order, pagkatapos ay "zero" namin ang anumang 2 elemento ng determinant. Maginhawa para sa layuning ito na kunin ang ika-2 haligi, ang elemento kung saan A 22 = - 1. Upang ang elemento A 21 ay katumbas ng zero, ang 1st column ay dapat idagdag sa 2nd. Upang ang elemento A 23 ay katumbas ng zero, kailangan mong i-multiply ang 2nd column sa 2 at idagdag ito sa ika-3. Pagkatapos isagawa ang mga operasyong ito, ang ibinigay na determinant ay na-convert sa determinant

Ngayon, pinalawak namin ang determinant na ito sa ika-2 linya

Pagkalkula ng determinantgupitin ito sa isang tatsulok na hugis

Ang determinant kung saan ang lahat ng elemento sa itaas o ibaba ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero ay tinatawag na triangular determinant. Sa kasong ito, ang determinant ay katumbas ng produkto ng mga elemento nito ng pangunahing dayagonal.

Ang pagbabawas ng determinant sa triangular na anyo ay palaging posible batay sa mga katangian nito.

Ang isang determinant ay ibinigay. Bawasan ito sa triangular form at kalkulahin.

Let's "zero out", halimbawa, ang lahat ng mga elemento na matatagpuan sa itaas ng pangunahing dayagonal. Upang gawin ito, kailangan mong magsagawa ng tatlong operasyon: 1st operation - idagdag ang unang linya kasama ang huli, nakukuha namin A 13 = 0. 2nd operation - pagpaparami ng huling linya sa pamamagitan ng (-2) at pagdaragdag sa ika-2, nakukuha natin A 23 = 0. Ang sunud-sunod na pagsasagawa ng mga operasyong ito ay ipinapakita sa ibaba.

Upang i-reset ang isang elemento A 12 idagdag ang 1st at 2nd lines

Mga elemento ng teorya ng matrix

Ang matrix ay isang talahanayan ng mga numero o anumang iba pang elementong naglalaman m mga linya at n mga hanay.

Pangkalahatang view ng matrix

Ang matrix, tulad ng determinant, ay may mga elementong nilagyan ng double index. Ang kahulugan ng mga indeks ay kapareho ng para sa mga determinant.

Kung ang determinant ay katumbas ng isang numero, kung gayon ang matrix ay hindi katumbas ng anumang iba pang mas simpleng bagay.

Ang mga panaklong sa mga gilid ng matrix ay ang tanda o simbolo nito (ngunit hindi ang mga tuwid na bracket na tumutukoy sa determinant). Para sa kaiklian, ang matrix ay tinutukoy ng malalaking titik A, B, C atbp.

Ang isang matrix ay may sukat na tinutukoy ng bilang ng mga row at column nito, na isinusulat bilang - A m n.

Halimbawa, ang isang numeric na matrix na may sukat na 23 ay may anyo, ang laki ng 31 ay may anyo, ang laki ng 14 ay may anyo, atbp.

Ang isang matrix kung saan ang bilang ng mga hilera ay katumbas ng bilang ng mga haligi ay tinatawag na parisukat. Sa kasong ito, tulad ng para sa mga determinant, pinag-uusapan natin ang pagkakasunud-sunod ng matrix.

Halimbawa, may form ang isang 3rd order numerical matrix

Mga uri ng matrice

Ang isang matrix na binubuo ng isang row ay tinatawag na row matrix

Ang isang matrix na binubuo ng isang column ay tinatawag na column matrix

Ang matrix ay tinatawag na parisukat n-ika-order kung ang bilang ng mga row nito ay katumbas ng bilang ng mga column at katumbas ng n.

Halimbawa, isang parisukat na matrix ng 3rd order.

Ang diagonal matrix ay isang square matrix kung saan ang lahat ng elemento ay zero maliban sa mga nasa pangunahing dayagonal. Ang pangunahing dayagonal ay ang dayagonal na tumatakbo mula sa kaliwang sulok sa itaas hanggang sa kanang sulok sa ibaba.

Halimbawa, isang third-order diagonal matrix.

Ang isang dayagonal matrix, lahat ng mga elemento ay katumbas ng isa, ay tinatawag na pagkakakilanlan at tinutukoy ng titik E o numero 1

Ang null matrix ay isang matrix kung saan ang lahat ng mga elemento ay katumbas ng zero.

Ang upper triangular matrix ay isang matrix kung saan ang lahat ng elemento na matatagpuan sa ibaba ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero.

Ang isang mas mababang triangular matrix ay isang matrix kung saan ang lahat ng mga elemento na matatagpuan sa itaas ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero.

Halimbawa

Upper triangular matrix

Mas mababang triangular matrix

Kung sa matrix A magpalit ng mga hilera gamit ang mga column, nakakakuha tayo ng isang transposed matrix, na tinutukoy ng simbolo A*.

Halimbawa, binigyan ng isang matrix,

matrix transposed na may paggalang dito A*

Square matrix A ay may determinant, na tinutukoy ng det A(Ang det ay isang pinaikling salitang Pranses para sa "determiner").

Halimbawa, para sa matrix A

isulat namin ang determinant nito

Ang lahat ng mga operasyon na may determinant ng isang matrix ay pareho sa tinalakay kanina.

Ang isang matrix na ang determinant ay katumbas ng zero ay tinatawag na espesyal, o degenerate, o isahan. Ang isang matrix kung saan ang determinant nito ay hindi katumbas ng zero ay tinatawag na non-singular o non-singular.

Union o annexed matrix.

Kung para sa isang ibinigay na square matrix A tukuyin ang algebraic complements ng lahat ng mga elemento nito at pagkatapos ay i-transpose ang mga ito, pagkatapos ang matrix na nakuha ay tatawaging allied o adjoint sa matrix A at ipinahihiwatig ng simbolo A

Para sa paghahanap ng matrix A.

Pag-compile ng determinant ng matrix A

Tinutukoy namin ang algebraic complements ng lahat ng elemento ng determinant gamit ang formula

Kapag inilipat ang mga resultang algebraic na pagdaragdag, nakuha namin ang allied o adjoint matrix A kaugnay ng isang ibinigay na matrix A.

Mga aksyon sa matrice

Pagkakapantay-pantay ng matrix

Dalawang matrice A At SA ay itinuturing na pantay kung:

a) pareho silang may sukat;

b) ang mga kaukulang elemento ng mga matrice na ito ay katumbas ng bawat isa. Ang mga kaukulang elemento ay mga elemento na may parehong mga indeks.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga matrice

Maaari ka lamang magdagdag at magbawas ng mga matrice ng parehong dimensyon. Ang kabuuan (pagkakaiba) ng dalawang matrice A At SA magkakaroon ng ikatlong matrix SA, na ang mga elemento SA ij katumbas ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga kaukulang elemento ng matrix A At SA. Ayon sa kahulugan, mga elemento ng matrix SA ay ayon sa tuntunin.

Halimbawa, kung

Ang konsepto ng isang kabuuan (pagkakaiba) ng mga matrice ay umaabot sa anumang may hangganang bilang ng mga matrice. Sa kasong ito, ang kabuuan ng mga matrice ay sumusunod sa mga sumusunod na batas:

a) commutative A + B = B + A;

b) nag-uugnay SA + (A + B) = (B + C)+ A.

Pagpaparami ng matrix sa isang numero.

Upang i-multiply ang isang matrix sa isang numero, kailangan mong i-multiply ang bawat elemento ng matrix sa numerong iyon.

Bunga. Ang karaniwang kadahilanan ng lahat ng mga elemento ng matrix ay maaaring alisin sa tanda ng matrix.

Halimbawa, .

Tulad ng nakikita mo, ang mga aksyon ng pagdaragdag, pagbabawas ng mga matrice, at pag-multiply ng isang matrix sa isang numero ay katulad ng mga aksyon sa mga numero. Ang pagpaparami ng matrix ay isang partikular na operasyon.

Produkto ng dalawang matrice.

Hindi lahat ng matrice ay maaaring i-multiply. Produkto ng dalawang matrice A At SA sa nakalistang pagkakasunud-sunod A SA posible lamang kapag ang bilang ng mga haligi ng unang kadahilanan A katumbas ng bilang ng mga hilera ng pangalawang salik SA.

Halimbawa, .

Laki ng matrix A 33, laki ng matrix SA 23. Trabaho A SA imposible, trabaho SA A Siguro.

Ang produkto ng dalawang matrice A at B ay ang ikatlong matrix C, ang elementong C ij na kung saan ay katumbas ng kabuuan ng pairwise na produkto ng mga elemento ng i-th row ng unang factor at ang j-th column ng pangalawang salik.

Ipinakita na sa kasong ito ang produkto ng mga matrice ay posible SA A

Mula sa panuntunan ng pagkakaroon ng produkto ng dalawang matrice ay sumusunod na ang produkto ng dalawang matrice sa pangkalahatang kaso ay hindi sumusunod sa commutative law, i.e. A SA? SA A. Kung sa isang partikular na kaso ito ay lumalabas na A B = B A, kung gayon ang mga naturang matrice ay tinatawag na permutable o commutative.

Sa matrix algebra, ang produkto ng dalawang matrice ay maaaring maging zero matrix kahit na wala sa mga factor matrice ay zero, salungat sa ordinaryong algebra.

Halimbawa, hanapin natin ang produkto ng mga matrice A SA, Kung

Maaari mong i-multiply ang maramihang mga matrice. Kung maaari mong i-multiply ang mga matrice A, SA at ang produkto ng mga matrice na ito ay maaaring i-multiply sa matrix SA, pagkatapos ay posible na buuin ang produkto ( A SA) SA At A(SA SA). Sa kasong ito, nagaganap ang kumbinasyonal na batas tungkol sa pagpaparami ( A SA) SA = A(SA SA).

baligtad na matris

Kung dalawang matrice A At SA ang parehong laki, at ang kanilang produkto A SA ay ang identity matrix E, pagkatapos ay ang matrix B ay tinatawag na kabaligtaran ng A at denoted A -1 , ibig sabihin. A A -1 = E.

baligtad na matris A -1 katumbas ng ratio ng matris ng unyon A sa determinant ng matrix A

Mula dito ay malinaw na upang umiral ang inverse matrix A -1 ito ay kinakailangan at sapat na ang matrix det A? 0, ibig sabihin, upang ang matrix A ay hindi degenerate.

Para sa paghahanap ng matrix A -1 .

Pagtukoy sa halaga ng determinant ng matrix A

kasi det A? 0, ang inverse matrix ay umiiral. Sa halimbawa 2.1. para sa isang naibigay na determinant ang allied matrix ay natagpuan

A-priory

Ranggo ng matrix

Para sa paglutas at pag-aaral ng ilang mga problema sa matematika at inilapat, ang konsepto ng ranggo ng matrix ay mahalaga.

Isaalang-alang ang matrix A laki m n

Pumili nang random sa matrix Ak mga linya at k mga hanay. Ang mga elementong matatagpuan sa intersection ng mga napiling row at column ay bumubuo ng square matrix k-ng utos na iyon. Ang determinant ng matrix na ito ay tinatawag na minor k-order ng matrix A. Piliin k mga linya at k maaaring gamitin ang mga column sa iba't ibang paraan, na nagreresulta sa iba't ibang menor de edad k-ng utos na iyon. Ang 1st order minors ay ang mga elemento mismo. Malinaw, ang pinakamalaking posibleng pagkakasunud-sunod ng mga menor de edad ay katumbas ng pinakamaliit sa mga numero m At n. Sa mga nabuong menor de edad ng iba't ibang mga order ay magkakaroon ng mga katumbas ng zero at hindi katumbas ng zero.

Pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng mga nonzero matrix na menor de edad A ay tinatawag na ranggo ng matris.

Ranggo ng matrix A tinutukoy ng ranggo A o r( A).

Kung ang ranggo ng matrix A katumbas r, nangangahulugan ito na ang matrix ay may non-zero minor of order r, ngunit ang bawat menor de edad ay may mas malaking pagkakasunud-sunod kaysa r katumbas ng zero.

Mula sa kahulugan ng ranggo ng matrix ay sumusunod na:

a) ranggo ng matrix A m n ay hindi lalampas sa mas maliit sa mga sukat nito, i.e. r(A) ? min(m, n);

b) r(A) = 0 kung at kung ang lahat ng elemento ng matrix ay katumbas ng zero, i.e. A = 0;

c) para sa isang square matrix n-ika-utos r(A) = n, kung ang matrix ay hindi isahan.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagtukoy ng ranggo ng isang matrix gamit ang paraan ng hangganan ng mga menor de edad. Ang kakanyahan nito ay nakasalalay sa sunud-sunod na pag-enumerate ng mga menor de edad ng matrix at paghahanap ng pinakamataas na pagkakasunud-sunod na hindi zero minor.

Kalkulahin ang ranggo ng matrix.

Para sa matrix A 3 4 r(A) ? min (3,4) = 3. Suriin natin kung ang ranggo ng matrix ay katumbas ng 3, kalkulahin namin ang lahat ng mga third-order na menor de edad (mayroong 4 lamang sa kanila, nakuha sila sa pamamagitan ng pagtanggal ng isa; ng mga haligi ng matrix).

Dahil zero ang lahat ng third order minors, r(A) ? 2. Dahil mayroong zero minor ng pangalawang order, halimbawa

yun r(A) = 2.

Anumang non-zero minor ng isang matrix na ang pagkakasunud-sunod ay katumbas ng ranggo nito ay tinatawag na batayang minor ng matrix na ito.

Ang isang matrix ay maaaring magkaroon ng higit sa isang batayang minor, ngunit marami. Gayunpaman, ang mga order ng lahat ng batayang menor de edad ay pareho at katumbas ng ranggo ng matrix.

Ang mga row at column na bumubuo ng isang batayang minor ay tinatawag na batayan.

Ang bawat row (column) ng isang matrix ay isang linear na kumbinasyon ng mga base row (columns).

Mga katulad na dokumento

Ang konsepto at kakanyahan ng mga determinant ng pangalawang-order. Pagsasaalang-alang sa mga pangunahing kaalaman ng isang sistema ng dalawang linear na equation sa dalawang hindi alam. Pag-aaral ng nth order determinants at mga paraan ng kanilang pagkalkula. Mga tampok ng isang sistema ng n linear equation na may n hindi alam.

pagtatanghal, idinagdag noong 11/14/2014


Determinants ng ikalawa at ikatlong order. Mga permutasyon at pagpapalit. Mga menor de edad at algebraic na pandagdag. Paglalapat ng mga pamamaraan para sa pagbabawas ng determinant sa triangular na anyo, na kumakatawan sa determinant bilang kabuuan ng mga determinant, at paghihiwalay ng mga linear na salik.

course work, idinagdag noong 07/19/2013


Ang konsepto ng isang matrix at mga linear na aksyon sa kanila. Mga katangian ng operasyon ng pagdaragdag ng matrix. Determinants ng ikalawa at ikatlong order. Paglalapat ng pamumuno ni Sarrus. Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga determinant. Mga pagbabago sa elementarya na matrix. Mga katangian ng isang inverse matrix.

tutorial, idinagdag noong 03/04/2010


Mga problema at pamamaraan ng linear algebra. Mga katangian ng mga determinant at ang pagkakasunud-sunod ng kanilang pagkalkula. Paghahanap ng inverse matrix gamit ang Gaussian method. Pagbuo ng computational algorithm sa Pascal ABC program para sa pagkalkula ng mga determinant at paghahanap ng inverse matrix.

course work, idinagdag 02/01/2013


Ang konsepto at layunin ng mga determinant, ang kanilang mga pangkalahatang katangian, mga pamamaraan ng pagkalkula at mga katangian. Matrix algebra. Mga sistema ng linear equation at ang kanilang solusyon. Vector algebra, mga batas at prinsipyo nito. Mga katangian at aplikasyon ng isang cross product.

pagsubok, idinagdag noong 01/04/2012


Mga elemento ng linear algebra. Mga uri ng matrice at mga operasyon sa kanila. Mga katangian ng matrix determinants at ang kanilang pagkalkula. Paglutas ng mga sistema ng mga linear equation sa anyong matrix gamit ang mga formula ng Cramer at ang pamamaraan ni Gauss. Mga elemento ng differential at integral calculus.

tutorial, idinagdag noong 11/06/2011


Isang numero na nagpapakilala sa isang parisukat na matrix. Pagkalkula ng determinant ng una at pangalawang order ng isang matrix. Gamit ang panuntunang tatsulok. Algebraic complement ng ilang elemento ng determinant. Muling pagsasaayos ng dalawang row o column ng isang determinant.

pagtatanghal, idinagdag noong 09/21/2013


Ang konsepto ng ranggo ng matrix. Modelo ng Leontief ng isang sari-saring ekonomiya. Mga katangian ng produktong scalar. Decomposition ng isang vector kasama ang mga coordinate axes. Minor at algebraic na pandagdag. Determinants ng ikalawa at ikatlong order. Eroplano at tuwid na linya sa kalawakan.

kurso ng mga lektura, idinagdag 10/30/2013


Ang teorya ng mga determinant sa mga gawa ni P. Laplace, O. Cauchy at C. Jacobi. Second-order determinants at system ng dalawang linear equation sa dalawang hindi alam. Third-order determinants at katangian ng determinants. Paglutas ng isang sistema ng mga equation gamit ang panuntunan ng Cramer.

pagtatanghal, idinagdag noong 10/31/2016


Mga determinant ng pangalawa at pangatlong order, mga katangian ng mga determinant. Dalawang paraan upang makalkula ang pangatlong-order na determinant. Decomposition theorem. Cramer's theorem, na nagbibigay ng praktikal na paraan upang malutas ang mga sistema ng mga linear equation gamit ang mga determinant.

Determinants ng ikalawa at ikatlong order.

Tinatawag ang mga numerong m at n mga sukat matrice.

Ang matrix ay tinatawag parisukat, kung m = n. Ang numero n sa kasong ito ay tinatawag sa ayos parisukat na matris.

Ang bawat square matrix ay maaaring iugnay sa isang numero na natatanging tinutukoy gamit ang lahat ng elemento ng matrix. Ang numerong ito ay tinatawag na determinant.

Determinant ng pangalawang order ay isang numerong nakuha gamit ang mga elemento ng isang 2nd order square matrix gaya ng sumusunod: .

Sa kasong ito, mula sa produkto ng mga elemento na matatagpuan sa tinatawag na pangunahing dayagonal ng matrix (mula sa itaas na kaliwa hanggang sa ibabang kanang sulok), ang produkto ng mga elemento na matatagpuan sa pangalawa, o pangalawa, diagonal ay ibinabawas. .

Ikatlong pagkakasunud-sunod na determinant ay isang numerong tinutukoy gamit ang mga elemento ng isang 3rd order square matrix gaya ng sumusunod:

Magkomento. Para mas madaling matandaan ang formula na ito, maaari mong gamitin ang tinatawag na Cramer rule (ng triangles). Ito ay ang mga sumusunod: ang mga elemento na ang mga produkto ay kasama sa determinant na may "+" sign ay nakaayos tulad ng sumusunod:

Bumubuo ng dalawang tatsulok, simetriko tungkol sa pangunahing dayagonal. Ang mga elemento na ang mga produkto ay kasama sa determinant na may "-" sign ay matatagpuan sa katulad na paraan na nauugnay sa pangalawang dayagonal:

14. Determinants ng ika-utos. (mga mas mataas na determinant ng order)

Determinant n ika-utos na naaayon sa matris n'n, ang numero ay tinatawag na:

Mga pangunahing pamamaraan para sa pagkalkula ng mga determinant:

1) Paraan ng Pagbawas ng Order Ang determinant ay batay sa relasyon: (1)

saan ay tinatawag na algebraic complement ng ika elemento. menor de edad ang ika elemento ay tinatawag na determinant n-1 order, nakuha mula sa orihinal na determinant sa pamamagitan ng pagtanggal i-linya na iyon at j ika-kolum.

Ang kaugnayan (1) ay tinatawag na pagpapalawak ng determinant sa i-linya na yan. Katulad nito, maaari nating isulat ang pagpapalawak ng determinant sa isang hanay:

Teorama: Para sa anumang square matrix ang pagkakapantay-pantay ay hawak ,

kung saan at ang simbolo ng Kronecker

2) Paraan ng pagbabawas sa anyo ng tatsulok batay sa ikapitong pag-aari ng mga determinant.

Halimbawa: Kalkulahin ang determinant: Ibawas ang unang linya sa lahat ng iba pa.

3) Paraan ng ugnayan ng pag-uulit nagbibigay-daan sa isa na ipahayag ang isang ibinigay na determinant sa pamamagitan ng isang determinant ng parehong uri, ngunit ng isang mas mababang pagkakasunud-sunod.

Mga permutasyon, pagbabaligtad.

Anumang pagsasaayos ng mga numero 1, 2, ..., n sa ilang partikular na pagkakasunud-sunod, tinatawag muling pagsasaayos mula sa n mga character (mga numero).

Pangkalahatang view ng permutation: .

Wala sa mga ito ang nangyayari nang dalawang beses sa isang permutation.

Ang permutation ay tinatawag kahit , kung ang mga elemento nito ay bumubuo ng pantay na bilang ng mga inversion, at kakaiba kung hindi.

Ang mga numerong k at p sa permutasyon ay pagbabaligtad (disorder), kung k > p, ngunit ang k ay nauuna sa p sa permutasyong ito.

Tatlong katangian ng mga permutasyon.

Ari-arian 1: Ang bilang ng iba't ibang permutasyon ay katumbas ng ( , ay nagbabasa ng: “ n factorial").

Patunay. Ang bilang ng mga permutasyon ay tumutugma sa bilang ng mga paraan kung saan maaaring buuin ang iba't ibang mga permutasyon. Kapag bumubuo ng mga permutasyon bilang j 1 maaari mong kunin ang alinman sa mga numero 1, 2, ..., n, kung ano ang nagbibigay n pagkakataon. Kung j 1 ay napili na, pagkatapos ay bilang j 2 maaari mong kunin ang isa sa mga natitira n– 1 numero, at ang bilang ng mga paraan na maaari mong piliin j 1 at j 2 ay magiging pantay, atbp. Ang huling numero sa permutation ay maaari lamang piliin sa isang paraan, na nagbibigay mga paraan, at samakatuwid ay mga permutasyon.

Ari-arian 2: Binabago ng bawat transposisyon ang parity ng permutation.

Patunay.Kaso 1. Ang mga numerong inilipat ay inilalagay nang magkatabi sa isang permutasyon, i.e. parang (..., k,p, ...), dito ang ellipsis (...) ay nagmamarka ng mga numero na nananatili sa kanilang mga lugar sa panahon ng transposisyon. Ginagawa ito ng transposisyon sa isang permutasyon ng anyo (..., p, k,...). Sa mga permutasyong ito, ang bawat isa sa mga numero k,R gumagawa ng parehong pagbabaligtad sa mga numerong natitira sa lugar. Kung ang mga numero k At p ay hindi pa nag-compile ng mga inversion (i.e. k < R), pagkatapos ay lilitaw ang isa pang inversion sa bagong permutation at ang bilang ng mga inversion ay tataas ng isa; kung k At R bumubuo ng isang pagbabaligtad, pagkatapos pagkatapos ng transposisyon ang bilang ng mga inversion ay bababa ng isa. Sa anumang kaso, nagbabago ang parity ng permutation.

Ari-arian 3: Kapag muling inayos, nagbabago ang tanda ng determinant.

17. Mga katangian ng mga determinant: determinant ng isang transposed matrix, pagpapalit ng mga row sa determinant, determinant ng isang matrix na may magkaparehong mga row.

Ari-arian 1. Ang determinant ay hindi nagbabago sa panahon ng transposisyon, i.e.

Patunay.

Magkomento. Ang mga sumusunod na katangian ng mga determinant ay bubuuin lamang para sa mga string. Higit pa rito, mula sa property 1 ito ay sumusunod na ang mga column ay magkakaroon ng parehong mga katangian.

Ari-arian 6. Kapag muling inaayos ang dalawang hanay ng isang determinant, ito ay pinarami ng –1.

Patunay.

Ari-arian 4. Ang determinant na mayroong dalawang pantay na string ay 0:

Patunay:

18. Mga katangian ng mga determinant: agnas ng isang determinant sa isang string.

menor de edad Ang elemento ng isang determinant ay isang determinant na nakuha mula sa isang ibinigay na elemento sa pamamagitan ng pagtawid sa row at column kung saan lumalabas ang napiling elemento.

Pagtatalaga: ang napiling elemento ng determinant, ang minor nito.

Halimbawa. Para sa

Algebraic na pandagdag Ang elemento ng determinant ay tinatawag na minor nito kung ang kabuuan ng mga indeks ng elementong ito na i+j ay isang even na numero, o ang bilang na kabaligtaran ng minor kung ang i+j ay kakaiba, i.e.

Isaalang-alang natin ang isa pang paraan upang makalkula ang mga determinant ng third-order - ang tinatawag na pagpapalawak ng row o column. Upang gawin ito, patunayan namin ang sumusunod na teorama:

Teorama: Ang determinant ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng alinman sa mga hilera o column nito at ang kanilang mga algebraic complement, ibig sabihin.: kung saan i=1,2,3.

Patunay.

Patunayan natin ang theorem para sa unang hilera ng determinant, dahil para sa anumang iba pang hilera o haligi maaari tayong magsagawa ng katulad na pangangatwiran at makakuha ng parehong resulta.

Maghanap tayo ng mga algebraic na pandagdag sa mga elemento ng unang hilera:

Mapapatunayan mo mismo ang ari-arian na ito sa pamamagitan ng paghahambing ng mga halaga ng kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na natagpuan gamit ang Definition 1.5.

Sekondaryang paaralan Blg. 45.

lungsod ng Moscow.

Mag-aaral ng ika-10 baitang "B" Gorokhov Evgeniy

Takdang-aralin (draft).

Panimula sa teorya ng matrices at determinants .

1996

1. Matrices.

1.1 Ang konsepto ng isang matrix.

Matrix ay isang hugis-parihaba na talahanayan ng mga numero na naglalaman ng isang tiyak na dami m linya at isang tiyak na numero n mga hanay. Numero m At n ay tinatawag mga order matrice. Kung m = n , ang matrix ay tinatawag na parisukat, at ang numero m = n - kanya sa ayos .

1.2 Mga pangunahing operasyon sa mga matrice.

Ang mga pangunahing operasyon ng arithmetic sa mga matrice ay ang pagpaparami ng isang matrix sa isang numero, pagdaragdag at pagpaparami ng mga matrice.

Magpatuloy tayo sa pagtukoy sa mga pangunahing operasyon sa mga matrice.

Pagdaragdag ng matrix : Ang kabuuan ng dalawang matrice, halimbawa: A At B , pagkakaroon ng parehong bilang ng mga row at column, sa madaling salita, ang parehong mga order m At n tinatawag na matrix C = ( SA ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) ang parehong mga order m At n , mga elemento Cij na pantay-pantay.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) ( 1.2 )

Upang tukuyin ang kabuuan ng dalawang matrice, ginagamit ang notasyon C = A + B. Ang operasyon ng summing matrices ay tinatawag na kanilang karagdagan

Kaya ayon sa kahulugan mayroon kaming:

+ =

=

Mula sa kahulugan ng kabuuan ng mga matrice, o mas tiyak mula sa formula ( 1.2 ) agad itong sumusunod na ang operasyon ng pagdaragdag ng mga matrice ay may parehong mga katangian tulad ng pagpapatakbo ng pagdaragdag ng mga tunay na numero, katulad:

commutative property: A + B = B + A

pinagsasama ang ari-arian: (A + B) + C = A + (B + C)

Ginagawang posible ng mga katangiang ito na huwag mag-alala tungkol sa pagkakasunud-sunod ng mga termino ng matrix kapag nagdaragdag ng dalawa o higit pang mga matrice.

Pagpaparami ng matrix sa isang numero :

Produkto ng matrix sa totoong numero tinatawag na matrix C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , na ang mga elemento ay pantay

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). ( 1.3 )

Upang tukuyin ang produkto ng isang matrix at isang numero, ginagamit ang notasyon C= A o C=A . Ang operasyon ng pagbubuo ng produkto ng isang matrix sa pamamagitan ng isang numero ay tinatawag na multiply ng matrix sa numerong ito.

Direkta mula sa formula ( 1.3 ) malinaw na ang pagpaparami ng isang matrix sa isang numero ay may mga sumusunod na katangian:

distributive property tungkol sa kabuuan ng mga matrice:

( A + B) = A+ B

nag-uugnay na pag-aari patungkol sa isang numerical factor:

( ) A= ( A)

distributive property tungkol sa kabuuan ng mga numero:

( + ) A= A + A .

Magkomento : Pagkakaiba ng dalawang matrice A At B ng magkatulad na mga order ay natural na tawagan ang gayong matris C ng parehong mga order, na kung saan kasama ang matrix B nagbibigay ng matris A . Upang tukuyin ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang matrice, isang natural na notasyon ang ginagamit: C = A – B.

Pagpaparami ng matris :

Produkto ng matrix A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , pagkakaroon ng mga order ayon sa pagkakapantay-pantay m At n , bawat matrix B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , pagkakaroon ng mga order ayon sa pagkakapantay-pantay n At p , ay tinatawag na matrix C= (SA ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , pagkakaroon ng mga order na katumbas ng katumbas m At p , at mga elemento Cij , tinukoy ng formula

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) ( 1.4 )

Upang tukuyin ang produkto ng isang matrix A sa matrix B gumamit ng recording

C=AB . Ang operasyon ng pagbuo ng isang matrix na produkto A sa matrix B tinawag pagpaparami mga matrice na ito. Mula sa depinisyon na binalangkas sa itaas ay sumusunod na matris A hindi maaaring i-multiply sa anumang matrix B : ito ay kinakailangan na ang bilang ng mga haligi ng matrix A ay katumbas bilang ng mga hilera ng matrix B . Para sa parehong mga gawa AB At B.A. ay hindi lamang tinukoy, ngunit nagkaroon din ng parehong pagkakasunud-sunod, ito ay kinakailangan at sapat na ang parehong matrices A At B ay mga parisukat na matrice ng parehong pagkakasunud-sunod.

Formula ( 1.4 ) ay kumakatawan sa panuntunan para sa pagbuo ng mga elemento ng matrix C ,

na produkto ng matris A sa matrix B . Ang panuntunang ito ay maaaring mabalangkas sa salita: Elemento Cij , nakatayo sa intersection i ika linya at j- ika-matrix na hanay C=AB , ay pantay ang kabuuan ng magkapares na mga produkto ng mga kaukulang elemento i ika linya matrice A At j- ika-matrix na hanay B . Bilang isang halimbawa ng aplikasyon ng panuntunang ito, ipinakita namin ang formula para sa pagpaparami ng mga square matrice ng pangalawang pagkakasunud-sunod

=

Mula sa formula ( 1.4 ) sumusunod ang mga sumusunod na katangian ng produkto ng matrix: A sa matrix B :

nag-uugnay na ari-arian: ( AB) C = A(BC);

distributive property na may kinalaman sa kabuuan ng mga matrice:

(A + B) C = AC + BC o A (B + C) = AB + AC.

Makatuwirang itaas ang tanong ng permutation property ng isang produkto ng mga matrice para lamang sa mga square matrice ng parehong pagkakasunud-sunod. Ang mga halimbawa sa elementarya ay nagpapakita na Ang mga produkto ng dalawang parisukat na matrice ng parehong pagkakasunud-sunod ay hindi, sa pangkalahatan, ay may commutation property. Sa katunayan, kung ilalagay natin

A= , B = , yun AB = , A BA =

Ang parehong mga matrice kung saan ang produkto ay may commutation property ay karaniwang tinatawag nagko-commute.

Sa mga square matrice, itinatampok namin ang klase ng tinatawag na dayagonal matrice, bawat isa ay may mga elemento na matatagpuan sa labas ng pangunahing dayagonal na katumbas ng zero. Sa lahat ng mga diagonal na matrice na may magkakatulad na elemento sa pangunahing dayagonal, dalawang matrice ang gumaganap ng isang partikular na mahalagang papel. Ang una sa mga matrice na ito ay nakukuha kapag ang lahat ng elemento ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng isa, at tinatawag na identity matrix. n- E . Ang pangalawang matrix ay nakuha kasama ang lahat ng mga elemento na katumbas ng zero at tinatawag na zero matrix n- ayos at isinasaad ng simbolo O . Ipagpalagay natin na mayroong isang arbitrary na matrix A , Pagkatapos

AE=EA=A , AO=OA=O .

Ang una sa mga formula ay nagpapakilala sa espesyal na papel ng identity matrix E , katulad ng papel na ginagampanan ng numero 1 kapag nagpaparami ng mga tunay na numero. Tulad ng para sa espesyal na papel ng zero matrix TUNGKOL SA , pagkatapos ito ay ipinahayag hindi lamang ng pangalawa ng mga formula, kundi pati na rin ng isang elementarya na nabe-verify na pagkakapantay-pantay: A+O=O+A=A . Ang konsepto ng isang zero matrix ay maaaring ipakilala hindi para sa mga square matrice.

2. Mga Determinant.

2.1 Ang konsepto ng isang determinant.

Una sa lahat, kailangan mong tandaan na ang mga determinant ay umiiral lamang para sa mga matrice ng parisukat na uri, dahil walang mga determinant para sa mga matrice ng iba pang mga uri. Sa teorya ng mga sistema ng mga linear na equation at sa ilang iba pang mga isyu, maginhawang gamitin ang konsepto determinant , o determinant .

2.2 Pagkalkula ng mga determinant.

Isaalang-alang ang anumang apat na numero na nakasulat sa anyo ng isang matrix dalawa sa linya at bawat isa dalawang hanay , Determinant o determinant , na binubuo ng mga numero sa talahanayang ito, ay ang numero ad-bc , tinukoy bilang sumusunod: . Ang ganitong determinant ay tinatawag second order determinant , dahil kinuha ang isang talahanayan ng dalawang row at dalawang column para i-compile ito. Ang mga numerong bumubuo sa determinant ay tinatawag na nito mga elemento ; sabay sabi nila na ang mga elemento a At d magkasundo pangunahing dayagonal determinant, at ang mga elemento b At c kanyang gilid pahilis . Makikita na ang determinant ay katumbas ng pagkakaiba ng mga produkto ng mga pares ng mga elemento na matatagpuan sa pangunahing at pangalawang diagonal nito. Ang determinant ng ikatlo at anumang iba pang pagkakasunud-sunod ay halos pareho, katulad: Sabihin nating mayroon tayong square matrix . Ang determinant ng sumusunod na matrix ay ang sumusunod na expression: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Tulad ng nakikita mo, medyo madali itong kinakalkula kung naaalala mo ang isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Na may positibong tanda ay ang pangunahing dayagonal at ang mga tatsulok na nabuo mula sa mga elemento, na may gilid na kahanay sa pangunahing dayagonal, sa kasong ito ang mga ito ay mga tatsulok. a12a23a31 , a13a21a32 .

Ang gilid na dayagonal at ang mga tatsulok na kahanay nito ay may negatibong tanda, i.e. a11a23a32, a12a21a33 . Sa ganitong paraan mahahanap ang mga determinant ng anumang pagkakasunud-sunod. Ngunit may mga kaso kapag ang pamamaraang ito ay nagiging medyo kumplikado, halimbawa, kapag mayroong maraming mga elemento sa matrix, at upang makalkula ang determinant kailangan mong gumastos ng maraming oras at atensyon.

Mayroong isang mas madaling paraan upang makalkula ang determinant n- oh order, saan n 2 . Sumang-ayon tayo na tawagan ang anumang elemento na menor de edad Aij matrice n- first-order determinant na tumutugma sa matrix na nakuha mula sa matrix bilang resulta ng pagtanggal i ika linya at j- ika-kolum (na hilera at hanay na iyon sa intersection kung saan mayroong elemento Aij ). Element minor Aij ipapakita natin sa pamamagitan ng simbolo . Sa notasyong ito, ang itaas na index ay tumutukoy sa row number, ang lower index ay ang column number, at ang bar sa itaas M nangangahulugan na ang tinukoy na row at column ay na-cross out. Determinant ng order n , naaayon sa matrix, tinatawag namin ang numero na katumbas ng at tinutukoy ng simbolo .

Teorama 1.1 Anuman ang numero ng linya i ( i =1, 2…, n) , para sa determinant n- wasto ang unang order ng magnitude formula

= det A =

tinawag ako- ika linya . Binibigyang-diin namin na sa formula na ito ang exponent kung saan itinaas ang numero (-1) ay katumbas ng kabuuan ng mga numero ng row at column sa intersection kung saan matatagpuan ang elemento. Aij .

Teorama 1.2 Anuman ang numero ng hanay j ( j =1, 2…, n) , para sa determinant n valid ang formula ng ika-order

= det A =

tinawag pagpapalawak ng determinant na ito sa j- ika-kolum .

2.3 Mga pangunahing katangian ng mga determinant.

Ang mga determinant ay mayroon ding mga katangian na nagpapadali sa gawain ng pagkalkula ng mga ito. Kaya, sa ibaba ay nagtatatag kami ng ilang mga katangian na mayroon ang isang di-makatwirang determinant n -ika-utos.

1 . Pag-aari ng pagkakapantay-pantay ng row-column . Transposing ng anumang matrix o determinant ay isang operasyon bilang resulta kung saan ang mga row at column ay pinagpalit habang pinapanatili ang kanilang pagkakasunud-sunod. Bilang resulta ng matrix transposition A ang nagresultang matrix ay tinatawag na matrix, na tinatawag na transposed na may paggalang sa matrix A at ipinahihiwatig ng simbolo A .

Ang unang pag-aari ng determinant ay nabuo tulad ng sumusunod: sa panahon ng transposisyon, ang halaga ng determinant ay napanatili, i.e. = .

2 . Antisymmetry property kapag muling inaayos ang dalawang row (o dalawang column) . Kapag ang dalawang row (o dalawang column) ay pinagpalit, pinapanatili ng determinant ang absolute value nito, ngunit binabago ang sign sa kabaligtaran. Para sa second-order determinant, ang property na ito ay maaaring ma-verify sa elementarya na paraan (mula sa formula para sa pagkalkula ng second-order determinant, agad itong sumusunod na ang mga determinant ay naiiba lamang sa sign).

3 . Linear na katangian ng determinant. Sasabihin namin na ilang string ( a) ay isang linear na kumbinasyon ng iba pang dalawang mga string ( b At c ) na may mga coefficient At . Ang linear na ari-arian ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod: kung nasa determinant n -ika-utos ilang i Ang -th row ay isang linear na kumbinasyon ng dalawang row na may coefficients At , Iyon = + , Saan

– determinant na mayroon i Ang -th row ay katumbas ng isa sa dalawang row ng linear na kumbinasyon, at lahat ng iba pang row ay kapareho ng , A - isang determinant na mayroon ako- ang i string ay katumbas ng pangalawa sa dalawang string, at lahat ng iba pang mga string ay kapareho ng .

Ang tatlong katangian na ito ay ang mga pangunahing katangian ng determinant, na nagpapakita ng kalikasan nito. Ang sumusunod na limang katangian ay lohikal na kahihinatnan tatlong pangunahing katangian.

Bunga 1. Ang determinant na may dalawang magkaparehong row (o column) ay katumbas ng zero.

Bunga 2. Pag-multiply ng lahat ng elemento ng ilang row (o ilang column) ng isang determinant sa isang numero a ay katumbas ng pagpaparami ng determinant sa numerong ito a . Sa madaling salita, ang karaniwang salik ng lahat ng elemento ng isang partikular na row (o ilang column) ng isang determinant ay maaaring alisin sa tanda ng determinant na ito.

Bunga 3. Kung ang lahat ng elemento ng isang partikular na row (o ilang column) ay katumbas ng zero, kung gayon ang determinant mismo ay katumbas ng zero.

Bunga 4. Kung ang mga elemento ng dalawang row (o dalawang column) ng isang determinant ay proporsyonal, kung gayon ang determinant ay katumbas ng zero.

Bunga 5. Kung sa mga elemento ng isang partikular na row (o ilang column) ng determinant ay idinaragdag namin ang mga kaukulang elemento ng isa pang row (isa pang column), multiplication sa pamamagitan ng arbitrary factor , kung gayon ang halaga ng determinant ay hindi nagbabago. Ang Corollary 5, tulad ng linear property, ay nagbibigay-daan para sa isang mas pangkalahatang pagbabalangkas, na ibibigay ko para sa mga string: kung sa mga elemento ng isang tiyak na hilera ng isang determinant ay idinagdag namin ang mga kaukulang elemento ng isang string na isang linear na kumbinasyon ng ilang iba pang mga hilera ng determinant na ito (na may anumang mga coefficient), kung gayon ang halaga ng determinant ay hindi magbabago . Ang Corollary 5 ay malawakang ginagamit sa kongkretong pagkalkula ng mga determinant.

3. Mga sistema ng mga linear na equation.

3.1 Mga pangunahing kahulugan.

…….

3.2 Kondisyon para sa pagiging tugma ng mga sistema ng mga linear na equation.

…….

3.3 Paglutas ng mga sistema ng mga linear equation gamit ang Cramer method.

Alam na ang paggamit ng mga matrice ay malulutas natin ang iba't ibang sistema ng mga equation, at ang mga sistemang ito ay maaaring maging anumang laki at magkaroon ng anumang bilang ng mga variable. Sa ilang mga derivasyon at mga formula, ang paglutas ng malalaking sistema ng mga equation ay nagiging mabilis at mas madali.

Sa partikular, ilalarawan ko ang mga pamamaraan ng Cramer at Gauss. Ang pinakamadaling paraan ay ang Cramer method (para sa akin), o bilang tinatawag din itong, ang Cramer formula. Kaya, sabihin nating mayroon tayong ilang sistema ng mga equation . Ang pangunahing determinant, tulad ng napansin mo na, ay isang matrix na binubuo ng mga coefficient ng mga variable. Lumalabas din ang mga ito sa pagkakasunud-sunod ng column, ibig sabihin, ang unang column ay naglalaman ng mga coefficient na matatagpuan sa x , sa ikalawang hanay sa y , at iba pa. Napakahalaga nito, dahil sa mga sumusunod na hakbang ay papalitan natin ang bawat column ng mga coefficient para sa isang variable na may column ng mga sagot sa equation. Kaya, gaya ng sinabi ko, pinapalitan natin ang column sa unang variable ng answer column, tapos sa pangalawa, siyempre depende lahat sa kung ilang variable ang kailangan nating hanapin.

1 = , 2 = , 3 = .

Pagkatapos ay kailangan mong maghanap ng mga determinant determinant ng sistema .

3.4 Paglutas ng mga sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method.

…….

4. Baliktad na matris.

4.1 Ang konsepto ng isang inverse matrix.

4.2 Pagkalkula ng inverse matrix.

Bibliograpiya.

V. A. Ilyin, E. G. Poznyak "Linear Algebra"

2. G. D. Kim, E. V. Shikin "Mga elementarya na pagbabago sa linear algebra"

Paksa 1. Matrice at matrix determinants

Ang natutunan natin:

Pangunahing konsepto ng linear algebra: matrix, determinant.

Ano ang matututuhan natin:

Magsagawa ng mga operasyon sa mga matrice;

Kalkulahin gamit ang pangalawa at pangatlong determinant ng pagkakasunud-sunod.

Paksa 1.1. Ang konsepto ng isang matrix. Mga aksyon sa matrice

∆ Matrix ay isang hugis-parihaba na talahanayan na binubuo ng mga hilera at haligi, na puno ng ilang mga bagay sa matematika.

Ang mga matrice ay ipinahiwatig sa malalaking titik ng Latin, ang talahanayan mismo ay nakapaloob sa mga panaklong (mas madalas sa parisukat o iba pang mga hugis).

Mga elemento A ij tinawag mga elemento ng matrix . Unang index i– numero ng linya, pangalawaj– numero ng hanay. Kadalasan ang mga elemento ay mga numero.

Entry "matrix" A may sukat m× n» nangangahulugan na pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang matrix na binubuo ngm mga linya at n mga hanay.

Kung m = 1, a n > 1, kung gayon ang matris aymatrix - hilera . Kung m > 1, a n = 1, kung gayon ang matris aymatris - hanay .

Isang matrix kung saan ang bilang ng mga hilera ay tumutugma sa bilang ng mga haligi (m= n), tinawag parisukat .

.

Mga elemento a 11 , a 22 ,…, a nn parisukat na matrisA (laki n× n) anyo pangunahing dayagonal , mga elemento a 1 n , a 2 n -1 ,…, a n 1 - gilid pahilis .

Sa matrix
elemento 5; 7 bumubuo sa pangunahing dayagonal, mga elemento -5; 8 – pahilis sa gilid.

Mga matrice A At B ay tinatawag pantay (A= B), kung mayroon silang parehong laki at ang kanilang mga elemento sa parehong mga posisyon ay nag-tutugma, i.e.A ij = b ij .

Matrix ng pagkakakilanlan ay tinatawag na square matrix kung saan ang mga elemento ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng isa, at ang natitirang mga elemento ay katumbas ng zero. Ang matrix ng pagkakakilanlan ay karaniwang tinutukoy na E.

Matrix inilipat sa matrix A ng lakim× n, ay tinatawag na matrix A T laki n× m, nakuha mula sa matrix A, kung ang mga row nito ay isinusulat sa mga column, at ang mga column nito sa mga row.

Mga pagpapatakbo ng aritmetika sa mga matrice.

Hanapin kabuuan ng mga matrice A At B ng parehong dimensyon, kinakailangang magdagdag ng mga elemento na may parehong mga indeks (nakatayo sa parehong mga lugar):

.

Ang pagdaragdag ng matrix ay commutative, iyon ay, A + B = B + A.

Hanapin pagkakaiba ng matrix A At B ng parehong dimensyon, kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba ng mga elemento na may parehong mga indeks:

.

Upang multiply matrix Abawat numero k, Kinakailangang i-multiply ang bawat elemento ng matrix sa numerong ito:

.

Trabaho matrice AB maaari lamang tukuyin para sa mga matriceA laki m× n At B laki n× p, ibig sabihin. bilang ng mga column ng matrixA dapat katumbas ng bilang ng mga matrix rowSA. Kung saan A· B= C, matris C may sukat m× p, at elemento nito c ij ay matatagpuan bilang isang scalar na produktoiika mga hilera ng matrix A sa jika hanay ng matrixB: ( i=1,2,…, m; j=1,2,…, p).

!! Sa totoo lang kailangan ang bawat linya matrice A (nakatayo sa kaliwa) i-multiply ang scalar sa bawat column ng matrix B (nakatayo sa kanan).

Ang produkto ng matrices ay hindi commutative, iyon ay,А·В ≠ В·А . ▲

☺ Kinakailangang pag-aralan ang mga halimbawa upang pagsamahin ang teoretikal na materyal.

Halimbawa 1. Pagtukoy sa laki ng mga matrice.

Halimbawa 2. Kahulugan ng mga elemento ng matrix.

Sa elemento ng matrix A 11 = 2, A 12 = 5, A 13 = 3.

Sa elemento ng matrix A 21 = 2, A 13 = 0.

Halimbawa 3: Pagsasagawa ng matrix transposition.

,

Halimbawa 4. Pagsasagawa ng mga operasyon sa mga matrice.

Hanapin 2 A- B, Kung , .

Solusyon. .

Halimbawa 5. Hanapin ang produkto ng matrices At .

Solusyon. Laki ng matrixA – 3 × 2 , mga matrice SA – 2 × 2 . Samakatuwid ang produktoA·B mahahanap mo ito. Nakukuha namin:

Trabaho VA hindi mahanap.

Halimbawa 6. Hanapin A 3 kung A =
.

Solusyon. A 2 = ·=
=
,

A 3 = ·=
=
.

Halimbawa 6. Hanapin 2 A 2 + 3 A + 5 E sa
,
.

Solusyon. ,

,
,

,
.

Mga gawaing dapat tapusin

1. Punan ang talahanayan.

2. Magsagawa ng mga operasyon sa mga matrice
At
:

3. Magsagawa ng matrix multiplication:

4. Transpose matrice:

? 1. Ano ang matrix?

2. Paano makilala ang isang matrix mula sa iba pang mga elemento ng linear algebra?

3. Paano matukoy ang laki ng matrix? Bakit kailangan ito?

4. Ano ang ibig sabihin ng entry? A ij ?

5. Magbigay ng paliwanag sa mga sumusunod na konsepto: pangunahing dayagonal, pangalawang dayagonal ng matrix.

6. Anong mga operasyon ang maaaring gawin sa mga matrice?

7. Ipaliwanag ang kakanyahan ng operasyon ng matrix multiplication?

8. Maaari bang i-multiply ang anumang matrice? Bakit?

Paksa 1.2. Pangalawa at pangatlong mga determinant ng order : m mga pamamaraan para sa kanilang pagkalkula

∆ Kung ang A ay isang square matrix n-ika-order, pagkatapos ay maaari naming iugnay dito ang isang numero na tinatawag determinant ika-utos at tinutukoy ng |A|. Iyon ay, ang determinant ay nakasulat bilang isang matrix, ngunit sa halip na mga panaklong ito ay nakapaloob sa mga tuwid na bracket.

!! Minsan ang mga determinant ay tinatawag na determinants sa paraang Ingles, ibig sabihin = det A.

determinant ng 1st order (determinant ng matrix A ng laki1 × 1 ) ay ang elemento mismo na naglalaman ng matrix A, iyon ay.

determinant ng 2nd order (determinant ng matrix Isang sukat 2 × 2 ) ay isang numero na makikita gamit ang panuntunan:

(ang produkto ng mga elemento sa pangunahing dayagonal ng matrix minus ang produkto ng mga elemento sa pangalawang dayagonal).

determinant ng 3rd order (determinant ng matrix Isang sukat 3 × 3 ) ay isang numero na makikita gamit ang panuntunang "mga tatsulok":

Upang kalkulahin ang 3rd order determinants, maaari kang gumamit ng isang mas simpleng panuntunan - ang panuntunan ng mga direksyon (parallel lines).

Panuntunan ng mga direksyon : Kasama ang kanan ng determinant ay idinagdag sa unang dalawang hanay, ang mga produkto ng mga elemento sa pangunahing dayagonal at sa mga diagonal na kahanay nito ay kinuha na may plus sign; at ang mga produkto ng mga elemento ng pangalawang dayagonal at ang mga dayagonal na kahanay nito ay may minus sign.

!! Upang kalkulahin ang mga determinant, maaari mong gamitin ang kanilang mga katangian, na may bisa para sa mga determinant ng anumang pagkakasunud-sunod.

Mga katangian ng mga determinant:

1° . Ang determinant ng matrix A ay hindi nagbabago sa panahon ng transposisyon, i.e. |A| = |A T |. Tinutukoy ng property na ito ang pagkakapantay-pantay ng mga row at column.

2° . Kapag muling inaayos ang dalawang row (dalawang column), pinapanatili ng determinant ang dating halaga nito, ngunit ang sign ay nababaligtad.

4° . Kung ang anumang row o column ay naglalaman ng isang karaniwang salik, maaari itong alisin sa determinant sign.

Corollary 4.1. Kung ang lahat ng elemento ng anumang serye ng isang determinant ay katumbas ng zero, kung gayon ang determinant ay katumbas ng zero.

Corollary 4.2. Kung ang mga elemento ng anumang serye ng isang determinant ay proporsyonal sa mga kaukulang elemento ng isang serye na kahanay nito, kung gayon ang determinant ay katumbas ng zero.▲

☺ Kinakailangang pag-aralan ang mga patakaran para sa pagkalkula ng mga determinant.

Halimbawa 1: Pagkalkulamga determinant ng pangalawang order,
.

Solusyon.

Sekondaryang paaralan Blg. 45.

lungsod ng Moscow.

Mag-aaral ng ika-10 baitang "B" Gorokhov Evgeniy

Takdang-aralin (draft).

Panimula sa teorya ng matrices at determinants .

1. Mga matrice................................................. ......... ......................................... ............................................... ..................... ......

1.1 Konsepto ng matrix................................................ ...... ................................................ ............ ...................................

1.2 Mga pangunahing operasyon sa mga matrice................................................. ....................................................... ............. .

2. Mga Determinant................................................. ......... ......................................... ............................................... ........

2.1 Ang konsepto ng isang determinant ............................................ ........ .............................................. .............. ............................

2.2 Pagkalkula ng mga determinant.............................................. ...... ................................................ ............ ..............

2.3 Mga pangunahing katangian ng mga determinant ................................................. ....................................................... .............

3. Mga sistema ng mga linear na equation............................................ ........ .............................................. .............. .

3.1 Pangunahing mga kahulugan................................................ .................................................... ......... ........................

3.2 Kondisyon ng pagkakapare-pareho para sa mga sistema ng mga linear na equation...................................... .......... ..............

3.3 Paglutas ng mga sistema ng mga linear equation gamit ang pamamaraan ng Cramer......................................... .......... ..........

3.4 Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation gamit ang Gaussian method........................................ ............ ............

4. Inverse matrix................................................. ...... ................................................ ............ ...................................

4.1 Konsepto ng inverse matrix................................................. ....................................................... ............. ................

4.2 Pagkalkula ng inverse matrix............................................ ........ .............................................. .............. ..........

Bibliograpiya................................................ . ................................................... ..... ................................

Matrix ay isang hugis-parihaba na talahanayan ng mga numero na naglalaman ng isang tiyak na dami m linya at isang tiyak na numero n mga hanay. Numero m At n ay tinatawag mga order matrice. Kung m = n , ang matrix ay tinatawag na parisukat, at ang numero m = n -- siya sa ayos .

Ang mga pangunahing operasyon ng arithmetic sa mga matrice ay ang pagpaparami ng isang matrix sa isang numero, pagdaragdag at pagpaparami ng mga matrice.

Magpatuloy tayo sa pagtukoy sa mga pangunahing operasyon sa mga matrice.

Pagdaragdag ng matrix: Ang kabuuan ng dalawang matrice, halimbawa: A At B , pagkakaroon ng parehong bilang ng mga row at column, sa madaling salita, ang parehong mga order m At n tinatawag na matrix C = ( SA ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) ang parehong mga order m At n , mga elemento Cij na pantay-pantay.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Upang tukuyin ang kabuuan ng dalawang matrice, ginagamit ang notasyon C = A + B. Ang operasyon ng summing matrices ay tinatawag na kanilang karagdagan

Kaya ayon sa kahulugan mayroon kaming:

+ =

=

Mula sa kahulugan ng kabuuan ng mga matrice, o mas tiyak mula sa formula ( 1.2 ) agad itong sumusunod na ang operasyon ng pagdaragdag ng mga matrice ay may parehong mga katangian tulad ng pagpapatakbo ng pagdaragdag ng mga tunay na numero, katulad:

1) commutative property: A + B = B + A

2) pinagsasama ang ari-arian: (A + B) + C = A + (B + C)

Ginagawang posible ng mga katangiang ito na huwag mag-alala tungkol sa pagkakasunud-sunod ng mga termino ng matrix kapag nagdaragdag ng dalawa o higit pang mga matrice.

Pagpaparami ng matrix sa isang numero :

Produkto ng matrix para sa isang tunay na numero ay tinatawag na isang matrix C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , na ang mga elemento ay pantay

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

Upang tukuyin ang produkto ng isang matrix at isang numero, ginagamit ang notasyon C= A o C=A . Ang operasyon ng pagbubuo ng produkto ng isang matrix sa pamamagitan ng isang numero ay tinatawag na multiply ng matrix sa numerong ito.

Direkta mula sa formula ( 1.3 ) malinaw na ang pagpaparami ng isang matrix sa isang numero ay may mga sumusunod na katangian:

1) distributive property tungkol sa kabuuan ng mga matrice:

( A + B) = A+ B

2) nag-uugnay na pag-aari patungkol sa isang numerical factor:

() A= ( A)

3) distributive property tungkol sa kabuuan ng mga numero:

( + ) A= A + A .

Magkomento :Pagkakaiba ng dalawang matrice A At B ng magkatulad na mga order ay natural na tawagan ang gayong matris C ng parehong mga order, na kung saan kasama ang matrix B nagbibigay ng matris A . Upang tukuyin ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang matrice, isang natural na notasyon ang ginagamit: C = A – B.

Pagpaparami ng matris :

Produkto ng matrix A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , pagkakaroon ng mga order ayon sa pagkakapantay-pantay m At n , bawat matrix B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , pagkakaroon ng mga order ayon sa pagkakapantay-pantay n At p , ay tinatawag na matrix C= (SA ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , pagkakaroon ng mga order na katumbas ng katumbas m At p , at mga elemento Cij , tinukoy ng formula

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Upang tukuyin ang produkto ng isang matrix A sa matrix B gumamit ng recording

C=AB . Ang operasyon ng pagbuo ng isang matrix na produkto A sa matrix B tinawag pagpaparami mga matrice na ito. Mula sa depinisyon na binalangkas sa itaas ay sumusunod na matris A hindi maaaring i-multiply sa anumang matrix B : ito ay kinakailangan na ang bilang ng mga haligi ng matrix A ay katumbas bilang ng mga hilera ng matrix B . Para sa parehong mga gawa AB At B.A. ay hindi lamang tinukoy, ngunit nagkaroon din ng parehong pagkakasunud-sunod, ito ay kinakailangan at sapat na ang parehong matrices A At B ay mga parisukat na matrice ng parehong pagkakasunud-sunod.

Formula ( 1.4 ) ay kumakatawan sa panuntunan para sa pagbuo ng mga elemento ng matrix C ,

na produkto ng matris A sa matrix B . Ang panuntunang ito ay maaaring mabalangkas sa salita: Elemento Cij , nakatayo sa intersection i ika linya at j- ika-matrix na hanay C=AB , ay pantay ang kabuuan ng magkapares na mga produkto ng mga kaukulang elemento i ika linya matrice A At j- ika-matrix na hanay B . Bilang isang halimbawa ng aplikasyon ng panuntunang ito, ipinakita namin ang formula para sa pagpaparami ng mga square matrice ng pangalawang pagkakasunud-sunod

Mula sa formula ( 1.4 ) sumusunod ang mga sumusunod na katangian ng produkto ng matrix: A sa matrix B :

1) nag-uugnay na ari-arian: ( AB) C = A(BC);

2) distributive property na may kinalaman sa kabuuan ng mga matrice:

(A + B) C = AC + BC o A (B + C) = AB + AC.

Makatuwirang itaas ang tanong ng permutation property ng isang produkto ng mga matrice para lamang sa mga square matrice ng parehong pagkakasunud-sunod. Ang mga halimbawa ng elementarya ay nagpapakita na ang produkto ng dalawang square matrice ng parehong pagkakasunud-sunod ay hindi, sa pangkalahatan, ay may commutation property. Sa katunayan, kung ilalagay natin

A = , B = , yun AB = , A BA =

Ang parehong mga matrice kung saan ang produkto ay may commutation property ay karaniwang tinatawag nagko-commute.

Sa mga square matrice, itinatampok namin ang klase ng tinatawag na dayagonal matrice, bawat isa ay may mga elemento na matatagpuan sa labas ng pangunahing dayagonal na katumbas ng zero. Sa lahat ng mga diagonal na matrice na may magkakatulad na elemento sa pangunahing dayagonal, dalawang matrice ang gumaganap ng isang partikular na mahalagang papel. Ang una sa mga matrice na ito ay nakukuha kapag ang lahat ng elemento ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng isa, at tinatawag na identity matrix. n- E . Ang pangalawang matrix ay nakuha kasama ang lahat ng mga elemento na katumbas ng zero at tinatawag na zero matrix n- ayos at isinasaad ng simbolo O . Ipagpalagay natin na mayroong isang arbitrary na matrix A , Pagkatapos

AE=EA=A , AO=OA=O .

Ang una sa mga formula ay nagpapakilala sa espesyal na papel ng identity matrix E, katulad ng papel na ginagampanan ng numero 1 kapag nagpaparami ng mga tunay na numero. Tulad ng para sa espesyal na papel ng zero matrix TUNGKOL SA, pagkatapos ito ay ipinahayag hindi lamang ng pangalawa ng mga formula, kundi pati na rin ng isang elementarya na nabe-verify na pagkakapantay-pantay: A+O=O+A=A . Ang konsepto ng isang zero matrix ay maaaring ipakilala hindi para sa mga square matrice.

Una sa lahat, kailangan mong tandaan na ang mga determinant ay umiiral lamang para sa mga matrice ng parisukat na uri, dahil walang mga determinant para sa mga matrice ng iba pang mga uri. Sa teorya ng mga sistema ng mga linear na equation at sa ilang iba pang mga isyu, maginhawang gamitin ang konsepto determinant, o determinant .

Isaalang-alang natin ang anumang apat na numero na nakasulat sa anyo ng isang matrix ng dalawa sa mga hilera at dalawang hanay , Determinant o determinant, na binubuo ng mga numero sa talahanayang ito, ay ang numero ad-bc , tinukoy bilang sumusunod: .Ang ganitong determinant ay tinatawag second order determinant, dahil kinuha ang isang talahanayan ng dalawang row at dalawang column para i-compile ito. Ang mga numerong bumubuo sa determinant ay tinatawag na nito mga elemento; sabay sabi nila na ang mga elemento a At d magkasundo pangunahing dayagonal determinant, at ang mga elemento b At c kanyang gilid pahilis. Makikita na ang determinant ay katumbas ng pagkakaiba ng mga produkto ng mga pares ng mga elemento na matatagpuan sa pangunahing at pangalawang diagonal nito. Ang determinant ng ikatlo at anumang iba pang pagkakasunud-sunod ay halos pareho, katulad: Sabihin nating mayroon tayong square matrix . Ang determinant ng sumusunod na matrix ay ang sumusunod na expression: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Tulad ng nakikita mo, medyo madali itong kinakalkula kung naaalala mo ang isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Na may positibong tanda ay ang pangunahing dayagonal at ang mga tatsulok na nabuo mula sa mga elemento, na may gilid na kahanay sa pangunahing dayagonal, sa kasong ito ang mga ito ay mga tatsulok. a12a23a31, a13a21a32 .

Ang gilid na dayagonal at ang mga tatsulok na kahanay nito ay may negatibong tanda, i.e. a11a23a32, a12a21a33 . Sa ganitong paraan mahahanap ang mga determinant ng anumang pagkakasunud-sunod. Ngunit may mga kaso kapag ang pamamaraang ito ay nagiging medyo kumplikado, halimbawa, kapag mayroong maraming mga elemento sa matrix, at upang makalkula ang determinant kailangan mong gumastos ng maraming oras at atensyon.

Mayroong isang mas madaling paraan upang makalkula ang determinant n- oh order, saan n2 . Sumang-ayon tayo na tawagan ang anumang elemento na menor de edad Aij matrice n- first-order determinant na tumutugma sa matrix na nakuha mula sa matrix bilang resulta ng pagtanggal i ika linya at j- ika-kolum (na hilera at hanay na iyon sa intersection kung saan mayroong elemento Aij ). Element minor Aij ay ilalarawan ng simbolo . Sa notasyong ito, ang itaas na index ay tumutukoy sa numero ng hilera, ang mas mababang index ay ang numero ng hanay, at ang bar sa itaas M nangangahulugan na ang tinukoy na row at column ay na-cross out. Determinant ng order n , naaayon sa matrix, tinatawag namin ang numero na katumbas ng at tinutukoy ng simbolo .

Teorama 1.1 Anuman ang numero ng linya i ( i =1, 2…, n) , para sa determinant n- wasto ang unang order ng magnitude formula

= det A =

tinawag ako- ika linya . Binibigyang-diin namin na sa formula na ito ang exponent kung saan itinaas ang numero (-1) ay katumbas ng kabuuan ng mga numero ng row at column sa intersection kung saan matatagpuan ang elemento. Aij .

Teorama 1.2 Anuman ang numero ng hanay j ( j =1, 2…, n) , para sa determinant n valid ang formula ng ika-order

= det A =

tinawag pagpapalawak ng determinant na ito sa j- ika-kolum .

Ang mga determinant ay mayroon ding mga katangian na nagpapadali sa gawain ng pagkalkula ng mga ito. Kaya, sa ibaba ay nagtatatag kami ng ilang mga katangian na mayroon ang isang di-makatwirang determinant n -ika-utos.

1. Pag-aari ng pagkakapantay-pantay ng row-column . Transposing ng anumang matrix o determinant ay isang operasyon bilang resulta kung saan ang mga row at column ay pinagpalit habang pinapanatili ang kanilang pagkakasunud-sunod. Bilang resulta ng matrix transposition A ang nagresultang matrix ay tinatawag na matrix, na tinatawag na transposed na may paggalang sa matrix A at ipinahihiwatig ng simbolo A .

Ang unang pag-aari ng determinant ay nabuo tulad ng sumusunod: sa panahon ng transposisyon, ang halaga ng determinant ay napanatili, ibig sabihin, = .

2. Antisymmetry property kapag muling inaayos ang dalawang row (o dalawang column). Kapag ang dalawang row (o dalawang column) ay pinagpalit, pinapanatili ng determinant ang absolute value nito, ngunit binabago ang sign sa kabaligtaran. Para sa second-order determinant, ang property na ito ay maaaring ma-verify sa elementarya na paraan (mula sa formula para sa pagkalkula ng second-order determinant, agad itong sumusunod na ang mga determinant ay naiiba lamang sa sign).

3. Linear na katangian ng determinant. Sasabihin namin na ilang string ( a) ay isang linear na kumbinasyon ng iba pang dalawang mga string ( b At c ) na may mga coefficient at . Ang linear na ari-arian ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod: kung nasa determinant n ilang order i Ang th row ay isang linear na kumbinasyon ng dalawang row na may mga coefficient at , pagkatapos = + , saan

- isang determinant na mayroon i Ang -th row ay katumbas ng isa sa dalawang row ng linear na kumbinasyon, at lahat ng iba pang row ay kapareho ng , a ay ang determinant para sa kung saan ako- i string ay katumbas ng pangalawa sa dalawang string, at lahat ng iba pang mga string ay pareho sa .

Ang tatlong katangian na ito ay ang mga pangunahing katangian ng determinant, na nagpapakita ng kalikasan nito. Ang sumusunod na limang katangian ay lohikal na kahihinatnan tatlong pangunahing katangian.

Bunga 1. Ang determinant na may dalawang magkaparehong row (o column) ay katumbas ng zero.

Bunga 2. Pag-multiply ng lahat ng elemento ng ilang row (o ilang column) ng isang determinant sa isang numero a ay katumbas ng pagpaparami ng determinant sa numerong ito a . Sa madaling salita, ang karaniwang salik ng lahat ng elemento ng isang partikular na row (o ilang column) ng isang determinant ay maaaring alisin sa tanda ng determinant na ito.

Bunga 3. Kung ang lahat ng elemento ng isang partikular na row (o ilang column) ay katumbas ng zero, kung gayon ang determinant mismo ay katumbas ng zero.

Bunga 4. Kung ang mga elemento ng dalawang row (o dalawang column) ng isang determinant ay proporsyonal, kung gayon ang determinant ay katumbas ng zero.

Bunga 5. Kung sa mga elemento ng isang tiyak na row (o ilang column) ng isang determinant ay idinagdag namin ang mga kaukulang elemento ng isa pang row (isa pang column), na nagpaparami ng isang arbitrary factor , kung gayon ang halaga ng determinant ay hindi nagbabago. Ang Corollary 5, tulad ng linear property, ay nagbibigay-daan para sa isang mas pangkalahatang pagbabalangkas, na ibibigay ko para sa mga string: kung sa mga elemento ng isang tiyak na hilera ng isang determinant ay idinagdag namin ang mga kaukulang elemento ng isang string na isang linear na kumbinasyon ng ilang iba pang mga hilera ng determinant na ito (na may anumang mga coefficient), kung gayon ang halaga ng determinant ay hindi magbabago . Ang Corollary 5 ay malawakang ginagamit sa kongkretong pagkalkula ng mga determinant.

Alam na ang paggamit ng mga matrice ay malulutas natin ang iba't ibang sistema ng mga equation, at ang mga sistemang ito ay maaaring maging anumang laki at magkaroon ng anumang bilang ng mga variable. Sa ilang mga derivasyon at mga formula, ang paglutas ng malalaking sistema ng mga equation ay nagiging mabilis at mas madali.

Sa partikular, ilalarawan ko ang mga pamamaraan ng Cramer at Gauss. Ang pinakamadaling paraan ay ang Cramer method (para sa akin), o bilang tinatawag din itong, ang Cramer formula. Kaya, sabihin nating mayroon tayong ilang sistema ng mga equation

, Sa anyo ng matrix, ang sistemang ito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod: A= , kung saan ang mga sagot sa mga equation ay nasa huling column. Ipakikilala natin ngayon ang konsepto ng isang pangunahing determinant; sa kasong ito, magiging ganito:

= . Ang pangunahing determinant, tulad ng napansin mo na, ay isang matrix na binubuo ng mga coefficient ng mga variable. Lumalabas din ang mga ito sa pagkakasunud-sunod ng column, ibig sabihin, ang unang column ay naglalaman ng mga coefficient na matatagpuan sa x , sa ikalawang hanay sa y , at iba pa. Napakahalaga nito, dahil sa mga sumusunod na hakbang ay papalitan natin ang bawat column ng mga coefficient para sa isang variable na may column ng mga sagot sa equation. Kaya, gaya ng sinabi ko, pinapalitan natin ang column sa unang variable ng answer column, tapos sa pangalawa, siyempre depende lahat sa kung ilang variable ang kailangan nating hanapin.

1 = , 2 = , 3 = .

Pagkatapos ay kailangan mong hanapin ang mga determinant 1, 2, 3. Alam mo na kung paano hanapin ang third-order determinant. A Dito natin inilalapat ang panuntunan ng Cramer. Mukhang ganito:

x1 = , x2 = , x3 = – para sa kasong ito, ngunit sa pangkalahatan ay ganito ang hitsura: x ako = . Ang isang determinant na binubuo ng mga coefficient para sa mga hindi alam ay tinatawag determinant ng sistema .

1. V. A. Ilyin, E. G. Poznyak "Linear Algebra"

2. G. D. Kim, E. V. Shikin "Mga elementarya na pagbabago sa linear algebra"