Ang theorem para sa pagbabago ng momentum ng isang materyal na punto ay isang corollary. Theorems sa pagbabago sa momentum ng isang punto at isang sistema

Hayaang gumalaw ang isang materyal na punto sa ilalim ng impluwensya ng puwersa F. Kinakailangang matukoy ang paggalaw ng puntong ito na may kaugnayan sa gumagalaw na sistema Oxyz(tingnan ang kumplikadong paggalaw ng isang materyal na punto), na gumagalaw sa isang kilalang paraan na may kaugnayan sa isang nakatigil na sistema O 1 x 1 y 1 z 1 .

Pangunahing equation ng dynamics sa isang nakatigil na sistema

Isulat natin ang ganap na acceleration ng isang punto gamit ang Coriolis theorem

saan a abs- ganap na acceleration;

a rel- kamag-anak na acceleration;

a lane– portable acceleration;

a core– Pagpapabilis ng Coriolis.

Isulat muli natin ang (25) na isinasaalang-alang (26)

Ipakilala natin ang notasyon
- portable inertia force,
- Coriolis inertial force. Pagkatapos ang equation (27) ay kumukuha ng anyo

Ang pangunahing equation ng dynamics para sa pag-aaral ng relative motion (28) ay nakasulat sa parehong paraan tulad ng para sa absolute motion, tanging ang transfer at Coriolis forces of inertia ang dapat idagdag sa mga pwersang kumikilos sa isang punto.

Pangkalahatang theorems sa dynamics ng isang materyal na punto

Kapag nilulutas ang maraming problema, maaari mong gamitin ang mga pre-made na blangko na nakuha batay sa pangalawang batas ni Newton. Ang ganitong mga paraan ng paglutas ng problema ay pinagsama sa seksyong ito.

Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto

Ipakilala natin ang mga sumusunod na dynamic na katangian:

1. Momentum ng isang materyal na punto– dami ng vector na katumbas ng produkto ng mass ng isang punto at ang velocity vector nito

. (29)

2. Puwersa ang salpok

Elementarya na salpok ng puwersa– dami ng vector na katumbas ng produkto ng force vector at isang elementarya na pagitan ng oras

(30).

Pagkatapos buong salpok

. (31)

Sa F= const nakukuha namin S=Ft.

Ang kabuuang salpok para sa isang may hangganan na tagal ng panahon ay maaaring kalkulahin lamang sa dalawang kaso, kapag ang puwersa na kumikilos sa isang punto ay pare-pareho o nakasalalay sa oras. Sa ibang mga kaso, kinakailangan upang ipahayag ang puwersa bilang isang function ng oras.

Ang pagkakapantay-pantay ng mga sukat ng impulse (29) at momentum (30) ay nagpapahintulot sa amin na magtatag ng isang dami ng relasyon sa pagitan nila.

Isaalang-alang natin ang paggalaw ng isang materyal na punto M sa ilalim ng pagkilos ng isang arbitrary na puwersa F kasama ang isang arbitrary trajectory.

TUNGKOL SA UD:
. (32)

Pinaghihiwalay namin ang mga variable sa (32) at isinasama

. (33)

Bilang resulta, isinasaalang-alang ang (31), nakukuha namin

. (34)

Ang equation (34) ay nagpapahayag ng sumusunod na theorem.

Teorama: Ang pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng salpok ng puwersang kumikilos sa punto sa parehong agwat ng oras.

Kapag nilulutas ang mga problema, ang equation (34) ay dapat na projected sa coordinate axes

Ang teorama na ito ay maginhawang gamitin kapag kabilang sa mga ibinigay at hindi kilalang mga dami ay mayroong masa ng isang punto, ang una at huling bilis nito, mga puwersa at oras ng paggalaw.

Theorem sa pagbabago sa angular momentum ng isang materyal na punto

M
sandali ng momentum ng isang materyal na punto kamag-anak sa sentro ay katumbas ng produkto ng modulus ng momentum ng punto at balikat, i.e. ang pinakamaikling distansya (patayo) mula sa gitna hanggang sa linya na tumutugma sa velocity vector

, (36)

. (37)

Ang relasyon sa pagitan ng sandali ng puwersa (sanhi) at ang sandali ng momentum (epekto) ay itinatag ng sumusunod na teorama.

Hayaan ang point M ng isang naibigay na masa m gumagalaw sa ilalim ng impluwensya ng puwersa F.

,
,

, (38)

. (39)

Kalkulahin natin ang derivative ng (39)

. (40)

Ang pagsasama-sama ng (40) at (38), sa wakas ay nakuha natin

. (41)

Ang equation (41) ay nagpapahayag ng sumusunod na theorem.

Teorama: Ang derivative ng oras ng angular momentum vector ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa ilang sentro ay katumbas ng sandali ng puwersa na kumikilos sa punto na nauugnay sa parehong sentro.

Kapag nilulutas ang mga problema, ang equation (41) ay dapat na projected sa coordinate axes

Sa mga equation (42), ang mga sandali ng momentum at puwersa ay kinakalkula na may kaugnayan sa mga coordinate axes.

Mula sa (41) ito ay sumusunod batas ng konserbasyon ng angular momentum (batas ni Kepler).

Kung ang sandali ng puwersa na kumikilos sa isang materyal na punto na nauugnay sa anumang sentro ay zero, kung gayon ang angular na momentum ng punto na may kaugnayan sa sentro na ito ay nagpapanatili ng magnitude at direksyon nito.

Kung
, Iyon
.

Ang theorem at conservation law ay ginagamit sa mga problemang kinasasangkutan ng curvilinear motion, lalo na sa ilalim ng pagkilos ng mga sentral na pwersa.

Ang sistemang tinalakay sa theorem ay maaaring maging anumang mekanikal na sistema na binubuo ng anumang katawan.

Pahayag ng teorama

Ang dami ng paggalaw (impulse) ng isang mekanikal na sistema ay isang dami na katumbas ng kabuuan ng mga halaga ng paggalaw (impulses) ng lahat ng mga katawan na kasama sa system. Ang salpok ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa mga katawan ng system ay ang kabuuan ng mga impulses ng lahat ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa mga katawan ng system.

( kg m/s)

Ang theorem sa pagbabago ng momentum ng isang sistema ay nagsasaad

Ang pagbabago sa momentum ng system sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng salpok ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa system sa parehong yugto ng panahon.

Batas ng konserbasyon ng momentum ng isang sistema

Kung ang kabuuan ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa system ay zero, kung gayon ang dami ng paggalaw (momentum) ng system ay isang pare-parehong dami.

, nakukuha natin ang pagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng system sa differential form:

Ang pagkakaroon ng pinagsama-samang magkabilang panig ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa isang arbitraryong kinuha na tagal ng panahon sa pagitan ng ilan at , nakukuha natin ang pagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng system sa integral form:

Batas ng konserbasyon ng momentum (Batas ng konserbasyon ng momentum) ay nagsasaad na ang vector sum ng mga impulses ng lahat ng katawan ng system ay isang pare-parehong halaga kung ang vector sum ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa system ay katumbas ng zero.

(sandali ng momentum m 2 kg s −1)

Theorem sa pagbabago sa angular momentum na may kaugnayan sa sentro

ang derivative ng oras ng momentum (kinetic moment) ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa anumang nakapirming sentro ay katumbas ng sandali ng puwersa na kumikilos sa punto na may kaugnayan sa parehong sentro.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Theorem sa pagbabago sa angular momentum na may kaugnayan sa isang axis

ang derivative ng oras ng momentum ng momentum (kinetic moment) ng isang materyal na punto na nauugnay sa anumang nakapirming axis ay katumbas ng sandali ng puwersa na kumikilos sa puntong ito na nauugnay sa parehong axis.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Isaalang-alang ang isang materyal na punto M misa m , gumagalaw sa ilalim ng impluwensya ng puwersa F (Larawan 3.1). Isulat natin at buuin ang vector ng angular momentum (kinetic momentum) M 0 materyal na punto na nauugnay sa gitna O :

Ibahin natin ang expression para sa angular momentum (kinetic moment k 0) ayon sa oras:

kasi Dr /dt = V , pagkatapos ay ang produkto ng vector V ⊗ m ⋅ V (mga collinear vectors V At m ⋅ V ) ay katumbas ng zero. Sa parehong oras d(m ⋅ V) /dt = F ayon sa theorem sa momentum ng isang materyal na punto. Kaya't nakukuha natin iyon

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

saan r ⊗F = M 0 (F ) – vector-sandali ng puwersa F may kaugnayan sa isang nakapirming sentro O . Vector k 0 ⊥ eroplano ( r , m ⊗V ), at ang vector M 0 (F ) ⊥ eroplano ( r ,F ), sa wakas meron na tayo

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Ang equation (3.4) ay nagpapahayag ng theorem tungkol sa pagbabago sa angular momentum (angular momentum) ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa gitna: ang derivative ng oras ng momentum (kinetic moment) ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa anumang nakapirming sentro ay katumbas ng sandali ng puwersa na kumikilos sa punto na may kaugnayan sa parehong sentro.

Ang pagpapakita ng pagkakapantay-pantay (3.4) sa mga axes ng mga coordinate ng Cartesian, nakuha namin

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Ang mga pagkakapantay-pantay (3.5) ay nagpapahayag ng theorem tungkol sa pagbabago sa angular momentum (kinetic momentum) ng isang materyal na punto na nauugnay sa axis: ang derivative ng oras ng momentum ng momentum (kinetic moment) ng isang materyal na punto na nauugnay sa anumang nakapirming axis ay katumbas ng sandali ng puwersa na kumikilos sa puntong ito na nauugnay sa parehong axis.

Isaalang-alang natin ang mga kahihinatnan na sumusunod mula sa Theorems (3.4) at (3.5).

Bunga 1. Isaalang-alang ang kaso kapag ang puwersa F sa buong paggalaw ng punto ay dumadaan sa nakatigil na sentro O (kaso ng sentral na puwersa), i.e. Kailan M 0 (F ) = 0. Pagkatapos mula sa Theorem (3.4) ito ay sumusunod na k 0 = const ,

mga. sa kaso ng isang sentral na puwersa, ang angular momentum (kinetic moment) ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa gitna ng puwersang ito ay nananatiling pare-pareho sa magnitude at direksyon (Figure 3.2).

Larawan 3.2

Mula sa kondisyon k 0 = const ito ay sumusunod na ang trajectory ng isang gumagalaw na punto ay isang patag na kurba, ang eroplano na kung saan ay dumadaan sa gitna ng puwersang ito.

Bunga 2. Hayaan M z (F ) = 0, ibig sabihin. ang puwersa ay tumatawid sa axis z o kahanay nito. Sa kasong ito, tulad ng makikita mula sa ikatlo ng mga equation (3.5), k z = const ,

mga. kung ang sandali ng puwersa na kumikilos sa isang punto na may kaugnayan sa anumang nakapirming axis ay palaging zero, kung gayon ang angular momentum (kinetic moment) ng puntong nauugnay sa axis na ito ay nananatiling pare-pareho.

Patunay ng theorem sa pagbabago ng momentum

Hayaang ang sistema ay binubuo ng mga materyal na puntos na may mga masa at acceleration. Hinahati namin ang lahat ng pwersang kumikilos sa mga katawan ng system sa dalawang uri:

Ang mga panlabas na puwersa ay mga puwersang kumikilos mula sa mga katawan na hindi kasama sa sistemang isinasaalang-alang. Ang resulta ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa isang materyal na punto na may numero i tukuyin natin

Ang mga panloob na pwersa ay ang mga puwersa kung saan ang mga katawan ng sistema mismo ay nakikipag-ugnayan sa isa't isa. Ang puwersa kung saan sa punto na may numero i ang puntong may numero ay wasto k, ipakikilala natin ang , at ang puwersa ng impluwensya i ika nga punto sa k ika - . Malinaw, kapag , pagkatapos

Gamit ang ipinakilalang notasyon, isinusulat namin ang pangalawang batas ni Newton para sa bawat isa sa mga materyal na punto na isinasaalang-alang sa form

Isinasaalang-alang na at pagbubuod ng lahat ng mga equation ng pangalawang batas ni Newton, nakukuha natin:

Ang expression ay kumakatawan sa kabuuan ng lahat ng panloob na pwersa na kumikilos sa system. Ayon sa ikatlong batas ni Newton, sa kabuuan na ito, ang bawat puwersa ay tumutugma sa isang puwersa na, samakatuwid, ito ay humahawak. Dahil ang buong kabuuan ay binubuo ng gayong mga pares, ang kabuuan mismo ay zero. Kaya, maaari tayong magsulat

Gamit ang notasyon para sa momentum ng system, nakuha namin

Sa pamamagitan ng pagpapasok sa pagsasaalang-alang sa pagbabago sa momentum ng mga panlabas na pwersa , nakukuha natin ang pagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng system sa differential form:

Kaya, ang bawat isa sa mga huling equation na nakuha ay nagpapahintulot sa amin na sabihin: ang isang pagbabago sa momentum ng system ay nangyayari lamang bilang isang resulta ng pagkilos ng mga panlabas na pwersa, at ang mga panloob na pwersa ay hindi maaaring magkaroon ng anumang impluwensya sa halagang ito.

Ang pagkakaroon ng pinagsama-samang magkabilang panig ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa isang arbitraryong kinuha na agwat ng oras sa pagitan ng ilan at , nakukuha natin ang pagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng system sa integral form:

kung saan at ang mga halaga ng dami ng paggalaw ng system sa mga sandali ng oras at, ayon sa pagkakabanggit, at ito ay ang salpok ng mga panlabas na puwersa sa loob ng isang yugto ng panahon. Alinsunod sa sinabi kanina at sa mga ipinakilalang notasyon,

Para sa isang materyal na punto, ang pangunahing batas ng dinamika ay maaaring katawanin bilang

Ang pagpaparami ng magkabilang panig ng kaugnayang ito sa kaliwang vectorially ng radius vector (Larawan 3.9), nakuha namin

(3.32)

Sa kanang bahagi ng formula na ito mayroon tayong moment of force na may kaugnayan sa point O. Binabago natin ang kaliwang bahagi sa pamamagitan ng paglalapat ng formula para sa derivative ng isang produkto ng vector

Pero bilang produkto ng vector ng mga parallel na vector. Pagkatapos nito makuha namin

(3.33)

Ang unang derivative na may paggalang sa oras ng sandali ng momentum ng isang punto na may kaugnayan sa anumang sentro ay katumbas ng sandali ng puwersa na nauugnay sa parehong sentro.

Larawan 3.12

; ;

Para sa ibinigay na data ng input, ang angular na momentum ng system

Theorem sa pagbabago sa angular momentum ng isang sistema. Inilalapat namin ang mga resultang panlabas at panloob na puwersa sa bawat punto ng system. Para sa bawat punto ng system, maaari mong ilapat ang theorem sa pagbabago sa angular momentum, halimbawa sa anyo (3.33)

Pagsusuma sa lahat ng punto ng system at isinasaalang-alang na ang kabuuan ng mga derivative ay katumbas ng derivative ng kabuuan, nakukuha namin

Sa pamamagitan ng pagtukoy ng kinetic moment ng system at ang mga katangian ng panlabas at panloob na pwersa

Samakatuwid, ang resultang relasyon ay maaaring ilarawan bilang

Ang unang pagkakataon na derivative ng angular momentum ng isang sistema na may kaugnayan sa anumang punto ay katumbas ng pangunahing sandali ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa sistema na may kaugnayan sa parehong punto.

3.3.5. Trabaho ng puwersa

1) Ang elementarya na gawain ng isang puwersa ay katumbas ng scalar product ng puwersa at ang differential radius ng vector ng punto ng aplikasyon ng puwersa (Fig. 3.13)

Larawan 3.13

Ang pagpapahayag (3.36) ay maaari ding isulat sa mga sumusunod na katumbas na anyo

kung saan ang projection ng puwersa papunta sa direksyon ng bilis ng punto ng paglalapat ng puwersa.

2) Trabaho ng puwersa sa huling pag-alis

Pagsasama ng elementarya na gawain ng puwersa, nakukuha namin ang mga sumusunod na expression para sa gawain ng puwersa sa huling pag-alis mula sa punto A hanggang sa punto B

3) Gawain ng patuloy na puwersa

Kung ang puwersa ay pare-pareho, pagkatapos ay mula sa (3.38) ito ay sumusunod

Ang gawain ng isang pare-parehong puwersa ay hindi nakasalalay sa hugis ng tilapon, ngunit nakasalalay lamang sa displacement vector ng punto ng aplikasyon ng puwersa.

4) Trabaho ng puwersa ng timbang

Para sa puwersa ng timbang (Larawan 3.14) at mula sa (3.39) nakukuha namin

Larawan 3.14

Kung ang paggalaw ay nangyayari mula sa punto B hanggang sa punto A, kung gayon

Sa pangkalahatan

Ang “+” sign ay tumutugma sa pababang paggalaw ng force application point, ang “-” sign – pataas.

4) Trabaho ng nababanat na puwersa

Hayaang ang axis ng spring ay nakadirekta sa x axis (Larawan 3.15), at ang dulo ng spring ay gumagalaw mula sa punto 1 hanggang sa punto 2, pagkatapos ay mula sa (3.38) makuha namin

Kung ang spring stiffness ay Sa, kaya pagkatapos

A (3.41)

Kung ang dulo ng tagsibol ay gumagalaw mula sa punto 0 hanggang sa punto 1, pagkatapos ay sa pagpapahayag na ito ay pinapalitan natin , , Kung gayon ang gawain ng nababanat na puwersa ay kukuha ng anyo

(3.42)

nasaan ang pagpahaba ng tagsibol.

Larawan 3.15

5) Ang gawain ng puwersa na inilapat sa isang umiikot na katawan. Ang gawain ng sandali.

Sa Fig. Ang Figure 3.16 ay nagpapakita ng umiikot na katawan kung saan inilalapat ang isang arbitrary na puwersa. Sa panahon ng pag-ikot, ang punto ng paggamit ng puwersang ito ay gumagalaw sa isang bilog.

Na binubuo ng mga n materyal na puntos. Pumili tayo ng isang tiyak na punto mula sa sistemang ito Mj may masa m j. Tulad ng nalalaman, ang mga panlabas at panloob na pwersa ay kumikilos sa puntong ito.

Ilapat natin ito sa punto Mj resulta ng lahat ng panloob na pwersa F j i at ang resulta ng lahat ng panlabas na pwersa F j e(Larawan 2.2). Para sa isang napiling materyal na punto Mj(tulad ng para sa isang libreng punto) isinulat namin ang theorem sa pagbabago ng momentum sa differential form (2.3):

Sumulat tayo ng mga katulad na equation para sa lahat ng mga punto ng mekanikal na sistema (j=1,2,3,…,n).

Larawan 2.2

Idagdag natin ang lahat ng ito nang paisa-isa n mga equation:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Dito ∑m j ×V j =Q- ang dami ng paggalaw ng mekanikal na sistema;
∑F j e = R e– ang pangunahing vector ng lahat ng panlabas na puwersa na kumikilos sa mekanikal na sistema;
∑F j i = R i =0– ang pangunahing vector ng mga panloob na pwersa ng system (ayon sa pag-aari ng mga panloob na pwersa, ito ay katumbas ng zero).

Sa wakas, para sa mekanikal na sistema na nakuha namin

dQ/dt = R e. (2.11)

Ang expression (2.11) ay isang theorem tungkol sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa differential form (sa vector expression): ang derivative ng oras ng vector ng momentum ng isang mekanikal na sistema ay katumbas ng pangunahing vector ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa system.

I-proyekto ang pagkakapantay-pantay ng vector (2.11) sa mga cartesian coordinate axes, nakakakuha tayo ng mga expression para sa theorem sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa coordinate (scalar) expression:

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

mga. ang time derivative ng projection ng momentum ng isang mekanikal na sistema sa anumang axis ay katumbas ng projection sa axis na ito ng pangunahing vector ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa mekanikal na sistemang ito.

Pagpaparami ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay (2.12) sa dt, nakukuha namin ang theorem sa isa pang differential form:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

mga. ang differential momentum ng isang mekanikal na sistema ay katumbas ng elementarya na salpok ng pangunahing vector (ang kabuuan ng mga elementarya na impulses) ng lahat ng panlabas na puwersa na kumikilos sa sistema.

Pagsasama ng pagkakapantay-pantay (2.13) sa loob ng pagbabago ng oras mula 0 hanggang t, nakakakuha tayo ng theorem tungkol sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa pangwakas (integral) na anyo (sa vector expression):

Q - Q 0 = S e,

mga. ang pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa loob ng isang takdang panahon ay katumbas ng kabuuang impulse ng pangunahing vector (ang kabuuan ng kabuuang impulses) ng lahat ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa system sa parehong yugto ng panahon.

I-proyekto ang pagkakapantay-pantay ng vector (2.14) sa mga cartesian coordinate axes, nakakakuha kami ng mga expression para sa theorem sa mga projection (sa isang scalar expression):

mga. ang pagbabago sa projection ng momentum ng isang mekanikal na sistema sa anumang axis sa isang takdang panahon ay katumbas ng projection sa parehong axis ng kabuuang impulse ng pangunahing vector (ang kabuuan ng kabuuang impulses) ng lahat ng mga panlabas na pwersa kumikilos sa mekanikal na sistema sa parehong yugto ng panahon.

Ang mga sumusunod na corollaries ay sumusunod mula sa itinuturing na theorem (2.11) – (2.15):

1. Kung R e = ∑F j e = 0, Iyon Q = const– mayroon tayong batas ng konserbasyon ng vector ng momentum ng isang mekanikal na sistema: kung ang pangunahing vector R e sa lahat ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa isang mekanikal na sistema ay katumbas ng zero, kung gayon ang vector ng momentum ng sistemang ito ay nananatiling pare-pareho sa magnitude at direksyon at katumbas ng paunang halaga nito Q 0, ibig sabihin. Q = Q 0.
2. Kung R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), Iyon Q x = const– mayroon tayong batas ng konserbasyon ng projection sa axis ng momentum ng isang mekanikal na sistema: kung ang projection ng pangunahing vector ng lahat ng pwersa na kumikilos sa isang mekanikal na sistema sa anumang axis ay zero, kung gayon ang projection sa parehong axis ng ang vector ng momentum ng system na ito ay magiging isang pare-parehong halaga at katumbas ng projection sa axis na ito na inisyal na vector ng momentum, i.e. Q x = Q 0x.

Ang differential form ng theorem sa pagbabago sa momentum ng isang materyal na sistema ay may mahalaga at kawili-wiling mga aplikasyon sa continuum mechanics. Mula sa (2.11) makukuha natin ang teorema ni Euler.

Differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto sa ilalim ng impluwensya ng puwersa F ay maaaring katawanin sa sumusunod na vector form:

Dahil ang masa ng isang punto m ay tinatanggap bilang pare-pareho, pagkatapos ay maaari itong ilagay sa ilalim ng derivative sign. Pagkatapos

Ang Formula (1) ay nagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng isang punto sa differential form: ang unang derivative na may kinalaman sa oras ng momentum ng isang punto ay katumbas ng puwersang kumikilos sa punto.

Sa mga projection papunta sa coordinate axes (1) ay maaaring katawanin bilang

Kung ang magkabilang panig (1) ay pinarami ng dt, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isa pang anyo ng parehong theorem - ang momentum theorem sa differential form:

mga. ang pagkakaiba ng momentum ng isang punto ay katumbas ng elementarya na salpok ng puwersang kumikilos sa punto.

Ang pag-project ng parehong bahagi ng (2) sa mga coordinate axes, makuha namin

Ang pagsasama ng parehong bahagi ng (2) mula sa zero hanggang t (Fig. 1), mayroon tayo

nasaan ang bilis ng punto sa sandaling ito t; - bilis sa t = 0;

S- salpok ng puwersa sa paglipas ng panahon t.

Ang isang expression sa anyo (3) ay madalas na tinatawag na momentum theorem sa may hangganan (o integral) na anyo: ang pagbabago sa momentum ng isang punto sa anumang yugto ng panahon ay katumbas ng salpok ng puwersa sa parehong yugto ng panahon.

Sa mga projection sa coordinate axes, ang theorem na ito ay maaaring katawanin sa sumusunod na anyo:

Para sa isang materyal na punto, ang theorem sa pagbabago ng momentum sa alinman sa mga anyo ay mahalagang walang pinagkaiba sa mga differential equation ng paggalaw ng isang punto.

Theorem sa pagbabago ng momentum ng isang sistema

Ang dami ng paggalaw ng system ay tatawaging vector quantity Q, katumbas ng geometric sum (pangunahing vector) ng mga dami ng paggalaw ng lahat ng mga punto ng system.

Isaalang-alang ang isang sistemang binubuo ng n materyal na puntos. Bumuo tayo ng mga differential equation ng paggalaw para sa sistemang ito at idagdag ang mga ito sa pamamagitan ng termino. Pagkatapos makuha namin:

Ang huling kabuuan, dahil sa pag-aari ng mga panloob na pwersa, ay katumbas ng zero. Bukod sa,

Sa wakas nakita namin:

Ang equation (4) ay nagpapahayag ng theorem sa pagbabago ng momentum ng system sa differential form: ang time derivative ng momentum ng system ay katumbas ng geometric na kabuuan ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa system.

Maghanap tayo ng isa pang expression para sa theorem. Hayaan sa sandaling ito t= 0 ang dami ng paggalaw ng system ay Q 0, at sa sandali ng oras t 1 nagiging pantay Q 1. Pagkatapos, pagpaparami ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay (4) sa dt at pagsasama, nakukuha namin:

O kung saan:

(S- force impulse)

dahil ang mga integral sa kanan ay nagbibigay ng mga impulses ng mga panlabas na puwersa,

Ang equation (5) ay nagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng system sa integral form: ang pagbabago sa momentum ng system sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng kabuuan ng mga impulses ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa sistema sa parehong yugto ng panahon.

Sa mga projection sa coordinate axes magkakaroon tayo ng:

Batas ng konserbasyon ng momentum

Mula sa theorem sa pagbabago ng momentum ng isang sistema, ang mga sumusunod na mahahalagang corollaries ay maaaring makuha:

1. Hayaang ang kabuuan ng lahat ng panlabas na puwersa na kumikilos sa system ay katumbas ng zero:

Pagkatapos mula sa equation (4) ito ay sumusunod na sa kasong ito Q = const.

kaya, kung ang kabuuan ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa system ay katumbas ng zero, kung gayon ang vector ng momentum ng system ay magiging pare-pareho sa magnitude at direksyon.

2. 01Hayaan ang mga panlabas na puwersa na kumikilos sa system na ang kabuuan ng kanilang mga projection sa ilang axis (halimbawa Ox) ay katumbas ng zero:

Pagkatapos mula sa mga equation (4`) ito ay sumusunod na sa kasong ito Q = const.

kaya, kung ang kabuuan ng mga projection ng lahat ng kumikilos na panlabas na pwersa sa anumang axis ay katumbas ng zero, kung gayon ang projection ng dami ng paggalaw ng system sa axis na ito ay isang pare-parehong halaga.

Ang mga resultang ito ay nagpapahayag batas ng konserbasyon ng momentum ng isang sistema. Ito ay sumusunod mula sa kanila na ang mga panloob na pwersa ay hindi maaaring baguhin ang kabuuang halaga ng paggalaw ng sistema.

Tingnan natin ang ilang halimbawa:

· Kababalaghan tungkol sa pagbabalik ng rolyo. Kung isasaalang-alang natin ang rifle at ang bala bilang isang sistema, kung gayon ang presyon ng mga pulbos na gas sa panahon ng pagbaril ay magiging isang panloob na puwersa. Hindi mababago ng puwersang ito ang kabuuang momentum ng system. Ngunit dahil ang mga pulbos na gas, na kumikilos sa bala, ay nagbibigay dito ng isang tiyak na dami ng paggalaw na nakadirekta pasulong, dapat nilang sabay na ibigay sa rifle ang parehong dami ng paggalaw sa kabaligtaran ng direksyon. Ito ay magiging sanhi ng pag-urong ng rifle, i.e. ang tinatawag na pagbabalik. Ang isang katulad na kababalaghan ay nangyayari kapag nagpaputok ng baril (rollback).

· Operasyon ng propeller (propeller). Ang propeller ay nagbibigay ng paggalaw sa isang tiyak na masa ng hangin (o tubig) kasama ang axis ng propeller, na ibinabalik ang masa na ito. Kung isasaalang-alang natin ang itinapon na masa at ang sasakyang panghimpapawid (o barko) bilang isang sistema, kung gayon ang mga puwersa ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng propeller at ng kapaligiran, bilang panloob, ay hindi maaaring baguhin ang kabuuang dami ng paggalaw ng sistemang ito. Samakatuwid, kapag ang isang masa ng hangin (tubig) ay itinapon pabalik, ang sasakyang panghimpapawid (o barko) ay tumatanggap ng katumbas na bilis ng pasulong upang ang kabuuang halaga ng paggalaw ng sistemang isinasaalang-alang ay nananatiling katumbas ng zero, dahil ito ay zero bago nagsimula ang paggalaw. .

Ang isang katulad na epekto ay nakakamit sa pamamagitan ng pagkilos ng mga sagwan o mga gulong ng sagwan.

· R e k t i v e Propulsion Sa isang rocket (rocket), ang mga gas na produkto ng fuel combustion ay inilalabas sa mataas na bilis mula sa butas sa buntot ng rocket (mula sa jet engine nozzle). Ang mga puwersa ng presyur na kumikilos sa kasong ito ay magiging mga panloob na pwersa at hindi nila mababago ang kabuuang momentum ng sistema ng rocket-powder gas. Ngunit dahil ang mga tumatakas na gas ay may isang tiyak na dami ng paggalaw na nakadirekta pabalik, ang rocket ay tumatanggap ng kaukulang bilis ng pasulong.

Theorem ng mga sandali tungkol sa isang axis.

Isaalang-alang ang materyal na punto ng masa m, gumagalaw sa ilalim ng impluwensya ng puwersa F. Hanapin natin para dito ang kaugnayan sa pagitan ng sandali ng mga vectors mV At F kaugnay sa ilang nakapirming Z axis.

m z (F) = xF - yF (7)

Katulad din para sa halaga m(mV), kung inilabas m ay wala sa mga bracket

m z (mV) = m(xV - yV)(7`)

Ang pagkuha ng mga derivatives na may paggalang sa oras mula sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito, nakita namin

Sa kanang bahagi ng resultang expression, ang unang bracket ay katumbas ng 0, dahil dx/dt=V at dу/dt = V, ang pangalawang bracket ayon sa formula (7) ay katumbas ng

mz(F), dahil ayon sa pangunahing batas ng dinamika:

Sa wakas magkakaroon tayo ng (8)

Ang resultang equation ay nagpapahayag ng theorem ng mga sandali tungkol sa axis: ang derivative ng oras ng momentum ng isang punto na may kaugnayan sa anumang axis ay katumbas ng sandali ng kumikilos na puwersa na nauugnay sa parehong axis. Ang isang katulad na teorama ay nagtataglay ng mga sandali tungkol sa alinmang sentro O.