§7. Mga halimbawa ng mga linear na espasyo

Ang linear shell ay tinatawag din nabuo ang subspace X. Karaniwang tinutukoy . Sinasabi rin na ang linear shell nakaunat isang grupo ng X .

Ari-arian

Tingnan din

Mga link

Wikimedia Foundation. 2010.

• Jangar
• Balanse sa pagbabayad

Tingnan kung ano ang "Linear shell" sa iba pang mga diksyunaryo:

LINEAR SHELL- intersection M ng lahat ng mga subspace na naglalaman ng set ng vector space E. Bukod dito, Mnaz. isa ring subspace na nabuo ni A. M. I. Voitskhovsky... Mathematical Encyclopedia

Mga vector ng linear na shell

Mga vector ng linear na shell- isang hanay ng mga linear na kumbinasyon ng mga vector na ito ∑αiаi kasama ang lahat ng posibleng coefficient (α1, …, αn) … Diksyonaryo ng ekonomiya at matematika

linear shell vectors- Isang hanay ng mga linear na kumbinasyon ng mga vector na ito na may lahat ng posibleng coefficient (?1, …, ?n). Mga paksa sa ekonomiya EN linear hull …

linear algebra- Disiplina sa matematika, isang seksyon ng algebra, na naglalaman, sa partikular, ang teorya ng mga linear equation, matrice at determinants, pati na rin ang teorya ng vector (linear) na mga puwang. Linear na relasyon "relasyon ng anyo: a1x1 + a2x2 + … +… … Gabay sa Teknikal na Tagasalin

Linear na pag-asa- “relasyon ng anyo: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, kung saan ang a1, a2, …, an ay mga numero, kahit isa ay hindi zero; Ang x1, x2, ..., xn ay ilang mga bagay sa matematika kung saan ang mga pagpapatakbo ng karagdagan ay tinukoy ... Diksyonaryo ng ekonomiya at matematika

Shell- tingnan ang Linear shell... Diksyonaryo ng ekonomiya at matematika

Linear na pag-asa

Linear na kumbinasyon- Linear space, o vector space, ang pangunahing bagay ng pag-aaral ng linear algebra. Mga Nilalaman 1 Depinisyon 2 Pinakasimpleng katangian 3 Mga kaugnay na kahulugan at katangian ... Wikipedia

LINEAR GROUP ay isang pangkat ng mga linear transformation ng isang vector space V ng may hangganan na dimensyon n sa isang tiyak na katawan K. Ang pagpili ng isang batayan sa space V ay napagtanto ang linear na grupo bilang isang grupo ng mga non-degenerate square matrice ng degree n sa ibabaw ng katawan K . Kaya, ang isang isomorphism ay itinatag... Mathematical Encyclopedia

Mga libro

• Linear algebra. Textbook at workshop para sa open source education Bumili ng 1471 UAH (Ukraine lang)
• Linear algebra. Textbook at workshop para sa akademikong bachelor's degree, Kremer N.Sh.. Ang aklat na ito ay may kasamang ilang mga bagong konsepto at karagdagang mga katanungan, tulad ng pamantayan ng isang matrix, ang paraan ng pagpupuno sa isang batayan, isomorphism ng mga linear na espasyo, linear subspace, linear ...

Hayaan ang isang sistema ng mga vectors mula sa vector space V sa ibabaw ng field P.

Kahulugan 2: Linear na shell L mga sistema A ay ang set ng lahat ng linear na kumbinasyon ng mga vectors ng system A. Pagtatalaga L(A).

Maaari itong ipakita na para sa anumang dalawang sistema A At B,

A linear na ipinahayag sa pamamagitan ng B kung at kung . (1)

A katumbas B noon at kailan lang L(A)=L(B). (2)

Ang patunay ay sumusunod mula sa nakaraang ari-arian

3 Ang linear span ng anumang sistema ng mga vector ay isang subspace ng espasyo V.

Patunay

Kumuha ng alinmang dalawang vector at mula sa L(A), pagkakaroon ng mga sumusunod na pagpapalawak sa mga vector mula sa A: . Suriin natin ang pagiging posible ng mga kondisyon 1) at 2) ng pamantayan:

Dahil ito ay isang linear na kumbinasyon ng mga vector ng system A.

Dahil isa rin itong linear na kumbinasyon ng mga vector ng system A.

Isaalang-alang natin ngayon ang matrix. Linear span ng matrix row A ay tinatawag na row space ng matrix at denoted Lr(A). Linear span ng mga column ng matrix A ay tinatawag na puwang ng hanay at ipinapahiwatig Lc(A). Pakitandaan na kapag ang row at column space ng matrix A ay mga subspace ng iba't ibang arithmetic space P n At Pm ayon sa pagkakabanggit. Gamit ang pahayag (2), maaari tayong makarating sa sumusunod na konklusyon:

Teorama 3: Kung ang isang matrix ay nakuha mula sa isa pa sa pamamagitan ng isang kadena ng elementarya na pagbabago, kung gayon ang mga puwang ng hilera ng naturang mga matrice ay nag-tutugma.

Kabuuan at intersection ng mga subspace

Hayaan L At M- dalawang subspace ng espasyo R.

Halaga L+M ay tinatawag na isang set ng mga vectors x+y , Saan x ∈L At y ∈M. Malinaw, anumang linear na kumbinasyon ng mga vector mula sa L+M nabibilang L+M, samakatuwid L+M ay isang subspace ng espasyo R(maaaring tumugma sa espasyo R).

Sa pagtawid L∩M mga subspace L At M ay ang set ng mga vector na sabay-sabay na nabibilang sa mga subspace L At M(maaari lamang na binubuo ng isang zero vector).

Teorama 6.1. Kabuuan ng mga sukat ng mga arbitrary na subspace L At M may hangganan-dimensional na linear na espasyo R katumbas ng dimensyon ng kabuuan ng mga subspace na ito at ang dimensyon ng intersection ng mga subspace na ito:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Patunay. Tukuyin natin F=L+M At G=L∩M. Hayaan G g-dimensional na subspace. Pumili tayo ng batayan dito. kasi G⊂L At G⊂M, samakatuwid ay batayan G maaaring idagdag sa batayan L at sa base M. Hayaan ang batayan ng subspace L at hayaan ang batayan ng subspace M. Ipakita natin na ang mga vectors

(6.1) ang bumubuo ng batayan F=L+M. Upang ang mga vector (6.1) ay maging batayan ng espasyo F dapat silang linearly independent at anumang vector ng space F ay maaaring kinakatawan ng isang linear na kumbinasyon ng mga vectors (6.1).

Patunayan natin ang linear na kalayaan ng mga vectors (6.1). Hayaan ang zero vector ng espasyo F ay kinakatawan ng isang linear na kumbinasyon ng mga vectors (6.1) na may ilang mga coefficient:

Ang kaliwang bahagi ng (6.3) ay ang subspace vector L, at ang kanang bahagi ay ang subspace vector M. Samakatuwid ang vector

(6.4) ay kabilang sa subspace G=L∩M. Sa kabilang banda, ang vector v ay maaaring katawanin ng isang linear na kumbinasyon ng mga batayang vector ng subspace G:

(6.5) Mula sa mga equation (6.4) at (6.5) mayroon tayong:

Ngunit ang mga vector ay ang batayan ng subspace M, samakatuwid sila ay linearly independyente at . Pagkatapos (6.2) ay kukuha ng form:

Dahil sa linear na pagsasarili ng batayan ng subspace L meron kami:

Dahil ang lahat ng mga coefficient sa equation (6.2) ay naging zero, kung gayon ang mga vectors

linearly independent. Ngunit anumang vector z mula sa F(sa pamamagitan ng kahulugan ng kabuuan ng mga subspace) ay maaaring katawanin ng kabuuan x+y , Saan x ∈ L,y ∈ M. Sa turn nito x ay kinakatawan ng isang linear na kumbinasyon ng mga vectors a y - linear na kumbinasyon ng mga vectors. Samakatuwid, ang mga vectors (6.10) ay nagmula sa subspace F. Natagpuan namin na ang mga vectors (6.10) ay bumubuo ng isang batayan F=L+M.

Pag-aaral ng mga subspace base L At M at subspace na batayan F=L+M(6.10), mayroon kaming: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Kaya naman:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Direktang kabuuan ng mga subspace

Kahulugan 6.2. Space F kumakatawan sa direktang kabuuan ng mga subspace L At M, kung ang bawat vector x space F maaari lamang irepresenta bilang isang kabuuan x=y+z , Saan y ∈L at z ∈M.

Ang direktang halaga ay ipinahiwatig L⊕M. Sabi nila kung F=L⊕M, Iyon F nabubulok sa direktang kabuuan ng mga subspace nito L At M.

Teorama 6.2. Nang sa gayon n-dimensional na espasyo R ay ang direktang kabuuan ng mga subspace L At M, ito ay sapat na para sa intersection L At M naglalaman lamang ng zero na elemento at na ang dimensyon R ay katumbas ng kabuuan ng mga sukat ng mga subspace L At M.

Patunay. Pumili tayo ng ilang batayan sa subspace L at ilang batayan sa subspace M. Patunayan natin iyon

(6.11) ang batayan ng espasyo R. Ayon sa mga kondisyon ng teorama, ang sukat ng espasyo Rn katumbas ng kabuuan ng mga subspace L At M (n=l+m). Ito ay sapat na upang patunayan ang linear na kalayaan ng mga elemento (6.11). Hayaan ang zero vector ng espasyo R ay kinakatawan ng isang linear na kumbinasyon ng mga vectors (6.11) na may ilang mga coefficient:

(6.13) Dahil ang kaliwang bahagi ng (6.13) ay isang vector ng subspace L, at ang kanang bahagi ay ang subspace vector M At L∩M=0 , Iyon

(6.14) Ngunit ang mga vector ay ang mga base ng mga subspace L At M ayon sa pagkakabanggit. Samakatuwid sila ay linearly independent. Pagkatapos

(6.15) Itinatag na ang (6.12) ay wasto lamang sa ilalim ng kondisyon (6.15), at ito ay nagpapatunay ng linear na kalayaan ng mga vectors (6.11). Samakatuwid sila ay bumubuo ng isang batayan sa R.

Hayaan ang x∈R. Palawakin natin ito ayon sa batayan (6.11):

(6.16)Mula sa (6.16) mayroon kaming:

(6.18)Mula sa (6.17) at (6.18) sumusunod na ang anumang vector mula sa R ay maaaring kinakatawan bilang isang kabuuan ng mga vector x 1 ∈L At x 2 ∈M. Ito ay nananatiling patunayan na ang representasyong ito ay natatangi. Hayaan, bilang karagdagan sa representasyon (6.17), mayroong sumusunod na representasyon:

(6.19)Ang pagbabawas ng (6.19) mula sa (6.17), makuha natin

(6.20) Mula noong , at L∩M=0 , pagkatapos at . Samakatuwid at. ■

Theorem 8.4 sa dimensyon ng kabuuan ng mga subspace. Kung ang at ay mga subspace ng isang finite-dimensional linear space, kung gayon ang dimensyon ng kabuuan ng mga subspace ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga dimensyon nang walang dimensyon ng kanilang intersection ( Ang formula ni Grassmann):

Sa katunayan, hayaan ang maging batayan ng intersection . Dagdagan natin ito ng isang nakaayos na hanay ng mga vector hanggang sa batayan ng subspace at isang nakaayos na hanay ng mga vector hanggang sa batayan ng subspace. Ang ganitong karagdagan ay posible sa pamamagitan ng Theorem 8.2. Mula sa tatlong set ng vectors na ito, gumawa tayo ng ordered set ng vectors. Ipakita natin na ang mga vector na ito ay mga generator ng espasyo. Sa katunayan, ang anumang vector ng puwang na ito ay kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga vector mula sa isang nakaayos na set

Kaya naman, . Patunayan natin na ang mga generator ay linearly independent at samakatuwid sila ang batayan ng espasyo. Sa katunayan, gumawa tayo ng linear na kumbinasyon ng mga vector na ito at itumbas ito sa zero vector: . Ang lahat ng coefficient ng expansion na ito ay zero: ang mga subspace ng vector space na may bilinear form ay ang set ng lahat ng vectors orthogonal sa bawat vector mula sa . Ang set na ito ay isang vector subspace, na karaniwang tinutukoy ng .

Inilalarawan ng artikulo ang mga pangunahing kaalaman ng linear algebra: linear space, mga katangian nito, ang konsepto ng batayan, mga sukat ng espasyo, linear hull, koneksyon sa pagitan ng mga linear na espasyo at ang ranggo ng mga matrice.

Linear na espasyo

Isang grupo ng L tinawag linear na espasyo, kung para sa lahat ng mga elemento nito ang mga operasyon ng pagdaragdag ng dalawang elemento at pagpaparami ng isang elemento sa isang numero na nagbibigay-kasiyahan ako pangkat Mga axiom ni Weyl. Ang mga elemento ng linear space ay tinatawag mga vector. Ito ay isang kumpletong kahulugan; mas maikli, maaari nating sabihin na ang isang linear na espasyo ay isang hanay ng mga elemento kung saan ang mga operasyon ng pagdaragdag ng dalawang elemento at pag-multiply ng isang elemento sa isang numero ay tinukoy.

Mga axiom ni Weyl.

Hermann Weil iminungkahi na sa geometry mayroon kaming dalawang uri ng mga bagay ( mga vector at puntos), ang mga katangian nito ay inilalarawan ng mga sumusunod na axiom, na naging batayan ng seksyon linear algebra. Ito ay maginhawa upang hatiin ang mga axiom sa 3 grupo.

Pangkat I

1. para sa anumang mga vectors x at y ang pagkakapantay-pantay x+y=y+x ay nasiyahan;
2. para sa anumang mga vectors x, y at z ang pagkakapantay-pantay x+(y+z)=(x+y)+z ay nasiyahan;
3. mayroong isang vector o na para sa anumang vector x ang pagkakapantay-pantay ng x+o=x;
4. para sa anumang vector X mayroong isang vector (-x) na ang x+(-x)=o;
5. para sa anumang vector X ang pagkakapantay-pantay na 1x=x ay hawak;
6. para sa anumang mga vectors X At sa at anumang numero λ ang pagkakapantay-pantay λ( X+sa)=λ X+λ sa;
7. para sa anumang vector X at anumang mga numero λ at μ ang pagkakapantay-pantay ay hawak (λ+μ) X=λ X+μ X;
8. para sa anumang vector X at anumang numero λ at μ ang pagkakapantay-pantay λ(μ X)=(λμ) X;

Pangkat II

Ang Pangkat I ay tumutukoy sa konsepto linear na kumbinasyon ng mga vectors, linear dependence at linear independence. Ito ay nagpapahintulot sa amin na bumalangkas ng dalawa pang axiom:

1. mayroong n linearly independent vectors;
2. anumang (n+1) vectors ay linearly dependent.

Para sa planimetry n=2, para sa stereometry n=3.

Pangkat III

Ipinapalagay ng pangkat na ito na mayroong scalar multiplication operation na nagtatalaga ng isang pares ng mga vector X At sa numero ( x,y). kung saan:

1. para sa anumang mga vectors X At sa ang pagkakapantay-pantay ( x,y)=(y, x);
2. para sa anumang mga vectors X , sa At z ang pagkakapantay-pantay ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
3. para sa anumang mga vectors X At sa at anumang numero λ ang pagkakapantay-pantay (λ x,y)=λ( x,y);
4. para sa anumang vector x nananatili ang hindi pagkakapantay-pantay ( x, x)≥0, at ( x, x)=0 kung at kung lamang X=0.

Mga katangian ng linear space

Karamihan sa mga katangian ng linear space ay batay sa mga axiom ni Weyl:

1. Vector O, ang pagkakaroon nito ay ginagarantiyahan ng Axiom 3, ay tinutukoy sa isang natatanging paraan;
2. Vector (- X), na ang pagkakaroon ay ginagarantiyahan ng Axiom 4, ay tinutukoy sa isang natatanging paraan;
3. Para sa alinmang dalawang vectors A At b kabilang sa kalawakan L, mayroon lamang isang vector X, kabilang din sa kalawakan L, na isang solusyon sa equation a+x=b at tinatawag na vector difference b-a.

Kahulugan. Subset L' linear na espasyo L tinawag linear subspace space L, kung ito mismo ay isang linear space kung saan ang kabuuan ng mga vector at ang produkto ng isang vector at isang numero ay tinukoy sa parehong paraan tulad ng sa L.

Kahulugan. Linear na shell L(x1, x2, x3, …, xk) mga vector x1, x2, x3, At xk ay tinatawag na set ng lahat ng linear na kumbinasyon ng mga vector na ito. Tungkol sa linear shell masasabi natin iyan

-ang linear hull ay isang linear subspace;

– ang linear hull ay ang minimal linear subspace na naglalaman ng mga vectors x1, x2, x3, At xk.

Kahulugan. Ang isang linear na espasyo ay tinatawag na n-dimensional kung ito ay nakakatugon sa Group II ng Weyl axiom system. Tinatawag ang numero n sukat linear space at sumulat dimL=n.

Batayan– anumang ordered system ng n linearly independent vectors ng espasyo. Ang kahulugan ng batayan ay ang mga vector na bumubuo sa batayan ay maaaring gamitin upang ilarawan ang anumang vector sa espasyo.

Teorama. Anumang n linearly independent vectors sa space L ay bumubuo ng batayan.

Isomorphism.

Kahulugan. Mga linear na espasyo L At L' ay tinatawag na isomorphic kung ang gayong isa-sa-isang pagsusulatan ay maaaring maitatag sa pagitan ng kanilang mga elemento x↔x', Ano:

1. Kung x↔x', y↔y', Iyon x+y↔x’+y’;
2. Kung x↔x', pagkatapos λ x↔λ X'.

Ang sulat na ito mismo ay tinatawag na isomorphism. Ang Isomorphism ay nagpapahintulot sa amin na gawin ang mga sumusunod na pahayag:

• kung ang dalawang puwang ay isomorphic, kung gayon ang kanilang mga sukat ay pantay;
• anumang dalawang linear na espasyo sa ibabaw ng parehong field at ng parehong dimensyon ay isomorphic.

1. Set ng polynomials P n (x) degrees walang mas mataas n.

2. Isang grupo ng n-term sequence (na may termino-by-term na pagdaragdag at multiplikasyon sa isang scalar).

3 . Maraming mga tampok C [ A , b ] tuloy-tuloy sa [ A, b] at may pointwise na pagdaragdag at pagpaparami ng isang scalar.

4. Maraming function na tinukoy sa [ A, b] at naglalaho sa ilang nakapirming interior point c: f (c) = 0 at may pointwise na operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami ng isang scalar.

5. Itakda ang R+, kung x ⊕ y  x  y, ⊙x x  .

§8. Kahulugan ng subspace

Hayaan ang set W ay isang subset ng linear space V (W  V) at tulad niyan

a)  x, yW  x ⊕ yW;

b)  xW,    ⊙ xW.

Ang mga operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami dito ay kapareho ng sa espasyo V(tinatawag silang space induced V).

Ang dami W tinatawag na subspace ng espasyo V.

7  . Subspace W mismo ay espasyo.

◀ Upang patunayan ito, sapat na upang patunayan ang pagkakaroon ng neutral na elemento at ang kabaligtaran nito. Mga pagkakapantay-pantay 0⊙ x=  at (–1)⊙ X = –X patunayan kung ano ang kailangan.

Isang subspace na binubuo lamang ng isang neutral na elemento () at isang subspace na tumutugma sa mismong espasyo V, ay tinatawag na trivial subspaces ng space V.

§9. Linear na kumbinasyon ng mga vector. Linear span ng vector system

Hayaan ang mga vectors e 1 ,e 2 , …e n V at  1,  2 , …  n .

Vector x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = tinatawag na linear kumbinasyon ng mga vector e 1 , e 2 , … , e n na may mga coefficient  1,  2 , …  n .

Kung ang lahat ng mga coefficient sa isang linear na kumbinasyon ay katumbas ng zero, kung gayon ang linear na kumbinasyon tinawag walang kuwenta.

Itakda ang lahat ng posibleng linear na kumbinasyon ng mga vector
tinatawag na linear hull ang sistemang ito ng mga vector at ipinapahiwatig:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Ang kawastuhan ng mga operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami ng isang scalar ay sumusunod mula sa katotohanan na ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) ay isang set ng lahat ng posibleng linear na kumbinasyon. Ang neutral na elemento ay isang trivial linear na kumbinasyon. Para sa elemento X=
ang kabaligtaran ay ang elemento - x =
. Ang mga axiom na dapat matugunan ng mga operasyon ay nasiyahan din. Kaya,ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) ay isang linear na espasyo.

Ang anumang linear space ay naglalaman, sa pangkalahatang kaso, ng walang katapusang bilang ng iba pang mga linear na espasyo (subspaces) - mga linear na shell

Sa hinaharap, susubukan naming sagutin ang mga sumusunod na katanungan:

Kailan ang mga linear shell ng iba't ibang mga vector system ay binubuo ng parehong mga vectors (ibig sabihin, nag-tutugma)?

2) Ano ang pinakamababang bilang ng mga vector na tumutukoy sa parehong linear span?

3) Ang orihinal bang espasyo ay isang linear span ng ilang sistema ng mga vector?

§10. Kumpletuhin ang mga sistema ng vector

Kung sa kalawakan V mayroong isang may hangganan na hanay ng mga vectors
so ano,ℒ
 V, pagkatapos ay ang sistema ng mga vectors
ay tinatawag na isang kumpletong sistema sa V, at ang espasyo ay tinatawag na finite-dimensional. Kaya, ang sistema ng mga vectors e 1 , e 2 , …, e n V tinawag na complete in V sistema, i.e. Kung

XV   1 ,  2 , …  n ganyan x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Kung sa kalawakan V walang tiyak na kumpletong sistema (at palaging umiiral ang isang kumpletong - halimbawa, ang hanay ng lahat ng mga vector ng espasyo V), pagkatapos ay ang espasyo V ay tinatawag na infinite-dimensional.

9  . Kung
puno sa V sistema ng mga vector at y V, Iyon ( e 1 , e 2 , …, e n , y) ay isa ring kumpletong sistema.

◀ Sa mga linear na kumbinasyon ang coefficient bago y kumuha ng katumbas ng 0.

Hayaan ang isang sistema ng mga vector mula sa . Linear na shell mga sistema ng vector ay ang hanay ng lahat ng mga linear na kumbinasyon ng mga vector ng isang naibigay na sistema, i.e.

Mga katangian ng isang linear na shell: Kung , pagkatapos ay para sa at .

Ang linear shell ay may pag-aari ng pagiging sarado na may kinalaman sa mga linear na operasyon (ang mga operasyon ng karagdagan at multiplikasyon sa isang numero).

Ang isang subset ng isang puwang na may pag-aari na sarado na may kinalaman sa mga operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami sa pamamagitan ng mga numero ay tinatawaglinear subspace ng espasyo .

Ang linear na shell ng isang sistema ng mga vector ay isang linear na subspace ng espasyo.

Ang sistema ng mga vectors mula sa ay tinatawag na batayan , Kung

Ang anumang vector ay maaaring ipahayag bilang isang linear na kumbinasyon ng mga batayang vector:

2. Ang sistema ng mga vectors ay linearly independent.

Lemma Vector expansion coefficients ayon sa batayan ay natatanging tinutukoy.

Vector , na binubuo ng mga vector expansion coefficients ayon sa batayan ay tinatawag na coordinate vector ng vector sa batayan .

Pagtatalaga . Ang entry na ito ay nagbibigay-diin na ang mga coordinate ng vector ay nakasalalay sa batayan.

Mga linear na espasyo

Mga Kahulugan

Hayaang magbigay ng isang hanay ng mga elemento ng arbitraryong kalikasan. Hayaang tukuyin ang dalawang operasyon para sa mga elemento ng set na ito: pagdaragdag at pagpaparami sa alinman totoo numero: , at itakda sarado patungkol sa mga operasyong ito: . Hayaang sundin ng mga operasyong ito ang mga axiom:

3. Mayroong zero vector na may property para sa ;

4. para sa bawat isa ay may kabaligtaran na vector na may katangian ;

6. para sa , ;

7. para sa , ;

Pagkatapos ay tinatawag ang naturang set linear (vector) na espasyo, ang mga elemento nito ay tinatawag mga vector, at - upang bigyang-diin ang kanilang pagkakaiba mula sa mga numero mula sa - ang huli ay tinatawag mga scalar 1) . Ang isang puwang na binubuo lamang ng isang zero vector ay tinatawag walang kuwenta .

Kung sa axioms 6 - 8 pinapayagan namin ang pagpaparami ng mga kumplikadong scalar, kung gayon ang isang linear na espasyo ay tinatawag komprehensibo. Upang gawing simple ang ating pangangatwiran, sa mga sumusunod ay isasaalang-alang lamang natin ang mga tunay na espasyo.

Ang linear space ay isang pangkat na may paggalang sa pagpapatakbo ng karagdagan, at isang pangkat ng Abelian.

Ang pagiging natatangi ng zero vector at ang uniqueness ng vector inverse sa vector ay madaling mapatunayan: , ito ay karaniwang itinalaga .

Ang isang subset ng isang linear space na mismo ay isang linear space (iyon ay, sarado sa ilalim ng pagdaragdag ng mga vectors at multiplikasyon sa pamamagitan ng isang arbitrary scalar) ay tinatawag linear subspace space. Mga walang kuwentang subspace Ang isang linear na espasyo ay tinatawag na sarili nito at ang puwang na binubuo ng isang zero vector.

Halimbawa. Ang espasyo ng mga ordered triples ng totoong numero

mga operasyon na tinukoy ng mga pagkakapantay-pantay:

Ang geometric na interpretasyon ay halata: ang isang vector sa espasyo, "nakatali" sa pinagmulan, ay maaaring tukuyin sa mga coordinate ng dulo nito. Ipinapakita rin ng figure ang isang tipikal na subspace ng espasyo: isang eroplanong dumadaan sa pinanggalingan. Mas tiyak, ang mga elemento ay mga vector na nagmula sa pinanggalingan at nagtatapos sa mga punto sa eroplano. Ang pagsasara ng naturang set na may paggalang sa pagdaragdag ng mga vectors at ang kanilang dilation 2) ay halata.

Batay sa geometric na interpretasyong ito, ang isang vector ng isang arbitraryong linear na espasyo ay madalas na binabanggit bilang punto sa kalawakan. Minsan ang puntong ito ay tinatawag na "dulo ng vector". Bukod sa kaginhawahan ng associative perception, ang mga salitang ito ay hindi binibigyan ng anumang pormal na kahulugan: ang konsepto ng "end of a vector" ay wala sa axiomatics ng linear space.

Halimbawa. Batay sa parehong halimbawa, maaari tayong magbigay ng ibang interpretasyon ng vector space (naka-embed, sa pamamagitan ng paraan, sa mismong pinagmulan ng salitang "vector" 3)) - ito ay tumutukoy sa isang hanay ng mga "shift" ng mga puntos sa espasyo. Ang mga pagbabagong ito - o parallel na pagsasalin ng anumang spatial figure - ay pinili upang maging parallel sa eroplano.

Sa pangkalahatan, na may ganitong mga interpretasyon ng konsepto ng isang vector, ang lahat ay hindi gaanong simple. Mga pagtatangka na umapela sa pisikal na kahulugan nito - bilang isang bagay na mayroon laki At direksyon- maging sanhi ng isang patas na pagsaway mula sa mga mahigpit na mathematician. Ang kahulugan ng isang vector bilang isang elemento ng vector space ay lubos na nakapagpapaalaala sa episode na may sepulchami mula sa sikat na kwentong science fiction ni Stanislaw Lem (tingnan ang ☞DITO). Huwag tayong mabitin sa pormalismo, ngunit tuklasin ang malabong bagay na ito sa mga partikular na pagpapakita nito.

Halimbawa. Ang natural na generalization ay space: row o column vector space . Ang isang paraan upang tukuyin ang isang subspace sa ay upang tukuyin ang isang hanay ng mga hadlang.

Halimbawa. Ang hanay ng mga solusyon sa isang sistema ng mga linear homogenous na equation:

bumubuo ng isang linear na subspace ng espasyo. Sa katunayan, kung

Ang solusyon ng sistema, kung gayon

Ang parehong solusyon para sa anumang . Kung

Ang isa pang solusyon sa sistema, kung gayon

Ito rin ang magiging desisyon niya.

Bakit maraming solusyon sa system? magkakaiba ang mga equation ay hindi bumubuo ng isang linear na subspace?

Halimbawa. Pag-generalize pa, maaari nating isaalang-alang ang espasyo ng "walang katapusan" na mga string o mga pagkakasunod-sunod , kadalasan ang object ng mathematical analysis - kapag isinasaalang-alang ang mga sequence at series. Maaari mong isaalang-alang ang mga linya (sequence) na "walang katapusan sa parehong direksyon" - ginagamit ang mga ito sa SIGNAL THEORY.

Halimbawa. Ang hanay ng mga -matrice na may mga tunay na elemento na may mga operasyon ng pagdaragdag ng matrix at pagpaparami ng mga tunay na numero ay bumubuo ng isang linear na espasyo.

Sa espasyo ng square order matrice, dalawang subspace ang maaaring makilala: ang subspace ng simetriko matrice at ang subspace ng skew-symmetric matrice. Bilang karagdagan, ang mga subspace ay bumubuo sa bawat isa sa mga hanay: upper triangular, lower triangular idiagonal matrice.

Halimbawa. Isang hanay ng mga polynomial ng isang variable na degree na eksaktong katumbas ng mga coefficient ng (nasaan ang alinman sa mga set o ) na may mga karaniwang operasyon ng pagdaragdag ng mga polynomial at multiplikasyon sa isang numero mula sa hindi nabubuo linear na espasyo. Bakit? - Dahil hindi ito sarado sa ilalim ng karagdagan: ang kabuuan ng mga polynomial ay hindi magiging isang polynomial ng ika degree. Ngunit narito ang maraming polynomial ng degree hindi mas mataas

mga linear space form; tanging sa set na ito kailangan din nating magdagdag ng identically zero polynomial 4). Ang mga halatang subspace ay . Bilang karagdagan, ang mga subspace ay magiging set ng even at ang set ng mga kakaibang polynomial ng degree sa pinakamaraming . Ang hanay ng lahat ng posibleng polynomial (nang walang mga paghihigpit sa mga degree) ay bumubuo rin ng isang linear na espasyo.

Halimbawa. Ang paglalahat ng nakaraang kaso ay ang espasyo ng mga polynomial ng ilang mga variable ng degree na may mga coefficient mula sa . Halimbawa, ang hanay ng mga linear polynomial

bumubuo ng isang linear na espasyo. Ang hanay ng mga homogenous na polynomial (mga anyo) ng degree (na may pagdaragdag ng isang identically zero polynomial sa set na ito) ay isa ring linear space.

Sa mga tuntunin ng kahulugan sa itaas, ang hanay ng mga string na may mga bahaging integer

isinasaalang-alang na may paggalang sa mga operasyon ng componentwise pagdaragdag at pagpaparami ng mga integer Ang mga scalar ay hindi isang linear na espasyo. Gayunpaman, ang lahat ng axioms 1 - 8 ay masisiyahan kung papayagan namin ang multiplikasyon sa pamamagitan lamang ng integer scalars. Sa seksyong ito hindi kami magtutuon sa bagay na ito, ngunit ito ay lubos na kapaki-pakinabang sa discrete mathematics, halimbawa sa ☞ CODING THEORY. Isinasaalang-alang ang mga linear na puwang sa mga may hangganang patlang ☞ DITO.

Ang mga variable ay isomorphic sa espasyo ng simetriko matrice ng ika-order. Ang isomorphism ay itinatag sa pamamagitan ng isang sulat, na aming ilarawan para sa kaso:

Ang konsepto ng isomorphism ay ipinakilala upang maisagawa ang pag-aaral ng mga bagay na lumitaw sa iba't ibang mga lugar ng algebra, ngunit may "katulad" na mga katangian ng mga operasyon, gamit ang halimbawa ng isang sample, gumawa ng mga resulta dito na maaaring murang kopyahin. Aling linear space ang dapat nating kunin "bilang sample"? - Tingnan ang pagtatapos ng susunod na talata