Довести, що вектори лінійно незалежні. Лінійна залежність та лінійна незалежність системи векторів

Нехай L - Лінійний простір над полем Р . Нехай А1, а2, …, аn (*) кінцева система векторів з L . Вектор У = a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn (16) називається Лінійною комбінацією векторів ( *), або кажуть, що вектор У лінійно виражається через систему векторів (*).

Визначення 14. Система векторів (*) називається Лінійно залежною тоді і тільки тоді, коли існує такий ненульовий набір коефіцієнтів a1, a2, … , an, що a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn = 0. Якщо ж a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn = 0 a1 = a2 = … = an = 0, то система (*) називається Лінійно незалежною.

Властивості лінійної залежності та незалежності.

10. Якщо система векторів містить нульовий вектор, вона лінійно залежна.

Дійсно, якщо в системі (*) вектор А1 = 0, То 1× 0 + 0× А2 + … + 0 × Аn = 0 .

20. Якщо система векторів містить два пропорційні вектори, вона лінійно залежна.

Нехай А1 = L×а2. Тоді 1× А1 -l× А2 + 0× А3 + … + 0× А N = 0.

30. Кінцева система векторів (*) при n ³ 2 лінійно залежна тоді і лише тоді, коли хоча б один із її векторів є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.

Þ Нехай (*) лінійно залежна. Тоді знайдеться ненульовий набір коефіцієнтів a1, a2, … an, при якому a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn = 0 . Не порушуючи спільності, можна вважати, що a1 ¹ 0. Тоді існує і А1 = ×a2× А2 + … + ×an× А N. Отже, вектор А1 є лінійною комбінацією інших векторів.

Ü Нехай один із векторів (*) є лінійною комбінацією інших. Можна вважати, що це перший вектор, тобто. А1 = B2 А2+ … + bn А N, Звідси (–1)× А1 + b2 А2+ … + bn А N = 0 , Т. е. (*) лінійно залежна.

Зауваження. Використовуючи останню властивість, можна дати визначення лінійної залежності та незалежності нескінченної системи векторів.

Визначення 15. Система векторів А1, а2, …, аn , … (**) називається Лінійно залежною, Якщо хоча б її вектор є лінійною комбінацією деякого кінцевого числа інших векторів. Інакше система (**) називається Лінійно незалежною.

40. Кінцева система векторів лінійно незалежна тоді й лише тоді, коли жоден із її векторів не можна лінійно висловити через інші її вектори.

50. Якщо система векторів лінійно незалежна, будь-яка її підсистема теж лінійно незалежна.

60. Якщо деяка підсистема даної системи векторів лінійно залежна, і вся система теж лінійно залежна.

Нехай дані дві системи векторів А1, а2, …, аn , … (16) та В1, в2, …, вs, … (17). Якщо кожен вектор системи (16) можна у вигляді лінійної комбінації кінцевого числа векторів системи (17), то говорять, що система (17) лінійно виражається через систему (16).

Визначення 16. Дві системи векторів називаються Еквівалентними якщо кожна з них лінійно виражається через іншу.

Теорема 9 (Основна теорема про лінійну залежність).

Нехай і – дві кінцеві системи векторів з L . Якщо перша система лінійно незалежна та лінійно виражається через другу, то N£ s.

Доведення.Припустимо, що N> S.За умовою теореми

спільна. Так як число рівнянь більше від кількості невідомих, то система має нескінченно багато рішень. Отже, вона має ненульове Х10, х20, …, хN0. При цих значеннях рівність (18) вірно, що суперечить тому, що система векторів лінійно незалежна. Отже, наше припущення не вірне. Отже, N£ s.

Слідство.Якщо дві еквівалентні системи векторів кінцеві і лінійно незалежні, вони містять однакове число векторів.

Визначення 17. Система векторів називається Максимально лінійно незалежною системою векторів Лінійний простір L якщо вона лінійно незалежна, але при додаванні до неї будь-якого вектора з L , що не входить до цієї системи, вона стає вже лінійно залежною.

Теорема 10. Будь-які дві кінцеві максимальні лінійно незалежні системи векторів з L Містять однакове число векторів.

Доведеннявипливає з того, що будь-які дві максимальні лінійно незалежні системи векторів еквівалентні .

Легко довести, що будь-яку лінійно незалежну систему векторів простору L можна доповнити максимальної лінійно незалежної системи векторів цього простору.

Приклади:

1. У багатьох колінеарних геометричних векторів будь-яка система, що складається їх одного ненульового вектора, є максимальною лінійно незалежною.

2. У багатьох всіх компланарних геометричних векторів будь-які два неколлінеарних вектори становлять максимальну лінійно незалежну систему.

3. У багатьох всіх можливих геометричних векторів тривимірного евклідового простору будь-яка система трьох некомпланарних векторів є максимальною лінійно незалежною.

4. У багатьох багаточленів ступеня не вище NЗ дійсними (комплексними) коефіцієнтами система багаточленів 1, х, х2, … , хnЄ максимальною лінійно незалежною.

5. У багатьох багаточленів з дійсними (комплексними) коефіцієнтами прикладами максимальної лінійно незалежної системи є

а) 1, х, х2, …, хn, …;

б) 1, (1 - х), (1 - х)2, … , (1 - х)N, …

6. Безліч матриць розмірності M´ Nє лінійним простором (перевірте це). Прикладом максимальної лінійно незалежної системи у цьому просторі є система матриць Е11= , Е12 =, …, ЕMn = .

Нехай дана система векторів С1, с2, …, порівн (*). Підсистема векторів із (*) називається Максимальної лінійно незалежної ПідсистемоюСистеми ( *) якщо вона лінійно незалежна, але при додаванні до неї будь-якого іншого вектора ця система вона стає лінійно залежною. Якщо система (*) кінцева, то будь-яка її максимальна лінійно незалежна підсистема містить одне й те число векторів. (Доказ проведіть самостійно). Число векторів у максимальній лінійно незалежній підсистемі системи (*) називається Рангом Цієї системи. Очевидно, що еквівалентні системи векторів мають однакові ранги.

Визначення. Лінійна комбінація векторів a 1 , ..., a n з коефіцієнтами x 1 , ..., x n називається вектор

x 1 a 1 + ... + x n a n.

тривіальноюякщо всі коефіцієнти x 1 , ..., x n рівні нулю.

Визначення. Лінійна комбінація x 1 a 1 + ... + x n a n називається нетривіальною, якщо хоча б один з коефіцієнтів x 1, ..., x n не дорівнює нулю.

лінійно незалежними, якщо немає нетривіальної комбінації цих векторів рівної нульовому вектору .

Тобто вектора a 1 ..., a n лінійно незалежні якщо x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 тоді і тільки тоді, коли x 1 = 0, ..., x n = 0.

Визначення. Вектори a 1 , ..., a n називаються лінійно залежнимиякщо існує нетривіальна комбінація цих векторів дорівнює нульовому вектору.

Властивості лінійно залежних векторів:

Для 2-х та 3-х мірних векторів.

Два лінійно залежні вектори - колінеарні. (Колінеарні вектори - лінійно залежні.) .

Для трьох мірних векторів.

Три лінійно залежні вектори - компланарні. (Три компланарні вектори - лінійно залежні.)

• Для n-мірних векторів.

  n + 1 вектор завжди лінійно залежні.

Приклади завдань на лінійну залежність та лінійну незалежність векторів:

Приклад 1. Перевірити чи вектора a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) лінійно незалежними.

Рішення:

Вектори будуть лінійно залежними, оскільки розмірність векторів менша за кількість векторів.

Приклад 2. Перевірити чи вектора a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) лінійно незалежними.

Рішення:

з першого рядка віднімемо другий; до третього рядка додамо другий:

Дане рішення показує, що система має безліч рішень, тобто існує не нульова комбінація значень чисел x 1 x 2 x 3 таких, що лінійна комбінація векторів a, b, c дорівнює нульовому вектору, наприклад:

A + b + c = 0

а це означає вектори a, b, c лінійно залежні.

Відповідь:вектора a, b, c лінійно залежні.

Приклад 3. Перевірити чи вектора a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) лінійно незалежними.

Рішення:Знайдемо значення коефіцієнтів при якому лінійна комбінація цих векторів дорівнюватиме нульовому вектору.

Це векторне рівняння можна записати у вигляді системи лінійних рівнянь

Вирішимо цю систему використовуючи метод Гауса

з другого рядка віднімемо перший; з третього рядка віднімемо перший:

з першого рядка віднімемо другий; до третього рядка додамо другий.

Іншими словами, лінійна залежність групи векторів означає, що існує серед них вектор, який можна представити лінійною комбінацією інших векторів цієї групи.

Припустимо. Тоді

Отже вектор xлінійно залежний із векторів цієї групи.

Вектори x, y, ..., zназиваються лінійно незалежними векторами, якщо з рівності (0) випливає, що

α=β= ...= γ=0.

Тобто групи векторів лінійно незалежні, якщо жоден вектор може бути представлений лінійною комбінацією інших векторів цієї групи.

Визначення лінійної залежності векторів

Нехай задано m векторів рядків порядку n:

Зробивши Гауссове виняток, наведемо матрицю (2) до верхнього трикутного вигляду. Елементи останнього стовпця змінюються лише тоді, коли рядки переставляються. Після m кроків виключення отримаємо:

де i 1 , i 2 , ..., i m - індекси рядків, отримані при можливій перестановці рядків. Розглядаючи отримані рядки з індексів рядків, виключаємо ті, які відповідають нульовим вектором рядків. Рядки, що залишилися, утворюють лінійно незалежні вектори. Зазначимо, що з складанні матриці (2) змінюючи послідовність векторів рядків, можна отримати іншу групу лінійно незалежних векторів. Але підпростір, який обидві ці групи векторів утворюють збігаються.

Введені нами лінійні операції над векторамидають можливість складати різні вирази для векторних величинта перетворювати їх за допомогою встановлених для цих операцій властивостей.

З заданого набору векторів а 1 , ..., а n , можна скласти вираз виду

де а 1 ..., а n - довільні дійсні числа. Цей вираз називають лінійною комбінацією векторіва 1, ..., а n. Числа α i , i = 1, n , являють собою коефіцієнти лінійної комбінації. Набір векторів називають ще системою векторів.

У зв'язку з введеним поняттям лінійної комбінації векторів виникає задача опису безлічі векторів, які можуть бути записані у вигляді лінійної комбінації даної системи векторів а 1 ..., а n . Крім того, закономірні питання про умови, за яких існує уявлення вектора у вигляді лінійної комбінації, та про єдиність такого уявлення.

Визначення 2.1.Вектори а 1 ..., а n називають лінійно залежнимиякщо існує такий набір коефіцієнтів α 1 , ... , α n , що

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

і при цьому хоча б один із цих коефіцієнтів ненульовий. Якщо зазначеного набору коефіцієнтів немає, то вектори називають лінійно незалежними.

Якщо α 1 = ... = α n = 0, то, очевидно, α 1 а 1 + ... + α n а n = 0. Маючи це на увазі, можемо сказати так: вектори а 1 , ..., а n лінійно незалежні, якщо з рівності (2.2) випливає, що всі коефіцієнти 1, ... , n рівні нулю.

Наступна теорема пояснює, чому нове поняття названо терміном "залежність" (або "незалежність") і дає простий критерій лінійної залежності.

Теорема 2.1.Щоб вектори а 1 , ..., а n , n > 1, були лінійно залежні, потрібно й достатньо, щоб одне із них був лінійної комбінацією інших.

◄ Необхідність. Припустимо, що вектори а 1 ..., а n лінійно залежні. Згідно з визначенням 2.1 лінійної залежності, в рівності (2.2) зліва є хоча б один ненульовий коефіцієнт, наприклад, α 1 . Залишивши перший доданок в лівій частині рівності, перенесемо інші в праву частину, змінюючи, як завжди, у них знаки. Розділивши отриману рівність на α 1 , отримаємо

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

тобто. подання вектора a 1 як лінійної комбінації інших векторів а 2 , ..., а n .

Достатність. Нехай, наприклад, перший вектор а 1 можна подати у вигляді лінійної комбінації інших векторів: а 1 = β 2 а 2 + ... + β n а n. Перенісши всі складові з правої частини ліву, отримаємо а 1 - β 2 а 2 - ... - β n а n = 0, тобто. лінійну комбінацію векторів а 1 , ..., а n з коефіцієнтами α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , рівну нульовий вектор.У цій лінійній комбінації не всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Відповідно до визначення 2.1, вектори а 1 ..., а n лінійно залежні.

Визначення та критерій лінійної залежності сформульовані так, що мають на увазі наявність двох або більше векторів. Однак можна також говорити про лінійну залежність одного вектора. Щоб реалізувати таку можливість, потрібно замість "вектори лінійно залежні" говорити "система векторів лінійно залежна". Неважко переконатися, що вираз "система з одного вектора лінійно залежна" означає, що цей єдиний вектор є нульовим (у лінійній комбінації є лише один коефіцієнт, і він не повинен дорівнювати нулю).

Поняття лінійної залежності має просту геометричну інтерпретацію. Цю інтерпретацію проясняють такі три твердження.

Теорема 2.2.Два вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли вони колінеарні.

◄ Якщо вектори а і b лінійно залежні, один із них, наприклад а, виражається через інший, тобто. а = b для деякого дійсного числа . Відповідно до визначення 1.7 творивектора на число, вектори і b є колінеарними.

Нехай тепер вектори а та b колінеарні. Якщо вони обидва нульові, то очевидно, що вони лінійно залежні, тому що будь-яка їхня лінійна комбінація дорівнює нульовому вектору. Нехай один із цих векторів не дорівнює 0, наприклад вектор b. Позначимо через λ відношення довжин векторів: λ = |а|/|b|. Колінеарні вектори можуть бути односпрямованимиабо протилежно спрямованими. В останньому випадку у λ змінимо знак. Тоді, перевіряючи визначення 1.7, переконуємось, що а = b. Відповідно до теореми 2.1, вектори а та b лінійно залежні.

Зауваження 2.1.У разі двох векторів, враховуючи критерій лінійної залежності, доведену теорему можна переформулювати так: два вектори колінеарні тоді і лише тоді, коли один з них представляється як твір іншого на число. Це є зручним критерієм колінеарності двох векторів.

Теорема 2.3.Три вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли вони компланарні.

◄ Якщо три вектори а, Ь, з лінійно залежними, то згідно з теоремою 2.1 один з них, наприклад а, є лінійною комбінацією інших: а = βb + γс. Сумісний початок векторів b і с у точці A. Тоді вектори βb, γс матимуть загальний початок у точці A і по правилу паралелограма їх сума,тобто. вектор а, буде вектор з початком A і кінцем, що є вершиною паралелограма, побудованого на векторах-доданків. Отже, всі вектори лежать у одній площині, т. е. компланарны.

Нехай вектори а, b, компланарні. Якщо один із цих векторів є нульовим, то очевидно, що він буде лінійною комбінацією інших. Достатньо всі коефіцієнти лінійної комбінації взяти рівними нулю. Тому можна вважати, що всі три вектори не є нульовими. Сумісний початкуцих векторів у загальній точці O. Нехай їх кінцями будуть відповідно точки A, B, C (рис. 2.1). Через точку C проведемо прямі, паралельні прямим, що проходить через пари точок O, A і O, B. Позначивши точки перетину через A" та B", отримаємо паралелограм OA"CB", отже, OC" = OA" + OB" . OA" і ненульовий вектор а=OA колінеарні, а тому перший з них може бути отриманий множенням другого на дійсне число α:OA" = αOA . Аналогічно OB" = βOB , β ∈ R. В результаті отримуємо, що OC" = α OA + βOB , тобто вектор є лінійною комбінацією векторів а і b. Відповідно до теореми 2.1, вектори a, b, з є лінійно залежними.

Теорема 2.4.Будь-які чотири вектори лінійно залежні.

◄ Доказ проводимо за тією самою схемою, що й у теоремі 2.3. Розглянемо довільні чотири вектори a, b, c і d. Якщо один із чотирьох векторів є нульовим, або серед них є два колінеарні вектори, або три з чотирьох векторів компланарні, то ці чотири вектори лінійно залежні. Наприклад, якщо вектори а і b колінеарні, то ми можемо скласти їх лінійну комбінацію αa + βb = 0 з ненульовими коефіцієнтами, а потім до цієї комбінації додати два вектори, взявши в якості коефіцієнтів нулі. Отримаємо рівну 0 лінійну комбінацію чотирьох векторів, де є ненульові коефіцієнти.

Таким чином, ми можемо вважати, що серед обраних чотирьох векторів немає нульових, жодні два не колінеарні і ніякі три не є компланарними. Виберемо як їхній загальний початок точку О. Тоді кінцями векторів a, b, с, d будуть деякі точки A, B, С, D (рис. 2.2). Через точку D проведемо три площини, паралельні площин ОВС, OCA, OAB, і нехай A", B", С" - точки перетину цих площин з прямими OA, OB, ОС відповідно. Ми отримуємо паралелепіпед OA"C"B"C" B"DA", і вектори a, b, з лежать на його ребрах, що виходять з вершини О. Так як чотирикутник OC"DC" є паралелограмом, то OD = OC" + OC". У свою чергу, відрізок ОС є діагоналлю паралелограма OA"C"B", тому OC" = OA" + OB" , а OD = OA" + OB" + OC" .

Залишається помітити, що пари векторів OA ≠ 0 і OA" , OB ≠ 0 і OB" , OC ≠ 0 і OC колінеарні, і, отже, можна підібрати коефіцієнти α, β, γ так, що OA" = αOA , OB" = βOB і OC" = γOC. Остаточно отримуємо OD = αOA + βOB + γOC. Отже, вектор OD виражається через решту трьох векторів, а всі чотири вектори, згідно з теоремою 2.1, лінійно залежні.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Рішення.Шукаємо загальне рішення системи рівнянь

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

методом Гауса. Для цього запишемо цю однорідну систему за координатами:

Матриця системи

Дозволена система має вигляд: (r A = 2, n= 3). Система спільна та невизначена. Її загальне рішення ( x 2 – вільна змінна): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Наявність ненульового приватного рішення, наприклад, говорить про те, що вектори a 1 , a 2 , a 3 лінійно залежні.

приклад 2.

З'ясувати, чи дана система векторів є лінійно залежною або лінійно незалежною:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Рішення.Розглянемо однорідну систему рівнянь a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

або у розгорнутому вигляді (за координатами)

Система однорідна. Якщо вона невироджена, вона має єдине рішення. Що стосується однорідної системи – нульове (тривіальне) рішення. Отже, у разі система векторів незалежна. Якщо ж система вироджена, вона має ненульові рішення і, отже, вона залежна.

Перевіряємо систему на виродженість:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Система невироджена і, отже, вектори a 1 , a 2 , a 3 лінійно незалежні.

Завдання.З'ясувати, чи дана система векторів є лінійно залежною або лінійно незалежною:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Довести, що система векторів буде лінійно залежною, якщо вона містить:

а) два рівні вектори;

б) два пропорційні вектори.