Лінійна залежність та незалежність. Лінійна залежність та незалежність, властивості, дослідження системи векторів на лінійну залежність, приклади та рішення Теорема про лінійну незалежність

Лемма 1 : Якщо в матриці розміру n n хоча один рядок (стовпець) дорівнює нулю, то рядки (стовпці) матриці є лінійно залежними.

Доведення:Нехай нульовий буде перший рядок, тоді

де a 1 0. Що й було потрібно.

Визначення: Матриця, у якої розташовані нижче головної діагоналі елементи дорівнюють нулю, називається трикутної:

а ij = 0, i>j.

Лемма 2: Визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів головної діагоналі.

Доказ неважко провести індукцією за розмірністю матриці.

Теорема про лінійну незалежність векторів.

а)Необхідність: лінійно залежні D=0 .

Доведення:Нехай лінійно залежні, j=,

тобто, існує a j , не всі рівні нулю, j = ,що a 1 А 1 + a 2 А 2 + ... a n A n = , А j –стовпці матриці А.Нехай, наприклад, a n ¹0.

Маємо a j * = a j / a n , j n -1a 1 * А 1 + a 2 * А 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n = .

Замінимо останній стовпець матриці Ана

А n * = a 1 * А 1 + a 2 * А 2 + ... a n -1 A n -1 + A n =.

Відповідно до вище доведеної властивості визначника (він не зміниться, якщо в матриці до будь-якого стовпця додати інший, помножений на число) визначник нової матриці дорівнює визначнику вихідної. Але в новій матриці один стовпець нульовий, значить, розкладаючи визначник цього стовпця, отримаємо D=0,що й потрібно було довести.

б)Достатність:Матрицю розміру n nз лінійно незалежними рядкамизавжди можна привести до трикутного вигляду за допомогою перетворень, що не змінюють абсолютної величини визначника. При цьому із незалежності рядків вихідної матриці випливає нерівність нулю її визначника.

1. Якщо у матриці розміру n nз лінійно незалежними рядками елемент а 11дорівнює нулю, то перше місце слід переставити стовпець, у якого елемент а 1 j ¹ 0. Відповідно до леми 1 такий елемент знайдеться. Визначник перетвореної матриці може відрізнятися від визначника вихідної матриці тільки знаком.

2. Від рядків із номерами i>1заберемо перший рядок, помножений на дріб a i 1 /a 11. При цьому в першому стовпці рядків із номерами i>1вийдуть нульові елементи.

3. Почнемо обчислювати визначник отриманої матриці розкладанням першого стовпця. Оскількив ньому всі елементи, крім першого, дорівнюють нулю,

D нов = a 11 нов (-1) 1+1 D 11 нов,

де d 11 новий- Визначник матриці меншого розміру.

Далі для обчислення визначника D 11повторюємо пункти 1, 2, 3 доти, доки останній визначник не виявиться визначником від матриці розміру 1 1. Оскільки п.1 змінює тільки знак визначника матриці, що перетворюється, а п.2 взагалі не змінює величини визначника, то, з точністю до знака, в результаті отримаємо визначник вихідної матриці. При цьому, оскільки через лінійну незалежність рядків вихідної матриці п.1 завжди виконаємо, всі елементи головної діагоналі вийдуть нерівними нулю. Таким чином, підсумковий визначник згідно з викладеним алгоритмом дорівнює добутку ненульових елементів, що стоять на головній діагоналі. Тому і визначник вихідної матриці не дорівнює нулю. Що й потрібно було довести.

Додаток 2

Наступні дають кілька критеріїв лінійної залежності та відповідно лінійної незалежності систем векторів.

Теорема. (Необхідна та достатня умова лінійної залежності векторів.)

Система векторів є залежною тоді і лише тоді, коли один із векторів системи лінійно виражається через інші системи.

Доведення. Необхідність. Нехай система лінійно залежна. Тоді, за визначенням, вона становить нульовий вектор нетривіально, тобто. існує нетривіальна комбінація даної системи векторів рівна нульовому вектору:

де хоча б один із коефіцієнтів цієї лінійної комбінації не дорівнює нулю. Нехай,.

Розділимо обидві частини попередньої рівності на цей ненульовий коефіцієнт (тобто помножимо на:

Позначимо: , де .

тобто. один із векторів системи лінійно виражається через інші цієї системи, ч.т.д.

Достатність. Нехай один із векторів системи лінійно виражається через інші вектори цієї системи:

Перенесемо вектор у праву цієї рівності:

Оскільки коефіцієнт при векторі дорівнює , ми маємо нетривіальне уявлення нуля системою векторів , що означає, що це векторів є лінійно залежною, ч.т.д.

Теорему доведено.

Слідство.

1. Система векторів векторного простору є лінійно незалежною тоді і лише тоді, коли жоден із векторів системи лінійно не виражається через інші вектори цієї системи.

2. Система векторів, що містить нульовий вектор або два рівні вектори, є лінійно залежною.

Доведення.

1) Необхідність. Нехай система є лінійно незалежною. Допустимо неприємне і існує вектор системи, що лінійно виражається через інші вектори цієї системи. Тоді за теоремою система є лінійно залежною і ми приходимо до суперечності.

Достатність. Нехай жоден із векторів системи не виражається через інші. Допустимо неприємне. Нехай система лінійно залежна, але тоді з теореми випливає, що існує вектор системи, що лінійно виражається через інші вектори цієї системи і ми знову приходимо до протиріччя.

2а) Нехай система містить нульовий вектор. Допустимо для визначеності, що вектор:. Тоді очевидно рівність

тобто. один із векторів системи лінійно виражається через інші вектори цієї системи. З теореми випливає, що така система векторів є лінійно залежною, т.д.

Зауважимо, що це можна довести безпосередньо з лінійно залежної системи векторів.

Оскільки , то наступна рівність очевидна

Це нетривіальне уявлення нульового вектора, отже система є лінійно залежною.

2б) Нехай система має два рівні вектори. Нехай для. Тоді очевидно рівність

Тобто. перший вектор лінійно виражається через інші вектори цієї системи. З теореми випливає, що система лінійно залежна, ч.т.д.

Аналогічно попередньому це твердження можна довести і безпосередньо визначення лінійно залежної системи. Тоді ця система представляє нульовий вектор нетривіально

звідки випливає лінійна залежність системи.

Теорему доведено.

Слідство. Система, що складається з одного вектора, є лінійно незалежною тоді і тільки тоді, коли цей вектор ненульовий.

Нехай L - Лінійний простір над полем Р . Нехай А1, а2, …, аn (*) кінцева система векторів з L . Вектор У = a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn (16) називається Лінійною комбінацією векторів ( *), або кажуть, що вектор У лінійно виражається через систему векторів (*).

Визначення 14. Система векторів (*) називається Лінійно залежною тоді і тільки тоді, коли існує такий ненульовий набір коефіцієнтів a1, a2, … , an, що a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn = 0. Якщо ж a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn = 0 a1 = a2 = … = an = 0, то система (*) називається Лінійно незалежною.

Властивості лінійної залежності та незалежності.

10. Якщо система векторів містить нульовий вектор, вона лінійно залежна.

Дійсно, якщо в системі (*) вектор А1 = 0, То 1× 0 + 0× А2 + … + 0 × Аn = 0 .

20. Якщо система векторів містить два пропорційні вектори, вона лінійно залежна.

Нехай А1 = L×а2. Тоді 1× А1 -l× А2 + 0× А3 + … + 0× А N = 0.

30. Кінцева система векторів (*) при n ³ 2 лінійно залежна тоді і лише тоді, коли хоча б один із її векторів є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.

Þ Нехай (*) лінійно залежна. Тоді знайдеться ненульовий набір коефіцієнтів a1, a2, … an, при якому a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn = 0 . Не порушуючи спільності, вважатимуться, що a1 ¹ 0. Тоді є і А1 = ×a2× А2 + … + ×an× А N. Отже, вектор А1 є лінійною комбінацією інших векторів.

Ü Нехай один із векторів (*) є лінійною комбінацією інших. Можна вважати, що це перший вектор, тобто. А1 = B2 А2+ … + bn А N, Звідси (–1)× А1 + b2 А2+ … + bn А N = 0 , Т. е. (*) лінійно залежна.

Зауваження. Використовуючи останню властивість, можна дати визначення лінійної залежності та незалежності нескінченної системи векторів.

Визначення 15. Система векторів А1, а2, …, аn , … (**) називається Лінійно залежною, Якщо хоча б її вектор є лінійною комбінацією деякого кінцевого числа інших векторів. В іншому випадку система (**) називається Лінійно незалежною.

40. Кінцева система векторів лінійно незалежна тоді й лише тоді, коли жоден із її векторів не можна лінійно висловити через інші її вектори.

50. Якщо система векторів лінійно незалежна, будь-яка її підсистема теж лінійно незалежна.

60. Якщо деяка підсистема даної системи векторів лінійно залежна, і вся система теж лінійно залежна.

Нехай дані дві системи векторів А1, а2, …, аn , … (16) та В1, в2, …, вs, … (17). Якщо кожен вектор системи (16) можна як лінійної комбінації кінцевого числа векторів системи (17), то говорять, що система (17) лінійно виражається через систему (16).

Визначення 16. Дві системи векторів називаються Еквівалентними якщо кожна з них лінійно виражається через іншу.

Теорема 9 (Основна теорема про лінійну залежність).

Нехай і - Дві кінцеві системи векторів з L . Якщо перша система лінійно незалежна та лінійно виражається через другу, то N£ s.

Доведення.Припустимо, що N> S.За умовою теореми

спільна. Так як число рівнянь більше від кількості невідомих, то система має нескінченно багато рішень. Отже, вона має ненульове Х10, х20, …, хN0. При цих значеннях рівність (18) вірно, що суперечить тому, що система векторів лінійно незалежна. Отже, наше припущення не вірне. Отже, N£ s.

Слідство.Якщо дві еквівалентні системи векторів кінцеві і лінійно незалежні, вони містять однакове число векторів.

Визначення 17. Система векторів називається Максимально лінійно незалежною системою векторів Лінійний простір L якщо вона лінійно незалежна, але при додаванні до неї будь-якого вектора з L , що не входить до цієї системи, вона стає вже лінійно залежною.

Теорема 10. Будь-які дві кінцеві максимальні лінійно незалежні системи векторів з L Містять однакове число векторів.

Доведеннявипливає з того, що будь-які дві максимальні лінійно незалежні системи векторів еквівалентні .

Легко довести, що будь-яку лінійно незалежну систему векторів простору L можна доповнити максимальної лінійно незалежної системи векторів цього простору.

Приклади:

1. У багатьох колінеарних геометричних векторів будь-яка система, що складається їх одного ненульового вектора, є максимальною лінійно незалежною.

2. У багатьох всіх компланарних геометричних векторів будь-які два неколлінеарних вектори становлять максимальну лінійно незалежну систему.

3. У багатьох всіх можливих геометричних векторів тривимірного евклідового простору будь-яка система трьох некомпланарних векторів є максимальною лінійно незалежною.

4. У багатьох багаточленів ступеня не вище NЗ дійсними (комплексними) коефіцієнтами система багаточленів 1, х, х2, … , хnЄ максимальною лінійно незалежною.

5. У багатьох багаточленів з дійсними (комплексними) коефіцієнтами прикладами максимальної лінійно незалежної системи є

а) 1, х, х2, …, хn, …;

б) 1, (1 - х), (1 - х)2, … , (1 - х)N, …

6. Безліч матриць розмірності M´ Nє лінійним простором (перевірте це). Прикладом максимальної лінійно незалежної системи у цьому просторі є система матриць Е11= , Е12 =, …, ЕMn = .

Нехай дана система векторів С1, с2, …, порівн (*). Підсистема векторів із (*) називається Максимальної лінійно незалежної ПідсистемоюСистеми ( *) якщо вона лінійно незалежна, але при додаванні до неї будь-якого іншого вектора ця система вона стає лінійно залежною. Якщо система (*) кінцева, то будь-яка її максимальна лінійно незалежна підсистема містить одне й те число векторів. (Доказ проведіть самостійно). Число векторів у максимальній лінійно незалежній підсистемі системи (*) називається Рангом Цієї системи. Очевидно, що еквівалентні системи векторів мають однакові ранги.

Теорема 1. (Про лінійну незалежність ортогональних векторів). Тож нехай система векторів лінійно незалежна.

Складемо лінійну комбінацію ∑λ i x i =0 і розглянемо скалярний добуток (x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 = 0, але | | x j | | 2 ≠0⇒λ j =0.

Визначення 1. Система векторівабо (e i, e j) = j - символ Кронекера, називається ортонормованою (ОНС).

Визначення 2. Для довільного елемента x довільного нескінченномірного евклідового простору та довільної ортонормованої системи елементів поряд Фур'є елемента x по системі називається формально складена нескінченна сума (ряд) виду , в якій дійсні числа i називаються коефіцієнтами Фур'є елемента x по системі , де i = (x, e i).

Коментар. (Звичайно, виникає питання про збіжність цього ряду. Для дослідження цього питання зафіксуємо довільний номер n та з'ясуємо, що відрізняє n-у часткову суму ряду Фур'є від будь-якої іншої лінійної комбінації перших n елементів ортонормованої системи.)

Теорема 2. Для будь-якого фіксованого номера n серед усіх сум виду найменше відхилення від елемента x за нормою даного простору евкліда має n-а часткова сума ряду Фур'є елементa

Враховуючи ортонормованість системи та визначення коефіцієнта Фур'є, можна записати

Мінімум цього виразу досягається при c i =λ i , тому що при цьому завжди невід'ємна перша сума в правій частині звертається в нуль, а решта доданків від c i не залежать.

приклад. Розглянемо тригонометричну систему

у просторі всіх інтегрованих по Ріману функцій f(x) на сегменті [-π,π]. Легко перевірити, що це ОНБ, і тоді Ряд Фур'є функції f(x) має вигляд де .

Коментар. (Тригонометричний ряд Фур'є зазвичай записують у вигляді Тоді )

Довільна ОНБ у нескінченномірному евклідовому просторі без додаткових припущень, взагалі кажучи, не є базисом цього простору. На інтуїтивному рівні, не даючи суворих визначень, опишемо суть справи. У довільному нескінченномірному евклідовому просторі E розглянемо ОНС, де (e i, e j) = ij - символ Кронекера. Нехай M - підпростір евклідова простору, а k = M ⊥ - підпростір, ортогональне до M, таке, що евклідове простір E = M + M ⊥ . Проекція вектора x∈E на підпростір M - вектор ∈M, де

Ми шукатимемо ті значення коефіцієнтів розкладання α k , при яких нев'язка (квадрат нев'язки) h 2 =||x-|| 2 буде мінімальна:

h 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k ,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k ,∑α k e k)= ||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

Ясно, що цей вираз прийматиме мінімальне значення при α k =0, що тривіально, і при α k =(x, e k). Тоді ρ min =||x|| 2 -∑α k 2 ≥0. Звідси одержуємо нерівність Бесселя ∑α k 2 ||x|| 2 . При ρ=0 ортонормована система векторів (ОНС) називається повною ортонормованою системою у сенсі Стеклова (ПОНС).Звідси можна здобути рівність Стеклова - Парсеваля ∑α k 2 =||x|| 2 - "теорему Піфагора" для повних у сенсі Стеклова нескінченномірних евклідових просторів. Тепер слід було б довести, що для того, щоб будь-який вектор простору можна було єдиним чином подати у вигляді ряду Фур'є, що сходить до нього, необхідне і достатньо виконання рівності Стеклова-Парсеваля. Система векторів pic=""> ОНБ утворює? система векторів Розглянемо на часткову суму ряду Тоді як хвіст ряду, що сходить. Таким чином, система векторів є ПОНС та утворює ОНБ.

приклад.Тригонометрична система

у просторі всіх інтегрованих по Ріману функцій f(x) на сегменті [-π,π] є ПОНС і утворює ОНБ.

Функції називаються лінійно незалежними,якщо

(Припустима лише тривіальна лінійна комбінація функцій, тотожно дорівнює нулю). На відміну від лінійної незалежності векторів тут тотожність лінійної комбінації нулю, а чи не рівність. Це і зрозуміло, оскільки рівність лінійної комбінації нуля має бути виконано за будь-якого значення аргументу.

Функції називаються лінійно залежними,якщо існує не нульовий набір констант (не всі константи дорівнюють нулю), такий що (є нетривіальна лінійна комбінація функцій, тотожно дорівнює нулю).

Теорема.Для того щоб функції були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб якась із них лінійно виражалася через інші (представлялася у вигляді їхньої лінійної комбінації).

Доведіть цю теорему самостійно, вона доводиться так само, як аналогічна їй теорема про лінійну залежність векторів.

Визначник Вронського.

Визначник Вронського для функцій вводиться як визначник, стовпцями якого є похідні цих функцій від нульового (самі функції) до n-1-го порядку.

.

Теорема. Якщо функції лінійно залежні, то

Доведення. Оскільки функції лінійно залежні, то якась із них лінійно виражається через інші, наприклад,

Тотожність можна диференціювати, тому

Тоді перший стовпець визначника Вронського лінійно виражається через решту стовпців, тому визначник Вронського тотожно дорівнює нулю.

Теорема.Для того, щоб рішення лінійного однорідного диференціального рівняння n-ого порядку були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб.

Доведення. Необхідність випливає з попередньої теореми.

Достатність. Зафіксуємо деяку точку. Оскільки стовпці визначника, обчислені в цій точці, являють собою лінійно залежні вектори.

, що виконані співвідношення

Оскільки лінійна комбінація рішень лінійного однорідного рівняння є його рішенням, можна ввести рішення виду

Лінійну комбінацію рішень із тими самими коефіцієнтами.

Зауважимо, що за це рішення задовольняє нульовим початковим умовам, це випливає з виписаної вище системи рівнянь. Але очевидне рішення лінійного однорідного рівняння теж задовольняє тим самим нульовим початковим умовам. Тому з теореми Коші випливає, що введене рішення тотожно дорівнює тривіальному, отже,

тому рішення лінійно залежать.

Слідство.Якщо визначник Вронського, побудований на рішеннях лінійного однорідного рівняння, перетворюється на нуль хоча б у одній точці, він тотожно дорівнює нулю.

Доведення. Якщо , то рішення лінійно залежні, отже, .

Теорема.1. Для лінійної залежності рішень необхідно та достатньо(або).

2. Для лінійної незалежності рішень необхідно і достатньо.

Доведення. Перше твердження випливає з доведеної вище теореми та слідства. Друге твердження легко доводиться протилежного.

Нехай рішення є лінійно незалежними. Якщо , то рішення лінійно залежать. Протиріччя. Отже, .

Нехай . Якщо рішення лінійно залежні, то , отже, , протиріччя. Тому рішення лінійно незалежні.

Слідство.Звернення визначника Вронського на нуль хоча б у одній точці є критерієм лінійної залежності рішень лінійного однорідного рівняння.

Відмінність визначника Вронського від нуля є критерієм лінійної незалежності розв'язків лінійного однорідного рівняння.

Теорема.Розмірність простору розв'язків лінійного однорідного рівняння n-ого порядку дорівнює n.

Доведення.

a) Покажемо, що є n лінійно незалежних рішень лінійного однорідного диференціального рівняння n-го порядку. Розглянемо рішення , що задовольняють наступним початковим умовам:

...........................................................

Такі рішення є. Насправді, за теоремою Коші через точку проходить єдина інтегральна крива – рішення. Через точку проходить рішення через точку

- Рішення , через точку - Рішення .

Ці рішення лінійно незалежні, оскільки .

b) Покажемо, що будь-яке рішення лінійного однорідного рівняння лінійно виражається через ці рішення (є їх лінійною комбінацією).

Розглянемо два рішення. Одне - довільне рішення із початковими умовами . Справедливе співвідношення