Сформулюйте закон збереження моменту кількості руху. §2

Закони збереження кінетичної енергії та кількості руху довго конкурували один з одним, претендуючи на провідну роль, оскільки ні той, ні інший закон не має суворого обґрунтування. Проте, вчені давно підозрювали наявність зв'язку з-поміж них, про що говорив ще Х.Гюйгенс (1629-1695). На думку Гюйгенса цей зв'язок означає, що збереження механічної енергії в будь-якій системі, що рівномірно рухається, тягне за собою і збереження кількості руху. Тому після тривалих суперечок вчені дійшли висновку про еквівалентність цих законів. Так, наприклад, Даламбер із цього приводу зробив таку заяву: “Потрібно кожному надати свободу вирішувати це питання на його розсуд. До того ж порушене питання є не більш як абсолютно безплідною метафізичною суперечкою про слова, недостойною уваги філософів”.
Зв'язок між законами збереження кінетичної енергії та кількості руху було встановлено У. Паулі (1900-1958). Для підтвердження цього він використовує ідею Гюйгенса. Цитуємо по: “У системі, що складається з частинок, що сударяются, з масами швидкості частинок переходять після ударів у швидкості . Збереження енергії виражається рівнянням:

Нехай система набуває додаткової швидкості V. Швидкості частинок до удару будуть тепер рівні , а після удару і збереження енергії виражається тепер співвідношенням:
,

Отже:

Швидкість V- довільна, тому написана рівність буде справедлива лише в тому випадку, коли:

Інакше висловлюючись, імпульс системи до зіткнення частинок, рівний виразу, що стоїть зліва, зберігається після зіткнення”.
Ми також розглянемо це питання через його особливу важливість з прикладу зіткнення куль, але у дещо інший інтерпретації (рис.1).
Нехай рух куль відбувається у довільній інерційній системі відліку x-yв тому самому напрямку (рис.1,а) зі швидкостями і . Після удару швидкості куль приймуть значення і . Відповідно до закону збереження енергії буде справедливим такий вираз:
, (1)

Тепер розглянемо відносний рух, прийнявши одну з кульок за систему відліку. Для цього використовуємо принцип обігу руху, тобто повідомимо обом куль одну і ту ж швидкість, наприклад, що приведе до зупинки першої кулі, так як його сумарна швидкість дорівнюватиме нулю. Швидкість другої кулі дорівнюватиме відносної швидкості:
(2)
Закон збереження кінетичної енергії в цьому випадку набуде вигляду:
(3)

(4)
Вирішуючи спільно рівняння (1) і (4), отримаємо вираз:
, (5)

(7)
Таким чином, виходить цікавий результат: із закону збереження енергії випливає закон збереження кількості руху. p align="justify"> Ще слід зазначити, що отриманий результат не залежить від вибору системи відліку.
Якщо ж розглядати зустрічний рух куль (рис.1,б), то для отримання правильного результату швидкість слід віднімати зі швидкості, тобто відносну швидкість слід знаходити відповідно до виразу (2), хоча, як видно з малюнка, ці швидкості повинні складатися . Ця обставина зумовлена ​​тим, що швидкість руху всіх тіл є векторами, а це означає, що і при відніманні їх величини можуть підсумовуватися.
Таким чином, вирази (2), (5) та (7) слід розглядати як векторні.
Вирішуючи спільно вирази (1) і (5), а також (3) і (7), знайдемо швидкості куль після удару, вважаючи їх векторами:
; (8)
; (9)
; (10)
(11)
Використовуючи ці вирази, знайдемо відносні швидкості куль після удару:
; (12)
(13)
Таким чином, при пружному ударі відносні швидкості куль змінять лише свій напрямок.
Вираз (1), що характеризує закон збереження енергії, можна подати в іншому вигляді:
(14)

; (15)
, (16)

; (17)
, (18)

• звідки випливає, що енергія, набута першою кулею, дорівнює енергії, відданої другою кулею.

Підставивши значення швидкостей і вирази (7) і (8), отримаємо:
; (19)
(20)
Подивимося тепер, як буде виконуватися зв'язок між законами збереження енергії та кількості руху для більш складного випадку удару – косого удару, коли швидкості куль, що рухаються, спрямовані під кутом один до одного (рис.2). На малюнку кулі роз'єднані для кращого показу картин швидкостей. Приймаємо, що швидкість збігається із напрямком осі x.
Для вирішення задачі використовуємо метод обігу руху, повідомивши обидві кулі швидкість , тобто в якості системи відліку в відносному русі вибираємо першу кулю, сумарна швидкість якої дорівнюватиме нулю. Приймемо також для спрощення завдання, що результуюча швидкість буде спрямована по лінії, що з'єднує центри куль. Тоді за відомими значеннями швидкостей і для другої кулі будується паралелограм, за допомогою якого встановлюється зв'язок між цими швидкостями та швидкістю у відносному русі, а також може бути знайдений кут, оскільки кут заданий.
Використовуючи паралелограм, за допомогою теореми косінусів отримаємо вираз:
(21)

• яке перетворюємо на вигляд:

(22)
З цього рівняння знаходимо швидкість відносного руху до початку удару – :
(23)
Кут , що характеризує напрямок вектора , знаходимо з виразу, отриманого за допомогою теореми косінусів:
, (24)

• звідки отримаємо:

(25)
Таким чином, в результаті виконаних операцій отримуємо звичайне зіткнення рухомої та нерухомої куль у напрямку лінії їх центрів з початковою відносною швидкістю .
Перш ніж визначати швидкості куль після їх зіткнення, встановимо зв'язок між кінетичними енергіями куль в абсолютному і відносному рухах:
; (26)
(27)
Так як
(28)

• відповідно будуть визначатися й інші швидкості у відносному русі:

; (29)
(30)
Підставивши ці значення відносних швидкостей у вираз (27), отримаємо:
(31)
Скоротивши на два і звівши в квадрат різниці швидкостей, перетворимо вираз (31) на вигляд:
, (32)

Додавши в перший доданок правої частини виразу і можна виключити члени, що відповідають виразу (26), внаслідок чого вираз (32) набуде вигляду:
(33)
Скоротивши цей вислів і зробивши угруповання членів, отримаємо:
(34)
Визначивши швидкості , і відповідно до виразів (28) – (32):
(35)

• і підставивши їх у вираз (34), перетворимо його на вигляд:

(36)
Таким чином, ми встановили зв'язок між законами збереження енергії та кількості руху в абсолютному та відносному рухах куль при косому ударі.
Вирішуючи спільно рівняння (27) і (36), знайдемо швидкості куль у їх відносному русі:
; (37)
, (38)

При розв'язанні рівнянь для отримання рішення у векторній формі квадрати швидкостей слід подавати як скалярний добуток двох однакових векторів.
Швидкості куль та в абсолютному русі можуть бути знайдені за допомогою теореми косінусів з паралелограмів, представлених на рис.2.
Для першої кулі модуль швидкості визначиться виразом:
, (39)

• звідки отримаємо:

(40)
Для другої кулі модуль швидкості дорівнюватиме:
, (41)

• звідки знайдемо:

(42)
Кути і , що характеризують напрями векторів і по відношенню до векторів і також знаходимо за допомогою теореми косінусів:
; (43)
(44)
Підставляючи в ці вирази значення швидкостей і формул (39) і (41), отримаємо:
; (45)
(46)
Для перевірки отриманих рішень можна знайти значення кінетичної енергії куль після удару, так як до удару їх енергія дорівнювала:
, (47)

• а після удару буде:

(48)
Підставивши у вираз (48) значення квадратів швидкостей та з виразів (39) і (41), отримаємо:
(49)
Тепер використовуємо значення модулів швидкостей і з виразів (37) та (38):
(50)
Підставляючи в даний вираз значення модуля швидкості відповідно до формули (23) і зробивши перетворення, отримаємо в результаті, що тобто закон збереження енергії буде виконуватися.
Розглянемо тепер пружний удар двох куль. У цьому випадку частина енергії буде витрачена на структурні зміни (непружні деформації в кулях) та їх нагрівання, тобто зміна внутрішньої енергії. Тому висловлювання законів збереження енергії у двох системах відліку набудуть вигляду:
; (51)
(52)

Вирішуючи спільно цю систему рівнянь, отримаємо закон збереження кількості руху у звичайному його вигляді:
, (53)

• тобто втрати енергії при взаємодії тіл не впливають на вигляд цього закону.

Використовуючи рівняння (51) і (53), знайдемо швидкості куль після їхнього непружного зіткнення:
; (54)
(55)
Очевидно, вирази (54) і (55) матимуть фізичний сенс лише за позитивного значення підкореного виразу. З цієї умови можна знайти значення , при якому ще виконуватиметься закон збереження кількості руху, прирівнявши підкорене вираз нулю:
(56)

, (57)

(58)
Вирази (54) та (56) з урахуванням формули (57) можна подати у вигляді:
; (59)
, (60)

(61)
У відносному русі вирази для швидкостей набудуть вигляду:
; (62)
(63)
З наведених виразів випливає, що при швидкості куль будуть рівні і вони рухатимуться разом як одне ціле.
Якщо коефіцієнт буде більше одиниці, то підкорене вираз буде негативним і вирази для швидкостей втратять фізичний сенс. Так як при кулі будуть рухатися як одне ціле, для визначення швидкості руху достатньо одного рівняння. При цьому можна використовувати закон збереження кількості руху, слід використовувати тільки закон збереження енергії, хоча в математичному відношенні закон збереження кількості руху буде виконуватися і в цьому випадку. Отже, закон збереження кількості руху має межі його використання. Це ще раз підтверджує пріоритетну роль закону збереження енергії стосовно закону збереження кількості руху. Однак, в принципі, можливо, що значення коефіцієнта не можуть бути більшими за одиницю, тоді обидва закони будуть справедливі завжди, але це твердження вимагає експериментальної перевірки.
Так як кулі будуть рухатися як єдине ціле з однією і тією ж швидкістю закон збереження енергії набуде вигляду:
, (64)

• де, відповідно до виразу (61),

(65)
Вирішуючи рівняння (64), отримаємо:
(66)

• або у відносному русі:

(67)
Якщо вся енергія удару буде витрачена на втрати, тобто коли виконуватиметься співвідношення:
, (68)

(69)
Щоправда, залишаються сумніви, чи можливий такий випадок насправді.
У §5 першого розділу було показано, що кількість руху характеризує інертність тіла і визначається ставленням, тобто ставленням зміни кінетичної енергії тіла та зміни його швидкості. У зв'язку з таким визначенням інертності тіла можна дати інший висновок закону збереження кількості руху. Для цього використовуємо вирази (15), (17) і (18), поділивши їх на зміну швидкості першого тіла:
(70)
Отримане вираз перетворимо на вигляд:
(71)
Використовуючи співвідношення швидкостей (12) у вигляді:
, (72)

• перетворимо вираз (71) на вигляд:

(73)

• звідки випливає закон збереження кількості руху:

Закони збереження енергії та кількості руху широко застосовується при вирішенні різних завдань механіки. Однак, через те, що ці закони є інтегральними, тому що враховують стани тіл тільки до і після їх взаємодії, але не в момент самої взаємодії, існує небезпека втрати фізичного сенсу самої взаємодії, уникнення пояснення цього фізичного сенсу у зв'язку з відсутністю його розуміння, хоча кінцевий результат буде правильним.
Доведемо це твердження з прикладу руху човна, коли що у ній людина кине камінь у воду (рис.3). Безперечно, що човен рухатиметься у бік, протилежний кидку. Для вирішення завдання використовується закон збереження кількості руху, який з урахуванням напрямку швидкостей матиме вигляд:
, (74)

, (75)

• тобто чим більше буде маса каменю та його швидкість, тим більше буде швидкість човна.

Якщо запитати викладачів механіки, яка причина змушує рухатися човен, більшість з них відповість, що човен рухатиметься тому, що має виконуватися закон збереження кількості руху. Таку відповідь вони дають тому, що не можуть пояснити дійсну причину руху, хоча чудово знають, що рух може відбуватися лише під дією сили. То яка ж сила змушуватиме рухатись човен?
Очевидно, тут треба розібратися із взаємодією рук людини та каменю в момент кидання. Єдиною причиною появи сили, що діє на людину, а через неї і на човен, є вплив з боку каменю. Ця сила з'явиться у тому випадку, якщо камінь у момент кидка рухатиметься прискорено. Тоді він деформуватиметься і в ньому виникнуть пружні сили, які діятимуть на руки людини. Ці сили, як ми вже знаємо, є силами інерції і величина їх дорівнюватиме добутку маси каменю на його прискорення. Можна також сказати, що людина відштовхується від каменю. Однак вирішити це завдання за допомогою другого закону Ньютона практично неможливо, тому що ми не зможемо знайти прискорення руху каменю в момент кидка. Швидкість його руху у перші моменти руху знайти набагато простіше. Отже, використання інтегральних законів руху істотно спрощує вирішення багатьох завдань механіки. Правда, при цьому не слід забувати і про фізичну сутність розглянутих явищ. І тут яскравіше розкриється математична потужність інтегральних законів збереження.
Тепер розглянемо більш складне завдання про рух візка, на якому розташовані два вантажі, що обертаються в різні боки з однією і тією ж кутовою швидкістю (рис.4). Це завдання також вирішується за допомогою закону збереження кількості руху:
, (76)

З виразу (76) випливає:
, (77)

• тобто візок здійснюватиме гармонійні коливання. Але яка ж причина цих вагань? Не можна ж стверджувати, що візок підпорядковується закону збереження кількості руху. Вагатися візок має змусити сила, але яка? Єдиним претендентом на цю роль може бути тільки відцентрова сила інерції, що діє на вантажі, що обертаються:

(78)
Під дією двох сил інерції візок рухатиметься вздовж осі y. Характер руху візка можна знайти за допомогою другого закону Ньютона:
(79)
Швидкість руху візка визначиться інтегруванням даного виразу:
, (80)

• де З- Постійна інтегрування.

Для визначення швидкості руху візка необхідно використовувати початкові умови. Однак тут виникає проблема: чому ж дорівнюватиме швидкість візка при ? Припустимо, що в початковий момент часу незакріплений візок і вантажі були нерухомі, а потім вантажі були приведені в обертання відразу з постійною кутовою швидкістю, тобто перехідний режим руху буде відсутній. Таким чином, величина сил інерції відразу ж набуде кінцевого значення, що визначається виразом (78). Під дією сил інерції візок мав би рухатися відразу в позитивному напрямку. Проте, треба пам'ятати, що з миттєвому появі швидкості руху вантажів, з'явиться теоретично нескінченне, а дуже велике прискорення у бік осі y, якщо вантажі були розташовані вздовж осі x, і відповідна йому сила інерції у протилежному напрямку, яка і змусить візок рухатися у бік її дії у негативному напрямку осі y, тобто фактично буде мати місце удар по візку.
Приймемо, що початкова швидкість візка дорівнюватиме , тоді з рівняння (80) отримаємо:
,

• звідки знайдемо постійну інтеграцію З:

(81)
Відповідно швидкість візка буде:
(82)
Проінтегрувавши цей вираз, знайдемо переміщення візка вздовж осі y:
(83)
За заданих умов рух візка буде гармонійним, тому вираз у круглих дужках має дорівнювати нулю. Тоді закон руху візка набуде вигляду:
, (84)

(85)
Тоді швидкість руху візка функції кута повороту визначиться з виразу (80):
,

• що відповідає виразу (77).

Однак можливе й друге вирішення цього завдання, якщо вважати, що спочатку візок закріплений, а вантажі обертаються з постійною швидкістю . Потім, коли вантажі займуть положення вздовж осі x, візок звільняється. За таких умов сили інерції у напрямку осі yбудуть відсутні, тому що величина швидкості обертання вантажів змінюватися не буде, тому не буде і удару по візку в негативному напрямку осі yі її початкова швидкість дорівнюватиме нулю. Тоді з рівняння (80) випливає, що постійна інтеграція Здорівнюватиме:
, (86)

• у зв'язку з чим швидкість візка у функції часу матиме вигляд:

(87)
Інтегруючи цей вираз за часом, знайдемо переміщення візка вздовж осі y:
(88)

, (89)

; (90)
(91)
Таким чином, проекція сил інерції вантажів на вісь, що періодично змінюється yзмушує здійснювати візок гармонійні коливання і навіть рухатися вздовж осі yзалежно від початкових умов руху. Незакріплений візок буде здійснювати тільки гармонійні коливання, а закріплений і потім звільнений візок буде здійснювати прямолінійний рух, на який буде накладатися гармонійні коливання.
Проведений нами аналіз був би неможливий без урахування діючих на візок сил, якими є в даному випадку сили інерції. Якщо ж рух візка пояснювати необхідністю виконання закону збереження кількості руху, це означає нічого сказати по суті справи. Тому використання законів збереження доцільно поєднувати з докладним силовим аналізом завдання, що розглядається.

З теореми про зміну кількості руху системи можна отримати такі важливі наслідки.

1. Нехай сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю:

Тоді з рівняння (20) випливає, що при цьому Таким чином, якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, вектор кількості руху системи буде постійний по модулю і напрямку.

2. Нехай зовнішні сили, що діють на систему, такі, що сума їх проекцій на якусь вісь (наприклад, ) дорівнює нулю:

Тоді з рівнянь (20) випливає, що при цьому Таким чином, якщо сума проекцій всіх діючих зовнішніх сил на якусь вісь дорівнює нулю, то проекція кількості руху системи на цю вісь є постійною.

Ці результати висловлюють закон збереження кількості руху системи. З них випливає, що внутрішні сили змінити кількість руху системи що неспроможні. Розглянемо деякі приклади.

Явище віддачі чи відкату. Якщо розглядати гвинтівку та кулю як одну систему, то тиск порохових газів при пострілі буде силою внутрішньою. Ця сила не може змінити кількість руху системи, що дорівнює пострілу кулю. Але оскільки порохові гази, діючи на кулю, повідомляють їй деяку кількість руху, спрямовану вперед, вони одночасно повинні повідомити гвинтівці таку ж кількість руху в зворотному напрямку. Це спричинить рух гвинтівки назад, тобто так звану віддачу. Аналогічне явище виходить при стрільбі зі зброї (відкат).

Робота гребного гвинта (пропелера). Гвинт повідомляє деяку масу повітря (або води) рух уздовж осі гвинта, відкидаючи цю масу назад. Якщо розглядати масу, що відкидається, і літак (або судно) як одну систему, то сили взаємодії гвинта і середовища, як внутрішні, не можуть змінити сумарну кількість руху цієї системи. Тому при відкиданні маси повітря (води) назад літак (або судно) отримує відповідну швидкість руху вперед, таку, що загальна кількість руху системи, що розглядається, залишається рівним нулю, так як воно було нулем до початку руху.

Аналогічний ефект досягається дією весел чи гребних коліс.

Реактивний рух. У реактивному снаряді (ракеті) газоподібні продукти горіння палива з великою швидкістю викидаються з отвору хвостової частини ракети (із сопла ракетного двигуна). Діючі при цьому сили тиску будуть внутрішніми силами і не можуть змінити кількість руху системи ракета - продукти горіння палива. Але оскільки гази, що вириваються, мають відому кількість руху, спрямоване назад, то ракета отримує при цьому відповідну швидкість, спрямовану вперед. Розмір цієї швидкості буде визначено в § 114.

Звертаємо увагу на те, що гвинтовий двигун (попередній приклад) повідомляє об'єкту, наприклад літаку, рух за рахунок відкидання назад частинок того середовища, в якому він рухається. У безповітряному просторі такий рух неможливий. Реактивний двигун повідомляє рух за рахунок відкидання назад мас, що виробляються в самому двигуні (продукти горіння). Рух це однаково можливий і в повітрі, і в безповітряному просторі.

При розв'язанні задач застосування теореми дозволяє виключити із розгляду всі внутрішні сили. Тому розглянуту систему треба намагатися вибирати так, щоб усі (або частина) заздалегідь невідомі сили зробити внутрішніми.

Закон збереження кількості руху зручно застосовувати у тих випадках, коли щодо зміни поступальної швидкості однієї частини системи треба визначити швидкість іншої частини. Зокрема цей закон широко використовується в теорії удару.

Задача 126. Куля масою, що летить горизонтально зі швидкістю і, потрапляє у встановлений на візку ящик з піском (рис 289). З якою швидкістю почне рухатися візок після удару, якщо маса візка разом із ящиком дорівнює

Рішення. Розглянемо кулю і візок як одну систему Це дозволить при вирішенні завдання виключити сили, які виникають при ударі кулі об ящик. Сума проекцій прикладених до системи зовнішніх сил на горизонтальну вісь Ох равіа нулю. Отже, або де – кількість руху системи до удару; - Після удару.

Оскільки до удару візок нерухома, то .

Після удару візок і куля рухаються із загальною швидкістю, яку позначимо через v. Тоді.

Прирівнюючи праві частини виразів, знайдемо

Завдання 127. Визначити швидкість вільного відкату зброї, якщо вага частин, що відкочуються, дорівнює Р, вага снаряда , а швидкість снаряда по відношенню до каналу стовбура дорівнює в момент вильоту .

Рішення. Для виключення невідомих сил тиску порохових газів розглянемо снаряд і частини, що відкочуються, як одну систему.

Розглянемо дію один на одного двох ізольованих тіл, що не взаємодіють з іншими тілами. Вважатимемо сили під час взаємодії постійними. Відповідно до другого закону динаміки зміна кількості руху першого тіла:

де – інтервал часу взаємодії.

Зміна кількості руху другого тіла:

де сила, що діє з боку першого тіла на друге.

Згідно з третім законом Ньютона

і, крім того, очевидно,

Отже,

Незалежно від природи сил взаємодії та тривалості їх дії загальна кількість руху двох ізольованих тіл залишається постійною.

Отриманий результат може бути поширений на будь-яку кількість тіл, що взаємодіють, і на сили, що змінюються з часом. Для цього інтервал часу протягом якого відбувається взаємодія тіл, розіб'ємо на такі малі проміжки протягом кожного з яких силу можна із заданим ступенем точності вважати постійним. Протягом кожного проміжку часу виконуватиметься співвідношення (1.8). Отже, воно буде справедливим і для всього інтервалу часу

Для узагальнення виведення взаємодіючих тіл введемо поняття замкнутої системи.

Замкнутоюназивається система тіл, на яку результуюча зовнішніх сил дорівнює нулю.

Нехай матеріальних точок масами утворюють замкнуту систему. Зміна кількості руху кожної з цих точок в результаті взаємодії її з усіма іншими точками системи відповідно:

Позначимо внутрішні сили, що діють на точку масою з боку інших точок, через точку масою і т. д. (Перший індекс позначає точку, на яку діє сила; другий індекс вказує точку, з боку якої діє сила.)

Запишемо у прийнятих позначеннях другий закон динаміки для кожної точки окремо:

Число рівнянь дорівнює числу тіл системи. Щоб знайти загальну зміну кількості руху системи, необхідно підрахувати геометричну суму змін кількості руху всіх точок системи. Підсумувавши рівності (1.9), ми отримаємо в лівій частині повний вектор зміни кількості руху системи за час, а в правій частині - елементарний імпульс результуючої всіх сил, що діють у системі. Але оскільки система замкнута, то результуюча сила дорівнює нулю. Справді, за третім законом динаміки кожній силі в рівності (1.9) відповідає сила, причому

тобто і т. д.,

і результуюча цих сил дорівнює нулю. Отже, у всій замкнутій системі зміна кількості руху дорівнює нулю:

повна кількість руху замкнутої системи – величина постійна у весь час руху (закон збереження кількості руху).

Закон збереження кількості руху - одне із фундаментальних законів фізики, справедливий як систем макроскопічних тіл, так систем, утворених мікроскопічними тілами: молекулами, атомами тощо.

Якщо точки системи діють зовнішні сили, то кількість руху, яким володіє система, змінюється.

Напишемо рівняння (1.9), включивши в них результуючі зовнішніх сил, що діють відповідно на першу, другу і т. д.

Склавши ліві та праві частини рівнянь, ми отримаємо: зліва – повний вектор зміни кількості руху системи; праворуч - імпульс результуючої зовнішніх сил:

або, позначаючи результуючу зовнішніх сил:

зміна повної кількості руху системи тіл дорівнює імпульсу результуючої зовнішніх сил.

Рівність (1.13) може бути записана в іншому вигляді:

похідна за часом від загальної кількості руху системи точок дорівнює результуючій зовнішніх сил, що діють на точки системи.

Проеціюючи вектори кількості руху системи та зовнішніх сил на три взаємно перпендикулярні осі, замість векторної рівності (6.14) отримаємо три скалярні рівняння виду:

Якщо вздовж якоїсь осі, скажімо, складова результуючої зовнішніх сил дорівнює нулю, то кількість руху вздовж цієї осі не змінюється, тобто, взагалі незамкнутою, в напрямку система може розглядатися як замкнута.

Ми розглянули передачу механічного руху від одних тіл до інших без переходу в інші форми руху матерії.

Величина «mv виявляється тут мірою просто перенесеного, тобто руху, що триває ... ».

Застосування закону зміни кількості руху до задачі про рух системи тіл дозволяє виключити з розгляду всі внутрішні сили, що спрощує теоретичне дослідження та розв'язання практичних завдань.

1. Нехай на візку, що лежить, нерухомо стоїть людина (рис. 2. а). Кількість руху системи людина - візок дорівнює нулю. Чи замкнута ця система? На неї діють зовнішні сили - сила тяжіння та сила тертя між колесами візка та підлогою. Загалом кажучи, система не замкнута. Однак, поставивши візок на рейки і відповідним чином обробивши поверхню рейок і коліс, тобто значно зменшивши тертя між ними, можна знехтувати силою тертя.

Сила тяжкості, напрями вертикально вниз, врівноважується реакцією деформованих рейок, і результуюча цих сил неспроможна повідомити системі горизонтального прискорення, т. е. неспроможна змінити швидкість, отже, і кількість руху системи. Таким чином, ми можемо з певним ступенем наближення вважати цю систему замкненою.

Покладемо тепер, що людина сходить із візка вліво (рис. 2. б), маючи швидкість. Щоб придбати цю швидкість, людина повинна, скоротивши свої м'язи, подіяти ступнями ніг на майданчик візка та деформувати його. Сила, що діє з боку деформованого майданчика на ступні людини, повідомляє тілу людини прискорення вліво, а сила, що діє з боку деформованих ступнів людини (відповідно до третього закону динаміки), повідомляє візок прискорення вправо. В результаті, коли взаємодія припиниться (людина зійде з візка), візок набуває деяку швидкість.

Для знаходження швидкостей та за допомогою основних законів динаміки треба було б знати, як змінюються сили взаємодії людини та візка з часом та де прикладені ці сили. Закон збереження кількості руху дозволяє відразу знайти відношення швидкостей людини та візка, а також вказати їхню взаємну спрямованість, якщо відомі значення мас людини та візка.

Поки людина нерухомо стоїть на візку, загальна кількість руху системи залишається рівною нулю:

Швидкості, набуті людиною та візком, обернено пропорційні їх масам. Знак «мінус» вказує на їхню протилежну спрямованість.

2. Якщо людина, рухаючись зі швидкістю, вбігає на нерухомий візок і зупиняється на ньому, то візок починає рухатися, так що загальна кількість руху її і людини виявляється рівною кількості руху, якою володіла раніше людина одна:

3. Людина, що рухається зі швидкістю, вбігає на візок, що переміщається йому назустріч зі швидкістю, і зупиняється на ньому. Далі система людина - візок рухається із загальною швидкістю Загальна кількість руху людини і візка дорівнює сумі кількостей руху, якими вони мали кожен окремо:

4. Використовуючи ту обставину, що візок може переміщатися лише вздовж рейок, можна продемонструвати векторний характер зміни кількості руху. Якщо людина входить і зупиняється на нерухомому раніше візку один раз вздовж напрямку можливого її руху, другий раз - під кутом 45є, а третій - під кутом 90є до цього напрямку, то в другому випадку швидкість, придбана візком, приблизно в півтора рази менше, ніж у першому, а третьому випадку візок нерухома.

Розглянемо найзагальніші закони збереження, яким підпорядковується весь матеріальний світ і які вводять у фізику ряд фундаментальних понять: енергія, кількість руху (імпульс), момент імпульсу, заряд.

Закон збереження імпульсу

Як відомо, кількістю руху, або імпульсом, називають добуток швидкості на масу тіла, що рухається: p = mvЦя фізична величина дозволяє знайти зміну руху тіла за певний проміжок часу. Для вирішення цього завдання слід застосовувати другий закон Ньютона незліченну кількість разів, у всі проміжні моменти часу. Закон збереження кількості руху (імпульсу) можна одержати, використовуючи другий і третій закони Ньютона. Якщо розглядати дві (або більше) матеріальні точки (тіла), що взаємодіють між собою та утворюють систему, ізольовану від дії зовнішніх сил, то за час руху імпульси кожної точки (тіла) можуть змінюватись, але загальний імпульс системи повинен залишатися незмінним:

m 1 v+m 1 v 2 = Const.

Взаємодіючі тіла обмінюються імпульсами за збереження загального імпульсу.

У загальному випадку отримуємо:

де P Σ - загальний, сумарний імпульс системи, m i v i- Імпульси окремих взаємодіючих частин системи. Сформулюємо закон збереження імпульсу:

Якщо сума зовнішніх сил дорівнює нулю, імпульс системи тіл залишається постійним при будь-яких процесах, що відбуваються в ній.

Приклад дії закону збереження імпульсу можна розглянути на процесі взаємодії човна з людиною, яка уткнулася носом у берег, а людина в човні швидко йде з корми в ніс зі швидкістю v 1 . У цьому випадку човен відійде від берега зі швидкістю v 2 :

Аналогічний приклад можна навести зі снарядом, який розірвався у повітрі на кілька частин. Векторна сума імпульсів всіх уламків дорівнює імпульсу снаряда до розриву.

Закон збереження моменту імпульсу

Обертання твердих тіл зручно характеризувати фізичною величиною, яка називається моментом імпульсу.

При обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі кожна окрема частка тіла рухається по колу радіусом. r iз якоюсь лінійною швидкістю v i. Швидкість v iта імпульс p = m i v iперпендикулярні радіусу r i . Твір імпульсу p = m i v iна радіус r iназивається моментом імпульсу частинки:

L i= m i v i r i= P i r i·

Момент імпульсу всього тіла:

Якщо замінити лінійну швидкість кутовий щ (vi = r i), то

де J = mr2 - момент інерції.

Момент імпульсу замкнутої системи не змінюється у часі, тобто L= const та Jω = const.

При цьому моменти імпульсу окремих частинок тіла, що обертається, можуть як завгодно змінюватися, проте загальний момент імпульсу (сума моментів імпульсу окремих частин тіла) залишається постійним. Продемонструвати закон збереження моменту імпульсу можна, спостерігаючи обертання фігуриста на ковзанах з руками, витягнутими убік, і руками, піднятими над головою. Оскільки Jω = const, то у другому випадку момент інерції Jзменшується, отже, у своїй має зрости кутова швидкість щ, оскільки Jω = const.

Закон збереження енергії

Енергія– це універсальна міра різних форм руху та взаємодії. Енергія, віддана одним тілом іншому, завжди дорівнює енергії, отриманої іншим тілом. Для кількісної оцінки процесу обміну енергією між взаємодіючими тілами у механіці вводиться поняття роботи сили, що викликає рух.

Кінетична енергія механічної системи – це енергія механічного руху системи. Сила, що викликає рух тіла, здійснює роботу, а енергія тіла, що рухається, зростає на величину витраченої роботи. Як відомо, тіло масою m,що рухається зі швидкістю v,має кінетичну енергію E=mv 2 /2.

Потенціальна енергія– це механічна енергія системи тіл, які взаємодіють за допомогою силових полів, наприклад, за допомогою гравітаційних сил. Робота, що здійснюється цими силами, при переміщенні тіла з одного положення в інше не залежить від траєкторії руху, а залежить тільки від початкового та кінцевого положення тіла у силовому полі.

Такі силові поля називають потенційними, а сили, які у них, – консервативними.Гравітаційні сили є консервативними силами, а потенційна енергія тіла масою m,піднятого на висоту hнад поверхнею Землі, дорівнює

Е піт = mgh,

де g- прискорення вільного падіння.

Повна механічна енергія дорівнює сумі кінетичної та потенційної енергії:

E= Е кін + Е піт

Закон збереження механічної енергії(1686 р., Лейбніц) говорить, що у системі тіл, між якими діють лише консервативні сили, повна механічна енергія зберігається незмінною у часі. При цьому можуть відбуватися перетворення кінетичної енергії на потенційну і назад в еквівалентних кількостях.

Існують ще один вид систем, у яких механічна енергія може зменшуватися за рахунок перетворення на інші форми енергії. Наприклад, під час руху системи з тертям частина механічної енергії зменшується за рахунок тертя. Такі системи називаються дисипативними,тобто системами, що розсіюють механічну енергію. У таких системах закон збереження повної механічної енергії несправедливий. Однак при зменшенні механічної енергії завжди виникає еквівалентна цього зменшення кількість енергії іншого виду. Таким чином, енергія ніколи не зникає і не з'являється знову, вона лише перетворюється з одного виду на інший.Тут проявляється властивість незнищеності матерії та її руху.

У класичній механіці існують два закони збереження: закон збереження імпульсу та закон збереження енергії.

Імпульс тіла

Вперше поняття імпульсу запровадив французький математик, фізик, механік і філософ Декарт, який назвав імпульс кількістю руху .

З латинського "імпульс" перекладається як "штовхати, рухати".

Будь-яке тіло, яке рухається, має імпульс.

Уявимо собі візок, що стоїть нерухомо. Її імпульс дорівнює нулю. Але як тільки візок почне рухатися, його імпульс перестане бути нульовим. Він почне змінюватися, оскільки змінюватиметься швидкість.

Імпульс матеріальної точки, або кількість руху, - Векторна величина, рівна добутку маси точки на її швидкість. Напрямок вектора імпульсу точки збігається із напрямком вектора швидкості.

Якщо говорять про тверде фізичне тіло, то імпульсом такого тіла називають добуток маси цього тіла на швидкість центру мас.

Як визначити імпульс тіла? Можна припустити, що тіло складається з безлічі матеріальних точок, чи системи матеріальних точок.

Якщо - імпульс однієї матеріальної точки, то імпульс системи матеріальних точок

Тобто, імпульс системи матеріальних точок - Це векторна сума імпульсів всіх матеріальних точок, що входять до системи. Вона дорівнює добутку мас цих точок з їхньої швидкості.

Одиниця виміру імпульсу у міжнародній системі одиниць СІ – кілограм-метр на секунду (кг · м/сек).

Імпульс сили

У механіці існує тісний зв'язок між імпульсом тіла та силою. Ці дві величини пов'язує величина, яка називається імпульсом сили .

Якщо на тіло діє постійна силаF протягом проміжку часу t , то згідно з другим законом Ньютона

Ця формула показує зв'язок між силою, що діє на тіло, часом дії цієї сили та зміною швидкості тіла.

Величина, що дорівнює добутку сили, що діє на тіло, на час, протягом якого вона діє, називається імпульсом сили .

Як бачимо з рівняння, імпульс сили дорівнює різниці імпульсів тіла у початковий і кінцевий час, чи зміні імпульсу якийсь час.

Другий закон Ньютона в імпульсній формі формулюється так: зміна імпульсу тіла дорівнює імпульсу чинної нею сили. Слід сказати, що сам Ньютон саме так і сформулював спочатку свій закон.

Імпульс сили – це також векторна величина.

Закон збереження імпульсу випливає із третього закону Ньютона.

Потрібно пам'ятати, що цей закон діє лише у замкнутій чи ізольованій фізичній системі. А замкнутою називають таку систему, в якій тіла взаємодіють лише між собою та не взаємодіють із зовнішніми тілами.

Представимо замкнуту систему із двох фізичних тіл. Сили взаємодії тіл між собою називають внутрішніми силами.

Імпульс сили для першого тіла дорівнює

Згідно з третім законом Ньютона сили, які діють на тіла при їх взаємодії, рівні за величиною та протилежні за напрямом.

Отже, для другого тіла імпульс сили дорівнює

Шляхом простих обчислень отримуємо математичний вираз закону збереження імпульсу:

де m 1 і m 2 - маси тіл,

v 1 і v 2 – швидкості першого та другого тіл до взаємодії,

v 1 " і v 2" – швидкості першого та другого тіл після взаємодії .

p 1 = m 1 · v 1 - Імпульс першого тіла до взаємодії;

p 2 = m 2 · v 2 - Імпульс другого тіла до взаємодії;

p 1 "= m 1 · v 1 " - Імпульс першого тіла після взаємодії;

p 2 "= m 2 · v 2 " - Імпульс другого тіла після взаємодії;

Тобто

p 1 + p 2 = p 1 " + p 2 "

У замкненій системі тіла лише обмінюються імпульсами. А векторна сума імпульсів цих тіл до взаємодії дорівнює векторній сумі їх імпульсів після взаємодії.

Так, в результаті пострілу з рушниці імпульс самої рушниці та імпульс кулі зміняться. Але сума імпульсів рушниці і кулі до пострілу, що знаходиться в ньому, залишиться рівною сумі імпульсів рушниці і кулі, що летить, після пострілу.

При стрільбі з гармати з'являється віддача. Снаряд летить уперед, а сама зброя відкочується назад. Снаряд і гармата – замкнута система, де діє закон збереження імпульсу.

Імпульс кожного з тіл в замкнутій системі може змінюватися внаслідок їхньої взаємодії один з одним. Але векторна сума імпульсів тіл, що входять до замкнутої системи, не змінюється при взаємодії цих тіл з часом, тобто залишається незмінною величиною. Це і є закон збереження імпульсу.

Більш точно закон збереження імпульсу формулюється так: векторна сума імпульсів всіх тіл замкнутої системи - величина постійна, якщо зовнішні сили, що діють на неї, відсутні, або їх векторна сума дорівнює нулю.

Імпульс системи тіл може змінитися лише внаслідок дії системи зовнішніх сил. І тоді закон збереження імпульсу не діятиме.

Слід сказати, що у природі замкнутих систем немає. Але якщо час дії зовнішніх сил дуже мало, наприклад, під час вибуху, пострілу і т.п., то в цьому випадку впливом зовнішніх сил на систему нехтують, а саму систему розглядають як замкнуту.

Крім того, якщо на систему діють зовнішні сили, але сума їх проекцій на одну з координатних осей дорівнює нулю, (тобто сили врівноважені в цій осі), то в цьому напрямку закон збереження імпульсу виконується.

Закон збереження імпульсу називають також законом збереження кількості руху .

Найяскравіший приклад застосування закону збереження імпульсу – реактивний рух.

Реактивний рух

Реактивним рухом називають рух тіла, що виникає при відділенні від нього з певною швидкістю якоїсь його частини. Саме тіло отримує у своїй протилежно спрямований імпульс.

Найпростіший приклад реактивного руху – політ повітряної кульки, з якої виходить повітря. Якщо ми надуємо кульку і відпустимо її, вона почне летіти в бік, протилежний руху повітря, що виходить з нього.

Приклад реактивного руху на природі – викид рідини з плоду скаженого огірка, що він лопається. При цьому сам огірок летить у протилежний бік.

Медузи, каракатиці та інші мешканці морських глибин пересуваються, вбираючи воду, а потім викидаючи її.

На законі збереження імпульсу засновано реактивну тягу. Ми знаємо, що при русі ракети з реактивним двигуном в результаті згоряння палива з сопла викидається струмінь рідини або газу ( реактивний струмінь ). В результаті взаємодії двигуна з витікаючою речовиною з'являється реактивна сила . Так як ракета разом з речовиною, що викидається, є замкнутою системою, то імпульс такої системи не змінюється з часом.

Реактивна сила виникає внаслідок взаємодії лише частин системи. Зовнішні сили не впливають на її появу.

До того, як ракета почала рухатися, сума імпульсів ракети і пального дорівнювала нулю. Отже, згідно із законом збереження імпульсу після включення двигунів сума цих імпульсів теж дорівнює нулю.

де - маса ракети

Швидкість закінчення газу

Зміна швидкості ракети

∆ m f - витрата маси палива

Припустимо, ракета працювала протягом часу t .

Розділивши обидві частини рівняння на ∆ t, отримаємо вираз

За другим законом Ньютона реактивна сила дорівнює

Реактивна сила, або реактивна тяга, забезпечує рух реактивного двигуна та об'єкта, пов'язаного з ним, у бік, протилежний напряму реактивного струменя.

Реактивні двигуни застосовуються в сучасних літаках та різних ракетах, військових, космічних та ін.