Як знайти можливість події приклади. Класичне та статистичне визначення ймовірності

В економіці, так само як і в інших сферах людської діяльності або в природі, постійно доводиться мати справу з подіями, які неможливо точно передбачити. Так, обсяг продажів товару залежить від попиту, який може суттєво змінюватися, та від низки інших факторів, які врахувати практично нереально. Тому при організації виробництва та здійсненні продажів доводиться прогнозувати результат такої діяльності на основі або власного попереднього досвіду, або аналогічного досвіду інших людей, або інтуїції, яка значною мірою також спирається на досвідчені дані.

Щоб якимось чином оцінити подію, що розглядається, необхідно враховувати або спеціально організовувати умови, в яких фіксується ця подія.

Здійснення певних умов або дій для виявлення події, що розглядається, носить назву досвідуабо експерименту.

Подія називається випадковимякщо в результаті досвіду воно може відбутися або не відбутися.

Подія називається достовірнимякщо воно обов'язково з'являється в результаті даного досвіду, і неможливимякщо воно не може з'явитися в цьому досвіді.

Наприклад, випадання снігу у Москві 30 листопада є випадковою подією. Щоденний схід Сонця можна вважати достовірною подією. Випадання снігу на екваторі можна розглядати як неможливу подію.

Однією з головних завдань теорії ймовірностей є завдання визначення кількісної міри можливості появи події.

Алгебра подій

Події називаються несумісними, якщо вони разом не можуть спостерігатися в тому самому досвіді. Так, наявність двох і трьох автомашин в одному магазині для продажу в той самий час — це дві несумісні події.

Сумоюподій називається подія, що полягає в появі хоча б однієї з цих подій

Як приклад суми подій можна назвати наявність у магазині хоча б одного із двох товарів.

Творомподій називається подія, що полягає в одночасному появі всіх цих подій

Подія, що полягає у появі одночасно в магазині двох товарів є твором подій: - Поява одного товару, - Поява іншого товару.

Події утворюють повну групу подій, якщо хоча б одна з них обов'язково станеться у досвіді.

приклад.У порту є два причали прийому суден. Можна розглянути три події: - відсутність судів біля причалів, - присутність одного судна біля одного з причалів, - присутність двох суден біля двох причалів. Ці три події утворюють повну групу подій.

Протилежниминазиваються дві єдино можливі події, що утворюють повну групу.

Якщо одне з подій, є протилежними, позначити через , то протилежне подія зазвичай позначають через .

Класичне та статистичне визначення ймовірності події

Кожен із рівноможливих результатів випробувань (дослідів) називається елементарним результатом. Їх зазвичай позначають літерами. Наприклад, кидається гральна кістка. Елементарних результатів всього може бути шість за кількістю очок на гранях.

З елементарних наслідків можна скласти складнішу подію. Так, подія випадання парного числа очок визначається трьома наслідками: 2, 4, 6.

Кількісним заходом можливості появи події, що розглядається, є ймовірність.

Найбільшого поширення набули два визначення ймовірності події: класичнеі статистичне.

Класичне визначення ймовірності пов'язані з поняттям сприятливого результату.

Вихід називається сприятливимцій події, якщо її поява тягне за собою настання цієї події.

У наведеному прикладі подія, що розглядається, — парна кількість очок на межі, що випала, має три сприятливі результати. В даному випадку відоме і загальне
кількість можливих наслідків. Отже, тут можна використати класичне визначення ймовірності події.

Класичне визначеннядорівнює відношенню числа сприятливих наслідків до загального числа можливих наслідків

де - ймовірність події, - число сприятливих подій, - загальна кількість можливих результатів.

У розглянутому прикладі

Статистичне визначення ймовірності пов'язані з поняттям відносної частоти появи події досвідах.

Відносна частота появи події обчислюється за формулою

де - Число появи події в серії з дослідів (випробувань).

Статистичне визначення. Імовірністю події називається число, щодо якого стабілізується (встановлюється) відносна частота при необмеженому збільшенні дослідів.

У практичних завданнях за ймовірність події приймається відносна частота за досить великої кількості випробувань.

З даних визначень ймовірності події видно, що завжди виконується нерівність

Для визначення ймовірності події на основі формули (1.1) часто використовуються формули комбінаторики, за якими знаходиться кількість сприятливих наслідків та загальна кількість можливих наслідків.

Коли кидається монета, можна сказати, що вона впаде орлом нагору, або ймовірність цього становить 1/2. Звичайно, це не означає, що якщо монета підкидається 10 разів, вона обов'язково впаде вгору орлом 5 разів. Якщо монета є "чесною" і якщо вона підкидається багато разів, то орел випаде дуже близько половини випадків. Таким чином, існує два види ймовірностей: експериментальна і теоретична .

Експериментальна та теоретична ймовірність

Якщо кинути монетку багато разів - скажімо, 1000 - і порахувати, скільки разів випаде орел, ми можемо визначити ймовірність того, що випаде орел. Якщо орел випаде 503 рази, ми можемо вважати ймовірність його випадання:
503/1000, або 0,503.

Це експериментальне визначення ймовірності. Таке визначення ймовірності випливає із спостереження та вивчення даних і є досить поширеним та дуже корисним. Ось, наприклад, деякі ймовірності, які були визначені експериментально:

1. Імовірність того, що у жінки розвинеться рак молочної залози становить 1/11.

2. Якщо ви цілуєтеся, з кимось, хто хворий на застуду, то ймовірність того, що ви теж захворієте на застуду, становить 0,07.

3. Людина, яка щойно була звільнена з в'язниці, має 80% ймовірності повернення назад до в'язниці.

Якщо ми розглядаємо кидання монети і враховуючи те, що так само ймовірно, що випаде орел або решка, ми можемо обчислити ймовірність випадання орла: 1/2. Це теоретичне визначення ймовірності. Ось деякі інші ймовірності, які були визначені теоретично за допомогою математики:

1. Якщо знаходиться 30 осіб у кімнаті, ймовірність того, що двоє мають однаковий день народження (виключаючи рік), становить 0,706.

2. Під час поїздки, Ви зустрічаєте когось і протягом розмови виявляєте, що у вас є спільний знайомий. Типова реакція: "Цього не може бути!" Насправді ця фраза не підходить, тому що ймовірність такої події досить висока – трохи більше ніж 22%.

Таким чином, експериментальна ймовірність визначаються шляхом спостереження та збору даних. Теоретичні ймовірності визначаються шляхом математичних міркувань. Приклади експериментальних і теоретичних ймовірностей, як, наприклад, розглянутих вище, і особливо тих, які ми не очікуємо, призводять нас до ваеності вивчення ймовірності. Ви можете запитати: "Що таке вірогідність?" Насправді такої немає. Експериментально можна визначити ймовірність у певних межах. Вони можуть збігатися або не збігатися з ймовірностями, які ми маємо теоретично. Є ситуації, у яких набагато легше визначити один із типів ймовірності, ніж інший. Наприклад, було б досить знайти можливість застудитися, використовуючи теоретичну можливість.

Обчислення експериментальних ймовірностей

Розглянемо спочатку експериментальне визначення ймовірності. Основний принцип, який ми використовуємо для обчислення таких ймовірностей, є таким.

Принцип P (експериментальний)

Якщо досвіді, у якому проводиться n спостережень, ситуація чи подія Е відбувається m разів за n спостережень, то кажуть, що експериментальна ймовірність події дорівнює P (E) = m/n.

Приклад 1 Соціологічне опитування. Було проведено експериментальне дослідження, щоб визначити кількість шульг, правшів та людей, у яких обидві руки розвинені однаково. Результати показані на графіку.

a) Визначте ймовірність того, що людина – правша.

b) Визначте ймовірність того, що людина – шульга.

c) Визначте можливість, що людина однаково вільно володіє обома руками.

d) У більшості турнірів, що проводяться Професійною Асоціацією Боулінгу, беруть участь 120 гравців. На підставі даних цього експерименту, скільки гравців можуть бути лівшою?

Рішення

a)Кількість людей, які є правшами, становить 82, кількість шульг становить 17, а число тих, хто однаково вільно володіє двома руками - 1. Загальна кількість спостережень - 100. Таким чином, ймовірність того, що людина правша, є Р
P = 82/100, чи 0,82, чи 82%.

b) Імовірність того, що людина шульга є Р, де
P = 17/100, чи 0,17, чи 17%.

c) Імовірність того, що людина однаково вільно володіє двома руками складає P де
P = 1/100, або 0,01 або 1%.

d) 120 гравців у боулінг, і з (b) ми можемо очікувати, що 17% - шульги. Звідси
17% від 120 = 0,17.120 = 20,4,
тобто ми можемо очікувати, що близько 20 гравців є шульгами.

Приклад 2 Контроль якості . Для виробника дуже важливо тримати якість своєї продукції на найвищому рівні. Насправді компанії наймають інспекторів контролю якості для забезпечення цього процесу. Метою є випуск мінімально можливої ​​кількості дефектних виробів. Але оскільки компанія виробляє тисячі виробів щодня, вона може дозволити собі перевіряти кожен виріб, щоб визначити, браковане воно чи ні. Щоб з'ясувати, який відсоток продукції дефектний, компанія перевіряє набагато менше виробів.
Міністерство сільського господарства США вимагає, щоб 80% насіння, яке продають виробники, проростало. Для визначення якості насіння, яке виробляє сільгоспкомпанія, висаджується 500 насіння з тих, що були вироблені. Після цього підрахували, що 417 насінин проросло.

a) Яка ймовірність того, що насіння проросте?

b) Чи відповідає насіння державним стандартам?

Рішення a) Ми знаємо, що з 500 насіння, яке було висаджено, 417 проросли. Імовірність проростання насіння Р, та
P = 417/500 = 0,834, чи 83.4%.

b) Оскільки відсоток пророслого насіння перевищив 80% на вимогу, насіння відповідає державним стандартам.

Приклад 3 Телевізійні рейтинги Відповідно до статистичних даних, у Сполучених Штатах 105,5 млн домогосподарств з телевізорами. Щотижня, інформація про перегляд передач збирається та обробляється. Протягом одного тижня 7815 000 домогосподарств були налаштовані на популярний комедійний серіал "Всі люблять Реймонда" на CBS і 8302 000 домогосподарств були налаштовані на популярний серіал "Закон і порядок" на NBC (Джерело: Nielsen Media Research). Яка ймовірність того, що телевізор одного будинку налаштований на Everybody Loves Raymond протягом цього тижня? на Закон і порядок?

РішенняnІмовірність того, що телевізор в одному домогосподарстві налаштований на "Всі люблять Реймонда" дорівнює Р, та
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Можливість, що телевізор домогосподарства був налаштований на «Закон і порядок» складає P, та
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Ці відсотки називають рейтингами.

Теоретична ймовірність

Припустимо, що ми проводимо експеримент, такі як кидання монетки чи дротиків, витягування карти з колоди, або перевірка виробів на якість на складальній лінії. Кожен можливий результат такого експерименту називається результат . Безліч всіх можливих наслідків називається простором наслідків . Подія це безліч наслідків, тобто підмножина простору наслідків.

Приклад 4 Кидання дротиків. Припустимо, що у експерименті «метання дротиків» дротик потрапляє у мета. Знайдіть кожне з наступних:

b) Простір результатів

Рішення
a) Виходи це: потрапляння до чорного (Ч), потрапляння до червоного (К) та потрапляння до білого (Б).

b) Простір результатів є (попадання у чорне, попадання у червоне, попадання у біле), яке може бути записане просто як (Ч, К, Б).

Приклад 5 Кидання гральних кісток. Гральна кістка це куб із шістьма гранями, на кожній з яких намальовано від однієї до шести крапок.


Припустимо, що ми кидаємо гральну кістку. Знайдіть
a) Виходи
b) Простір результатів

Рішення
a) Виходи: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Простір результатів (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Ми позначаємо ймовірність того, що подія Е трапляється як Р(Е). Наприклад, "монета впаде решкою" можна позначати H. Тоді Р (Н) є ймовірністю того, монета впаде решкою. Коли всі результати експерименту мають однакову ймовірність появи, кажуть, що вони є рівноймовірними. Щоб побачити різницю між подіями, які є рівноймовірними, і нерівноймовірними подіями, розглянемо мету, зображену нижче.

Для мішені A, події потрапляння до чорного, червоного та білого рівноймовірні, оскільки чорні, червоні та білі сектори – однакові. Однак, для мішені B зони з цими квітами не однакові, тобто попадання в них не є рівноймовірним.

Принцип P (теоретичний)

Якщо подія E може статися m шляхами з n можливих рівноймовірних наслідків з простору наслідків S, тоді теоретична ймовірність події, P(E) складає
P(E) = m/n.

Приклад 6Яка можливість викинути 3, кинувши гральний кубик?

РішенняНа гральному кубику 6 рівноймовірних результатів існує лише одна можливість викидання цифри 3. Тоді ймовірність P складе P(3) = 1/6.

Приклад 7Яка можливість викидання парної цифри на гральному кубику?

РішенняПодія – це викидання парної цифри. Це може статися 3 способами (якщо випаде 2, 4 чи 6). Число рівноймовірних результатів дорівнює 6. Тоді ймовірність P(парне) = 3/6, або 1/2.

Ми будемо використовувати низку прикладів, пов'язаних зі стандартною колодою із 52 карт. Така колода складається з карток, показаних на малюнку нижче.

Приклад 8Яка можливість витягнути туза з добре перемішаної колоди карт?

РішенняІснує 52 результати (кількість карт у колоді), вони рівноймовірні (якщо колода добре перемішана), і є 4 способи витягнути туза, тому згідно з принципом P, ймовірність
P(витягування туза) = 4/52, або 1/13.

Приклад 9Припустимо, що ми вибираємо не дивлячись, одну кульку з мішка з трьома червоними кульками і чотирма зеленими кульками. Яка ймовірність вибору червоної кульки?

РішенняІснує 7 рівноймовірних результатів дістати будь-яку кульку, і так як число способів витягнути червону кульку дорівнює 3, отримаємо
P(вибору червоної кульки) = 3/7.

Наступні твердження – це результати з принципу P.

Властивості ймовірності

a) Якщо подія E може статися, тоді P(E) = 0.
b) Якщо подія E станеться неодмінно тоді P(E) = 1.
c) Імовірність того, що подія Е станеться від 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Наприклад, у киданні монети подія, коли монета впаде на ребро має нульову ймовірність. Можливість того, що монета або на орел або решку має можливість 1.

Приклад 10Припустимо, що витягуються 2 карти з колоди з 52 картами. Яка ймовірність того, що обидві піки?

РішенняЧисло шляхів n витягування 2 карт із добре перемішаної колоди з 52 картами є 52 C 2 . Так як 13 з 52 карт є піками, число способів m витягування 2 пік є 13 C 2 . Тоді,
P(витягування 2-х пік) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Приклад 11Припустимо, що 3 людини вибираються випадково з групи, що складається з 6 чоловіків і 4 жінок. Яка ймовірність того, що будуть обрані 1 чоловік та 2 жінки?

РішенняЧисло способів вибору трьох осіб із групи 10 осіб 10 C 3 . Один чоловік може бути обраний 6 C 1 способами, і 2 жінки можуть бути обрані 4 C 2 способами. Згідно з фундаментальним принципом підрахунку, число способів вибору 1-го чоловіка та 2-х жінок 6 C 1 . 4 C 2 . Тоді, ймовірність що буде обрано 1-го чоловіка та 2-х жінок є
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Приклад 12 Кидання гральних кубиків. Яка ймовірність викидання у сумі 8 на двох гральних кубиках?

РішенняНа кожному гральному кубику є 6 можливих наслідків. Виходи подвоюються, тобто існує 6.6 або 36 можливих способів, в якому можуть випасти цифри на двох кубиках. (Краще, якщо кубики різні, скажімо один червоний, а другий блакитний - це допоможе візуалізувати результат.)

Пари цифр, у сумі 8, показані на малюнку внизу. Є 5 можливих способів отримання суми, що дорівнює 8, звідси ймовірність дорівнює 5/36.

У завданнях ЄДІ з математики зустрічаються і більш складні завдання на ймовірність (ніж ми розглядали в частині 1), де доводиться застосовувати правило додавання, множення ймовірностей, розрізняти спільні та несумісні події.

Отже, теорія.

Спільні та несумісні події

Події називаються несумісними, якщо поява одного з них унеможливлює появу інших. Тобто, може відбутися лише одна певна подія або інша.

Наприклад, кидаючи гральну кістку, можна назвати такі події, як випадання парного числа очок і випадання непарного числа очок. Ці події несумісні.

Події називаються спільними, якщо настання одного з них не виключає настання іншого.

Наприклад, кидаючи гральну кістку, можна виділити такі події, як випадання непарного числа очок і випадання числа очок, кратних трьом. Коли випадає три, реалізуються обидві події.

Сума подій

Сумою (або об'єднанням) кількох подій називається подія, що полягає в настанні хоча б однієї з цих подій.

При цьому сума двох несумісних подій є сума ймовірностей цих подій:

Наприклад, ймовірність випадання 5 або 6 очок на гральному кубику при одному кидку буде , тому що обидві події (випадання 5, випадіння 6) несумісні і ймовірність реалізації однієї чи другої події обчислюється наступним чином:

Імовірність ж суми двох спільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без урахування їхньої спільної появи:

Наприклад, у торговому центрі два однакові автомати продають каву. Імовірність того, що до кінця дня в автоматі закінчиться кава, дорівнює 0,3. Імовірність того, що кава закінчиться в обох автоматах, дорівнює 0,12. Знайдемо ймовірність того, що до кінця дня кава закінчиться хоча б в одному з автоматів (тобто або в одному або в іншому, або в обох відразу).

Імовірність першої події «кава закінчиться в першому автоматі» так само як і ймовірність другої події «кава закінчиться в другому автоматі» за умовою дорівнює 0,3. Події є спільними.

Імовірність спільної реалізації перших двох подій за умовою дорівнює 0,12.

Значить, ймовірність того, що до кінця дня кава закінчиться хоча б в одному з автоматів.

Залежні та незалежні події

Дві випадкові події А і В називаються незалежними, якщо настання одного з них не змінює ймовірність наступу іншого. В іншому випадку події А та В називають залежними.

Наприклад, при одночасному кидку двох кубиків випадання одному з них, скажімо 1, і другому 5, – незалежні події.

Добуток ймовірностей

Твором (або перетином) кількох подій називається подія, що полягає у спільній появі всіх цих подій.

Якщо відбуваються два незалежні подіїА і В з ймовірностями відповідно до Р(А) і Р(В), то ймовірність реалізації подій А і В одночасно дорівнює добутку ймовірностей:

Наприклад, нас цікавить випадання на гральному кубику двічі поспіль шістки. Обидві події незалежні і можливість реалізації кожного з них окремо – . Імовірність того, що відбудуться обидві ці події, буде обчислюватися за зазначеною вище формулою: .

Добірку завдань на відпрацювання теми дивіться.

  • Імовірність - ступінь (відносна міра, кількісна оцінка) можливості настання певної події. Коли підстави для того, щоб якась можлива подія сталася насправді, переважують протилежні підстави, то цю подію називають ймовірною, інакше малоймовірною або неймовірною. Перевага позитивних підстав над негативними, і навпаки, можливо різною мірою, унаслідок чого ймовірність (і неймовірність) буває більшою чи меншою. Тому часто ймовірність оцінюється на якісному рівні, особливо в тих випадках, коли більш менш точна кількісна оцінка неможлива або вкрай скрутна. Можливі різні градації «рівнів» ймовірності.

    Дослідження ймовірності з математичної погляду становить особливу дисципліну - теорію ймовірностей. У теорії ймовірностей та математичної статистики поняття ймовірності формалізується як числова характеристика події - ймовірнісна міра (або її значення) - міра на безлічі подій (підмножини безлічі елементарних подій), що приймає значення від

    (\displaystyle 0)

    (\displaystyle 1)

    Значення

    (\displaystyle 1)

    Відповідає достовірній події. Неможлива подія має ймовірність 0 (назад взагалі кажучи не завжди вірно). Якщо ймовірність настання події дорівнює

    (\displaystyle p)

    То ймовірність його ненастання дорівнює

    (\displaystyle 1-p)

    Зокрема, ймовірність

    (\displaystyle 1/2)

    Означає рівну ймовірність настання та ненастання події.

    Класичне визначення ймовірності грунтується на понятті рівноможливості результатів. Як ймовірність виступає відношення кількості результатів, що сприяють даній події, до загального числа рівноможливих результатів. Наприклад, ймовірність випадання «орла» або «решки» при випадковому підкиданні монетки дорівнює 1/2, якщо передбачається, що ці дві можливості мають місце і є рівноможливими. Дане класичне "визначення" ймовірності можна узагальнити на випадок нескінченної кількості можливих значень - наприклад, якщо деяка подія може статися з рівною ймовірністю в будь-якій точці (кількість точок нескінченно) деякої обмеженої області простору (площини), то ймовірність того, що вона відбудеться в деякій частина цієї допустимої області дорівнює відношенню обсягу (площі) цієї частини до обсягу (площі) області всіх можливих точок.

    Емпіричне «визначення» ймовірності пов'язане з частотою настання події виходячи з того, що при досить значній кількості випробувань частота повинна прагнути об'єктивного ступеня можливості цієї події. У сучасному викладі теорії ймовірностей ймовірність визначається аксіоматично, як окремий випадок абстрактної теорії міри множини. Тим не менш, сполучною ланкою між абстрактним заходом і ймовірністю, що виражає ступінь можливості настання події, є частота його спостереження.

    Імовірнісний опис тих чи інших явищ набув широкого поширення в сучасній науці, зокрема в економетриці, статистичній фізиці макроскопічних (термодинамічних) систем, де навіть у разі класичного детермінованого опису руху частинок детермінований опис усієї системи часток не є практично можливим і доцільним. У квантовій фізиці самі описувані процеси мають імовірнісну природу.

Що таке можливість?

Зіткнувшись із цим терміном перший раз, я б не зрозумів, що це таке. Тож спробую пояснити доступно.

Імовірність – це шанс того, що станеться потрібна нам подія.

Наприклад, ти вирішив зайти до знайомого, пам'ятаєш під'їзд і навіть поверх, на якому він живе. А ось номер та розташування квартири забув. І ось стоїш ти на сходовій клітці, а перед тобою двері на вибір.

Який шанс (імовірність) того, що якщо ти зателефонуєш до перших дверей, тобі відкриє твій друг? Усього квартири, а друг живе лише за однією з них. З рівним шансом ми можемо вибрати будь-які двері.

Але який цей шанс?

Двері, потрібні двері. Можливість вгадати, зателефонувавши перші двері: . Тобто один раз із трьох ти точно вгадаєш.

Ми хочемо дізнатися, зателефонувавши раз, як часто ми вгадуватимемо двері? Давай розглянь усі варіанти:

  1. Ти подзвонив у 1юдвері
  2. Ти подзвонив у 2юдвері
  3. Ти подзвонив у 3юдвері

А тепер розглянемо всі варіанти, де може бути друг:

а. За Першийдверима
б. За Другийдверима
в. За 3ейдверима

Зіставимо всі варіанти як таблиці. Галочкою позначені варіанти, коли твій вибір збігається з місцем розташування друга, хрестиком - коли не збігається.

Як бачиш всього можливо варіантіврозташування друга і твого вибору, в які двері дзвонити.

А сприятливих результатів всього . Тобто рази з ти вгадаєш, зателефонувавши в двері, тобто. .

Це і є ймовірність - ставлення сприятливого результату (коли твій вибір збігся з розташуванням друга) до кількості можливих подій.

Визначення - і є формула. Імовірність прийнято позначати p, тому:

Таку формулу писати не дуже зручно, тому приймемо за кількість сприятливих результатів, а за загальну кількість результатів.

Імовірність можна записувати у відсотках, для цього потрібно помножити результат, що вийшов на:

Напевно, тобі кинулося у вічі слово «виходи». Оскільки математики називають різні дії (у нас така дія – це дзвінок у двері) експериментами, то результатом таких експериментів прийнято називати результат.

Ну а результати бувають сприятливі та несприятливі.

Повернімося до нашого прикладу. Припустимо, ми зателефонували в одне з дверей, але нам відкрив незнайомий чоловік. Ми не вгадали. Яка ймовірність, що якщо подзвонимо в одну з дверей, що залишилися, нам відкриє наш друг?

Якщо ти подумав, що це помилка. Давай розбиратись.

У нас залишилося два двері. Таким чином, у нас є можливі кроки:

1) Зателефонувати до 1-шудвері
2) Подзвонити в Другудвері

Друг, при цьому, точно знаходиться за однією з них (адже за тією, в яку ми дзвонили, його не виявилося):

а) Друг за 1-ийдверима
б) Друг за Другийдверима

Давай знову намалюємо таблицю:

Як бачиш, всього є варіанти, з яких – сприятливі. Тобто ймовірність дорівнює.

А чому ні?

Розглянута нами ситуація - приклад залежних подій.Перша подія – це перший дзвінок у двері, друга подія – це другий дзвінок у двері.

А залежними вони називаються, бо впливають на наступні дії. Адже якби після першого дзвінка у двері нам відчинив друг, то якою була б ймовірність того, що він перебуває за однією з двох інших? Правильно, .

Але якщо є залежні події, то мають бути і незалежні? Мабуть, бувають.

Хрестоматійний приклад – кидання монетки.

  1. Кидаємо монету разів. Яка ймовірність того, що випаде, наприклад, орел? Правильно - адже варіантів всього (або орел, або решка, знехтуємо ймовірністю монетки стати на ребро), а влаштовує нас тільки.
  2. Але випала решка. Гаразд, кидаємо ще раз. Яка ймовірність випадання орла? Нічого не змінилося, так само. Скільки варіантів? Два. А скільки нас влаштовує? Один.

І хай хоч тисячу разів поспіль випадатиме решка. Імовірність випадання орла на раз буде все також. Варіантів завжди, а сприятливих – .

Відрізнити залежні події від незалежних легко:

  1. Якщо експеримент проводиться раз (якщо кидають монетку, 1 раз дзвонять у двері тощо), то події завжди незалежні.
  2. Якщо експеримент проводиться кілька разів (монетку кидають раз, у двері дзвонять кілька разів), то перша подія завжди є незалежною. А далі, якщо кількість сприятливих чи кількість всіх наслідків змінюється, то події залежні, а якщо ні – незалежні.

Давай трохи потренуємось визначати ймовірність.

приклад 1.

Монетку кидають двічі. Яка ймовірність того, що двічі поспіль випаде орел?

Рішення:

Розглянемо всі можливі варіанти:

  1. Орел-орел
  2. Орел решка
  3. Решка-орел
  4. Решка-рішка

Як бачиш, всього варіанта. З них нас влаштовує лише. Тобто ймовірність:

Якщо в умові просять просто знайти ймовірність, то відповідь потрібно давати у вигляді десяткового дробу. Якщо було б зазначено, що відповідь потрібно дати у відсотках, тоді ми помножили б.

Відповідь:

приклад 2.

У коробці цукерок усі цукерки упаковані в однакову обгортку. Однак із цукерок - з горіхами, з коньяком, з вишнею, з карамеллю та з нугою.

Яка можливість, узявши одну цукерку, дістати цукерку з горіхами. Відповідь дайте у відсотках.

Рішення:

Скільки всього можливих наслідків? .

Тобто, взявши одну цукерку, вона буде однією з наявних у коробці.

А скільки сприятливих наслідків?

Тому що в коробці лише цукерок із горіхами.

Відповідь:

приклад 3.

У коробці куль. їх білі, - чорні.

  1. Яка можливість витягнути білу кулю?
  2. Ми додали до коробки ще чорних куль. Яка тепер можливість витягнути білу кулю?

Рішення:

а) У коробці всього куль. Із них білих.

Імовірність дорівнює:

б) Тепер куль у коробці стало. А білих залишилося стільки ж.

Відповідь:

Повна ймовірність

Імовірність всіх можливих подій дорівнює ().

Припустимо, у ящику червоних та зелених куль. Яка можливість витягнути червону кулю? Зелена куля? Червона чи зелена куля?

Імовірність витягнути червону кулю

Зелена куля:

Червона або зелена куля:

Як бачиш, сума всіх можливих подій дорівнює (). Розуміння цього моменту допоможе тобі вирішити багато завдань.

приклад 4.

У ящику лежить фломастерів: зелений, червоний, синій, жовтий, чорний.

Яка можливість витягнути не червоний фломастер?

Рішення:

Давай порахуємо кількість сприятливих результатів.

НЕ червоний фломастер, тобто зелений, синій, жовтий або чорний.

Імовірність усіх подій. А ймовірність подій, які ми вважаємо несприятливими (коли витягнемо червоний фломастер) - .

Таким чином, можливість витягнути не червоний фломастер - .

Відповідь:

Імовірність того, що подія не станеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться.

Правило множення ймовірностей незалежних подій

Що таке незалежні події, ти вже знаєш.

А якщо потрібно знайти ймовірність того, що дві (або більше) незалежні події відбудуться поспіль?

Допустимо ми хочемо знати, яка ймовірність того, що кидаючи монету рази, ми двічі побачимо орла?

Ми вже рахували - .

А якщо кидаємо монету разів? Яка можливість побачити орла рази поспіль?

Усього можливих варіантів:

  1. Орел-орел-орел
  2. Орел-орел-решка
  3. Орел-рішка-орел
  4. Орел-решка-решка
  5. Решка-орел-орел
  6. Решка-орел-решка
  7. Решка-рішка-орел
  8. Решка-решка-решка

Не знаю як ти, але я раз помилився, складаючи цей список. Ух! А підходить нам лише варіант (перший).

Для 5 кидків можеш скласти список можливих наслідків сам. Але математики не такі працьовиті, як ти.

Тому вони спочатку помітили, а потім довели, що ймовірність певної послідовності незалежних подій щоразу зменшується на ймовірність однієї події.

Іншими словами,

Розглянемо з прикладу тієї ж, злощасної, монетки.

Імовірність випадання орла у випробуванні? . Тепер ми кидаємо монету вкотре.

Яка можливість випадання разів поспіль орла?

Це правило працює не тільки, якщо нас просять знайти ймовірність того, що відбудеться одна і та сама подія кілька разів поспіль.

Якби ми хотіли знайти послідовність РІШКА-ОРЕЛ-РІШКА, при кидках поспіль, ми надійшли б також.

Імовірність випадання решка -, орла -.

Імовірність випадання послідовності РІШКА-ОРЕЛ-РІШКА-РІШКА:

Можеш перевірити сам, склавши таблицю.

Правило складання ймовірностей несумісних подій.

Так стоп! Нове визначення.

Давай розбиратись. Візьмемо нашу зношену монетку та кинемо її рази.
Можливі варіанти:

  1. Орел-орел-орел
  2. Орел-орел-решка
  3. Орел-рішка-орел
  4. Орел-решка-решка
  5. Решка-орел-орел
  6. Решка-орел-решка
  7. Решка-рішка-орел
  8. Решка-решка-решка

Отож несумісні події, це певна, задана послідовність подій. – це несумісні події.

Якщо хочемо визначити, яка ймовірність двох (чи більше) несумісних подій ми складаємо ймовірності цих подій.

Потрібно зрозуміти, що випадання орла чи решки – це дві незалежні події.

Якщо хочемо визначити, яка ймовірність випадання послідовності) (чи будь-який інший), ми користуємося правилом множення ймовірностей.
Яка ймовірність випадання при першому кидку орла, а при другому та третьому реші?

Але якщо хочемо дізнатися, яка ймовірність випадання однієї з кількох послідовностей, наприклад, коли орел випаде рівно раз, тобто. варіанти і, ми повинні скласти ймовірності цих послідовностей.

Усього варіантів, нам підходить.

Те саме ми можемо отримати, склавши ймовірності появи кожної послідовності:

Таким чином, ми складаємо ймовірності, коли хочемо визначити ймовірність деяких, несумісних послідовностей подій.

Є відмінне правило, що допомагає не заплутатися, коли множити, а коли складати:

Повернемося наприклад, коли ми підкинули монету рази, і хочемо дізнатися можливість побачити орла разів.
Що має статися?

Повинні випасти:
(Орел І решка І решка) АБО (решка І орел І решка) АБО (рішка І решка І орел).
Ось і виходить:

Давайте розглянемо кілька прикладів.

Приклад 5.

У коробці лежить олівці. червоних, зелених, помаранчевих та жовтих та чорних. Яка можливість витягнути червоний або зелений олівці?

Рішення:

Що має статися? Ми повинні витягнути (червоний АБО зелений).

Тепер зрозуміло, складаємо ймовірність цих подій:

Відповідь:

Приклад 6.

Гральну кістку кидають двічі, якою є ймовірність того, що в сумі випаде 8 очок?

Рішення.

Як ми можемо отримати очки?

(і) або (і) або (і) або (і) або (і).

Імовірність випадання однієї (будь-якої) грані - .

Вважаємо ймовірність:

Відповідь:

Тренування.

Думаю, тепер тобі стало зрозуміло, коли треба як рахувати ймовірності, коли їх складати, а коли множити. Чи не так? Давай трохи потренуємось.

Завдання:

Візьмемо карткову колоду, в якій карти, з них пік, хробаків, 13 треф та 13 бубон. Від туза кожної масті.

  1. Яка можливість витягнути трефи поспіль (першу витягнуту карту ми кладемо назад у колоду і перемішуємо)?
  2. Яка можливість витягнути чорну карту (піки або трефи)?
  3. Яка можливість витягнути картинку (вальта, даму, короля чи туза)?
  4. Яка можливість витягнути дві картинки поспіль (першу витягнуту карту ми прибираємо з колоди)?
  5. Яка ймовірність, взявши дві карти, зібрати комбінацію - (валет, пані чи король) і туз Послідовність, у якій витягнуть карти, немає значення.

Відповіді:

  1. У колоді карти кожної гідності означає:
  2. Події залежать, оскільки після першої витягнутої карти кількість карт у колоді зменшилася (як і кількість «картинок»). Усього вальтів, дам, королів і тузів у колоді спочатку, а значить ймовірність першою картою витягнути «картинку»:

    Оскільки ми прибираємо з колоди першу карту, то в колоді залишилося вже карта, з них картинок. Імовірність другою картою витягнути картинку:

    Оскільки нас цікавить ситуація, коли ми дістаємо з колоди: «картинку» та «картинку», то треба перемножувати ймовірності:

    Відповідь:

  3. Після першої витягнутої карти кількість карт у колоді зменшиться. Таким чином, нам підходить два варіанти:
    1) Першою картою витягуємо Туза, другою – валета, даму чи короля
    2) Першою картою витягуємо валета, даму чи короля, другий - туза. (туз і (валет чи дама чи король)) чи ((валет чи дама чи король) і туз). Не забуваємо про зменшення кількості карт у колоді!

Якщо ти зміг сам вирішити всі завдання, то великий молодець! Тепер завдання на теорію ймовірностей в ЄДІ ти клацатимеш як горішки!

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Розглянемо приклад. Припустимо, ми кидаємо гральну кістку. Що це за така кістка, знаєш? Так називають кубик із цифрами на гранях. Скільки граней, стільки та цифр: від до скільки? До.

Отже, ми кидаємо кістку і хочемо, щоб випало чи. І нам випадає.

Теоретично ймовірностей кажуть, що сталося сприятлива подія(Не плутай з благополучним).

Якби випало, подія теж була б сприятливою. Разом може статися лише дві сприятливі події.

А скільки несприятливих? Раз всього можливих подій, значить, несприятливі з них події (це якщо випаде або).

Визначення:

Імовірністю називається відношення кількості сприятливих подій до кількості всіх можливих подій. Тобто можливість показує, яка частка з усіх можливих подій припадає на сприятливі.

Позначають можливість латинської буквою (мабуть, від англійського слова probability - можливість).

Прийнято вимірювати ймовірність у відсотках (див. теми та ). Для цього значення ймовірності потрібно множити. У прикладі з гральною кісткою імовірність.

На відсотках: .

Приклади (виріши сам):

  1. З якою ймовірністю при киданні монетки випаде орел? А з якою ймовірністю випаде решка?
  2. З якою ймовірністю при киданні гральної кістки випаде парне число? А з якою – непарне?
  3. У ящику простих, синіх та червоних олівців. Навмання тягнемо один олівець. Яка можливість витягнути простий?

Рішення:

  1. Скільки варіантів? Орел і решка – лише два. А скільки з них є сприятливими? Тільки один – орел. Отже, ймовірність

    З рішкою те саме: .

  2. Усього варіантів: (скільки сторін у кубика, стільки й різних варіантів). Сприятливі з них: (це всі парні числа:).
    Імовірність. З непарними, природно, те саме.
  3. Усього: . Сприятливих: . Можливість: .

Повна ймовірність

Усі олівці у ящику зелені. Яка можливість витягнути червоний олівець? Шансів немає: ймовірність (адже сприятливі події -).

Така подія називається неможливою.

А яка можливість витягнути зелений олівець? Сприятливих подій рівно стільки, скільки подій всього (всі події - сприятливі). Значить, ймовірність дорівнює чи.

Така подія називається достовірною.

Якщо в ящику зелених та червоних олівців, яка ймовірність витягнути зелений чи червоний? Знову ж. Зауважимо таку річ: можливість витягнути зелений дорівнює, а червоний - .

У сумі ці ймовірності рівні рівно. Тобто, сума ймовірностей всіх можливих подій дорівнює або.

Приклад:

У коробці олівців, у тому числі синіх, червоних, зелених, простих, жовтий, інші - оранжеві. Яка можливість не витягнути зелений?

Рішення:

Пам'ятаємо, що всі ймовірності у сумі дають. А можливість витягнути зелений дорівнює. Отже, можливість не витягнути зелений дорівнює.

Запам'ятай цей прийом:ймовірність того, що подія не відбудеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться.

Незалежні події та правило множення

Ти кидаєш монетку разу, і хочеш, щоб обидва рази випав орел. Яка ймовірність цього?

Давай переберемо всі можливі варіанти та визначимо, скільки їх:

Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Рішка, Решка-Рішка. Які ще?

Усього варіанта. З них нам підходить лише один: Орел-Орел. Отже, ймовірність дорівнює.

Добре. А тепер кидаємо монету разів. Порахуй сам. Вийшло? (Відповідь).

Ти міг помітити, що з додаванням кожного наступного кидка можливість зменшується в рази. Загальне правило називається правилом множення:

Імовірності незалежних подій змінюються.

Що таке незалежні події? Все логічно: це ті, що не залежать один від одного. Наприклад, коли ми кидаємо монету кілька разів, щоразу робиться новий кидок, результат якого не залежить від усіх попередніх кидків. З таким самим успіхом ми можемо кидати одночасно дві різні монетки.

Ще приклади:

  1. Гральну кістку кидають двічі. Яка ймовірність, що обидва рази випаде?
  2. Монетку кидають рази. Яка ймовірність, що вперше випаде орел, а потім двічі решка?
  3. Гравець кидає дві кістки. Яка ймовірність, що сума чисел на них дорівнюватиме?

Відповіді:

  1. Події незалежні, отже, працює правило множення: .
  2. Імовірність орла дорівнює. Імовірність решітки – теж. Перемножуємо:
  3. 12 може вийти тільки, якщо випадуть дві-ки: .

Несумісні події та правило додавання

Несумісними називаються події, які доповнюють одна одну до ймовірності. З назви видно, що вони можуть статися одночасно. Наприклад, якщо кидаємо монету, може випасти або орел, або решка.

приклад.

У коробці олівців, у тому числі синіх, червоних, зелених, простих, жовтий, інші - оранжеві. Яка можливість витягнути зелений чи червоний?

Рішення .

Імовірність витягнути зелений олівець дорівнює. Червоний - .

Сприятливих подій: зелених + червоних. Отже, можливість витягнути зелений чи червоний дорівнює.

Цю ж можливість можна у вигляді: .

Це і є правило додавання:ймовірності несумісних подій складаються.

Завдання змішаного типу

приклад.

Монетку кидають двічі. Яка ймовірність того, що результат кидків буде різним?

Рішення .

Мається на увазі, якщо першим випав орел, другий має бути решка, і навпаки. Виходить, що тут дві пари незалежних подій і ці пари одна з одною несумісні. Як би не заплутатися, де множити, а де складати.

Існує просте правило для таких ситуацій. Спробуй описати, що має статися, поєднуючи події спілками «І» чи «АБО». Наприклад, у цьому випадку:

Повинні випасти (орел та решка) або (решка та орел).

Там де стоїть союз «і», буде множення, а там де «або» – додавання:

Спробуй сам:

  1. З якою ймовірністю при двох киданнях монетки обидва рази випаде один і той же бік?
  2. Гральну кістку кидають двічі. Яка ймовірність, що у сумі випаде очок?

Рішення:

  1. (Випав орел і випав орел) або (випала решка та випала решка): .
  2. Які є варіанти? в. Тоді:
    Випало (і) або (і) або (і): .

Ще приклад:

Кидаємо монету рази. Яка ймовірність, що хоча б один раз випаде орел?

Рішення:

Ой, як не хочеться перебирати варіанти… Орел-решка-решка, Орел-орел-решка, … А й не треба! Згадуємо про цілковиту ймовірність. Згадав? Яка ймовірність, що орел не випаде жодного разу? Це просто: весь час летять решки, значить.

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Імовірність – це відношення кількості сприятливих подій до кількості всіх можливих подій.

Незалежні події

Дві події незалежні, якщо при настанні одного ймовірність наступу іншого не змінюється.

Повна ймовірність

Імовірність всіх можливих подій дорівнює ().

Імовірність того, що подія не станеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться.

Правило множення ймовірностей незалежних подій

Імовірність певної послідовності незалежних подій дорівнює твору ймовірностей кожної з подій

Несумісні події

Несумісними називаються події, які не можуть статися одночасно в результаті експерименту. Ряд несумісних подій утворюють повну групу подій.

Імовірності несумісних подій складаються.

Описав що має статися, використовуючи спілки «І» чи «АБО», замість «І» ставимо знак множення, а замість «АБО» — додавання.

Стати учнем YouClever,

Підготуватися до ОДЕ або ЄДІ з математики,

А також отримати доступ до підручника YouClever без обмежень.