Неоднорідність системи. Вступ

1-е питання Іспит

1. Методологія системного аналізу. Концепція системи. Статичні характеристики системи. Відкритість. Проблеми побудови моделі чорного ящика. Неоднорідність складу. Проблеми побудови моделі складу. Структурованість. Проблеми побудови моделі структури.

Статичними властивостями назвемо особливості конкретного стану системи. Це те, що має система в будь-який, але фіксований момент часу.

Відкритість - Друга властивість системи. Система, що виділяється, відмінна від решти, не ізольована від навколишнього середовища. Навпаки, вони пов'язані та обмінюються між собою будь-якими видами ресурсів (речовиною, енергією, інформацією тощо). Помстимося, що зв'язки системи з середовищем мають спрямований характер; за одним середовище впливає систему (їх називають входами системи), за іншими система впливає середу, щось робить у середовищі, щось видає середу (такі зв'язку називають виходами системи) . Перелік входів та виходів системи називають моделлю чорної скриньки . У цій моделі відсутня інформація про внутрішні особливості системи. Незважаючи на (здається) простоту і бідність змісту моделі чорного ящика, ця модель часто цілком достатня для роботи з системою.

Труднощі побудови моделі чорної скриньки . Всі вони випливають з того, що модель завжди містить кінцевий список зв'язків, тоді як їхня кількість у реальної системи не обмежена. Виникає питання: які їх включати в модель, а які - ні? Відповідь ми вже знаємо: у моделі повинні бути відображені всі зв'язки

досягнення мети.

Чотири типи помилок при побудові моделі чорної скриньки:

Помилка першого роду відбувається, коли суб'єкт розцінює зв'язок як суттєву і приймає рішення про включення її в модель, тоді як насправді по відношенню до поставленої мети вона несуттєва і могла б не враховуватися. Це призводить до появи в моделі зайвих елементів, по суті непотрібних.

Помилка другого роду, навпаки, відбувається суб'єктом, коли він приймає рішення, що цей зв'язок несуттєвий і не заслуговує бути включеним у модель, тоді як насправді без неї наша мета не може бути досягнута повною мірою або навіть зовсім.

Помилкою третього роду прийнято вважати наслідки незнання. Для того, щоб оцінювати суттєвість деякого зв'язку, треба знати, що вона взагалі є. Якщо це невідомо, питання про включення або не включення її до моделі взагалі не стоїть: у моделях є тільки те, що ми знаємо. Але від того, що ми не підозрюємо про існування якогось зв'язку, він не перестає існувати і виявлятися в реальній дійсності. А далі все залежить від того, наскільки вона є суттєвою для досягнення нашої мети. Якщо вона несуттєва, то ми на практиці і не помітимо її наявності у реальності та відсутності в моделі. Якщо ж вона суттєва, ми відчуватимемо ті ж труднощі, що і при помилці другого роду. Різниця полягає в тому, що помилку третього роду найважче виправити: треба добувати нові знання.

Помилка четвертого роду може виникнути при неправильному віднесенні відомого і визнаного суттєвого зв'язку до входів або виходів.

Внутрішня неоднорідність: помітність елементів (третя якість системи). Якщо заглянути всередину «чорної скриньки», то з'ясується, що система не однорідна, монолітна; можна виявити, що різні якості у різних місцях відрізняються. Опис внутрішньої неоднорідності системи зводиться до відокремлення щодо однорідних ділянок, проведення кордонів між ними. Так з'являється уявлення про частини системи. При більш детальному розгляді виявляється, що виділені великі частини теж однорідні, що вимагає виділяти ще дрібніші частини. В результаті виходить ієрархічний список частин системи, який ми називатимемо моделлю складу системи.

Проблеми побудови моделі складу , які кожному доводиться долати, можна уявити трьома положеннями:

Перше. Ціле можна ділити на частини по-різному (як розрізати булку хліба на скибки різного розміру та форми). А як саме треба? Відповідь: так, як вам потрібно для досягнення вашої мети.

Друге. Кількість елементів моделі складу залежить і від цього, якому рівні зупинити дроблення системи. Частини на кінцевих гілках ієрархічного дерева, що виходить, називаються елементами .

Третє. Будь-яка система є частиною якоїсь більшої системи (а нерідко частиною кількох систем). А цю метасистему також можна ділити на підсистеми по-різному. Це означає, що зовнішня межа системи має відносний умовний характер. Навіть «очевидна» межа системи (шкіра людини, огорожа підприємства тощо) за певних умов виявляється недостатньою для визначення кордону в цих умовах.

Структурованість Четверта статична властивість полягає в тому, що частини системи не незалежні, не ізольовані одна від одної; вони пов'язані між собою, взаємодіють один з одним. У цьому властивості системи загалом значно залежить від цього, як саме взаємодіють її частини. Тому так часто важлива інформація про зв'язки частин. Список істотних зв'язків між елементами системи називається моделлю структури системи. Неподільність будь-якої системи певною структурою і називатимемо четвертою статичною властивістю систем - структурованістю.

Проблеми побудови моделі структури . Підкреслимо, що з цієї системи може бути запропоновано безліч різних моделей структури. Зрозуміло, що для досягнення певної мети потрібно одна, конкретна, найбільш підходяща модель з них. Складність вибору з наявних чи побудови моделі спеціально нашого випадку випливає з те, що, за визначенням, модель структури - це перелік істотних зв'язків.

Перша складність пов'язана з тим, що модель структури визначається після того, як вибирається модель складу, і залежить від того, який саме склад системи. Але навіть при зафіксованому складі модель структури варіабельна через можливість по-різному визначити суттєвість зв'язків.

Друга проблема виникає з того, що кожен елемент системи є «маленька чорна скринька». Отже, всі чотири типи помилок МОЖЛИВІ при визначенні входів і виходів кожного елемента, що включаються в модель структури.

2. Методологія системного аналізу. Концепція системи. Динамічні властивості системи: функціональність, стимульованість, мінливість системи з часом, існування в середовищі, що змінюється. Синтетичні властивості системи: емерджентність, нероздільність на частини, інгерентність, доцільність.

Динамічні властивості системи:

Функціональність - П'ята властивість системи. Процеси Y(t), що відбуваються на виходах системи (У(1)^(уi(t), Уг(1), -, Уп(0)), розглядаються як її функції. Функції системи - це її поведінка у зовнішньому середовищі; зміни, які здійснюються системою в навколишньому середовищі; результати її діяльності; продукція, яка виробляється системою. З множинності виходів випливає множинність функцій, кожна з яких може бути кимось і для чогось використана. Тому та сама система може бути різних цілей.

Стимулюваність - Шосте властивість системи. На входах системи теж відбуваються певні процеси X(t) = (x^(t), X2(t), x^(t)) , що впливають на систему, перетворюючись (після низки перетворень у системі) на Y(t). Назвемо впливу X(t) стимулами, а саму схильність будь-якої системи впливам ззовні та зміна її поведінки під цими впливами - назвемо стимулюваністю.

Мінливість системи з часом - Сьоме властивість системи. У будь-якій системі відбуваються зміни, які треба враховувати; передбачати та закладати в проект майбутньої системи; сприяти чи протидіяти їм, прискорюючи чи уповільнюючи їх під час роботи з існуючою системою. Змінюватися в системі може будь-що, але в термінах наших моделей можна дати наочну класифікацію змін: можуть змінюватися значення внутрішніх змінних (параметрів) Z(t), склад і структура системи та будь-які їх комбінації.

Існування в середовищі, що змінюється - восьма властивість системи. Змінюється як дана система, а й інші. Для даної системи це виглядає як безперервна зміна довкілля. Неминуча існування в оточенні, що постійно змінюється, має безліч наслідків для самої системи, починаючи з необхідності її пристосування до зовнішніх змін, щоб не загинути, до різних інших реакцій системи. При розгляді конкретної системи з конкретною метою увага зосереджується на деяких конкретних особливостях її реакції.

Синтетичні властивості системи:

Синтетичні . Цей термін означає узагальнюючі, збірні, інтегральні властивості, що враховують сказане раніше, але наголошують на взаємодії системи з середовищем, на цілісність у найзагальнішому розумінні.

Емерджентність - Дев'ята властивість системи. Мабуть, це властивість найбільше інших говорить про природу систем. Об'єднання елементів у систему породжує в системи якісно нові властивості, які не зводяться до властивостей частин, не що виводяться з властивостей частин, властиві лише самої системі та існуючі тільки поки система становить одне ціле. Система є чимось більшим, ніж проста сукупність елементів. Якості системи, властиві тільки їй, називаються емерджентньші (від англ. "виникати").

Нероздільність на частини - десяте властивість системи. Хоча ця властивість є простим наслідком емерджентності, його практична важливість настільки велика, яке недооцінка зустрічається так часто, що доцільно підкреслити його окремо. Якщо нам потрібна сама система, а не щось інше, її не можна розділяти на частини. При вилученні із системи деякої частини відбувається дві важливі події.

По-перше, у своїй змінюється склад системи, отже, і його структура. Це буде вже інша система, з властивостями, що відрізняються. Оскільки властивостей у колишньої системи багато, то якась властивість, пов'язана саме з цією частиною, взагалі зникне (вона може виявитися і емерджентною, і не такою. Якась властивість зміниться, але частково збережеться. А якісь властивості системи взагалі несуттєво пов'язані з частиною, що вилучається, підкреслимо ще раз, що суттєво чи ні позначиться вилучення частини з системи - питання оцінки наслідків.

Друге важливе наслідок вилучення частини з системи полягає в тому, що частина в системі і поза нею - це не те саме. Змінюються її властивості через те, що властивості об'єкта проявляються у взаємодіях з оточуючими його об'єктами, а при вилученні із системи оточення елемента стає зовсім іншим.

Інгсрентність - одинадцята властивість системи. Будемо говорити, що система тим більше ієгерентна (від англ. inherent - невід'ємна частина чогось), чим краще вона узгоджена, пристосована до навколишнього середовища, сумісна з нею. Ступінь інгерентності буває різною і може змінюватися (навчання, забування, еволюція, реформи, розвиток, деградація і т.п.). Факт відкритості всіх систем ще не означає, що всі вони однаково добре узгоджені з навколишнім середовищем.

Доцільність - дванадцята властивість системи. У системах, що створюються людиною, підпорядкованість всього (і складу, і структури) поставленої мети настільки очевидна, що повинна бути визнана фундаментальною властивістю будь-якої штучної системи. Мета, заради якої створюється система, визначає, яка емерджентна властивість забезпечуватиме реалізацію мети, а це, у свою чергу, диктує вибір складу та структури системи. Одне з визначень системи так і каже: система є засіб досягнення мети. Мається на увазі, що якщо висунута мета не може бути досягнута за рахунок вже наявних можливостей, то суб'єкт компонує з навколишніх об'єктів нову систему, що створюється спеціально, щоб допомогти досягти даної мети. Варто зауважити, що рідко мета однозначно визначає склад і структуру системи, що створюється: важливо, щоб реалізувалася потрібна функція, а цього часто можна досягти різними способами.

3. Методологія системного аналізу. Моделі та моделювання. Концепція моделі як системи. Аналіз та синтез як методи побудови моделей. Штучна та природна класифікація моделей. Узгодженість моделей із культурою суб'єкта.

Залежно від того, що нам потрібно дізнатися, пояснити - як система влаштована або як вона взаємодіє із середовищем, розрізняють два методи пізнання: 1) аналітичний; 2) синтетичний.

Процедура аналізу полягає у послідовному виконанні наступних трьох операцій; 1) складне ціле розчленувати більш дрібні частини, імовірніше прості; 2) дати зрозуміле пояснення отриманим фрагментам; 3) об'єднати пояснення елементів у пояснення цілого. Якщо якась частина системи залишається все ще незрозумілою, операція декомпозиції повторюється і ми знову робимо спробу пояснити нові, ще дрібніші фрагменти.

Першим продуктом аналізу є, як видно з схеми, перелік елементів системи, тобто. . модель складу системи . Другим продуктом аналізу є модель структури системи . Третій продукт аналізу - модель чорної скриньки кожного елемента системи.

Синтетичний метод полягає в послідовному виконанні трьох операцій: 1) виділення більшої системи (метасистеми), в яку система, що цікавить нас, входить як частина; 2) розгляд складу та структури метасистеми (її аналіз): 3) пояснення ролі, яку займає наша система у метасистемі, через її зв'язки з іншими підсистемами метасистеми. Кінцевим продуктом синтезу є знання зв'язків нашої системи коїться з іншими частинами метасистеми, тобто. модель чорний ящик. Але щоб її побудувати, нам довелося принагідно створити моделі складу та структури метасистеми як побічні продукти.

Аналіз та синтез не протилежні, а доповнюють один одного. Понад те, в аналізі є синтетичний компонент, а синтезі - аналіз метасистеми.

Розрізняють два види класифікацій: штучну та природну . За штучної класифікації розподіл на класи виробляється «так, як треба», тобто. виходячи з поставленої мети - на стільки класів та з такими межами, як це диктується метою. Дещо інакше проводиться класифікація, коли розглянута множина явно неоднорідна. Природні угруповання (їх у статистиці називають кластерами) як би напрошуються бути визначеними як класи , (Звідси назва класифікації природна) . Однак слід мати на увазі те, що і природна класифікація – це лише спрощена, огрублена модель реальності .

Узгодженість моделей із культурою суб'єкта . Для того щоб модель реалізувала свою модельну функцію, недостатньо лише наявності самої моделі. Необхідно, щоб модель була сумісна, узгоджена з довкіллям, якою для моделі є культура (світ моделей) користувача. Ця умова при розгляді властивостей систем названа інгерентністю: інгерентність моделі культури є необхідною вимогою для здійснення моделювання.Ступінь інгерентності моделі може змінюватися: зростати (навчання користувача, поява адаптера типу розетського каменю тощо) або убувати (забуття, знищення культури) за рахунок зміни середовища або самої моделі. Таким чином, до складу метасистеми моделювання має бути включений ще один елемент – культура.

4. Методологія системного аналізу. Управління. П'ять компонентів керування. Сім типів керування.

Управління - Цілеспрямований вплив на систему.

П'ять компонентів управління:

Першим компонентом управління є об'єкт управління, керована система.

Другим обов'язковим компонентом системи управління є ціль управління.

Керуюча дія U(t) є третім компонентом управління . Той факт, що входи та виходи системи пов'язані між собою деяким співвідношенням Y(t)=S, дозволяє сподіватися на те, що існує такий керуючий вплив при якому на виході реалізується мета V*(t).

Модель системи стає четвертою складовою процесу управління.

Усі дії, необхідні управління, мають бути виконані. Ця функція покладається зазвичай на спеціально створювану при цьому систему (П'яту складову частину процесу управління). Називається блоком управління або системою (підсистемою) управління, керуючим пристроємі т.п. В реальності блок керування може бути підсистемою керованої системи (як;)аводоуиравле1гае - частина заводу, автопілот - частина літака), але може бути і зовнішньою системою (як міністерство для підвідомчого підприємства, як аеродромний диспетчер для літака, що йде на посадку).

Сім типів управління:

Перший тип управління - керування простою системою, або програмне керування.

Другий тип управління – управління складною системою.

Третій тип управління - керування за параметрами, або регулювання.

Четвертий тип управління - управління структурою.

П'ятий тип управління – управління за цілями.

Шостий тип управління – управління великими системами.

Сьомий тип управління. Крім першого типу управління, коли все необхідне для реалізації мети в наявності, інші розглянуті типи управління пов'язані з подоланням факторів, що досягають мети: брак інформації про об'єкт управління (другий тин), сторонні дрібні перешкоди, що злегка відхиляють систему від цільової траєкторії (третій тип ), невідповідність між емерджентними властивостями системи та поставленою метою (четвертий тип), брак матеріальних ресурсів, що робить мету недосяжною і потребує її заміни (п'ятий тип), дефіцит часу для пошуку найкращого рішення (шостий тип).

5. Технологія системного аналізу. Умови успіху системного дослідження. Етапи системного дослідження: фіксація проблеми, діагностика проблеми, складання списку стейкхолдерів, визначення проблемного місиву.

Умови успіху системного дослідження :

гарантія доступу до будь-якої необхідної інформації (при цьому аналітик гарантує конфіденційність);

гарантія особистої участі перших осіб організацій - обов'язкових учасників проблемної ситуації (керівників систем, що містять проблему і проблему);

відмова від вимоги заздалегідь сформулювати необхідний результат («технічне завдання»), оскільки покращувальних втручань багато і заздалегідь вони невідомі, тим більше - яке буде обрано для здійснення.

Фіксація проблеми – завдання сформулювати проблему та зафіксувати її документально. Формулювання проблеми виробляється самим клієнтом; Справа аналітика – з'ясувати, на що скаржиться клієнт, чим він незадоволений. Це і проблема клієнта так, як він її бачить. При цьому слід намагатися не вплинути на його думку, не спотворити її.

Діагностика проблеми . Який із способів вирішення проблем застосувати для вирішення даної проблеми, залежить від того, чи виберемо ми вплив на самого незадоволеного суб'єкта або втручання в реальність, який він незадоволений (можливі випадки, коли доцільне поєднання обох впливів). Завдання даного етапу полягає в тому, щоб поставити діагноз - визначити, до якого типу відноситься проблема.

Складання списку стейкхолдерів .Нашою кінцевою метою є здійснення покращувального втручання. Кожен етап має на крок наблизити нас до нього, але треба спеціально дбати, щоб цей крок був саме у потрібний, а не в інший бік. Для того, щоб згодом врахувати інтереси всіх учасників проблемної ситуації (а саме на цьому засноване поняття покращувального втручання), необхідно спочатку дізнатися, хто ж залучений до проблемної ситуації, скласти їх список. При цьому важливо не пропустити нікого; адже неможливо врахувати інтереси того, хто нам невідомий, а не облік будь-кого загрожує тим, що наше втручання не буде таким, що покращує. Таким чином, список учасників проблемної ситуації має бути повним.

Виявлення проблемного місива . Стейкхолдери мають інтереси, які нам належить врахувати. Але для цього їх потрібно знати. Поки що ми маємо лише список володарів інтересів. Перша порція інформації, яку потрібно отримати про стейкхолдер, - це його власна оцінка ситуації, проблемної для нашого клієнта. Вона може бути різною: у когось із стейкхолдерів можуть бути свої проблеми (оцінка негативна), хтось цілком задоволений (оцінка позитивна), інші можуть нейтрально ставитись до реальності. Так проясниться<выражение л ица:^ каждого стейкхолдера. По сути, мы должны выполнить работу, которую делали на первом этапе с клиентом, но теперь с каждым стейкхолдером в отдельности.

6. Технологія системного аналізу. Операції системного аналізу. Етапи системного дослідження: визначення конфігуратора, цільове виявлення, визначення критеріїв, експериментальне дослідження.

Операції системного аналізу . Якщо клієнт згоден на умови контракту, аналітик приступає до першого етапу, виконавши який починає другий і так далі до останнього етану, після закінчення якого має вийти реалізоване поліпшує втручання.

Визначення конфігуратора . Необхідною умовою успішного вирішення проблеми є наявність адекватної моделі проблемної ситуації, з її допомогою можна буде відчувати і порівнювати варіанти передбачуваних дій. Ця модель (або сукупність моделей) неминуче має будуватися засобами певної мови (чи мов). Постає питання про те, скільки і які саме мови потрібні для роботи над даною проблемою і як їх обирати. Конфігуратор називається мінімальний набір професійних мов, що дозволяє дати повний (адекватний) опис проблемної ситуації та її перетворень. Вся робота під час вирішення проблеми відбуватиметься мовами конфігуратора. І лише на них. Визначення конфігуратора є завданням цього етапу. Підкреслимо, що конфігуратор - це штучний винахід системних аналітиків, придуманий для полегшення їх роботи. З одного боку, конфігуратор визначається природою проблеми. З іншого боку, конфігуратор можна розглядати і як ще одне властивість систем, як засіб, за допомогою якого система вирішує свою проблему.

Цільове виявлення . Прагнучи реалізації вдосконалення, ми повинні забезпечити, щоб ніхто зі стейкхолдерів не розцінив його негативно. Люди дають позитивну оцінку зміни, якщо вона наближає їх до мети, і негативну, якщо віддаляє від неї. Отже, для проектування втручання необхідно знати цілі всіх стейкхолдерів. Звичайно, головне джерело інформації – сам стейкхолдер.

Визначення критеріїв . У ході вирішення проблеми необхідно порівнювати запропоновані варіанти, оцінювати ступінь досягнення мети або відхилення від неї, здійснювати контроль за перебігом подій. Це досягається шляхом виділення деяких ознак аналізованих об'єктів та процесів. Дані ознаки повинні бути пов'язані з цікавими для нас особливостями аналізованих об'єктів або процесів, повинні бути доступними для спостереження та вимірювання. Тоді за результатами вимірювань ми зможемо здійснити необхідний контроль. Такі показники називають критеріями. У кожному дослідженні (у тому числі й нашому) будуть потрібні критерії. Скільки, які та як вибирати критерії? Спочатку про кількість критеріїв. Очевидно, що менше критеріїв знадобиться, тим простіше проводитиме порівняння. Тобто бажано мінімізувати кількість критеріїв, добре б звести його до одного. Вибір критеріїв . Критерії є кількісними моделями якісних цілей. Справді, сформовані критерії надалі у певному сенсі представляють, замінюють мети: оптимізація за критеріями має забезпечувати максимальне наближення до мети. Звичайно, критерії не тотожні цілі, це подібність до мети, її модель. Визначення значення критерію даної альтернативи є, сутнісно, ​​виміром ступеня її придатності як засобу досягнення мети.

Експериментальне дослідження систем. Експеримент та модель. Часто недостатню інформацію про систему можна отримати тільки із самої системи, провівши спеціально спланований для цього експеримент. Інформація, що міститься в протоколі експерименту, витягують, піддаючи отримані дані обробці, перетворення у форму, придатну для включення її в модель системи. Завершальною дією є корекція моделі, що включає отриману інформацію модель. Легко сприймається, що експеримент необхідний вдосконалення моделі. Важливо також зрозуміти, що експеримент неможливий без моделі. Вони перебувають у одному циклі. Однак обертання по цьому циклу нагадує не обертається колесо, а сніжний ком, що котиться - з кожним оборотом він стає все більше, вагоміше.

7. Технологія системного аналізу. Етапи системного дослідження: побудова та удосконалення моделей, генерування альтернатив, прийняття рішення, +.

Побудова та вдосконалення моделей. У системному аналізі модель проблемно та ситуації потрібна для того, щоб на ній «програти» можливі варіанти втручань, щоб відсікти не тільки ті, які виявляться такими, що не покращують, але й вибрати серед покращуючих найбільш (за нашими критеріями) поліпшуючі. Треба підкреслити, що внесок у побудову моделі ситуації робиться кожному попередньому і всіх наступних етапах (і власним внеском, і рішенням повернення на якийсь ранній етап поповнення моделі інформацією). Тому насправді немає окремого, особливого «етапу побудови моделі». І все-таки варто зосередити увагу на особливостях побудови моделей, а точніше – їх «добудовування» (тобто приєднання нових елементів або вилучення зайвих).

Генерування альтернатив . У технології, що викладається, ця дія проводиться в два етапи:

виявлення розбіжностей між проблемним та цільовим місивами. Повинні бути чітко сформульовані різницю між існуючим зараз (і незадовільним) станом організації та майбутнім, найбільш бажаним, ідеальним станом, якого передбачається прагнути. Ці відмінності і є ті про білими, ліквідацію яких і потрібно спланувати;

пропозиція можливих варіантів усунення чи зменшення виявлених розбіжностей. Повинні бути придумані підлягають здійсненню дії, процедури, правила, проекти, програми та політики - всі компоненти менеджменту.

Внутрішня неоднорідність систем: помітність елементів. Якщо заглянути всередину "чорної скриньки", то з'ясується, що система не однорідна, не монолітна: можна виявити, що різні якості у різних місцях відрізняються. Опис внутрішньої неоднорідності системи зводиться до відокремлення щодо однорідних ділянок, проведення кордонів між ними. Так з'являється уявлення про частини системи. При більш детальному розгляді виявляється, що виділені великі частини теж однорідні, що вимагає виділяти ще дрібніші частини. В результаті виходить ієрархічний список частин системи, який ми називатимемо моделлю складу системи.

Інформація про склад системи може використовуватись для роботи із системою. Цілі взаємодії з системами можуть бути різними, у зв'язку з чим можуть відрізнятися моделі складу однієї і тієї ж системи. Корисну, придатну до роботи модель створити непросто.

Проблеми побудови моделі складу

На погляд частини системи розрізнити неважко, вони " впадають у вічі " . Деякі системи диференціюються на частини мимовільно у процесі природного зростання та розвитку (організми, соціуми, планетні системи, молекули, родовища корисних копалин тощо). Штучні системи свідомо збираються із раніше окремих частин (механізми, будівлі, тексти, мелодії та ін.). Є й змішані типи систем (заповідники, сільськогосподарські системи, організації природодослідження, тягловий транспорт).

З іншого боку, запитайте, з яких частин складається університет у ректора, студента, бухгалтера, господарника - і кожен видасть свою, відмінну від інших модель складу. Також по-різному визначать склад літака льотчик, стюардеса, пасажир. Можна сказати, що тіло складається з правої та лівої половинок, а можна – з верхньої та нижньої. То з чого воно складається "насправді"?

Проблеми побудови моделі складу, які кожному доводиться долати, можна уявити трьома положеннями.

1. Ціле можна ділити на частини по-різному

Ціле можна ділити на частини по-різному (як розрізати булку хліба на скибки різного розміру та форми). А як саме треба? Відповідь: так, як вам потрібно для досягнення вашої мети. Наприклад, склад автомобіля по-різному представляють автолюбителям-початківцям, майбутнім професіоналам-водіям, слюсарям, що готуються до роботи в авторемонтних майстернях, продавцям в автомагазинах.

Тоді природно повернутися до питання: а чи існують частини "насправді"? Зверніть увагу на акуратне формулювання аналізованої якості: помітність елементів, а не роздільність на частини. Ми ще з одного боку вийшли на проблему цілісності систем: можна розрізняти потрібні вам для вашої мети частини системи та використовувати доступну вам інформацію про них, але не слід розділяти їх. Пізніше ми поглибимо, розвинемо це становище.

2. Кількість елементів у моделі складу

Кількість елементів моделі складу залежить і від цього, якому рівні зупинити дроблення системи. Частини на кінцевих гілках ієрархічного дерева, що виходить, називаються елементами. У різних обставинах припинення декомпозиції проводиться на різних рівнях. Наприклад, при описі майбутніх робіт доводиться давати досвідченому працівникові та новачкові інструкції різного ступеня подробиці. Таким чином, модель складу залежить від того, що вважати елементарним, а оскільки це оціночне слово, то це не абсолютне, а відносне поняття. Однак трапляються випадки, коли елемент носить природний, абсолютний характер (клітина - найпростіший елемент живого організму; індивід - останній елемент суспільства, фонеми - дрібні частини усного мовлення) або визначається нашими можливостями (наприклад, можна припускати, що електрон теж із чогось складається , але поки що фізики не змогли виявити його частини з дробовим зарядом).

3. Зовнішня межа системи

Будь-яка система є частиною якоїсь більшої системи (а нерідко частиною кількох систем). А цю метасистему також можна ділити на підсистеми по-різному. Це означає, що зовнішня межа системи має відносний умовний характер. Навіть "очевидна" межа системи (шкіра людини, огорожа підприємства тощо) за певних умов виявляється недостатньою для визначення кордону в цих умовах. Наприклад, під час трапези я беру виделкою з тарілки котлету, відкушую її, пережовую, ковтаю, перетравлюю. Де та межа, перетинаючи яку котлета стає моєю частиною? Інший приклад із кордоном підприємства. Працівник упав на сходах і зламав ногу. Після лікування під час оплати бюлетеня виникає питання: яка це була травма - побутова чи виробнича (вони оплачуються по-різному)? Немає сумніву, якщо це були сходи підприємства. Але якщо це були сходи будинку, де живе працівник, то все залежить від того, як він ішов додому. Якщо прямо з роботи та ще не дійшов до дверей квартири, травма вважається виробничою. Але якщо він дорогою зайшов у магазин чи кінотеатр – травма побутова. Як бачимо, закон визначає межі підприємства умовно.

Умовність меж системи знову повертає нас до проблеми цілісності, тепер уже цілісності всього світу. Визначення межі системи проводиться з урахуванням цілей суб'єкта, який використовуватиме моделі системи.

Тарасенко Ф.П. Прикладний системний аналіз (наука та мистецтво вирішення проблем): Підручник. - Томськ; Видавництво Томського університету, 2004. ISBN 5-7511-1838-3

2.4.1. Визначення.Нехай дана неоднорідна система лінійних рівнянь

Розглянемо однорідну систему

у якої матриця коефіцієнтів збігається із матрицею коефіцієнтів системи (2.4.1). Тоді система (2.4.2) називається наведеної однорідної системи (2.4.1).

2.4.2. Теорема. Загальне рішення неоднорідної системи дорівнює сумі деякого приватного рішення неоднорідної системи та загального рішення наведеної однорідної системи.

Таким чином, для знаходження загального рішення неоднорідної системи (2.4.1) достатньо:

1) Дослідити її на спільність. У разі сумісності:

2) Знайти загальне рішення наведеної однорідної системи.

3) Знайти якесь окреме рішення вихідної (неоднорідної).

4) Склавши знайдені приватне рішення та загальне рішення наведеної, знайти загальне рішення вихідної системи.

2.4.3. Вправа.Дослідити систему на спільність та у разі спільності знайти її загальне рішення у вигляді суми приватного та загального наведеного.

Рішення. а) Для вирішення задачі застосовуємо вищезгадану схему:

1) Досліджуємо систему на спільність (методом облямівки мінорів): Ранг основної матриці дорівнює 3 (див. рішення упр. 2.2.5, а), причому ненульовий мінор максимального порядку складений з елементів 1-го, 2-го, 4-го рядків і 1-го, 3 -го, 4-го стовпців. Для знаходження рангу розширеної матриці обрамляємо його 3-м рядком і 6-м стовпцем розширеної матриці: =0. Значить, rg A =rg=3, і система спільна. Зокрема, вона рівносильна системі

2) Знайдемо загальне рішення X 0 наведеної однорідної цієї системи

X 0 ={(-2a - b ; a ; b ; b ; b ) | a , b Î R}

(Див. рішення упр. 2.2.5, а)).

3) Знайдемо якесь приватне рішення x год вихідної системи . Для цього в системі (2.4.3), рівносильній вихідній, вільні невідомі x 2 та x 5 вважаємо рівними, наприклад, нулю (це найбільш зручні дані):

та вирішуємо отриману систему: x 1 =- , x 3 =- , x 4 = -5. Таким чином, (-; 0; -; -5; 0) ¾ приватне рішення системи.

4) Знаходимо загальне рішення X н вихідної системи :

X н={x год }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2a - b ; a ; b ; b ; b )}=

={(- -2a - b ; a ; - + b ; -5+b ; b )}.

Зауваження. Порівняйте отриману відповідь з другою відповіддю у прикладі 1.2.1 в). Для отримання відповіді у першому вигляді для 1.2.1 в) як базові невідомі беруться x 1 , x 3 , x 5 (мінор при яких теж не дорівнює нулю), а як вільні ¾ x 2 та x 4 .

§3. Деякі програми.

3.1. До питання про матричні рівняння.Нагадуємо, що матричним рівнянням над полем F називається рівняння, в якому як невідома виступає деяка матриця над полем F .

Найпростішими матричними рівняннями є рівняння виду

AX=B , XA =B (2.5.1)

де A , B ¾ дані (відомі) матриці над полем F , а X ¾ такі матриці, при підстановці яких рівняння (2.5.1) звертаються до вірних матричних рівностей. Зокрема, матричний метод певних систем зводиться до розв'язання матричного рівняння.

У випадку, коли матриці A у рівняннях (2.5.1) невироджені, вони мають рішення відповідно X =A B і X =BA .

У разі коли хоча б одна з матриць у лівій частині рівнянь (2.5.1) є виродженою, даний метод вже не годиться, оскільки відповідна зворотна матриця A не існує. У цьому випадку знаходження рішень рівнянь (2.5.1) зводиться до розв'язання систем.

Але перш заведемо деякі поняття.

Безліч всіх рішень системи назвемо загальним рішенням . Окремо взяте рішення невизначеної системи назвемо її приватним рішенням .

3.1.1. приклад.Розв'язати матричне рівняння над полем R.

а) X =; б) X =; в) X = .

Рішення. а) Оскільки =0, то формула X =A B на вирішення цього рівняння годиться. Якщо у творі XA =B матриця A має 2 рядки, то матриця X має 2 стовпці. Число рядків X має збігатися з числом рядків B . Тому X має 2 рядки. Таким чином, X ¾ деяка квадратна матриця другого порядку: X =. Підставимо X у вихідне рівняння:

Перемножуючи матриці в лівій частині (2.5.2), приходимо до рівності

Дві матриці рівні тоді й лише тоді, коли вони однакових розмірностей і рівні відповідні елементи. Тому (2.5.3) рівносильно системі

Ця система рівносильна системі

Вирішуючи її, наприклад, методом Гауса, приходимо до багатьох рішень (5-2 b , b , -2d , d ), де b , d незалежно один від одного пробігають R. Таким чином, X = .

б) Аналогічно а) маємо X = в.

Ця система несумісна (переконайтеся в цьому!). Тому це матричне рівняння рішень не має.

в) Позначимо це рівняння через AX =B . Так як A має 3 стовпці, а B має 2 стовпці, то X ¾ деяка матриця розмірності 3'2: X =. Тому маємо наступний ланцюжок рівносильностей:

Вирішуємо останню систему методом Гауса (коментарі опускаємо)

Таким чином, приходимо до системи

рішенням якої є (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) де z , w пробігають незалежно один від одного R.

Відповідь: а) X = , b , d Î R.

б) Рішень немає.

в) X = z , w Î R.

3.2. До питання про перестановку матриць.У загальному випадку добуток матриць неперестановний, тобто якщо A і B такі, що AB і BA визначено, то, взагалі кажучи, AB ¹ BA . Але приклад одиничної матриці E показує, що можлива і перестановочність AE =EA для будь-якої матриці A , аби AE і EA були визначені.

У цьому вся пункті ми розглянемо завдання перебування безлічі всіх матриць, перестановочных з цією. Таким чином,

Невідомі x 1 , y 2 та z 3 можуть приймати будь-які значення: x 1 =a , y 2 =b , z 3 =g . Тоді

Таким чином, X = .

Відповідь. а) X d ¾ будь-яке число.

б) X ¾ безліч матриць виду, де a , b і g ¾ будь-які числа.

§6. Неоднорідна система лінійних рівнянь

Якщо в системі лінійних рівнянь (7.1) хоча б один із вільних членів в iвідмінний від нуля, то така система називається неоднорідний.

Нехай задана неоднорідна система лінійних рівнянь, яку у векторній формі можна подати у вигляді

, i = 1,2,.. .,до, (7.13)

Розглянемо відповідну однорідну систему

i = 1,2,... ,до. (7.14)

Нехай вектор
є рішенням неоднорідної системи (7.13), а вектор
є рішення однорідної системи (7.14). Тоді, легко бачити, що вектор
також є рішенням неоднорідної системи (7.13). Дійсно

Тепер, використовуючи формулу (7.12) загального рішення однорідного рівняння, маємо

де
будь-які числа з R, а
- Основні рішення однорідної системи.

Таким чином, рішення неоднорідної системи є сукупністю її приватного рішення та загального рішення відповідної однорідної системи.

Рішення (7.15) називається загальним розв'язком неоднорідної системи лінійних рівнянь. З (7.15) випливає, що спільна неоднорідна система лінійних рівнянь має єдине рішення, якщо ранг r(A) основний матриці Азбігається з числом nневідомі системи (система Крамера), якщо ж r(A)  n, то система має безліч рішень і ця сукупність рішень еквівалентна підпростору рішень відповідної однорідної системи рівнянь розмірності n– r.

приклади.

1. Нехай дана неоднорідна система рівнянь, у якій кількість рівнянь до= 3, а кількість невідомих n = 4.

х 1 – х 2 + х 3 –2х 4 = 1,

х 1 – х 2 + 2х 3 – х 4 = 2,

5х 1 – 5х 2 + 8х 3 – 7х 4 = 3.

Визначимо ранги основної матриці Ата розширеною А * даної системи. Оскільки Аі А * не нульові матриці та до = 3  nтому 1  r (A), r * (А * )  3. Розглянемо мінори другого порядку матриць Аі А * :

Таким чином, серед мінорів другого порядку матриць Аі А * є мінор відмінний від нуля, тому 2 r(A),r * (A * )  3. Тепер розглянемо мінори третього порядку

, оскільки перший і другий стовпець пропорційні. Аналогічно і для мінору
.

І так всі мінори третього порядку основної матриці Арівні нулю, отже, r(A) = 2. Для розширеної матриці А * ще є мінори третього порядку

Отже, серед мінорів третього порядку розширеної матриці А * є мінор відмінний від нуля, тому r * (A * ) = 3. Це означає, що r(A)  r * (A * ) і тоді, виходячи з теореми Корнекера – Капеллі, робимо висновок, що це система несовместна.

2. Розв'язати систему рівнянь

3х 1 + 2х 2 + х 3 + х 4 = 1,

3х 1 + 2х 2 – х 3 – 2х 4 = 2.

Для даної системи
і тому 1 r(A),r * (A * )  2. Розглянемо для матриць Aі A * мінори другого порядку

Таким чином, r(A)= r * (A * ) = 2, і, отже, система спільна. В якості базових виберемо будь-які дві змінні, для яких мінор другого порядку, складений з коефіцієнтів цих змінних не дорівнює нулю. Такими змінними можуть бути, наприклад,

х 3 та х 4 , оскільки
Тоді маємо

х 3 + х 4 = 1 – 3х 1 – 2х 2 ,

– х 3 – 2х 4 = 2 – 3х 1 – 2х 2 .

Визначимо приватне рішення неоднорідної системи. Для цього покладемо х 1 = х 2 = 0.

х 3 + х 4 = 1,

– х 3 – 2х 4 = 2.

Вирішення цієї системи: х 3 = 4, х 4 = - 3, отже, = (0,0,4, –3).

Тепер визначимо загальне рішення відповідного однорідного рівняння

х 3 + х 4 = – 3х 1 – 2х 2 ,

–х 3 – 2х 4 = – 3х 1 – 2х 2 .

Припустимо: х 1 = 1, х 2 = 0

х 3 + х 4 = –3,

–х 3 – 2х 4 = –3.

Вирішення цієї системи х 3 = –9, х 4 = 6.

Таким чином

Тепер покладемо х 1 = 0, х 2 = 1

х 3 + х 4 = –2,

–х 3 – 2х 4 = –2.

Рішення: х 3 = – 6, х 4 = 4, і тоді

Після того, як визначено приватне рішення , неоднорідного рівняння та фундаментальні рішення
і відповідного однорідного рівняння записуємо загальне рішення неоднорідного рівняння.

де
будь-які числа з R.

Рішення систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ), безсумнівно, є найважливішою темою курсу лінійної алгебри. Величезна кількість завдань із усіх розділів математики зводиться до вирішення систем лінійних рівнянь. Цими чинниками пояснюється причина створення цієї статті. Матеріал статті підібраний та структурований так, що за його допомогою Ви зможете

• підібрати оптимальний метод вирішення Вашої системи лінійних рівнянь алгебри,
• вивчити теорію обраного методу,
• вирішити Вашу систему лінійних рівнянь, розглянувши докладно розібрані рішення характерних прикладів та завдань.

Короткий опис статті.

Спочатку дамо всі необхідні визначення, поняття та введемо позначення.

Далі розглянемо методи розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих змінних і які мають єдине рішення. По-перше, зупинимося на методі Крамера, по-друге, покажемо матричний метод розв'язання таких систем рівнянь, по-третє, розберемо метод Гауса (метод послідовного виключення невідомих змінних). Для закріплення теорії обов'язково вирішимо кілька СЛАУ у різний спосіб.

Після цього перейдемо до вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду, в яких число рівнянь не збігається з числом невідомих змінних або основна матриця системи є виродженою. Сформулюємо теорему Кронекера – Капеллі, яка дозволяє встановити спільність СЛАУ. Розберемо рішення систем (у разі їхньої спільності) за допомогою поняття базисного мінору матриці. Також розглянемо метод Гауса і докладно опишемо рішення прикладів.

Обов'язково зупинимося на структурі загального рішення однорідних та неоднорідних систем лінійних рівнянь алгебри. Дамо поняття фундаментальної системи рішень та покажемо, як записується загальне рішення СЛАУ за допомогою векторів фундаментальної системи рішень. Для найкращого розуміння розберемо кілька прикладів.

Наприкінці розглянемо системи рівнянь, що зводяться до лінійних, і навіть різні завдання, під час вирішення яких виникають СЛАУ.

Навігація на сторінці.

Визначення, поняття, позначення.

Розглянемо системи з p лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими змінними (p може дорівнювати n ) виду

Невідомі змінні, - коефіцієнти (деякі дійсні чи комплексні числа), - вільні члени (також дійсні чи комплексні числа).

Таку форму запису СЛАУ називають координатною.

У матричній формізапису ця система рівнянь має вигляд ,
де - основна матриця системи, - матриця-стовпець невідомих змінних, - матриця-стовпець вільних членів.

Якщо до матриці А додати як (n+1)-ого ​​стовпця матрицю-стовпець вільних членів, то отримаємо так звану розширену матрицюсистеми лінійних рівнянь Зазвичай розширену матрицю позначають буквою Т , а стовпець вільних членів відокремлюють вертикальною лінією від інших стовпців, тобто,

Рішенням системи лінійних рівнянь алгебриназивають набір значень невідомих змінних , що обертає всі рівняння системи у тотожності. Матричне рівняння за даних значень невідомих змінних також перетворюється на тотожність .

Якщо система рівнянь має хоча одне рішення, вона називається спільної.

Якщо система рівнянь рішень немає, вона називається несумісний.

Якщо СЛАУ має єдине рішення, її називають певною; якщо рішень більше одного, то – невизначеною.

Якщо вільні члени всіх рівнянь системи дорівнюють нулю , то система називається однорідний, в іншому випадку - неоднорідний.

Розв'язання елементарних систем лінійних рівнянь алгебри.

Якщо число рівнянь системи дорівнює кількості невідомих змінних і визначник її основної матриці не дорівнює нулю, то такі СЛАУ будемо називати елементарними. Такі системи рівнянь мають єдине рішення, причому у разі однорідної системи всі невідомі змінні дорівнюють нулю.

Такі СЛАУ ми починали вивчати у середній школі. При їх вирішенні ми брали якесь одне рівняння, висловлювали одну невідому змінну через інші і підставляли її в рівняння, що залишилися, потім брали наступне рівняння, висловлювали наступну невідому змінну і підставляли в інші рівняння і так далі. Або користувалися методом додавання, тобто складали два або більше рівнянь, щоб виключити деякі невідомі змінні. Не будемо докладно зупинятися цих методах, оскільки вони насправді є модифікаціями методу Гаусса.

Основними методами розв'язання елементарних систем лінійних рівнянь є метод Крамера, матричний метод та метод Гаусса. Розберемо їх.

Вирішення систем лінійних рівнянь методом Крамера.

Нехай нам потрібно вирішити систему лінійних рівнянь алгебри

в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих змінних та визначник основної матриці системи відмінний від нуля, тобто .

Нехай – визначник основної матриці системи, а - визначники матриць, що виходять з А заміною 1-го, 2-го, …, n-огостовпця відповідно на стовпець вільних членів:

За таких позначень невідомі змінні обчислюються за формулами методу Крамера як . Так знаходиться рішення системи лінійних рівнянь алгебри методом Крамера.

приклад.

Методом Крамера .

Рішення.

Основна матриця системи має вигляд . Обчислимо її визначник (при необхідності дивіться статтю):

Так як визначник основної матриці системи відмінний від нуля, система має єдине рішення, яке може бути знайдено методом Крамера.

Складемо та обчислимо необхідні визначники (визначник отримуємо, замінивши в матриці А перший стовпець на стовпець вільних членів, визначник - замінивши другий стовпець на стовпець вільних членів, - замінивши третій стовпець матриці А на стовпець вільних членів):

Знаходимо невідомі змінні за формулами :

Відповідь:

Основним недоліком методу Крамера (якщо можна назвати недоліком) є трудомісткість обчислення визначників, коли кількість рівнянь системи більше трьох.

Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри матричним методом (за допомогою зворотної матриці).

Нехай система лінійних рівнянь алгебри задана в матричній формі , де матриця A має розмірність n на n і її визначник відмінний від нуля.

Оскільки , то матриця А – оборотна, тобто існує зворотна матриця . Якщо помножити обидві частини рівності на ліворуч, то отримаємо формулу для знаходження матриці-стовпця невідомих змінних. Так ми отримали рішення системи лінійних рівнянь алгебри матричним методом.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних рівнянь матричним способом.

Рішення.

Перепишемо систему рівнянь у матричній формі:

Так як

то СЛАУ можна вирішувати матричним методом. За допомогою зворотної матриці рішення цієї системи може бути знайдено як .

Побудуємо зворотну матрицю за допомогою матриці з додатків алгебри елементів матриці А (при необхідності дивіться статтю ):

Залишилося обчислити - матрицю невідомих змінних, помноживши зворотну матрицю на матрицю-стовпець вільних членів (при необхідності дивіться статтю):

Відповідь:

або в іншому записі x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Основна проблема при знаходженні рішення систем лінійних рівнянь алгебри матричним методом полягає в трудомісткості знаходження зворотної матриці, особливо для квадратних матриць порядку вище третього.

Вирішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

Нехай нам потрібно знайти рішення системи з n лінійних рівнянь із n невідомими змінними
визначник основної матриці якої відмінний від нуля.

Суть методу Гаусаполягає у послідовному виключенні невідомих змінних: спочатку виключається x 1 з усіх рівнянь системи, починаючи з другого, далі виключається x 2 зі всіх рівнянь, починаючи з третього, і так далі, поки в останньому рівнянні залишиться тільки невідома змінна x n . Такий процес перетворення рівнянь системи для послідовного виключення невідомих змінних називається прямим ходом методу Гауса. Після завершення прямого ходу методу Гауса з останнього рівняння знаходиться x n, за допомогою цього значення з передостаннього рівняння обчислюється x n-1 і так далі з першого рівняння знаходиться x 1 . Процес обчислення невідомих змінних під час руху від останнього рівняння системи до першого називається зворотним ходом методу Гауса.

Коротко опишемо алгоритм виключення невідомих змінних.

Вважатимемо, що , оскільки ми можемо цього домогтися перестановкою місцями рівнянь системи. Виключимо невідому змінну x 1 зі всіх рівнянь системи, починаючи з другого. Для цього до другого рівняння системи додамо перше, помножене на , до третього рівняння додамо перше, помножене на , і так далі, до n-го рівняння додамо перше, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а .

До такого ж результату ми дійшли б, якби висловили x 1 через інші невідомі змінні в першому рівнянні системи і отриманий вираз підставили у всі інші рівняння. Таким чином, змінна x 1 виключена зі всіх рівнянь, починаючи з другого.

Далі діємо аналогічно, але лише з частиною отриманої системи, яка зазначена на малюнку

Для цього до третього рівняння системи додамо друге, помножене на , до четвертого рівняння додамо друге, помножене на , і так далі, до n-го рівняння додамо друге, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а . Таким чином, змінна x 2 виключена зі всіх рівнянь, починаючи з третього.

Далі приступаємо до виключення невідомої x 3 при цьому діємо аналогічно з зазначеною на малюнку частиною системи

Так продовжуємо прямий хід методу Гаусса доки система не набуде вигляду

З цього моменту починаємо зворотний хід методу Гауса: обчислюємо x n з останнього рівняння як за допомогою отриманого значення x n знаходимо x n-1 з передостаннього рівняння, і так далі, знаходимо x 1 з першого рівняння.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гауса.

Рішення.

Виключимо невідому змінну x 1 з другого та третього рівняння системи. Для цього до обох частин другого та третього рівнянь додамо відповідні частини першого рівняння, помножені на і відповідно:

Тепер із третього рівняння виключимо x 2 , додавши до його лівої та правої частин ліву та праву частини другого рівняння, помножені на :

На цьому прямий хід методу Гауса закінчено, починаємо зворотний хід.

З останнього рівняння отриманої системи рівнянь знаходимо x 3 :

З другого рівняння отримуємо.

З першого рівняння знаходимо невідому змінну, що залишилася, і цим завершуємо зворотний хід методу Гауса.

Відповідь:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду.

У загальному випадку кількість рівнянь системи p не збігається з числом невідомих змінних n:

Такі СЛАУ можуть мати рішень, мати єдине рішення чи мати нескінченно багато рішень. Це твердження відноситься до систем рівнянь, основна матриця яких квадратна і вироджена.

Теорема Кронекер - Капеллі.

Перш ніж знаходити розв'язання системи лінійних рівнянь, необхідно встановити її спільність. Відповідь на питання, коли СЛАУ спільна, а коли несумісна, дає теорема Кронекера - Капеллі:
для того, щоб система з p рівнянь з n невідомими (p може бути одно n ) була спільна необхідно і достатньо, щоб ранг основної матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці, тобто Rank (A) = Rank (T) .

Розглянемо з прикладу застосування теореми Кронекера – Капеллі визначення спільності системи лінійних рівнянь.

приклад.

З'ясуйте, чи має система лінійних рівнянь рішення.

Рішення.

. Скористаємося методом обрамляють мінорів. Мінор другого порядку відмінний від нуля. Переберемо його мінори третього порядку:

Так як всі мінори третього порядку, що облямовують, дорівнюють нулю, то ранг основної матриці дорівнює двом.

У свою чергу ранг розширеної матриці дорівнює трьом, оскільки мінор третього порядку

відмінний від нуля.

Таким чином, Rang(A) , отже, по теоремі Кронекера – Капеллі можна дійти невтішного висновку, що вихідна система лінійних рівнянь несовместна.

Відповідь:

Система рішень немає.

Отже, ми навчилися встановлювати несумісність системи з допомогою теореми Кронекера – Капеллі.

А як же знаходити рішення СЛАУ, якщо встановлено її спільність?

Для цього нам знадобиться поняття базисного мінору матриці та теорема про ранг матриці.

Мінор найвищого порядку матриці А, відмінний від нуля, називається базисним.

З визначення базисного мінору випливає, що його порядок дорівнює рангу матриці. Для ненульової матриці базисних мінорів А може бути кілька, один базисний мінор є завжди.

Наприклад розглянемо матрицю .

Всі мінори третього порядку цієї матриці дорівнюють нулю, так як елементи третього рядка цієї матриці є сумою відповідних елементів першого і другого рядків.

Базисними є такі мінори другого порядку, оскільки вони відмінні від нуля

Мінори базисними є, оскільки рівні нулю.

Теорема про ранг матриці.

Якщо ранг матриці порядку p на n дорівнює r то всі елементи рядків (і стовпців) матриці, що не утворюють обраний базисний мінор, лінійно виражаються через відповідні елементи рядків (і стовпців), що утворюють базисний мінор.

Що нам дає теорема про ранг матриці?

Якщо з теоремі Кронекера – Капеллі ми встановили спільність системи, то вибираємо будь-який базисний мінор основний матриці системи (його порядок дорівнює r ), і виключаємо з системи всі рівняння, які утворюють обраний базисний мінор. Отримана таким чином СЛАУ буде еквівалентна вихідної, оскільки відкинуті рівняння все одно зайві (вони згідно з теоремою про ранг матриці є лінійною комбінацією рівнянь, що залишилися).

У результаті після відкидання зайвих рівнянь системи можливі два випадки.

Якщо кількість рівнянь r в отриманій системі дорівнюватиме кількості невідомих змінних, то вона буде певною і єдине рішення можна буде знайти методом Крамера, матричним методом або методом Гауса.

приклад.

.

Рішення.

Ранг основної матриці системи дорівнює двом, оскільки мінор другого порядку відмінний від нуля. Ранг розширеної матриці також дорівнює двом, оскільки єдиний мінор третього порядку дорівнює нулю

а розглянутий вище мінор другого порядку відмінний від нуля. З теореми Кронекера – Капеллі можна стверджувати спільність вихідної системи лінійних рівнянь, оскільки Rank(A)=Rank(T)=2 .

Як базисний мінор візьмемо . Його утворюють коефіцієнти першого та другого рівнянь:


Третє рівняння системи не бере участі в освіті базисного мінору, тому виключимо його із системи на підставі теореми про ранг матриці:


Так ми отримали елементарну систему лінійних рівнянь алгебри. Вирішимо її методом Крамера:


Відповідь:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Якщо число рівнянь r отриманої СЛАУ менше числа невідомих змінних n , то лівих частинах рівнянь залишаємо доданки, утворюють базисний мінор, інші доданки переносимо у праві частини рівнянь системи з протилежним знаком.

Невідомі змінні (їх r штук), що залишилися в лівих частинах рівнянь, називаються основними.

Невідомі змінні (їх n - r штук), які опинилися у правих частинах, називаються вільними.

Тепер вважаємо, що вільні невідомі змінні можуть набувати довільних значень, при цьому r основних невідомих змінних висловлюватимуться через вільні невідомі змінні єдиним чином. Їх вираз можна знайти, вирішуючи отриману СЛАУ методом Крамера, матричним методом або методом Гауса.

Розберемо з прикладу.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних алгебраїчних рівнянь .

Рішення.

Знайдемо ранг основної матриці системи методом обрамляють мінорів. Як ненульовий мінор першого порядку візьмемо a 1 1 = 1 . Почнемо пошук ненульового мінору другого порядку, що облямовує даний мінор:


Так ми знайшли ненульовий мінор другого порядку. Почнемо пошук ненульового мінера третього порядку, що облямовує:


Таким чином, ранг основної матриці дорівнює трьом. Ранг розширеної матриці також дорівнює трьом, тобто система спільна.

Знайдений ненульовий мінор третього порядку візьмемо як базисний.

Для наочності покажемо елементи, що утворюють базовий мінор:


Залишаємо в лівій частині рівнянь системи доданки, що беруть участь у базисному мінорі, інші переносимо з протилежними знаками у праві частини:


Надамо вільним невідомим змінним x 2 і x 5 довільні значення, тобто, приймемо де - довільні числа. При цьому СЛАУ набуде вигляду


Отриману елементарну систему лінійних рівнянь алгебри вирішимо методом Крамера:


Отже, .

У відповіді не забуваємо зазначити вільні невідомі змінні.

Відповідь:

Де – довільні числа.

Підведемо підсумок.

Щоб вирішити систему лінійних рівнянь алгебри загального виду, спочатку з'ясовуємо її спільність, використовуючи теорему Кронекера - Капеллі. Якщо ранг основної матриці не дорівнює рангу розширеної матриці, то робимо висновок про несумісність системи.

Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, вибираємо базисний мінор і відкидаємо рівняння системи, які беруть участь у освіті обраного базисного мінора.

Якщо порядок базисного мінору дорівнює кількості невідомих змінних, то СЛАУ має єдине рішення, яке знаходимо будь-яким відомим нам методом.

Якщо порядок базисного мінору менше числа невідомих змінних, то лівої частини рівнянь системи залишаємо доданки з основними невідомими змінними, інші доданки переносимо у праві частини і надаємо вільним невідомим змінним довільні значення. З отриманої системи лінійних рівнянь знаходимо основні невідомі змінні методом Крамера, матричним методом чи методом Гаусса.

Метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду.

Методом Гауса можна вирішувати системи лінійних рівнянь алгебри будь-якого виду без попереднього їх дослідження на спільність. Процес послідовного виключення невідомих змінних дозволяє дійти невтішного висновку як про спільності, і про несумісності СЛАУ, а разі існування рішення дає можливість знайти його.

З погляду обчислювальної роботи метод Гауса є кращим.

Дивіться його докладний опис та розібрані приклади у статті метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду .

Запис загального рішення однорідних та неоднорідних систем алгебраїчних ліній за допомогою векторів фундаментальної системи рішень.

У цьому розділі мова піде про спільні однорідні і неоднорідні системи лінійних рівнянь алгебри, що мають безліч рішень.

Розберемося спочатку з однорідними системами.

Фундаментальною системою рішеньоднорідної системи з p лінійних рівнянь алгебри з n невідомими змінними називають сукупність (n – r) лінійно незалежних рішень цієї системи, де r – порядок базисного мінору основної матриці системи.

Якщо визначити лінійно незалежні рішення однорідної СЛАУ як X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) – це матриці стовпці розмірності n на 1 ) , то загальне рішення цієї однорідної системи представляється як лінійної комбінації векторів фундаментальної системи рішень з довільними постійними коефіцієнтами З 1 , З 2 , …, З (n-r) , тобто, .

Що означає термін загальне рішення однорідної системи лінійних рівнянь алгебри (орослау)?

Сенс простий: формула задає всі можливі рішення вихідної СЛАУ, іншими словами, взявши будь-який набір значень довільних постійних С1, С2, …, С(n-r), за формулою ми отримаємо одне з рішень вихідної однорідної СЛАУ.

Таким чином, якщо ми знайдемо фундаментальну систему рішень, ми зможемо задати всі рішення цієї однорідної СЛАУ як .

Покажемо процес побудови фундаментальної системи рішень однорідної СЛАУ.

Вибираємо базовий мінор вихідної системи лінійних рівнянь, виключаємо всі інші рівняння із системи та переносимо у праві частини рівнянь системи з протилежними знаками всі складові, що містять вільні невідомі змінні. Надамо вільним невідомим змінним значення 1,0,0,...,0 і обчислимо основні невідомі, вирішивши отриману елементарну систему лінійних рівнянь будь-яким способом, наприклад, методом Крамера. Так буде отримано X(1) – перше рішення фундаментальної системи. Якщо надати вільним невідомим значення 0,1,0,0,…,0 і обчислити у своїй основні невідомі, отримаємо X (2) . І так далі. Якщо вільним невідомим змінним надамо значення 0,0, ..., 0,1 і обчислимо основні невідомі, то отримаємо X (n-r). Так буде побудовано фундаментальну систему рішень однорідної СЛАУ і може бути записано її загальне рішення у вигляді.

Для неоднорідних систем лінійних рівнянь алгебри загальне рішення подається у вигляді , де - загальне рішення відповідної однорідної системи, а - приватне рішення вихідної неоднорідної СЛАУ, яке ми отримуємо, надавши вільним невідомим значення 0,0, ..., 0 і обчисливши значення основних невідомих.

Розберемо з прикладів.

приклад.

Знайдіть фундаментальну систему рішень та загальне рішення однорідної системи лінійних рівнянь алгебри .

Рішення.

Ранг основної матриці однорідних систем лінійних рівнянь завжди дорівнює рангу розширеної матриці. Знайдемо ранг основної матриці методом обрамляють мінорів. Як ненульовий мінор першого порядку візьмемо елемент a 1 1 = 9 основний матриці системи. Знайдемо ненульовий мінор другого порядку, що облямовує:

Мінор другого порядку, відмінний від нуля, знайдено. Переберемо його мінори третього порядку в пошуках ненульового:

Всі обрамляють мінори третього порядку дорівнюють нулю, отже, ранг основної і розширеної матриці дорівнює двом. Базисним мінором візьмемо. Зазначимо для наочності елементи системи, що його утворюють:

Третє рівняння вихідної СЛАУ не бере участі в утворенні базисного мінору, тому може бути виключено:

Залишаємо у правих частинах рівнянь доданки, що містять основні невідомі, а у праві частини переносимо доданки з вільними невідомими:

Побудуємо фундаментальну систему розв'язків вихідної однорідної системи лінійних рівнянь. Фундаментальна система рішень даної СЛАУ складається з двох рішень, оскільки вихідна СЛАУ містить чотири невідомі змінні, а порядок її базисного мінору дорівнює двом. Для знаходження X (1) надамо вільним невідомим змінним значення x 2 = 1, x 4 = 0 тоді основні невідомі знайдемо з системи рівнянь
.