Теореми про зміну кількості руху механічної системи. Принцип можливих переміщень

Як система, про яку йдеться в теоремі, може виступати будь-яка механічна система, що складається з будь-яких тіл.

Формулювання теореми

Кількість руху (імпульс) механічної системи називають величину, рівну сумі кількостей руху (імпульсів) всіх тіл, що входять в систему. Імпульс зовнішніх сил, які діють тіла системи, - це сума імпульсів всіх зовнішніх сил, що діють тіла системи.

( кг · м / с)

Теорема про зміну кількості руху системи стверджує

Зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу зовнішніх сил, що діють на систему, за той самий проміжок часу.

Закон збереження кількості руху системи

Якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, кількість руху (імпульс) системи є величина постійна.

, отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи у диференціальній формі:

Проінтегрувавши обидві частини набутої рівності за довільно взятим проміжком часу між деякими і , отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в інтегральній формі:

Закон збереження імпульсу (Закон збереження кількості руху) стверджує, що векторна сума імпульсів всіх тіл системи є постійна величина, якщо векторна сума зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю.

(момент кількості руху м 2 ·кг·с −1 )

Теорема про зміну моменту кількості руху щодо центру

похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо будь-якого нерухомого центру дорівнює моменту чинної на точку сили щодо того ж центру.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Теорема про зміну моменту кількості руху щодо осі

похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо будь-якої нерухомої осі дорівнює моменту чинної на цю точку сили щодо тієї ж осі.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Розглянемо матеріальну точку M масою m , що рухається під дією сили F (Рисунок 3.1). Запишемо та побудуємо вектор моменту кількості руху (кінетичного моменту) M 0 матеріальної точки щодо центру O :

Диференціюємо вираз моменту кількості руху (кінетичного моменту k 0) за часом:

Так як dr /dt = V , то векторний твір V ⊗ m ⋅ V (колінеарних векторів V і m ⋅ V ) дорівнює нулю. В той же час d(m ⋅ V) /dt = F згідно з теоремою про кількість руху матеріальної точки. Тому отримуємо, що

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

де r ⊗F = M 0 (F ) - Вектор-момент сили F щодо нерухомого центру O . Вектор k 0 ⊥ площині ( r , m ⊗V ), а вектор M 0 (F ) ⊥ площині ( r ,F ), остаточно маємо

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Рівняння (3.4) виражає теорему про зміну моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо центру: похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо будь-якого нерухомого центру дорівнює моменту чинної на точку сили щодо того ж центру.

Проеціюючи рівність (3.4) на осі декартових координат, отримуємо

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Рівності (3.5) виражають теорему про зміну моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо осі: похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо будь-якої нерухомої осі дорівнює моменту чинної на цю точку сили щодо тієї ж осі.

Розглянемо слідства, які з теорем (3.4) і (3.5).

Наслідок 1.Розглянемо випадок, коли сила F у весь час руху точки проходить через нерухомий центр O (Випадок центральної сили), тобто. коли M 0 (F ) = 0. Тоді з теореми (3.4) випливає, що k 0 = const ,

тобто. у разі центральної сили момент кількості руху (кінетичний момент) матеріальної точки щодо центру цієї сили залишається постійним за модулем та напрямом (рисунок 3.2).

Малюнок 3.2

З умови k 0 = const слід, що траєкторія точки, що рухається, являє собою плоску криву, площина якої проходить через центр цієї сили.

Наслідок 2.Нехай M z (F ) = 0, тобто. сила перетинає вісь z чи їй паралельна. В цьому випадку, як видно з третього з рівнянь (3.5), k z = const ,

тобто. якщо момент чинної точки сили щодо будь-якої нерухомої осі завжди дорівнює нулю, то момент кількості руху (кінетичний момент) точки щодо цієї осі залишається постійним.

Доказ теореми про їх зміну кількості руху

Нехай система складається з матеріальних точок з масами та прискореннями. Усі сили, що діють на тіла системи, розділимо на два види:

Зовнішні сили - сили, що діють з боку тіл, що не входять до системи, що розглядається. Рівнодіючу зовнішніх сил, що діють на матеріальну точку з номером iпозначимо.

Внутрішні сили - це сили, з якими взаємодіють один з одним тіла самої системи. Силу, з якою на точку з номером iдіє крапка з номером k, будемо позначати , а силу впливу i-ї точки на k-ю точку - . Очевидно, що при , то

Використовуючи введені позначення, запишемо другий закон Ньютона для кожної з цих матеріальних точок у вигляді

Враховуючи що і підсумовуючи всі рівняння другого закону Ньютона, отримуємо:

Вираз є сумою всіх внутрішніх сил, що діють в системі. За третім законом Ньютона у цій сумі кожній силі відповідає сила така, що і, отже, виконується Оскільки вся сума складається з таких пар, то сама сума дорівнює нулю. Таким чином, можна записати

Використовуючи для кількості руху системи позначення, отримаємо

Ввівши на розгляд зміну імпульсу зовнішніх сил , Отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в диференційній формі:

Таким чином, кожне з останніх отриманих рівнянь дозволяє стверджувати: зміна кількості руху системи відбувається тільки внаслідок дії зовнішніх сил, а внутрішні сили ніякого впливу на цю величину не можуть.

Проінтегрувавши обидві частини отриманої рівності за довільно взятим проміжком часу між деякими і отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в інтегральній формі:

де - значення кількості руху системи в моменти часу і відповідно, а - імпульс зовнішніх сил за проміжок часу . Відповідно до сказаного раніше та введених позначень виконується

Аналогічно тому, як однієї матеріальної точки, виведемо теорему про зміну кількості руху для системи у різних формах.

Перетворимо рівняння (теорема про рух центу мас механічної системи)

наступним чином:

;

;

Отримане рівняння висловлює теорему про зміну кількості руху механічної системи в диференціальній формі: похідна від кількості руху механічної системи за часом дорівнює головному вектору зовнішніх сил, що діють на систему .

У проекціях на декартові осі координат:

; ; .

Беручи інтеграли від обох частин останніх рівнянь за часом, отримаємо теорему про зміну кількості руху механічної системи в інтегральній формі: зміна кількості руху механічної системи і імпульсу головного вектора зовнішніх сил, що діють на систему .

.

Або в проекціях на декартові осі координат:

; ; .

Наслідки з теореми (закони збереження кількості руху)

Закон збереження кількості руху виходять як окремі випадки теореми про зміну кількості руху для системи залежно від особливостей системи зовнішніх сил. Внутрішні сили можуть бути будь-якими, оскільки вони не впливають зміни кількості руху.

Можливі два випадки:

1. Якщо векторна сума всіх зовнішніх сил, прикладених до системи, дорівнює нулю, то кількість руху системи постійно за величиною та напрямом

2. Якщо дорівнює нулю проекція головного вектора зовнішніх сил на якусь координатну вісь та/або та/або , то проекція кількості руху на ці ж осі є постійною величиною, тобто. та/або та/або відповідно.

Аналогічні записи можна зробити й у матеріальної точки й у матеріальної точки.

Умова задачі. Зі зброї, маса якої М, вилітає у горизонтальному напрямку снаряд маси mзі швидкістю v. Знайти швидкість Vзнаряддя після пострілу.

Рішення. Усі зовнішні сили, що діють на механічну систему знаряддя-снаряд, вертикальні. Отже, виходячи з слідства з теореми про зміну кількості руху системи, маємо: .

Кількість руху механічної системи до пострілу:

Кількість руху механічної системи після пострілу:

.

Прирівнюючи праві частини виразів, отримаємо, що

.

Знак «-» в отриманій формулі вказує на те, що після пострілу зброя відкотиться в напрямку протилежному осі Ox.

ПРИКЛАД 2. Струмінь рідини щільністю витікає зі швидкістю V з труби з площею поперечного перерізу F і вдаряється під кутом вертикальну стінку. Визначити тиск рідини на стіну.

РІШЕННЯ. Застосуємо теорему про зміну кількості руху в інтегральній формі до об'єму рідини масою mхто ударяється об стіну за деякий проміжок часу t.

РІВНЯННЯ МЕЩЕРСЬКОГО

(Основне рівняння динаміки тіла змінної маси)

У сучасній техніці виникають випадки, коли маса точки та системи не залишається постійною у процесі руху, а змінюється. Так, наприклад, при польоті космічних ракет, внаслідок викидання продуктів згоряння та окремих непотрібних частин ракет, зміна маси досягає 90-95% загальної початкової величини. Не лише космічна техніка може бути прикладом динаміки руху змінної маси. У текстильній промисловості відбувається значні зміни маси різних веретен, шпуль, рулонів за сучасних швидкостей роботи верстатів і машин.

Розглянемо основні особливості, пов'язані зі зміною маси, з прикладу поступального руху тіла змінної маси. До тіла змінної маси не можна безпосередньо застосувати основний закон динаміки. Тому отримаємо диференціальні рівняння руху точки змінної маси, застосовуючи теорему про зміну кількості руху системи.

Нехай точка масою m+dmрухається зі швидкістю. Потім відбувається відрив від точки деякої частки масою dmщо рухається зі швидкістю.

Кількість руху тіла до відриву частки:

Кількість руху системи, що складається з тіла і частки, що відірвалася, після її відриву:

Тоді зміна кількості руху:

Виходячи з теореми про зміну кількості руху системи:

Позначимо величину - відносна швидкість частки:

Позначимо

Величину Rназивають реактивною силою. Реактивна сила є тягою двигуна, зумовлена ​​викидом газу із сопла.

Остаточно отримаємо

-

Ця формула виражає основне рівняння динаміки тіла змінної маси (формула Мещерського). З останньої формули випливає, що диференціальні рівняння руху точки змінної маси мають такий самий вигляд, як і для точки постійної маси, крім доданих до точки додатково реактивної сили, обумовленої зміною маси.

Основне рівняння динаміки тіла змінної маси свідчить у тому, що прискорення цього тіла формується як рахунок зовнішніх сил, а й рахунок реактивної сили.

Реактивна сила - це сила, споріднена з тією, яку відчуває людина, що стріляє - при стрільбі з пістолета вона відчувається пензлем руки; при стрільбі з рушниці сприймається плечем.

Перша формула Ціолковського (для одноступінчастої ракети)

Нехай точка змінної маси або ракета рухається прямолінійно під дією лише реактивної сили. Так як для багатьох сучасних реактивних двигунів, де - максимально допустима конструкцією двигуна реактивна сила (тяга двигуна); - Сила тяжіння, що діє на двигун, що знаходиться на земній поверхні. Тобто. викладене дозволяє складової у рівнянні Мещерського знехтувати та до подальшого аналізу прийняти це рівняння у формі:

Позначимо:

Запас палива (при рідинних реактивних двигунах - суха маса ракети (що її маса після вигоряння всього палива);

Маса частинок, що відокремилися від ракети; розглядається як змінна величина, що змінюється від до .

Запишемо рівняння прямолінійного руху точки змінної маси у такому вигляді

Оскільки формула визначення змінної маси ракети

Отже, рівняння руху точки Беручи інтеграли від обох частин отримаємо

де - характеристична швидкість- Це швидкість, яку набуває ракета під дією тяги після виверження з ракети всіх частинок (при рідинних реактивних двигунах - після вигоряння всього палива).

Винесена за знак інтеграла (що можна робити на підставі відомої з вищої математики теореми про середнє) - це середня швидкість частинок, що вивергаються з ракети.

Перегляд:ця стаття прочитана 14066 разів

Pdf Оберіть мову... Українська Українська Англійська

Короткий огляд

Повністю матеріал завантажується вище, попередньо вибравши мову

Кількість руху

Кількість руху матеріальної точки - Векторна величина, що дорівнює добутку маси точки на вектор її швидкості.

Одиницею виміру кількості руху є (кг м/с).

Кількість руху механічної системи - Векторна величина, що дорівнює геометричній сумі (головному вектору) кількості руху механічної системи дорівнює добутку маси всієї системи на швидкість її центру мас.

Коли тіло (або система) рухається так, що її центр мас нерухомий, кількість руху тіла дорівнює нулю (наприклад, обертання тіла навколо нерухомої осі, що проходить через центр мас тіла).

У разі складного руху, кількість руху системи не характеризуватиме обертальну частину руху при обертанні навколо центру мас. Тобто, кількість руху характеризує лише поступальний рух системи (разом із центром мас).

Імпульс сили

Імпульс сили характеризує дію сили протягом певного проміжку часу.

Імпульс сили за кінцевий проміжок часу визначається як інтегральна сума відповідних елементарних імпульсів.

Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки

(у диференціальних форм е ):

Похідна за часом кількості руху матеріальної точки дорівнює геометричній сумі діючих на точки сил.

(в інтегральної форми ):

Зміна кількості руху матеріальної точки за деякий проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів сил, прикладених до точки за цей проміжок часу.

Теорема про зміну кількості руху механічної системи

(у диференційній формі ):

Похідна за часом кількості руху системи дорівнює геометричній сумі всіх зовнішніх сил, що діють на систему.

(в інтегральній формі ):

Зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів зовнішніх сил, що діють систему за цей проміжок часу.

Теорема дозволяє виключити із розгляду свідомо невідомі внутрішні сили.

Теорема про зміну кількості руху механічної системи та теорема про рух центру мас є двома різними формами однієї теореми.

Закон збереження кількості руху системи

1. Якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, вектор кількості руху системи буде постійним за напрямом і по модулю.
2. Якщо сума проекцій всіх діючих зовнішніх сил будь-яку довільну вісь дорівнює нулю, то проекція кількості руху цього вісь є величиною постійної.

Висновки:

1. Закони збереження свідчать, що внутрішні сили що неспроможні змінити сумарну кількість руху системи.
2. Теорема про зміну кількості руху механічної системи не характеризує обертальний рух механічної системи, лише поступальний.

Наведено приклад: Визначити кількість руху диска певної маси, якщо відома його кутова швидкість та розмір.

Приклад розрахунку прямозубої циліндричної передачі
Приклад розрахунку прямозубої циліндричної передачі. Виконаний вибір матеріалу, розрахунок напруг, що допускаються, розрахунок на контактну і згинальну міцність.

Приклад розв'язання задачі на вигин балки
У прикладі побудовані епюри поперечних сил і згинальних моментів, знайдено небезпечний переріз і підібрано двотавр. У задачі проаналізовано побудову епюр за допомогою диференціальних залежностей, проведено порівняльний аналіз різних поперечних перерізів балки.

Приклад розв'язання задачі на кручення валу
Завдання полягає в перевірці міцності сталевого валу при заданому діаметрі, матеріалі і напругах, що допускаються. У ході рішення будуються епюри моментів, що крутять, дотичних напруг і кутів закручування. Власна вага валу не враховується

Приклад розв'язання задачі на розтягування-стиснення стрижня
Завдання полягає в перевірці міцності сталевого стрижня при заданих напругах, що допускаються. У ході рішення будуються епюри поздовжніх сил, нормальних напружень та переміщень. Власна вага стрижня не враховується

Застосування теореми про збереження кінетичної енергії
Приклад вирішення завдання застосування теореми про збереження кінетичної енергії механічної системи

Визначення швидкості та прискорення точки за заданими рівняннями руху
Приклад розв'язання задачі на визначення швидкості та прискорення точки за заданими рівняннями руху

Визначення швидкостей та прискорень точок твердого тіла при плоскопаралельному русі
Приклад розв'язання задачі на визначення швидкостей та прискорень точок твердого тіла при плоскопаралельному русі

Визначення зусиль у стрижнях плоскої ферми
Приклад розв'язання задачі на визначення зусиль у стрижнях плоскої ферми методом Риттера та методом вирізування вузлів

Застосування теореми про зміну кінетичного моменту
Приклад розв'язання задачі застосування теореми про зміну кінетичного моменту визначення кутової швидкості тіла, що здійснює обертання навколо нерухомої осі.

(Фрагменти математичної симфонії)

Зв'язок імпульсу сили з основним рівнянням ньютонівської динаміки висловлює теорема про зміну кількості руху матеріальної точки.

Теорема.Зміна кількості руху матеріальної точки за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу сили (), що діє на матеріальну точку за той самий проміжок часу.Математичне підтвердження цієї теореми можна назвати фрагментом математичної симфонії. Ось він.

Диференціал кількості руху матеріальної точки дорівнює елементарному імпульсу сили, що діє матеріальну точку. Інтегруючи вираз (128) диференціала кількості руху матеріальної точки, маємо

(129)

Теорема доведена і математики вважають свою місію закінченою, а в інженерів, доля яких свято вірити математикам, виникають питання при використанні доведеного рівняння (129). Але їх міцно блокує послідовність і краса математичних дій (128 та 129), які зачаровують та спонукають назвати їх фрагментом математичної симфонії. Скільки поколінь інженерів погоджувалися з математиками та тремтіли перед таємничістю їхніх математичних символів! Але знайшовся інженер, незгодний з математиками, і ставить їм питання.

Шановні математики!Чому в жодному з Ваших підручників з теоретичної механіки не розглядається процес застосування Вашого симфонічного результату (129) на практиці, наприклад, при описі процесу розгону автомобіля? Ліва частина рівняння (129) гранично зрозуміла. Автомобіль починає розгін зі швидкості та завершує його, наприклад, на швидкості . Цілком природно, що рівняння (129) стає таким

І відразу виникає перше запитання: як із рівняння (130) визначити силу , під впливом якої автомобіль розігнаний до швидкості 10м/с? Відповіді це питання немає у жодному з незліченних підручників з теоретичної механіці. Ходімо далі. Після розгону автомобіль починає рівномірний рух із досягнутою швидкістю 10м/с. Яка ж сила рухає автомобіль????????? У мене нічого не залишається, як червоніти разом із математиками. Перший закон ньютонівської динаміки стверджує, що при рівномірному русі автомобіля на нього не діють жодні сили, а автомобіль, образно кажучи, чхає на цей закон, витрачає бензин і робить роботу, переміщаючись, наприклад, на відстань 100 км. А де ж сила, яка здійснила роботу з переміщення автомобіля на 100 км? Симфонічне математичне рівняння (130) мовчить, а життя продовжується і вимагає відповіді. Починаємо шукати його.

Оскільки автомобіль рухається прямолінійно і рівномірно, то сила, що переміщає його, постійна за величиною та напрямом та рівняння (130) стає таким

(131)

Отже, рівняння (131) у разі описує прискорений рух тіла. Чому ж дорівнює сила? Як висловити її зміну з часом? Математики вважають за краще обходити це питання і залишають його інженерам, вважаючи, що вони повинні шукати відповіді на це питання. У інженерів залишається одна можливість - врахувати, що якщо після завершення прискореного руху тіла, настає фаза рівномірного руху, що супроводжується під дією постійної сили уявити рівняння (131) для моменту переходу від прискореного до рівномірного руху в такому вигляді

(132)

Стрілка у цьому рівнянні означає результат інтегрування цього рівняння, а процес переходу від його інтегрального вигляду до спрощеному виду. Сила у цьому рівнянні еквівалентна усередненій силі, що змінила кількість руху тіла від нуля до кінцевого значення. Отже, шановні, математики та фізики-теоретики, відсутність Вашої методики визначення величини Вашого імпульсу змушує нас спрощувати процедуру визначення сили , а відсутність методики визначення часу дії цієї сили взагалі ставить нас у безвихідь і ми змушені використовувати вираз для аналізу процесу зміни кількості руху тіла . Через війну виходить, що довше діятиме сила , то більше вписувалося її імпульс . Це явно суперечить уявленням, що давно склалися, про те, що імпульс сили тим більше, чим менше час його дії.

Звернемо увагу на те, що зміна кількості руху матеріальної точки (імпульсу сили) при прискореному її русі відбувається під дією ньютонівської сили та сил опору руху у вигляді сил, що формуються механічними опорами, і силою інерції. Але ньютонівська динаміка в абсолютній більшості завдань ігнорує силу інерції, а механідинаміка стверджує, що зміна кількості руху тіла при його прискореному русі відбувається за рахунок перевищення величини ньютонівської сили над силами опору руху, в тому числі і над силою інерції.

При уповільненому русі тіла, наприклад, автомобіля з вимкненою передачею, ньютонівська сила відсутня, і зміна кількості руху автомобіля відбувається за рахунок перевищення сил опору руху над силою інерції, яка рухає автомобіль при його уповільненому русі.

Як тепер повернути результати зазначених «симфонічних» математичних дій (128) в русло причинно-наслідкових зв'язків? Вихід один – знайти нове визначення поняттям «імпульс сили» та «ударна сила». Для цього розділимо обидві частини рівняння (132) на час t. В результаті матимемо

. (133)

Звернемо увагу, що вираз mV/t - швидкість зміни кількості руху (mV/t) матеріальної точки чи тіла. Якщо врахувати, що V/t – прискорення, то mV/t – сила, яка змінює кількість руху тіла. Однакова розмірність зліва і з права знака рівності дає нам право назвати силу F ударною силою та позначити її символом, а імпульс S-ударним імпульсом і позначити його символом. З цього випливає і нове визначення ударної сили. Ударна сила, що діє на матеріальну точку або тіло, дорівнює відношенню зміни кількості руху матеріальної точки або тіла на час цієї зміни.

Звернемо особливу увагу на те, що у формуванні ударного імпульсу (134) бере участь тільки ньютонівська сила, яка змінила швидкість автомобіля від нульового значення до максимального - , тому рівняння (134) повністю належить ньютонівській динаміці. Оскільки величину швидкості фіксувати експериментально значно легше, ніж прискорення, то формула (134) дуже зручна для розрахунків.

З рівняння (134) випливає такий незвичайний результат.

Звернемо увагу на те, що згідно з новими законами механодинаміки генератором імпульсу сили при прискореному русі матеріальної точки або тіла є ньютонівська сила. Вона формує прискорення руху точки або тіла, при якому автоматично виникає сила інерції, спрямована протилежно ньютонівській силі і ударна ньютонівська сила повинна долати дію сили інерції, тому сила інерції має бути представлена ​​в балансі сил у лівій частині рівняння (134). Так як сила інерції дорівнює масі точки або тіла, помноженої на уповільнення, яке вона формує, то рівняння (134) стає таким

(136)

Шановні математики!Бачите, який вид набула математична модель, яка описує ударний імпульс, який прискорює рух тіла, що ударяється, від нульової швидкості до максимальної V (11). Тепер перевіримо її роботу у визначенні ударного імпульсу, який дорівнює ударній силі, що вистрілила 2-й енергоблок СШГ (рис. 120), а Вам залишимо Ваше марне рівняння (132). Щоб не ускладнювати виклад, ми залишимо поки що формулу (134) у спокої і скористаємося формулами, що дають усереднені значення сил. Бачите, у яке положення Ви ставите інженера, який прагне вирішити конкретне завдання.

Почнемо з динаміки Ньютона. Експерти встановили, що 2-й енергоблок піднявся на висоту 14м. Оскільки він піднімався у полі сили тяжіння, то на висоті h=14м його потенційна енергія виявилася рівною

а середня кінетична енергія дорівнювала

Мал. 120. Фото машинного залу до катастрофи

З рівності кінетичної (138) та потенційної (137) енергій випливає середня швидкість підйому енергоблока (рис. 121, 122)

Мал. 121. Фотон машинного залу після катастрофи

Згідно з новими законами механодинаміки підйом енергоблока складався з двох фаз (рис. 123): перша фаза ОА - прискорений підйом і друга фаза АВ - уповільнений підйом , , .

Час та відстані їхньої дії, приблизно, рівні (). Тоді кінематичне рівняння прискореної фази підйому енергоблоку запишеться так

. (140)

Мал. 122. Вид колодязя енергоблоку та самого енергоблоку після катастрофи

Закон зміни швидкості підйому енергоблока у першій фазі має вигляд

. (141)

Мал. 123. Закономірність зміни швидкості V польоту енергоблока

Підставляючи час із рівняння (140) до рівняння (141), маємо

. (142)

Час підйому блоку у першій фазі визначиться з формули (140)

. (143)

Тоді загальний час підйому енергоблоку на висоту 14м буде рівним. Маса енергоблоку та кришки дорівнює 2580 тонн. Згідно з динамікою Ньютона сила, що піднімала енергоблок, дорівнює

Шановні математики!Наслідуємо Ваші симфонічні математичні результати і записуємо Вашу формулу (129), що випливає з динаміки Ньютона, для визначення ударного імпульсу, що вистрілив 2-й енергоблок

і ставимо елементарне питання: як визначити час дії ударного імпульсу, що вистрілив 2-й енергоблок??????????

Шановні!Згадайте, скільки крейди списали на навчальних дошках покоління Ваших колег, вивчаючи студентів, як визначати ударний імпульс і ніхто не пояснив, як визначати час дії ударного імпульсу в кожному конкретному випадку. Ви скажете час дії ударного імпульсу і інтервалу часу зміни швидкості енергоблока від нуля до, вважатимемо, максимального значення 16,75 м/с (139). Воно у формулі (143) і дорівнює 0,84 с. Погоджуємося поки що з Вами та визначаємо усереднену величину ударного імпульсу

Відразу виникає питання: а чому величина ударного імпульсу (146) менше ньютонівської сили 50600тон? Відповіді, у Вас, шановні математики, немає. Ходімо далі.

Згідно з динамікою Ньютона, головна сила, яка чинила опір підйому енергоблоку, - сила тяжіння. Оскільки ця сила спрямована проти руху енергоблоку, вона генерує уповільнення, яке дорівнює прискоренню вільного падіння . Тоді сила гравітації, що діє на енергоблок, що летить вгору, дорівнює

Інших сил, що перешкоджали дії ньютонівської сили 50 600 тонн (144), динаміка Ньютона не враховує, а механодинаміка стверджує, що підйому енергоблоку чинила опір і сила інерції, рівна

Відразу постає питання: як знайти величину уповільнення руху енергоблоку? Динаміка Ньютона мовчить, а механодинаміка відповідає: у момент дії ньютонівської сили, що піднімала енергоблок, їй чинили опір: сила тяжіння і сила інерції, тому рівняння сил, що діяли на енергоблок в цей момент, записується так.

Кількість руху мірою механічного руху, якщо механічний рух перейде до механічного. Наприклад, механічний рух більярдної кулі (рис. 22) до удару перетворюється на механічний рух куль після удару. Для точки кількість руху дорівнює добутку.

Мірою дії сили у разі є імпульс сили

. (9.1)

Імпульс визначає дію сили за проміжок часу . Для матеріальної точки теорему про зміну кількості руху можна використовувати у диференціальній формі
(9.2) або інтегральної (кінцевої) форми
. (9.3)

Зміна кількості руху матеріальної точки за якийсь проміжок часу дорівнює імпульсу всіх сил, прикладених до точки за той самий час.

Малюнок 22

При розв'язанні задач теорема (9.3) частіше використовується у проекціях на координатні осі
;

; (9.4)

.

За допомогою теореми про зміну кількості руху точки можна вирішувати задачі, в яких на точку або тіло, що рухається поступально, діють сили постійні або змінне, що залежать від часу, а в число заданих та шуканих величин входять час руху та швидкості на початку та наприкінці руху. Завдання із застосуванням теореми вирішуються наступною послідовністю:

1. вибирають систему координат;

2. зображують всі діючі на точку задані (активні) сили та реакції;

3. записують теорему про зміну кількості руху точки у проекціях на вибрані осі координат;

4. визначають шукані величини.

ПРИКЛАД 12.

Молот вагою G=2т падає з висоти h=1м на заготівлю за час t=0,01с і робить штампування деталі (рис. 23). Визначити середню силу тиску молота на заготівлю.

Зміна кількості руху механічної системи за деякий проміжок часу дорівнює сумі імпульсів зовнішніх сил, що діють за той самий час. Іноді зручніше користуватися теоремою про зміну кількості руху в проекції на осі координат
; (9.8)
. (9.9)

Закон збереження кількості руху встановлює, що за відсутності зовнішніх сил кількість руху механічної системи залишається постійною. Дія внутрішніх сил не може змінити кількість руху системи. З рівняння (9.6) видно, що за
,
.

Якщо
, то
або
.

Д

гребного гвинта чи пропелера, реактивного руху. Кальмари рухаються ривками, викидаючи воду з м'язового мішка за принципом водомета (рис. 25). Вода, що відштовхується, володіє відомою кількістю руху, спрямованою назад. Кальмар одержує при цьому відповідну швидкість руху вперед за рахунок реактивної сили тяги , тому що перед вистрибуванням кальмара сила врівноважується силою тяжіння .

Застосування теореми про зміну кількості руху дозволяє виключити із розгляду всі внутрішні сили.

ПРИКЛАД 13.

На залізничній платформі, що вільно стоїть на рейках, встановлена ​​лебідка А з барабаном радіуса r (рис. 26). Лебідка призначена для переміщення по платформі вантажу масою m 1 . Маса платформи з лебідкою m2. Барабан лебідки обертається згідно із законом
. У початковий час система була рухлива. Нехтуючи тертям, знайти закон зміни швидкості платформи після включення лебідки.

Р ЇШЕННЯ.

1. Розглянемо платформу, лебідку та вантаж як єдину механічну систему, на яку діють зовнішні сили: сила тяжіння вантажу та платформи та реакції і
.

2. Оскільки всі зовнішні сили перпендикулярні до осі х, тобто.
, застосуємо закон збереження кількості руху механічної системи у проекції на вісь х:
. У початковий момент часу система була нерухома, отже,

Виразимо кількість руху системи у довільний момент часу. Платформа рухається поступово зі швидкістю , вантаж здійснює складний рух, що складається з відносного руху по платформі зі швидкістю та переносного руху разом з платформою зі швидкістю ., звідки
. Платформа переміщатиметься у бік, протилежний відносному руху вантажу.

ПРИКЛАД 14.

де ,
- кількість руху пластини та вантажу відповідно.

;
, де - Абсолютна швидкість вантажу D. З рівності (1) випливає, що К 1х + К 2х = 1 або m 1 u x + m 2 V Dx = C 1 . (2) Для визначення V Dx розглянемо рух вантажу D як складний, вважаючи його рух по відношенню до пластини відносним, а рух пластини переносним, тоді
, (3)
;або в проекції на вісь х: . (4) Підставимо (4) до (2):
. (5) Постійну інтегрування 1 визначимо з початкових умов: при t=0 u=u 0 ; (m 1 +m 2)u 0 = C 1 . (6) Підставляючи значення постійної З 1 рівняння (5), отримуємо

м/с.