Прецесія гіроскопа під впливом зовнішніх сил. Елементарна теорія

Щоб зберегти положення осі обертання твердого тіла з часом незмінним, використовують підшипники, у яких вона утримується. Проте існують такі осі обертання тіл, які змінюють своєї орієнтації у просторі без на неї зовнішніх сил. Ці осі називаються вільними осями(або осями вільного обертання).Можна довести, що в будь-якому тілі існують три взаємно перпендикулярні осі, що проходять через центр мас тіла, які можуть бути вільними осями (вони називаються головними осями інерціїтіла). Наприклад, головні осі інерції однорідного прямокутного паралелепіпеда проходять через центри протилежних граней (рис. 30). Для однорідного циліндра однією з головних осей інерції є його геометрична вісь, а як інші осі можуть бути дві будь-які взаємно перпендикулярні осі, проведені через центр мас в площині, перпендикулярної геометричної осі циліндра. Головними осями інерції кулі

є будь-які три взаємно перпендикулярні осі, що проходять через центр ваги.

Для стійкості обертання велике значення має, яка саме із вільних осей служить віссю обертання.

Можна показати, що обертання навколо головних осей із найбільшим і найменшим моментами інерції виявляється стійким, а обертання біля осі із середнім моментом – нестійким. Так, якщо підкинути тіло, що має форму паралелепіпеда, привівши його одночасно в обертання, то воно, падаючи, стійко обертатиметься навколо осей 1 і 2 (Рис. 30).

Якщо, наприклад, паличку підвісити за один кінець нитки, а інший кінець, закріплений до шпинделя відцентрової машини, привести в швидке обертання, то паличка обертатиметься в горизонтальній площині біля вертикальної осі перпендикулярної осі палички і проходить через її середину (рис.31) . Це і є вільна вісь обертання (момент інерції при цьому положенні максимальний палички). Якщо тепер паличку, що обертається навколо вільної осі, звільнити від зовнішніх зв'язків (акуратно зняти верхній кінець нитки з шпинделя гачка), то положення осі обертання в просторі протягом деякого часу зберігається. Властивість вільних осей зберігати своє становище у просторі широко застосовується у техніці. Найцікавіші у цьому плані гіроскопи- масивні однорідні тіла, що обертаються з великою кутовою швидкістю біля осі симетрії, що є вільною віссю.

Розглянемо один із різновидів гіроскопів - гіроскоп на кардановому підвісі (рис.32). Дископодібне тіло – гіроскоп – закріплене на осі АА,яка може обертатися навколо перпендикулярної їй горизонтальної осі ВВ,яка, у свою чергу, може повертатися навколо вертикальної осі DD.Всі три осі перетинаються в одній точці С, що є центром мас гіроскопа і нерухомою, що залишається, а вісь гіроскопа може прийняти будь-який напрямок в просторі. Силами тертя в підшипниках всіх трьох осей і моментом імпульсу кілець нехтуємо.

Так як тертя в підшипниках мало, то поки гіроскоп нерухомий, його осі можна надати будь-який напрямок. Якщо почати гіроскоп швидко обертати (наприклад, за допомогою намотаної на вісь мотузочки) і повертати його підставку, вісь гіроскопа зберігає своє положення в просторі незмінною. Це можна пояснити за допомогою основного закону динаміки обертального руху. Для вільного гіроскопа, що обертається, сила тяжіння не може змінити орієнтацію його осі обертання, так як ця сила прикладена до центру мас (центр обертання З збігається з центром мас), а момент сили тяжіння щодо закріпленого центру мас дорівнює нулю. Моментом сил тертя ми також нехтуємо. Тому якщо момент зовнішніх сил щодо його закріпленого центру мас дорівнює нулю, то, як випливає з рівняння (19.3), L =

Const, тобто момент імпульсу гіроскопа зберігає свою величину та напрямок у просторі. Отже, разом зним зберігає своє становище у просторі та вісь гіроскопа.

Щоб вісь гіроскопа змінила свій напрямок у просторі, необхідно, згідно (19.3), на відміну від нуля моменту зовнішніх сил. Якщо момент зовнішніх сил, прикладених до гіроскопа, що обертається щодо його центру мас, відмінний від нуля, то спостерігається явище, що отримало назву гіроскопічного ефекту.Воно полягає в тому, що під дією пари сил F, прикладеної до осі гіроскопа, що обертається, вісь гіроскопа (рис. 33) повертається навколо прямої О 3 Про 3 , а не навколо прямої Про 2 Про 2 , як це здавалося б природним на перший погляд (O 1 O 1 і Про 2 Про 2 лежать у площині креслення, а Про 3 Про 3 і сили Fперпендикулярні їй).

Гіроскопічний ефект пояснюється так. Момент Мпари сил Fспрямований вздовж прямої Про 2 Про 2 . За час dt момент імпульсу Lгіроскопа отримає приріст d L = M dt (напрямок d Lзбігається з напрямком М) і стане рівним L"=L+d L. Напрямок вектора LТаким чином, вісь обертання гіроскопа повернеться навколо прямої О 3 О 3 . Якщо час дії сили замало, то, хоча момент сил Мі великий, зміна моменту імпульсу d Lгіроскоп буде також дуже малим. Тому короткочасна дія сил практично не призводить до зміни орієнтації осі обертання гіроскопа у просторі. Для її зміни слід прикладати сили протягом тривалого часу.

Якщо вісь гіроскопа закріплена підшипниками, то внаслідок гіроскопічного ефекту виникають так звані гіроскопічні сили,що діють на опори, у яких обертається вісь гіроскопа. Їх дію необхідно враховувати при конструюванні пристроїв, що містять швидко обертаються масивні складові частини. Гіроскопічні сили мають сенс тільки в системі відліку, що обертається, і є окремим випадком коріолісової сили інерції (див. §27).

Гіроскопи застосовуються у різних гіроскопічних навігаційних приладах (гірокомпас, гіророрізонт тощо). Інше важливе застосування гіроскопів - підтримання заданого напрямку руху транспортних засобів, наприклад судна (авторульовий) і літака (автопілот) і т.д. гіроскоп у просторі зберігається. Отже, вісь гіроскопа разом з рамами карданова підвісу повертається щодо пристрою, що рухається. Поворот рам карданова підвісу за допомогою певних пристроїв включає керма управління, які повертають рух до заданого курсу.

Вперше гіроскоп застосований французьким фізиком Ж. Фуко (1819–1868) для доказу обертання Землі.

Досвід показує, що прецесійне рух гіроскопа під дією зовнішніх сил у загальному випадку складніше, ніж те, що було описано вище в рамках елементарної теорії. Якщо повідомити гіроскопу поштовх, що змінює кут (див. рис. 4.6), то прецесія перестане бути рівномірною (часто кажуть: регулярною), а супроводжуватиметься дрібними обертаннями та тремтінням вершини гіроскопа. нутаціями. Для їх опису необхідно врахувати розбіжність вектора повного моменту імпульсу L, миттєвої кутової швидкості обертання та осі симетрії гіроскопа.

Точна теорія гіроскопа виходить за межі курсу загальної фізики. Зі співвідношення слід, що кінець вектора Lрухається у напрямку M, тобто перпендикулярно до вертикалі та осі гіроскопа. Це означає, що проекції вектора Lна вертикаль та на вісь гіроскопа залишаються постійними. Ще однією постійною є енергія

(4.14)

де - кінетична енергіягіроскоп. Виражаючи і через кути Ейлера та їх похідні, можна за допомогою рівнянь Ейлераописати рух тіла аналітично.

Результат такого опису виявляється таким: вектор моменту імпульсу Lописує нерухомий у просторі конус прецесії, і при цьому вісь симетрії гіроскопа рухається навколо вектора Lпо поверхні конуса нутацій. Вершина конуса нутацій, як і вершина конуса прецесії, знаходиться в точці закріплення гіроскопа, а вісь конуса нутацій збігається у напрямку Lі рухається разом із ним. Кутова швидкість нутацій визначається виразом

(4.15)

де і - моменти інерції тіла гіроскопа щодо осі симетрії та щодо осі, що проходить через точку опори та перпендикулярної осі симетрії, - кутова швидкість обертання навколо осі симетрії (порівн. з (3.64)).

Таким чином, вісь гіроскопа бере участь у двох рухах: нутаційному та прецесійному. Траєкторії абсолютного руху вершини гіроскопа є хитромудрими лініями, приклади яких представлені на рис. 4.7.

Мал. 4.7.

Характер траєкторії, якою рухається вершина гіроскопа, залежить від початкових умов. Що стосується рис. 4.7а гіроскоп був розкручений навколо осі симетрії, встановлений на підставці під деяким кутом до вертикалі та обережно відпущений. Що стосується рис. 4.7б йому, крім того, було повідомлено деякий поштовх вперед, а у випадку рис. 4.7в - поштовх назад під час прецесії. Криві на рис. 4.7 цілком аналогічні циклоїдам, що описуються точкою на обід колеса, що котиться по площині без прослизання або з прослизанням в той чи інший бік. І лише повідомивши гіроскопу початковий поштовх цілком певної величини та напряму, можна домогтися того, що вісь гіроскопа прецесуватиме без нутацій. Чим швидше обертається гіроскоп, тим більша кутова швидкість нутацій і тим менша їхня амплітуда. При дуже швидкому обертанні нутації стають практично непомітними для ока.

Може здатися дивним: чому гіроскоп, будучи розкрученим, встановлений під кутом до вертикалі та відпущений, не падає під дією сили тяжіння, а рухається вбік? Звідки береться кінетична енергія прецесійного руху?

Відповіді ці запитання можна отримати лише у межах точної теорії гіроскопам. Насправді гіроскоп справді починає падати, а прецесійний рух з'являється як наслідок закону збереження моменту імпульсу. Насправді відхилення осі гіроскопа вниз призводить до зменшення проекції моменту імпульсу на вертикальний напрямок. Це зменшення має бути компенсовано моментом імпульсу, пов'язаним з прецесійним рухом осі гіроскопа. З енергетичного погляду кінетична енергія прецесії з'являється за рахунок зміни потенційної енергії гіроскопам

Якщо за рахунок тертя в опорі нутації гасяться швидше, ніж обертання гіроскопа навколо осі симетрії (як правило, так і буває), то незабаром після "запуску" нутації гіроскопа зникають і залишається чиста прецесія (рис. 4.8). При цьому кут нахилу осі гіроскопа до вертикалі виявляється більшим, ніж він був спочатку, тобто потенційна енергія гіроскопа зменшується. Таким чином, вісь гіроскопа повинна трохи опуститись, щоб мати можливість прецесувати навколо вертикальної осі.

Мал. 4.8.

Гіроскопічні сили.

Звернемося до простого досвіду: візьмемо до рук вал АВ з насадженим на нього колесом С (рис. 4.9). Поки колесо не розкручене, не представляє ніяких труднощів повертати вал у просторі довільним чином. Але якщо колесо розкручене, то спроби повернути вал, наприклад, у горизонтальній площині з невеликою кутовою швидкістю призводять до цікавого ефекту: вал прагне вирватися з рук і повернутись у вертикальній площині; він діє на кисті рук з певними силами та (рис. 4.9). Потрібно докласти відчутного фізичного зусилля, щоб утримати вал з колесом, що обертається, в горизонтальній площині.

Розкрутимо гіроскоп навколо його навколо осі симетрії до великої кутової швидкості (момент імпульсу L) і станемо повертати раму із укріпленим у ній гіроскопом навколо вертикальної осі OO" з деякою кутовою швидкістю як показано на рис. 4.10. Момент імпульсу L, отримає при цьому збільшення яке має бути забезпечене моментом сил M, доданим до осі гіроскопа. Момент M, у свою чергу, створено парою сил, що виникають при вимушеному повороті осі гіроскопа і діють на вісь з боку рами. За третім законом Ньютона вісь діє на раму з силами (рис. 4.10). Ці сили називаються гіроскопічними; вони створюють гіроскопічний моментПоява гіроскопічних сил називають гіроскопічним ефектом. Саме ці гіроскопічні сили ми і відчуваємо, намагаючись повернути вісь колеса, що обертається (рис. 4.9).

де – кутова швидкість вимушеного повороту (іноді кажуть: вимушеної прецесії). З боку осі на підшипники діє протилежний момент

(4.)

Таким чином, вал гіроскопа, зображеного на рис. 4.10 буде притискатися догори в підшипнику В і тиснути на нижню частину підшипника А.

Напрямок гіроскопічних силможна легко знайти за допомогою правила, сформульованого Н.Є. Жуковським: гіроскопічні сили прагнуть поєднати момент імпульсу Lгіроскопа з напрямом кутової швидкості вимушеного повороту. Це правило можна продемонструвати за допомогою пристрою, представленого на рис. 4.11.

ГІРОСКОП
навігаційний прилад, основним елементом якого є ротор, що швидко обертається, закріплений так, що вісь його обертання може повертатися. Три ступені свободи (осі можливого обертання) ротора гіроскопа забезпечуються двома рамками карданова підвісу. Якщо такий пристрій не діють зовнішні обурення, то вісь власного обертання ротора зберігає постійне напрям у просторі. Якщо ж на нього діє момент зовнішньої сили, що прагне повернути вісь власного обертання, вона починає обертатися не навколо напряму моменту, а навколо осі, перпендикулярної йому (прецесія).

У добре збалансованому (астатичному) і гіроскопі, що досить швидко обертається, встановленому на високодосконалих підшипниках з незначним тертям, момент зовнішніх сил практично відсутній, так що гіроскоп довго зберігає майже незмінною свою орієнтацію в просторі. Тому може вказувати кут повороту підстави, у якому закріплений. Саме так французький фізик Ж. Фуко (1819–1868) вперше наочно продемонстрував обертання Землі. Якщо поворот осі гіроскопа обмежити пружиною, то при відповідній установці його, скажімо, на літальному апараті, що виконує розворот, гіроскоп буде деформувати пружину, поки не врівноважиться момент зовнішньої сили. В цьому випадку сила стиснення або розтягування пружини пропорційна кутової швидкості руху літального апарату. Такий принцип дії авіаційного покажчика повороту та багатьох інших гіроскопічних приладів. Оскільки тертя в підшипниках дуже мало, підтримки обертання ротора гіроскопа не потрібно багато енергії. Для приведення його в обертання і підтримки обертання зазвичай буває досить малопотужного електродвигуна або струменя стисненого повітря.
Застосування.Гіроскоп найчастіше застосовується як чутливий елемент гіроскопічних приладів, що вказують, і як датчик кута повороту або кутової швидкості для пристроїв автоматичного управління. У деяких випадках, наприклад, у гіростабілізаторах, гіроскопи використовуються як генератори моменту сили або енергії.
Див. такожМАХОВИК. Основні сфери застосування гіроскопів - судноплавство, авіація та космонавтика (див. ІНЕРЦІАЛЬНА НАВІГАЦІЯ). Майже кожне морське судно далекого плавання має гірокомпас для ручного або автоматичного керування судном, деякі обладнані гіростабілізаторами. У системах керування вогнем корабельної артилерії багато додаткових гіроскопів, що забезпечують стабільну систему відліку або вимірюють кутові швидкості. Без гіроскопів неможливе автоматичне керування торпедами. Літаки та гелікоптери обладнуються гіроскопічними приладами, які дають надійну інформацію для систем стабілізації та навігації. До таких приладів відносяться авіагоризонт, гіровертикаль, гіроскопічний покажчик крену та повороту. Гіроскопи можуть бути як приладами, що вказують, так і датчиками автопілота. На багатьох літаках передбачаються гіростабілізовані магнітні компаси та інше обладнання - навігаційні візири, фотоапарати з гіроскопом, гіросекстанти. У військовій авіації гіроскопи застосовуються також у прицілах повітряної стрілянини та бомбометання. Гіроскопи різного призначення (навігаційні, силові) випускаються різних типорозмірів в залежності від умов роботи та необхідної точності. У гіроскопічних приладах діаметр ротора становить 4-20 см, причому менше значення відноситься до авіаційно-космічних приладів. Діаметри ж роторів суднових гіростабілізаторів вимірюються метрами.
ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ
Гіроскопічний ефект створюється тією самою відцентровою силою, що діє на юлу, що обертається, наприклад, на столі. У точці опори дзиги про стіл виникають сила і момент, під дією яких вісь обертання дзиги відхиляється від вертикалі, а відцентрова сила маси, що обертається, перешкоджаючи зміні орієнтації площини обертання, змушує юлу обертатися і навколо вертикалі, зберігаючи тим самим задану орієнтацію в просторі. Таким обертанням, що називається прецесією, ротор гіроскопа відповідає на прикладений момент сили щодо осі, перпендикулярної осі його власного обертання. Вклад мас ротора у цей ефект пропорційний квадрату відстані до осі обертання, оскільки що більше радіус, то більше, по-перше, лінійне прискорення і, по-друге, плече відцентрової сили. Вплив маси та її розподілу у роторі характеризується його " моментом інерції " , тобто. результатом підсумовування творів усіх складових його мас на квадрат відстані до осі обертання. Повний гіроскопічний ефект обертового ротора визначається його " кінетичним моментом " , тобто. твором кутової швидкості (в радіанах за секунду) на момент інерції щодо осі власного обертання ротора. Кінетичний момент - векторна величина, що має не лише чисельне значення, а й напрямок. На рис. 1 кінетичний момент представлений стрілкою (довжина якої пропорційна величині моменту), спрямованої вздовж осі обертання відповідно до "правила буравчика": туди, куди подається буравчик, якщо його повертати в напрямку обертання ротора. Прецесія та момент сили теж характеризуються векторними величинами. Напрямок вектора кутової швидкості прецесії та вектора моменту сили пов'язане правилом свердла з відповідним напрямом обертання.
Див. такожВЕКТОР.
ГІРОСКОП З трьома ступенями свободи
На рис. 1 дана спрощена кінематична схема гіроскопа з трьома ступенями свободи (трьома осями обертання), причому напрямки обертання на ній показані вигнутими стрілками. Кінетичний момент представлений жирною прямою стрілкою, спрямованою вздовж осі власного обертання ротора. Момент сили прикладається натисканням пальця так, що він має складову, перпендикулярну до осі власного обертання ротора (другу силу пари створюють вертикальні півосі, закріплені в оправі, яка пов'язана з основою). Згідно з законами Ньютона, такий момент сили повинен створювати кінетичний момент, що збігається з ним у напрямку та пропорційний його величині. Оскільки кінетичний момент (пов'язаний із власним обертанням ротора) фіксований за величиною (завданням постійної кутової швидкості за допомогою, скажімо, електродвигуна), ця вимога законів Ньютона може бути виконана тільки за рахунок повороту осі обертання (у бік вектора зовнішнього моменту сили), що призводить до збільшення проекції кінетичного моменту на цю вісь. Цей поворот і є прецесією, про яку йшлося раніше. Швидкість прецесії зростає із збільшенням зовнішнього моменту сили та зменшується зі збільшенням кінетичного моменту ротора.
Гіроскопічний курсор.На рис. 2 показаний приклад застосування триступеневого гіроскопа в авіаційному покажчику курсу (гірконапівкомпас). Обертання ротора в шарикопідшипниках створюється і підтримується струменем стисненого повітря, спрямованим на рифлену поверхню обода. Внутрішня та зовнішня рамки карданова підвісу забезпечують повну свободу обертання осі власного обертання ротора. За шкалою азимуту, прикріпленої до зовнішньої рамки, можна запровадити будь-яке значення азимуту, вирівнявши вісь власного обертання ротора з основою приладу. Тертя в підшипниках настільки незначно, що після того, як це значення азимуту введено, вісь обертання ротора зберігає задане положення в просторі, і, користуючись стрілкою, скріпленою з основою, за шкалою азимуту можна контролювати поворот літака. Покази повороту не виявляють жодних відхилень, якщо не брати до уваги ефектів дрейфу, пов'язаних з недосконалостями механізму, і не вимагають зв'язку із зовнішніми (наприклад, наземними) засобами навігації.

В'язкісне демпфування.Для гасіння вихідного моменту сили щодо осі двоступеневого гіровузла можна використовувати в'язкісне демпфування. Кінематична схема такого пристрою представлена ​​на рис. 5; вона відрізняється від схеми на рис. 4 тим, що тут немає пружини, що протидіє, а в'язкісний демпфер збільшений. Коли такий пристрій повертається з постійною кутовою швидкістю навколо осі, вихідний момент гіровузла змушує рамку прецесувати навколо вихідної осі. За вирахуванням ефектів інерційної реакції (з інерцією рамки пов'язане переважно лише деяке запізнення відгуку) цей момент врівноважується моментом сил в'язкісного опору, створюваним демпфером. Момент демпфера пропорційний кутовий швидкості обертання рамки щодо корпусу, так що вихідний момент гіровузла також пропорційний цій кутовій швидкості. Оскільки цей вихідний момент пропорційний вхідний кутовий швидкості (при малих вихідних кутах рамки), вихідний кут рамки збільшується в міру того, як повертається корпус навколо вхідної осі. Стрілка, що рухається за шкалою (рис. 5), вказує кут повороту рамки. Показання пропорційні інтегралу кутової швидкості обертання щодо вхідної осі в інерційному просторі, і тому пристрій, схема якого представлена ​​на рис. 5, називається інтегруючим двоступеневим гіродатником.

Енциклопедія Кольєра. - Відкрите суспільство. 2000 .

1. Вільні осі обертання. Розглянемо два випадки обертання твердого стрижня щодо осі, що проходить через центр ваги.

Якщо розкрутити стрижень щодо осі OOі надати його самому собі, тобто звільнити вісь обертання з підшипників, то у разі рис.71-а орієнтація осі вільного обертання щодо стрижня змінюватиметься, оскільки стрижень під дією пари відцентрових сил інерції розгортатиметься в горизонтальну площину. У разі рис.71-б момент пари відцентрових сил дорівнює нулю, тому розкручений стрижень продовжуватиме обертатися навколо осі. ГОта після її звільнення.

Вісь обертання, положення якої в просторі зберігається без дії будь-яких сил ззовні, називається вільною віссю тіла, що обертається.Отже, вісь перпендикулярна стрижню і проходить через його центр мас є вільна вісь обертання стрижня.

Будь-яке тверде тіло має три взаємно перпендикулярні вільні осі обертання, що перетинаються в центрі мас. Положення вільних осей для однорідних тіл збігається зі становищем їх геометричних осей симетрії (рис.72).

Вільні осі обертання називаються також головними осями інерції. При вільному обертанні тіл навколо головних осей інерції стійкі лише обертання навколо осей, яким відповідають максимальне і мінімальне значення моменту інерції. Якщо на тіло діють зовнішні сили, то стійким виявляється обертання лише навколо тієї головної осі, якій відповідає максимальний момент інерції.

2. Гіроскоп(від грецької gyreuo– обертаюся та skopeo– бачу) – однорідне тіло обертання, що швидко обертається навколо осі симетрії, вісь якого може змінювати положення в просторі.

При вивченні руху гіроскопа вважаємо, що:

а. Центр мас гіроскопа збігається з його нерухомою точкою O. Такий гіроскоп називається врівноваженим.

б. Кутова швидкість wобертання гіроскопа навколо осі набагато більше кутової швидкості Wпереміщення осі в просторі, тобто w >> W.

В. Вектор моменту імпульсу гіроскопа L збігається з вектором кутової швидкості w оскільки гіроскоп обертається навколо головної осі інерції.

Нехай на вісь гіроскопа діє сила F протягом часу D t. За другим законом динаміки для обертального руху, так що зміна моменту імпульсу гіроскопа за цей час, (26.1)

де r - Радіус-вектор, проведений з нерухомої точки Oу точку дії сили (рис.73).

Зміну моменту імпульсу гіроскопа можна розглядати як поворот осі гіроскопа на кут з кутовою швидкістю . (26.2)

Тут – нормальна до осі гіроскопа складова сили, що діє на нього.

Під дією сили F , доданої до осі гіроскопа, вісь повертається над напрямі дії сили, а напрямку моменту сили M щодо нерухомої точки O. У будь-який момент часу швидкість повороту осі гіроскопа пропорційна за величиною моменту сили, а при постійному плечі сили пропорційна самій силі. Таким чином, рух осі гіроскопа безінерційно. Це єдиний випадок безінерційного руху на механіці.

Рух осі гіроскопа під дією зовнішньої сили називають вимушеною прецесієюгіроскопа (від латинського praecessio – рух попереду).

3. Ударна дія на вісь гіроскопа. Визначимо кутове зміщення осі гіроскопа внаслідок короткочасного впливу сили на вісь, тобто удару. Нехай протягом малого часу dtна вісь гіроскопа на відстані rвід центру Продіє сила F . Під впливом імпульсу цієї сили F dtвісь повертається (рис.74) у напрямі створюваного нею імпульсу моменту сили M dtна деякий кут

dq = W dt=(rF/Iw)dt. (26.3)

Якщо точка застосування сили не змінюється, то r= const та при інтегруванні отримуємо. q = .(26.4)

Інтеграл у кожному випадку залежить від виду функції ( t). У звичайних умовах кутова швидкість обертання гіроскопа дуже велика, тому чисельник найчастіше набагато менше знаменника, і тому кут q- Мінімальна величина. Гіроскоп, що швидко обертається, володіє стійкістю по відношенню до удару - тим більшою, чим більше його момент імпульсу.

4. Цікаво, що сила, під дією якої вісь гіроскопа прецесує, не робить роботи. Це тому, що точка гіроскопа, до якої прикладена сила, у будь-який момент зміщується у напрямі, перпендикулярному напрямку дії сили. Тому скалярний добуток сили на вектор малого переміщення завжди дорівнює нулю.

Сили у такому прояві називаються гіроскопічними. Так, завжди гіроскопічною є сила Лоренца, що діє електрично заряджену частинку з боку магнітного поля, в якому вона рухається.

5. Умова рівноваги ТТ.Щоб ТТ знаходилося в рівновазі, необхідно, щоб сума зовнішніх сил і сума моментів зовнішніх сил дорівнювали нулю:

. (26.5)

Розрізняють 4 види рівноваги: стійке, нестійке, сідлоподібне та байдуже.

а.Положення рівноваги ТТ є стійким, якщо при невеликих відхиленнях від рівноваги на тіло починають діяти сили, які прагнуть повернути їх у положення рівноваги.

На малюнку 75 показано ситуації стійкої рівноваги тіл у полі сили тяжіння. Сили тяжкості – масові сили, тому рівнодіюча сил тяжкості, що діють на точкові елементи ТТ, прикладена до центру мас. У таких ситуаціях центр мас називають центром тяжкості.

Стійкому положенню рівноваги відповідає мінімум потенційної енергії тіла.

б. Якщо при невеликих відхиленнях від положення рівноваги на тіло починають діяти сили в напрямку рівноваги, то положення рівноваги є нестійким. Нестійкому положенню рівноваги відповідає відносний максимум потенційної енергії тіла (рис.76).

в. Сідлоподібною є така рівновага, коли при русі по одному ступені свободи рівновага тіла стійка, а при русі по іншому ступені свободи – нестійка. У ситуації, показаній на малюнку 77, положення тіла по відношенню до координати xє стійким, а стосовно координати y- Нестійким.

м.Якщо при відхиленні тіла від положення рівноваги не виникає жодних сил, які прагнуть змістити тіло в тому чи іншому напрямку, то положення рівноваги називається байдужим. Наприклад, куля у полі сили тяжіння на еквіпотенційній поверхні, тверде тіло, підвішене в точці центру мас (у точці центру тяжіння) (рис.78).

§ 89. Вільний гіроскоп та його основні властивості

Гіроскопом називається тіло, що швидко обертається навколо своєї осі симетрії, причому вісь, навколо якої відбувається обертання, може змінювати своє положення в просторі. Гіроскоп є масивним диском, який практично у всіх сучасних навігаційних приладах приводиться в обертання електричним шляхом, будучи ротором електродвигуна.

Мал. 120.

Гіроскоп, у якого можливі обертання навколо трьох зазначених осей, називається гіроскопом із трьома ступенями свободи. Точка перетину цих осей називається точкою підвісу гіроскопа. Гіроскоп з трьома ступенями свободи, у якого центр ваги всієї системи, що складається з ротора та карданних кілець, збігається з точкою підвісу, називається врівноваженим,або ас татичним,гіроскопом.

Врівноважений гіроскоп, до якого не прикладаються зовнішні моменти, що обертають, називається вільнимгіроскопом.

Вільний гіроскоп завдяки швидкому обертанню набуває властивостей, що широко використовуються у всіх гіроскопічних приладах. Основними властивостями вільного гіроскопа є властивості стійкості та прецесії.

Перше у тому, що головна вісь вільного гіроскопа прагне зберегти спочатку заданий їй напрям щодо світового простору. Стійкість головної осі тим більша, чим точніше центр ваги системи збігається з точкою підвісу, чим менше сили тертя в осях карданова підвісу і чим більша вага гіроскопа, його діаметр і швидкість обертання. Величина, яка характеризує гіроскоп з цієї якісної сторони, називається кінетичним моментом гіроскопа та визначається добутком моменту інерції гіроскопа на його кутову швидкість обертання, тобто.

Q – кутова швидкість обертання.

При конструюванні гіроскопічних приладів прагнуть досягти значної величини кінетичного моменту Н шляхом надання ротору гіроскопа особливого профілю, а також збільшення кутової швидкості його обертання. Так, у сучасних гірокомпасах ротори гіромоторів мають швидкість обертання від 6000 до 30 000 об/хв.

Мал. 121.

Вперше це властивість гіроскопа демонструвалося відомим французьким фізиком Леоном Фуко в 1852 р. Йому належить ідея використання гіроскопа як прилад визначення напрями руху й у визначення широти судна у морі.

Властивість прецесії полягає в тому, що під дією сили, прикладеної до карданових кільців, головна вісь гіроскопа переміщається в площині, перпендикулярній до дії сили (рис. 121).

Такий рух гіроскопа називається прецесійним. Прецесійний рух відбуватиметься протягом усього часу дії зовнішньої сили та припиняється із припиненням її дії. Напрямок прецесійного руху визначається за допомогою правила полюсів, яке формулюється наступним чином: при додатку до гіроскопа моменту зовнішньої сили полюс гіроскопа найкоротшим шляхом прагне полюса сили. Полюсом гіроскопа називається той кінець його головної осі, з боку якого обертання гіроскопа спостерігається тим, що відбувається проти годинникової стрілки. Полюсом сили називається той кінець осі гіроскопа, щодо якої прикладена зовнішня сила прагне повернути гіроскоп проти годинникової стрілки.

На рис. 121 прецесійний рух гіроскопа вказано стрілкою.

Кутова швидкість прецесії може бути підрахована за формулою