Теорема про зміну кількості руху механічної системи. Кількість руху
§1. Кількість руху системи (імпульс системи)
Кількість руху (імпульс тіла) - Векторна фізична величина, що дорівнює добутку маси тіла на його швидкість:
Імпульс (кількість руху) – одна з найбільш фундаментальних характеристик руху тіла чи системи тіл.
Запишемо II закон Ньютона в іншій формі, враховуючи, що прискоренняТоді отже
Твір сили на час її дії дорівнює збільшенню імпульсу тіла:
Де- Імпульс сили, який показує, що результат дії сили залежить не тільки від її значення, а й від тривалості її дії.
Кількість руху системи (імпульсом) будемо називати векторну величину , рівну геометричній сумі (головному вектору) кількостей руху (імпульсів) усіх точок системи (Рис.2):
З креслення видно, що незалежно від величин швидкостей точок системи (якщо ці швидкості не паралельні) векторможе приймати будь-які значення і навіть дорівнювати нулю, коли багатокутник, побудований з векторів, замкнеться. Отже, за величиноюне можна повністю судити про характер руху системи.
Рис.2.Кількість руху системи
§2. Теорема про зміну кількості руху (імпульсу)
Нехай на тіло масою m протягом деякого малого проміжку часу Δt діяла сила Під дією цієї сили швидкість тіла змінилася на 
Отже, протягом Δt тіло рухалося з прискоренням:
|
З основного закону динаміки(Другого закону Ньютона) слідує:
§3. Закон збереження кількості руху (закон збереження імпульсу)
З теореми про зміну кількості руху системи можна отримати такі важливі наслідки:
1) Нехай сума всіх зовнішніх сил, що діють на замкнуту систему, дорівнює нулю:
Тоді з рівнянняслід, що Q = = const. Таким чином, якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на замкнуту систему, дорівнює нулю, вектор кількості руху (імпульсу) системи буде постійний по модулю і напрямку.
2) Нехай зовнішні сили, що діють на систему, такі, що сума їх проекцій на якусь вісь (наприклад Про x ) дорівнює нулю:
Тоді з рівнянняслід, що у своїйQ x= const. Таким чином, якщо сума проекцій всіх діючих зовнішніх сил на якусь вісь дорівнює нулю, то проекція кількості руху (імпульсу) системи на цю вісь є постійною величиною.
Ці результати і висловлюють закон збереження кількості руху системи:за будь-якого характеру взаємодії тіл, що утворюють замкнуту систему, вектор повного імпульсу цієї системи постійно залишається постійним.
З них випливає, що внутрішні сили змінити сумарну кількість руху системи не можуть.
Закон збереження повного імпульсу ізольованої системи – універсальний закон природи. У більш загальному випадку, коли система незамкнута,слід, що повний імпульс незамкнутої системи залишається постійним. Його зміна за одиницю часу дорівнює геометричній сумі всіх зовнішніх сил.
Розглянемо деякі приклади:
а) Явище віддачі чи отката. Якщо розглядати гвинтівку та кулю як одну систему, то тиск порохових газів при пострілі буде силою внутрішньою. Ця сила не може змінити сумарну кількість руху системи. Але оскільки порохові гази, діючи на кулю, повідомляють їй деяку кількість руху, спрямовану вперед, вони одночасно повинні повідомити гвинтівці таку ж кількість руху в зворотному напрямку. Це викличе рух гвинтівки тому, тобто. так звану віддачу. Аналогічне явище виходить при стрільбі зі зброї (відкат).
б) Робота гребного гвинта (пропелера). Гвинт повідомляє деяку масу повітря (або води) рух уздовж осі гвинта, відкидаючи цю масу назад. Якщо розглядати масу, що відкидається, і літак (або судно) як одну систему, то сили взаємодії гвинта і середовища як внутрішні не можуть змінити сумарну кількість руху цієї системи. Тому при відкиданні маси повітря (води) назад літак (або судно) отримує відповідну швидкість руху вперед, таку, що загальна кількість руху системи, що розглядається, залишиться рівним нулю, так як воно було нулем до початку руху.
Аналогічний ефект досягається дією весел чи гребних коліс.
в) Реактивний рух. У реактивному снаряді (ракеті) газоподібні продукти горіння палива з великою швидкістю викидаються з отвору хвостової частини ракети (із сопла реактивного двигуна). Сила тиску, що діє при цьому, будуть силами внутрішніми, і вони не можуть змінити сумарну кількість руху системи ракета - продукти горіння палива. Але оскільки гази, що вириваються, мають відому кількість руху, спрямоване назад, то ракета отримує при цьому відповідну швидкість руху вперед.
Запитання для самоперевірки:
Як формулюється теорема про зміну кількості руху системи?
Запишіть математичний вираз теореми про зміну кількості руху механічної системи у диференційній та інтегральній формі.
У якому разі кількість руху механічної системи змінюється?
Як визначається імпульс змінної сили протягом кінцевого проміжку часу? Що характеризує імпульс сили?
Чому рівні проекції імпульсу постійної та змінної сили на осі координат?
Чому дорівнює імпульс рівнодіючої?
Як змінюється кількість руху точки, що рухається рівномірно по колу?
Що називається кількістю руху механічної системи?
Чому дорівнює кількість руху маховика, що обертається навколо нерухомої осі, що проходить через його центр тяжіння?
За яких умов кількість руху механічної системи не змінюється? За яких умов не змінюється його проекція на певну вісь?
Чому відбувається відкат зброї під час пострілу?
Чи можуть внутрішні сили змінити кількість руху системи чи кількість її частини?
Від яких чинників залежить швидкість руху ракети?
Чи залежить кінцева швидкість ракети від часу згоряння палива?
Перегляд:ця стаття прочитана 23264 разів
Pdf Оберіть мову... Українська Українська Англійська
Короткий огляд
Повністю матеріал завантажується вище, попередньо вибравши мову
Механічною системою матеріальних точокабо тіл називається така їх сукупність, в якій положення та рух кожної точки (або тіла) залежить від становища та руху інших.
Матеріальне тіло розглядається як система матеріальних точок (часток), які утворюють це тіло.
Зовнішніми силаминазивають такі сили, що діють на точки чи тіла механічної системи з боку точок чи тіл, що не належать даній системі.
Внутрішніми силами, називають такі сили, які діють точки або тіла механічної системи з боку точок або тіл тієї ж системи, тобто. з якими точки чи тіла даної системи взаємодіють між собою.
Зовнішні та внутрішні сили системи, у свою чергу, можуть бути активними та реактивними.
Маса системидорівнює алгебраїчній сумі мас усіх точок або тіл системи У однорідному полі тяжкості, для якого, вага будь-якої частинки тіла пропорційна її масі. Тому розподіл мас у тілі можна визначити за положенням його центру тяжкості – геометричної точки Зкоординати якої називають центром мас або центром інерції механічної системи
Теорема про рух центру мас механічної системи: центр мас механічної системи рухається як матеріальна точка, маса якої дорівнює масі системи, і до якої прикладені всі зовнішні сили, що діють на систему
Висновки:
- Механічну систему чи тверде тіло можна як матеріальну точку залежно від характеру її руху, а чи не від її розмірів.
- Внутрішні сили не враховуються теоремою руху центру мас.
- Теорема про рух центру мас не характеризує обертальний рух механічної системи, а лише поступальний
Закон про збереження руху центру мас системи:
1. Якщо сума зовнішніх сил (головний вектор) постійно дорівнює нулю, центр мас механічної системи перебуває у спокої чи рухається рівномірно і прямолінійно.
2. Якщо сума проекцій всіх зовнішніх сил на якусь вісь дорівнює нулю, то проекція швидкості центру мас системи на цю саму вісь величина стала.
Теорема про зміну кількості руху.
Кількість руху матеріальної точкиі - векторна величина, яка дорівнює добутку маси точки вектор її швидкості.
Одиницею виміру кількості руху є (кг м/с).
Кількість руху механічної системи- Векторна величина, що дорівнює геометричній сумі (головному вектору) кількості руху всіх точок системи.або кількість руху системи дорівнює добутку маси всієї системи на швидкість її центру мас
Коли тіло (або система) рухається так, що її центр мас нерухомий, кількість руху тіла дорівнює нулю (приклад, обертання тіла навколо нерухомої осі, яка проходить через центр мас тіла).
Якщо рух тіла складний, то не характеризуватиме обертальну частину руху при обертанні навколо центру мас. Тобто, кількість руху характеризує лише поступальний рух системи (разом із центром мас).
Імпульс силихарактеризує дію сили протягом певного проміжку часу.
Імпульс сили за кінцевий проміжок часу визначається як інтегральна сума відповідних елементарних імпульсів
Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки:
(у диференційній формі): Похідна за часом від кількості руху матеріальної точки дорівнює геометричній сумі діючих на точки сил
(в інтегральній формі): Зміна кількості руху за деякий проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів сил, прикладених до точки за той самий проміжок часу.
Теорема про зміну кількості руху механічної системи
(У диференціальній формі): Похідна за часом від кількості руху системи дорівнює геометричній сумі всіх діючих на систему зовнішніх сил.
(в інтегральній формі): Зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів, що діють на систему зовнішніх сил, за той самий проміжок часу.
Теорема дозволяє виключити із розгляду свідомо невідомі внутрішні сили.
Теорема про зміну кількості руху механічної системи та теорема про рух центру мас є двома різними формами однієї теореми.
Закон збереження кількості руху системи.
- Якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, вектор кількості руху системи буде постійним за напрямом і по модулю.
- Якщо сума проекцій всіх діючих зовнішніх сил будь-яку довільну вісь дорівнює нулю, то проекція кількості руху цього вісь є величиною постійної.
Закони збереження свідчать, що внутрішні сили що неспроможні змінити сумарну кількість руху системи.
- Класифікація сил, що діють на механічну систему
- Властивості внутрішніх сил
- Маса системи. Центр мас
- Диференціальні рівняння руху механічної системи
- Теорема про рух центру мас механічної системи
- Закон про збереження руху центру мас системи
- Теорема про зміну кількості руху
- Закон збереження кількості руху системи
Мова: російська, українська
Розмір: 248К
Приклад розрахунку прямозубої циліндричної передачі
Приклад розрахунку прямозубої циліндричної передачі. Виконаний вибір матеріалу, розрахунок напруг, що допускаються, розрахунок на контактну і згинальну міцність.
Приклад розв'язання задачі на вигин балки
У прикладі побудовані епюри поперечних сил і згинальних моментів, знайдено небезпечний переріз і підібрано двотавр. У задачі проаналізовано побудову епюр за допомогою диференціальних залежностей, проведено порівняльний аналіз різних поперечних перерізів балки.
Приклад розв'язання задачі на кручення валу
Завдання полягає в перевірці міцності сталевого валу при заданому діаметрі, матеріалі і напругах, що допускаються. У ході рішення будуються епюри моментів, що крутять, дотичних напруг і кутів закручування. Власна вага валу не враховується
Приклад розв'язання задачі на розтягування-стиснення стрижня
Завдання полягає в перевірці міцності сталевого стрижня при заданих напругах, що допускаються. У ході рішення будуються епюри поздовжніх сил, нормальних напружень та переміщень. Власна вага стрижня не враховується
Застосування теореми про збереження кінетичної енергії
Приклад вирішення завдання застосування теореми про збереження кінетичної енергії механічної системи
Визначення швидкості та прискорення точки за заданими рівняннями руху
Приклад розв'язання задачі на визначення швидкості та прискорення точки за заданими рівняннями руху
Визначення швидкостей та прискорень точок твердого тіла при плоскопаралельному русі
Приклад розв'язання задачі на визначення швидкостей та прискорень точок твердого тіла при плоскопаралельному русі
Кількість руху системиназивають геометричну суму кількостей руху всіх матеріальних точок системи
Для з'ясування фізичного змісту (70) обчислимо похідну від (64)
.
(71)
Вирішуючи спільно (70) і (71), отримаємо
.
(72)
Таким чином, вектор кількості руху механічної системи визначається добутком маси системи на швидкість її центру мас.
Обчислимо похідну від (72)
.
(73)
Вирішуючи спільно (73) і (67), отримаємо
.
(74)
Рівняння (74) виражає таку теорему.
Теорема: Похідна часу від вектора кількості руху системи дорівнює геометричній сумі всіх зовнішніх сил системи.
При розв'язанні задач рівняння (74) необхідно спроектувати на координатні осі:
.
(75)
З аналізу (74) та (75) випливає наступний закон збереження кількості руху системи: Якщо сума всіх сил системи дорівнює нулю, вектор кількості руху її зберігає свою величину і напрямок.
Якщо 
, то 
,Q
=
const
.
(76)
В окремому випадку цей закон може виконувати вздовж однієї з координатних осей.
Якщо 
, то, Q z =
const.
(77)
Теорему про зміну кількості руху доцільно використовувати у тих випадках, коли в систему входять рідкі та газоподібні тіла.
Теорема про зміну кінетичного моменту механічної системи
Кількість руху характеризує лише поступальну складову руху. Для характеристики обертального руху тіла запроваджено поняття головного моменту кількостей руху системи щодо заданого центру (кінетичного моменту).
Кінетичним моментом системищодо даного центру називається геометрична сума моментів кількостей руху всіх його точок щодо того ж центру
.
(78)
Проектуючи (22) на осі координат можна отримати вираз кінетичного моменту щодо координатних осей
.
(79)
Кінетичний момент тіла щодо осейдорівнює добутку моменту інерції тіла щодо цієї осі на кутову швидкість тіла
.
(80)
З (80) випливає, що кінетичний момент характеризує лише обертальну складову руху.
Характеристикою обертальної дії сили є момент щодо осі обертання.
Теорема про зміну кінетичного моменту встановлює взаємозв'язок між характеристикою обертального руху та силою, що викликає цей рух.
Теорема: Похідна за часом від вектора кінетичного моменту системи щодо деякого центру дорівнює геометричній сумі моментів усіх зовнішніх сил системи щодотого ж центру
.
(81)
Під час вирішення інженерних завдань (81) необхідно спроектувати на координатні осі
Їх аналізу (81) та (82) випливає закон збереження кінетичного моменту: Якщо сума моментів всіх зовнішніх сил щодо центру (або осі) дорівнює нулю, то кінетичний момент системи щодо цього центру (або осі) зберігає свою величину та напрямок.
,
або 
Кінетичний момент не можна змінити дією внутрішніх сил системи, але з цих сил можна змінити момент інерції, отже кутову швидкість.
Аналогічно тому, як однієї матеріальної точки, виведемо теорему про зміну кількості руху для системи у різних формах.
Перетворимо рівняння (теорема про рух центу мас механічної системи)
наступним чином:
;
Отримане рівняння висловлює теорему про зміну кількості руху механічної системи в диференціальній формі: похідна від кількості руху механічної системи за часом дорівнює головному вектору зовнішніх сил, що діють на систему .
У проекціях на декартові осі координат:
; 
; 
.
Беручи інтеграли від обох частин останніх рівнянь за часом, отримаємо теорему про зміну кількості руху механічної системи в інтегральній формі: зміна кількості руху механічної системи та імпульсу головного вектора зовнішніх сил, що діють на систему .
.
Або в проекціях на декартові осі координат:
; 
; 
.
Наслідки з теореми (закони збереження кількості руху)
Закон збереження кількості руху виходять як окремі випадки теореми про зміну кількості руху для системи залежно від особливостей системи зовнішніх сил. Внутрішні сили можуть бути будь-якими, оскільки вони не впливають зміни кількості руху.
Можливі два випадки:
1. Якщо векторна сума всіх зовнішніх сил, прикладених до системи, дорівнює нулю, то кількість руху системи постійно за величиною та напрямом
2. Якщо дорівнює нулю проекція головного вектора зовнішніх сил на якусь координатну вісь та/або та/або , то проекція кількості руху на ці ж осі є постійною величиною, тобто. та/або та/або відповідно.
Аналогічні записи можна зробити й у матеріальної точки й у матеріальної точки.
Умова задачі. Зі зброї, маса якої М, вилітає у горизонтальному напрямку снаряд маси mзі швидкістю v. Знайти швидкість Vзнаряддя після пострілу.
Рішення. Усі зовнішні сили, що діють на механічну систему знаряддя-снаряд, вертикальні. Отже, виходячи з слідства з теореми про зміну кількості руху системи, маємо: .
Кількість руху механічної системи до пострілу:
Кількість руху механічної системи після пострілу:
.
Прирівнюючи праві частини виразів, отримаємо, що
.
Знак «-» в отриманій формулі вказує на те, що після пострілу зброя відкотиться в напрямку протилежному осі Ox.
ПРИКЛАД 2. Струмінь рідини щільністю витікає зі швидкістю V з труби з площею поперечного перерізу F і вдаряється під кутом вертикальну стінку. Визначити тиск рідини на стіну.
РІШЕННЯ. Застосуємо теорему про зміну кількості руху в інтегральній формі до об'єму рідини масою mхто ударяється об стіну за деякий проміжок часу t.
РІВНЯННЯ МЕЩЕРСЬКОГО
(Основне рівняння динаміки тіла змінної маси)
У сучасній техніці виникають випадки, коли маса точки та системи не залишається постійною у процесі руху, а змінюється. Так, наприклад, при польоті космічних ракет, внаслідок викидання продуктів згоряння та окремих непотрібних частин ракет, зміна маси досягає 90-95% загальної початкової величини. Не лише космічна техніка може бути прикладом динаміки руху змінної маси. У текстильній промисловості відбувається значні зміни маси різних веретен, шпуль, рулонів за сучасних швидкостей роботи верстатів і машин.
Розглянемо основні особливості, пов'язані зі зміною маси, з прикладу поступального руху тіла змінної маси. До тіла змінної маси не можна безпосередньо застосувати основний закон динаміки. Тому отримаємо диференціальні рівняння руху точки змінної маси, застосовуючи теорему про зміну кількості руху системи.
Нехай точка масою m+dmрухається зі швидкістю. Потім відбувається відрив від точки деякої частки масою dmщо рухається зі швидкістю.
Кількість руху тіла до відриву частки:
Кількість руху системи, що складається з тіла і частки, що відірвалася, після її відриву:
Тоді зміна кількості руху:
Виходячи з теореми про зміну кількості руху системи:
Позначимо величину - відносна швидкість частки:
Позначимо 
Величину Rназивають реактивною силою. Реактивна сила є тягою двигуна, зумовлена викидом газу із сопла.
Остаточно отримаємо
-
Ця формула виражає основне рівняння динаміки тіла змінної маси (формула Мещерського). З останньої формули випливає, що диференціальні рівняння руху точки змінної маси мають такий самий вигляд, як і для точки постійної маси, крім доданих до точки додатково реактивної сили, обумовленої зміною маси.
Основне рівняння динаміки тіла змінної маси свідчить у тому, що прискорення цього тіла формується як рахунок зовнішніх сил, а й рахунок реактивної сили.
Реактивна сила - це сила, споріднена з тією, яку відчуває людина, що стріляє - при стрільбі з пістолета вона відчувається пензлем руки; при стрільбі з рушниці сприймається плечем.
Перша формула Ціолковського (для одноступінчастої ракети)
Нехай точка змінної маси або ракета рухається прямолінійно під дією лише реактивної сили. Тому що для багатьох сучасних реактивних двигунів 
, де - максимально допустима конструкцією двигуна реактивна сила (тяга двигуна); - Сила тяжіння, що діє на двигун, що знаходиться на земній поверхні. Тобто. викладене дозволяє складової у рівнянні Мещерського знехтувати та до подальшого аналізу прийняти це рівняння у формі:
Позначимо:
Запас палива (при рідинних реактивних двигунах - суха маса ракети (що її маса після вигоряння всього палива);
Маса частинок, що відокремилися від ракети; розглядається як змінна величина, що змінюється від до .
Запишемо рівняння прямолінійного руху точки змінної маси у такому вигляді
.
Оскільки формула визначення змінної маси ракети
Отже, рівняння руху точки 
Беручи інтеграли від обох частин отримаємо
де - характеристична швидкість- Це швидкість, яку набуває ракета під дією тяги після виверження з ракети всіх частинок (при рідинних реактивних двигунах - після вигоряння всього палива).
Винесена за знак інтеграла (що можна робити на підставі відомої з вищої математики теореми про середнє) - це середня швидкість частинок, що вивергаються з ракети.
та механічної системи
Кількість руху матеріальної точки – це векторна міра механічного руху, що дорівнює добутку маси точки на її швидкість, . Одиниця виміру кількості руху у системі СІ – 
. Кількість руху механічної системи дорівнює сумі кількостей рухів усіх матеріальних точок, що утворюють систему:
.
(5.2)
Перетворимо отриману формулу
.
Згідно з формулою (4.2) 
тому
.
Таким чином, кількість руху механічної системи дорівнює добутку її маси на швидкість центру мас:
.
(5.3)
Оскільки кількість руху системи визначається рухом лише однієї її точки (центру мас), вона може бути повною характеристикою руху системи. Дійсно, за будь-якого руху системи, коли її центр мас залишається нерухомим, кількість руху системи дорівнює нулю. Наприклад, це має місце при обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі, що проходить через центр мас.
Введемо систему відліку Cxyz, що має початок у центрі мас механічної системи Зі поступово, що рухається відносно інерційної системи 
(Рис. 5.1). Тоді рух кожної точки 
можна розглядати як складне: переносний рух разом із осями Cxyzта рух щодо цих осей. З огляду на поступальність руху осей Cxyzпереносна швидкість кожної точки дорівнює швидкості центру мас системи, і кількість руху системи, що визначається за формулою (5.3), характеризує лише її поступальний переносний рух.
5.3. Імпульс сили
Для характеристики дії сили за деякий проміжок часу використовують величину, яка називається імпульсом сили . Елементарний імпульс сили – це векторний захід дії сили, що дорівнює добутку сили на елементарний проміжок часу її дії:
.
(5.4)
Одиниця виміру імпульсу сили у системі СІ дорівнює 
, тобто. розмірності імпульсу сили та кількості руху однакові.
Імпульс сили за кінцевий проміжок часу 
дорівнює певному інтегралу від елементарного імпульсу:
.
(5.5)
Імпульс постійної сили дорівнює добутку сили на час її дії:
.
(5.6)
У загальному випадку імпульс сили може бути визначений за його проекціями на координатні осі:
.
(5.7)
5.4. Теорема про зміну кількості руху
матеріальної точки
В основному рівнянні динаміки (1.2) маса матеріальної точки – величина постійна, її прискорення 
, що дає можливість записати це рівняння у вигляді:
.
(5.8)
Отримане співвідношення дозволяє сформулювати теорему про зміну кількості руху матеріальної точки у диференційній формі: Похідна за часом від кількості руху матеріальної точки дорівнює геометричній сумі (головному вектору) сил, що діють на точку,.
Тепер отримаємо інтегральну форму цієї теореми. Зі співвідношення (5.8) випливає, що
.
Проінтегруємо обидві частини рівності в межах, що відповідають моментам часу 
і 
,
.
(5.9)
Інтеграли у правій частині є імпульсами сил, що діють на точку, тому після інтегрування лівої частини отримаємо
.
(5.10)
Таким чином, доведено теорема про зміну кількості руху матеріальної точки в інтегральній формі: Зміна кількості руху матеріальної точки за деякий проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів діючих на точку сил за той самий проміжок часу.
Векторному рівнянню (5.10) відповідає система трьох рівнянь у проекціях на координатні осі:
;
;
(5.11)
.
приклад 1.
Тіло рухається поступально по похилій площині, що утворює кут з горизонтом. У початковий момент часу воно мало швидкість 
, спрямовану вгору похилою площиною (рис. 5.2).
Через який час швидкість тіла стане рівною нулю, якщо коефіцієнт тертя дорівнює f ?
Приймемо тіло, що поступово рухається, за матеріальну точку і розглянемо діючі на нього сили. Це сила тяжіння 
, нормальна реакція площини 
і сила тертя 
. Направимо вісь xвздовж похилої площини вгору та запишемо 1-е рівняння системи (5.11)
де проекції кількостей руху, а проекції імпульсів постійних сил 
,
і 
рівні творам проекцій сил на час руху:
Оскільки прискорення тіла спрямоване вздовж похилої площини, сума проекцій на вісь yвсіх сил, що діють на тіло, дорівнює нулю: 
звідки випливає, що 
. Знайдемо силу тертя
та з рівняння (5.12) отримаємо
звідки визначимо час руху тіла
.