Елементи теорії визначників та матриці. Теорія Матриць та Визначників

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Елементи теорії визначників

Визначник - це число, записане у вигляді квадратної таблиці чисел, що обчислюється за певними правилами.

Наприклад, кожна з наведених таблиць (1.1) складається з рівного числа рядків і стовпців і є числом, правила обчислення якого будуть розглянуті нижче.

Число рядків та стовпців визначає порядок визначника. Так, визначник 1.1а) – третього порядку, визначник 1.1б) – другого порядку, 1.1в) – першого порядку. Як видно, визначник першого порядку – це саме число.

Прямі вертикальні дужки на краях таблиці - знак і символ визначника. Чи позначається визначник великою літерою грецького алфавіту? (Дельта).

У загальному вигляді визначник n-го порядку записується так:

Кожен елемент а ijвизначника має два індекси: перший індекс iвказує номер рядка, другий j- Номер стовпця, на перетині яких знаходиться елемент. Так, для визначника 1.1а) елементи а 11 , а 22 , а 23 , а 32 відповідно дорівнюють 2, 5, 4, 3.

Визначник 2-го порядку обчислюється за формулою

Визначник 2-го порядку дорівнює добутку елементів, які перебувають на головній діагоналі мінус добуток елементів, які перебувають на побічній діагоналі.

Для обчислення визначника 3-го порядку застосовується метод трикутників і метод Саррюса. Але зазвичай на практиці для обчислення визначника 3-го порядку застосовується так званий спосіб ефективного зниження порядку, який буде розглянутий нижче.

Метод трикутників

При обчисленні визначника цим способом зручно скористатися графічним його представленням. На рис. 1.1 та 1.2 елементи визначника 3-го порядку схематично зображені точками.

Мал. 1.1 Мал. 1.2

При обчисленні визначника слідує добуток елементів, з'єднаних прямими за схемою рис. 1.1 взяти зі знаком «плюс», а добуток елементів, з'єднаних за схемою рис. 1.2 взяти зі знаком «мінус». В результаті цих дій формула, за якою здійснюється обчислення, має вигляд:

Обчислити визначник 3-го порядку.

Метод Саррюса

Для його реалізації треба праворуч від визначника приписати два перші стовпці, скласти твори елементів, що стоять на головній діагоналі і на прямих, паралельних їй, і взяти їх зі знаком «плюс». Потім скласти твори елементів, що стоять на побічній діагоналі та паралельних до неї зі знаком «мінус».

Схема обчислення визначника методом Саррюса.

Обчислити визначник, наведений у прикладі 1.2, методом Саррюса.

Мінор та алгебраїчне доповнення елемента визначника

Мінором М ijелемента а ijназивається визначник ( n-1) - го порядку, отриманий з визначника n-го порядку шляхом викреслення i-ого рядка та j-го стовпця (тобто викреслюванням рядка та стовпця, на перетині яких знаходиться елемент а ij).

Знайти мінор елементів а 23 і а 34 визначника 4-го порядку.

Елемент а 23 знаходиться у 2-му рядку та 3-му стовпці. У цьому прикладі а 23 =4. Викреслюючи на перетині цього елемента 2-й рядок і 3-й стовпець (показано у методичних цілях вертикальною та горизонтальною пунктирними лініями), отримаємо мінор М 23 цього елемента. Це буде визначник 3-го порядку.

При обчисленні мінорів операцію викреслення рядка та стовпця роблять подумки. Зробивши це, отримаємо

Алгебраїчним доповненням А ijелемента а ijвизначника n-го порядку називається мінор цього елемента, взятий зі знаком (-1) i + j, де i+ j- сума номерів рядка та стовпця, яким належить елемент а ij. Тобто. за визначенням А ij=(-1) i + jМ ij

Зрозуміло, що якщо сума i+ j- число парне, то А ij=М ij, якщо i+ j- Число непарне, то А ij= - М ij.

Для визначника знайти алгебраїчні доповнення елементів а 23 і а 31 .

Для елемента а 23 i=2, j=3 і i+ j=5 число непарне, звідси

Для елемента а 31 i=3, j=1 і i+ j=4 число парне, отже

Властивості визначників

1. Якщо у визначнику поміняти місцями два будь-які паралельні ряди (два рядки або два стовпці), знак визначника змінюється на протилежний

Поміняли місцями 2 паралельні стовпці (1-й та 2-й).

Поміняли місцями 2 паралельні рядки (1-й і 3-й).

2. Загальний множник елементів будь-якого ряду (рядки чи шпальти) можна виносити за знак визначника.

Властивості рівності визначника нулю

3. Якщо всі елементи деякого ряду у визначнику дорівнюють нулю, такий визначник дорівнює нулю.

4. Якщо у визначнику елементи будь-якого ряду пропорційні елементам паралельного ряду, визначник дорівнює нулю.

Властивості інваріантності (незмінності) визначника.

5. Якщо в визначнику поміняти місцями рядки та стовпці, визначник не зміниться.

6. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого ряду додати елементи будь-якого паралельного ряду, помноживши попередньо деяке число.

Властивість 6 широко застосовується для обчислення визначників так званим методом ефективного зниження порядку. При застосуванні цього методу необхідно в одному рядку (одному рядку або стовпці) привести всі елементи, крім одного до нуля. Відмінний від нуля елемент визначника дорівнюватиме нулю, якщо його скласти з рівним за величиною, але протилежним за знаком числом.

Покажемо з прикладу, як це робиться.

Користуючись властивостями 2 і 6, привести визначник до визначника, що має в якомусь ряду два нулі.

Користуючись властивістю 2, спростимо визначник, винісши 2 з 1-го рядка, 4 з 2-го рядка і 2 з 3-го рядка як загальні множники.

Т.к. елемент а 22 дорівнює нулю, то для вирішення завдання достатньо привести до нуля якийсь елемент у 2-му рядку або 2-му стовпці. Зробити це можна кількома способами.

Наприклад, наведемо елемент а 21 = 2 до нуля. Для цього на підставі властивості 6 помножимо весь третій стовпець (-2) і складемо з першим. Виконавши цю операцію, отримаємо

Можна привести до нуля елемент а 12 =2 тоді ми отримаємо два елементи, рівних нулю, у другому стовпці. Для цього потрібно 3-й рядок помножити на (-2) і отримані значення скласти з першим рядком

Обчислення визначника будь-якого порядку

Правило для обчислення визначника будь-якого порядку ґрунтується на теоремі Лапласа.

Теорема Лапласа

Визначник дорівнює сумі попарних творів елементів будь-якого ряду (рядки чи стовпця) з їхньої алгебраїчні доповнення.

Відповідно до цієї теореми визначник може бути обчислений шляхом його розкладання або за елементами будь-якого рядка або стовпця.

У загальному вигляді визначник n-го порядку можна розкласти та обчислити такими способами:

Обчислити визначник по теоремі Лапласа шляхом розкладання його за елементами 3-го рядка та елементами 1-го стовпця.

Обчислюємо визначник шляхом розкладання його по 3-му рядку

Обчислимо визначник шляхом розкладання його за першим стовпцем

Метод ефективного зниження порядку

Трудомісткість обчислення визначника по теоремі Лапласа буде істотно менше, якщо в його розкладанні або рядку або стовпцю буде лише один доданок. Таке розкладання вийде, якщо в рядку (або в стовпці), по якому розкладається визначник, всі елементи, крім одного, дорівнюють нулю. Спосіб «обнулення» елементів визначника було розглянуто раніше.

Обчислити визначник шляхом ефективного зниження порядку.

Т.к. визначник 3-го порядку, то «обнулили» будь-які 2 елементи визначника. Зручно для цієї мети взяти 2-й стовпець, елемент якого а 22 = - 1. Для того, щоб елемент а 21 дорівнював нулю, слід 1-й стовпець скласти з 2-м. Для того, щоб елемент а 23 дорівнював нулю, потрібно 2-й стовпець помножити на 2 і скласти з 3-м. Після виконання цих операцій заданий визначник перетворюється на визначника

Тепер цей визначник розкладаємо по 2-му рядку

Обчислення визначника привїдою його до трикутного вигляду

Визначник, у якого всі елементи, що знаходяться вище або нижче за головну діагональ дорівнюють нулю, називається визначником трикутного вигляду. І тут визначник дорівнює добутку його елементів головної діагоналі.

Приведення визначника до трикутного вигляду завжди можливе на підставі його властивостей.

Дано визначник. Привести його до трикутного вигляду та обчислити.

"Обнулим", наприклад, всі елементи, розташовані вище головної діагоналі. Для цього потрібно виконати три операції: 1-я операція - складемо перший рядок з останнього, отримаємо а 13 = 0. 2-я операція - помноживши останній рядок на (-2) і склавши з 2-го, отримаємо а 23 = 0. Нижче показано послідовне виконання цих операцій.

Для обнулення елемента а 12 складемо 1-й та 2-й рядки

Елементи теорії матриць

Матрицею називається таблиця чисел або будь-яких інших елементів, що містить mрядків та nстовпців.

Загальний вигляд матриці

Матриця, як і визначник, має елементи, забезпечені подвійним індексом. Сенс індексів той самий, що й для визначників.

Якщо визначник дорівнює числу, то матриця до іншого більш простого об'єкту не дорівнює.

Круглі дужки з обох боків матриці - її знак або символ (але не прямі дужки, якими позначається визначник). Для стислості матриця позначається великими (великими) літерами А, В, Сі т.д.

Матриця має розмір, що визначається її кількістю рядків та стовпців, що записується так - А m n.

Наприклад, числова матриця розміром 23 має вигляд, розміром має 31 вигляд, розміром 14 має вигляд і т.д.

Матриця, в якій число стік дорівнює числу стовпців, називається квадратною. І тут, як й у визначників, говорять про порядок матриці.

Наприклад, числова матриця 3-го порядку має вигляд

Види матриць

Матриця, що складається з одного рядка, називається матрицею-рядком

Матриця, що складається з одного стовпця, називається матрицею-стовпцем

Матриця називається квадратною n-го порядку, якщо число її рядків дорівнює числу стовпців і дорівнює n.

Наприклад, – квадратна матриця 3-го порядку.

Діагональна матриця - квадратна матриця, яка має всі елементи рівні нулю, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі. Головна діагональ - це діагональ, що йде з лівого верхнього кута в правий нижній кут.

Наприклад, – діагональна матриця третього порядку.

Діагональна матриця, всі елементи якої рівні одиниці, називається одиничною і позначається буквою Еабо цифрою 1

Нуль-матриця – матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю.

Верхня трикутна матриця - матриця, всі елементи якої, розташовані нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю.

Нижня трикутна матриця - матриця, всі елементи якої, розташовані вище головної діагоналі, дорівнюють нулю.

Наприклад

Верхня трикутна матриця

Нижня трикутна матриця

Якщо у матриці Арядки поміняти стовпцями, отримаємо транспоновану матрицю, яка позначається символом А*.

Наприклад, задана матриця,

транспонована по відношенню до неї матриця А*

Квадратна матриця Амає визначник, який позначається det A(det - скорочене французьке слово, що означає «визначник»).

Наприклад, для матриці А

її визначник запишемо

Усі операції з визначником матриці самі, що розглянуті раніше.

Матриця, визначник якої дорівнює нулю, називається особливою або виродженою, або сингулярною. Матриця, на яку її визначник не дорівнює нулю, називається неособливою чи невиродженою.

Союзна чи приєднана матриця.

Якщо для заданої квадратної матриці Авизначити алгебраїчні доповнення всіх її елементів і потім транспонувати їх, отримана таким чином матриця буде називатися союзною або приєднаною по відношенню до матриці Ата позначатися символом A

Для матриці знайти A.

Складаємо визначник матриці А

Визначаємо додатки алгебри всіх елементів визначника за формулою

Транспонуючи отримані додатки алгебри, отримуємо союзну або приєднану матрицю Aщодо заданої матриці А.

Дії над матрицями

Рівність матриць

Дві матриці Аі Увважаються рівними, якщо:

а) обидві вони мають один і той самий розмір;

б) відповідні елементи цих матриць рівні між собою. Під відповідними елементами розуміються елементи з одними й тими самими індексами.

Складання та віднімання матриць

Складати та віднімати матриці можна тільки однакової розмірності. Сумою (різницею) двох матриць Аі Убуде третя матриця З, елементи якої З ijрівні сумі (різниці) відповідних елементів матриць Аі У. Відповідно до визначення елементи матриці Зперебувають за правилом.

Наприклад, якщо

Поняття суми (різниці) матриць поширюється будь-яке кінцеве число матриць. При цьому сума матриць підпорядковується таким законам:

а) переміщувальному А + В = В + А;

б) комбінаційному З + (А+В) = (В+С)+ А.

Множення матриці на число.

Щоб помножити матрицю на число, потрібно помножити це число кожен елемент матриці.

Слідство. Загальний множник всіх елементів матриці можна виносити знак матриці.

Наприклад, .

Як видно, дії додавання, віднімання матриць, множення матриці на число аналогічні діям над числами. Множення матриць – операція специфічна.

Добуток двох матриць.

Не всякі матриці можна перемножувати. Добуток двох матриць Аі Уу вказаному порядку А Уможливе лише тоді, коли число стовпців першого множника Адорівнює числу рядків другого множника У.

Наприклад, .

Розмір матриці А 33, розмір матриці У 23. Твір А Унеможливо, твір У Аможливо.

Твір двох матриць А і В є третя матриця, елемент С ij якої дорівнює сумі попарних творів елементів i-того рядка першого множника і j-того стовпця другого множника.

Було показано, що в даному випадку можливий добуток матриць У А

З правила існування добутку двох матриць випливає, що добуток двох матриць у випадку не підпорядковується переміщувальному закону, тобто. А У? У А. Якщо в окремому випадку виявиться, що А В = В А,то такі матриці називаються перестановочними чи коммутативними.

У матричній алгебри добуток двох матриць може бути нульовою матрицею і тоді, коли жодна з матриць співмножників не є нульовою на противагу звичайній алгебрі.

Наприклад, знайдемо твір матриць А У, якщо

Можна перемножувати кілька матриць. Якщо можна перемножити матриці А, Уі добуток цих матриць можна помножити на матрицю З, то можна скласти твір ( А У) Зі А(У З). У такому випадку має місце поєднаний закон щодо множення ( А У) З = А(У З).

зворотна матриця

Якщо дві матриці Аі Уодного й того ж розміру, а їх твір А Ує одинична матриця Е, то матриця називається зворотної до А і позначається А -1 , тобто. А А -1 = Е.

зворотна матриця А -1 дорівнює відношенню союзної матриці Aдо детермінанта матриці А

Звідси видно, що для того, щоб існувала зворотна матриця А -1 необхідно і достатньо, щоб матриця det А? 0, тобто, щоб матриця Абула невиродженою.

Для матриці знайти А -1 .

Визначаємо значення визначника матриці А

Т.к. det А? 0, обернена матриця існує. У прикладі 2.1. для заданого визначника було знайдено союзну матрицю

За визначенням

Ранг матриці

Для вирішення та дослідження низки математичних та прикладних завдань важливе значення має поняття рангу матриці.

Розглянемо матрицю Арозміром m n

Виділимо довільно у матриці Аkрядків та kстовпців. Елементи, що стоять на перетині виділених рядків та стовпців, утворюють квадратну матрицю k-Того порядку. Визначник цієї матриці називається мінором k-Того порядку матриці А. Виділити kрядків та kстовпців можна різними способами, в результаті отримуємо різні мінори k-Того порядку. Мінорами 1-го порядку є елементи. Очевидно, що найбільший можливий порядок мінорів дорівнює найменшому з чисел mі n. Серед утворених мінорів різних порядків будуть такі, що дорівнюють нулю і не дорівнюють нулю.

Найвищий порядок відмінних від нуля мінорів матриці Аназивається рангом матриці.

Ранг матриці Апозначається rang Aабо r( А).

Якщо ранг матриці Адорівнює r, то це означає, що в матриці є відмінний від нуля мінор порядку r, але всякий мінор більшого порядку, ніж rдорівнює нулю.

З визначення рангу матриці випливає, що:

а) ранг матриці A m nне перевищує меншого її розмірів, тобто. r(A) ? min(m, n);

б) r(A) = 0 і тоді, коли всі елементи матриці дорівнюють нулю, тобто. А = 0;

в) для квадратної матриці n-го порядку r(A) = nякщо матриця невироджена.

Розглянемо з прикладу визначення рангу матриці методом обрамляють мінорів. Суть його полягає в послідовному переборі мінорів матриці та віднайдення найвищого порядку відмінного від нуля мінору.

Обчислити ранг матриці.

Для матриці А 3 4 r(A) ? min (3,4) = 3. Перевіримо, чи дорівнює ранг матриці 3, для цього обчислимо всі мінори третього порядку (їх всього 4, вони виходять при викресленні одного зі стовпців матриці).

Оскільки всі мінори третього порядку нульові, r(A) ? 2. Оскільки існує нульовий мінор другого порядку, наприклад

То r(A) = 2.

Будь-який відмінний від нуля мінор матриці, порядок якої дорівнює її рангу, називається базисним мінором цієї матриці.

Матриця може мати не один базовий мінор, а кілька. Проте порядки всіх базисних мінорів однакові і дорівнюють рангу матриці.

Рядки та стовпці, що утворюють базисний мінор, називаються базисними.

Будь-який рядок (стовпець) матриці є лінійною комбінацією базисних рядків (стовпців).

Подібні документи

Поняття та сутність визначників другого порядку. Розгляд основ системи із двох лінійних рівнянь із двома невідомими. Вивчення визначників n-ого порядку та методи їх обчислення. Особливості системи із n лінійних рівнянь із n невідомими.

презентація , доданий 14.11.2014


Визначники другого та третього порядку. Перестановки та підстановки. Мінори та алгебраїчні доповнення. Застосування методів приведення визначника до трикутного вигляду, подання визначника як суми визначників, виділення лінійних множників.

курсова робота , доданий 19.07.2013


Поняття матриці та лінійні дії над ними. Властивості операції складання матриць. Визначники другого та третього порядків. Застосування правила Саррюса. Основні методи вирішення визначників. Елементарні перетворення матриці. Властивості зворотної матриці.

навчальний посібник, доданий 04.03.2010


Завдання та методи лінійної алгебри. Властивості визначників та порядок їх обчислення. Знаходження зворотної матриці методом Гаусса. Розробка обчислювального алгоритму у програмі Pascal ABC для обчислення визначників та знаходження зворотної матриці.

курсова робота , доданий 01.02.2013


Поняття та призначення визначників, їх загальна характеристика, методика обчислення та властивості. Алгебра матриці. Системи лінійних рівнянь та їх вирішення. Векторна алгебра, її закономірності та принципи. Властивості та застосування векторного твору.

контрольна робота , доданий 04.01.2012


Елементи лінійної алгебри. Види матриць та операції з них. Властивості визначників матриці та їх обчислення. Вирішення систем лінійних рівнянь у матричній формі, за формулами Крамера та методом Гауса. Елементи диференціального та інтегрального обчислень.

навчальний посібник, доданий 06.11.2011


Число, що характеризує квадратну матрицю. Обчислення визначника першого та другого порядків матриці. Використання правила трикутників. Алгебраїчне доповнення деякого елемента визначника. Перестановка двох рядків чи стовпців визначника.

презентація , доданий 21.09.2013


Концепція рангу матриці. Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки. Властивості скалярного твору. Розкладання вектора по координатних осях. Мінор та алгебраїчне доповнення. Визначники другого та третього порядку. Площина та пряма у просторі.

курс лекцій, доданий 30.10.2013


Теорія визначників у працях П. Лапласа, О. Коші та К. Якобі. Визначники другого порядку та системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими. Визначники третього порядку та властивості визначників. Вирішення системи рівнянь за правилом Крамера.

презентація , доданий 31.10.2016


Визначники другого та третього порядків, властивості визначників. Два способи обчислення визначника третього порядку. Теорема розкладання. Теорема Крамера, яка дає практичний спосіб розв'язання систем лінійних рівнянь, використовуючи визначники.

Визначники другого та третього порядку.

Числа m і n називаються розмірностямиматриці.

Матриця називається квадратнийякщо m = n. Число n у цьому випадку називають порядкомквадратної матриці.

Кожній квадратній матриці можна поставити у відповідність число, що визначається єдиним чином з використанням всіх елементів матриці. Це число називається визначником.

Визначником другого порядкуназивається число, отримане з допомогою елементів квадратної матриці 2-го порядку так: .

При цьому з твору елементів, що стоять на так званій головній діагоналі матриці (що йде з лівого верхнього в нижній правий кут) віднімається добуток елементів, що знаходяться на другій, або побічної, діагоналі.

Визначником третього порядкуназивається число, яке визначається за допомогою елементів квадратної матриці 3-го порядку наступним чином:

Зауваження. Для того, щоб легше запам'ятати цю формулу, можна використовувати так зване правило Крамера (трикутників). Воно полягає в наступному: елементи, твори яких входять до визначника зі знаком «+», розташовуються так:

Утворюючи два трикутники, симетричні щодо головної діагоналі. Елементи, твори яких входять у визначник зі знаком «-», розташовуються аналогічно щодо побічної діагоналі:

14. Визначники-го порядку. (Визначники вищих порядків)

Визначником n-го порядку, що відповідає матриці n'n,називається число:

Основні методи обчислення визначників:

1) Метод зниження порядку визначника заснований на співвідношенні: (1)

де називається алгебраїчним доповненням елемента -го. Міноромелемента -го називається визначник n-1порядку, що виходить з вихідного визначника викресленням i-того рядка і j-го стовпця.

Співвідношення (1) називається розкладанням визначника по i-Тому рядку. Аналогічно можна записати і розкладання визначника по стовпцю:

Теорема:Для будь-якої квадратної матриці має місце рівність ,

де і – символ Кронекера

2) Метод приведення до трикутного вигляду заснований на сьомому властивості визначників.

Приклад: Обчислити визначник: Віднімемо перший рядок з усіх інших.

3) Метод рекурентних співвідношень дозволяє висловити даний визначник через визначник того ж виду, але нижчого порядку.

Перестановки, інверсії.

Будь-яке розташування чисел 1, 2, ..., nу певному порядку, називається перестановкою з nсимволів (чисел).

Загальний вид перестановки: .

Жодне з не зустрічається у перестановці двічі.

Перестановка називається парної , якщо її елементи становлять парне число інверсій, та непарною в іншому випадку.

Числа k і р у перестановці становлять інверсію (безладдя)якщо k > р, але k стоїть у цій перестановці перед р.

Три властивості перестановок.

Властивість 1:Число різних перестановок дорівнює ( , Читається: « nфакторіал»).

Доведення.Число перестановок збігаються з числом способів, якими можна скласти різні перестановки. При складанні перестановок як j 1 можна взяти будь-яке з чисел 1, 2, …, n, що дає nможливостей. Якщо j 1 вже вибрано, то як j 2 можна взяти одне з тих, що залишилися n– 1 чисел, та кількість способів, якими можна вибрати j 1 та j 2 буде одно і т.д. Останнє число в перестановці можна вибрати лише одним способом, що дає способів, отже, і перестановок.

Властивість 2:Будь-яка транспозиція змінює парність перестановки.

Доведення.Випадок 1.Транспоновані числа перебувають у перестановці поруч, тобто. вона має вигляд (..., k,p, ...), тут трьома крапками (...) відзначені числа, які при транспозиції залишаються на своїх місцях. Транспозиція перетворює її на перестановку виду (..., p, k,...). У цих перестановках кожне із чисел k,рскладає одні й самі інверсії з числами, що залишаються на місцях. Якщо числа kі pраніше не становили інверсії, (тобто. k < р), то в новій перестановці з'явиться ще одна інверсія та кількість інверсій збільшиться на одну; якщо ж kі рстановили інверсію, то після транспозиції кількість інверсій поменшає на одну. У кожному разі парність перестановки змінюється.

Властивість 3:при перестановці визначник змінює знак.

17. Властивості визначників: визначник транспонованої матриці, зміна місцями рядків у визначнику, визначник матриці з однаковими рядками.

Властивість 1.Визначник не змінюється під час транспонування, тобто.

Доведення.

Зауваження. Наступні властивості визначників формулюватимуться лише для рядків. При цьому з властивості 1 випливає, що тими ж властивостями будуть володіти стовпці.

Властивість 6. При перестановці двох рядків визначника він збільшується на –1.

Доведення.

Властивість 4.Визначник, що має два рівні рядки, дорівнює 0:

Доведення:

18. Властивості визначників: розкладання визначника по рядку.

Міноромелементом визначника називається визначник, отриманий з даного шляхом викреслення рядка і стовпця, в яких стоїть обраний елемент.

Позначення: вибраний елемент визначника, його мінор.

приклад. Для

Алгебраїчним доповненнямелемента визначника називається його мінор, якщо сума індексів даного елемента i+j є число парне, чи число, протилежне мінору, якщо i+j непарно, тобто.

Розглянемо ще один спосіб обчислення визначників третього порядку - так зване розкладання рядком або стовпцем. Для цього доведемо таку теорему:

Теорема:Визначник дорівнює сумі творів елементів будь-якого його рядка чи стовпця з їхньої алгебраїчні доповнення, тобто: де i = 1,2,3.

Доведення.

Доведемо теорему для першого рядка визначника, тому що для будь-якого іншого рядка або стовпця можна провести аналогічні міркування та отримати той самий результат.

Знайдемо додатки алгебри до елементів першого рядка:

Доказ цієї властивості можна провести самостійно, порівнявши значення лівої та правої частин рівності, знайдені за допомогою визначення 1.5.

Середня школа №45.

Місто Москва.

Учень 10 класу "Б" Горохів Євген

Курсова робота (чернетка).

Введення в теорію матриць та визначників .

1996 рік.

1. Матриці.

1.1 Поняття матриці.

Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, що містить деяку кількість m рядків та деяка кількість n стовпців. Числа m і n називаються порядками матриці. У разі якщо m = n , матриця називається квадратною, а число m = n - її порядком .

1.2 Основні операції з матрицями.

Основними арифметичними операціями над матрицями є множення матриці на число, додавання та множення матриць.

Перейдемо визначення основних операцій над матрицями.

Додавання матриць : Сумою двох матриць, наприклад: A і B , що мають однакову кількість рядків і стовпців, іншими словами, одних і тих же порядків m і n називається матриця С = ( З ij )( i = 1, 2, … m; j = 1, 2, …n) тих же порядків m і n , елементи Cij якої рівні.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) ( 1.2 )

Для позначення суми двох матриць використовується запис C = A+B. Операція складання суми матриць називається їх додаванням

Отже, за визначенням маємо:

+ =

=

З визначення суми матриць, а точніше з формули ( 1.2 ) безпосередньо випливає, що операція складання матриць має ті ж властивості, що і операція складання речових чисел, а саме:

переміщувальною властивістю: A + B = B + A

Сполучною властивістю: (A + B) + C = A + (B + C)

Ці властивості дозволяють не дбати про порядок проходження доданків матриць при складанні двох або більшого числа матриць.

Розмноження матриці на число :

Добутком матриці на дійсне число називається матриця C = (Cij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) елементи якої рівні

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). ( 1.3 )

Для позначення добутку матриці на число використовується запис C = A або C = A . Операція складання твору матриці на число називається множенням матриці цього числа.

Безпосередньо з формули ( 1.3 ) ясно, що множення матриці на число має такі властивості:

розподільною властивістю щодо суми матриць:

( A + B) = A + B

сполучною властивістю щодо числового множника:

( ) A = ( A)

розподільною властивістю щодо суми чисел:

( + ) A = A + A .

Зауваження : Різницею двох матриць A і B однакових порядків природно назвати таку матрицю C тих же порядків, що у сумі з матрицею B дає матрицю A . Для позначення різниці двох матриць використовується природний запис: C = A - B.

Перемноження матриць :

Добутком матриці A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , що має порядки відповідно рівні m і n , на матрицю B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , що має порядки відповідно рівні n і p , називається матриця C = (З ij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) , що має порядки, відповідно рівні m і p , та елементи Cij , що визначаються формулою

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) ( 1.4 )

Для позначення твору матриці A на матрицю B використовують запис

C = AB . Операція складання твору матриці A на матрицю B називається перемноженням цих матриць. Зі сформульованого вище визначення випливає, що матрицю A можна помножити не на будь-яку матрицю B : необхідно щоб число стовпців матриці A було одно числу рядків матриці B . Для того, щоб обидва твори AB і BA не тільки були визначені, але й мали однаковий порядок, необхідно і достатньо, щоб обидві матриці A і B були квадратними матрицями того самого порядку.

Формула ( 1.4 ) являє собою правило складання елементів матриці C ,

матриці, що є твором A на матрицю B . Це правило можна сформулювати і словесно: Елемент Cij , що стоїть на перетині i -й рядки та j- го стовпця матриці C = AB , дорівнює сумі попарних творів відповідних елементів i -й рядки матриці A і j- го стовпця матриці B . Як приклад застосування зазначеного правила наведемо формулу перемноження квадратних матриць другого порядку

=

З формули ( 1.4 ) Випливають такі властивості твору матриці A на матрицю B :

Сполучна властивість: ( AB) C = A(BC);

розподільна відносно суми матриць властивість:

(A + B) C = AC + BC або A(B+C) = AB+AC.

Питання перестановочному властивості твори матриць має сенс ставити лише квадратних матриць однакового порядку. Елементарні приклади показують, що творів двох квадратних матриць однакового порядку не має, взагалі кажучи, перестановної властивості. Справді, якщо покласти

A = , B = , то AB = , а BA =

Ті ж матриці, для твору яких справедлива перестановна властивість, прийнято називати комутуючими.

Серед квадратних матриць виділимо клас так званих діагональних матриць, кожна з яких елементи, розташовані поза головною діагоналі, рівні нулю. Серед усіх діагональних матриць з елементами, що збігаються, на головній діагоналі особливо важливу роль відіграють дві матриці. Перша з цих матриць виходить, коли всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, називається одиничною матрицею n- E . Друга матриця виходить при всіх елементах рівних нулю і називається нульовою матрицею n- ого порядку та позначається символом O . Допустимо, що існує довільна матриця A тоді

AE = EA = A , AO = OA = O .

Перша формул характеризує особливу роль одиничної матриці Е , аналогічну до ролі, яку відіграє число 1 при перемноженні дійсних чисел. Що ж до особливої ​​ролі нульової матриці Про , то її виявляє не тільки друга з формул, але й рівність, що елементарно перевіряється: A + O = O + A = A . Поняття нульової матриці можна вводити не для квадратних матриць.

2. Визначники.

2.1 Поняття визначника.

Насамперед необхідно запам'ятати, що визначники існують лише матриць квадратного вигляду, бо матриць іншого типу немає визначників. У теорії систем лінійних рівнянь та деяких інших питаннях зручно використовувати поняття визначника , або детермінанту .

2.2 Обчислення визначників.

Розглянемо якусь четвірку чисел, записаних у вигляді матриці по два в рядках та по два стовпці , Визначником або детермінантом , складеним із чисел цієї таблиці, називається число ad-bc , позначається так: . Такий визначник називається визначником другого порядку , оскільки для його складання взято таблицю з двох рядків та двох стовпців. Числа, з яких складено визначник, називаються його елементами ; при цьому кажуть, що елементи a і d складають головну діагональ визначника, а елементи b і c його побічну діагональ . Видно, що визначник дорівнює різниці творів пар елементів, що стоять на його головній та побічній діагоналях. Визначник третього та будь-якого іншого порядку знаходиться приблизно також, а саме: Допустимо, що у нас є квадратна матриця . Визначником наступної матриці є такий вираз: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Як ви бачите, він прораховується досить легко, якщо запам'ятати певну послідовність. З позитивним знаком йдуть головна діагональ і трикутники, що утворюються з елементів, що мають паралельну головній діагоналі сторону, в даному випадку це трикутники a12a23a31 , a13a21a32 .

З негативним знаком ідуть побічна діагональ і трикутники їй паралельні, тобто. a11a23a32, a12a21a33 . Таким чином, знаходяться визначники будь-якого порядку. Але бувають випадки, коли і цей метод стає досить складним, наприклад, коли елементів у матриці дуже багато, і для того, щоб порахувати визначник потрібно витратити багато часу і уваги.

Існує легший спосіб обчислення визначника n- ого порядку, де n 2 . Домовимося називати мінором будь-якого елемента Aij матриці n- ого порядку визначник, відповідний матриці, яка виходить з матриці в результаті викреслення i -й рядки та j- ого стовпця (того рядка і того стовпця, на перетині яких стоїть елемент Aij ). Мінор елемент Aij будемо позначати символом . У цьому позначенні верхній індекс позначає номер рядка, нижній – номер стовпця, риса над M означає, що вказані рядок та стовпець викреслюються. Визначником порядку n , відповідним матриці, назвемо число, що дорівнює і позначається символом .

Теорема 1.1 Яким би не був номер рядка i ( i = 1, 2 …, n) , для визначника n- ого порядку справедлива формула

= det A =

звана i- й рядку . Підкреслимо, що в цій формулі показник ступеня, в який зводиться число (-1), дорівнює сумі номерів рядка та стовпця, на перетині яких стоїть елемент Aij .

Теорема 1.2 Яким би не був номер стовпця j ( j = 1, 2 …, n) , для визначника n -го порядку справедлива формула

= det A =

звана розкладанням цього визначника по j- ому стовпцю .

2.3 Основні характеристики визначників.

У визначників також є властивості, за допомогою яких завдання їх обчислення стає легшим. Отже, нижче встановлюється ряд властивостей, які має довільний визначник n -го порядку.

1 . Властивість рівноправності рядків та стовпців . Транспонуванням будь-якої матриці або визначника називається операція, в результаті якої змінюються місцями рядки та стовпці із збереженням порядку їхнього прямування. Внаслідок транспонування матриці A виходить матриця, називається матриця, яка називається транспонованою по відношенню до матриці A і позначається символом A .

Перше властивість визначника формулюється так: при транспонуванні величина визначника зберігається, тобто. = .

2 . Властивість антисиметрії при перестановці двох рядків (або двох стовпців) . При перестановці місцями двох рядків (або двох стовпців) визначник зберігає абсолютну величину, але змінює знак на протилежний. Для визначника другого порядку це властивість перевіряється елементарно (з формули обчислення визначника другого порядку відразу випливає, що визначники відрізняються лише знаком).

3 . Лінійна властивість визначника. Будемо говорити, що певний рядок ( a) є лінійною комбінацією двох інших рядків ( b і c ) з коефіцієнтами і . Лінійну властивість можна сформулювати так: якщо у визначнику n -го порядку деяка i -я рядок є лінійною комбінацією двох рядків з коефіцієнтами і , то = + , де

– визначник, у якого i -я рядок дорівнює одному з двох рядків лінійної комбінації, а всі інші рядки ті ж, що і у , а – визначник, у якого i- я рядок дорівнює другому з двох рядків, а всі інші рядки ті ж, що і у .

Ці властивості є основними властивостями визначника, що розкривають його природу. Наступні п'ять властивостей є логічними наслідками трьох основних властивостей.

Наслідок 1. Визначник із двома однаковими рядками (або стовпцями) дорівнює нулю.

Наслідок 2. Примноження всіх елементів деякого рядка (або деякого стовпця) визначника на число a рівносильно множенню визначника на це число a . Іншими словами, загальний множник всіх елементів деякого рядка (або деякого стовпця) визначника можна винести за знак цього визначника.

Наслідок 3. Якщо всі елементи деякого рядка (або деякого стовпця) дорівнюють нулю, то й сам визначник дорівнює нулю.

Наслідок 4. Якщо елементи двох рядків (або двох шпальт) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

Наслідок 5. Якщо до елементів деякого рядка (або деякого стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (іншого стовпця), множення на довільний множник то величина визначника не змінюється. Наслідок 5, як і лінійна властивість, допускає більш загальне формулювання, яке я наведу для рядків: якщо до елементів деякого рядка визначника додати відповідні елементи рядка, що є лінійною комбінацією кількох інших рядків цього визначника (з будь-якими коефіцієнтами), то величена визначника не зміниться . Наслідок 5 широко застосовується при конкретному обчисленні визначників.

3. Системи лінійних рівнянь.

3.1 Основні визначення.

…….

3.2 Умова спільності систем лінійних рівнянь.

…….

3.3 Вирішення систем лінійних рівнянь методом Крамера.

Відомо, що використовуючи матриці ми можемо вирішувати різні системи рівнянь, причому ці системи можуть бути будь-якої величені і мати скільки завгодно змінних. За допомогою кількох висновків і формул розв'язання величезних систем рівнянь стає досить швидким і легким.

Зокрема, я опишу методи Крамера та Гауса. Найлегшим способом є метод Крамера (для мене), або як його ще називають формула Крамера. Отже, припустимо, що ми маємо якусь систему рівнянь . Основним визначником як ви вже помітили є матриця складена з коефіцієнтів, що стоять при змінних. Вони також йдуть у порядку стовпців, тобто в першому стовпці стоять коефіцієнти, які знаходяться при x , у другому стовпці при y , і так далі. Це дуже важливо, бо в наступних діях ми замінюватимемо кожен стовпець коефіцієнтів при змінній на стовпець відповідей рівнянь. Отже, як я вже казав, ми замінюємо стовпець при першій змінній на стовпець відповідей, потім при другій, звичайно, це все залежить від того, скільки змінних нам потрібно знайти.

1 = , 2 = , 3 = .

Потім потрібно знайти визначники визначником системи .

3.4 Вирішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

…….

4. Зворотна матриця.

4.1 Поняття зворотної матриці.

4.2 Обчислення зворотної матриці.

Список літератури.

В. А. Ільїн, Е. Г. Позняк "Лінійна Алгебра"

2. Г. Д. Кім, Є. В. Шикін "Елементарні перетворення в лінійній алгебрі"

Тема 1. Матриці та визначники матриць

Що дізнаємось:

Основні поняття лінійної алгебри: матриця, визначник.

Чому навчимося:

Здійснювати операції над матрицями;

Обчислювати визначниками другого та третього порядку.

Тема 1.1. Концепція матриці. Дії над матрицями

∆ Матрицею називається прямокутна таблиця, що складається з рядків та стовпців, заповнена деякими математичними об'єктами.

Матриці позначають великими латинськими літерами, саму таблицю укладають у круглі дужки (рідше квадратні чи іншої форми).

Елементи а ijназивають елементами матриці . Перший індекс i– номер рядка, другийj- Номер стовпця. Найчастіше елементами є числа.

Запис «матриця Амає розмір m× n» означає, що йдеться про матрицю, що складається зmрядків та nстовпців.

Якщо m = 1, а n > 1 , то матриця єматрицею – рядком . Якщо m > 1, а n = 1 , то матриця єматрицею – стовпцем .

Матриця, у якої кількість рядків збігається з числом стовпців (m= n), називається квадратний .

.

Елементи a 11 , a 22 ,…, a nn квадратної матриціA (розміру n× n) утворюють головну діагональ , елементи a 1 n , a 2 n -1 ,…, a n 1 - побічну діагональ .

У матриці
елементи 5; 7 утворюють головну діагональ, елементи -5; 8 – побічну діагональ.

Матриці A і B називаються рівними (A= B), якщо вони мають однаковий розмір та його елементи, які стоять на однакових позиціях, збігаються, тобто.а ij = b ij .

Поодинокою матрицею називається квадратна матриця, у якої елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а інші елементи дорівнюють нулю. Поодиноку матрицю зазвичай позначають Е.

Матрицею, транспонованої до матриці розміруm× nназивається матриця АТ розміру n× m, отримана з матриці А, якщо її рядки записати у стовпці, а стовпці – у рядки.

Арифметичні події над матрицями.

Щоб знайти суму матриць A і B однієї розмірності, необхідно скласти елементи з однаковими індексами (які стоять на однакових місцях):

.

Додавання матриць комутативно, тобто А + В = В + А.

Щоб знайти різницю матриць A і B однієї розмірності необхідно знайти різницю елементів з однаковими індексами:

.

Щоб помножити матрицю Aна число k, необхідно кожен елемент матриці помножити на це число:

.

твір матриць AB можна визначити лише для матрицьA розміру m× n і B розміру n× p, тобто. число стовпців матриціА має дорівнювати числу рядків матриціУ. При цьому A· B= C, матриця Cмає розмір m× p, та її елемент c ij знаходиться як скалярний твірi-йрядки матриці Aна j-й стовпець матриціB: ( i=1,2,…, m; j=1,2,…, p).

!! Фактично необхідно кожен рядокматриці A (стоїть зліва) помножити скалярно на кожен стовпець матриці B (стоїть праворуч).

Добуток матриць не комутативно, тобтоА·В ≠ В·А . ▲

☺ Необхідно розібрати приклади закріплення теоретичного матеріалу.

Приклад 1. Визначення розміру матриць.

Приклад 2. Визначення елементів матриці.

У матриці елемент а 11 = 2, а 12 = 5, а 13 = 3.

У матриці елемент а 21 = 2, а 13 = 0.

Приклад 3. Виконання транспонування матриць.

,

Приклад 4. Виконання операцій з матрицями.

Знайти 2 A- B, якщо , .

Рішення. .

Приклад 5. Знайти добуток матриць і .

Рішення. Розмір матриціA – 3 × 2 , матриці У – 2 × 2 . Тому твірА·В знайти можна. Отримуємо:

твір В·Азнайти не можна.

Приклад 6. Знайти А 3 , якщо А =
.

Рішення. А 2 = ·=
=
,

А 3 = ·=
=
.

Приклад 6. Знайти 2 А 2 + 3 А + 5 Епри
,
.

Рішення. ,

,
,

,
.

Завдання для виконання

1. Заповнити таблицю.

2. Виконати операції над матрицями
і
:

3. Виконати множення матриць:

4. Транспонувати матриці:

? 1. Що таке матриця?

2. Як відрізнити матрицю з інших елементів лінійної алгебри?

3. Як визначити розмір матриці? Навіщо це необхідно?

4. Що означає запис а ij ?

5. Дайте пояснення таким поняттям: головна діагональ, побічна діагональ матриці.

6. Які операції можна виконувати над матрицями?

7. Поясніть суть операції множення матриць?

8. Чи можна множити матриці? Чому?

Тема 1.2. Визначники другого та третього порядку : м етоди їх обчислення

∆ Якщо А – квадратна матриця n-го порядку, то з нею можна пов'язати число, що називається визначником n-го порядкуі позначається через |А|. Тобто визначник записується як матриця, але замість круглих дужок полягає у прямі.

!! Іноді визначники називають англійською манер детермінантами, тобто = det A.

Визначник 1-го порядку (визначник матриці розміру1 × 1 ) - це сам елемент, який містить матрицю А, тобто.

Визначник 2-го порядку (визначник матриці Aрозміру 2 × 2 ) – це число, яке можна знайти за правилом:

(твір елементів, що стоять на головній діагоналі матриці, мінус добуток елементів, що стоять на побічній діагоналі).

Визначник 3-го порядку (визначник матриці Aрозміру 3 × 3 ) – це число, яке можна знайти за правилом «трикутників»:

Для обчислення визначників 3-го порядку можна використовувати просте правило – правило напрямів (паралельних ліній).

Правило напрямків : з права від визначника дописують два перші стовпці, твори елементів на головній діагоналі та на діагоналях, їй паралельних, беруть зі знаком "плюс"; а твори елементів побічної діагоналі та діагоналей, їй паралельних, зі знаком "мінус".

!! Для обчислення визначників можна використовувати властивості, які справедливі для визначників будь-якого порядку.

Властивості визначників:

1° . Визначник матриці А не змінюється під час транспонування, тобто. |А| = |Т |. Ця властивість характеризує рівноправність рядків і стовпців.

2° . При перестановці двох рядків (двох стовпців) визначник зберігає колишнє значення, а знак змінюється зворотний.

4° . Якщо якийсь рядок або стовпець містять спільний множник, його можна винести за знак визначника.

Наслідок 4.1. Якщо всі елементи якогось ряду визначника дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

Наслідок 4.2. Якщо елементи якогось ряду визначника пропорційні відповідним елементам паралельного ряду, то визначник дорівнює нулю.▲

☺ Потрібно розібрати правила обчислення визначників.

Приклад 1. Обчисленнявизначників другого порядку,
.

Рішення.

Середня школа №45.

Місто Москва.

Учень 10 класу "Б" Горохів Євген

Курсова робота (чернетка).

Введення в теорію матриць та визначників .

1. Матриці............................................... .................................................. .................................................. ......

1.1 Поняття матриці............................................... .................................................. ...................................

1.2 Оновні операції над матрицями............................................. .................................................. .

2. Визначники............................................... .................................................. ..........................................

2.1 Поняття визначника............................................... .................................................. .........................

2.2 Обчислення визначників............................................... .................................................. ...............

2.3 Основні властивості визначників.............................................. ..................................................

3. Системи лінійних рівнянь............................................. .................................................. .

3.1 Основні визначення............................................... .................................................. ........................

3.2 Умова спільності систем лінійних рівнянь............................................ ...............

3.3 Рішення систем лінійних рівнянь метедом Крамера........................................... ..........

3.4 Вирішення систем лінійних рівнянь метедом Гауса.............................................. .............

4. Зворотна матриця.............................................. .................................................. .................................

4.1 Поняття зворотної матриці.............................................. .................................................. ................

4.2 Вирахування зворотної матриці.............................................. .................................................. ........

Список літератури................................................ .................................................. ................................

Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, що містить деяку кількість m рядків та деяка кількість n стовпців. Числа m і n називаються порядкамиматриці. У разі якщо m = n , матриця називається квадратною, а число m = n - її порядком .

Основними арифметичними операціями над матрицями є множення матриці на число, додавання та множення матриць.

Перейдемо визначення основних операцій над матрицями.

Додавання матриць: Сумою двох матриць, наприклад: A і B , що мають однакову кількість рядків і стовпців, іншими словами, одних і тих же порядків m і n називається матриця С = ( З ij )( i = 1, 2, … m; j = 1, 2, …n) тих же порядків m і n , елементи Cij якої рівні.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Для позначення суми двох матриць використовується запис C = A+B. Операція складання суми матриць називається їх додаванням

Отже, за визначенням маємо:

+ =

=

З визначення суми матриць, а точніше з формули ( 1.2 ) безпосередньо випливає, що операція складання матриць має ті ж властивості, що і операція складання речових чисел, а саме:

1) переміщувальною властивістю: A + B = B + A

2) Сполучною властивістю: (A + B) + C = A + (B + C)

Ці властивості дозволяють не дбати про порядок проходження доданків матриць при складанні двох або більшого числа матриць.

Розмноження матриці на число :

Добутком матриці на дійсне число називається матриця C = (Cij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) елементи якої рівні

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

Для позначення добутку матриці на число використовується запис C = A або C = A . Операція складання твору матриці на число називається множенням матриці цього числа.

Безпосередньо з формули ( 1.3 ) ясно, що множення матриці на число має такі властивості:

1) розподільною властивістю щодо суми матриць:

( A + B) = A + B

2) сполучною властивістю щодо числового множника:

() A = ( A)

3) розподільною властивістю щодо суми чисел:

( + ) A = A + A .

Зауваження :Різницею двох матриць A і B однакових порядків природно назвати таку матрицю C тих же порядків, що у сумі з матрицею B дає матрицю A . Для позначення різниці двох матриць використовується природний запис: C = A - B.

Перемноження матриць :

Добутком матриці A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , що має порядки відповідно рівні m і n , на матрицю B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , що має порядки відповідно рівні n і p , називається матриця C = (З ij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) , що має порядки, відповідно рівні m і p , та елементи Cij , що визначаються формулою

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Для позначення твору матриці A на матрицю B використовують запис

C = AB . Операція складання твору матриці A на матрицю B називається перемноженнямцих матриць. Зі сформульованого вище визначення випливає, що матрицю A можна помножити не на будь-яку матрицю B : необхідно щоб число стовпців матриці A було одночислу рядків матриці B . Для того, щоб обидва твори AB і BA не тільки були визначені, але й мали однаковий порядок, необхідно і достатньо, щоб обидві матриці A і B були квадратними матрицями того самого порядку.

Формула ( 1.4 ) являє собою правило складання елементів матриці C ,

матриці, що є твором A на матрицю B . Це правило можна сформулювати і словесно: Елемент Cij , що стоїть на перетині i -й рядки та j- го стовпця матриці C = AB , дорівнює сумі попарних творів відповідних елементів i -й рядки матриці A і j- го стовпця матриці B . Як приклад застосування зазначеного правила наведемо формулу перемноження квадратних матриць другого порядку

З формули ( 1.4 ) Випливають такі властивості твору матриці A на матрицю B :

1) Сполучна властивість: ( AB) C = A(BC);

2) розподільна відносно суми матриць властивість:

(A + B) C = AC + BC або A(B+C) = AB+AC.

Питання перестановочному властивості твори матриць має сенс ставити лише квадратних матриць однакового порядку. Елементарні приклади показують, що творів двох квадратних матриць однакового порядку не має, взагалі кажучи, перестановної властивості. Справді, якщо покласти

A = , B = , то AB = , а BA =

Ті ж матриці, для твору яких справедлива перестановна властивість, прийнято називати комутуючими.

Серед квадратних матриць виділимо клас так званих діагональнихматриць, кожна з яких елементи, розташовані поза головною діагоналі, рівні нулю. Серед усіх діагональних матриць з елементами, що збігаються, на головній діагоналі особливо важливу роль відіграють дві матриці. Перша з цих матриць виходить, коли всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, називається одиничною матрицею n- E . Друга матриця виходить при всіх елементах рівних нулю і називається нульовою матрицею n- ого порядку та позначається символом O . Допустимо, що існує довільна матриця A тоді

AE = EA = A , AO = OA = O .

Перша формул характеризує особливу роль одиничної матриці Е, аналогічну до ролі, яку відіграє число 1 при перемноженні дійсних чисел. Що ж до особливої ​​ролі нульової матриці Про, то її виявляє не тільки друга з формул, але й рівність, що елементарно перевіряється: A + O = O + A = A . Поняття нульової матриці можна вводити не для квадратних матриць.

Насамперед необхідно запам'ятати, що визначники існують лише матриць квадратного вигляду, бо матриць іншого типу немає визначників. У теорії систем лінійних рівнянь та деяких інших питаннях зручно використовувати поняття визначника, або детермінанту .

Розглянемо якусь четвірку чисел, записаних у вигляді матриці по два у рядках і по два стовпці , Визначником або детермінантом, складеним із чисел цієї таблиці, називається число ad-bc , позначається так: .Такий визначник називається визначником другого порядку, оскільки для його складання взято таблицю з двох рядків та двох стовпців. Числа, з яких складено визначник, називаються його елементами; при цьому кажуть, що елементи a і d складають головну діагональвизначника, а елементи b і c його побічну діагональ. Видно, що визначник дорівнює різниці творів пар елементів, що стоять на його головній та побічній діагоналях. Визначник третього та будь-якого іншого порядку знаходиться приблизно також, а саме: Допустимо, що у нас є квадратна матриця . Визначником наступної матриці є такий вираз: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Як ви бачите, він прораховується досить легко, якщо запам'ятати певну послідовність. З позитивним знаком йдуть головна діагональ і трикутники, що утворюються з елементів, що мають паралельну головній діагоналі сторону, в даному випадку це трикутники a12a23a31, a13a21a32 .

З негативним знаком ідуть побічна діагональ і трикутники їй паралельні, тобто. a11a23a32, a12a21a33 . Таким чином, знаходяться визначники будь-якого порядку. Але бувають випадки, коли і цей метод стає досить складним, наприклад, коли елементів у матриці дуже багато, і для того, щоб порахувати визначник потрібно витратити багато часу і уваги.

Існує легший спосіб обчислення визначника n- ого порядку, де n2 . Домовимося називати мінором будь-якого елемента Aij матриці n- ого порядку визначник, відповідний матриці, яка виходить з матриці в результаті викреслення i -й рядки та j- ого стовпця (того рядка і того стовпця, на перетині яких стоїть елемент Aij ). Мінор елемент Aij будемо позначати символом. У цьому позначенні верхній індекс позначає номер рядка, нижній – номер стовпця, риса над M означає, що вказані рядок та стовпець викреслюються. Визначником порядку n , відповідним матриці, назвемо число, що дорівнює і позначається символом .

Теорема 1.1 Яким би не був номер рядка i ( i = 1, 2 …, n) , для визначника n- ого порядку справедлива формула

= det A =

звана i- й рядку . Підкреслимо, що в цій формулі показник ступеня, в який зводиться число (-1), дорівнює сумі номерів рядка та стовпця, на перетині яких стоїть елемент Aij .

Теорема 1.2 Яким би не був номер стовпця j ( j = 1, 2 …, n) , для визначника n -го порядку справедлива формула

= det A =

звана розкладанням цього визначника по j- ому стовпцю .

У визначників також є властивості, за допомогою яких завдання їх обчислення стає легшим. Отже, нижче встановлюється ряд властивостей, які має довільний визначник n -го порядку.

1. Властивість рівноправності рядків та стовпців . Транспонуваннямбудь-якої матриці або визначника називається операція, в результаті якої змінюються місцями рядки та стовпці із збереженням порядку їхнього прямування. Внаслідок транспонування матриці A виходить матриця, називається матриця, яка називається транспонованою по відношенню до матриці A і позначається символом A .

Перше властивість визначника формулюється так: при транспонуванні величина визначника зберігається, тобто = .

2. Властивість антисиметрії при перестановці двох рядків (або двох стовпців). При перестановці місцями двох рядків (або двох стовпців) визначник зберігає абсолютну величину, але змінює знак на протилежний. Для визначника другого порядку це властивість перевіряється елементарно (з формули обчислення визначника другого порядку відразу випливає, що визначники відрізняються лише знаком).

3. Лінійна властивість визначника. Будемо говорити, що певний рядок ( a) є лінійною комбінацією двох інших рядків ( b і c ) з коефіцієнтами та . Лінійну властивість можна сформулювати так: якщо у визначнику n -го порядку деяка i -я рядок є лінійною комбінацією двох рядків з коефіцієнтами і , то = + , де

– визначник, у якого i -я рядок дорівнює одному з двох рядків лінійної комбінації, а всі інші рядки ті ж, що і у , а – визначник, у якого i- я рядок дорівнює другий з двох рядків, а решта рядків ті ж, що і у .

Ці властивості є основними властивостями визначника, що розкривають його природу. Наступні п'ять властивостей є логічними наслідкамитрьох основних властивостей.

Наслідок 1. Визначник із двома однаковими рядками (або стовпцями) дорівнює нулю.

Наслідок 2. Примноження всіх елементів деякого рядка (або деякого стовпця) визначника на число a рівносильно множенню визначника на це число a . Іншими словами, загальний множник всіх елементів деякого рядка (або деякого стовпця) визначника можна винести за знак цього визначника.

Наслідок 3. Якщо всі елементи деякого рядка (або деякого стовпця) дорівнюють нулю, то й сам визначник дорівнює нулю.

Наслідок 4. Якщо елементи двох рядків (або двох шпальт) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

Наслідок 5. Якщо до елементів деякого рядка (або деякого стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (іншого стовпця), множення на довільний множник , величина визначника не змінюється. Наслідок 5, як і лінійна властивість, допускає більш загальне формулювання, яке я наведу для рядків: якщо до елементів деякого рядка визначника додати відповідні елементи рядка, що є лінійною комбінацією кількох інших рядків цього визначника (з будь-якими коефіцієнтами), то величена визначника не зміниться . Наслідок 5 широко застосовується при конкретному обчисленні визначників.

Відомо, що використовуючи матриці ми можемо вирішувати різні системи рівнянь, причому ці системи можуть бути будь-якої величені і мати скільки завгодно змінних. За допомогою кількох висновків і формул розв'язання величезних систем рівнянь стає досить швидким і легким.

Зокрема, я опишу методи Крамера та Гауса. Найлегшим способом є метод Крамера (для мене), або як його ще називають формула Крамера. Отже, припустимо, що ми маємо якусь систему рівнянь

, у вигляді матриці цю систему можна записати таким чином: A = , де відповіді рівнянь будуть розташовані в останньому стовпці. Тепер ми запровадимо поняття основного визначника; в даному випадку він виглядатиме таким чином:

=. Основним визначником як ви вже помітили є матриця складена з коефіцієнтів, що стоять при змінних. Вони також йдуть у порядку стовпців, тобто в першому стовпці стоять коефіцієнти, які знаходяться при x , у другому стовпці при y , і так далі. Це дуже важливо, бо в наступних діях ми замінюватимемо кожен стовпець коефіцієнтів при змінній на стовпець відповідей рівнянь. Отже, як я вже казав, ми замінюємо стовпець при першій змінній на стовпець відповідей, потім при другій, звичайно, це все залежить від того, скільки змінних нам потрібно знайти.

1 = , 2 = , 3 = .

Потім потрібно знайти визначники 1 2 3 . Як перебуває визначник третього порядку, ви вже знаєте. А ось тут ми й застосовуємо правило Крамера. Воно виглядає так:

x1 = , x2 = , x3 = – для даного випадку, а в загальному вигляді воно виглядає так: x i = . Визначник складений з коефіцієнтів за невідомих, називається визначником системи .

1. В. А. Ільїн, Е. Г. Позняк "Лінійна Алгебра"

2. Г. Д. Кім, Є. В. Шикін "Елементарні перетворення в лінійній алгебрі"