Теорема зміни кількості руху матеріальної точки слідство. Теореми про зміну кількості руху точки та системи

Нехай матеріальна точка рухається під дією сили F. Потрібно визначити рух цієї точки стосовно рухомої системи Oxyz(див. складний рух матеріальної точки), яка рухається відомим чином по відношенню до нерухомої системи O 1 x 1 y 1 z 1 .

Основне рівняння динаміки у нерухомій системі

Запишемо абсолютне прискорення точки за теоремою Коріоліса

де a абс- Абсолютне прискорення;

a отн- Відносне прискорення;

a пров– переносне прискорення;

a кор- Коріолісове прискорення.

Перепишемо (25) з урахуванням (26)

Введемо позначення
- переносна сила інерції,
- Коріолісова сила інерції. Тоді рівняння (27) набуває вигляду

Основне рівняння динаміки вивчення відносного руху (28) записується як і як абсолютного руху, лише до діючим точку сил треба додати переносну і кориолисову сили інерції.

Загальні теореми динаміки матеріальної точки

При вирішенні багатьох завдань можна користуватися заздалегідь виконаними заготовками, отриманими на основі другого закону Ньютона. Такі методи вирішення завдань об'єднані у цьому розділі.

Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки

Введемо такі динамічні характеристики:

1. Кількість руху матеріальної точки- Векторна величина, що дорівнює добутку маси точки на вектор її швидкості

. (29)

2. Імпульс сили

Елементарний імпульс сили- Векторна величина, що дорівнює добутку вектора сили на елементарний проміжок часу

(30).

Тоді повний імпульс

. (31)

При F=const отримаємо S=Ft.

Повний імпульс за кінцевий проміжок часу можна обчислити тільки у двох випадках, коли сила, що діє на точку, постійна або залежить того часу. В інших випадках необхідно висловити чинність як функцію часу.

Рівність розмірностей імпульсу (29) та кількості руху (30) дозволяє встановити між ними кількісний взаємозв'язок.

Розглянемо рух матеріальної точки M під дією довільної сили Fпо довільній траєкторії.

Про УД:
. (32)

Розділяємо на (32) змінні та інтегруємо

. (33)

У результаті, враховуючи (31), отримуємо

. (34)

Рівняння (34) виражає таку теорему.

Теорема: Зміна кількості руху матеріальної точки за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу сили, що діє на точку, за той самий інтервал часу.

При розв'язанні задач рівняння (34) необхідно спроектувати на осі координат

Даною теоремою зручно користуватися, коли серед заданих та невідомих величин присутні маса точки, її початкова та кінцева швидкість, сили та час руху.

Теорема про зміну моменту кількості руху матеріальної точки

М
омент кількості руху матеріальної точкищодо центру дорівнює добутку модуля кількості руху крапки на плече, тобто. найкоротша відстань (перпендикуляр) від центру до лінії, що збігається з вектором швидкості

, (36)

. (37)

Взаємозв'язок між моментом сили (причиною) та моментом кількості руху (наслідком) встановлює наступна теорема.

Нехай точка M заданої маси mрухається під дією сили F.

,
,

, (38)

. (39)

Обчислимо похідну від (39)

. (40)

Об'єднуючи (40) та (38), остаточно отримаємо

. (41)

Рівняння (41) виражає таку теорему.

Теорема: Похідна за часом від вектора моменту кількості руху матеріальної точки щодо деякого центру дорівнює моменту чинної точки сили щодо того ж центру.

При розв'язанні задач рівняння (41) необхідно спроектувати на осі координат

У рівняннях (42) моменти кількостей руху та сили обчислюються щодо координатних осей.

З (41) випливає закон збереження моменту кількості руху (закон Кеплера).

Якщо момент сили, що діє на матеріальну точку, щодо якогось центру дорівнює нулю, то момент кількості руху точки щодо цього центру зберігає свою величину та напрямок.

Якщо
, то
.

Теорема і закон збереження застосовують у завданнях на криволінійний рух, особливо при дії центральних сил.

Як система, про яку йдеться в теоремі, може виступати будь-яка механічна система, що складається з будь-яких тіл.

Формулювання теореми

Кількість руху (імпульс) механічної системи називають величину, рівну сумі кількостей руху (імпульсів) всіх тіл, що входять в систему. Імпульс зовнішніх сил, які діють тіла системи, - це сума імпульсів всіх зовнішніх сил, що діють тіла системи.

( кг · м / с)

Теорема про зміну кількості руху системи стверджує

Зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу зовнішніх сил, що діють на систему, за той самий проміжок часу.

Закон збереження кількості руху системи

Якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, кількість руху (імпульс) системи є величина постійна.

, отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи у диференціальній формі:

Проінтегрувавши обидві частини набутої рівності за довільно взятим проміжком часу між деякими і , отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в інтегральній формі:

Закон збереження імпульсу (Закон збереження кількості руху) стверджує, що векторна сума імпульсів всіх тіл системи є постійна величина, якщо векторна сума зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю.

(момент кількості руху м 2 ·кг·с −1 )

Теорема про зміну моменту кількості руху щодо центру

похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо будь-якого нерухомого центру дорівнює моменту чинної на точку сили щодо того ж центру.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Теорема про зміну моменту кількості руху щодо осі

похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо будь-якої нерухомої осі дорівнює моменту чинної на цю точку сили щодо тієї ж осі.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Розглянемо матеріальну точку M масою m , що рухається під дією сили F (Рисунок 3.1). Запишемо та побудуємо вектор моменту кількості руху (кінетичного моменту) M 0 матеріальної точки щодо центру O :

Диференціюємо вираз моменту кількості руху (кінетичного моменту k 0) за часом:

Так як dr /dt = V , то векторний твір V ⊗ m ⋅ V (колінеарних векторів V і m ⋅ V ) дорівнює нулю. В той же час d(m ⋅ V) /dt = F згідно з теоремою про кількість руху матеріальної точки. Тому отримуємо, що

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

де r ⊗F = M 0 (F ) - Вектор-момент сили F щодо нерухомого центру O . Вектор k 0 ⊥ площині ( r , m ⊗V ), а вектор M 0 (F ) ⊥ площині ( r ,F ), остаточно маємо

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Рівняння (3.4) виражає теорему про зміну моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо центру: похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо будь-якого нерухомого центру дорівнює моменту чинної на точку сили щодо того ж центру.

Проеціюючи рівність (3.4) на осі декартових координат, отримуємо

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Рівності (3.5) виражають теорему про зміну моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо осі: похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо будь-якої нерухомої осі дорівнює моменту чинної на цю точку сили щодо тієї ж осі.

Розглянемо слідства, які з теорем (3.4) і (3.5).

Наслідок 1.Розглянемо випадок, коли сила F у весь час руху точки проходить через нерухомий центр O (Випадок центральної сили), тобто. коли M 0 (F ) = 0. Тоді з теореми (3.4) випливає, що k 0 = const ,

тобто. у разі центральної сили момент кількості руху (кінетичний момент) матеріальної точки щодо центру цієї сили залишається постійним за модулем та напрямом (рисунок 3.2).

Малюнок 3.2

З умови k 0 = const слід, що траєкторія точки, що рухається, являє собою плоску криву, площина якої проходить через центр цієї сили.

Наслідок 2.Нехай M z (F ) = 0, тобто. сила перетинає вісь z чи їй паралельна. В цьому випадку, як видно з третього з рівнянь (3.5), k z = const ,

тобто. якщо момент чинної точки сили щодо будь-якої нерухомої осі завжди дорівнює нулю, то момент кількості руху (кінетичний момент) точки щодо цієї осі залишається постійним.

Доказ теореми про їх зміну кількості руху

Нехай система складається з матеріальних точок з масами та прискореннями. Усі сили, що діють на тіла системи, розділимо на два види:

Зовнішні сили - сили, що діють з боку тіл, що не входять до системи, що розглядається. Рівнодіючу зовнішніх сил, що діють на матеріальну точку з номером iпозначимо.

Внутрішні сили - це сили, з якими взаємодіють один з одним тіла самої системи. Силу, з якою на точку з номером iдіє крапка з номером k, будемо позначати , а силу впливу i-ї точки на k-ю точку - . Очевидно, що при , то

Використовуючи введені позначення, запишемо другий закон Ньютона для кожної з цих матеріальних точок у вигляді

Враховуючи що і підсумовуючи всі рівняння другого закону Ньютона, отримуємо:

Вираз є сумою всіх внутрішніх сил, що діють в системі. За третім законом Ньютона у цій сумі кожній силі відповідає сила така, що і, отже, виконується Оскільки вся сума складається з таких пар, то сама сума дорівнює нулю. Таким чином, можна записати

Використовуючи для кількості руху системи позначення, отримаємо

Ввівши на розгляд зміну імпульсу зовнішніх сил , Отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в диференційній формі:

Таким чином, кожне з останніх отриманих рівнянь дозволяє стверджувати: зміна кількості руху системи відбувається тільки внаслідок дії зовнішніх сил, а внутрішні сили ніякого впливу на цю величину не можуть.

Проінтегрувавши обидві частини отриманої рівності за довільно взятим проміжком часу між деякими і отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в інтегральній формі:

де - значення кількості руху системи в моменти часу і відповідно, а - імпульс зовнішніх сил за проміжок часу . Відповідно до сказаного раніше та введених позначень виконується

Для матеріальної точки основний закон динаміки можна подати у вигляді

Помножуючи обидві частини цього співвідношення зліва векторно на радіус-вектор (рис. 3.9), отримуємо

(3.32)

У правій частині цієї формули маємо момент сили щодо точки О. Перетворимо ліву частину, застосувавши формулу похідної векторного твору

Але як векторний добуток паралельних векторів. Після цього отримуємо

(3.33)

Перша похідна за часом моменту кількості руху точки щодо якогось центру дорівнює моменту сили щодо того ж центру.

Малюнок 3.12

; ;

При заданих вхідних даних кінетичний момент системи

Теорема про зміну кінетичного моменту системи.До кожної точки системи докладемо рівнодіючі зовнішніх та внутрішніх сил. Для кожної точки системи можна застосувати теорему про зміну моменту кількості руху, наприклад у формі (3.33)

Підсумовуючи по всіх точках системи та враховуючи, що сума похідних дорівнює похідній від суми, отримаємо

За визначенням кінетичного моменту системи та властивістю зовнішніх і внутрішніх сил

тому отримане співвідношення можна подати у вигляді

Перша похідна за часом кінетичного моменту системи щодо будь-якої точки дорівнює головному моменту зовнішніх сил, які діють систему, щодо тієї ж точки.

3.3.5. Робота сили

1) Елементарна робота сили дорівнює скалярному добутку сили на диференціал радіус вектора точки докладання сили (рис. 3.13)

Малюнок 3.13

Вираз (3.36) можна записати також у наступних еквівалентних формах

де - Проекція сили на напрямок швидкості точки докладання сили.

2) Робота сили на кінцевому переміщенні

Інтегруючи елементарну роботу сили, отримаємо такі висловлювання для роботи сили на кінцевому переміщенні з точки А в точку В

3) Робота постійної сили

Якщо сила стала, то з (3.38) випливає

Робота постійної сили залежить від форми траєкторії, а залежить лише від вектора переміщення точки докладання сили .

4) Робота сили ваги

Для сили ваги (рис. 3.14) та з (3.39) отримаємо

Малюнок 3.14

Якщо рух походить з точки В до точки А, то

У загальному випадку

Знак "+" відповідає руху точки докладання сили "вниз", знак "-" - вгору.

4) Робота сили пружності

Нехай вісь пружини спрямована по осі x (рис.3.15), а кінець пружини переміщається з точки 1 в точку 2, тоді (3.38) отримаємо

Якщо жорсткість пружини дорівнює з, то тоді

А (3.41)

Якщо кінець пружини переміщається з точки 0 в точку 1, то в цьому виразі замінюємо , тоді робота сили пружності набуде вигляду

(3.42)

де – подовження пружини.

Малюнок 3.15

5) Робота сили прикладеної до тіла, що обертається. Робота моменту.

На рис. 3.16 показано тіло, що обертається, до якого прикладена довільна сила . При обертанні точка застосування цієї сили рухається по колу.

Складається з nматеріальних точок. Виділимо із цієї системи деяку точку M jз масою m j. На цю точку, як відомо, діють зовнішні та внутрішні сили.

Прикладемо до точки M jрівнодіючу всіх внутрішніх сил F j iта рівнодіючу всіх зовнішніх сил F j e(Рисунок 2.2). Для виділеної матеріальної точки M j(як для вільної точки) запишемо теорему про зміну кількості руху у диференційній формі (2.3):

Запишемо аналогічні рівняння для всіх точок механічної системи (j=1,2,3,…,n).

Малюнок 2.2

Складемо почленно все nрівнянь:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Тут ∑m j ×V j =Q– кількість руху механічної системи;
∑F j e = R e- Головний вектор всіх зовнішніх сил, що діють на механічну систему;
∑F j i = R i =0- Головний вектор внутрішніх сил системи (за якістю внутрішніх сил він дорівнює нулю).

Остаточно для механічної системи отримуємо

dQ/dt = R e. (2.11)

Вираз (2.11) є теоремою про зміну кількості руху механічної системи в диференціальній формі (у векторному вираженні): похідна часу від вектора кількості руху механічної системи дорівнює головному вектору всіх зовнішніх сил, що діють на систему.

Проеціюючи векторну рівність (2.11) на декартові осі координат, отримуємо вирази для теореми про зміну кількості руху механічної системи в координатному (скалярному) виразі:

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z / dt = R z e, (2.12)

тобто. похідна за часом від проекції кількості руху механічної системи на будь-яку вісь дорівнює проекції на цю вісь головного вектора всіх зовнішніх сил, що діють на цю механічну систему.

Помножуючи обидві частини рівності (2.12) на dt, Отримаємо теорему в іншій диференціальній формі:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

тобто. диференціал кількості руху механічної системи дорівнює елементарному імпульсу головного вектора (сумі елементарних імпульсів) всіх зовнішніх сил, що діють на систему.

Інтегруючи рівність (2.13) у межах зміни часу від 0 до tотримуємо теорему про зміну кількості руху механічної системи в кінцевій (інтегральній) формі (у векторному вираженні):

Q - Q 0 = S e,

тобто. зміна кількості руху механічної системи за кінцевий проміжок часу дорівнює повному імпульсу головного вектора (сумі повних імпульсів) всіх зовнішніх сил, що діють на систему за той самий проміжок часу.

Проеціюючи векторну рівність (2.14) на декартові осі координат, отримаємо вирази для теореми в проекціях (у скалярному виразі):

тобто. зміна проекції кількості руху механічної системи на якусь вісь за кінцевий проміжок часу і проекції на цю ж вісь повного імпульсу головного вектора (сумі повних імпульсів) всіх зовнішніх сил, що діють на механічну систему, за той же проміжок часу.

З розглянутої теореми (2.11) - (2.15) випливають наслідки:

1. Якщо R e = ∑F j e = 0, то Q = const– маємо закон збереження вектора кількості руху механічної системи: якщо головний вектор R eвсіх зовнішніх сил, що діють на механічну систему, дорівнює нулю, то вектор кількості руху цієї системи залишається постійним за величиною і напрямом і дорівнює своєму початковому значенню Q 0, тобто. Q = Q 0.
2. Якщо R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), то Q x = const– маємо закон збереження проекції на вісь кількості руху механічної системи: якщо проекція головного вектора всіх діючих на механічну систему сил на якусь вісь дорівнює нулю, то проекція на цю вісь вектора кількості руху цієї системи буде величиною постійної та рівної проекції на цю вісь початкового вектора кількості руху, тобто. Q x = Q 0x.

Диференціальна форма теореми про зміну кількості руху матеріальної системи має важливі та цікаві додатки в механіці суцільного середовища. З (2.11) можна одержати теорему Ейлера.

Диференційне рівняння руху матеріальної точки під дією сили Fможна представити у наступній векторній формі:

Оскільки маса точки mприйнята постійною, її можна внести під знак похідної. Тоді

Формула (1) виражає теорему про зміну кількості руху точки у диференційній формі: перша похідна за часом від кількості руху точки дорівнює чинній на точку силі.

У проекціях на координатні осі (1) можна подати у вигляді

Якщо обидві частини (1) помножити на dt, то отримаємо іншу форму цієї ж теореми – теорему імпульсів у диференціальній формі:

тобто. диференціал кількості руху точки дорівнює елементарному імпульсу сили, що діє на точку.

Проеціюючи обидві частини (2) на координатні осі, отримуємо

Інтегруючи обидві частини (2) у межах від нуля до t (рис. 1), маємо

де - швидкість точки на момент t; - швидкість при t = 0;

S- імпульс сили за час t.

Вираз у формі (3) часто називають теоремою імпульсів у кінцевій (або інтегральній) формі: зміна кількості руху точки за будь-який проміжок часу дорівнює імпульсу сили за той самий проміжок часу.

У проекціях на координатні осі цю теорему можна подати у такому вигляді:

Для матеріальної точки теорема про зміну кількості руху в будь-якій формі, по суті, не відрізняється від диференціальних рівнянь руху точки.

Теорема про зміну кількості руху системи

Кількість руху системи називатиме векторну величину Q, що дорівнює геометричній сумі (головному вектору) кількостей руху всіх точок системи.

Розглянемо систему, що складається з n матеріальних точок. Складемо для цієї системи диференціальні рівняння руху та складемо їх почленно. Тоді отримаємо:

Остання сума за якістю внутрішніх сил дорівнює нулю. Крім того,

Остаточно знаходимо:

Рівняння (4) виражає теорему про зміну кількості руху системи у диференційній формі: похідна за часом кількості руху системи дорівнює геометричній сумі всіх діючих на систему зовнішніх сил.

Знайдемо інший вираз теореми. Нехай у момент t= 0 кількість руху системи дорівнює Q 0, а в момент часу t 1стає рівним Q1.Тоді, помножуючи обидві частини рівності (4) на dtта інтегруючи, отримаємо:

Або , де:

(S-імпульс сили)

так як інтеграли, що стоять праворуч, дають імпульси зовнішніх сил,

рівняння (5) виражає теорему про зміну кількості руху системи в інтегральній формі: зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює сумі імпульсів діючих на систему зовнішніх сил за той самий проміжок часу.

У проекціях на осі координат матимемо:

Закон збереження кількості руху

З теореми про зміну кількості руху системи можна отримати такі важливі наслідки:

1. Нехай сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю:

Тоді з рівняння (4) випливає, що при цьому Q = const.

Таким чином, якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, то вектор кількості руху системи буде постійний по 10модулю та напрямку.

2. Нехай зовнішні сили, що діють на систему, такі, що сума їх проекцій на якусь вісь (наприклад Ох) дорівнює нулю:

Тоді з рівнянь (4`) випливає, що при цьому Q = const.

Таким чином, якщо сума проекцій всіх діючих зовнішніх сил якусь вісь дорівнює нулю, то проекція кількості руху системи цю вісь є величина постійна.

Ці результати і висловлюють закон збереження кількості руху системи.З них випливає, що внутрішні сили змінити сумарну кількість руху системи не можуть.

Розглянемо деякі приклади:

· Я в л е н е н н е д а ч і л і л о т к а т а. Якщо розглядати гвинтівку та кулю як одну систему, то тиск порохових газів при пострілі буде силою внутрішньою. Ця сила не може змінити сумарну кількість руху системи. Але оскільки порохові гази, діючи на кулю, повідомляють їй деяку кількість руху, спрямовану вперед, вони одночасно повинні повідомити гвинтівці таку ж кількість руху в зворотному напрямку. Це викличе рух гвинтівки тому, тобто. так звану віддачу. Аналогічне явище виходить при стрільбі зі зброї (відкат).

· Р а б о т а г р е б н о г о в і н т а (п о п о л е р а). Гвинт повідомляє деяку масу повітря (або води) рух уздовж осі гвинта, відкидаючи цю масу назад. Якщо розглядати масу, що відкидається, і літак (або судно) як одну систему, то сили взаємодії гвинта і середовища як внутрішні не можуть змінити сумарну кількість руху цієї системи. Тому при відкиданні маси повітря (води) назад літак (або судно) одержують відповідну швидкість руху вперед, таку, що загальна кількість руху системи, що розглядається, залишається рівним нулю, так як воно було нулем до початку руху.

Аналогічний ефект досягається дією весел чи гребних коліс.

· Реактизнайдення. У реактивному снаряді (ракеті) газоподібні продукти горіння палива з великою швидкістю викидаються з отвору в хвостовій частині ракети (із сопла реактивного двигуна). Діяльні при цьому сили тиску будуть внутрішніми силами і вони не можуть змінити сумарну кількість руху системи ракета-порохові гази. Але оскільки гази, що вириваються, мають відому кількість руху, спрямоване назад, то ракета отримує при цьому відповідну швидкість руху вперед.

Теорема моментів щодо осі.

Розглянемо матеріальну точку маси m, що рухається під дією сили F. Знайдемо для неї залежність між моментом векторів mVі Fщодо якоїсь нерухомої осі Z.

m z (F) = xF - уF (7)

Аналогічно для величини m (mV), якщо винести mза дужку буде

m z (mV) = m(хV - уV)(7`)

Беручи від обох частин цієї рівності похідні за часом, знаходимо

У правій частині отриманого виразу перша дужка дорівнює 0, оскільки dx/dt=V і dу/dt=V, друга ж дужка згідно з формулою (7) дорівнює

m z (F), оскільки за основним законом динаміки:

Остаточно матимемо (8)

Отримане рівняння виражає теорему моментів щодо осі: похідна за часом від моменту кількості руху точки щодо якоїсь осі дорівнює моменту діючої сили щодо тієї ж осі.Аналогічна теорема має місце й у моментів щодо будь-якого центру Про.