§7. Приклади лінійних просторів

Лінійна оболонка також називається підпростором, породженим X. Зазвичай позначається. Говорять також, що лінійна оболонка натягнута набезліч X .

Властивості

Див. також

Посилання

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Джангар
• Платіжний баланс

Дивитись що таке "Лінійна оболонка" в інших словниках:

ЛІНІЙНА ОБОЛОНКА- перетин Мусих підпросторів, що містять безліч Авекторного простору Е. При цьому Мназ. також підпростором, породженим А. М. І. Войцеховським. Математична енциклопедія

Лінійна оболонка векторів

Лінійна оболонка векторів- множина лінійних комбінацій цих векторів ∑αiаi з усіма можливими коефіцієнтами (α1, …, αn) … Економіко-математичний словник

лінійна оболонка векторів- Безліч лінійних комбінацій цих векторів??iаi з усіма можливими коефіцієнтами (?1, …, ?n). Тематика економіка EN linear hull …

лінійна алгебра- Математична дисципліна, розділ алгебри, що містить, зокрема, теорію лінійних рівнянь, матриць та визначників, а також теорію векторних (лінійних) просторів. Лінійна залежність «співвідношення виду: a1x1 + a2x2 + … +… … Довідник технічного перекладача

Лінійна залежність- «Співвідношення виду: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, де a1, a2, …, an числа, з яких хоча б одне відмінно від нуля; x1, x2, …, xn ті чи інші математичні об'єкти, котрим визначено операції складання … Економіко-математичний словник

Оболонка- див. Лінійна оболонка … Економіко-математичний словник

Лінійна залежність

Лінійна комбінація- Лінійний простір, або векторний простір, основний об'єкт вивчення лінійної алгебри. Зміст 1 Визначення 2 Найпростіші властивості 3 Пов'язані визначення та властивості … Вікіпедія

ЛІНІЙНА ГРУПА- група лінійних перетворень векторного простору Vкінцевої розмірності n над деяким тілом К. Вибір базису в просторі Vреалізує Л. р. як групу невироджених квадратних матриць ступеня над тілом К. Тим самим встановлюється ізоморфізм … Математична енциклопедія

Книги

• Лінійна алгебра. Підручник та практикум для СПО Купити за 1471 грн (тільки Україна)
• Лінійна алгебра. Підручник і практикум для академічного бакалаврату, Кремер Н.Ш.

Нехай система векторів з векторного простору Vнад полем P.

Визначення 2:Лінійною оболонкою Lсистеми Aназивається безліч всіх лінійних комбінацій векторів системи A. Позначення L(A).

Можна показати, що для будь-яких двох систем Aі B,

Aлінійно виражається через Bтоді і лише тоді, коли . (1)

Aеквівалентна Bтоді і лише тоді, коли L(A)=L(B). (2)

Доказ випливає із попередньої властивості

3 Лінійна оболонка будь-якої системи векторів є підпростором простору V.

Доведення

Візьмемо будь-які два вектори та з L(A), що мають наступні розкладання по векторах з A: . Перевіримо здійсненність умов 1) та 2) критерію:

Так як є лінійною комбінацією векторів системи A.

Оскільки теж є лінійною комбінацією векторів системи A.

Розглянемо тепер матрицю. Лінійна оболонка рядків матриці Aназивається рядковим простором матриці та позначається L r (A). Лінійна оболонка стовпців матриці Aназивається стовпцевим простором і позначається L c (A). Зверніть увагу, що при рядковому та стовпцевому просторі матриці Aє підпросторами різних арифметичних просторів P nі P mвідповідно. Користуючись твердженням (2), можна дійти такого висновку:

Теорема 3:Якщо одна матриця отримана з іншого ланцюжком елементарних перетворень, рядкові простори таких матриць збігаються.

Сума та перетин підпросторів

Нехай Lі M- два простори простору R.

Сумою L+Mназивається безліч векторів x+y , де x ∈Lі y ∈M. Очевидно, що будь-яка лінійна комбінація векторів з L+Mналежить L+M, отже L+Mє підпростором простору R(може збігатися з простором R).

Перетином L∩Mпідпросторів Lі Mназивається безліч векторів, що належать одночасно підпросторам Lі M(може складатися лише з нульового вектора).

Теорема 6.1. Сума розмірностей довільних підпросторів Lі Mкінцевого лінійного простору Rдорівнює розмірності суми цих підпросторів та розмірності перетину цих підпросторів:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доведення. Позначимо F=L+Mі G=L∩M. Нехай G g-мірне підпростір. Виберемо в ньому базис. Так як G⊂Lі G⊂M, отже базис Gможна доповнити до базису Lі до базису M. Нехай базис підпростору Lі нехай базис підпростору M. Покажемо, що вектори

(6.1) складають базис F=L+M. Для того, щоб вектори (6.1) складали базис простору Fвони мають бути лінійно незалежними і будь-який вектор простору Fможна уявити лінійною комбінацією векторів (6.1).

Доведемо лінійну незалежність векторів (6.1). Нехай нульовий вектор простору Fпредставляється лінійною комбінацією векторів (6.1) з деякими коефіцієнтами:

Ліва частина (6.3) є вектором підпростору L, а права частина є вектором підпростору M. Отже вектор

(6.4) належить підпростору G=L∩M. З іншого боку, вектор v можна уявити лінійною комбінацією базисних векторів підпростору G:

(6.5)З рівнянь (6.4) та (6.5) маємо:

Але вектори є базисом підпростору M, отже вони лінійно незалежні та . Тоді (6.2) набуде вигляду:

З огляду на лінійну незалежність базису підпростору Lмаємо:

Оскільки всі коефіцієнти у рівнянні (6.2) виявилися нульовими, вектори

лінійно незалежні. Але будь-який вектор z з F(за визначенням суми підпросторів) можна подати сумою x+y , де x ∈ L,y ∈ M. В свою чергу x представляється лінійною комбінацією векторів y - Лінійною комбінацією векторів. Отже вектори (6.10) вражають підпростір F. Отримали, що вектори (6.10) утворюють базис F=L+M.

Вивчаючи базиси підпросторів Lі Mта базис підпростору F=L+M(6.10), маємо: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Отже:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Пряма сума підпросторів

Визначення 6.2. Простір Fявляє собою пряму суму підпросторів Lі Mякщо кожен вектор x простору Fможе бути єдиним способом представлений у вигляді суми x=y+z , де y ∈L та z ∈M.

Пряма сума позначається L⊕M. Кажуть, що якщо F=L⊕M, то Fрозкладається у пряму суму своїх підпросторів Lі M.

Теорема 6.2. Для того щоб n-мірний простір Rявляло собою пряму суму підпросторів Lі M, достатньо, щоб перетин Lі Mмістило тільки нульовий елемент і щоб розмірність R дорівнювала сумі розмірностей підпросторів Lі M.

Доведення. Виберемо деякий базис у підпросторі L та деякий базис у підпросторі M. Доведемо, що

(6.11) є базисом простору R. За умовою теореми розмірність простору R nдорівнює сумі підпросторів Lі M (n=l+m). Достатньо довести лінійну незалежність елементів (6.11). Нехай нульовий вектор простору Rпредставляється лінійною комбінацією векторів (6.11) з деякими коефіцієнтами:

(6.13)Оскільки ліва частина (6.13) є вектором підпростору Lа права частина - вектором підпростору Mі L∩M=0 , то

(6.14) Але вектори і є базисами підпросторів Lі Mвідповідно. Отже, вони лінійно незалежні. Тоді

(6.15)Встановили, що (6.12) справедливо лише за умови (6.15), але це доводить лінійну незалежність векторів (6.11). Отже вони утворюють базис у R.

Нехай x∈R. Розкладемо його за базисом (6.11):

(6.16) З (6.16) маємо:

(6.18)З (6.17) і (6.18) слід, що будь-який вектор з Rможна уявити сумою векторів x 1 ∈Lі x 2 ∈M. Залишається довести, що це уявлення є єдиним. Нехай крім уявлення (6.17) є й таке уявлення:

(6.19) Віднімаючи (6.19) з (6.17), отримаємо

(6.20)Оскільки , і L∩M=0 , і . Отже і. ■

Теорема 8.4 про розмірність суми підпросторів. Якщо і підпростору кінцевого лінійного простору, то розмірність суми підпросторів дорівнює сумі їх розмірностей без розмірності їх перетину ( формула Грассмана):

Справді, хай - базис перетину. Доповнимо його впорядкованим набором векторів до базису підпростору та впорядкованим набором векторів до базису підпростору. Таке доповнення можливе за теоремою 8.2. З зазначених трьох наборів векторів складемо впорядкований набір векторів. Покажемо, що ці вектори є такими, що утворюють простори . Справді, будь-який вектор цього простору представляється у вигляді лінійної комбінації векторів із впорядкованого набору

Отже, . Доведемо, що утворюють лінійно незалежні і тому є базисом простору . Справді складемо лінійну комбінацію цих векторів і прирівняємо її нульовому вектору: . Всі коефіцієнти такого розкладання нульові: підпростор векторного простору з білінійною формою - це безліч всіх векторів, ортогональних кожному вектору. Ця множина є векторним підпростором, який зазвичай позначається.

У статті описані основи лінійної алгебри: лінійний простір, його властивості, поняття базису, розмірність простору, лінійна оболонка, зв'язок лінійних просторів та рангом матриць.

Лінійний простір

Безліч Lназивається лінійним простором,якщо для всіх його елементів визначено операції складання двох елементів та множення елемента на число, що задовольняє Iгрупі аксіом Вейля. Елементи лінійного простору називаються векторами. Це повне визначення; коротше можна сказати, що лінійне простір – це безліч елементів, котрим визначено операції складання двох елементів і множення елемента на число.

Аксіоми Вейлі.

Герман Вейльприпустив, що в геометрії ми маємо два типи об'єктів ( вектор і точки), властивості яких описуються наступними аксіомами, які і були покладені в основу розділу лінійної алгебри. Аксіоми зручно розбити на 3 групи.

Група I

1. для будь-яких векторів х і у виконується рівність х + у = у + х;
2. для будь-яких векторів х, у та z виконується рівність х+(у+z)=(х+y)+z;
3. існує такий вектор, що для будь-якого вектора х виконується рівність х + о = х;
4. для будь-якого вектора хіснує такий вектор (-х), що х + (-х) = про;
5. для будь-якого вектора хмає місце рівність 1х = х;
6. для будь-яких векторів хі ута будь-якого числа λ виконується рівність λ( х+у)=λ х+λ у;
7. для будь-якого вектора хі будь-яких чисел λ та μ має місце рівність (λ+μ) х=λ х+μ х;
8. для будь-якого вектора хі будь-яких чисел λ та μ має місце рівність λ(μ х)=(λμ) х;

Група II

Група I визначає поняття лінійної комбінації векторів, лінійної залежності та лінійної незалежності.Це дозволяє сформулювати ще дві аксіоми:

1. існує n лінійно незалежних векторів;
2. будь-які (n+1) вектори лінійно залежні.

Для планіметрії n=2 для стереометрії n=3.

Група III

Дана група передбачає, що є операція скалярного множення, що ставить у відповідність парі векторів хі учисло ( х,у). При цьому:

1. для будь-яких векторів хі увиконується рівність ( х,у)=(у,х);
2. для будь-яких векторів х , уі zвиконується рівність ( х+у,z)=(x,z)+(y,z);
3. для будь-яких векторів хі уі будь-якого числа λ виконується рівність (λ х,у)=λ( х,у);
4. для будь-якого вектора х має місце нерівність ( х,х)≥0, причому ( х,х)=0 тоді і лише тоді, коли х=0.

Властивості лінійного простору

Здебільшого властивості лінійного простору засновані на аксіомах Вейля:

1. Вектор о, Існування якого гарантується аксіомою 3, визначається єдиним чином;
2. Вектор (- х), існування якого гарантується аксіомою 4, визначається єдиним чином;
3. Для будь-яких двох векторів аі b, що належать простору Lіснує єдиний вектор х, що також належить простору L, що є рішенням рівняння a+x=bі званий різницею векторів b-a.

Визначення.Підмножина L’лінійного простору Lназивається лінійним підпросторомпростору L, якщо вона сама є лінійним простором, в якому сума векторів і добуток вектора на число визначаються так, як і L.

Визначення. Лінійною оболонкою L(х1, х2, х3, …, хk) векторів х1, х2, х3,і хkназивається безліч всіх лінійних комбінацій цих векторів. Про лінійну оболонку можна сказати, що

-лінійна оболонка є лінійним підпростором;

– лінійна оболонка є мінімальним лінійним підпростором, що містить вектори х1, х2, х3,і хk.

Визначення.Лінійний простір називається n- мірним, якщо він задовольняє II групі системи аксіом Вейля. Число n називається розмірністюлінійного простору та пишуть dimL=n.

Базис– будь-яка впорядкована система з nлінійно незалежних векторів простору. Сенс базису такий, що векторами , що становлять базис, можна розписати будь-якого вектора у просторі .

Теорема.Будь-які n лінійно незалежних векторів у просторі L утворюють базис.

Ізоморфізм.

Визначення. Лінійні простори Lі L’називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити таку взаємно однозначну відповідність х↔х’, що:

1. якщо х↔х’, у↔у’, то х+у↔х’+у’;
2. якщо х↔х’, то λ х↔λ х’.

Сама ця відповідність називається ізоморфізмом. Ізоморфізм дозволяє зробити такі твердження:

• якщо два простори ізоморфні, їх розмірності рівні;
• будь-які два лінійних простори над тим самим полем і однакової розмірності ізоморфні.

1. Безліч багаточленів P n (x) ступеня не вище n.

2. Безліч n-членних послідовностей (з почленним додаванням і множенням на скаляр)

3 . Безліч функцій C [ а , b ] безперервних на [ а, b] і з поточковим додаванням і множенням на скаляр.

4. Безліч функцій, заданих на [ а, b] і звертаються до 0 у деякій фіксованій внутрішній точці з: f (c) = 0 і з поточковими операціями складання та множення на скаляр.

5. Безліч R + , якщо x ⊕ y  x  y, ⊙x x  .

§8. Визначення підпростору

Нехай безліч Wє підмножиною лінійного простору V (W  V) і таке, що

а)  x, yW  x ⊕ yW;

б)  xW,    ⊙ xW.

Операції складання та множення тут ті ж, що й у просторі V(вони називаються індукованими простором V).

Така безліч Wназивається підпростором простору V.

7  . Підпростір Wсаме є простором.

◀ Для доказу достатньо довести існування нейтрального елемента та протилежного. Рівності 0⊙ x=  та (–1)⊙ х = –хдоводять необхідне.

Підпростір, що складається тільки з нейтрального елемента () і підпростір, що збігається з самим простором V, називаються тривіальними підпросторами простору V.

§9. Лінійна комбінація векторів. Лінійна оболонка системи векторів

Нехай вектори e 1 ,e 2 , …e n Vта  1 ,  2 , …  n .

Вектор x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = називається лінійноюкомбінацією векторів e 1 , e 2 , … , e nз коефіцієнтами  1 ,  2 , …  n .

Якщо всі коефіцієнти в лінійній комбінації дорівнюють нулю, то лінійна комбінація називаєтьсятривіальною.

Безліч різноманітних лінійних комбінацій векторів
називається лінійною оболонкоюцією системою векторів і позначається:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Коректність операцій складання та множення на скаляр випливає з того, що ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) – це безліч різноманітних лінійних комбінацій. Нейтральний елемент – це тривіальна лінійна комбінація. Для елемента х=
протилежним є елемент – x =
. Аксіоми, яким мають задовольняти операції, також виконані. Таким чином,ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) є лінійним простором.

Будь-яке лінійне простір містить у собі, загальному випадку, безліч інших лінійних просторів (підпросторів) – лінійних оболонок

Надалі ми постараємося відповісти на такі питання:

Коли лінійні оболонки різних систем векторів складаються з тих самих векторів (тобто. збігаються)?

2) Яке мінімальне число векторів визначає одну й ту саму лінійну оболонку?

3) Чи є вихідний простір лінійною оболонкою певної системи векторів?

§10. Повні системи векторів

Якщо у просторі Vіснує кінцевий набір векторів
такий що,ℒ
 V, то система векторів
називається повною системою в V, А простір називається кінцевим. Таким чином, система векторів e 1 , e 2 , …, e n Vназивається повною в Vсистемою, тобто. якщо

хV   1 ,  2 , …  n такі, що x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Якщо у просторі Vнемає кінцевої повної системи (а повна існує завжди – наприклад, безліч всіх векторів простору V), то простір Vназивається нескінченномірним.

9  . Якщо
повна в Vсистема векторів та y V, то ( e 1 , e 2 , …, e n , y) - також повна система.

◀ Достатньо в лінійних комбінаціях коефіцієнт перед yбрати рівним 0.

Нехай – система векторів із . Лінійною оболонкою системи векторівназивається безліч всіх лінійних комбінацій векторів цієї системи, тобто

Властивості лінійної оболонки: Якщо , то для і .

Лінійна оболонка має властивість замкнутості по відношенню до лінійних операцій (операції складання та множення на число).

Підмножина простору, що має властивість замкнутості по відношенню до операцій складання та множення на числа, називаєтьсялінійним підпростором простору .

Лінійна оболонка системи векторів - лінійний підпростір простору.

Система векторів називається базисом ,якщо

Будь-який вектор можна виразити у вигляді лінійної комбінації базисних векторів:

2. Система векторів є лінійно незалежною.

Лемма Коефіцієнти розкладання вектора за базисом визначено однозначно.

Вектор складений з коефіцієнтів розкладання вектора за базисом називається координатним вектором вектора у базисі .

Позначення . Цей запис підкреслює, що координати вектора залежать від базису.

Лінійні простори

Визначення

Нехай надано безліч елементів довільної природи. Нехай для елементів цієї множини визначено дві операції: додавання та множення на будь-яке речове число : і безліч замкнутощодо цих операцій: . Нехай ці операції підпорядковуються аксіомам:

3. існує нульовий вектор з властивістю для ;

4. для кожного існує зворотний вектор із властивістю;

6. для , ;

7. для , ;

Тоді така множина називається лінійним (векторним) простором, його елементи називаються векторами, і - щоб підкреслити їхню відмінність від чисел з - останні називаються скалярами 1). Простір, що складається з одного лише нульового вектора, називається тривіальним .

Якщо в аксіомах 6 - 8 допустити множення і на комплексні скаляри, то такий лінійний простір називається комплексним. Для спрощення міркувань усюди надалі ми розглядатимемо лише речові простори.

Лінійний простір є групою щодо операції додавання, причому групою обелевой.

Елементарно доводиться єдиність нульового вектора, і єдиність вектора, зворотного вектору: , його зазвичай позначають .

Підмножина лінійного простору, що є лінійним простором (тобто замкнуто щодо складання векторів і множення на довільний скаляр), називається лінійним підпросторомпростору. Тривіальними просторамилінійного простору називаються саме і простір, що складається з одного нульового вектора.

приклад.Простір упорядкованих трійок дійсних чисел

операціями, що визначаються рівностями:

Геометрична інтерпретація очевидна: вектор у просторі, «прив'язаний» початку координат, може бути заданий в координатах свого кінця . На малюнку показано і типове підпростір простору: площину, яка проходить через початок координат. Точніше, елементами є вектори, що мають початок на початку координат і кінці - у точках площини. Замкненість такої множини щодо складання векторів та їх розтягування 2) очевидна.

Виходячи з цієї геометричної інтерпретації, часто говорять про вектор довільного лінійного простору як про точці простору. Іноді цю точку називають «кінцем вектора». Крім зручності асоціативного сприйняття, цим словам не надається жодного формального сенсу: поняття «кінець вектора» відсутнє в аксіоматиці лінійного простору.

приклад.Грунтуючись на тому ж прикладі, можна дати й іншу інтерпретацію векторного простору (закладену, до речі, вже в самому походженні слова «вектор» 3) – воно визначає набір «зрушень» точок простору. Ці зрушення - або паралельні перенесення будь-якої просторової фігури - вибираються паралельними площині.

Взагалі кажучи, з подібними інтерпретаціями поняття вектора все не так просто. Спроби апелювати до його фізичного змісту – як до об'єкта, що має величинуі напрямок- Викликають справедливу відповідь суворих математиків. Визначення вектора як елемента векторного простору дуже нагадує епізод з сепулькамизі знаменитого фантастичного оповідання Станіслава Лема (див. ☞ТУТ). Не зациклюватимемося на формалізмі, а досліджуємо цей нечіткий об'єкт у його приватних проявах.

приклад.Природним узагальненням служить простір: векторний простір рядків або стовпчик . Один із способів завдання підпростору - завдання набору обмежень.

приклад.Безліч рішень системи лінійних однорідних рівнянь:

утворює лінійне підпростір простору. Справді, якщо

Рішення системи, то й

Теж рішення за будь-якого. Якщо

Ще одне рішення системи, то й

Теж буде її рішенням.

Чому безліч рішень системи неоднорідних рівнянь не утворює лінійного підпростору?

приклад.Узагальнюючи далі, можемо розглянути простір «нескінченних» рядків або послідовностей , що зазвичай є об'єктом математичного аналізу - при розгляді послідовностей та рядів. Можна розглядати рядки (послідовності) "нескінченні в обидві сторони" - вони використовуються в ТЕОРІЇ СИГНАЛІВ.

приклад.Безліч -матриць з речовими елементами з операціями додавання матриць і множення на речові числа утворює лінійний простір.

У просторі квадратних матриць порядку можна виділити два підпростори: підпростір симетричних матриць і кососиметричних простір матриць. Крім того, підпростору утворюють кожну з множин: верхньотрикутних, нижньотрикутних ідіагональних матриць.

приклад.Безліч поліномів одного змінного ступеня в точності дорівнює коефіцієнтам з (де - будь-яка з множин або ) зі звичайними операціями складання поліномів і множення на число з не утворює лінійного простору. Чому? - Тому що воно не є замкненим щодо додавання: сума поліномів і не буде поліномом-го ступеня. Але ось безліч поліномів ступеня Не вище

лінійний простір утворює; тільки до цієї множини треба надати ще й тотожно нульової поліном 4) . Очевидними підпросторами є. Крім того, підпросторами будуть безліч парних і безліч непарних поліномів ступеня не вище. Безліч різних поліномів (без обмеження на ступені) теж утворює лінійний простір.

приклад.Узагальненням попереднього випадку буде простір поліномів кількох змінних ступеня не вище з коефіцієнтами. Наприклад, безліч лінійних поліномів

утворює лінійний простір. Безліч однорідних поліномів(форм) ступеня (з приєднанням до цієї множини тотожно нульового полінома) - також лінійний простір.

З точки зору наведеного вище визначення, безліч рядків з цілими компонентами

розглядається щодо операцій покомпонентної додавання та множення на цілочисленні скаляри, що не є лінійним простором. Тим не менш, всі аксіоми 1 - 8 будуть виконані, якщо ми допустимо множення тільки на цілі скаляри. У цьому розділі ми не акцентуватимемо увагу на цьому об'єкті, але він досить корисний у дискретній математиці, наприклад у ☞ ТЕОРІЇ КОДИРУВАННЯ. Лінійні простори над кінцевими полями розглядаються ☞ ТУТ.

Змінні ізоморфні простору симетричних матриць-го порядку. Ізоморфізм встановлюється відповідністю, яку ми проілюструємо для випадку:

Поняття ізоморфізму вводиться для того, щоб дослідження об'єктів, що виникають у різних галузях алгебри, але з «схожими» властивостями операцій, вести на прикладі одного зразка, відпрацьовуючи на ньому результати, які можна буде дешево тиражувати. Яке саме лінійне місце взяти «для зразка»? - Див. кінцівку наступного пункту