Matritsalar, matritsalar ustida amallar. teskari matritsa
1-kurs, oliy matematika, o'qish matritsalar va ular bo'yicha asosiy harakatlar. Bu erda matritsalar bilan bajarilishi mumkin bo'lgan asosiy amallarni tizimlashtiramiz. Matritsalar bilan tanishishni qaerdan boshlash kerak? Albatta, eng oddiy narsalardan - ta'riflar, asosiy tushunchalar va oddiy operatsiyalar. Sizni ishontirib aytamizki, matritsalar ularga kamida bir oz vaqt ajratadigan har bir kishi tomonidan tushuniladi!
Matritsa ta'rifi
Matritsa elementlarning to'rtburchaklar jadvalidir. Xo'sh, oddiy so'zlar bilan - raqamlar jadvali.
Odatda, matritsalar katta lotin harflari bilan belgilanadi. Masalan, matritsa A , matritsa B va hokazo. Matritsalar turli o'lchamlarda bo'lishi mumkin: to'rtburchaklar, kvadratlar va vektorlar deb ataladigan qator va ustun matritsalari ham mavjud. Matritsaning o'lchami qatorlar va ustunlar soni bilan belgilanadi. Masalan, o'lchamdagi to'rtburchaklar matritsani yozamiz m yoqilgan n , Qayerda m – qatorlar soni va n - ustunlar soni.
Buning uchun narsalar i=j (a11, a22, .. ) matritsaning bosh diagonalini tashkil qiladi va diagonal deyiladi.
Matritsalar bilan nima qilish mumkin? Qo'shish/ayirish, raqamga ko'paytiring, o'zaro ko'payadi, ko'chirish. Endi matritsalar bo'yicha barcha asosiy operatsiyalar haqida.
Matritsalarni qo‘shish va ayirish amallari
Darhol ogohlantiramizki, siz faqat bir xil o'lchamdagi matritsalarni qo'shishingiz mumkin. Natijada bir xil o'lchamdagi matritsa bo'ladi. Matritsalarni qo'shish (yoki ayirish) oddiy - siz faqat ularning tegishli elementlarini qo'shishingiz kerak . Keling, bir misol keltiraylik. Ikkita kattalikdagi A va B matritsalarni ikkidan ikkiga qo‘shishni bajaramiz.
Ayirish analogiya bo'yicha, faqat qarama-qarshi belgi bilan amalga oshiriladi.
Har qanday matritsani ixtiyoriy raqamga ko'paytirish mumkin. Buning uchun, uning har bir elementini shu raqamga ko'paytirishingiz kerak. Masalan, birinchi misoldagi A matritsasini 5 raqamiga ko'paytiramiz:
Matritsalarni ko‘paytirish amali
Hamma matritsalarni birga ko'paytirib bo'lmaydi. Misol uchun, bizda ikkita matritsa bor - A va B. Ularni faqat A matritsa ustunlari soni B matritsa satrlari soniga teng bo'lsa, ularni bir-biriga ko'paytirish mumkin. natijada olingan matritsaning i-qatorda va j-ustunda joylashgan har bir elementi birinchi omilning i-qatori va j-ustunidagi mos keladigan elementlarning koʻpaytmalari yigʻindisiga teng boʻladi. ikkinchisi. Ushbu algoritmni tushunish uchun ikkita kvadrat matritsa qanday ko'paytirilishini yozamiz:
Va haqiqiy raqamlar bilan bir misol. Keling, matritsalarni ko'paytiramiz:
Matritsalarni almashtirish operatsiyasi
Matritsa transpozitsiyasi - bu tegishli satrlar va ustunlar almashtiriladigan operatsiya. Masalan, birinchi misoldagi A matritsasini almashtiramiz:
Matritsa determinanti
Determinant yoki aniqlovchi chiziqli algebraning asosiy tushunchalaridan biridir. Bir paytlar odamlar chiziqli tenglamalarni o'ylab topishgan va ulardan keyin determinant bilan chiqishlari kerak edi. Oxir-oqibat, bularning barchasi bilan shug'ullanish sizga bog'liq, shuning uchun oxirgi surish!
Determinant kvadrat matritsaning raqamli xarakteristikasi bo'lib, u ko'p muammolarni hal qilish uchun zarurdir.
Eng oddiy kvadrat matritsaning determinantini hisoblash uchun asosiy va ikkilamchi diagonallar elementlarining mahsuloti orasidagi farqni hisoblash kerak.
Birinchi tartibli, ya'ni bir elementdan iborat matritsaning determinanti shu elementga teng.
Agar matritsa uchdan uch bo'lsa nima bo'ladi? Bu qiyinroq, lekin siz uni boshqarishingiz mumkin.
Bunday matritsa uchun determinantning qiymati asosiy diagonal elementlari va yuzi bosh diagonalga parallel bo'lgan uchburchaklar ustida yotgan elementlarning ko'paytmalari yig'indisiga teng bo'lib, undan ikkilamchi diagonalning elementlari va parallel ikkilamchi diagonalning yuzi bo'lgan uchburchaklar ustida yotgan elementlarning ko'paytmasi ayiriladi.
Yaxshiyamki, amalda kamdan-kam hollarda katta o'lchamdagi matritsalarning determinantlarini hisoblash kerak.
Bu erda biz matritsalar ustidagi asosiy amallarni ko'rib chiqdik. Albatta, haqiqiy hayotda siz hech qachon matritsali tenglamalar tizimiga ishora qilolmaysiz yoki aksincha, siz haqiqatan ham miyangizni chayqashingiz kerak bo'lgan ancha murakkab holatlarga duch kelishingiz mumkin. Aynan shunday holatlar uchun professional talaba xizmatlari mavjud. Yordam so'rang, yuqori sifatli va batafsil yechimni oling, akademik muvaffaqiyat va bo'sh vaqtdan zavqlaning.
Ma’ruza 1. “Matritsalar va ular ustidagi asosiy amallar. Aniqlovchilar
Ta'rif. Matritsa hajmi m n, Qayerda m- qatorlar soni, n- ustunlar soni, ma'lum bir tartibda joylashtirilgan raqamlar jadvali deb ataladi. Bu raqamlar matritsa elementlari deb ataladi. Har bir elementning joylashuvi o'ziga xos tarzda u joylashgan kesishgan satr va ustunning soni bilan belgilanadi. Matritsaning elementlari belgilangana ij, Qayerda i- qator raqami va j- ustun raqami.
A =
Matritsalar ustidagi asosiy amallar.
Matritsa bitta satr yoki bitta ustundan iborat bo'lishi mumkin. Umuman olganda, matritsa hatto bitta elementdan iborat bo'lishi mumkin.
Ta'rif. Agar matritsa ustunlari soni qatorlar soniga teng bo'lsa (m = n), u holda matritsa deyiladi. kvadrat.
Ta'rif. Matritsa ko'rinishi:
= E
,
chaqirdi identifikatsiya matritsasi.
Ta'rif. Agar a mn = a nm , keyin matritsa chaqiriladi simmetrik.
Misol. 
- simmetrik matritsa
Ta'rif.
Shaklning kvadrat matritsasi 
chaqirdi diagonal matritsa.
Qo‘shish va ayirish matritsalar ularning elementlari ustidagi tegishli amallarga qisqartiriladi. Bu operatsiyalarning eng muhim xususiyati shundaki, ular faqat bir xil o'lchamdagi matritsalar uchun aniqlanadi. Shunday qilib, matritsalarni qo'shish va ayirish operatsiyalarini aniqlash mumkin:
Ta'rif. Sum (farq) matritsalar - bu matritsa bo'lib, uning elementlari mos ravishda dastlabki matritsalar elementlarining yig'indisi (farqi).
c ij = a ij b ij
C = A + B = B + A.
Operatsiya ko'paytirish (bo'lish) ixtiyoriy son bilan har qanday o'lchamdagi matritsa matritsaning har bir elementini shu raqamga ko'paytirish (bo'lish) uchun qisqartiriladi.
(A+B) = A B A( ) = A A
Misol. Berilgan matritsalar A = 
; B= 
, 2A + B ni toping.
2A = 
, 2A + B = 
.
Matritsalarni ko‘paytirish amali.
Ta'rif: Ish matritsalar - elementlari quyidagi formulalar yordamida hisoblanishi mumkin bo'lgan matritsa:
A
B =
C;
.
Yuqoridagi ta'rifdan ma'lum bo'ladiki, matritsalarni ko'paytirish amali faqat matritsalar uchun aniqlanadi birinchisining ustunlari soni ikkinchisining qatorlari soniga teng.
Matritsani ko'paytirish amalining xossalari.
1) Matritsalarni ko'paytirishkommutativ emas , ya'ni. AB Ikkala mahsulot ham aniqlangan bo'lsa ham VA. Lekin har qanday matritsalar uchun AB = BA munosabati qanoatlansa, bunday matritsalar deyiladi.almashtiriladigan.
Eng tipik misol bir xil o'lchamdagi har qanday boshqa matritsa bilan almashinadigan matritsa.
Faqat bir xil tartibli kvadrat matritsalar almashtirilishi mumkin.
A E = E A = A
Shubhasiz, har qanday matritsalar uchun quyidagi xususiyat mavjud:
A O = O; O A = O,
qaerda O - nol matritsa.
2) Matritsani ko‘paytirish amali assotsiativ, bular. agar AB va (AB)C ko'paytmalari aniqlangan bo'lsa, u holda BC va A (BC) aniqlanadi va tenglik bajariladi:
(AB)C=A(BC).
3) Matritsani ko‘paytirish amali tarqatuvchi qo'shishga nisbatan, ya'ni. agar A(B+C) va (A+B)C iboralari ma’noli bo‘lsa, mos ravishda:
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC.
4) Agar AB mahsuloti aniqlangan bo'lsa, u holda istalgan son uchun quyidagi nisbat to'g'ri:
(AB) = ( A) B = A( B).
5) Agar AB mahsuloti aniqlansa, B T A T mahsuloti aniqlanadi va tenglik bajariladi:
(AB) T = B T A T, bu erda
T indeksini bildiradi ko'chirilgan matritsa.
6) Shuni ham yodda tutingki, har qanday kvadrat matritsalar uchun det (AB) = detA detB.
Nima bo'ldi det quyida muhokama qilinadi.
Ta'rif . B matritsasi deyiladi ko'chirilgan A matritsasi va A dan B ga o'tish transpozitsiya, agar A matritsaning har bir satrining elementlari B matritsa ustunlarida bir xil tartibda yozilsa.
A = 
; B = A T = 
;
boshqacha qilib aytganda, b ji = a ij .
Oldingi xususiyat (5) natijasida biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:
(ABC ) T = C T B T A T ,
ABC matritsalarining mahsuloti aniqlangan taqdirda.
Misol.
Berilgan matritsalar A = 
, B =, C = 
va raqam = 2. A T B+ C ni toping.
A T =
;
A T B =
=
=
;
C =
; A T B+ C = +
=
.
Misol. A = va B = matritsalarining mahsulotini toping 
.
AB = = 
.
VA =
= 2
1 + 4
4 + 1
3 = 2 + 16 + 3 = 21.
Misol. A= matritsalarining mahsulotini toping 
, B = 
AB =
= 
= 
.
Aniqlovchilar(determinantlar).
Ta'rif.
Aniqlovchi kvadrat matritsasi A= 
matritsa elementlaridan quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin bo'lgan raqam:
det A = 
, bu erda (1)
M 1 gacha– birinchi qatorni va k-ustunni o‘chirish orqali asl nusxadan olingan matritsaning determinanti. Shuni ta'kidlash kerakki, determinantlar faqat kvadrat matritsalarga ega, ya'ni. qatorlar soni ustunlar soniga teng bo'lgan matritsalar.
F 
formula (1) birinchi qatordan matritsaning determinantini hisoblash imkonini beradi birinchi ustundan determinantni hisoblash formulasi ham amal qiladi:
det A = 
(2)
Umuman olganda, determinant matritsaning istalgan satri yoki ustunidan hisoblanishi mumkin, ya'ni. formula to'g'ri:
detA = 
, i = 1,2,…,n. (3)
Shubhasiz, turli matritsalar bir xil determinantlarga ega bo'lishi mumkin.
Identifikatsiya matritsasining determinanti 1 ga teng.
Belgilangan A matritsa uchun M 1k soni chaqiriladi qo'shimcha kichik matritsa elementi a 1 k. Shunday qilib, matritsaning har bir elementi o'ziga xos qo'shimcha minorga ega degan xulosaga kelishimiz mumkin. Qo'shimcha kichiklar faqat kvadrat matritsalarda mavjud.
Ta'rif. Qo'shimcha kichik kvadrat matritsaning ixtiyoriy elementining a ij i-satr va j-ustunni o‘chirish orqali asl nusxadan olingan matritsaning determinantiga teng.
Mulk 1. Determinantlarning muhim xususiyati quyidagi munosabatlardir:
det A = det A T;
Mulk 2. det (A B) = det A det B.
Mulk 3. det (AB) = detA detB
Mulk 4. Agar kvadrat matritsadagi har qanday ikkita satr (yoki ustunlar) almashtirilsa, matritsaning determinanti mutlaq qiymatni o'zgartirmasdan belgini o'zgartiradi.
Mulk 5. Matritsaning ustunini (yoki qatorini) raqamga ko'paytirganda, uning determinanti shu raqamga ko'paytiriladi.
Mulk 6. Agar A matritsada satrlar yoki ustunlar chiziqli bog'liq bo'lsa, uning determinanti nolga teng.
Ta'rif: Matritsaning ustunlari (satrlari) deyiladi chiziqli bog'liq, agar ularning nolga teng chiziqli birikmasi mavjud bo'lsa, u nol bo'lmagan (nol bo'lmagan) echimlarga ega.
Mulk 7. Agar matritsada nol ustun yoki nol qator bo'lsa, uning determinanti nolga teng. (Bu bayonot aniq, chunki determinantni nol qator yoki ustun bilan aniq hisoblash mumkin.)
Mulk 8. Agar matritsaning determinanti uning satrlaridan (ustunlaridan) birining elementlariga boshqa satr (ustun) elementlari qo‘shilsa (ayirilsa), nolga teng bo‘lmagan istalgan songa ko‘paytirilsa, uning determinanti o‘zgarmaydi.
Mulk 9. Agar matritsaning istalgan satri yoki ustuni elementlari uchun quyidagi munosabat to'g'ri bo'lsa:d = d 1 d 2 , e = e 1 e 2 , f = det (AB).
1-usul: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26.
2-usul: AB =
,
det (AB) = 7
18 - 8
19 = 126 –
– 152 = -26.
Ushbu qo'llanma sizga qanday ishlashni o'rganishga yordam beradi matritsalar bilan amallar: matritsalarni qo‘shish (ayirish), matritsani transpozitsiya qilish, matritsalarni ko‘paytirish, teskari matritsani topish. Barcha materiallar sodda va tushunarli shaklda taqdim etilgan, tegishli misollar keltirilgan, shuning uchun hatto tayyor bo'lmagan odam ham matritsalar bilan qanday harakatlar qilishni o'rganishi mumkin. O'z-o'zini nazorat qilish va o'z-o'zini sinab ko'rish uchun siz matritsali kalkulyatorni bepul yuklab olishingiz mumkin >>>.
Men nazariy hisob-kitoblarni minimallashtirishga harakat qilaman, ba'zi joylarda "barmoqlarda" tushuntirishlar va ilmiy bo'lmagan atamalardan foydalanish mumkin. Qattiq nazariyani sevuvchilar, iltimos, tanqid bilan shug'ullanmang, bizning vazifamiz matritsalar bilan amallarni bajarishni o'rganish.
Mavzu bo'yicha SUPER FAST tayyorlash uchun ("olovda") intensiv pdf kursi mavjud Matritsa, determinant va test!
Matritsa - bu ba'zilarining to'rtburchaklar jadvali elementlar. Sifatda elementlar sonlarni, ya'ni sonli matritsalarni ko'rib chiqamiz. ELEMENT atama hisoblanadi. Bu atamani eslab qolish tavsiya etiladi, u tez-tez paydo bo'ladi, men uni ta'kidlash uchun qalin shriftdan foydalanganim tasodif emas.
Belgilanishi: matritsalar odatda bosh lotin harflari bilan belgilanadi
Misol: Ikki-uch matritsani ko'rib chiqing:
Ushbu matritsa oltitadan iborat elementlar:
Matritsa ichidagi barcha raqamlar (elementlar) o'z-o'zidan mavjud, ya'ni hech qanday ayirish haqida gap bo'lmaydi: 
Bu shunchaki raqamlar jadvali (to'plami)!
Biz ham rozi bo'lamiz qayta tartibga solmang raqamlar, agar tushuntirishlarda boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa. Har bir raqam o'z manziliga ega va uni aralashtirib bo'lmaydi!
Ko'rib chiqilayotgan matritsa ikkita qatorga ega: 
va uchta ustun: 
STANDART: matritsa o'lchamlari haqida gapirganda, keyin boshida qatorlar sonini va shundan keyingina ustunlar sonini ko'rsating. Biz hozirgina ikki-uch matritsani ajratdik.
Agar matritsaning satrlari va ustunlari soni bir xil bo'lsa, u holda matritsa deyiladi. kvadrat, Masalan: 
– uchga uch matritsa.
Agar matritsada bitta ustun yoki bitta satr bo'lsa, bunday matritsalar ham deyiladi vektorlar.
Darhaqiqat, biz maktabdan beri matritsa tushunchasini bilamiz, masalan, "x" va "y" koordinatalari bo'lgan nuqtani ko'rib chiqing: . Asosan, nuqtaning koordinatalari bir-ikki matritsaga yoziladi. Aytgancha, bu erda raqamlar tartibi nima uchun muhim ekanligiga bir misol: va samolyotda ikkita butunlay boshqa nuqta.
Endi o'qishga o'tamiz matritsalar bilan amallar:
1) Birinchi harakat. Matritsadan minusni olib tashlash (matritsaga minus kiritish).
Keling, matritsamizga qaytaylik 
. Siz sezganingizdek, bu matritsada juda ko'p salbiy sonlar mavjud. Bu matritsa bilan turli harakatlarni bajarish nuqtai nazaridan juda noqulay, juda ko'p minuslarni yozish noqulay va u dizaynda shunchaki xunuk ko'rinadi.
Matritsaning HAR bir elementining ishorasini o‘zgartirib, minusni matritsadan tashqariga o‘tkazamiz:
Nolda, siz tushunganingizdek, Afrikada ham nol belgisi o'zgarmaydi;
Teskari misol: 
. Bu xunuk ko'rinadi.
Matritsaning HAR bir elementining ishorasini o'zgartirib, matritsaga minus kiritamiz:
Xo'sh, bu yanada chiroyli bo'lib chiqdi. Va, eng muhimi, matritsa bilan har qanday harakatlarni bajarish OSONROQ bo'ladi. Chunki bunday matematik xalq belgisi bor: qancha minuslar bo'lsa, shunchalik chalkashlik va xatolar.
2) Ikkinchi harakat. Matritsani raqamga ko'paytirish.
Misol:
Bu oddiy, matritsani raqamga ko'paytirish uchun sizga kerak bo'ladi har matritsa elementi berilgan songa ko'paytiriladi. Bu holda - uchta.
Yana bir foydali misol:
– matritsani kasrga ko‘paytirish
Avval nima qilish kerakligini ko'rib chiqaylik KERAK EMAS:
Matritsaga kasrni kiritish YO'Q, birinchidan, bu faqat matritsa bilan keyingi harakatlarni murakkablashtiradi, ikkinchidan, o'qituvchining yechimni tekshirishini qiyinlashtiradi (ayniqsa, agar 
- topshiriqning yakuniy javobi).
Va ayniqsa, KERAK EMAS matritsaning har bir elementini minus etti ga bo'ling:
Maqoladan Dummies uchun matematika yoki qaerdan boshlash kerak, biz oliy matematikada ular har qanday yo'l bilan vergul bilan o'nli kasrlardan qochishga harakat qilishlarini eslaymiz.
Bitta narsa afzal Ushbu misolda nima qilish kerak, matritsaga minus qo'shish:
Lekin agar faqat HAMMA matritsa elementlari 7 ga bo'lingan izsiz, keyin bo'linish mumkin (va kerak!) bo'lar edi.
Misol:
Bunday holda, mumkin KERAK barcha matritsa elementlarini ga ko'paytiring, chunki barcha matritsa raqamlari 2 ga bo'linadi izsiz.
Eslatma: oliy maktab matematikasi nazariyasida "bo'linish" tushunchasi mavjud emas. "Buni shunga bo'linadi" deyish o'rniga, siz har doim "bu kasrga ko'paytirildi" deyishingiz mumkin. Ya'ni, bo'linish ko'paytirishning alohida holatidir.
3) Uchinchi harakat. Matritsaning transpozitsiyasi.
Matritsani ko'chirish uchun uning satrlarini ko'chirilgan matritsaning ustunlariga yozish kerak.
Misol:
Matritsani ko'chirish
Bu erda faqat bitta qator bor va qoidaga ko'ra, uni ustunga yozish kerak:
- ko'chirilgan matritsa.
Ko'chirilgan matritsa odatda yuqori o'ng tomonda ustun yoki tub bilan ko'rsatiladi.
Bosqichma-bosqich misol:
Matritsani ko'chirish 
Avval birinchi qatorni birinchi ustunga qayta yozamiz:
Keyin ikkinchi qatorni ikkinchi ustunga qayta yozamiz: 
Va nihoyat, uchinchi qatorni uchinchi ustunga qayta yozamiz:
Tayyor. Taxminan aytganda, transpozitsiya matritsani yon tomoniga aylantirishni anglatadi.
4) To'rtinchi harakat. Matritsalar yig'indisi (farqi)..
Matritsalar yig'indisi oddiy amaldir.
HAMMA MATRIKALARNI BUKLASH MUMKIN EMAS. Matritsalarni qo'shish (ayirish) ni amalga oshirish uchun ular BIR O'lchamda bo'lishi kerak.
Masalan, agar ikkiga ikki matritsa berilgan bo'lsa, uni faqat ikkiga ikki matritsa bilan qo'shish mumkin, boshqasi yo'q! 
Misol:
Matritsalarni qo'shing 
Va 
Matritsalarni qo'shish uchun siz ularga mos keladigan elementlarni qo'shishingiz kerak:
Matritsalar farqi uchun qoida shunga o'xshash, mos keladigan elementlarning farqini topish kerak.
Misol:
Matritsalar farqini toping 
, 
Qanday qilib bu misolni chalkashmaslik uchun osonroq hal qilishingiz mumkin? Buning uchun keraksiz minuslardan xalos bo'lish tavsiya etiladi, matritsaga minus qo'shing:
Eslatma: oliy maktab matematikasi nazariyasida “ayirish” tushunchasi mavjud emas. “Bundan buni ayiring” deyish o‘rniga, har doim “buniga manfiy raqam qo‘shing” deyishingiz mumkin. Ya'ni ayirish qo'shishning alohida holatidir.
5) Beshinchi harakat. Matritsalarni ko'paytirish.
Qanday matritsalarni ko'paytirish mumkin?
Matritsani matritsaga ko'paytirish uchun bu kerak shunday qilib, matritsa ustunlari soni matritsa satrlari soniga teng.
Misol:
Matritsani matritsaga ko'paytirish mumkinmi?
Bu matritsa ma'lumotlarini ko'paytirish mumkinligini anglatadi.
Ammo agar matritsalar qayta tartibga solingan bo'lsa, unda bu holda, ko'paytirish endi mumkin emas!
Shunday qilib, ko'paytirish mumkin emas:
Talabadan matritsalarni ko'paytirish so'ralganda, ularni ko'paytirish imkonsiz bo'lgan nayrang bilan topshiriqlarga duch kelish juda kam uchraydi.
Shuni ta'kidlash kerakki, ba'zi hollarda matritsalarni ikkala usulda ham ko'paytirish mumkin.
Masalan, matritsalar uchun va ko'paytirish ham, ko'paytirish ham mumkin
MATRIXANING TA'RIFI. MATRISA TURLARI
m o'lchamdagi matritsa× n to'plam deb ataladi m·n ning to'rtburchaklar jadvaliga joylashtirilgan raqamlar m chiziqlar va n ustunlar. Ushbu jadval odatda qavslar ichiga olinadi. Masalan, matritsa quyidagicha ko'rinishi mumkin:
Qisqartirish uchun matritsa bitta bosh harf bilan belgilanishi mumkin, masalan, A yoki IN.
Umuman olganda, o'lchamli matritsa m× n shunday yozing
.
Matritsani tashkil etuvchi raqamlar deyiladi matritsa elementlari. Matritsa elementlarini ikkita indeks bilan ta'minlash qulay a ij: Birinchisi qator raqamini, ikkinchisi esa ustun raqamini bildiradi. Masalan, a 23– element 2-qatorda, 3-ustunda.
Agar matritsada qatorlar soni ustunlar soniga teng bo'lsa, u holda matritsa deyiladi. kvadrat, va uning satrlari yoki ustunlari soni chaqiriladi tartibda; ... uchun matritsalar. Yuqoridagi misollarda ikkinchi matritsa kvadratdir - uning tartibi 3, to'rtinchi matritsa esa uning tartibi 1.
Qatorlar soni ustunlar soniga teng bo'lmagan matritsa deyiladi to'rtburchaklar. Misollarda bu birinchi matritsa va uchinchisi.
Faqat bitta satr yoki bitta ustunga ega matritsalar ham bor.
Faqat bitta qatordan iborat matritsa deyiladi matritsa - qator(yoki satr) va faqat bitta ustunli matritsa matritsa - ustun.
Barcha elementlari nolga teng bo'lgan matritsa deyiladi null va (0) yoki oddiygina 0 bilan belgilanadi. Masalan,
.
Asosiy diagonal kvadrat matritsaning yuqori chapdan pastki o'ng burchagiga o'tadigan diagonali deb ataymiz.
Asosiy diagonal ostidagi barcha elementlar nolga teng bo'lgan kvadrat matritsa deyiladi uchburchak matritsa.
.
Asosiy diagonaldagi elementlardan tashqari barcha elementlari nolga teng bo'lgan kvadrat matritsa deyiladi. diagonal matritsa. Masalan, yoki.
Barcha diagonal elementlari bittaga teng bo'lgan diagonal matritsa deyiladi yagona matritsa va E harfi bilan belgilanadi. Masalan, 3-tartibli identifikatsiya matritsasi shaklga ega. 
.
MATRISALAR BO'YICHA HARAKATLAR
Matritsa tengligi. Ikki matritsa A Va B Ularning qator va ustunlari soni bir xil bo'lsa va ularning mos elementlari teng bo'lsa, ular teng deyiladi a ij = b ij. Shunday qilib, agar 
Va 
, Bu A=B, Agar a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 Va a 22 = b 22.
Transpoze qilish. Ixtiyoriy matritsani ko'rib chiqing A dan m chiziqlar va n ustunlar. Uni quyidagi matritsa bilan bog'lash mumkin B dan n chiziqlar va m ustunlar, bunda har bir satr matritsa ustunidir A bir xil raqam bilan (shuning uchun har bir ustun matritsaning qatoridir A bir xil raqam bilan). Shunday qilib, agar 
, Bu 
.
Bu matritsa B chaqirdi ko'chirilgan matritsa A, va dan o'tish A Kimga B transpozitsiyasi.
Shunday qilib, transpozitsiya matritsaning satrlari va ustunlari rollarini teskari o'zgartirishdir. Matritsaga ko'chirilgan matritsa A, odatda belgilanadi DA.
Matritsalar orasidagi aloqa A va uning ko'chirilishi ko'rinishda yozilishi mumkin.
Masalan. Berilgan matritsaning transpozitsiyasini toping.
Matritsa qo'shilishi. Matritsalar bo'lsin A Va B bir xil sonli qatorlar va bir xil sonli ustunlardan iborat, ya'ni. bor bir xil o'lchamlar. Keyin matritsalarni qo'shish uchun A Va B matritsa elementlari uchun zarur A matritsa elementlarini qo'shing B bir xil joylarda turish. Shunday qilib, ikkita matritsaning yig'indisi A Va B matritsa deb ataladi C, qoida bilan belgilanadi, masalan,
Misollar. Matritsalar yig‘indisini toping:
Matritsalarni qo'shish quyidagi qonunlarga bo'ysunishini tekshirish oson: kommutativ A+B=B+A va assotsiativ ( A+B)+C=A+(B+C).
Matritsani raqamga ko'paytirish. Matritsani ko'paytirish uchun A raqam uchun k matritsaning har bir elementi kerak A bu raqamga ko'paytiring. Shunday qilib, matritsa mahsuloti A raqam uchun k qoida bilan belgilanadigan yangi matritsa mavjud 
yoki .
Har qanday raqamlar uchun a Va b va matritsalar A Va B quyidagi tengliklar amal qiladi:
Misollar.
Matritsalarni ko'paytirish. Ushbu operatsiya o'ziga xos qonunga muvofiq amalga oshiriladi. Avvalo, omil matritsalarining o'lchamlari izchil bo'lishi kerakligini ta'kidlaymiz. Siz faqat birinchi matritsaning ustunlari soni ikkinchi matritsaning satrlari soniga to'g'ri keladigan matritsalarni ko'paytirishingiz mumkin (ya'ni, birinchi qatorning uzunligi ikkinchi ustunning balandligiga teng). Ish matritsalar A matritsa emas B yangi matritsa deb ataladi C=AB, uning elementlari quyidagilardan iborat:
Shunday qilib, masalan, mahsulotni olish uchun (ya'ni matritsada C) 1-qator va 3-ustunda joylashgan element 13 dan, siz 1-matritsadagi 1-qatorni, 2-chi 3-ustunni olishingiz kerak, so'ngra satr elementlarini mos keladigan ustun elementlariga ko'paytiring va natijada hosil bo'lgan mahsulotlarni qo'shing. Va mahsulot matritsasining boshqa elementlari birinchi matritsa satrlari va ikkinchi matritsa ustunlarining o'xshash mahsuloti yordamida olinadi.
Umuman olganda, agar biz matritsani ko'paytirsak A = (a ij) hajmi m× n matritsaga B = (b ij) hajmi n× p, keyin biz matritsani olamiz C hajmi m× p, uning elementlari quyidagicha hisoblanadi: element c ij elementlarning mahsuloti natijasida olinadi i matritsaning uchinchi qatori A mos keladigan elementlarga j matritsa ustuni B va ularning qo'shimchalari.
Bu qoidadan kelib chiqadiki, siz har doim bir xil tartibli ikkita kvadrat matritsani ko'paytirishingiz mumkin va natijada biz bir xil tartibli kvadrat matritsani olamiz. Xususan, kvadrat matritsa har doim o'z-o'zidan ko'paytirilishi mumkin, ya'ni. kvadrat.
Yana bir muhim holat - satr matritsasini ustun matritsasiga ko'paytirish va birinchisining kengligi ikkinchisining balandligiga teng bo'lishi kerak, natijada birinchi tartibli matritsa (ya'ni, bitta element) paydo bo'ladi. Haqiqatan ham,
.
Misollar.
Shunday qilib, bu oddiy misollar shuni ko'rsatadiki, matritsalar, umuman olganda, bir-biri bilan almashtirilmaydi, ya'ni. A∙B ≠ B∙A . Shuning uchun, matritsalarni ko'paytirishda siz omillarning tartibini diqqat bilan kuzatib borishingiz kerak.
Matritsani ko'paytirish assotsiativ va distributiv qonunlarga bo'ysunishini tekshirish mumkin, ya'ni. (AB)C=A(BC) Va (A+B)C=AC+BC.
Kvadrat matritsani ko'paytirishda buni tekshirish ham oson A identifikatsiya matritsasiga E Xuddi shu tartibli biz yana matritsani olamiz A, va AE=EA=A.
Quyidagi qiziqarli faktni ta'kidlash mumkin. Ma'lumki, nolga teng bo'lmagan 2 ta raqamning mahsuloti 0 ga teng emas. Matritsalar uchun bunday bo'lmasligi mumkin, ya'ni. nolga teng bo'lmagan 2 ta matritsaning ko'paytmasi nol matritsaga teng bo'lishi mumkin.
Masalan, Agar 
, Bu
.
DETERMINANTLAR TUSHUNCHASI
Ikkinchi tartibli matritsa - ikki qator va ikkita ustundan iborat kvadrat matritsa berilsin. .
Ikkinchi tartibli determinant berilgan matritsaga mos keladigan raqam quyidagicha olinadi: a 11 dan 22 gacha - 12 dan 21 gacha.
Aniqlovchi belgi bilan ko'rsatilgan 
.
Demak, ikkinchi tartibli determinantni topish uchun asosiy diagonal elementlarining ko‘paytmasidan ikkinchi diagonal bo‘ylab elementlarning ko‘paytmasini ayirish kerak.
Misollar. Ikkinchi tartibli determinantlarni hisoblang.
Xuddi shunday, uchinchi tartibli matritsa va unga mos keladigan determinantni ham ko'rib chiqishimiz mumkin.
Uchinchi tartibli determinant, berilgan uchinchi tartibli kvadrat matritsaga mos keladigan raqam quyidagicha belgilanadi va olinadi:
.
Shunday qilib, bu formula uchinchi darajali determinantning birinchi qator elementlari bo'yicha kengayishini beradi. 11, 12, 13 va uchinchi tartib determinantning hisobini ikkinchi tartibli aniqlovchilarning hisobiga qisqartiradi.
Misollar. Uchinchi tartibli determinantni hisoblang.
Xuddi shunday, to'rtinchi, beshinchi va boshqalarning determinantlari tushunchalarini kiritish mumkin. buyruqlar, 1-qator elementlariga kengaytirish orqali ularning tartibini pasaytiradi, atamalarning "+" va "-" belgilari almashinadi.
Shunday qilib, raqamlar jadvali bo'lgan matritsadan farqli o'laroq, determinant ma'lum bir tarzda matritsaga tayinlangan sondir.
Matritsa o'lcham - ichida joylashgan elementlardan tashkil topgan to'rtburchaklar jadval m chiziqlar va n ustunlar.
Matritsa elementlari (birinchi indeks i− qator raqami, ikkinchi indeks j− ustun raqami) raqamlar, funksiyalar va boshqalar bo‘lishi mumkin. Matritsalar lotin alifbosining bosh harflari bilan belgilanadi.
Matritsa deyiladi kvadrat, agar u ustunlar soni kabi qatorlar soniga ega bo'lsa ( m = n). Bu holda raqam n matritsaning tartibi, matritsaning o'zi esa matritsa deyiladi n- tartib.
Bir xil indeksli elementlar 
shakl asosiy diagonali kvadrat matritsa va elementlar (ya'ni indekslar yig'indisi ga teng n+1)
− yon diagonali.
Yagona matritsa kvadrat matritsa bo'lib, uning asosiy diagonalining barcha elementlari 1 ga, qolgan elementlari esa 0 ga teng. U harf bilan belgilanadi. E.
Nol matritsa− barcha elementlari 0 ga teng bo‘lgan matritsa. Nol matritsa har qanday hajmda bo‘lishi mumkin.
Raqamga matritsalar ustida chiziqli amallar bog'lash:
1) matritsalarni qo‘shish;
2) matritsalarni songa ko'paytirish.
Matritsani qo'shish amali faqat bir xil o'lchamdagi matritsalar uchun aniqlanadi.
Ikki matritsaning yig'indisi A Va IN matritsa deb ataladi BILAN, barcha elementlari mos keladigan matritsa elementlarining yig'indisiga teng A Va IN:
.
Matritsa mahsuloti A raqam uchun k matritsa deb ataladi IN, barcha elementlari ushbu matritsaning mos keladigan elementlariga teng A, raqamga ko'paytiriladi k:
Operatsiya matritsalarni ko'paytirish shartni qanoatlantiradigan matritsalar uchun kiritiladi: birinchi matritsaning ustunlari soni ikkinchisining qatorlari soniga teng.
Matritsa mahsuloti A o'lchamlari matritsaga IN o'lchov matritsa deb ataladi BILAN o'lchamlar, element i-chi qator va j ustuni elementlarning hosilalari yig'indisiga teng i matritsaning uchinchi qatori A mos keladigan elementlarga j matritsa ustuni IN:
Matritsalar mahsuloti (haqiqiy sonlar mahsulotidan farqli o'laroq) kommutativ qonunga bo'ysunmaydi, ya'ni. umuman A IN IN A.
1.2. Aniqlovchilar. Determinantlarning xossalari
Determinant tushunchasi faqat kvadrat matritsalar uchun kiritiladi.
2-tartibli matritsaning determinanti quyidagi qoida bo'yicha hisoblangan raqamdir
.
3-tartibli matritsaning aniqlovchisi 
quyidagi qoida bo'yicha hisoblangan raqam:
"+" belgisi bo'lgan atamalarning birinchisi matritsaning asosiy diagonalida joylashgan elementlarning mahsulotidir (). Qolgan ikkitasi asosiy diagonalga (i) parallel bo'lgan uchburchaklarning uchlarida joylashgan elementlarni o'z ichiga oladi. “-” belgisi ikkilamchi diagonal () elementlari va asoslari shu diagonalga (va) parallel boʻlgan uchburchaklar hosil qiluvchi elementlarning hosilalarini oʻz ichiga oladi.
3-tartibli determinantni hisoblashning bu qoidasi uchburchak qoidasi (yoki Sarrus qoidasi) deb ataladi.
Determinantlarning xossalari 3-tartibli determinantlar misolini ko'rib chiqamiz.
1. Determinantning barcha satrlarini qatorlar bilan bir xil raqamlarga ega ustunlar bilan almashtirganda, determinant o'z qiymatini o'zgartirmaydi, ya'ni. determinantning satrlari va ustunlari teng
.
2. Ikki qator (ustun) qayta joylanganda determinant o'z belgisini o'zgartiradi.
3. Agar ma'lum bir qator (ustun) ning barcha elementlari nolga teng bo'lsa, determinant 0 ga teng.
4. Bir qator (ustun) ning barcha elementlarining umumiy koeffitsienti aniqlovchi belgisidan tashqari olinishi mumkin.
5. Ikkita bir xil satr (ustun) ni o'z ichiga olgan determinant 0 ga teng.
6. Ikki proportsional satr (ustun) bo'lgan determinant nolga teng.
7. Agar determinantning ma'lum ustuni (satri) ning har bir elementi ikkita hadning yig'indisini ifodalasa, determinant ikkita aniqlovchining yig'indisiga teng bo'lib, ulardan biri bir xil ustundagi (satr) birinchi hadlarni o'z ichiga oladi, ikkinchisi. ikkinchisini o'z ichiga oladi. Ikkala determinantning qolgan elementlari bir xil. Shunday qilib,
.
8. Agar boshqa ustun (satr) ning mos keladigan elementlari uning ustunlaridan (satrlaridan) birortasining elementlariga bir xil songa ko'paytirilsa, determinant o'zgarmaydi.
Aniqlovchining keyingi xossasi kichik va algebraik to`ldiruvchi tushunchalari bilan bog`liq.
Kichik determinantning elementi - bu elementning kesishishida joylashgan satr va ustunni kesib o'tish orqali berilgandan olingan aniqlovchi.
Masalan, aniqlovchining kichik elementi determinant deb ataladi.
Algebraik to‘ldiruvchi determinant element uning minoriga ko'paytma deb ataladi, bu erda i- qator raqami, j− element chorrahasida joylashgan ustun raqami. Algebraik to'ldiruvchi odatda belgilanadi. 3-tartibli determinant elementi uchun algebraik to'ldiruvchi
9. Aniqlovchi har qanday satr (ustun) elementlarining tegishli algebraik to'ldiruvchi ko'paytmalari yig'indisiga teng.
Masalan, determinant birinchi qatorning elementlariga kengaytirilishi mumkin
,
yoki ikkinchi ustun
Determinantlarning xossalari ularni hisoblash uchun ishlatiladi.