Chiziqli bog'liqlik va mustaqillik. Chiziqli bog’liqlik va mustaqillik, xossalari, chiziqli bog’liqlik vektorlar sistemasini o’rganish, misollar va yechimlar Chiziqli mustaqillik teoremasi.

Lemma 1 : Agar n n kattalikdagi matritsada kamida bitta satr (ustun) nolga teng bo'lsa, u holda matritsaning satrlari (ustunlari) chiziqli bog'liqdir.

Isbot: Birinchi qator nolga teng bo'lsin

Qayerda a 10. Bu talab qilingan narsa edi.

Ta'rif: Asosiy diagonal ostida joylashgan elementlari nolga teng bo'lgan matritsa deyiladi uchburchak:

va ij = 0, i>j.

Lemma 2: Uchburchak matritsaning determinanti asosiy diagonal elementlarining mahsulotiga teng.

Isbotni matritsaning o'lchamiga induksiya qilish orqali amalga oshirish oson.

Teorema vektorlarning chiziqli mustaqilligi haqida.

A)Zaruriyat: chiziqli bog'liq D=0 .

Isbot: Ular chiziqli bog'liq bo'lsin, j=,

ya'ni j bor, hammasi nolga teng emas, j=, Nima a 1 A 1 + a 2 A 2 + ... a n A n =, A j – matritsa ustunlari A. Keling, masalan, a n¹0.

Bizda ... bor a j * = a j / a n, j£ n-1a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n =.

Matritsaning oxirgi ustunini almashtiramiz A yoqilgan

A n * = a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 A n -1 + A n =.

Determinantning yuqorida isbotlangan xususiyatiga ko'ra (matritsadagi istalgan ustunga raqamga ko'paytirilgan boshqa ustun qo'shilsa, u o'zgarmaydi), yangi matritsaning determinanti asl determinantga teng. Ammo yangi matritsada bitta ustun nolga teng, ya'ni determinantni ushbu ustunga kengaytirib, biz olamiz D=0, Q.E.D.

b)Muvofiqlik: Hajmi matritsasi n nchiziqli mustaqil qatorlar bilan Determinantning mutlaq qiymatini o'zgartirmaydigan transformatsiyalar yordamida har doim uchburchak shaklga keltirilishi mumkin. Bundan tashqari, dastlabki matritsa satrlarining mustaqilligidan uning determinanti nolga teng ekanligi kelib chiqadi.

1. Agar o'lcham matritsasida bo'lsa n n chiziqli mustaqil qatorlar elementi bilan a 11 nolga teng, keyin elementi ustun a 1 j ¹ 0. Lemma 1 ga ko'ra, bunday element mavjud. O'zgartirilgan matritsaning determinanti dastlabki matritsaning determinantidan faqat belgisi bilan farq qilishi mumkin.

2. Raqamli satrlardan i>1 birinchi qatorni kasrga ko'paytiring a i 1 / a 11. Bundan tashqari, raqamlar bilan qatorlarning birinchi ustunida i>1 nol elementlarga olib keladi.

3. Hosil bo‘lgan matritsaning determinantini birinchi ustun bo‘ylab parchalab hisoblashni boshlaylik. Birinchisidan tashqari undagi barcha elementlar nolga teng bo'lgani uchun,

D yangi = a 11 yangi (-1) 1+1 D 11 yangi,

Qayerda d 11 yangi kichikroq o'lchamdagi matritsaning determinantidir.

Keyinchalik, determinantni hisoblash uchun D 11 1, 2, 3-bosqichlarni oxirgi determinant o'lcham matritsasining determinanti bo'lguncha takrorlang. 1 1. 1-bosqich faqat o'zgartirilayotgan matritsaning determinantining ishorasini o'zgartirganligi sababli va 2-bosqichda determinantning qiymati umuman o'zgarmasligi sababli, belgigacha, biz oxir-oqibatda dastlabki matritsaning determinantini olamiz. Bunday holda, asl matritsa satrlarining chiziqli mustaqilligi tufayli 1-bosqich har doim qondiriladi, asosiy diagonalning barcha elementlari nolga teng bo'lmaydi. Shunday qilib, yakuniy determinant, tasvirlangan algoritmga ko'ra, asosiy diagonaldagi nolga teng bo'lmagan elementlarning mahsulotiga tengdir. Shuning uchun asl matritsaning determinanti nolga teng emas. Q.E.D.

2-ilova

Quyida vektor tizimlarining chiziqli bog'liqligi va shunga mos ravishda chiziqli mustaqilligi uchun bir nechta mezonlar berilgan.

Teorema. (Vektorlarning chiziqli bog'liqligi uchun zarur va etarli shart.)

Vektorlar tizimi, agar tizim vektorlaridan biri ushbu tizimning qolganlari orqali chiziqli ifodalangan bo'lsa, bog'liq bo'ladi.

Isbot. Zaruriyat. Tizim chiziqli bog'liq bo'lsin. Keyin, ta'rifga ko'ra, u nol vektorni noan'anaviy tarzda ifodalaydi, ya'ni. nol vektorga teng bo'lgan bu vektorlar tizimining ahamiyatsiz kombinatsiyasi mavjud:

bu erda bu chiziqli birikmaning koeffitsientlaridan kamida bittasi nolga teng emas. Mayli,.

Keling, oldingi tenglikning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan ushbu koeffitsientga ajratamiz (ya'ni, ko'paytiramiz:

Belgilaymiz: , qaerda.

bular. sistemaning vektorlaridan biri bu sistemaning qolganlari orqali chiziqli tarzda ifodalanadi va hokazo.

Adekvatlik. Tizim vektorlaridan biri shu sistemaning boshqa vektorlari orqali chiziqli ifodalansin:

Keling, vektorni ushbu tenglikning o'ng tomoniga o'tkazamiz:

Vektorning koeffitsienti ga teng bo'lganligi sababli, biz vektorlar tizimi orqali nolning notrivial tasviriga ega bo'lamiz, ya'ni bu vektorlar tizimi chiziqli bog'liq va hokazo.

Teorema isbotlangan.

Natija.

1. Vektor fazodagi vektorlar sistemasi, agar sistema vektorlaridan hech biri shu sistemaning boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalanmasagina chiziqli mustaqil hisoblanadi.

2. Nol vektor yoki ikkita teng vektorni o'z ichiga olgan vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

Isbot.

1) zarurat. Tizim chiziqli mustaqil bo'lsin. Buning aksini faraz qilaylik va bu sistemaning boshqa vektorlari orqali chiziqli ifodalangan sistemaning vektori mavjud. Keyin, teoremaga ko'ra, tizim chiziqli bog'liq va biz qarama-qarshilikka erishamiz.

Adekvatlik. Tizimning vektorlarining hech biri boshqalari bilan ifodalanmasin. Buning aksini faraz qilaylik. Tizim chiziqli bog'liq bo'lsin, lekin u holda teoremadan kelib chiqadiki, bu tizimning boshqa vektorlari orqali chiziqli ravishda ifodalangan tizim vektori mavjud va biz yana ziddiyatga kelamiz.

2a) sistemada nol vektor bo'lsin. Aniqlik uchun vektor : deb faraz qilaylik. Shunda tenglik aniq bo'ladi

bular. sistemaning vektorlaridan biri bu sistemaning boshqa vektorlari orqali chiziqli ifodalanadi. Teoremadan kelib chiqadiki, bunday vektorlar tizimi chiziqli bog'liq va hokazo.

E'tibor bering, bu fakt to'g'ridan-to'g'ri vektorlarning chiziqli bog'liq tizimidan isbotlanishi mumkin.

dan boshlab, quyidagi tenglik aniq

Bu nol vektorning ahamiyatsiz ko'rinishi, ya'ni tizim chiziqli bog'liqdir.

2b) sistema ikkita teng vektorga ega bo'lsin. uchun ruxsat bering. Shunda tenglik aniq bo'ladi

Bular. birinchi vektor bir xil sistemaning qolgan vektorlari orqali chiziqli ifodalanadi. Teoremadan kelib chiqadiki, bu tizim chiziqli bog'liq va hokazo.

Avvalgisiga o'xshab, bu fikrni to'g'ridan-to'g'ri chiziqli bog'liq tizimning ta'rifi bilan isbotlash mumkin.U holda bu tizim nol vektorni notrivial tarzda ifodalaydi.

sistemaning chiziqli bog'liqligi shundan kelib chiqadi.

Teorema isbotlangan.

Natija. Bitta vektordan tashkil topgan tizim, agar bu vektor nolga teng bo'lmasa, chiziqli mustaqil hisoblanadi.

Mayli L – maydon ustidagi chiziqli fazo R . Mayli A1, a2, …, an (*) dan chekli vektorlar sistemasi L . Vektor IN = a1× A1 +a2× A2 + … + an× An (16) deyiladi Vektorlarning chiziqli birikmasi ( *), yoki ular vektor deb aytishadi IN vektorlar tizimi (*) orqali chiziqli ifodalangan.

Ta'rif 14. Vektorlar sistemasi (*) deyiladi Lineer bog'liq , agar a1, a2, … koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud bo'lsa, a1× A1 +a2× A2 + … + an× An = 0. Agar a1× A1 +a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, keyin tizim (*) chaqiriladi Lineer mustaqil.

Chiziqli bog`liqlik va mustaqillik xossalari.

10. Agar vektorlar sistemasi nol vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.

Haqiqatan ham, agar tizimda (*) vektor bo'lsa A1 = 0, Bu 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × An = 0 .

20. Agar vektorlar sistemasi ikkita proporsional vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.

Mayli A1 = L×a2. Keyin 1 × A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. n ³ 2 uchun cheklangan vektorlar tizimi (*) chiziqli bog'liq bo'ladi, agar uning vektorlaridan kamida bittasi ushbu tizimning qolgan vektorlarining chiziqli birikmasi bo'lsa.

Þ (*) chiziqli bog'liq bo'lsin. Keyin a1, a2, …, an koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud bo'lib, ular uchun a1 × A1 +a2× A2 + … + an× An = 0 . Umumiylikni yo'qotmasdan, biz a1 ¹ 0 deb taxmin qilishimiz mumkin. Keyin mavjud A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Shunday qilib, vektor A1 qolgan vektorlarning chiziqli birikmasidir.

Ü Vektorlardan biri (*) boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lsin. Buni birinchi vektor deb taxmin qilishimiz mumkin, ya'ni. A1 = B2 A2+ … + milliard A N, demak (–1)× A1 + b2 A2+ … + milliard A N= 0 , ya'ni (*) chiziqli bog'liqdir.

Izoh. Oxirgi xususiyatdan foydalanib, cheksiz vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligini aniqlashimiz mumkin.

Ta'rif 15. Vektor tizimi A1, a2, …, an , … (**) deyiladi Lineer bog'liq, Agar uning vektorlaridan kamida bittasi boshqa vektorlarning cheklangan sonining chiziqli birikmasi bo'lsa. Aks holda, tizim (**) chaqiriladi Lineer mustaqil.

40. Cheklangan vektorlar sistemasi, agar uning vektorlaridan birortasini qolgan vektorlari bilan chiziqli ifodalab bo‘lmasa, chiziqli mustaqil hisoblanadi.

50. Agar vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil bo'lsa, uning har qanday quyi tizimlari ham chiziqli mustaqildir.

60. Agar berilgan vektorlar sistemasining ba'zi bir quyi tizimi chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda butun tizim ham chiziqli bog'liqdir.

Ikki vektor sistemasi berilgan bo'lsin A1, a2, …, an , … (16) va V1, V2, …, Vs, … (17). Agar (16) sistemaning har bir vektorini (17) sistemaning chekli sonli vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida tasvirlash mumkin bo’lsa, (17) sistema (16) sistema orqali chiziqli ifodalangan deyiladi.

Ta'rif 16. Ikki vektorli tizim deyiladi Ekvivalent , agar ularning har biri ikkinchisi orqali chiziqli ifodalangan bo'lsa.

Teorema 9 (asosiy chiziqli bog'liqlik teoremasi).

Tinch qo'y, hamma narsa o'z holidagiday qo'sin; shunday bo'lsin – vektorlarning ikkita chekli tizimi L . Agar birinchi tizim chiziqli mustaqil bo'lsa va ikkinchisi orqali chiziqli ifodalangan bo'lsa, u holda N£ s.

Isbot. Keling, shunday da'vo qilaylik N> S. Teorema shartlariga ko'ra

qo'shma Tenglamalar soni noma'lumlar sonidan ko'p bo'lganligi sababli, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Shuning uchun u nolga teng bo'lmagan qiymatga ega X10, x20, …, xN0. Bu qiymatlar uchun tenglik (18) to'g'ri bo'ladi, bu vektorlar tizimining chiziqli mustaqil ekanligiga zid keladi. Shunday qilib, bizning taxminimiz noto'g'ri. Demak, N£ s.

Natija. Agar ikkita ekvivalent vektorlar tizimi chekli va chiziqli mustaqil bo'lsa, ular bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.

Ta'rif 17. Vektor sistemasi deyiladi Vektorlarning maksimal chiziqli mustaqil tizimi Chiziqli fazo L , agar u chiziqli mustaqil bo'lsa, lekin unga har qanday vektorni qo'shganda L , bu tizimga kiritilmagan, chiziqli bog'liq bo'ladi.

Teorema 10. dan vektorlarning har qanday ikkita chekli maksimal chiziqli mustaqil tizimi L Bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.

Isbot vektorlarning har qanday ikkita maksimal chiziqli mustaqil tizimi ekvivalent ekanligidan kelib chiqadi .

Fazoviy vektorlarning har qanday chiziqli mustaqil sistemasini isbotlash oson L bu fazodagi vektorlarning maksimal chiziqli mustaqil tizimiga kengaytirilishi mumkin.

Misollar:

1. Barcha kollinear geometrik vektorlar to'plamida bitta nolga teng bo'lmagan vektordan iborat har qanday tizim maksimal chiziqli mustaqildir.

2. Barcha koplanar geometrik vektorlar to'plamida har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektor maksimal chiziqli mustaqil tizimni tashkil qiladi.

3. Uch o'lchovli Evklid fazosining barcha mumkin bo'lgan geometrik vektorlari to'plamida uchta koplanar bo'lmagan vektorlardan iborat har qanday sistema maksimal chiziqli mustaqildir.

4. Barcha ko'phadlar to'plamida darajalar dan yuqori emas N Haqiqiy (murakkab) koeffitsientlar bilan, polinomlar tizimi 1, x, x2, … , xn Maksimal chiziqli mustaqil.

5. Haqiqiy (murakkab) koeffitsientli barcha ko‘phadlar to‘plamida maksimal chiziqli mustaqil sistemaga misollar keltiriladi.

A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, ...

6. O‘lchov matritsalari to‘plami M´ N chiziqli fazodir (buni tekshiring). Bu fazodagi maksimal chiziqli mustaqil tizimga misol matritsa sistemasidir E11= , E12 =, …, EMn = .

Vektorlar sistemasi berilgan bo'lsin C1, c2, …, qarang (*). (*) dan vektorlar quyi tizimi deyiladi Maksimal chiziqli mustaqil Quyi tizim Tizimlar ( *) , agar u chiziqli mustaqil bo'lsa, lekin unga ushbu tizimning boshqa vektorini qo'shganda, u chiziqli bog'liq bo'ladi. Agar tizim (*) chekli bo'lsa, uning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimlarining har qandayida bir xil miqdordagi vektorlar mavjud. (O'zingiz isbotlang). Tizimning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimidagi vektorlar soni (*) deyiladi Daraja Bu tizim. Shubhasiz, ekvivalent vektor tizimlari bir xil darajalarga ega.

Teorema 1. (Ortogonal vektorlarning chiziqli mustaqilligi haqida). U holda vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil bo'lsin.

∑l i x i =0 chiziqli birikma yasaymiz va skalyar hosilani (x j , ∑l i x i)=l j ||x j || 2 =0, lekin ||x j || 2 ≠0⇒l j =0.

Ta'rif 1. Vektor tizimiyoki (e i ,e j)=d ij - Kronecker belgisi, ortonormal (ONS) deb ataladi.

Ta'rif 2. Ixtiyoriy cheksiz o‘lchamli Evklid fazosining ixtiyoriy x elementi va elementlarning ixtiyoriy ortonormal sistemasi uchun x elementning sistema ustidagi Furye qatori shaklning formal ravishda tuzilgan cheksiz yig‘indisi (seriyasi) deyiladi. , bunda l i haqiqiy sonlar sistemadagi x elementning Furye koeffitsientlari deyiladi, bu yerda l i =(x,e i).

Izoh. (Tabiiyki, ushbu seriyaning yaqinlashishi haqida savol tug'iladi. Ushbu masalani o'rganish uchun biz ixtiyoriy n raqamini aniqlaymiz va Furye qatorining n- qisman yig'indisi ortonormal sistemaning birinchi n elementining boshqa har qanday chiziqli birikmasidan nimasi bilan farq qilishini aniqlaymiz.)

Teorema 2. Har qanday sobit son n uchun, shaklning barcha yig'indilari ichida, elementning Furye qatorining n- qisman yig'indisi berilgan Evklid fazosining normasiga ko'ra x elementidan eng kichik og'ishlarga ega.

Tizimning ortonormalligi va Furye koeffitsientining ta'rifini hisobga olgan holda, biz yozishimiz mumkin.

Bu ifodaning minimumiga c i =l i da erishiladi, chunki bu holda o‘ng tarafdagi manfiy bo‘lmagan birinchi yig‘indi har doim yo‘qoladi, qolgan hadlar esa c i ga bog‘liq emas.

Misol. Trigonometrik tizimni ko'rib chiqing

[-p,p] segmentida f(x) barcha Riman integrallanuvchi funksiyalari fazosida. Bu ONS ekanligini tekshirish oson, keyin f(x) funksiyasining Furye seriyasi bu yerda shaklga ega.

Izoh. (Trigonometrik Furye qatori odatda shaklda yoziladi Keyin )

Cheksiz o'lchovli Evklid fazosida qo'shimcha taxminlarsiz ixtiyoriy ONS, umuman olganda, bu fazoning asosi emas. Intuitiv darajada, qat'iy ta'riflar bermasdan, biz masalaning mohiyatini tasvirlaymiz. Ixtiyoriy cheksiz o'lchovli Evklid fazosida ONS ni ko'rib chiqaylik, bu erda (e i ,e j)=d ij Kronecker belgisidir. M Yevklid fazosining pastki fazosi, k=M ⊥ M ga ortogonal pastki fazo bo‘lsin, Yevklid fazosi E=M+M ⊥ bo‘lsin. X∈E vektorining M ostfazoga proyeksiyasi ∈M vektor, bunda

Biz a k kengayish koeffitsientlarining qiymatlarini qidiramiz, ular uchun qoldiq (kvadrat qoldiq) h 2 =||x-|| 2 minimal bo'ladi:

h 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑a k e k ,x-∑a k e k)=(x,x)-2∑a k (x,e k)+(∑a k e k ,∑a k e k)= ||x|| 2 -2∑a k (x,e k)+∑a k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(a k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

Ko'rinib turibdiki, bu ifoda a k =0 da minimal qiymatni oladi, bu trivial va a k =(x,e k). Keyin r min =||x|| 2 -∑a k 2 ≥0. Bu yerdan ∑a k 2 ||x|| Bessel tengsizligini olamiz 2. r=0 da vektorlarning ortonormal tizimi (ONS) Steklov ma'nosida (PONS) to'liq ortonormal tizim deb ataladi. Bu yerdan Steklov-Parseval tengligini olishimiz mumkin ∑a k 2 =||x|| 2 - Steklov ma'nosida to'liq bo'lgan cheksiz o'lchovli Evklid bo'shliqlari uchun "Pifagor teoremasi". Endi fazodagi har qanday vektorning unga yaqinlashuvchi Furye qatori shaklida yagona tasvirlanishi uchun Steklov-Parseval tengligining amal qilishi zarur va yetarli ekanligini isbotlash kerak bo‘ladi. Vektorlar sistemasi pic=""> ONB shakllari? vektorlar tizimi qatorning qisman yig'indisini ko'rib chiqing. Keyin konvergent qatorning dumi kabi. Shunday qilib, vektorlar tizimi PONS bo'lib, ONB ni tashkil qiladi.

Misol. Trigonometrik tizim

barcha Riman integrallanuvchi funksiyalari fazosida [-p,p] segmentidagi f(x) PONS bo’lib, ONB hosil qiladi.

Funktsiyalar chaqiriladi chiziqli mustaqil, Agar

(faqat nolga teng bo'lgan funktsiyalarning arzimas chiziqli birikmasiga ruxsat beriladi). Vektorlarning chiziqli mustaqilligidan farqli o'laroq, bu erda chiziqli birikma tenglik emas, balki nolga teng. Bu tushunarli, chunki chiziqli birikmaning nolga tengligi argumentning har qanday qiymati uchun qondirilishi kerak.

Funktsiyalar chaqiriladi chiziqli bog'liq, agar nolga teng bo'lmagan konstantalar to'plami mavjud bo'lsa (barcha konstantalar nolga teng emas) shunday (nolga teng bo'lgan funktsiyalarning notrivial chiziqli birikmasi mavjud).

Teorema.Funktsiyalar chiziqli bog'liq bo'lishi uchun ularning har qandayining boshqalari orqali chiziqli ifodalanishi (ularning chiziqli birikmasi sifatida ko'rsatilgan) zarur va etarli.

Bu teoremani o'zingiz isbotlang, u vektorlarning chiziqli bog'liqligi haqidagi xuddi shunday teorema kabi isbotlangan.

Vronskiyning aniqlovchisi.

Funktsiyalar uchun Wronski determinanti determinant sifatida kiritiladi, uning ustunlari noldan (funktsiyalarning o'zi) n-1-tartibgacha bo'lgan bu funktsiyalarning hosilalaridir.

.

Teorema. Funktsiyalar bo'lsa u holda chiziqli bog'liqdir

Isbot. Funktsiyalardan beri chiziqli bog'liq bo'lsa, ularning har biri boshqalar orqali chiziqli ravishda ifodalanadi, masalan,

Shaxsni farqlash mumkin, shuning uchun

Keyin Wronski determinantining birinchi ustuni qolgan ustunlar orqali chiziqli tarzda ifodalanadi, shuning uchun Wronski determinanti xuddi shunday nolga teng.

Teorema.n-darajali chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning yechimlari chiziqli bog‘liq bo‘lishi uchun zarur va yetarli..

Isbot. Zaruriyat oldingi teoremadan kelib chiqadi.

Adekvatlik. Keling, bir nuqtani tuzataylik. Chunki , bu nuqtada hisoblangan determinantning ustunlari chiziqli bog'liq vektorlardir.

, munosabatlar qoniqarli

Chiziqli bir jinsli tenglamaning yechimlarining chiziqli birikmasi uning yechimi bo‘lganligi uchun biz ko‘rinishdagi yechimni kiritishimiz mumkin.

Bir xil koeffitsientli yechimlarning chiziqli birikmasi.

E'tibor bering, bu yechim nol boshlang'ich shartlarni qondiradi; bu yuqorida yozilgan tenglamalar tizimidan kelib chiqadi. Lekin chiziqli bir jinsli tenglamaning trivial yechimi ham xuddi shu nol boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradi. Demak, Koshi teoremasidan kelib chiqadiki, kiritilgan yechim trivialga bir xil tengdir, shuning uchun,

shuning uchun yechimlar chiziqli bog'liqdir.

Natija.Agar chiziqli bir jinsli tenglamaning yechimlari asosida qurilgan Wronski determinanti kamida bir nuqtada yo'qolsa, u xuddi shunday nolga teng bo'ladi.

Isbot. Agar bo'lsa, u holda echimlar chiziqli bog'liq, demak, .

Teorema.1. Yechimlarning chiziqli bog`liqligi uchun zarur va yetarli(yoki ).

2. Yechimlarning chiziqli mustaqilligi uchun bu zarur va etarli.

Isbot. Birinchi bayonot yuqorida isbotlangan teorema va xulosadan kelib chiqadi. Ikkinchi gapni qarama-qarshilik bilan osongina isbotlash mumkin.

Yechimlar chiziqli mustaqil bo'lsin. Agar bo'lsa, u holda echimlar chiziqli bog'liqdir. Qarama-qarshilik. Demak, .

Mayli . Agar yechimlar chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda , demak, qarama-qarshilik. Shuning uchun yechimlar chiziqli mustaqildir.

Natija.Wronski determinantining hech bo'lmaganda bir nuqtada yo'qolishi, chiziqli bir hil tenglamaga yechimlarning chiziqli bog'liqligi mezoni hisoblanadi.

Vronski determinanti va nol orasidagi farq chiziqli bir jinsli tenglama yechimlarining chiziqli mustaqilligi mezoni hisoblanadi.

Teorema.n-tartibli chiziqli bir jinsli tenglamaning yechimlar fazosining o'lchami n ga teng.

Isbot.

a) n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning n ta chiziqli mustaqil yechimlari mavjudligini ko'rsatamiz. Keling, yechimlarni ko'rib chiqaylik , quyidagi dastlabki shartlarni qondirish:

...........................................................

Bunday echimlar mavjud. Darhaqiqat, Koshi teoremasiga ko'ra, nuqta orqali yagona integral egri chiziqdan - yechimdan o'tadi. Nuqta orqali eritma nuqtadan o'tadi

- nuqta orqali yechim - yechim.

Bu yechimlar chiziqli mustaqil, chunki .

b) Chiziqli bir jinsli tenglamaning har qanday yechimi shu yechimlar orqali chiziqli ifodalanishini ko'rsatamiz (ularning chiziqli birikmasidir).

Keling, ikkita yechimni ko'rib chiqaylik. Biri - boshlang'ich shartlari bilan ixtiyoriy yechim . Adolatli nisbat