Hodisa ehtimolini qanday topish mumkin, misollar. Ehtimollikning klassik va statistik ta'rifi

Iqtisodiyotda, inson faoliyatining boshqa sohalarida yoki tabiatda bo'lgani kabi, biz doimo aniq bashorat qilib bo'lmaydigan hodisalar bilan shug'ullanishimiz kerak. Shunday qilib, mahsulotni sotish hajmi sezilarli darajada farq qilishi mumkin bo'lgan talabga va hisobga olish deyarli mumkin bo'lmagan bir qator boshqa omillarga bog'liq. Shuning uchun, ishlab chiqarishni tashkil qilish va sotishni amalga oshirishda siz o'zingizning oldingi tajribangiz yoki boshqa odamlarning shunga o'xshash tajribasi yoki ko'p jihatdan eksperimental ma'lumotlarga tayanadigan sezgi asosida bunday faoliyat natijalarini bashorat qilishingiz kerak.

Ko'rib chiqilayotgan hodisani qandaydir tarzda baholash uchun ushbu hodisa qayd etilgan shartlarni hisobga olish yoki maxsus tashkil qilish kerak.

Ko'rib chiqilayotgan hodisani aniqlash uchun muayyan shartlar yoki harakatlarni amalga oshirish deyiladi tajriba yoki tajriba.

Tadbir deyiladi tasodifiy, agar tajriba natijasida bu sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin.

Tadbir deyiladi ishonchli, agar u albatta berilgan tajriba natijasida paydo bo'lsa va imkonsiz, agar u ushbu tajribada ko'rinmasa.

Misol uchun, 30-noyabr kuni Moskvada qor yog'ishi tasodifiy hodisa. Kundalik quyosh chiqishini ishonchli hodisa deb hisoblash mumkin. Ekvatorda qor yog'ishini imkonsiz hodisa deb hisoblash mumkin.

Ehtimollar nazariyasining asosiy vazifalaridan biri voqea sodir bo'lish ehtimolining miqdoriy o'lchovini aniqlash vazifasidir.

Hodisalar algebrasi

Voqealarni bir xil tajribada birgalikda kuzatish mumkin bo'lmasa, ular mos kelmaydigan deb ataladi. Shunday qilib, bir vaqtning o'zida sotiladigan bitta do'konda ikkita va uchta mashinaning mavjudligi ikkita mos kelmaydigan hodisadir.

Miqdori hodisalar - bu hodisalardan kamida bittasining sodir bo'lishidan iborat hodisa

Hodisalar yig'indisiga misol sifatida do'konda ikkita mahsulotdan kamida bittasi mavjudligini ko'rsatish mumkin.

Ish hodisalar bu barcha hodisalarning bir vaqtning o'zida sodir bo'lishidan iborat hodisadir

Do'konda bir vaqtning o'zida ikkita tovarning paydo bo'lishidan iborat voqea hodisalarning mahsulidir: - bir mahsulotning ko'rinishi, - boshqa mahsulotning paydo bo'lishi.

Voqealar, agar ulardan kamida bittasi tajribada ro'y berishi aniq bo'lsa, hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi.

Misol. Portda kemalarni qabul qilish uchun ikkita to'xtash joyi mavjud. Uchta hodisani ko'rib chiqish mumkin: - to'xtash joylarida kemalarning yo'qligi, - to'xtash joylaridan birida bitta kemaning mavjudligi, - ikkita to'xtash joyida ikkita kemaning mavjudligi. Ushbu uchta hodisa to'liq hodisalar guruhini tashkil qiladi.

Qarama-qarshi to'liq guruhni tashkil etuvchi ikkita noyob mumkin bo'lgan hodisa deyiladi.

Qarama-qarshi bo'lgan hodisalardan biri bilan belgilansa, qarama-qarshi hodisa odatda bilan belgilanadi.

Hodisa ehtimolining klassik va statistik ta'riflari

Sinovlarning (tajribalarning) teng darajada mumkin bo'lgan natijalarining har biri elementar natija deb ataladi. Ular odatda harflar bilan belgilanadi. Misol uchun, o'lim tashlanadi. Yon tomonlardagi nuqtalar soniga ko'ra jami oltita elementar natija bo'lishi mumkin.

Elementar natijalardan siz murakkabroq hodisani yaratishingiz mumkin. Shunday qilib, juft sonli nuqtalar hodisasi uchta natija bilan aniqlanadi: 2, 4, 6.

Ko'rib chiqilayotgan hodisaning yuzaga kelish ehtimolining miqdoriy o'lchovi ehtimollikdir.

Hodisa ehtimolining eng keng tarqalgan ta'riflari: klassik Va statistik.

Ehtimollikning klassik ta'rifi qulay natija tushunchasi bilan bog'liq.

Natija deyiladi qulay ma'lum bir hodisaga, agar uning sodir bo'lishi ushbu hodisaning sodir bo'lishiga olib keladigan bo'lsa.

Yuqoridagi misolda, ko'rib chiqilayotgan hodisa - o'ralgan tomonda teng miqdordagi nuqtalar - uchta qulay natijaga ega. Bunday holda, general
mumkin bo'lgan natijalar soni. Bu shuni anglatadiki, bu erda hodisa ehtimolining klassik ta'rifidan foydalanish mumkin.

Klassik ta'rif qulay natijalar sonining mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soniga nisbati tengdir

hodisaning ehtimoli qayerda, hodisa uchun qulay natijalar soni, mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni.

Ko'rib chiqilgan misolda

Ehtimollikning statistik ta'rifi tajribalarda hodisaning nisbiy chastotasi tushunchasi bilan bog'liq.

Hodisa yuzaga kelishining nisbiy chastotasi formula yordamida hisoblanadi

bu yerda – bir qator tajribalar (sinovlar)da hodisaning sodir bo‘lish soni.

Statistik ta'rif. Hodisa ehtimoli - bu tajribalar sonining cheksiz ko'payishi bilan nisbiy chastota barqarorlashadigan (to'plamlari) soni.

Amaliy masalalarda hodisaning ehtimoli yetarlicha ko‘p sonli sinovlar uchun nisbiy chastota sifatida qabul qilinadi.

Hodisa ehtimolining bu ta'riflaridan ko'rinib turibdiki, tengsizlik doimo qanoatlantiriladi

Formula (1.1) asosida hodisaning yuzaga kelishi ehtimolini aniqlash uchun ko'pincha kombinatorik formulalar qo'llaniladi, ular qulay natijalar sonini va mumkin bo'lgan natijalarning umumiy sonini topish uchun ishlatiladi.

Bir tanga tashlanganida, u boshlarini tepaga tushiradi, deb aytishingiz mumkin, yoki ehtimollik bu 1/2. Albatta, bu tanga 10 marta tashlansa, u 5 marta boshga tushadi, degani emas. Agar tanga "adolatli" bo'lsa va u ko'p marta tashlansa, boshlar yarim vaqtning o'zida juda yaqin tushadi. Shunday qilib, ehtimollikning ikki turi mavjud: eksperimental Va nazariy .

Eksperimental va nazariy ehtimollik

Agar biz tangani ko'p marta aylantirsak - aytaylik 1000 - va uning boshiga necha marta tushishini hisoblasak, uning boshga tushish ehtimolini aniqlashimiz mumkin. Agar bosh 503 marta otilgan bo'lsa, biz uning qo'nish ehtimolini hisoblashimiz mumkin:
503/1000 yoki 0,503.

Bu eksperimental ehtimollikni aniqlash. Ehtimollikning ushbu ta'rifi ma'lumotlarni kuzatish va o'rganishdan kelib chiqadi va juda keng tarqalgan va juda foydali. Bu erda, masalan, eksperimental tarzda aniqlangan ba'zi ehtimollar:

1. Ayolning ko'krak bezi saratoni bilan kasallanish ehtimoli 1/11.

2. Agar siz shamollagan odamni o'psangiz, u holda sizda ham shamollash ehtimoli 0,07 ga teng.

3. Qamoqdan endigina chiqqan odamning qamoqqa qaytish imkoniyati 80% ga teng.

Agar biz tanga tashlashni hisobga olsak va uning bosh yoki dumga teng kelishi mumkinligini hisobga olsak, biz boshlarni olish ehtimolini hisoblashimiz mumkin: 1/2 Bu ehtimollikning nazariy ta'rifi. Mana, matematika yordamida nazariy jihatdan aniqlangan boshqa ehtimollar:

1. Agar xonada 30 kishi bo'lsa, ulardan ikkitasining tug'ilgan kuni bir xil bo'lish ehtimoli (yildan tashqari) 0,706 ga teng.

2. Sayohat paytida siz kimnidir uchratasiz va suhbat davomida sizning umumiy do'stingiz borligini bilib olasiz. Odatdagi reaktsiya: "Bu bo'lishi mumkin emas!" Aslida, bu ibora mos emas, chunki bunday hodisaning ehtimoli ancha yuqori - atigi 22% dan ortiq.

Shunday qilib, eksperimental ehtimolliklar kuzatish va ma'lumotlarni yig'ish orqali aniqlanadi. Nazariy ehtimollar matematik fikrlash orqali aniqlanadi. Yuqorida muhokama qilingan va ayniqsa biz kutmagan eksperimental va nazariy ehtimollar misollari bizni ehtimollikni o'rganish muhimligiga olib keladi. "Haqiqiy ehtimollik nima?" Deb so'rashingiz mumkin. Aslida, bunday narsa yo'q. Muayyan chegaralardagi ehtimollar eksperimental tarzda aniqlanishi mumkin. Ular biz nazariy jihatdan oladigan ehtimollar bilan mos kelishi yoki mos kelmasligi mumkin. Ehtimollikning bir turini aniqlash boshqasiga qaraganda ancha oson bo'lgan holatlar mavjud. Misol uchun, nazariy ehtimollik yordamida sovuqni ushlash ehtimolini topish etarli bo'ladi.

Eksperimental ehtimolliklarni hisoblash

Keling, avvalo ehtimollikning eksperimental ta'rifini ko'rib chiqaylik. Bunday ehtimolliklarni hisoblash uchun biz foydalanadigan asosiy printsip quyidagicha.

P printsipi (eksperimental)

Agar n ta kuzatish olib borilgan tajribada E holat yoki hodisa n ta kuzatishda m marta sodir boʻlsa, u holda hodisaning tajriba ehtimolligi P (E) = m/n deyiladi.

1-misol Sotsiologik so'rov. Chap qo'li, o'ng qo'li va ikkala qo'li bir xil rivojlangan odamlarning sonini aniqlash uchun eksperimental tadqiqot o'tkazildi.

a) Shaxsning o'ng qo'li bo'lish ehtimolini aniqlang.

b) Shaxsning chap qo'l bo'lish ehtimolini aniqlang.

c) Biror kishining ikkala qo'lda bir xil darajada ravon bo'lish ehtimolini aniqlang.

d) Professional Bowling Assotsiatsiyasining aksariyat turnirlari 120 nafar o'yinchi bilan cheklangan. Ushbu tajriba ma'lumotlariga asoslanib, qancha o'yinchi chap qo'l bo'lishi mumkin?

Yechim

a)O‘ng qo‘llilar soni 82 ta, chap qo‘llilar soni 17 ta, ikkala qo‘lda ham birdek ravon bo‘lganlar soni 1 ta. Kuzatishlarning umumiy soni 100 ta. Shunday qilib, ehtimollik odamning o'ng qo'li ekanligi P
P = 82/100 yoki 0,82 yoki 82%.

b) Odamning chap qo'l bo'lish ehtimoli P, bu erda
P = 17/100 yoki 0,17 yoki 17%.

c) Biror kishining ikkala qo'lda teng darajada ravon bo'lish ehtimoli P, bu erda
P = 1/100 yoki 0,01 yoki 1%.

d) 120 boulers va (b) dan biz 17% chap qo'l ekanligini kutishimiz mumkin. Bu yerdan
120 dan 17% = 0,17,120 = 20,4,
ya'ni 20 ga yaqin futbolchi chap qo'l bo'lishini kutishimiz mumkin.

2-misol Sifat nazorati . Ishlab chiqaruvchi uchun mahsulot sifatini yuqori darajada ushlab turish juda muhimdir. Aslida, kompaniyalar ushbu jarayonni ta'minlash uchun sifat nazorati inspektorlarini yollashadi. Maqsad, mumkin bo'lgan minimal miqdordagi nuqsonli mahsulotlarni ishlab chiqarishdir. Ammo kompaniya har kuni minglab mahsulot ishlab chiqarganligi sababli, uning nuqsonli yoki yo'qligini aniqlash uchun har bir mahsulotni sinab ko'rish imkoniyati yo'q. Mahsulotlarning necha foizi nuqsonli ekanligini aniqlash uchun kompaniya ancha kam mahsulotlarni sinovdan o'tkazadi.
USDA paxtakorlar tomonidan sotiladigan urug'larning 80 foizi unib chiqishini talab qiladi. Qishloq xo‘jaligi korxonalari tomonidan yetishtirilayotgan urug‘larning sifatini aniqlash uchun yetishtirilgan urug‘lardan 500 ta urug‘ ekiladi. Shundan so'ng 417 ta urug' unib chiqqani hisoblab chiqilgan.

a) Urug'ning unib chiqish ehtimoli qanday?

b) Urug'lar davlat standartlariga javob beradimi?

Yechim a) Bizga ma'lumki, ekilgan 500 ta urug'dan 417 tasi unib chiqqan. Urug'larning unib chiqishi ehtimoli P, va
P = 417/500 = 0,834 yoki 83,4%.

b) unib chiqqan urug'lar ulushi talabga ko'ra 80% dan oshganligi sababli, urug'lar davlat standartlariga javob beradi.

3-misol Televizion reytinglar. Statistik ma'lumotlarga ko'ra, Qo'shma Shtatlarda televizorga ega 105 million 500 ming xonadon bor. Har hafta dasturlarni ko'rish haqidagi ma'lumotlar yig'iladi va qayta ishlanadi. Bir hafta ichida 7 815 000 xonadon CBS telekanalidagi “Hamma Raymondni sevadi” komediya serialini, 8 302 000 xonadon esa NBC telekanalidagi “Qonun va tartib” serialini tomosha qilishdi (Manba: Nielsen Media Research). Bir xonadonning televizori ma'lum bir hafta davomida "Hamma Raymondni yaxshi ko'radi" ga "Qonun va tartib" ga sozlangan bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim Bitta xonadondagi televizorning "Hamma Raymondni yaxshi ko'radi" ga sozlanganligi ehtimoli P, va
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Uydagi televizorning Qonun va tartib-ga sozlanganligi ehtimoli P, va
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Bu foizlar reyting deb ataladi.

Nazariy ehtimollik

Aytaylik, biz tanga yoki dart otish, palubadan karta chizish yoki konveyerda mahsulotlar sifatini tekshirish kabi tajriba o'tkazmoqdamiz. Bunday tajribaning har bir mumkin bo'lgan natijasi deyiladi Chiqish . Barcha mumkin bo'lgan natijalar to'plami deyiladi natija maydoni . Tadbir bu natijalar majmui, ya'ni natijalar makonining kichik qismidir.

4-misol Dart otish. Aytaylik, o'q otish tajribasida o'q nishonga tegdi. Quyidagilardan har birini toping:

b) Natija maydoni

Yechim
a) Natijalar: qora (B), qizil (R) va oq (B) bilan urish.

b) Natijalar maydoni (qoraga urish, qizilga urish, oqga urish) bo'lib, uni oddiygina (H, K, B) sifatida yozish mumkin.

5-misol Zar otish. Kalit - oltita tomoni bo'lgan kub bo'lib, har birida birdan oltitagacha nuqta bor.


Aytaylik, biz o'limni tashlayapmiz. Toping
a) natijalar
b) Natija maydoni

Yechim
a) Natijalar: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Natija fazosi (1, 2, 3, 4, 5, 6).

E hodisaning sodir bo'lish ehtimolini P(E) deb belgilaymiz. Masalan, “tanga boshlarga tushadi” H harfi bilan belgilanishi mumkin. Keyin P(H) tanganing boshlarga tushishi ehtimolini bildiradi. Agar eksperimentning barcha natijalarining yuzaga kelish ehtimoli bir xil bo'lsa, ular bir xil ehtimoli bor deyiladi. Bir xil ehtimoli bo'lgan va bo'lmagan hodisalar o'rtasidagi farqni ko'rish uchun quyida ko'rsatilgan maqsadni ko'rib chiqing.

Maqsad A uchun qora, qizil va oq rangga tegish hodisalari bir xil ehtimolga ega, chunki qora, qizil va oq sektorlar bir xil. Biroq, maqsad B uchun bu ranglarga ega zonalar bir xil emas, ya'ni ularni urish bir xil darajada emas.

P tamoyili (nazariy)

Agar E hodisa S natija fazosidan n ta mumkin boʻlgan teng ehtimolli natijadan m xilda sodir boʻlishi mumkin boʻlsa, u holda nazariy ehtimollik hodisalar, P (E) hisoblanadi
P(E) = m/n.

6-misol 3 ball olish uchun matritsani aylantirish ehtimoli qanday?

Yechim Zarda 6 ta teng ehtimolli natija bor va 3 raqamini aylantirishning faqat bitta imkoniyati mavjud. Keyin P ehtimolligi P(3) = 1/6 bo'ladi.

7-misol Juft sonni matritsaga aylantirish ehtimoli qanday?

Yechim Hodisa juft sonni tashlashdir. Bu 3 usulda sodir bo'lishi mumkin (agar siz 2, 4 yoki 6 ni aylantirsangiz). Teng ehtimolli natijalar soni 6. U holda ehtimollik P(juft) = 3/6 yoki 1/2.

Biz standart 52 ta karta to'plamini o'z ichiga olgan bir qator misollardan foydalanamiz. Bu pastki rasmda ko'rsatilgan kartalardan iborat.

8-misol Yaxshi aralashgan kartalardan Ace chizish ehtimoli qanday?

Yechim 52 ta natija bor (pastkidagi kartalar soni), ular teng darajada (agar paluba yaxshi aralashgan bo'lsa) va Ace chizishning 4 ta usuli mavjud, shuning uchun P printsipiga ko'ra, ehtimollik
P (as chizish) = 4/52 yoki 1/13.

9-misol Aytaylik, biz 3 ta qizil va 4 ta yashil sharli sumkadan bitta to'pni ko'rmasdan tanlaymiz. Qizil to'pni tanlash ehtimoli qanday?

Yechim Har qanday to'pni chizishning 7 ta teng ehtimolli natijasi mavjud va qizil to'pni chizish usullari soni 3 ta bo'lgani uchun biz olamiz
P (qizil to'pni tanlash) = 3/7.

Quyidagi bayonotlar P tamoyilidan olingan natijalardir.

Ehtimollik xossalari

a) Agar E hodisa yuz bermasa, u holda P(E) = 0.
b) Agar E hodisa aniq bo'lsa, P(E) = 1.
c) E hodisaning ro‘y berish ehtimoli 0 dan 1 gacha bo‘lgan son: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Masalan, tanga otishda tanganing chetiga tushishi nolga teng ehtimolga ega. Tanganing bosh yoki dum bo'lish ehtimoli 1 ga teng.

10-misol Faraz qilaylik, 52 ta kartadan 2 ta karta olinadi. Ikkalasining ham cho'qqi bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim Yaxshi aralashtirilgan 52 ta kartadan 2 ta kartani olish usullarining n soni 52 C 2 ni tashkil qiladi. 52 ta kartadan 13 tasi belkurak bo'lganligi sababli, 2 ta kartani chizish uchun m usullari soni 13 C 2 ga teng. Keyin,
P(2 tepalikni tortib olish)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

11-misol Faraz qilaylik, 6 erkak va 4 ayoldan iborat guruhdan tasodifiy 3 kishi tanlandi. 1 erkak va 2 ayolni tanlash ehtimoli qanday?

Yechim 10 kishilik guruhdan uchta odamni tanlash usullari soni 10 C 3 ni tashkil qiladi. Bir erkakni 6 ta C 1 usulda, 2 ta ayolni esa 4 C 2 usulda tanlash mumkin. Hisoblashning asosiy printsipiga ko'ra, 1 erkak va 2 ayolni tanlash usullari soni 6 C 1 ni tashkil qiladi. 4 C 2. Keyin, 1 erkak va 2 ayol tanlanish ehtimoli
P = 6 C 1. 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

12-misol Zar otish. Ikkita zarda jami 8 ta zarni tashlash ehtimoli qanday?

Yechim Har bir zarda 6 ta mumkin bo'lgan natija mavjud. Natijalar ikki baravar ko'payadi, ya'ni ikkita zardagi raqamlar paydo bo'lishining 6,6 yoki 36 ta mumkin bo'lgan usullari mavjud. (Agar kublar boshqacha bo'lsa, bittasi qizil, ikkinchisi ko'k deb ayting - bu natijani tasavvur qilishga yordam beradi.)

8 ga teng sonlar juftligi quyidagi rasmda ko'rsatilgan. 8 ga teng summani olishning 5 ta mumkin bo'lgan usullari mavjud, shuning uchun ehtimollik 5/36.

Matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonining topshiriqlarida, shuningdek, ehtimollik muammolari (biz 1-qismda ko'rib chiqqanimizdan ko'ra) mavjud bo'lib, unda biz qo'shish, ehtimollarni ko'paytirish qoidasini qo'llashimiz va mos keladigan va mos kelmaydigan hodisalarni farqlashimiz kerak.

Shunday qilib, nazariya.

Qo'shma va qo'shma tadbirlar

Agar ulardan birining sodir bo'lishi boshqalarning sodir bo'lishini istisno qilsa, ular mos kelmaydigan hodisalar deb ataladi. Ya'ni, faqat bir yoki boshqa aniq hodisa sodir bo'lishi mumkin.

Misol uchun, o'limni otishda siz juft sonli ochkolarni olish va toq sonli ochkolarni olish kabi hodisalarni farqlay olasiz. Bu hodisalar mos kelmaydi.

Agar ulardan birining sodir bo'lishi ikkinchisining sodir bo'lishini istisno qilmasa, hodisalar qo'shma deyiladi.

Misol uchun, o'limni uloqtirganda, siz toq sonli nuqtalarni aylantirish va uchga ko'p bo'lgan nuqtalarni aylantirish kabi hodisalarni farqlashingiz mumkin. Uchta aylantirilganda, ikkala hodisa ham sodir bo'ladi.

Voqealar yig'indisi

Bir nechta hodisalarning yig'indisi (yoki kombinatsiyasi) bu hodisalardan kamida bittasining sodir bo'lishidan iborat hodisadir.

Qayerda ikkita mos kelmaydigan hodisalar yig'indisi bu hodisalarning ehtimoli yig'indisi:

Misol uchun, bitta otish bilan zarbda 5 yoki 6 ball olish ehtimoli bo'ladi, chunki ikkala hodisa (5 dumalab, 6 dumalab) bir-biriga mos kelmaydi va u yoki boshqa hodisaning sodir bo'lish ehtimoli quyidagicha hisoblanadi:

Ehtimollik ikkita qo'shma voqea yig'indisi ushbu hodisalarning birgalikda sodir bo'lishini hisobga olmagan holda ularning ehtimoli yig'indisiga teng:

Masalan, savdo markazida ikkita bir xil mashina qahva sotadi. Mashinada kun oxirigacha qahva tugashi ehtimoli 0,3 ga teng. Ikkala mashinada ham kofe tugashi ehtimoli 0,12 ga teng. Keling, kunning oxiriga kelib, kamida bitta mashinada (ya'ni, bittasi yoki boshqasi yoki ikkalasi) qahva tugashi ehtimolini topaylik.

Shartga ko'ra, birinchi hodisaning "birinchi mashinada qahva tugashi" ehtimoli, shuningdek, ikkinchi "ikkinchi mashinada qahva tugashi" ehtimoli 0,3 ga teng. Tadbirlar hamkorlikda.

Shartga ko'ra dastlabki ikkita hodisaning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli 0,12 ga teng.

Bu shuni anglatadiki, kun oxirigacha kamida bitta mashinada qahva tugashi ehtimoli bor.

Bog'liq va mustaqil hodisalar

Ikki tasodifiy A va B hodisalar, agar ulardan birining paydo bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lish ehtimolini o'zgartirmasa, mustaqil deyiladi. Aks holda, A va B hodisalar bog'liq deb ataladi.

Misol uchun, ikkita zar bir vaqtning o'zida tashlanganda, ulardan biri, masalan, 1, ikkinchisi, 5, mustaqil hodisalardir.

Ehtimollar mahsuloti

Bir nechta hodisalarning hosilasi (yoki kesishishi) bu barcha hodisalarning birgalikda sodir bo'lishidan iborat hodisadir.

Agar ikkitasi sodir bo'lsa mustaqil hodisalar P(A) va P(B) ehtimolliklari mos ravishda A va B bo'lsa, u holda bir vaqtning o'zida A va B hodisalarining sodir bo'lish ehtimoli ehtimollar ko'paytmasiga teng bo'ladi:

Misol uchun, biz oltitaning ketma-ket ikki marta o'limda paydo bo'lishini ko'rishga qiziqamiz. Ikkala hodisa ham mustaqil va ularning har birining alohida sodir bo'lish ehtimoli. Bu ikkala hodisaning yuzaga kelish ehtimoli yuqoridagi formula yordamida hisoblab chiqiladi: .

Mavzuni mashq qilish uchun topshiriqlar tanloviga qarang.

  • Ehtimollik - bu qandaydir hodisaning yuzaga kelish ehtimoli darajasi (nisbiy o'lchov, miqdoriy baholash). Mumkin bo'lgan biron bir hodisaning sabablari qarama-qarshi sabablarga ko'ra ko'proq bo'lsa, bu hodisa ehtimoliy, aks holda - dargumon yoki ehtimolsiz deb ataladi. Ijobiy sabablarning salbiylarga nisbatan ustunligi va aksincha, turli darajada bo'lishi mumkin, buning natijasida ehtimollik (va ehtimollik) katta yoki kichik bo'lishi mumkin. Shuning uchun ehtimollik ko'pincha sifat darajasida baholanadi, ayniqsa ko'proq yoki kamroq aniq miqdoriy baholash imkonsiz yoki o'ta qiyin bo'lgan hollarda. Ehtimollik "darajalari" ning turli darajalari mumkin.

    Ehtimollarni matematik nuqtai nazardan o'rganish maxsus fan - ehtimollar nazariyasini tashkil qiladi. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikada ehtimollik tushunchasi hodisaning raqamli xarakteristikasi sifatida rasmiylashtiriladi - ehtimollik o'lchovi (yoki uning qiymati) - hodisalar to'plamining o'lchovi (elementar hodisalar to'plamining kichik to'plamlari), qiymatlarni qabul qilish. dan

    (\displaystyle 0)

    (\displaystyle 1)

    Ma'nosi

    (\displaystyle 1)

    Ishonchli hodisaga mos keladi. Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli 0 ga teng (aksisi odatda har doim ham to'g'ri emas). Agar voqea sodir bo'lish ehtimoli bo'lsa

    (\displaystyle p)

    Keyin uning yuzaga kelmaslik ehtimoli teng bo'ladi

    (\displaystyle 1-p)

    Xususan, ehtimollik

    (\displaystyle 1/2)

    Voqea sodir bo'lishi va sodir bo'lmasligining teng ehtimolini bildiradi.

    Ehtimollikning klassik ta'rifi natijalarning teng ehtimolligi kontseptsiyasiga asoslanadi. Ehtimollik - ma'lum bir hodisa uchun qulay natijalar sonining teng darajada mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soniga nisbati. Misol uchun, tasodifiy tanga otishda bosh yoki dumga ega bo'lish ehtimoli, agar faqat ushbu ikkita imkoniyat yuzaga keladi va ular bir xil darajada mumkin deb taxmin qilinsa, 1/2 ni tashkil qiladi. Ehtimollikning ushbu klassik "ta'rifi" cheksiz miqdordagi mumkin bo'lgan qiymatlar holatiga umumlashtirilishi mumkin - masalan, agar biron bir hodisa biron bir cheklangan mintaqaning istalgan nuqtasida (nuqtalar soni cheksiz) teng ehtimollik bilan sodir bo'lishi mumkin bo'lsa. fazo (tekislik), u holda bu mumkin bo'lgan mintaqaning qaysidir qismida sodir bo'lish ehtimoli ushbu qismning hajmining (maydonining) barcha mumkin bo'lgan nuqtalar mintaqasining hajmiga (maydoniga) nisbatiga tengdir.

    Ehtimollikning empirik "ta'rifi" hodisaning chastotasi bilan bog'liq bo'lib, etarlicha ko'p miqdordagi sinovlar bilan chastota ushbu hodisaning ob'ektiv darajasiga moyil bo'lishi kerakligiga asoslanadi. Ehtimollar nazariyasining zamonaviy taqdimotida ehtimollik to'plam o'lchovining mavhum nazariyasining maxsus holati sifatida aksiomatik tarzda aniqlanadi. Biroq, hodisaning yuzaga kelish ehtimoli darajasini ifodalovchi mavhum o'lchov va ehtimollik o'rtasidagi bog'lovchi bog'liqlik aynan uni kuzatish chastotasidir.

    Muayyan hodisalarning ehtimollik tavsifi zamonaviy fanda, xususan, ekonometrikada, makroskopik (termodinamik) tizimlarning statistik fizikasida keng tarqaldi, bu erda hatto zarralar harakatining klassik deterministik tavsifi bo'lsa ham, butun tizimning deterministik tavsifi. zarrachalar soni amalda mumkin yoki mos emasdek tuyuladi. Kvant fizikasida tasvirlangan jarayonlarning o'zi ehtimollik xususiyatiga ega.

Ehtimollik nima?

Men bu atamani birinchi marta uchratganimda, bu nima ekanligini tushunmagan bo'lardim. Shuning uchun men aniq tushuntirishga harakat qilaman.

Ehtimollik - bu biz xohlagan voqea sodir bo'lish ehtimoli.

Misol uchun, siz do'stingizning uyiga borishga qaror qildingiz, siz kirish joyini va hatto u yashaydigan qavatni eslaysiz. Lekin kvartiraning raqami va joylashuvini unutibman. Va endi siz zinapoyada turibsiz va oldingizda tanlash uchun eshiklar bor.

Agar siz birinchi eshik qo'ng'irog'ini bossangiz, do'stingiz siz uchun eshikni ochishi ehtimoli (ehtimoli) qanday? Faqat kvartiralar bor va do'st ulardan faqat bittasining orqasida yashaydi. Teng imkoniyat bilan biz har qanday eshikni tanlashimiz mumkin.

Lekin bu qanday imkoniyat?

Eshik, o'ng eshik. Birinchi eshik qo'ng'irog'ini chalish orqali taxmin qilish ehtimoli: . Ya'ni, uchtadan bir marta siz aniq taxmin qilasiz.

Biz bilmoqchimizki, bir marta qo'ng'iroq qilib, eshikni qanchalik tez-tez taxmin qilamiz? Keling, barcha variantlarni ko'rib chiqaylik:

  1. Siz qo'ng'iroq qildingiz 1-chi eshik
  2. Siz qo'ng'iroq qildingiz 2 eshik
  3. Siz qo'ng'iroq qildingiz 3 eshik

Keling, do'st bo'lishi mumkin bo'lgan barcha variantlarni ko'rib chiqaylik:

A. Orqada 1-chi eshik
b. Orqada 2 eshik
V. Orqada 3 eshik

Keling, jadval ko'rinishidagi barcha variantlarni taqqoslaylik. Shomil sizning tanlovingiz do'stingiz joylashgan joyga to'g'ri kelganda variantlarni ko'rsatadi, xoch - mos kelmasa.

Hamma narsani qanday ko'rasiz Balki variantlari do'stingizning joylashuvi va qaysi eshikni qo'ng'iroq qilishni tanlash.

A hamma uchun ijobiy natijalar . Ya'ni, siz eshik qo'ng'irog'ini bir marta chalish orqali bir marta taxmin qilasiz, ya'ni. .

Bu ehtimollik - ijobiy natijaning (sizning tanlovingiz do'stingiz joylashgan joyga to'g'ri kelganda) mumkin bo'lgan voqealar soniga nisbati.

Ta'rif formuladir. Ehtimollik odatda p bilan belgilanadi, shuning uchun:

Bunday formulani yozish unchalik qulay emas, shuning uchun biz uchun - qulay natijalar sonini va uchun - natijalarning umumiy sonini olamiz.

Buni amalga oshirish uchun ehtimollik foiz sifatida yozilishi mumkin, natijada natijani ko'paytirish kerak:

"Natijalar" so'zi, ehtimol, sizning e'tiboringizni tortdi. Matematiklar har xil harakatlarni (bizning holatlarimizda bunday harakat eshik qo'ng'irog'i) tajribalar deb ataganligi sababli, bunday tajribalarning natijasi odatda natija deb ataladi.

Xo'sh, ijobiy va salbiy natijalar mavjud.

Keling, misolimizga qaytaylik. Aytaylik, biz eshiklardan birini qo'ng'iroq qildik, lekin biz uchun begona odam ochdi. Biz to'g'ri taxmin qilmadik. Qolgan eshiklardan birini qo'ng'iroq qilsak, do'stimiz biz uchun eshikni ochishi ehtimoli qanday?

Agar siz shunday deb o'ylasangiz, bu xato. Keling, buni aniqlaylik.

Bizda ikkita eshik qoldi. Shunday qilib, bizda mumkin bo'lgan qadamlar mavjud:

1) Qo'ng'iroq qiling 1-chi eshik
2) Qo'ng'iroq qiling 2 eshik

Do'st, bularning barchasiga qaramay, ulardan birining orqasida, albatta, (oxir-oqibat, u biz chaqirganning orqasida emas edi):

a) Do'st uchun 1-chi eshik
b) Do'st uchun 2 eshik

Jadvalni yana chizamiz:

Ko'rib turganingizdek, faqat qulay variantlar mavjud. Ya'ni, ehtimollik teng.

Nega yo'q?

Biz ko'rib chiqqan vaziyat bog'liq hodisalarga misol. Birinchi hodisa - birinchi eshik qo'ng'irog'i, ikkinchi voqea - ikkinchi eshik qo'ng'irog'i.

Va ular qaram deb ataladi, chunki ular quyidagi harakatlarga ta'sir qiladi. Axir, agar birinchi jiringlagandan keyin eshik qo'ng'irog'iga do'stingiz javob bergan bo'lsa, u qolgan ikkitadan birining orqasida bo'lish ehtimoli qanday bo'ladi? To'g'ri, .

Ammo agar qaram hodisalar mavjud bo'lsa, unda ham bo'lishi kerak mustaqil? To'g'ri, ular sodir bo'ladi.

Darslik misoli tanga tashlashdir.

  1. Bir marta tanga tashlang. Masalan, boshni olish ehtimoli qanday? To'g'ri - chunki barcha variantlar mavjud (bosh yoki quyruq, biz tanganing uning chetiga tushish ehtimolini e'tiborsiz qoldiramiz), lekin bu faqat bizga mos keladi.
  2. Lekin boshiga tushdi. Mayli, uni yana tashlaylik. Endi boshni olish ehtimoli qanday? Hech narsa o'zgarmadi, hammasi bir xil. Qancha variant? Ikki. Biz qanchadan xursandmiz? Bir.

Va u ketma-ket kamida ming marta boshga chiqsin. Bir vaqtning o'zida boshlarni olish ehtimoli bir xil bo'ladi. Har doim variantlar va qulaylar mavjud.

Bog'liq hodisalarni mustaqil hodisalardan ajratish oson:

  1. Agar tajriba bir marta o'tkazilsa (ular bir marta tanga tashlaydilar, eshik qo'ng'irog'ini bir marta chaladilar va hokazo), unda voqealar doimo mustaqil bo'ladi.
  2. Agar tajriba bir necha marta o'tkazilsa (tanga bir marta tashlanadi, eshik qo'ng'irog'i bir necha marta chalinadi), unda birinchi hodisa har doim mustaqil bo'ladi. Va keyin, agar qulay bo'lganlar soni yoki barcha natijalar soni o'zgarsa, voqealar bog'liq, agar bo'lmasa, ular mustaqildir.

Keling, ehtimollikni aniqlashni biroz mashq qilaylik.

1-misol.

Tanga ikki marta tashlanadi. Ketma-ket ikki marta bosh olish ehtimoli qanday?

Yechim:

Keling, barcha mumkin bo'lgan variantlarni ko'rib chiqaylik:

  1. Burgut-burgut
  2. Bosh-dumlar
  3. Dumlar - boshlar
  4. Quyruq-dumlar

Ko'rib turganingizdek, faqat variantlar mavjud. Bulardan biz faqat qanoatlanamiz. Ya'ni, ehtimollik:

Agar shart shunchaki ehtimollikni topishni so'rasa, javob o'nlik kasr shaklida berilishi kerak. Agar javob foiz sifatida berilishi kerakligi ko'rsatilgan bo'lsa, biz ko'paytiramiz.

Javob:

2-misol.

Bir quti shokoladda barcha shokoladlar bir xil o‘ramga qadoqlangan. Biroq, shirinliklardan - yong'oq, konyak, gilos, karamel va nuga bilan.

Bitta konfet olib, yong‘oqli konfet olish ehtimoli qanday? Javobingizni foiz sifatida bering.

Yechim:

Qancha mumkin bo'lgan natijalar mavjud? .

Ya'ni, agar siz bitta konfetni olsangiz, u qutidagi mavjud bo'lganlardan biri bo'ladi.

Qancha ijobiy natijalar?

Chunki qutida faqat yong‘oqli shokoladlar bor.

Javob:

3-misol.

Bir quti sharlar ichida. ulardan oq va qora.

  1. Oq sharni chizish ehtimoli qanday?
  2. Biz qutiga yana qora to'p qo'shdik. Endi oq to'pni chizish ehtimoli qanday?

Yechim:

a) Qutida faqat to'plar bor. Ulardan oq.

Ehtimollik:

b) Endi qutida ko'proq to'p bor. Va shuncha oqlar qolgan - .

Javob:

Umumiy ehtimollik

Barcha mumkin bo'lgan hodisalarning ehtimoli () ga teng.

Aytaylik, qutida qizil va yashil sharlar bor. Qizil sharni chizish ehtimoli qanday? Yashil to'p? Qizil yoki yashil to'p?

Qizil to'pni chizish ehtimoli

Yashil to'p:

Qizil yoki yashil to'p:

Ko'rib turganingizdek, barcha mumkin bo'lgan hodisalar yig'indisi () ga teng. Ushbu fikrni tushunish sizga ko'p muammolarni hal qilishga yordam beradi.

4-misol.

Qutida markerlar mavjud: yashil, qizil, ko'k, sariq, qora.

Qizil markerni EMAS chizish ehtimoli qanday?

Yechim:

Keling, raqamni hisoblaylik qulay natijalar.

Qizil marker EMAS, bu yashil, ko'k, sariq yoki qora degan ma'noni anglatadi.

Barcha hodisalarning ehtimoli. Va biz noqulay deb hisoblagan hodisalarning ehtimoli (qizil markerni olib tashlaganimizda) .

Shunday qilib, EMAS qizil flomasterni tortib olish ehtimoli .

Javob:

Voqea sodir bo'lmasligi ehtimoli minusga teng.

Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish qoidasi

Siz mustaqil hodisalar nima ekanligini allaqachon bilasiz.

Ikki (yoki undan ortiq) mustaqil hodisaning ketma-ket sodir bo'lish ehtimolini topish kerak bo'lsa-chi?

Aytaylik, agar biz tangani bir marta aylantirsak, kallalarni ikki marta ko'rish ehtimoli qanday ekanligini bilmoqchimiz?

Biz allaqachon ko'rib chiqdik - .

Agar biz bir marta tanga tashlasak nima bo'ladi? Burgutni ketma-ket ikki marta ko'rish ehtimoli qanday?

Jami mumkin bo'lgan variantlar:

  1. Burgut-burgut-burgut
  2. Bosh-bosh-dumlar
  3. Boshlar-dumlar-boshlar
  4. Boshlar-dumlar-dumlar
  5. Dumlar-boshlar-boshlar
  6. Quyruqlar-boshlar-dumlar
  7. Dumlar-dumlar-boshlar
  8. Quyruq-quyruq-dumlar

Siz haqingizda bilmayman, lekin men ushbu ro'yxatni tuzishda bir necha bor xato qildim. Voy-buy! Va faqat variant (birinchi) bizga mos keladi.

5 ta otish uchun siz o'zingiz mumkin bo'lgan natijalar ro'yxatini tuzishingiz mumkin. Ammo matematiklar siz kabi mehnatkash emas.

Shuning uchun ular avvaliga ma'lum bir mustaqil hodisalar ketma-ketligining ehtimoli har safar bitta hodisaning ehtimoli bilan kamayishini payqashdi va keyin isbotladilar.

Boshqa so'z bilan,

Keling, xuddi shu baxtsiz tanga misolini ko'rib chiqaylik.

Qiyinchilikda bosh tortish ehtimoli bormi? . Endi biz tangani bir marta aylantiramiz.

Ketma-ket boshlarni olish ehtimoli qanday?

Bu qoida bizdan bir xil hodisaning ketma-ket bir necha marta sodir bo‘lish ehtimolini topish so‘ralgandagina ishlamaydi.

Agar biz ketma-ket otishlar uchun TAILS-HEADS-TAILS ketma-ketligini topmoqchi bo'lsak, biz ham xuddi shunday qilamiz.

Boshlarning qo'nish ehtimoli - , bosh - .

TAILS-HEADS-TAILS-TAILS ketma-ketligini olish ehtimoli:

Jadval tuzib, uni o'zingiz tekshirishingiz mumkin.

Mos kelmaydigan hodisalar ehtimolini qo'shish qoidasi.

Shunday qilib, to'xtang! Yangi ta'rif.

Keling, buni aniqlaylik. Keling, eskirgan tangamizni olib, bir marta tashlaylik.
Mumkin variantlar:

  1. Burgut-burgut-burgut
  2. Bosh-bosh-dumlar
  3. Boshlar-dumlar-boshlar
  4. Boshlar-dumlar-dumlar
  5. Dumlar-boshlar-boshlar
  6. Quyruqlar-boshlar-dumlar
  7. Dumlar-dumlar-boshlar
  8. Quyruq-quyruq-dumlar

Demak, mos kelmaydigan hodisalar ma'lum, berilgan hodisalar ketma-ketligidir. - bular mos kelmaydigan hodisalar.

Agar ikkita (yoki undan ortiq) mos kelmaydigan hodisalarning ehtimoli nima ekanligini aniqlamoqchi bo'lsak, biz ushbu hodisalarning ehtimolini qo'shamiz.

Boshlar yoki quyruqlar ikkita mustaqil hodisa ekanligini tushunishingiz kerak.

Agar biz ketma-ketlikning (yoki boshqa har qanday) sodir bo'lish ehtimolini aniqlamoqchi bo'lsak, unda biz ehtimollarni ko'paytirish qoidasidan foydalanamiz.
Birinchi otishda boshlar, ikkinchi va uchinchi otishlarda esa dumlar paydo boʻlish ehtimoli qanday?

Ammo agar biz bir nechta ketma-ketliklardan birini olish ehtimoli qanday ekanligini bilmoqchi bo'lsak, masalan, boshlar aynan bir marta kelganda, ya'ni. variantlar va, keyin biz bu ketma-ketliklarning ehtimolliklarini qo'shishimiz kerak.

Jami variantlar bizga mos keladi.

Har bir ketma-ketlikning paydo bo'lish ehtimolini qo'shib, xuddi shu narsani olishimiz mumkin:

Shunday qilib, biz aniq, mos kelmaydigan, voqealar ketma-ketligining ehtimolini aniqlamoqchi bo'lganimizda, ehtimollarni qo'shamiz.

Qachon ko'paytirish va qachon qo'shish kerakligi haqida chalkashmaslikka yordam beradigan ajoyib qoida mavjud:

Keling, bir marta tanga tashlagan va boshlarni bir marta ko'rish ehtimolini bilmoqchi bo'lgan misolga qaytaylik.
Nima bo'ladi?

Chiqib ketishi kerak:
(boshlar VA dumlar VA quyruqlar) YOKI (dumlar VA boshlar VA quyruqlar) YOKI (dumlar VA dumlar VA boshlar).
Bu shunday chiqadi:

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

5-misol.

Qutida qalamlar bor. qizil, yashil, to'q sariq va sariq va qora. Qizil yoki yashil qalamlarni chizish ehtimoli qanday?

Yechim:

Nima bo'ladi? Biz tortishimiz kerak (qizil YOKI yashil).

Endi tushunarli, keling, ushbu hodisalarning ehtimolini qo'shamiz:

Javob:

6-misol.

Agar zar ikki marta tashlansa, jami 8 tani olish ehtimoli qanday?

Yechim.

Qanday qilib ochko olishimiz mumkin?

(va) yoki (va) yoki (va) yoki (va) yoki (va).

Bitta (har qanday) yuzni olish ehtimoli .

Biz ehtimollikni hisoblaymiz:

Javob:

Trening.

O'ylaymanki, endi siz ehtimollarni qachon hisoblashingiz kerakligini, ularni qachon qo'shishni va qachon ko'paytirishni tushunasiz. Shunday emasmi? Keling, biroz mashq qilaylik.

Vazifalar:

Keling, kartalarni o'z ichiga olgan belkurak, yurak, 13 ta klub va 13 olmosni olaylik. Har bir kostyumdan Acegacha.

  1. Klublarni ketma-ket chizish ehtimoli qanday (biz birinchi chiqarilgan kartani kemaga qo'yamiz va aralashtiramiz)?
  2. Qora kartochka (belkurak yoki to'qmoq) chizish ehtimoli qanday?
  3. Rasmni (jak, malika, qirol yoki eys) chizish ehtimoli qanday?
  4. Ikkita rasmni ketma-ket chizish ehtimoli qanday (biz pastki chizilgan birinchi kartani olib tashlaymiz)?
  5. Ikkita kartani olib, kombinatsiyani yig'ish ehtimoli qanday - (jak, malika yoki qirol) va kartalar chizilgan ketma-ketlik muhim emas.

Javoblar:

  1. Har bir qiymatdagi kartalar to'plamida bu quyidagilarni anglatadi:
  2. Voqealar bog'liq, chunki birinchi karta chiqarilgandan so'ng, kemadagi kartalar soni ("rasmlar" soni kabi) kamaydi. Dastlab kemada jami jaklar, malikalar, qirollar va eyslar mavjud, bu birinchi karta bilan "rasm" chizish ehtimolini anglatadi:

    Biz kemadan birinchi kartani olib tashlaganimiz sababli, bu kemada allaqachon kartalar, shu jumladan rasmlar qolganligini anglatadi. Ikkinchi karta bilan rasm chizish ehtimoli:

    Biz palubadan "rasm" va "rasm" ni olib tashlaganimizda vaziyatga qiziqqanimiz sababli, ehtimolliklarni ko'paytirishimiz kerak:

    Javob:

  3. Birinchi karta chiqarilgandan so'ng, palubadagi kartalar soni kamayadi, shuning uchun bizga ikkita variant mos keladi:
    1) Birinchi karta - Ace, ikkinchisi - Jek, Qirolicha yoki Qirol
    2) Birinchi karta bilan jek, malika yoki qirolni, ikkinchisi bilan esa eysni chiqaramiz. (ace va (jak yoki malika yoki qirol)) yoki ((jak yoki malika yoki qirol) va ace). Deckdagi kartalar sonini kamaytirishni unutmang!

Agar siz barcha muammolarni o'zingiz hal qila olgan bo'lsangiz, unda siz ajoyibsiz! Endi siz Yagona Davlat imtihonida ehtimollik nazariyasi muammolarini yong'oq kabi yorib olasiz!

EHTIMOLLAR NAZARIYASI. O'RTACHA DARAJASI

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Aytaylik, biz o'limni tashladik. Bu qanday suyak, bilasizmi? Buni ular yuzlarida raqamlari bo'lgan kub deb atashadi. Qancha yuz, shuncha raqam: nechtadan? Oldin.

Shunday qilib, biz zarlarni tashlaymiz va biz uni kelishini xohlaymiz yoki. Va biz tushunamiz.

Ehtimollar nazariyasida ular nima bo'lganini aytishadi xayrli hodisa(farovon bilan adashtirmaslik kerak).

Agar shunday bo'lsa, voqea ham qulay bo'lar edi. Hammasi bo'lib, faqat ikkita qulay voqea sodir bo'lishi mumkin.

Qanchalik noqulay? Jami mumkin bo'lgan hodisalar mavjud bo'lganligi sababli, bu noqulay voqealar hodisalar ekanligini anglatadi (agar bu sodir bo'lsa yoki tushib qolsa).

Ta'rif:

Ehtimollik - qulay hodisalar sonining barcha mumkin bo'lgan hodisalar soniga nisbati. Ya'ni, ehtimollik barcha mumkin bo'lgan hodisalarning qaysi nisbati qulay ekanligini ko'rsatadi.

Ular ehtimollikni lotin harfi bilan bildiradi (aftidan, ehtimol inglizcha probability - probability so'zidan).

Ehtimollikni foiz sifatida o'lchash odatiy holdir (qarang va mavzular). Buning uchun ehtimollik qiymatini ko'paytirish kerak. Zar misolida, ehtimollik.

Va foizda: .

Misollar (o'zingiz qaror qiling):

  1. Tanga uloqtirganda bosh paydo bo'lish ehtimoli qanday? Boshlarning qo'nish ehtimoli qanday?
  2. Zarb otishda juft sonni olish ehtimoli qanday? Qaysi biri g'alati?
  3. Oddiy, ko'k va qizil qalamlar qutisida. Biz tasodifiy bitta qalam chizamiz. Oddiysini olish ehtimoli qanday?

Yechimlar:

  1. Qancha variant bor? Bosh va quyruq - faqat ikkita. Ulardan qanchasi qulay? Faqat bittasi burgut. Shunday qilib, ehtimollik

    Quyruqlar bilan ham xuddi shunday: .

  2. Jami variantlar: (kubning nechta tomoni bor, juda ko'p turli xil variantlar). Qulay bo'lganlar: (bularning barchasi juft raqamlar :).
    Ehtimollik. Albatta, bu toq raqamlar bilan bir xil.
  3. Jami: . Qulay: . Ehtimollik: .

Umumiy ehtimollik

Qutidagi barcha qalamlar yashil rangda. Qizil qalam chizish ehtimoli qanday? Hech qanday imkoniyat yo'q: ehtimollik (axir, qulay voqealar -).

Bunday hodisa imkonsiz deb ataladi.

Yashil qalam chizish ehtimoli qanday? Jami hodisalar bo'lgani kabi, bir xil miqdordagi qulay hodisalar mavjud (barcha hodisalar qulay). Demak, ehtimollik yoki ga teng.

Bunday hodisa ishonchli deb ataladi.

Agar qutida yashil va qizil qalamlar bo'lsa, yashil yoki qizil rangni chizish ehtimoli qanday? Yana. Shuni ta'kidlaymiz: yashil rangni tortib olish ehtimoli teng, qizil esa teng.

Xulosa qilib aytganda, bu ehtimollar to'liq tengdir. Ya'ni, barcha mumkin bo'lgan hodisalarning ehtimolliklari yig'indisi yoki ga teng.

Misol:

Bir quti qalam ichida, ular orasida ko'k, qizil, yashil, oddiy, sariq, qolganlari to'q sariq rangga ega. Yashil rangni chizmaslik ehtimoli qanday?

Yechim:

Biz barcha ehtimollar qo'shilishini eslaymiz. Va yashil rangga ega bo'lish ehtimoli teng. Bu yashil rangni chizmaslik ehtimoli teng ekanligini anglatadi.

Ushbu hiylani eslang: hodisaning sodir bo'lmasligi ehtimoli minusga teng.

Mustaqil hodisalar va ko'paytirish qoidasi

Siz tangani bir marta aylantirasiz va u ikkala marta ham yuqoriga chiqishini xohlaysiz. Buning ehtimoli qanday?

Keling, barcha mumkin bo'lgan variantlarni ko'rib chiqamiz va ularning qanchaligini aniqlaymiz:

Boshlar-boshlar, dumlar-boshlar, boshlar-dumlar, dumlar-dumlar. Yana nima?

Jami variantlar. Ulardan faqat bittasi bizga mos keladi: Eagle-Eagle. Umuman olganda, ehtimollik teng.

Yaxshi. Endi tangani bir marta aylantiramiz. Matematikani o'zingiz bajaring. Bo'ldimi? (javob).

Siz har bir keyingi otish qo'shilishi bilan ehtimollik ikki baravar kamayganini payqadingiz. Umumiy qoida deyiladi ko'paytirish qoidasi:

Mustaqil hodisalarning ehtimoli o'zgaradi.

Mustaqil hodisalar nima? Hammasi mantiqiy: bular bir-biriga bog'liq bo'lmaganlar. Misol uchun, tangani bir necha marta tashlaganimizda, har safar yangi otish amalga oshiriladi, uning natijasi avvalgi barcha otishlarga bog'liq emas. Biz bir vaqtning o'zida ikki xil tangani osongina tashlashimiz mumkin.

Ko'proq misollar:

  1. Zarlar ikki marta tashlanadi. Ikkala marta ham uni olish ehtimoli qanday?
  2. Tanga bir marta tashlanadi. Uning birinchi marta tepaga, keyin esa ikki marta dumga tushishi ehtimoli qanday?
  3. O'yinchi ikkita zar tashlaydi. Ulardagi sonlar yig‘indisi teng bo‘lish ehtimoli qanday?

Javoblar:

  1. Hodisalar mustaqil, ya'ni ko'paytirish qoidasi ishlaydi: .
  2. Boshlarning ehtimoli teng. Quyruqlarning ehtimoli bir xil. Ko'paytirish:
  3. 12 ni faqat ikkita -ki o'ralgan holda olish mumkin: .

Mos kelmaydigan hodisalar va qo'shish qoidasi

To'liq ehtimollik darajasigacha bir-birini to'ldiradigan hodisalar mos kelmaydigan deb ataladi. Nomidan ko'rinib turibdiki, ular bir vaqtning o'zida sodir bo'lolmaydi. Misol uchun, agar biz tangani aylantirsak, u bosh yoki dumga chiqishi mumkin.

Misol.

Bir quti qalam ichida, ular orasida ko'k, qizil, yashil, oddiy, sariq, qolganlari to'q sariq rangga ega. Yashil yoki qizil rangni chizish ehtimoli qanday?

Yechim.

Yashil qalamni chizish ehtimoli teng. Qizil -.

Hammasi uchun qulay voqealar: yashil + qizil. Bu yashil yoki qizil chizish ehtimoli teng ekanligini anglatadi.

Xuddi shu ehtimollik quyidagi shaklda ifodalanishi mumkin: .

Bu qo'shimcha qoida: mos kelmaydigan hodisalarning ehtimoli qo'shiladi.

Aralash turdagi muammolar

Misol.

Tanga ikki marta tashlanadi. Rulolarning natijalari boshqacha bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim.

Bu shuni anglatadiki, agar birinchi natija boshlar bo'lsa, ikkinchisi quyruq bo'lishi kerak va aksincha. Ma’lum bo‘lishicha, ikki juft mustaqil hodisa mavjud bo‘lib, bu juftliklar bir-biriga mos kelmaydi. Qaerga ko'paytirish va qaerga qo'shish haqida qanday qilib chalkashmaslik kerak.

Bunday holatlar uchun oddiy qoida mavjud. “VA” yoki “YOKI” birikmalari yordamida nima sodir boʻlishini tasvirlashga harakat qiling. Masalan, bu holatda:

U (boshlar va quyruqlar) yoki (dumlar va boshlar) chiqishi kerak.

“va” bog‘lovchisi bo‘lgan joyda ko‘paytirish, “yoki” bo‘lgan joyda esa qo‘shilish bo‘ladi:

O'zingiz sinab ko'ring:

  1. Agar tanga ikki marta tashlansa, tanga ikki marta bir tomonga tushishi ehtimoli qanday?
  2. Zarlar ikki marta tashlanadi. Umumiy ball olish ehtimoli qanday?

Yechimlar:

  1. (Boshlar tushib, dumlar tushdi) yoki (dumlar tushib, quyruq tushdi): .
  2. Variantlar qanday? Va. Keyin:
    Tushgan (va) yoki (va) yoki (va): .

Yana bir misol:

Bir marta tanga tashlang. Boshlarning kamida bir marta paydo bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim:

Oh, qanday qilib variantlardan o'tishni istamayman ... Bosh-quyruq-dumlar, Eagle-bosh-dumlar, ... Lekin bunga hojat yo'q! Keling, umumiy ehtimollik haqida eslaylik. Esingizdami? Burgutning ehtimoli qanday hech qachon tushmaydi? Bu oddiy: boshlar doimo uchib ketadi, shuning uchun.

EHTIMOLLAR NAZARIYASI. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Ehtimollik - qulay hodisalar sonining barcha mumkin bo'lgan hodisalar soniga nisbati.

Mustaqil hodisalar

Agar birining sodir bo'lishi ikkinchisining sodir bo'lish ehtimolini o'zgartirmasa, ikkita hodisa mustaqildir.

Umumiy ehtimollik

Barcha mumkin bo'lgan hodisalarning ehtimoli () ga teng.

Voqea sodir bo'lmasligi ehtimoli minusga teng.

Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish qoidasi

Mustaqil hodisalarning ma'lum bir ketma-ketligining ehtimoli har bir hodisaning ehtimolliklari ko'paytmasiga teng

Mos kelmaydigan hodisalar

Mos kelmaydigan hodisalar - tajriba natijasida bir vaqtning o'zida sodir bo'lishi mumkin bo'lmagan hodisalar. Bir qator bir-biriga mos kelmaydigan hodisalar voqealarning to'liq guruhini tashkil qiladi.

Mos kelmaydigan hodisalarning ehtimoli qo'shiladi.

“VA” yoki “YOKI” birikmalari yordamida nima sodir boʻlishini tasvirlab, “VA” oʻrniga koʻpaytirish belgisini, “YOKI” oʻrniga esa qoʻshish belgisini qoʻyamiz.

YouClever talabasi bo'ling,

Yagona davlat imtihoniga yoki matematikadan yagona davlat imtihoniga tayyorlaning,

Shuningdek, YouClever darsligiga cheklovlarsiz kiring...