Vektordan tekislikgacha bo'lgan masofani toping. Oddiy tekislik tenglamasi

, "Dars uchun taqdimot" tanlovi

Sinf: 11

Dars uchun taqdimot

Orqaga oldinga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot uchun mo'ljallangan va taqdimotning barcha xususiyatlarini aks ettirmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.

Maqsadlar:

talabalarning bilim va ko'nikmalarini umumlashtirish va tizimlashtirish;
tahlil qilish, taqqoslash, xulosa chiqarish ko'nikmalarini rivojlantirish.

Uskunalar:

multimedia proyektori;
kompyuter;
muammoli matnli varaqlar

SINFNING OLISHI

I. Tashkiliy moment

II. Bilimlarni yangilash bosqichi(2-slayd)

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa qanday aniqlanganligini takrorlaymiz

III. Leksiya(3-15 slaydlar)

Ushbu darsda biz nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishning turli usullarini ko'rib chiqamiz.

Birinchi usul: bosqichma-bosqich hisoblash

M nuqtadan a tekislikgacha bo'lgan masofa:
– M nuqtadan o‘tuvchi va a tekislikka parallel bo‘lgan a to‘g‘ri chiziqda yotgan ixtiyoriy P nuqtadan a tekislikka masofaga teng;
– b tekislikda yotgan, M nuqtadan o‘tuvchi va a tekislikka parallel bo‘lgan ixtiyoriy P nuqtadan a tekislikgacha bo‘lgan masofaga teng.

Biz quyidagi muammolarni hal qilamiz:

№1. A...D 1 kubida C 1 nuqtadan AB 1 C tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.

O 1 N segmentining uzunligi qiymatini hisoblash qoladi.

№2. Barcha qirralari 1 ga teng bo‘lgan A...F 1 muntazam olti burchakli prizmada A nuqtadan DEA 1 tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.

Keyingi usul: hajm usuli.

Agar ABCM piramidasining hajmi V ga teng bo'lsa, M nuqtadan ∆ABC ni o'z ichiga olgan a tekislikgacha bo'lgan masofa r(M; a) = r(M; ABC) = formula bilan hisoblanadi.
Muammolarni yechishda biz ikki xil usulda ifodalangan bir raqamning hajmlari tengligidan foydalanamiz.

Keling, quyidagi muammoni hal qilaylik:

№3. DABC piramidasining AD cheti ABC asos tekisligiga perpendikulyar. A dan AB, AC va AD qirralarning o'rta nuqtalaridan o'tuvchi tekislikgacha bo'lgan masofani toping, agar.

Muammolarni hal qilishda koordinata usuli M nuqtadan a tekislikgacha bo'lgan masofani r(M; a) = formulasi yordamida hisoblash mumkin , bu yerda M(x 0; y 0; z 0) va tekislik ax + by + cz + d = 0 tenglama bilan berilgan.

Keling, quyidagi muammoni hal qilaylik:

№4. A...D 1 birlik kubida A 1 nuqtadan BDC 1 tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.

Koordinatalar sistemasini koordinatalar sistemasini koordinatalar sistemasini koordinatalar koordinatasini koordinata sistemasining koordinatasini A nuqtada keltiramiz, y o’qi AB chekkasi bo’ylab, x o’qi AD chekkasi bo’ylab, z o’qi AA 1 cheti bo’ylab o’tadi. U holda B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) nuqtalarning koordinatalari.
B, D, C 1 nuqtalardan o'tuvchi tekislik uchun tenglama tuzamiz.

U holda – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Demak, r =

Ushbu turdagi muammolarni hal qilish uchun quyidagi usuldan foydalanish mumkin muammolarni qo'llab-quvvatlash usuli.

Ushbu usulni qo'llash teorema sifatida tuzilgan ma'lum mos yozuvlar muammolaridan foydalanishdan iborat.

Keling, quyidagi muammoni hal qilaylik:

№5. A...D 1 birlik kubida D 1 nuqtadan AB 1 C tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.

Keling, arizani ko'rib chiqaylik vektor usuli.

№6. A...D 1 birlik kubida A 1 nuqtadan BDC 1 tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.

Shunday qilib, biz ushbu turdagi muammolarni hal qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan turli usullarni ko'rib chiqdik. Bir yoki boshqa usulni tanlash muayyan vazifaga va sizning afzalliklaringizga bog'liq.

IV. Guruh ishi

Muammoni turli yo'llar bilan hal qilishga harakat qiling.

№1. A...D 1 kubining cheti ga teng. C cho'qqisidan BDC 1 tekisligigacha bo'lgan masofani toping.

№2. Qirrali ABCD muntazam tetraedrida A nuqtadan BDC tekislikgacha bo'lgan masofani toping.

№3. Barcha qirralari 1 ga teng bo'lgan ABCA 1 B 1 C 1 muntazam uchburchak prizmasida A dan BCA 1 tekislikgacha bo'lgan masofani toping.

№4. Barcha qirralari 1 ga teng bo'lgan muntazam to'rtburchaklar SABCD piramidasida A dan SCD tekisligigacha bo'lgan masofani toping.

V. Dars xulosasi, uyga vazifa, mulohaza

MATEMATIKA FANIDAN YANGILIK DAVLAT IMTIHNONINING C2 MASALLARI NOKTADAN SOLOLGACHA MASAFNI TOPISH.

Kulikova Anastasiya Yurievna

Matematika fakulteti 5-kurs talabasi. tahlil, algebra va geometriya EI KFU, Rossiya Federatsiyasi, Tatariston Respublikasi, Elabuga

Ganeeva Oygul Rifovna

ilmiy rahbar, t.f.n. ped. fanlar, dotsent EI KFU, Rossiya Federatsiyasi, Tatariston Respublikasi, Elabuga

So'nggi yillarda matematikadan yagona davlat imtihon topshiriqlarida nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash bo'yicha vazifalar paydo bo'ldi. Ushbu maqolada bitta masala misolidan foydalanib, nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishning turli usullari ko'rib chiqiladi. Turli muammolarni hal qilish uchun eng mos usuldan foydalanish mumkin. Bir usul yordamida muammoni hal qilgandan so'ng, siz boshqa usul yordamida natijaning to'g'riligini tekshirishingiz mumkin.

Ta'rif. Nuqtadan bu nuqtani o‘z ichiga olmagan tekislikgacha bo‘lgan masofa shu nuqtadan berilgan tekislikka o‘tkazilgan perpendikulyar segmentning uzunligidir.

Vazifa. To'rtburchaklar parallelepiped berilgan ABBILAND.A. 1 B 1 C 1 D 1 tomonlari bilan AB=2, Miloddan avvalgi=4, A.A. 1 =6. Nuqtadan masofani toping D samolyotga ACD 1 .

1 yo'l. Foydalanish ta'rifi. masofani toping r( D, ACD 1) nuqtadan D samolyotga ACD 1 (1-rasm).

1-rasm. Birinchi usul

Bajaraylik D.H.⊥AC, shuning uchun uchta perpendikulyar teorema bo'yicha D 1 H⊥AC Va (DD 1 H)⊥AC. Bajaraylik bevosita D.T. perpendikulyar D 1 H. Streyt D.T. samolyotda yotadi DD 1 H, shuning uchun D.T.⊥A.C.. Demak, D.T.⊥ACD 1.

ADC gipotenuzani topamiz AC va balandligi D.H.

To'g'ri uchburchakdan D 1 D.H. gipotenuzani topamiz D 1 H va balandligi D.T.

Javob: .

2-usul.Hajmi usuli (yordamchi piramidadan foydalanish). Bunday turdagi masalani piramidaning balandligini hisoblash masalasiga qisqartirish mumkin, bu erda piramidaning balandligi nuqtadan tekislikgacha bo'lgan talab qilinadigan masofadir. Bu balandlik kerakli masofa ekanligini isbotlang; bu piramidaning hajmini ikki usulda toping va shu balandlikni ifodalang.

E'tibor bering, bu usul bilan berilgan nuqtadan berilgan tekislikka perpendikulyar qurishning hojati yo'q.

Kuboid - barcha yuzlari to'rtburchaklar bo'lgan parallelepiped.

AB=CD=2, Miloddan avvalgi=AD=4, A.A. 1 =6.

Kerakli masofa balandlik bo'ladi h piramidalar ACD 1 D, yuqoridan tushirildi D asosda ACD 1 (2-rasm).

Keling, piramidaning hajmini hisoblaymiz ACD 1 D ikki yo'l.

Hisoblashda birinchi usulda ∆ ni asos qilib olamiz ACD 1 keyin

Ikkinchi usulda hisoblashda ∆ ni asos qilib olamiz ACD, Keyin

Keling, oxirgi ikkita tenglikning o'ng tomonlarini tenglashtiramiz va olamiz

2-rasm. Ikkinchi usul

To'g'ri uchburchaklardan ACD, QO‘SHISH 1 , CDD 1 Pifagor teoremasi yordamida gipotenuslarni toping

ACD

Uchburchakning maydonini hisoblang ACD 1 Heron formulasidan foydalangan holda

Javob: .

3 yo'l. Koordinata usuli.

Bir nuqta berilsin M(x 0 ,y 0 ,z 0) va tekislik α , tenglama bilan berilgan bolta+tomonidan+cz+d To'g'ri burchakli Dekart koordinata tizimida =0. Nuqtadan masofa M a tekisligiga quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

Keling, koordinatalar tizimini joriy qilaylik (3-rasm). Bir nuqtada koordinatalarning kelib chiqishi IN;

Streyt AB- eksa X, Streyt Quyosh- eksa y, Streyt BB 1 - eksa z.

Rasm 3. Uchinchi usul

B(0,0,0), A(2,0,0), BILAN(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Mayli ax+tomonidan+ cz+ d=0 – tekislik tenglamasi ACD 1 . Unga nuqtalar koordinatalarini qo'yish A, C, D 1 biz olamiz:

Tekislik tenglamasi ACD 1 shaklni oladi

Javob: .

4 yo'l. Vektor usuli.

Keling, asos bilan tanishtiramiz (4-rasm) , .

4-rasm. To'rtinchi usul

Fazoda qandaydir p tekislik va ixtiyoriy M 0 nuqtani ko'rib chiqaylik. Keling, samolyotni tanlaylik normal vektor birligi n bilan boshi bir nuqtada M 1 ∈ p va M 0 nuqtadan p tekislikgacha bo'lgan masofa p(M 0 ,p) bo'lsin. Keyin (5.5-rasm)

r(M 0 ,p) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

beri |n| = 1.

Agar p tekisligi berilgan bo'lsa uning umumiy tenglamasi bilan to'rtburchaklar koordinatalar tizimi Ax + By + Cz + D = 0, u holda uning normal vektori koordinatali vektor (A; B; C) va biz tanlashimiz mumkin.

(x 0 ; y 0 ; z 0) va (x 1 ; y 1 ; z 1) M 0 va M 1 nuqtalarning koordinatalari bo‘lsin. U holda Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 tengligi o'rinli bo'ladi, chunki M 1 nuqta tekislikka tegishli bo'lib, M 1 M 0 vektorining koordinatalarini topish mumkin: M 1 M 0 = (x 0 - x 1 y 0 -y 1 ; z 0 -z 1 ; Yozib olish skalyar mahsulot nM 1 M 0 koordinata shaklida va o'zgartirganda (5.8), biz olamiz

chunki Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Demak, nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash uchun nuqta koordinatalarini tekislikning umumiy tenglamasiga almashtirib, so'ngra mutlaq qiymatini bo'lish kerak. mos keladigan normal vektor uzunligiga teng bo'lgan normallashtiruvchi omil bilan natija.

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz xodimlarimizga maxfiylik va xavfsizlik standartlarini etkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy qo'llaymiz.

Ushbu maqola nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani aniqlash haqida gapiradi. Keling, uni uch o'lchovli fazoda berilgan nuqtadan masofani topishga imkon beradigan koordinata usuli yordamida tahlil qilaylik. Buni mustahkamlash uchun keling, bir nechta vazifalarning misollarini ko'rib chiqaylik.

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa nuqtadan nuqtagacha bo'lgan ma'lum masofadan foydalanib topiladi, bu erda ulardan biri berilgan, ikkinchisi esa berilgan tekislikka proyeksiyadir.

Fazoda ch tekislikli M 1 nuqta belgilangan bo'lsa, u holda nuqta orqali tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. H 1 - ularning umumiy kesishish nuqtasi. Bu yerdan M 1 H 1 segmenti M 1 nuqtadan ch tekislikka chizilgan perpendikulyar ekanligini tushunamiz, bu erda H 1 nuqta perpendikulyar asosdir.

Ta'rif 1

Berilgan nuqtadan berilgan tekislikka chizilgan perpendikulyarning asosigacha bo'lgan masofa deyiladi.

Ta'rif turli formulalarda yozilishi mumkin.

Ta'rif 2

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa- berilgan nuqtadan berilgan tekislikka chizilgan perpendikulyar uzunligi.

M 1 nuqtadan ch tekislikgacha bo'lgan masofa quyidagicha aniqlanadi: M 1 nuqtadan ch tekislikgacha bo'lgan masofa berilgan nuqtadan tekislikning istalgan nuqtasigacha bo'lgan eng kichik bo'ladi. Agar H 2 nuqta ch tekisligida joylashgan bo'lsa va H 2 nuqtaga teng bo'lmasa, biz M 2 H 1 H 2 ko'rinishdagi to'g'ri burchakli uchburchakni olamiz. , bu to'rtburchaklar, bu erda M 2 H 1, M 2 H 2 oyog'i mavjud - gipotenuza. Bu shuni anglatadiki, M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 qiya deb hisoblanadi, u M 1 nuqtadan ch tekislikka tortiladi. Bizda berilgan nuqtadan tekislikka chizilgan perpendikulyar nuqtadan berilgan tekislikka chizilgan qiyalikdan kichikroq ekanligi bor. Quyidagi rasmda ushbu holatni ko'rib chiqing.

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa - nazariya, misollar, echimlar

Bir qator geometrik masalalar mavjud, ularning yechimlari nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani o'z ichiga olishi kerak. Buni aniqlashning turli usullari bo'lishi mumkin. Yechish uchun Pifagor teoremasi yoki uchburchaklarning o'xshashligidan foydalaning. Shartga ko'ra, uch o'lchovli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimida berilgan nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash kerak bo'lganda, u koordinata usuli bilan hal qilinadi. Ushbu paragraf ushbu usulni muhokama qiladi.

Masalaning shartlariga ko'ra, bizda koordinatalari M 1 (x 1, y 1, z 1) bo'lgan uch o'lchovli fazoda ch tekislikli nuqta berilgan, M 1 dan masofani aniqlash kerak; samolyot ch. Yechish uchun bir necha yechim usullari qo'llaniladi.

Birinchi yo'l

Bu usul M 1 nuqtadan ch tekislikka perpendikulyar asos bo'lgan H 1 nuqtaning koordinatalari yordamida nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishga asoslangan. Keyinchalik, M 1 va H 1 orasidagi masofani hisoblashingiz kerak.

Masalani ikkinchi usulda yechish uchun berilgan tekislikning normal tenglamasidan foydalaning.

Ikkinchi yo'l

Shartga ko'ra, H 1 perpendikulyar asos bo'lib, u M 1 nuqtadan ch tekisligiga tushirildi. Keyin H 1 nuqtaning koordinatalarini (x 2, y 2, z 2) aniqlaymiz. M 1 dan ch tekisligiga kerakli masofa M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 formulasi bilan topiladi, bu erda M 1. (x 1, y 1, z 1) va H 1 (x 2, y 2, z 2). Yechish uchun siz H 1 nuqtasining koordinatalarini bilishingiz kerak.

Bizda H 1 ch tekislikning ch tekislikka perpendikulyar joylashgan M 1 nuqtasidan o‘tuvchi a to‘g‘ri chiziq bilan kesishish nuqtasidir. Bundan kelib chiqadiki, berilgan tekislikka perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq uchun tenglama tuzish kerak. Shunda biz H 1 nuqtasining koordinatalarini aniqlay olamiz. Chiziq va tekislikning kesishish nuqtasining koordinatalarini hisoblash kerak.

Koordinatalari M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqtadan ch tekislikgacha bo‘lgan masofani topish algoritmi:

Ta'rif 3

M 1 nuqtadan o'tuvchi va bir vaqtning o'zida a to'g'ri chiziq tenglamasini tuzing
ch tekisligiga perpendikulyar;
nuqta bo‘lgan H 1 nuqtaning koordinatalarini (x 2, y 2, z 2) toping va hisoblang.
a chiziqning ch tekislik bilan kesishishi;
M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 formulasi yordamida M 1 dan ch gacha bo'lgan masofani hisoblang.

Uchinchi yo'l

Berilgan O x y z to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida ch tekislik mavjud bo'lsa, u holda cos a · x + cos b · y + cos g · z - p = 0 ko'rinishdagi tekislikning normal tenglamasini olamiz. Bu yerdan M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqta bilan M 1 H 1 masofa ch tekislikka tushirilganligini, M 1 H 1 = cos a x + cos b y + cos formulasi bilan hisoblanganligini olamiz. g z - p. Bu formula to'g'ri, chunki u teorema tufayli yaratilgan.

Teorema

Agar M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqta uch o‘lchamli fazoda berilgan bo‘lsa, cos a x + cos b y + cos g z - p = 0 ko‘rinishdagi ch tekislikning normal tenglamasiga ega bo‘lsa, keyin nuqtadan M 1 H 1 tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash M 1 H 1 = cos a · x + cos b · y + cos g · z - p formuladan olinadi, chunki x = x 1, y = y 1 , z = z 1.

Isbot

Teoremaning isboti nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani topishga to'g'ri keladi. Bundan kelib chiqadiki, M 1 dan ch tekislikgacha bo'lgan masofa M 1 radius vektorining sonli proyeksiyasi koordinata boshidan ch tekislikgacha bo'lgan masofa orasidagi farqning moduli hisoblanadi. Keyin M 1 H 1 = n p n → O M → - p ifodasini olamiz. ch tekislikning normal vektori n → = cos a, cos b, cos g ko‘rinishga ega bo‘lib, uzunligi birga teng, n p n → O M → O M → = (x 1, y 1) vektorining sonli proyeksiyasi. , z 1) n → vektor bilan aniqlangan yo'nalishda.

Skayar vektorlarni hisoblash formulasini qo'llaymiz. Keyin n →, O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → n → = cos a, cos b, cos g bo‘lgani uchun n → ko‘rinishdagi vektorni topish ifodasini olamiz. · z va O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Yozuvning koordinatali shakli n → , O M → = cos a · x 1 + cos b · y 1 + cos g · z 1, keyin M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos a · x ko‘rinishida bo‘ladi. 1 + cos b · y 1 + cos g · z 1 - p. Teorema isbotlangan.

Bu erdan M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqtadan ch tekislikgacha bo'lgan masofa cos a · x + cos b · y + cos g · z - p = 0 ni o'rniga qo'yish orqali aniqlanadi. tekislikning normal tenglamasining chap tomoni x, y, z koordinatalari o'rniga x 1, y 1 va z 1, M 1 nuqtasiga taalluqli, olingan qiymatning mutlaq qiymatini oladi.

Koordinatalari bo'lgan nuqtadan berilgan tekislikgacha bo'lgan masofani topish misollarini ko'rib chiqamiz.

1-misol

Koordinatalari M 1 (5, - 3, 10) bo'lgan nuqtadan 2 x - y + 5 z - 3 = 0 tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblang.

Yechim

Keling, muammoni ikki yo'l bilan hal qilaylik.

Birinchi usul a chiziqning yo'nalish vektorini hisoblashdan boshlanadi. Shartga ko‘ra, berilgan 2 x - y + 5 z - 3 = 0 tenglama umumiy tekislik tenglamasi, n → = (2, - 1, 5) esa berilgan tekislikning normal vektori ekanligiga erishamiz. U berilgan tekislikka perpendikulyar bo'lgan a to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori sifatida ishlatiladi. M 1 (5, - 3, 10) dan koordinatalari 2, - 1, 5 bo'lgan yo'nalish vektoriga ega bo'lgan fazodagi chiziqning kanonik tenglamasini yozish kerak.

Tenglama x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ga aylanadi.

Kesishish nuqtalarini aniqlash kerak. Buni amalga oshirish uchun kanonikdan ikkita kesishuvchi chiziq tenglamalariga o'tish uchun tenglamalarni tizimga yumshoq tarzda birlashtiring. Bu nuqtani H 1 deb olaylik. Biz buni tushunamiz

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Shundan so'ng siz tizimni yoqishingiz kerak

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Keling, Gauss tizimining yechim qoidasiga murojaat qilaylik:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

Biz H 1 (1, - 1, 0) ni olamiz.

Berilgan nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblaymiz. M 1 (5, - 3, 10) va H 1 (1, - 1, 0) nuqtalarini olamiz va olamiz.

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Ikkinchi yechim avval berilgan 2 x - y + 5 z - 3 = 0 tenglamani normal ko'rinishga keltirishdir. Biz normallashtiruvchi omilni aniqlaymiz va 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 ni olamiz. Bu yerdan 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 tekislikning tenglamasini olamiz. Tenglamaning chap tomoni x = 5, y = - 3, z = 10 ni almashtirish orqali hisoblanadi va siz M 1 (5, - 3, 10) dan 2 x - y + 5 z - gacha bo'lgan masofani olishingiz kerak. 3 = 0 modul. Biz ifodani olamiz:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Javob: 230.

ch tekisligi tekislikni ko'rsatish usullari bo'limidagi usullardan biri bilan ko'rsatilganda, avvalo, ch tekislik tenglamasini olishingiz va istalgan usul yordamida kerakli masofani hisoblashingiz kerak.

2-misol

Uch o'lchovli fazoda koordinatalari M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) bo'lgan nuqtalar ko'rsatilgan. M 1 dan A B C tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblang.

Yechim

Avval M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C () koordinatalari bilan berilgan uchta nuqtadan o'tadigan tekislik tenglamasini yozishingiz kerak. 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Bundan kelib chiqadiki, muammo avvalgisiga o'xshash echimga ega. Demak, M 1 nuqtadan A B C tekislikgacha bo'lgan masofa 2 30 qiymatga ega.

Javob: 230.

Tekislikning berilgan nuqtasidan yoki ular parallel boʻlgan tekislikgacha boʻlgan masofani topish M 1 H 1 = cos a · x 1 + cos b · y 1 + cos g · z 1 - p formulasini qoʻllash orqali qulayroqdir. . Bundan ko'ramizki, tekisliklarning normal tenglamalari bir necha bosqichda olinadi.

3-misol

Koordinatalari M 1 (- 3, 2, - 7) bo‘lgan berilgan nuqtadan O x y z koordinatali tekislik va 2 y - 5 = 0 tenglama bilan berilgan tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.

Yechim

O y z koordinata tekisligi x = 0 ko‘rinishdagi tenglamaga mos keladi. O y z tekisligi uchun bu normal holat. Shuning uchun ifodaning chap tomoniga x = - 3 qiymatlarini qo'yish va M 1 (- 3, 2, - 7) koordinatali nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofaning mutlaq qiymatini olish kerak. Biz - 3 = 3 ga teng qiymatni olamiz.

Transformatsiyadan keyin 2 y - 5 = 0 tekislikning normal tenglamasi y - 5 2 = 0 ko'rinishini oladi. Keyin M 1 (- 3, 2, - 7) koordinatali nuqtadan 2 y - 5 = 0 tekislikgacha bo'lgan kerakli masofani topishingiz mumkin. O'rniga qo'yish va hisoblash, biz 2 - 5 2 = 5 2 - 2 ni olamiz.

Javob: M 1 (- 3, 2, - 7) dan O y z gacha bo'lgan talab qilinadigan masofa 3 qiymatiga ega, 2 y - 5 = 0 esa 5 2 - 2 qiymatiga ega.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing