Tangensning xossalari. Tangens chiziq Tangens qoidasi

Ta'rif. Aylanaga teginish - bu aylana bilan aynan bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan tekislikdagi to'g'ri chiziq.

Mana bir nechta misollar:

Markazi bilan doira O to'g'ri chiziqqa tegadi l nuqtada A

Har qanday joydan M Aylanadan tashqarida aynan ikkita tangens chizish mumkin

Tangens o'rtasidagi farq l, sekant Miloddan avvalgi va tekis m, qaysi doira bilan umumiy nuqtalari yo'q

Biz shu erda tugashimiz mumkin edi, ammo amaliyot shuni ko'rsatadiki, ta'rifni shunchaki yodlab olishning o'zi etarli emas - siz chizmalarda tangenslarni ko'rishni o'rganishingiz, ularning xususiyatlarini bilishingiz va qo'shimcha ravishda haqiqiy muammolarni hal qilish orqali ushbu xususiyatlarni to'g'ri qo'llashni mashq qilishingiz kerak. Bularning barchasini bugun qilamiz.

Tangenslarning asosiy xossalari

Har qanday muammoni hal qilish uchun siz to'rtta asosiy xususiyatni bilishingiz kerak. Ulardan ikkitasi har qanday ma'lumotnomada / darslikda tasvirlangan, ammo oxirgi ikkitasi qandaydir tarzda unutilgan, ammo behuda.

1. Bir nuqtadan chizilgan tangens segmentlar teng

Bir oz yuqoriroqda biz bir nuqtadan olingan ikkita tangens haqida gapirdik M. Shunday qilib:

Bir nuqtadan chizilgan aylanaga teguvchi segmentlar teng.

Segmentlar A.M. Va B.M. teng

2. Tangens teginish nuqtasiga chizilgan radiusga perpendikulyar

Yuqoridagi rasmga yana qaraylik. Keling, radiuslarni chizamiz O.A. Va O.B., shundan so'ng biz burchaklarni topamiz OAM Va O.B.M.- Streyt.

Aloqa nuqtasiga chizilgan radius tangensga perpendikulyar.

Bu fakt har qanday muammoda isbotsiz ishlatilishi mumkin:

Tangens nuqtasiga chizilgan radiuslar teglarga perpendikulyar

Aytgancha, e'tibor bering: agar siz segmentni chizsangiz OM, keyin ikkita teng uchburchakni olamiz: OAM Va O.B.M..

3. Tangens va sekant o'rtasidagi munosabat

Ammo bu jiddiyroq haqiqat va ko'pchilik maktab o'quvchilari buni bilishmaydi. Bir xil umumiy nuqtadan o'tuvchi tangens va sekantni ko'rib chiqaylik M. Tabiiyki, sekant bizga ikkita segmentni beradi: doira ichida (segment Miloddan avvalgi- u akkord deb ham ataladi) va tashqarida (u tashqi qism deb ham ataladi M.C.).

Butun sekant va uning tashqi qismining mahsuloti tangens segmentining kvadratiga teng

Sekant va tangens o'rtasidagi munosabat

4. Tangens va akkord orasidagi burchak

Murakkab muammolarni hal qilish uchun ko'pincha qo'llaniladigan yanada rivojlangan fakt. Men uni xizmatga olishni tavsiya qilaman.

Tangens va akkord orasidagi burchak bu akkord tomonidan chizilgan burchakka teng.

Gap qayerdan kelib chiqadi? B? Haqiqiy muammolarda, odatda, vaziyatning bir joyida "ochiladi". Shuning uchun, ushbu konfiguratsiyani chizmalarda tanib olishni o'rganish muhimdir.

Ba'zan bu muhim :)

\[(\Katta(\matn(Markaziy va chizilgan burchaklar)))\]

Ta'riflar

Markaziy burchak - bu uchi aylananing markazida joylashgan burchak.

Chizilgan burchak - bu uchi aylana ustida joylashgan burchak.

Doira yoyining gradus o'lchovi uni bo'ysundiruvchi markaziy burchakning daraja o'lchovidir.

Teorema

Chizilgan burchakning daraja o'lchovi u tayangan yoyning daraja o'lchovining yarmiga teng.

Isbot

Biz dalilni ikki bosqichda bajaramiz: birinchidan, chizilgan burchakning bir tomonida diametr bo'lgan holat uchun bayonotning to'g'riligini isbotlaymiz. $B$ nuqta chizilgan burchakning tepasi $ABC$ va $BC$ aylananing diametri bo'lsin:

Uchburchak $AOB$ teng yon tomonli, $AO = OB$ , $\AOC burchagi) tashqi, keyin \(\ AOC burchagi = \ OAB burchagi + \ ABO burchagi = 2 \ ABC burchagi$, qayerda $\burchak ABC = 0,5\cdot\burchak AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)$.

Endi ixtiyoriy chizilgan burchakni ko'rib chiqing $ABC$ . Ichkariga chizilgan burchak tepasidan $BD$ aylana diametrini chizamiz. Ikkita mumkin bo'lgan holatlar mavjud:

1) diametr burchakni ikkita burchakka kesib tashlaydi $\angle ABD, \angle CBD$ (ularning har biri uchun teorema yuqorida isbotlanganidek to'g'ri, shuning uchun bu ularning yig'indisi bo'lgan dastlabki burchak uchun ham to'g'ri bo'ladi. ikkita va shuning uchun ular tayanadigan yoylar yig'indisining yarmiga teng, ya'ni u tayangan yoyning yarmiga teng). Guruch. 1.

2) diametr burchakni ikki burchakka kesib tashlamadi, keyin bizda yana ikkita yangi yozilgan burchaklar mavjud $\angle ABD, \angle CBD$, ularning tomonida diametr mavjud, shuning uchun ular uchun teorema to'g'ri, keyin u asl burchak uchun ham to'g'ri keladi (bu ikki burchakning farqiga teng, ya'ni ular tayangan yoylarning yarmi farqiga teng, ya'ni u tayangan yoyning yarmiga teng) . Guruch. 2.

Oqibatlari

1. Xuddi shu yoyga bo'ysunuvchi chizilgan burchaklar teng.

2. Yarim doira ichiga chizilgan chizilgan burchak to‘g‘ri burchakdir.

3. Ichkariga chizilgan burchak xuddi shu yoy bilan qoplangan markaziy burchakning yarmiga teng.

\[(\Large(\matn(aylanaga teginish)))\]

Ta'riflar

Chiziq va aylananing nisbiy joylashuvining uch turi mavjud:

1) $a$ to`g`ri chiziq aylanani ikki nuqtada kesib o`tadi. Bunday chiziq sekant chiziq deb ataladi. Bunda aylana markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa $d$ aylana radiusidan $R$ kichik bo'ladi (3-rasm).

2) $b$ to'g'ri chiziq aylanani bir nuqtada kesib o'tadi. Bunday chiziq tangens deb ataladi va ularning umumiy nuqtasi $B$ teginish nuqtasi deb ataladi. Bu holda $d=R$ (4-rasm).

Teorema

1. Aylanaga teginish nuqtaga chizilgan radiusga perpendikulyar.

2. Agar chiziq aylana radiusining uchidan o'tsa va shu radiusga perpendikulyar bo'lsa, u aylanaga tegib turadi.

Natija

Bir nuqtadan aylanaga chizilgan tangens segmentlar teng.

Isbot

$K$ nuqtadan aylanaga ikkita teg $KA$ va $KB$ chizamiz:

Bu shuni anglatadiki, $OA\perp KA, OB\perp KB$ radiuslarga o'xshaydi. To'g'ri burchakli uchburchaklar $\uchburchak KAO$ va $\uchburchak KBO$ oyoq va gipotenuzada teng, shuning uchun $KA=KB$ .

Natija

Aylananing markazi $O$ bir xil nuqtadan chizilgan ikkita tangens hosil qilgan $AKB$ burchakning bissektrisasida yotadi $K$ .

\[(\Large(\text(Burchaklar bilan bog'liq teoremalar)))\]

Sekantlar orasidagi burchak haqidagi teorema

Xuddi shu nuqtadan chizilgan ikkita sekant orasidagi burchak ular kesgan kattaroq va kichikroq yoylarning daraja o'lchovlaridagi yarim farqga teng.

Isbot

Rasmda ko'rsatilganidek, ikkita sekant chizilgan nuqta $M$ bo'lsin:

Keling, buni ko'rsataylik $\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$.

$\DAB burchagi$ uchburchakning tashqi burchagi $MAD$, keyin $\DAB burchagi = \DMB burchagi + \MDA burchagi$, qayerda $\DMB burchagi = \DAB burchagi - \MDA burchagi$, lekin burchaklar $\DAB burchagi$ va $\MDA burchagi$ chiziladi, keyin $\ burchak DMB = \ burchak DAB - \ burchak MDA = \ frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$, bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa edi.

Kesishuvchi akkordlar orasidagi burchak haqidagi teorema

Ikki kesishuvchi akkord orasidagi burchak ular kesgan yoylarning daraja o'lchovlari yig'indisining yarmiga teng: \[\angle CMD=\dfrac12\chap(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\o'ng)\]

Isbot

$\BMA burchagi = \burchak CMD$ vertikal sifatida.

$AMD$ uchburchakdan: $\ burchak AMD = 180^\circ - \burchak BDA - \burchak CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)$.

Lekin $\ AMD burchagi = 180^\circ - \CMD burchagi$, shundan biz shunday xulosaga kelamiz \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ tabassum\over(CD)).\]

Akkord va tangens orasidagi burchak haqidagi teorema

Tangens va akkordning teginish nuqtasidan o'tadigan burchagi akkord tomonidan qo'yilgan yoyning daraja o'lchovining yarmiga teng.

Isbot

$a$ to'g'ri chiziq $A$ nuqtadagi aylanaga tegib tursin, $AB$ bu aylana akkordi, $O$ uning markazi. $OB$ ni o'z ichiga olgan chiziq $a$ nuqtada $M$ kesishsin. Keling, buni isbotlaylik $\burchak BAM = \frac12\cdot \buildrel\tabassum(AB)$.

$\burchak OAB = \alfa$ ni belgilaymiz. $OA$ va $OB$ radiuslar ekan, u holda $OA = OB$ va $\OBA burchagi = \OAB burchagi = \alfa$. Shunday qilib, $\buildrel\smile\over(AB) = \burchak AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)$.

$OA$ teginish nuqtasiga chizilgan radius bo'lgani uchun, u holda $OA\perp a$, ya'ni $\angle OAM = 90^\circ$, shuning uchun, $\burchak BAM = 90^\circ - \burchak OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)$.

Teng akkordlar bilan bo'linadigan yoylar haqidagi teorema

Teng akkordlar teng yoylarni yarim doiralardan kichikroq bo'ladi.

Va aksincha: teng yoylar teng akkordlar bilan bo'linadi.

Isbot

1) $AB=CD$ bo'lsin. Keling, kamonning kichikroq yarim doiralari ekanligini isbotlaylik.

Shunday qilib, uch tomondan, $\burchak AOB=\burchak COD$ . Lekin chunki $\burchak AOB, \burchak COD$ - yoylar tomonidan quvvatlanadigan markaziy burchaklar $\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)$ shunga ko'ra, keyin $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$.

2) Agar $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$, Bu $\uchburchak AOB=\uchburchak COD$ ikki tomonda $AO=BO=CO=DO$ va ular orasidagi burchak $\burchak AOB=\burchak COD$ . Shuning uchun, va $AB=CD$ .

Teorema

Agar radius akkordni ikkiga bo'lsa, u holda unga perpendikulyar bo'ladi.

Buning aksi ham to'g'ri: agar radius akkordga perpendikulyar bo'lsa, u holda kesishish nuqtasida uni ikkiga bo'ladi.

Isbot

1) $AN=NB$ bo'lsin. $OQ\perp AB$ ekanligini isbotlaylik.

$\uchburchak AOB$ ni ko'rib chiqing: bu teng yon tomonli, chunki $OA=OB$ – aylana radiusi. Chunki $ON$ - bazaga chizilgan mediana, keyin u ham balandlikdir, shuning uchun $ON\perp AB$ .

2) $OQ\perp AB$ bo'lsin. $AN=NB$ ekanligini isbotlaylik.

Xuddi shunday, $\uchburchak AOB$ teng yon tomonli, $ON$ - balandlik, shuning uchun $ON$ - mediana. Shuning uchun, $AN=NB$ .

\[(\Large(\text(Segmentlar uzunligi bilan bog'liq teoremalar)))\]

Akkord segmentlari hosilasi haqidagi teorema

Agar aylananing ikkita akkordi kesishsa, u holda bir akkord segmentlarining ko'paytmasi ikkinchi akkord segmentlarining ko'paytmasiga teng bo'ladi.

Isbot

$AB$ va $CD$ akkordlari $E$ nuqtada kesishsin.

$ADE$ va $CBE$ uchburchaklarini ko'rib chiqing. Bu uchburchaklarda $1$ va $2$ burchaklar teng, chunki ular bir xil yoyga chizilgan va tayangan $BD$ va burchaklar $3$ va $4$ teng. vertikal sifatida. Uchburchaklar $ADE$ va $CBE$ o'xshashdir (uchburchaklar o'xshashligining birinchi mezoni asosida).

Keyin $\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)$, undan $AE\cdot BE = CE\cdot DE$ .

Tangens va sekant teoremasi

Tangens segmentining kvadrati sekant va uning tashqi qismining mahsulotiga teng.

Isbot

Tangens $M$ nuqtadan o'tib, $A$ nuqtadagi aylanaga teginsin. Sekant $M$ nuqtadan o'tib, aylanani $B$ va $C$ nuqtalarda kesib o'tsin, shunday qilib $MB) bo'lsin.< MC$ . Покажем, что $MB\cdot MC = MA^2$ .

$MBA$ va $MCA$ uchburchaklarini ko'rib chiqing: $\ burchak M$ umumiy, $\BCA burchagi = 0,5\cdot\buildrel\tabassum(AB)$. Tangens va sekant orasidagi burchak haqidagi teoremaga ko'ra, $\BAM burchagi = 0,5\cdot\buildrel\tabassum(AB) = \BCA burchagi$. Shunday qilib, $MBA$ va $MCA$ uchburchaklar ikki burchakda o'xshashdir.

$MBA$ va $MCA$ uchburchaklarining o'xshashligidan bizda: $\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)$, bu $MB\cdot MC = MA^2$ ga teng.

Natija

$O$ nuqtadan chizilgan sekantning tashqi qismi tomonidan ko'paytmasi $O$ nuqtadan chizilgan sekantni tanlashga bog'liq emas.

Ballar $x_0\in\mathbb(R)$ , va unda farqlanadi: $f \in \mathcal(D)(x_0)$ . Funktsiya grafigiga teginish chizig'i $f$ nuqtada $x_0$ tenglama bilan berilgan chiziqli funksiyaning grafigi deyiladi $y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0),\to'rtlik x\in \mathbb(R)$ .

Agar funktsiya

f

nuqtada bor

x_0

cheksiz hosila

f"(x_0) = \pm \infty,

u holda bu nuqtadagi tangens chiziq tenglama bilan berilgan vertikal chiziqdir

x = x_0.

Izoh

To'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadiki, teginish chizig'ining grafigi nuqtadan o'tadi $(x_0,f(x_0))$ . Burchak $\alfa$ egri chiziqqa tangens va Ox o'qi orasidagi tenglamani qanoatlantiradi

$\operatorname(tg)\,\alpha = f"(x_0)= k,$

Qayerda $\operator nomi (tg)$ tangensni bildiradi va $\operator nomi (k)$ - tangens qiyalik koeffitsienti. Bir nuqtada hosila $x_0$ funksiya grafigiga teginish qiyaligiga teng $y = f(x)$ ayni paytda.

Tangens sekantning chegaraviy pozitsiyasi sifatida

Mayli $f\kolon U(x_0) \to \R$ Va $x_1 \da U(x_0).$ Keyin nuqtalardan o'tadigan to'g'ri chiziq $(x_0,f(x_0))$ Va $(x_1,f(x_1))$ tenglama bilan berilgan

$y = f(x_0) + \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0)(x-x_0).$

Bu chiziq nuqta orqali o'tadi $(x_0,f(x_0))$ har kim uchun $x_1\in U(x_0),$ va uning moyillik burchagi $\alpha(x_1)$ tenglamani qanoatlantiradi

$\operator nomi(tg)\,\alfa(x_1) = \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0).$

Hosil funksiyaning mavjudligi tufayli $f$ nuqtada $x_0,$ da chegaraga boradi $x_1 \dan x_0 gacha,$ chegarasi borligini aniqlaymiz

$\lim\limits_(x_1 \to x_0) \operatorname(tg)\,\alpha(x_1) = f"(x_0),$

va arttangensning uzluksizligi va cheklovchi burchak tufayli

$\alpha = \operatorname(arctg)\,f"(x_0).$

Nuqtadan o'tuvchi chiziq $(x_0,f(x_0))$ va qoniqtiradigan maksimal moyillik burchagiga ega bo'lish $\operatorname(tg)\,\alpha = f"(x_0),$ tangens tenglama bilan berilgan:

$y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0).$

Aylanaga teginish

Aylana bilan bitta umumiy nuqtasi bo'lgan va u bilan bir tekislikda joylashgan to'g'ri chiziq aylanaga teguvchi deyiladi.

Xususiyatlari

Aylanaga tegish teginish nuqtasiga chizilgan radiusga perpendikulyar.
Bir nuqtadan chizilgan aylanaga teguvchi segmentlar teng va shu nuqtadan va aylananing markazidan o'tadigan to'g'ri chiziq bilan teng burchaklar hosil qiladi.
Birlik radiusi boʻlgan aylanaga chizilgan tangens segmentining aylana markazidan chizilgan nur bilan teginish nuqtasi va kesishish nuqtasi oʻrtasida olingan uzunligi shu nur va oʻrtasidagi burchakning tangensi hisoblanadi. aylananing markazidan teginish nuqtasiga yo'nalish. Latdan "tangens". tangenslar- "tangens".

Variatsiyalar va umumlashtirishlar

Bir tomonlama yarim tangenslar

Agar to'g'ri hosila mavjud bo'lsa $f"_+(x_0)< \infty,$ Bu o'ng yarim tangens funksiya grafigiga $f$ nuqtada $x_0$ nur deb ataladi

y = f(x_0) + f"_+(x_0)(x - x_0),\quad x\geqslant x_0.

Agar chap lotin mavjud bo'lsa $f"_-(x_0)< \infty,$ Bu chap yarim tangens funksiya grafigiga $f$ nuqtada $x_0$ nur deb ataladi

y = f(x_0) + f"_-(x_0)(x - x_0),\quad x\leqslant x_0.

Agar cheksiz to'g'ri hosila mavjud bo'lsa $f"_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ $f$ nuqtada $x_0$ nur deb ataladi

x = x_0,\;  y\geqslant f(x_0)\;  (y \leqslant f(x_0)).

Agar cheksiz chap hosila mavjud bo'lsa $f"_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ keyin funksiya grafigiga o‘ng yarim tangens $f$ nuqtada $x_0$ nur deb ataladi

x = x_0,\;  y \leqslant f(x_0)\;  (y \geqslant f(x_0)).

Shuningdek qarang

Oddiy, binormal

"Tangensial chiziq" maqolasi haqida sharh yozing

Adabiyot

Toponogov V.A. Egri va sirtlarning differensial geometriyasi. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
// Brokxauz va Efronning entsiklopedik lug'ati: 86 jildda (82 jild va 4 ta qo'shimcha). - Sankt-Peterburg. , 1890-1907.

Tangens chiziqni tavsiflovchi parcha

- Joylarda! - deb baqirdi yosh ofitser Per atrofida to'plangan askarlarga. Bu yosh ofitser, shekilli, birinchi yoki ikkinchi marta o'z lavozimini bajarayotgan edi va shuning uchun ham askarlarga, ham qo'mondonga aniqlik va rasmiyatchilik bilan munosabatda bo'ldi.
To'plar va miltiqlarning dumalab o'ti butun maydon bo'ylab, ayniqsa Bagrationning chaqnashlari bo'lgan chap tomonda kuchaydi, ammo o'qlarning tutuni tufayli Per turgan joydan deyarli hech narsani ko'rishning iloji yo'q edi. Bundan tashqari, batareyada bo'lgan odamlarning oilasi (boshqalardan ajratilgan) doirasini kuzatish Perning barcha e'tiborini o'ziga tortdi. Uning jang maydonidagi ko‘rinish va tovushlar ta’sirida paydo bo‘lgan ilk ongsiz quvonchli hayajon, ayniqsa, o‘tloqda yotgan bu yolg‘iz askarni ko‘rgandan keyin o‘rnini boshqa tuyg‘u egalladi. Endi ariq yonbag‘rida o‘tirib, atrofini o‘rab turgan chehralarni kuzatdi.
Soat o'nga kelib yigirma kishi allaqachon akkumulyatordan olib ketilgan edi; ikkita qurol singan, snaryadlar batareyaga tez-tez tegib, uzoq masofali o'qlar uchib, shivirlab va hushtak chalib turardi. Ammo batareyada bo'lgan odamlar buni sezmaganga o'xshaydi; Har tomondan quvnoq suhbat, hazillar eshitildi.
- Chinenka! – yaqinlashib kelayotgan granataga hushtak bilan qichqirdi askar. - Bu yerda emas! Piyodalarga! – kulib qo‘shib qo‘ydi yana biri granata uchib o‘tib, qoplovchi qatorlarga tegib ketganini payqab.
- Nima, do'stim? – deb kuldi boshqa bir askar uchayotgan to‘p ostida cho‘kkalab o‘tirgan odamga.
Bir necha askarlar qal'aga yig'ilib, oldinda nima bo'layotganini ko'rishdi.
"Va ular zanjirni yechib oldilar, ko'rdingizmi, ular orqaga qaytishdi", dedilar milni ko'rsatib.
"Ishingizga e'tibor bering", deb baqirdi keksa ofitser ularga. "Biz orqaga qaytdik, shuning uchun qaytish vaqti keldi." - Va unter-ofitser askarlardan birini yelkasidan ushlab, tizzasi bilan itarib yubordi. Kulgi bor edi.
- Beshinchi qurol tomon dumalang! – deb baqirdilar bir tomondan.
"Birdaniga, do'stona, burlatskiy uslubida", - qurolni almashtirganlarning quvnoq qichqirig'i eshitildi.
"Oh, men xo'jayinimizning shlyapasini yiqitib yubordim", dedi qizil yuzli hazil tishlarini ko'rsatib, Perga kulib. - Eh, qo'pol, - deb qo'shib qo'ydi u g'ildirak va odamning oyog'iga tekkan to'pga.
- Qani, tulkilar! - yaradorning orqasidan akkumulyatorga kirgan egilgan militsionerlar ustidan kuldi boshqasi.
- Bo'tqa mazali emasmi? Oh, qarg'alar, ular so'yishdi! – deb baqirishdi ular oyog‘i kesilgan askarning oldida ikkilanib turgan militsiyaga.
"Yana bir narsa, bolam", deb erkaklarga taqlid qilishdi. - Ular ehtirosni yoqtirmaydilar.
Per har bir zarbadan keyin, har bir mag'lubiyatdan keyin umumiy uyg'onish tobora kuchayib borayotganini payqadi.
Go'yo yaqinlashib kelayotgan momaqaldiroq bulutidan tobora ko'proq engilroq va yorqinroq, bu odamlarning yuzlarida yashirin, alangalangan olov chaqmoqlari chaqnadi (go'yo nima bo'layotganiga qarshi bo'lgandek).
Per jang maydonini intizorlik bilan kutmadi va u erda nima bo'layotganini bilishga qiziqmadi: u xuddi shu tarzda (u his qilgan) qalbida alangalanib borayotgan bu tobora alangalanib borayotgan olov haqida o'ylashga butunlay berilib ketdi.
Soat o'nlarda butalarda va Kamenka daryosi bo'yida batareya oldida turgan piyoda askarlari orqaga chekinishdi. Batareyadan ular qanday qilib yaradorlarni qurollarida ko'tarib, uning yonidan yugurib o'tishganini ko'rish mumkin edi. Ba'zi bir general o'z mulozimlari bilan tepalikka kirib, polkovnik bilan gaplashgandan so'ng, Perga g'azab bilan qaradi va yana pastga tushdi va batareyaning orqasida joylashgan piyoda askar qopqog'iga o'q kamroq ta'sir qilmaslik uchun yotishni buyurdi. Shundan so'ng, piyodalar safida, batareyaning o'ng tomonida baraban va buyruq hayqiriqlari eshitildi va batareyadan piyoda askarlari saflari qanday oldinga siljayotgani ko'rindi.
Per mil orqali qaradi. Ayniqsa, bir yuz uning e'tiborini tortdi. Bu bir ofitser edi, o‘zi oppoq yosh chehrasi bilan ortga qarab yurgan, tushirilgan qilichini ko‘tarib, atrofga beozor qaradi.
Piyoda askarlar qatori tutun ichida g‘oyib bo‘ldi, ularning uzoq davom etgan qichqiriqlari va tez-tez otishmalari eshitilardi. Bir necha daqiqadan so'ng u erdan yaradorlar va zambillar olomon o'tib ketishdi. Chig'anoqlar batareyaga tez-tez ura boshladi. Bir necha kishi tozalanmagan holda yotardi. Askarlar qurol atrofida yanada qizg'in va jonliroq harakat qilishdi. Endi hech kim Perga e'tibor bermadi. Bir-ikki marta yo‘lda qolgani uchun jahl bilan baqirishdi. Katta ofitser, qovog'i chimirib, katta va tez qadamlar bilan bir quroldan ikkinchisiga o'tdi. Yana qizarib ketgan yosh ofitser askarlarga yanada tirishqoqlik bilan buyruq berdi. Askarlar o'q uzdilar, o'girildilar, yuk ortdilar va o'z ishlarini zo'riqish bilan bajardilar. Ular yurganlarida go‘yo buloqlar ustida sakrashdi.

Sekant, tangens - bularning barchasini geometriya darslarida yuzlab marta eshitish mumkin edi. Ammo maktabni tugatish ortda qoldi, yillar o'tadi va bu bilimlarning barchasi unutiladi. Nimani eslash kerak?

Mohiyat

"Doiraga teginish" atamasi, ehtimol, hamma uchun tanish. Ammo hamma uning ta'rifini tezda shakllantirishi dargumon. Shu bilan birga, tangens aylana bilan bir tekislikda yotuvchi to'g'ri chiziq bo'lib, uni faqat bir nuqtada kesib o'tadi. Ularning soni juda ko'p bo'lishi mumkin, ammo ularning barchasi bir xil xususiyatlarga ega, ular quyida muhokama qilinadi. Siz taxmin qilganingizdek, teginish nuqtasi aylana va to'g'ri chiziq kesishgan joydir. Har bir aniq holatda faqat bittasi bor, lekin agar ular ko'proq bo'lsa, u sekant bo'ladi.

Kashfiyot va o'rganish tarixi

Tangens tushunchasi qadimgi davrlarda paydo bo'lgan. Bu toʻgʻri chiziqlarni dastlab aylanaga, soʻngra chizgʻich va sirkul yordamida ellips, parabola va giperbolalarga yasash geometriya rivojlanishining dastlabki bosqichlarida amalga oshirilgan. Albatta, tarix kashfiyotchining nomini saqlab qolmagan, ammo ma'lumki, o'sha paytda ham odamlar aylanaga tegishning xususiyatlarini yaxshi bilishgan.

Zamonaviy davrda ushbu hodisaga qiziqish yana kuchaydi - bu kontseptsiyani o'rganishning yangi bosqichi boshlandi, yangi egri chiziqlar kashf qilindi. Shunday qilib, Galiley sikloid tushunchasini kiritdi, Ferma va Dekart esa unga tangens yasadilar. Davralarga kelsak, bu hududda qadimiylar uchun hech qanday sir qolmagandek.

Xususiyatlari

Kesishish nuqtasiga chizilgan radius Bu bo'ladi

aylanaga teguvchi asosiy, lekin yagona xususiyat emas. Yana bir muhim xususiyat ikkita to'g'ri chiziqni o'z ichiga oladi. Shunday qilib, aylanadan tashqarida joylashgan bitta nuqta orqali ikkita tangens chizish mumkin va ularning segmentlari teng bo'ladi. Ushbu mavzu bo'yicha yana bir teorema mavjud, ammo u kamdan-kam hollarda standart maktab kursining bir qismi sifatida o'qitiladi, garchi u ba'zi muammolarni hal qilish uchun juda qulaydir. Bu shunday eshitiladi. Aylanadan tashqarida joylashgan bir nuqtadan unga tangens va sekant tortiladi. AB, AC va AD segmentlari hosil bo'ladi. A - chiziqlarning kesishishi, B - teginish nuqtasi, C va D - kesishmalar. Bunday holda, quyidagi tenglik o'rinli bo'ladi: aylanaga tegining uzunligi, kvadrat, AC va AD segmentlarining ko'paytmasiga teng bo'ladi.

Yuqoridagilarning muhim natijasi bor. Doiradagi har bir nuqta uchun siz tangens qurishingiz mumkin, lekin faqat bitta. Buning isboti juda oddiy: nazariy jihatdan radiusdan unga perpendikulyar tushirsak, hosil bo'lgan uchburchak mavjud bo'lmasligini bilib olamiz. Va bu tangens yagona ekanligini anglatadi.

Qurilish

Geometriyadagi boshqa muammolar qatorida, qoida tariqasida, alohida toifa mavjud

talabalar va talabalar tomonidan sevilgan. Ushbu toifadagi muammolarni hal qilish uchun sizga faqat kompas va o'lchagich kerak. Bu qurilish vazifalari. Tangens qurish uchun ham bor.

Shunday qilib, doira va uning chegaralaridan tashqarida joylashgan nuqta berilgan. Va ular orqali tangens chizish kerak. Buni qanday qilish kerak? Avvalo, O doiraning markazi va berilgan nuqta o'rtasida segmentni chizishingiz kerak. Keyin kompas yordamida uni yarmiga bo'ling. Buni amalga oshirish uchun siz radiusni o'rnatishingiz kerak - asl doira markazi va bu nuqta orasidagi masofaning yarmidan bir oz ko'proq. Shundan so'ng, siz ikkita kesishgan yoyni qurishingiz kerak. Bundan tashqari, kompasning radiusini o'zgartirish kerak emas va aylananing har bir qismining markazi mos ravishda asl nuqta va O bo'ladi. Yoylarning kesishish joylarini ulash kerak, bu esa segmentni yarmiga bo'ladi. Kompasda shu masofaga teng radiusni o'rnating. Keyinchalik, kesishish nuqtasida markaz bilan yana bir doira quring. Unda asl nuqta ham, O ham yotadi.Bu holda masalada berilgan aylana bilan yana ikkita kesishma bo‘ladi. Ular dastlab belgilangan nuqta uchun aloqa nuqtalari bo'ladi.

Bu tug'ilishga olib kelgan aylanaga teginishlarning qurilishi edi

differensial hisob. Bu mavzudagi birinchi asar mashhur nemis matematigi Leybnits tomonidan nashr etilgan. U kasr va irratsional kattaliklardan qat'iy nazar maksimal, minimal va tangenslarni topish imkoniyatini ta'minladi. Xo'sh, endi u ko'plab boshqa hisob-kitoblar uchun ishlatiladi.

Bundan tashqari, aylanaga tegish tangensning geometrik ma'nosi bilan bog'liq. Bu uning nomi kelib chiqqan. Lotin tilidan tarjima qilingan tangens "tangens" degan ma'noni anglatadi. Shunday qilib, bu tushuncha nafaqat geometriya va differentsial hisoblar, balki trigonometriya bilan ham bog'liq.

Ikki doira

Tangens har doim ham faqat bitta raqamga ta'sir qilmaydi. Agar bitta aylanaga juda ko'p to'g'ri chiziqlar chizish mumkin bo'lsa, nega aksincha emas? mumkin. Ammo bu holda vazifa jiddiy ravishda murakkablashadi, chunki ikkita aylananing tangensi hech qanday nuqtadan o'tmasligi mumkin va bu raqamlarning nisbiy pozitsiyasi juda katta bo'lishi mumkin.

boshqacha.

Turlari va navlari

Ikkita aylana va bir yoki bir nechta to'g'ri chiziqlar haqida gapirganda, hatto bu teglar ekanligi ma'lum bo'lsa ham, bu raqamlarning barchasi bir-biriga nisbatan qanday joylashganligi darhol aniq emas. Shunga asoslanib, bir nechta navlar ajratiladi. Shunday qilib, doiralar bir yoki ikkita umumiy nuqtaga ega bo'lishi yoki umuman bo'lmasligi mumkin. Birinchi holda ular kesishadi, ikkinchisida esa ular tegadi. Va bu erda ikkita nav ajralib turadi. Agar bitta doira ikkinchisiga o'rnatilgan bo'lsa, u holda teginish ichki deb ataladi, agar bo'lmasa, tashqi. Raqamlarning nisbiy o'rnini nafaqat chizmaga asoslanib, balki ularning radiuslari yig'indisi va markazlari orasidagi masofa haqida ma'lumotga ega bo'lishingiz mumkin. Agar bu ikki miqdor teng bo'lsa, aylanalar tegadi. Agar birinchisi kattaroq bo'lsa, ular kesishadi va agar u kamroq bo'lsa, unda umumiy nuqtalar yo'q.

Xuddi shu narsa to'g'ri chiziqlar uchun ham amal qiladi. Umumiy nuqtalari bo'lmagan har qanday ikkita doira uchun siz mumkin

to'rtta tangensni tuzing. Ulardan ikkitasi raqamlar o'rtasida kesishadi, ular ichki deb ataladi. Yana bir nechtasi tashqi.

Agar biz bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan doiralar haqida gapiradigan bo'lsak, unda muammo juda soddalashtirilgan. Gap shundaki, ularning nisbiy pozitsiyasidan qat'i nazar, bu holda ular faqat bitta tangensga ega bo'ladi. Va u ularning kesishgan nuqtasidan o'tadi. Shunday qilib, qurilish qiyin bo'lmaydi.

Agar raqamlar ikkita kesishish nuqtasiga ega bo'lsa, u holda ular uchun ikkalasining ham, ikkinchisining aylanasiga teguvchi to'g'ri chiziqni qurish mumkin, lekin faqat tashqi. Ushbu muammoni hal qilish quyida muhokama qilinadigan narsaga o'xshaydi.

Muammoni hal qilish

Ikki doiraning ichki va tashqi tangenslarini qurish unchalik oson emas, garchi bu muammoni hal qilish mumkin. Gap shundaki, buning uchun yordamchi raqam ishlatiladi, shuning uchun siz ushbu usulni o'zingiz o'ylab topishingiz kerak

ancha muammoli. Shunday qilib, radiusi har xil, markazlari O1 va O2 bo'lgan ikkita aylana berilgan. Ular uchun siz ikki juft tangens qurishingiz kerak.

Avvalo, siz kattaroq doiraning markaziga yaqin yordamchini qurishingiz kerak. Bunday holda, ikkita dastlabki raqamning radiuslari orasidagi farq kompasda o'rnatilishi kerak. Yordamchi doiraga teglar kichikroq doira markazidan qurilgan. Shundan so'ng, O1 va O2 dan bu chiziqlarga perpendikulyarlar dastlabki figuralar bilan kesishmaguncha o'tkaziladi. Tangensning asosiy xususiyatidan kelib chiqadigan bo'lsak, har ikkala aylanada kerakli nuqtalar topiladi. Muammo hal qilindi, hech bo'lmaganda birinchi qism.

Ichki tangenslarni qurish uchun siz amaliy jihatdan hal qilishingiz kerak bo'ladi

shunga o'xshash vazifa. Yana sizga yordamchi raqam kerak bo'ladi, lekin bu safar uning radiusi asl raqamlarning yig'indisiga teng bo'ladi. Ushbu doiralardan birining markazidan unga tangentlar qurilgan. Yechimning keyingi yo'nalishini oldingi misoldan tushunish mumkin.

Aylanaga yoki hatto ikkita yoki undan ko'piga tegish unchalik qiyin ish emas. Albatta, matematiklar uzoq vaqtdan beri bunday muammolarni qo'lda hal qilishni to'xtatdilar va hisob-kitoblarni maxsus dasturlarga topshirdilar. Ammo endi siz buni o'zingiz qilishingiz shart emas deb o'ylamasligingiz kerak, chunki kompyuter uchun vazifani to'g'ri shakllantirish uchun siz ko'p narsani qilishingiz va tushunishingiz kerak. Afsuski, bilimlarni nazorat qilishning test shakliga yakuniy o'tgandan so'ng, qurilish vazifalari talabalarga tobora ko'proq qiyinchiliklar tug'diradi, degan xavotirlar mavjud.

Ko'proq doiralar uchun umumiy tangenslarni topishga kelsak, bu har doim ham mumkin emas, hatto ular bir tekislikda yotsa ham. Ammo ba'zi hollarda siz bunday to'g'ri chiziqni topishingiz mumkin.

Hayotdan misollar

Ikki doira uchun umumiy tangens ko'pincha amalda sodir bo'ladi, garchi bu har doim ham sezilmaydi. Konveyerlar, blokli tizimlar, kasnak uzatish kamarlari, tikuv mashinasida ipning tarangligi va hatto oddiy velosiped zanjiri - bularning barchasi hayotiy misollardir. Shunday qilib, siz geometrik muammolar faqat nazariy jihatdan qolmoqda deb o'ylamasligingiz kerak: muhandislik, fizika, qurilish va boshqa ko'plab sohalarda ular amaliy qo'llanilishini topadilar.

To'g'ridan-to'g'ri ( MN), aylana bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega ( A), chaqirildi tangens doiraga.

Bu holda umumiy nuqta deyiladi aloqa nuqtasi.

Mavjud bo'lish imkoniyati tangens, va bundan tashqari, har qanday nuqta orqali chizilgan doira, teginish nuqtasi sifatida quyidagicha isbotlanadi teorema.

Amalga oshirish talab qilinsin doira markaz bilan O tangens nuqta orqali A. Buni nuqtadan qilish uchun A, markazdan boshlab, biz tasvirlab beramiz yoy radius A.O., va nuqtadan O, markaz sifatida biz bu yoyni nuqtalarda kesib o'tamiz B Va BILAN berilgan aylana diametriga teng kompas yechimi.

Keyin sarflagandan keyin akkordlar O.B. Va OS, nuqtani ulang A nuqta bilan D Va E, bu akkordlar berilgan doira bilan kesishadi. To'g'ridan-to'g'ri AD Va A.E. - aylanaga tegishlar O. Darhaqiqat, qurilishdan ma'lum bo'ladi uchburchaklar AOB Va AOC teng yon tomonlar(AO = AB = AC) asoslar bilan O.B. Va OS, aylananing diametriga teng O.

Chunki O.D. Va O.E.- radiuslar, keyin D - o'rtada O.B., A E- o'rtada OS, anglatadi AD Va A.E. - medianlar, teng yonli uchburchaklar asoslariga chizilgan va shuning uchun bu asoslarga perpendikulyar. To'g'ri bo'lsa D.A. Va E.A. radiuslarga perpendikulyar O.D. Va O.E., keyin ular - tangenslar.

Natija.

Bir nuqtadan aylanaga chizilgan ikkita tangens teng va bu nuqtani markazga bog'laydigan to'g'ri chiziq bilan teng burchak hosil qiladi..

Shunday qilib AD=AE va ∠ OAD = ∠OAE chunki to'g'ri uchburchaklar AOD Va AOE, umumiy xususiyatga ega gipotenuza A.O. va teng oyoqlar O.D. Va O.E.(radiusi sifatida) teng. E'tibor bering, bu erda "tangens" so'zi aslida " tangens segmenti” berilgan nuqtadan aloqa nuqtasiga.