Mexanik tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teoremalar. Mumkin bo'lgan harakatlar printsipi

Teoremada muhokama qilingan tizim har qanday jismlardan tashkil topgan har qanday mexanik tizim bo'lishi mumkin.

Teoremaning bayoni

Mexanik tizimning harakat (impuls) miqdori tizimga kiritilgan barcha jismlarning harakat (impuls) miqdorlarining yig'indisiga teng miqdordir. Sistema jismlariga tasir etuvchi tashqi kuchlar impulsi sistema jismlariga tasir etuvchi barcha tashqi kuchlar impulslarining yigindisidir.

( kg m/s)

Tizimning impuls momentining o'zgarishi haqidagi teorema

Tizim impulsining ma'lum vaqt oralig'ida o'zgarishi, xuddi shu vaqt ichida tizimga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning impulsiga teng.

Tizim impulsining saqlanish qonuni

Agar sistemaga ta'sir etuvchi barcha tashqi kuchlar yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda sistemaning harakat miqdori (impulsi) doimiy kattalikdir.

, sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teorema ifodasini differentsial shaklda olamiz:

Olingan tenglikning ikkala tomonini ba'zi va o'rtasidagi o'zboshimchalik bilan olingan vaqt oralig'ida birlashtirgan holda, sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teorema ifodasini integral shaklda olamiz:

Impulsning saqlanish qonuni (Impulsning saqlanish qonuni) sistemaga ta'sir etuvchi tashqi kuchlarning vektor yig'indisi nolga teng bo'lsa, sistemaning barcha jismlari impulslarining vektor yig'indisi doimiy qiymat ekanligini bildiradi.

(impuls momenti m 2 kg s −1)

Burchak impulsining markazga nisbatan o'zgarishi haqidagi teorema

har qanday qo'zg'almas markazga nisbatan moddiy nuqtaning impuls momentining (kinetik moment) vaqt hosilasi shu markazga nisbatan nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch momentiga teng.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

O'qga nisbatan burchak momentining o'zgarishi haqidagi teorema

har qanday qo'zg'almas o'qga nisbatan moddiy nuqtaning momentum momentining (kinetik moment) vaqt hosilasi shu o'qga nisbatan ushbu nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchning momentiga teng.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Moddiy nuqtani ko'rib chiqing M massa m , kuch ta'siri ostida harakat qilish F (3.1-rasm). Burchak momentum vektorini yozamiz va tuzamiz (kinetik impuls) M Markazga nisbatan 0 moddiy nuqta O :

Keling, burchak momentumining ifodasini farqlaylik (kinetik moment k 0) vaqt bo'yicha:

Chunki dr /dt = V , keyin vektor mahsulot V ⊗ m ⋅ V (kollinear vektorlar V Va m ⋅ V ) nolga teng. Shu bilan birga d (m ⋅ V) /dt = F moddiy nuqtaning impulsi haqidagi teoremaga muvofiq. Shuning uchun biz buni olamiz

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

Qayerda r ⊗F = M 0 (F ) – vektor-kuch momenti F sobit markazga nisbatan O . Vektor k 0 ⊥ tekislik ( r , m ⊗V ) va vektor M 0 (F ) ⊥ samolyot ( r ,F ), biz nihoyat qildik

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Tenglama (3.4) markazga nisbatan moddiy nuqtaning burchak momentumining (burchak impulsining) o'zgarishi haqidagi teoremani ifodalaydi: har qanday qo'zg'almas markazga nisbatan moddiy nuqtaning momentum momentining (kinetik moment) vaqt hosilasi bir xil markazga nisbatan nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch momentiga teng.

Tenglikni (3.4) Dekart koordinatalari o'qlariga proyeksiya qilib, biz hosil qilamiz

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Tenglik (3.5) o'qqa nisbatan moddiy nuqtaning burchak momentumining (kinetik momentining) o'zgarishi haqidagi teoremani ifodalaydi: har qanday qo'zg'almas o'qga nisbatan moddiy nuqtaning momentum momentining (kinetik moment) vaqt hosilasi shu o'qga nisbatan ushbu nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchning momentiga teng.

(3.4) va (3.5) teoremalardan kelib chiqadigan oqibatlarni ko'rib chiqamiz.

Xulosa 1. Keling, ishni ko'rib chiqaylik qachon kuch F nuqtaning butun harakati davomida statsionar markazdan o'tadi O (markaziy kuch holati), ya'ni. Qachon M 0 (F ) = 0. U holda (3.4) teoremadan shunday chiqadi k 0 = const ,

bular. markaziy kuch bo'lsa, bu kuchning markaziga nisbatan moddiy nuqtaning burchak momentum (kinetik momenti) kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'lib qoladi (3.2-rasm).

3.2-rasm

Shartdan k 0 = const shundan kelib chiqadiki, harakatlanuvchi nuqtaning traektoriyasi tekis egri chiziq bo'lib, uning tekisligi bu kuchning markazidan o'tadi.

Xulosa 2. Mayli M z (F ) = 0, ya'ni. kuch o'qni kesib o'tadi z yoki unga parallel. Bunday holda, (3.5) tenglamalarning uchinchi qismidan ko'rinib turibdiki, k z = const ,

bular. agar nuqtaga har qanday qo'zg'almas o'qga nisbatan ta'sir qiluvchi kuch momenti har doim nolga teng bo'lsa, u holda bu o'qga nisbatan nuqtaning burchak momentum (kinetik momenti) doimiy bo'lib qoladi.

Impulsning o'zgarishi haqidagi teoremani isbotlash

Tizim massalari va tezlanishlari bo'lgan moddiy nuqtalardan iborat bo'lsin. Biz tizim jismlariga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarni ikki turga ajratamiz:

Tashqi kuchlar - bu ko'rib chiqilayotgan tizimga kirmagan jismlardan ta'sir qiluvchi kuchlar. Raqamli moddiy nuqtaga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning natijasi i belgilaylik

Ichki kuchlar - bu tizim jismlarining o'zi bir-biri bilan o'zaro ta'sir qiladigan kuchlar. Raqam bilan nuqtada qanday kuch i raqam bilan nuqta haqiqiydir k, biz , va ta'sir kuchini belgilaymiz i chi nuqta k nuqta -. Shubhasiz, qachon, keyin

Kiritilgan belgidan foydalanib, ko'rib chiqilayotgan har bir moddiy nuqta uchun Nyutonning ikkinchi qonunini shaklda yozamiz

Shuni hisobga olib Nyutonning ikkinchi qonunining barcha tenglamalarini jamlab, biz quyidagilarni olamiz:

Ifoda tizimda harakat qiluvchi barcha ichki kuchlarning yig'indisini ifodalaydi. Nyutonning uchinchi qonuniga ko'ra, bu yig'indida har bir kuch shunday kuchga to'g'ri keladiki, shuning uchun u ushlab turadi. Butun yig'indi shunday juftliklardan iborat bo'lgani uchun yig'indining o'zi nolga teng. Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin

Tizimning impulsi uchun yozuvdan foydalanib, biz olamiz

Tashqi kuchlar impulsining o'zgarishini hisobga olgan holda , sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teorema ifodasini differentsial shaklda olamiz:

Shunday qilib, olingan oxirgi tenglamalarning har biri shuni ta'kidlashga imkon beradi: tizim impulsining o'zgarishi faqat tashqi kuchlarning ta'siri natijasida sodir bo'ladi va ichki kuchlar bu qiymatga hech qanday ta'sir ko'rsata olmaydi.

Olingan tenglikning ikkala tomonini baʼzi va lar oʻrtasidagi ixtiyoriy qabul qilingan vaqt oraligʻida integrallab, tizim impulsining oʻzgarishi haqidagi teoremaning integral koʻrinishida ifodasini olamiz:

bu erda va vaqt momentlaridagi tizimning harakat miqdorining qiymatlari va mos ravishda va ma'lum vaqt oralig'idagi tashqi kuchlarning impulsi. Yuqorida aytilganlarga va kiritilgan belgilarga muvofiq,

Xuddi bitta moddiy nuqta uchun bo'lgani kabi, biz tizim uchun impulsning o'zgarishi to'g'risidagi teoremani turli shakllarda olamiz.

Tenglamani o'zgartiramiz (mexanik tizimning massa markazining harakati haqidagi teorema)

quyida bayon qilinganidek:

;

;

Olingan tenglama mexanik tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani differensial shaklda ifodalaydi: mexanik tizim impulsining vaqtga nisbatan hosilasi tizimga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning asosiy vektoriga teng. .

Dekart koordinata o'qlariga proyeksiyalarda:

; ; .

Vaqt o'tishi bilan oxirgi tenglamalarning ikkala tomonining integrallarini olib, biz mexanik tizim impulsining integral ko'rinishidagi o'zgarishi haqida teorema olamiz: mexanik tizim impulsining o'zgarishi asosiy vektor impulsiga teng. tizimga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlar .

.

Yoki Dekart koordinata o'qlariga proyeksiyalarda:

; ; .

Teoremadan xulosalar (impulsning saqlanish qonunlari)

Impulsning saqlanish qonuni tashqi kuchlar tizimining xususiyatlariga qarab sistema uchun impulsning o'zgarishi haqidagi teoremaning maxsus holatlari sifatida olinadi. Ichki kuchlar har qanday bo'lishi mumkin, chunki ular impulsning o'zgarishiga ta'sir qilmaydi.

Ikkita mumkin bo'lgan holatlar mavjud:

1. Agar tizimga taalluqli barcha tashqi kuchlarning vektor yig‘indisi nolga teng bo‘lsa, sistemaning harakat miqdori kattaligi va yo‘nalishi bo‘yicha doimiy bo‘ladi.

2. Agar tashqi kuchlarning asosiy vektorining har qanday koordinata o'qiga proyeksiyasi va/yoki va/yoki nolga teng bo'lsa, u holda impulsning xuddi shu o'qlarga proyeksiyasi doimiy qiymatdir, ya'ni. va/yoki va/yoki mos ravishda.

Xuddi shunday yozuvlar moddiy nuqta uchun ham, moddiy nuqta uchun ham amalga oshirilishi mumkin.

Vazifa. Massasi bo'lgan quroldan M, massali snaryad gorizontal yo'nalishda uchadi m tezlik bilan v. Tezlikni toping V o'q otishdan keyin qurol.

Yechim. Mexanik qurol-raketa tizimiga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlar vertikaldir. Bu shuni anglatadiki, tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teoremaning natijasiga asoslanib, bizda: .

Otishdan oldin mexanik tizimning harakat miqdori:

Otishdan keyin mexanik tizimning harakat miqdori:

.

Ifodalarning o'ng tomonlarini tenglashtirib, biz buni olamiz

.

Olingan formuladagi "-" belgisi o'q otgandan so'ng qurol o'qga qarama-qarshi yo'nalishda qaytib ketishini ko'rsatadi. ho'kiz.

O'RNAK 2. Ko'ndalang kesimi F bo'lgan quvurdan zichlikdagi suyuqlik oqimi V tezlikda oqadi va vertikal devorga burchak ostida uriladi. Devordagi suyuqlik bosimini aniqlang.

YECHIMA. Massasi bo'lgan suyuqlik hajmiga integral ko'rinishdagi impulsning o'zgarishi haqidagi teoremani qo'llaymiz. m ma'lum vaqt ichida devorga urish t.

MESHCHERSKIY TENGLASHISHI

(massasi o'zgaruvchan jism dinamikasining asosiy tenglamasi)

Zamonaviy texnologiyada nuqta va tizimning massasi harakat paytida doimiy qolmasligi, balki o'zgarishi holatlari paydo bo'ladi. Shunday qilib, masalan, kosmik raketalarning parvozi paytida, yonish mahsulotlari va raketalarning alohida keraksiz qismlarining otilishi tufayli massa o'zgarishi umumiy boshlang'ich qiymatning 90-95% ga etadi. Ammo nafaqat kosmik texnologiya o'zgaruvchan massa harakati dinamikasiga misol bo'la oladi. To'qimachilik sanoatida mashinalar va mashinalarning zamonaviy ish tezligida turli xil shpindellar, bobinlar, rulolar massasida sezilarli o'zgarishlar mavjud.

O'zgaruvchan massali jismning translatsiya harakati misolidan foydalanib, massa o'zgarishi bilan bog'liq bo'lgan asosiy xususiyatlarni ko'rib chiqaylik. Dinamikaning asosiy qonunini o'zgaruvchan massali jismga to'g'ridan-to'g'ri qo'llash mumkin emas. Shuning uchun, sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani qo'llagan holda, o'zgaruvchan massali nuqta harakatining differentsial tenglamalarini olamiz.

Nuqta massaga ega bo'lsin m+dm tezlikda harakat qiladi. Keyin nuqtadan massali ma'lum bir zarra ajratiladi dm tezlikda harakatlanadi.

Zarracha chiqishidan oldin tananing harakat miqdori:

Jismdan va ajralgan zarrachadan tashkil topgan tizimning ajralgandan keyingi harakat miqdori:

Keyin impulsning o'zgarishi:

Tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teoremaga asoslanib:

Keling, miqdorni - zarrachaning nisbiy tezligini belgilaymiz:

belgilaylik

Hajmi R reaktiv kuch deb ataladi. Reaktiv kuch - bu ko'krakdan gazning chiqishi natijasida yuzaga keladigan dvigatelning surish kuchi.

Nihoyat, olamiz

-

Bu formula o'zgaruvchan massali jism dinamikasining asosiy tenglamasini ifodalaydi (Meshcherskiy formulasi). Oxirgi formuladan kelib chiqadiki, o'zgaruvchan massali nuqta harakatining differensial tenglamalari, massa o'zgarishi tufayli nuqtaga qo'llaniladigan qo'shimcha reaktiv kuchdan tashqari, doimiy massali nuqta bilan bir xil shaklga ega.

O'zgaruvchan massali jismning dinamikasi uchun asosiy tenglama shuni ko'rsatadiki, bu jismning tezlashishi nafaqat tashqi kuchlar, balki reaktiv kuch tufayli ham hosil bo'ladi.

Reaktiv kuch - otgan odam sezadigan kuchga o'xshash kuch - to'pponchadan o'q otishda qo'l bilan seziladi; Miltiqdan o'q otishda u yelka tomonidan seziladi.

Tsiolkovskiyning birinchi formulasi (bir bosqichli raketa uchun)

O'zgaruvchan massali nuqta yoki raketa faqat bitta reaktiv kuch ta'sirida to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlansin. Ko'pgina zamonaviy reaktiv dvigatellar uchun dvigatel dizayni tomonidan ruxsat etilgan maksimal reaktiv kuch (dvigatelning surish kuchi) qayerda; - yer yuzasida joylashgan dvigatelga ta'sir qiluvchi tortishish kuchi. Bular. yuqoridagilar Meshcherskiy tenglamasidagi komponentni e'tiborsiz qoldirishga va ushbu tenglamani keyingi tahlil qilish uchun qabul qilishga imkon beradi: ,

Belgilaymiz:

Yoqilg'i zaxirasi (suyuq reaktiv dvigatellar uchun - raketaning quruq massasi (barcha yoqilg'i yoqilgandan keyin qolgan massasi);

Raketadan ajratilgan zarrachalar massasi; dan gacha oʻzgarib turadigan oʻzgaruvchan qiymat sifatida qaraladi.

O'zgaruvchan massali nuqtaning to'g'ri chiziqli harakati tenglamasini quyidagi shaklda yozamiz:

Raketaning o'zgaruvchan massasini aniqlash formulasi bo'lgani uchun

Demak, nuqtaning harakat tenglamalari Ikkala tomonning integrallarini olamiz

Qaerda - xarakterli tezlik- bu raketadan barcha zarrachalar otilib chiqqandan so'ng (suyuq reaktiv dvigatellar uchun - barcha yoqilg'i yonib ketganidan keyin) raketaning surish ta'sirida erishadigan tezligi.

Integral belgisidan tashqarida joylashgan (bu oliy matematikadan ma'lum bo'lgan o'rtacha qiymat teoremasi asosida amalga oshirilishi mumkin) raketadan chiqarilgan zarrachalarning o'rtacha tezligi.

Ko'rinish: Maqola 14066 marta o'qildi

Pdf Til tanlang... Ruscha ukraincha inglizcha

Qisqa sharh

To'liq material tilni tanlagandan so'ng yuqorida yuklab olinadi

Harakat miqdori

Moddiy nuqtaning momenti - nuqta massasi va uning tezligi vektorining mahsulotiga teng vektor kattalik.

Impulsning o'lchov birligi (kg m / s).

Mexanik tizim impulsi - mexanik tizim impulsining geometrik yig'indisiga (bosh vektor) teng vektor kattalik butun tizim massasi va uning massa markazi tezligining mahsulotiga teng.

Agar tana (yoki tizim) uning massa markazi harakatsiz bo'ladigan tarzda harakat qilsa, u holda tananing harakat miqdori nolga teng bo'ladi (masalan, tananing massa markazidan o'tadigan sobit o'q atrofida aylanishi). ).

Murakkab harakat holatida tizimning harakat miqdori massa markazi atrofida aylanayotganda harakatning aylanish qismini tavsiflamaydi. Ya'ni, harakat miqdori faqat tizimning translatsiya harakatini (massa markazi bilan birga) tavsiflaydi.

Impuls kuchi

Kuchning impulsi ma'lum vaqt davomida kuchning harakatini tavsiflaydi.

Cheklangan vaqt oralig'idagi kuch impulsi mos keladigan elementar impulslarning integral yig'indisi sifatida aniqlanadi.

Moddiy nuqta impulsining o'zgarishi haqidagi teorema

(differensial shakllarda e ):

Moddiy nuqta impulsining vaqt hosilasi nuqtalarga ta'sir etuvchi kuchlarning geometrik yig'indisiga teng.

(V integral shakli ):

Moddiy nuqta impulsining ma’lum vaqt oralig‘ida o‘zgarishi shu vaqt oralig‘ida nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlar impulslarining geometrik yig‘indisiga teng.

Mexanik tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teorema

(differensial shaklda ):

Tizim impulsining vaqt hosilasi tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning geometrik yig'indisiga teng.

(integral shaklda ):

Ma'lum vaqt oralig'ida tizim impulsining o'zgarishi, bu vaqt oralig'ida tizimga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlar impulslarining geometrik yig'indisiga teng.

Teorema aniq noma'lum ichki kuchlarni ko'rib chiqishdan chiqarib tashlashga imkon beradi.

Mexanik tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teorema va massalar markazining harakati haqidagi teorema bir xil teoremaning ikki xil ko'rinishidir.

Tizim impulsining saqlanish qonuni

1. Agar tizimga ta'sir etuvchi barcha tashqi kuchlarning yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda sistema impulsi vektori yo'nalishi va kattaligi bo'yicha doimiy bo'ladi.
2. Agar barcha ta'sir etuvchi tashqi kuchlarning har qanday ixtiyoriy o'qqa proyeksiyalari yig'indisi nolga teng bo'lsa, impulsning bu o'qga proyeksiyasi doimiy qiymatdir.

xulosalar:

1. Saqlanish qonunlari shuni ko'rsatadiki, ichki kuchlar tizimning umumiy harakat miqdorini o'zgartira olmaydi.
2. Mexanik tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teorema mexanik tizimning aylanish harakatini emas, balki faqat translyatsion harakatini tavsiflaydi.

Misol keltiriladi: Agar uning burchak tezligi va o'lchami ma'lum bo'lsa, ma'lum massali diskning impulsini aniqlang.

Tishli uzatmani hisoblash misoli
Tishli uzatmani hisoblash misoli. Materialni tanlash, ruxsat etilgan kuchlanishlarni hisoblash, aloqa va bükme kuchini hisoblash amalga oshirildi.

Nurni egish masalasini yechish misoli
Misolda, ko'ndalang kuchlar va egilish momentlarining diagrammalari tuzilgan, xavfli uchastka topilgan va I-nur tanlangan. Muammo differensial bog'liqliklardan foydalangan holda diagrammalarni qurishni tahlil qildi va nurning turli kesimlarining qiyosiy tahlilini o'tkazdi.

Milning burilish muammosini echish misoli
Vazifa - berilgan diametrda, materialda va ruxsat etilgan kuchlanishda po'lat milning mustahkamligini tekshirish. Yechish vaqtida momentlar, kesish kuchlanishlari va burilish burchaklarining diagrammalari tuziladi. Milning o'z vazni hisobga olinmaydi

Rodning kuchlanish-siqish masalasini yechish misoli
Vazifa - belgilangan ruxsat etilgan kuchlanishlarda po'lat novda mustahkamligini tekshirish. Yechish jarayonida uzunlamasına kuchlar, normal kuchlanish va siljishlar diagrammalari tuziladi. Rodning o'z vazni hisobga olinmaydi

Kinetik energiyaning saqlanish teoremasini qo'llash
Mexanik sistemaning kinetik energiyasini saqlanish teoremasi yordamida masalani yechish misoli

Berilgan harakat tenglamalari yordamida nuqtaning tezligi va tezlanishini aniqlash
Berilgan harakat tenglamalari yordamida nuqtaning tezligi va tezlanishini aniqlash masalasini yechish misoli

Tekis-parallel harakat paytida qattiq jism nuqtalarining tezliklari va tezlanishlarini aniqlash.
Tekis-parallel harakat paytida qattiq jism nuqtalarining tezligi va tezlanishlarini aniqlash masalasini yechish misoli.

Yassi trussning panjaralarida kuchlarni aniqlash
Ritter usuli va tugunlarni kesish usuli yordamida tekis truss novdalarida kuchlarni aniqlash masalasini hal qilish misoli.

Burchak momentining o'zgarishi haqidagi teoremaning qo'llanilishi
Qo‘zg‘almas o‘q atrofida aylanadigan jismning burchak tezligini aniqlash uchun kinetik impulsning o‘zgarishi haqidagi teoremadan foydalanib, masalani yechish misoli.

(Matematik simfoniyadan parchalar)

Kuch impulsi bilan Nyuton dinamikasining asosiy tenglamasi oʻrtasidagi bogʻliqlik moddiy nuqta impulsining oʻzgarishi haqidagi teorema orqali ifodalanadi.

Teorema. Moddiy nuqta impulsining ma'lum vaqt oralig'idagi o'zgarishi, xuddi shu vaqt oralig'ida moddiy nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchning () impulsiga teng. Bu teoremaning matematik isbotini matematik simfoniyaning parchasi deb atash mumkin. Mana u.

Moddiy nuqtaning differensial impulsi moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi kuchning elementar impulsiga teng. Moddiy nuqtaning differensial impulsi uchun integrallash ifodasi (128) bizda

(129)

Teorema isbotlangan va matematiklar o'z missiyasini tugallangan deb hisoblashadi, ammo taqdiri matematiklarga muqaddas ishonish bo'lgan muhandislarda isbotlangan tenglamadan foydalanishda savollar tug'iladi (129). Ammo ular matematik operatsiyalarning (128 va 129) ketma-ketligi va go'zalligi bilan to'sib qo'yilgan, bu bizni hayratda qoldiradi va ularni matematik simfoniyaning bir qismi deb atashga undaydi. Qanchadan-qancha muhandislar avlodlari matematiklar bilan kelishib, ularning matematik belgilarining siridan hayratda edilar! Ammo keyin bir muhandis bor edi, u matematiklarning fikriga qo'shilmagan va ularga savollar bergan.

Hurmatli matematiklar! Nega nazariy mexanika bo'yicha hech bir darslikingizda simfonik natijangizni (129) amaliyotda qo'llash jarayoni, masalan, avtomobilni tezlashtirish jarayoni tasvirlanganda muhokama qilinmaydi? (129) tenglamaning chap tomoni juda aniq. Avtomobil tezlashishni tezlikdan boshlaydi va uni, masalan, tezlikda tugatadi. (129) tenglamaning paydo bo'lishi tabiiydir

Va darhol birinchi savol tug'iladi: (130) tenglamadan avtomobil ta'sirida 10 m / s tezlikka tezlashtirilgan kuchni qanday aniqlash mumkin? Bu savolga javob nazariy mexanika bo'yicha son-sanoqsiz darsliklarning birortasida topilmaydi. Keling, oldinga boraylik. Tezlashtirilgandan keyin avtomobil 10 m/s tezlikda bir tekis harakatlana boshlaydi. Mashinani qanday kuch harakatga keltiradi?????????? Matematiklar bilan birga qizarib ketishdan boshqa ilojim yo‘q. Nyuton dinamikasining birinchi qonuni shuni ko'rsatadiki, avtomobil bir tekis harakatlansa, unga hech qanday kuchlar ta'sir qilmaydi va avtomobil, majoziy ma'noda, bu qonunni aksiradi, benzin iste'mol qiladi va ishlaydi, masalan, 100 km masofani bosib o'tadi. Avtomobilni 100 km ga siljitish uchun ish qilgan kuch qayerda? Simfonik matematik tenglama (130) jim, lekin hayot davom etadi va javob talab qiladi. Biz uni qidirishni boshlaymiz.

Avtomobil to'g'ri chiziqli va bir tekis harakat qilganligi sababli, uni harakatlantiruvchi kuch kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'lib, tenglama (130) bo'ladi.

(131)

Demak, (131) tenglama bu holda jismning tezlashtirilgan harakatini tavsiflaydi. Quvvat nimaga teng? Vaqt o'tishi bilan uning o'zgarishini qanday ifodalash mumkin? Matematiklar bu savolni chetlab o'tishni afzal ko'radilar va bu savolga javob izlashlari kerak deb o'ylashadi va uni muhandislarga qoldiradilar. Muhandislarning faqat bitta varianti qolgan - agar tananing tezlashtirilgan harakati tugagandan so'ng, doimiy kuchning ta'siri bilan birga keladigan bir tekis harakat fazasi boshlansa, (131) tenglamani taqdim eting. bu shaklda tezlashtirilgan harakatdan bir tekis harakatga o'tish momenti

(132)

Bu tenglamadagi strelka bu tenglamani integrallash natijasini emas, balki uning integral shaklidan soddalashtirilgan shaklga o'tish jarayonini bildiradi. Ushbu tenglamadagi kuch jismning impulsini noldan yakuniy qiymatga o'zgartirgan o'rtacha kuchga teng. Shunday qilib, aziz matematiklar va nazariy fiziklar, sizning impulsingizning kattaligini aniqlash usulining yo'qligi bizni kuchni aniqlash tartibini soddalashtirishga majbur qiladi va bu kuchning ta'sir qilish vaqtini aniqlash usulining yo'qligi bizni umuman olganda umidsiz pozitsiyasi va biz tananing momentumini o'zgartirish jarayonini tahlil qilish uchun bir ifodani ishlatishga majburmiz. Natijada kuch qancha uzoq davom etsa, uning impulsi shunchalik katta bo'ladi. Bu uning ta'sir qilish muddati qanchalik qisqa bo'lsa, kuch impulsi shunchalik katta bo'ladi, degan uzoq vaqtdan beri mavjud bo'lgan g'oyaga aniq zid keladi.

Moddiy nuqtaning (kuch impulsi) tezlashtirilgan harakati davomida impulsining o‘zgarishi Nyuton kuchi va harakatga qarshilik kuchlari ta’sirida, mexanik qarshiliklar natijasida hosil bo‘ladigan kuchlar shaklida va inertsiya kuchi. Ammo Nyuton dinamikasi ko'pgina muammolarda inersiya kuchini e'tiborsiz qoldiradi va Mexanodinamikaning ta'kidlashicha, jismning tezlashtirilgan harakati paytida impulsning o'zgarishi Nyuton kuchining harakatga qarshilik kuchlaridan, shu jumladan jismdan ortiqcha bo'lishi tufayli sodir bo'ladi. inersiya kuchi.

Jism sekin harakatda harakat qilganda, masalan, vites o'chirilgan mashinada Nyuton kuchi bo'lmaydi va avtomobil impulsining o'zgarishi harakatga qarshilik kuchlarining kuchdan oshib ketishi tufayli sodir bo'ladi. sekin harakat qilganda mashinani harakatga keltiradigan inertiya.

Endi qanday qilib qayd etilgan "simfonik" matematik harakatlar natijalarini (128) sabab-oqibat munosabatlarining asosiy oqimiga qaytarishimiz mumkin? Faqat bitta yo'l bor - "kuch impulsi" va "zarba kuchi" tushunchalarining yangi ta'rifini topish. Buning uchun (132) tenglamaning ikkala tomonini t vaqtga bo'ling. Natijada biz ega bo'lamiz

. (133)

Shuni ta'kidlaymizki, mV/t ifodasi moddiy nuqta yoki jismning impulsining o'zgarish tezligi (mV/t). Agar V/t tezlanish ekanligini hisobga olsak, u holda mV/t jismning impulsini o‘zgartiruvchi kuchdir. Teng belgining chap va o'ng tomonidagi bir xil o'lcham bizga F kuchini zarba kuchi deb atash va uni belgi bilan, S impulsini esa zarba impulsi va uni belgi bilan belgilash huquqini beradi. Bu zarba kuchining yangi ta'rifiga olib keladi. Moddiy nuqta yoki jismga ta’sir etuvchi ta’sir kuchi moddiy nuqta yoki jism impulsining o‘zgarishining shu o‘zgarish vaqtiga nisbatiga teng.

Avtomobil tezligini noldan maksimalga o'zgartirgan zarba impulsini (134) hosil qilishda faqat Nyuton kuchi ishtirok etishiga alohida e'tibor qarataylik - , shuning uchun (134) tenglama butunlay Nyuton dinamikasiga tegishli. Tezlikning kattaligini eksperimental tarzda aniqlash tezlanishni aniqlashdan ancha oson bo'lgani uchun (134) formula hisob-kitoblar uchun juda qulaydir.

Bu noodatiy natija (134) tenglamadan kelib chiqadi.

Mexanodinamikaning yangi qonunlariga ko'ra, moddiy nuqta yoki jismning tezlashtirilgan harakati paytida kuch impulsining generatori Nyuton kuchi ekanligiga e'tibor qaratamiz. Bu nuqta yoki jism harakatining tezlashishini hosil qiladi, bunda avtomatik ravishda Nyuton kuchiga qarama-qarshi yo'naltirilgan inertial kuch paydo bo'ladi va Nyuton kuchi inertial kuchning ta'sirini engib o'tishi kerak, shuning uchun inersiya kuchi quyidagicha ifodalanishi kerak. (134) tenglamaning chap tomonidagi kuchlar muvozanati. Inersiya kuchi nuqta yoki jismning massasini u hosil qilgan sekinlashuvga ko‘paytirilganiga teng bo‘lgani uchun (134) tenglama hosil bo‘ladi.

(136)

Hurmatli matematiklar! Ta'sir qilingan tananing harakatini nol tezlikdan maksimal V gacha tezlashtiradigan zarba impulsini tavsiflovchi matematik model qanday shaklda bo'lganini ko'rasiz (11). Endi keling, SShG ning 2-energoblokini ishga tushirgan zarba kuchiga teng bo'lgan zarba impulsini aniqlashda uning ishlashini tekshiramiz (120-rasm) va biz sizni foydasiz tenglama (132) bilan qoldiramiz. Taqdimotni murakkablashtirmaslik uchun (134) formulani hozircha yolg'iz qoldiramiz va kuchlarning o'rtacha qiymatlarini beradigan formulalardan foydalanamiz. Muayyan muammoni hal qilishga urinayotgan muhandisni qanday lavozimga qo'yganingizni ko'rasiz.

Nyuton dinamikasidan boshlaylik. Mutaxassislar 2-energoblok 14 m balandlikka ko'tarilganligini aniqladilar. U tortishish maydonida ko'tarilganligi sababli, h = 14 m balandlikda uning potentsial energiyasi teng bo'lib chiqdi.

va o'rtacha kinetik energiya teng edi

Guruch. 120. Falokatdan oldingi turbinali xonaning fotosurati

Kinetik (138) va potentsial (137) energiyalarning tengligidan quvvat blokining o'rtacha ko'tarilish tezligi quyidagicha (121, 122-rasm).

Guruch. 121. Falokatdan keyin turbina xonasining fotoni

Mexanodinamikaning yangi qonunlariga ko'ra, quvvat blokining ko'tarilishi ikki fazadan iborat edi (123-rasm): birinchi faza OA - tezlashtirilgan ko'tarilish va ikkinchi faza AB - sekin ko'tarilish , , .

Ularning harakat vaqti va masofasi taxminan teng (). Keyin quvvat blokini ko'tarishning tezlashtirilgan fazasining kinematik tenglamasi quyidagicha yoziladi:

. (140)

Guruch. 122. Falokatdan keyin quvvat blokining qudug'i va quvvat blokining o'zi ko'rinishi

Birinchi bosqichda quvvat blokining ko'tarilish tezligining o'zgarishi qonuni shaklga ega

. (141)

Guruch. 123. Energiya blokining parvoz tezligi V o'zgarishining muntazamligi

Vaqtni (140) tenglamadan (141) tenglamaga almashtirsak, biz bor

. (142)

Birinchi bosqichda blokni ko'tarish vaqti (140) formula bo'yicha aniqlanadi.

. (143)

Keyin quvvat blokini 14 m balandlikka ko'tarishning umumiy vaqti ga teng bo'ladi. Quvvat bloki va qopqog'ining massasi 2580 tonnani tashkil qiladi. Nyuton dinamikasiga ko'ra, quvvat blokini ko'targan kuch tengdir

Hurmatli matematiklar! Biz simfonik matematik natijalaringizga amal qilamiz va 2-quvvat blokini ishga tushirgan zarba pulsini aniqlash uchun Nyuton dinamikasidan kelib chiqqan holda formulangizni (129) yozamiz.

va asosiy savolni so'rang: 2-quvvat blokini ishga tushirgan zarba pulsining davomiyligini qanday aniqlash mumkin????????????

Azizlarim!!! Esingizda bo'lsin, sizning hamkasblaringizning avlodlari tomonidan qora taxtalarga qancha bo'r yozilgan, talabalarga zarba impulsini qanday aniqlashni o'rgatishgan va hech kim har bir aniq holatda zarba impulsining davomiyligini qanday aniqlashni tushuntirmagan. Siz zarba zarbasining davomiyligi quvvat blokining tezligini noldan o'zgartirish vaqt oralig'iga teng, deb aytasiz, biz maksimal qiymat 16,75 m / s (139) ni qabul qilamiz. U (143) formulada va 0,84 s ga teng. Biz hozircha siz bilan rozimiz va zarba impulsining o'rtacha qiymatini aniqlaymiz

Darhol savol tug'iladi: nima uchun zarba impulsining kattaligi (146) Nyuton kuchidan 50600 tonnadan kam? Siz, aziz matematiklar, javobingiz yo'q. Keling, oldinga boraylik.

Nyuton dinamikasiga ko'ra, quvvat blokining ko'tarilishiga qarshilik ko'rsatadigan asosiy kuch tortishish edi. Ushbu kuch quvvat blokining harakatiga qarshi qaratilganligi sababli, u erkin tushish tezlashishiga teng bo'lgan sekinlashuvni hosil qiladi. Keyin yuqoriga qarab uchayotgan quvvat blokiga ta'sir qiluvchi tortishish kuchi teng bo'ladi

Nyuton dinamikasi 50600 tonnalik Nyuton kuchining ta'siriga to'sqinlik qilgan boshqa kuchlarni hisobga olmaydi (144), va mexanodinamikada ta'kidlanishicha, quvvat blokining ko'tarilishiga teng inertial kuch ham qarshilik ko'rsatdi.

Darhol savol tug'iladi: quvvat blokining harakatida sekinlashuv miqdorini qanday topish mumkin? Nyuton dinamikasi jim, lekin mexanodinamika javob beradi: quvvat blokini ko'targan Nyuton kuchining ta'siri paytida unga qarshilik ko'rsatdi: tortishish kuchi va inersiya kuchi, shuning uchun kuchga ta'sir qiluvchi kuchlarning tenglamasi. o'sha paytdagi birlik quyidagicha yoziladi.

Harakat miqdori mexanik harakatning o'lchovidir, agar mexanik harakat mexanik harakatga aylansa. Misol uchun, bilyard to'pi (22-rasm) zarbadan oldin mexanik harakati zarbadan keyin to'plarning mexanik harakatiga aylanadi. Bir nuqta uchun momentum mahsulotga teng.

Bu holatda kuchning o'lchovi kuch impulsi hisoblanadi

. (9.1)

Momentum kuchning harakatini belgilaydi ma'lum vaqt oralig'ida . Moddiy nuqta uchun impulsning o'zgarishi haqidagi teoremadan differensial shaklda foydalanish mumkin
(9.2) yoki integral (cheklangan) shakl
. (9.3)

Moddiy nuqta impulsining ma'lum vaqt oralig'idagi o'zgarishi bir vaqtning o'zida nuqtaga qo'llaniladigan barcha kuchlarning impulslariga teng.

22-rasm

Masalalarni yechishda (9.3) teorema koordinata o'qlariga proyeksiya qilishda ko'proq qo'llaniladi
;

; (9.4)

.

Nuqta impulsining oʻzgarishi haqidagi teoremadan foydalanib, translatsiya yoʻli bilan harakat qilayotgan nuqta yoki jismga vaqtga bogʻliq boʻlgan oʻzgarmas yoki oʻzgaruvchan kuchlar taʼsir koʻrsatadigan, berilgan va qidirilayotgan kattaliklar esa vaqtni oʻz ichiga olgan masalalarni yechish mumkin. harakatning boshida va oxirida harakat va tezliklar. Teoremadan foydalangan holda masalalar quyidagi ketma-ketlikda echiladi:

1. koordinatalar tizimini tanlash;

2. nuqtaga ta’sir etuvchi barcha berilgan (faol) kuchlar va reaksiyalarni tasvirlash;

3. tanlangan koordinata o‘qlariga proyeksiyalarda nuqta impulsining o‘zgarishi haqidagi teoremani yozing;

4. kerakli miqdorlarni aniqlang.

12-Misol.

Og'irligi G=2t bo'lgan bolg'a h=1m balandlikdan t=0,01s vaqt ichida ishlov beriladigan buyumga tushib, qismga shtamp qo'yadi (23-rasm). Ish qismiga bolg'aning o'rtacha bosim kuchini aniqlang.

Mexanik tizim impulsining ma'lum vaqt oralig'ida o'zgarishi bir vaqtning o'zida ta'sir qiluvchi tashqi kuchlar impulslari yig'indisiga teng. Ba'zan koordinata o'qlarida proyeksiyada impulsning o'zgarishi haqidagi teoremadan foydalanish qulayroqdir
; (9.8)
. (9.9)

Impulsning saqlanish qonuni shuni ko'rsatadiki, tashqi kuchlar bo'lmaganda mexanik tizimning impulsi doimiy bo'lib qoladi. Ichki kuchlarning harakati tizimning momentumini o'zgartira olmaydi. (9.6) tenglamadan ko'rinib turibdiki, qachon
,
.

Agar
, Bu
yoki
.

D

pervanel yoki pervanel, reaktiv harakat. Squidlar silkinib harakatlanadi, suv to'piga o'xshab mushak qopchasidan suv tashlaydi (25-rasm). Qaytarilgan suv orqaga yo'naltirilgan ma'lum miqdordagi harakatga ega. Kalamar mos keladigan tezlikni oladi reaktiv tortish kuchi tufayli oldinga siljish , Squid kuch tashqariga sakrab oldin beri tortishish kuchi bilan muvozanatlangan .

Impulsning o'zgarishi haqidagi teoremani qo'llash barcha ichki kuchlarni ko'rib chiqishdan chiqarib tashlashga imkon beradi.

13-MISA.

Radiusi r barabanli buyum A relslar ustida mustaqil ravishda temir yo'l platformasiga o'rnatiladi (26-rasm). Vinç platforma bo'ylab massasi m 1 bo'lgan B yukini siljitish uchun mo'ljallangan. Vinçli platformaning og'irligi m 2. Vinç barabani qonunga muvofiq aylanadi
. Dastlabki vaqtda tizim mobil edi. Ishqalanishni e'tiborsiz qoldirib, vinchni yoqgandan keyin platforma tezligining o'zgarish qonunini toping.

R YECHIMA.

1. Platformani, vinçni va yukni tashqi kuchlar ta'sir qiladigan yagona mexanik tizim sifatida ko'rib chiqing: yukning og'irligi va platformalar va reaktsiyalar Va
.

2. Barcha tashqi kuchlar x o'qiga perpendikulyar bo'lgani uchun, ya'ni.
, biz x o'qiga proyeksiya qilishda mexanik tizimning impuls momentining saqlanish qonunini qo'llaymiz:
. Dastlabki vaqtda tizim harakatsiz edi, shuning uchun

Vaqtning ixtiyoriy momentida sistemaning harakat miqdorini ifodalaylik. Platforma bir tezlikda oldinga siljiydi , yuk tezlikda platforma bo'ylab nisbiy harakatdan iborat murakkab harakatga o'tadi Tezlikda platforma bilan birga portativ harakat ., qayerda
. Platforma yukning nisbiy harakatiga teskari yo'nalishda harakat qiladi.

14-MISA.

Qayerda ,
-- mos ravishda plastinka va yukning harakat miqdori.

;
, Qayerda --yukning mutlaq tezligi D. (1) tenglikdan K 1x + K 2x =C 1 yoki m 1 u x +m 2 V Dx =C 1 kelib chiqadi. (2) V Dx ni aniqlash uchun D yukining harakatini murakkab deb hisoblang, uning plastinkaga nisbatan harakatini va plastinkaning harakatini ko'chma deb hisoblang, keyin
, (3)
;yoki x o'qiga proyeksiyada: . (4) (4) ni (2) ga almashtiramiz:
. (5) Dastlabki shartlardan C 1 integrasiya konstantasini aniqlaymiz: t=0 u=u 0 da; (m 1 +m 2)u 0 =C 1. (6) C 1 doimiysining qiymatini (5) tenglamaga qo'yib, olamiz

Xonim.