Doimiy koeffitsientlar misollari bilan Lod 2-tartibi. Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar
Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli bir hil chiziqli differensial tenglamalar shaklga ega
bu yerda p va q haqiqiy sonlar. O'zgarmas koeffitsientli bir jinsli ikkinchi tartibli differensial tenglamalar qanday yechilishiga misollarni ko'rib chiqamiz.
Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning yechimi xarakteristik tenglamaning ildizlariga bog'liq. Xarakteristik tenglama k²+pk+q=0 tenglamadir.
1) Agar xarakteristik tenglamaning ildizlari har xil haqiqiy sonlar bo'lsa:
u holda doimiy koeffitsientli chiziqli bir hil ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi ko'rinishga ega bo'ladi.
2) Xarakteristik tenglamaning ildizlari teng haqiqiy sonlar bo'lsa
(masalan, diskriminant nolga teng bo'lsa), u holda bir hil ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi bo'ladi.
3) Xarakteristik tenglamaning ildizlari kompleks sonlar bo'lsa
(masalan, manfiy songa teng diskriminant bilan), keyin bir jinsli ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi shaklda yoziladi.
Doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni yechishga misollar
Bir jinsli ikkinchi tartibli differensial tenglamalarning umumiy yechimlarini toping:
Xarakteristik tenglamani tuzamiz: k²-7k+12=0. Uning diskriminanti D=b²-4ac=1>0, shuning uchun ildizlar har xil haqiqiy sonlardir.
Demak, bu bir jinsli 2-tartibli DE ning umumiy yechimi
Xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz:
Ildizlar haqiqiy va aniq. Demak, bu bir hil differensial tenglamaning umumiy yechimi bor:
Bu holda xarakteristik tenglama
Ildizlar har xil va haqiqiydir. Demak, 2-tartibli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi shu yerda
Xarakteristik tenglama
Ildizlar haqiqiy va teng bo'lgani uchun bu differentsial tenglama uchun umumiy yechimni quyidagicha yozamiz
Xarakteristik tenglama bu erda
Diskriminant manfiy son bo'lgani uchun xarakteristik tenglamaning ildizlari kompleks sonlardir.
Ushbu bir hil ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi ko'rinishga ega
Xarakteristik tenglama
Bu erdan biz ushbu differentsialning umumiy yechimini topamiz. tenglamalar:
O'z-o'zini tekshirish uchun misollar.
Ta'lim muassasasi "Belarus davlati
qishloq xo'jaligi akademiyasi"
Oliy matematika kafedrasi
Ko'rsatmalar
sirtqi ta'lim buxgalteriya fakulteti (NISPO) talabalari tomonidan "Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar" mavzusini o'rganish.
Gorkiy, 2013 yil
Chiziqli differensial tenglamalar
doimiylar bilan ikkinchi tartibkoeffitsientlar
Chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar
Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama shakl tenglamasi deyiladi
bular. kerakli funksiya va uning hosilalarini faqat birinchi darajagacha o'z ichiga olgan va ularning hosilalari bo'lmagan tenglama. Ushbu tenglamada 
Va 
- ba'zi raqamlar va funksiya 
ma'lum bir oraliqda beriladi 
.
Agar 
intervalda 
, keyin (1) tenglama shaklni oladi
,
(2)
va deyiladi chiziqli bir hil . Aks holda (1) tenglama chaqiriladi chiziqli bir hil bo'lmagan .
Murakkab funktsiyani ko'rib chiqing
,
(3)
Qayerda 
Va 
- real funktsiyalar. Agar (3) funksiya (2) tenglamaning kompleks yechimi bo'lsa, u holda haqiqiy qism 
, va xayoliy qism 
yechimlar 
alohida bir xil bir xil tenglamaning yechimlari. Shunday qilib, (2) tenglamaning har qanday kompleks yechimi bu tenglamaning ikkita haqiqiy yechimini hosil qiladi.
Bir jinsli chiziqli tenglamaning yechimlari quyidagi xususiyatlarga ega:
Agar 
(2) tenglamaning yechimi, keyin funksiya 
, Qayerda BILAN– ixtiyoriy doimiy ham (2) tenglamaning yechimi bo‘ladi;
Agar 
Va 
(2) tenglamaning yechimlari bor, keyin funksiya 
(2) tenglamaning yechimi ham bo'ladi;
Agar 
Va 
(2) tenglamaning yechimlari mavjud, keyin ularning chiziqli birikmasi 
(2) tenglamaning yechimi ham bo'ladi, bu erda 
Va 
- ixtiyoriy konstantalar.
Funksiyalar 
Va 
chaqiriladi chiziqli bog'liq
intervalda 
, agar bunday raqamlar mavjud bo'lsa 
Va 
, bir vaqtning o'zida nolga teng emas, bu oraliqda tenglik
Tenglik (4) faqat qachon yuzaga kelsa 
Va 
, keyin funksiyalar 
Va 
chaqiriladi chiziqli mustaqil
intervalda 
.
1-misol
. Funksiyalar 
Va 
chiziqli bog'liqdir, chunki 
butun son qatorida. Ushbu misolda 
.
2-misol
. Funksiyalar 
Va 
har qanday oraliqda chiziqli mustaqildir, chunki tenglik 
bo'lgan taqdirdagina mumkin 
, Va 
.
Chiziqli bir jinslining umumiy yechimini qurish
tenglamalar
(2) tenglamaning umumiy yechimini topish uchun uning ikkita chiziqli mustaqil yechimini topish kerak 
Va 
. Bu yechimlarning chiziqli birikmasi 
, Qayerda 
Va 
ixtiyoriy konstantalar bo'lib, chiziqli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini beradi.
(2) tenglamaning chiziqli mustaqil yechimlarini shaklda izlaymiz
,
(5)
Qayerda 
- ma'lum bir raqam. Keyin 
,
. Bu ifodalarni (2) tenglamaga almashtiramiz:
Yoki 
.
Chunki 
, Bu 
. Shunday qilib, funktsiya 
(2) tenglamaning yechimi bo'ladi, agar 
tenglamani qanoatlantiradi
.
(6)
(6) tenglama deyiladi xarakterli tenglama (2) tenglama uchun. Bu tenglama algebraik kvadrat tenglamadir.
Mayli 
Va 
bu tenglamaning ildizlari bor. Ular haqiqiy va har xil, yoki murakkab yoki haqiqiy va teng bo'lishi mumkin. Keling, ushbu holatlarni ko'rib chiqaylik.
Ildizlarga ruxsat bering 
Va 
xarakterli tenglamalar haqiqiy va har xil. U holda (2) tenglamaning yechimlari funksiyalar bo'ladi 
Va 
. Bu yechimlar chiziqli mustaqildir, chunki tenglik 
qachongina amalga oshirilishi mumkin 
, Va 
. Shuning uchun (2) tenglamaning umumiy yechimi shaklga ega
,
Qayerda 
Va 
- ixtiyoriy konstantalar.
3-misol
.
Yechim
. Ushbu differensial uchun xarakterli tenglama bo'ladi 
. Ushbu kvadrat tenglamani yechib, uning ildizlarini topamiz 
Va 
. Funksiyalar 
Va 
differensial tenglamaning yechimlaridir. Ushbu tenglamaning umumiy yechimi 
.
Kompleks raqam 
shaklning ifodasi deyiladi 
, Qayerda 
Va 
haqiqiy sonlar va 
xayoliy birlik deb ataladi. Agar 
, keyin raqam 
sof xayoliy deyiladi. Agar 
, keyin raqam 
haqiqiy son bilan aniqlanadi 
.
Raqam 
kompleks sonning haqiqiy qismi deyiladi va 
- xayoliy qism. Agar ikkita murakkab son bir-biridan faqat xayoliy qismning belgisi bilan farq qilsa, ular konjugat deb ataladi: 
,
.
4-misol
. Kvadrat tenglamani yechish 
.
Yechim
. Diskriminant tenglama 
. Keyin. Xuddi shunday, 
. Shunday qilib, bu kvadrat tenglama konjugat murakkab ildizlarga ega.
Xarakteristik tenglamaning ildizlari murakkab bo'lsin, ya'ni. 
,
, Qayerda 
. (2) tenglamaning yechimlari shaklda yozilishi mumkin 
,
yoki 
,
. Eyler formulalariga ko'ra
,
.
Keyin, . Ma’lumki, agar kompleks funksiya chiziqli bir jinsli tenglamaning yechimi bo‘lsa, bu tenglamaning yechimlari bu funksiyaning ham haqiqiy, ham xayoliy qismlari hisoblanadi. Shunday qilib, (2) tenglamaning yechimlari funksiyalar bo'ladi 
Va 
. Tenglikdan beri
bo'lsagina bajarilishi mumkin 
Va 
, u holda bu yechimlar chiziqli mustaqildir. Shuning uchun (2) tenglamaning umumiy yechimi shaklga ega
Qayerda 
Va 
- ixtiyoriy konstantalar.
5-misol
. Differensial tenglamaning umumiy yechimini toping 
.
Yechim
. Tenglama 
berilgan differentsial uchun xarakterlidir. Keling, uni hal qilaylik va murakkab ildizlarni olamiz 
,
. Funksiyalar 
Va 
differensial tenglamaning chiziqli mustaqil yechimlaridir. Ushbu tenglamaning umumiy yechimi ko'rinishga ega.
Xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va teng bo'lsin, ya'ni. 
. U holda (2) tenglamaning yechimlari funksiyalardir 
Va 
. Bu yechimlar chiziqli mustaqildir, chunki ifoda faqat qachon bir xil nolga teng bo'lishi mumkin 
Va 
. Shuning uchun (2) tenglamaning umumiy yechimi shaklga ega 
.
6-misol
. Differensial tenglamaning umumiy yechimini toping 
.
Yechim
. Xarakteristik tenglama 
teng ildizlarga ega 
. Bunda differensial tenglamaning chiziqli mustaqil yechimlari funksiyalardir 
Va 
. Umumiy yechim shaklga ega 
.
2-tartibli differensial tenglamalar
§1. Tenglama tartibini qisqartirish usullari.
2-tartibli differentsial tenglama quyidagi ko'rinishga ega:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( yoki Differentsial" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">2-tartibli differentsial tenglama). 2-tartibli differentsial tenglama uchun Koshi muammosi (1..gif" width="85" height= "25 src" =">.gif" kengligi="85" balandligi="25 src=">.gif" balandligi="25 src=">.
2-tartibli differentsial tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'lsin: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height="" 25 src=">.gif" eni="265" balandligi="28 src=">.
Shunday qilib, 2-tartibli tenglama https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" balandligi =" 25 src=">.gif" eni="117" balandligi="25 src=">.gif" kengligi="34" balandligi="25 src=">. Uni yechish orqali biz ikkita ixtiyoriy konstantaga qarab asl differensial tenglamaning umumiy integralini olamiz: DIV_ADBLOCK219">
1-misol. Differensial tenglamani yeching https://pandia.ru/text/78/516/images/image021_18.gif" width="70" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.gif " width="39" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src=">.gif" width="112" height="25 src=">.
Bu ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega differentsial tenglama: https://pandia.ru/text/78/516/images/image026_19.gif" width="99" height="41 src=">, ya'ni.gif" width= " 96" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="48" height="38 src=">..gif" width=" 99" " balandligi="38 src=">..gif" eni="95" balandligi="25 src=">.
2..gif" width="117" height="25 src=">, ya'ni..gif" width="102" height="25 src=">..gif" width="117" height= "25 src" =">.gif" kengligi="106" balandligi="25 src=">.gif" kengligi="34" balandligi="25 src=">.gif" kengligi="117" balandligi="25 src=" >.gif" eni="111" balandligi="27 src=">
Yechim.
Bu 2-tartibli tenglama aniq kerakli funksiyani o'z ichiga olmaydi https://pandia.ru/text/78/516/images/image043_16.gif" width="98" height="25 src=">.gif" width= " 33" height="25 src=">.gif" width="105" height="36 src=">, bu chiziqli tenglama..gif" width="109" height="36 src=">. gif" width="144" height="36 src=">.gif" height="25 src="> ba'zi funksiyalardan..gif" width="25" height="25 src=">.gif " width="127" height="25 src=">.gif" width="60" height="25 src="> - tenglamaning tartibi tushiriladi.
§2. 2-tartibli chiziqli differensial tenglama.
2-tartibli chiziqli differentsial tenglama (LDE) quyidagi shaklga ega:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image059_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. gif" width="42" height="25 src="> va koeffitsientlar uchun yangi belgilar kiritilgandan so'ng, tenglamani quyidagi shaklda yozamiz:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image064_12.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">. gif" width="30" height="25 src="> uzluksiz..gif" width="165" height="25 src=">.gif" width="95" height="25 src="> - ixtiyoriy raqamlar.
Teorema. Agar https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> - yechim
https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> ham ushbu tenglamaning yechimi bo'ladi.
Isbot.
Keling, https://pandia.ru/text/78/516/images/image077_11.gif" width="420" height="25 src="> ifodasini qo'yaylik.
Keling, shartlarni qayta tartibga solaylik:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image073_10.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="54" height="25 src=">. gif" width="94" height="25 src="> ham bu tenglamaning yechimidir.
Xulosa 2. https://pandia.ru/text/78/516/images/image083_11.gif" width="58" height="25 src="> deb faraz qilsak ham bu tenglamaning yechimi hisoblanadi.
Izoh. Teoremada isbotlangan yechimlar xossasi har qanday tartibli masalalar uchun o'z kuchida qoladi.
§3. Vronskiyning aniqlovchisi.
Ta'rif. Funktsiyalar tizimi https://pandia.ru/text/78/516/images/image084_10.gif" width="61" height="25 src=">.gif" width="110" height="47 src=" " >..gif" width="106" height="42 src=">..gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="181" height="47 src= " >.gif" width="42" height="25 src="> tenglamalar (2.3)..gif" width="182" height="25 src="> (3.1)
Darhaqiqat, ..gif" width="18" height="25 src="> tenglamani qanoatlantiradi (2..gif" width="42" height="25 src="> (3.1) tenglamaning yechimidir. .gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162" height="42 src="> .gif" width="51" height="25 src="> identifikator olinadi.
https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, unda tenglamaning chiziqli mustaqil yechimlari uchun determinant (2..gif) " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> (3.2) formulaning o'ng tomonidagi ikkala omil ham nolga teng emas.
§4. 2-tartibli lodga umumiy yechimning tuzilishi.
Teorema. Agar https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> tenglamaning chiziqli mustaqil yechimlari bo'lsa (2..gif" width="" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">bu (2.3) tenglamaning yechimi bo'lib, 2-tartibli lode yechimlarining xossalari haqidagi teoremadan kelib chiqadi. gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">
Ushbu chiziqli algebraik tenglamalar tizimidan https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> doimiylar yagona aniqlanadi, chunki determinant bu tizim https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5) ..gif" width="77" height="25 src=">. Oldingi bandga ko'ra, 2-tartibli Lodning umumiy yechimi, agar bu tenglamaning ikkita chiziqli mustaqil qisman yechimi ma'lum bo'lsa, oson aniqlanadi. Oddiy usul L. Eyler tomonidan taklif qilingan doimiy koeffitsientli tenglamaning qisman yechimlarini topish uchun..gif" width="25" height="26 src=">, xarakteristik deb ataladigan algebraik tenglamani olamiz:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> faqat k ning o'sha qiymatlari uchun (5.1) tenglamaning yechimi bo'ladi. bular xarakterli tenglamaning ildizlari (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src="> va umumiy yechim (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83" height="26 src=">. Bu funksiya (5.1)..gif" width="190" height="26 src="> tenglamani qanoatlantirishini tekshirib ko'ramiz (5.1) tenglamaga kirsak, olamiz
https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, chunki..gif" width="137" height="26 src= ">.
Maxsus echimlar https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> chiziqli mustaqil, chunki..gif" width="166" balandligi ="26 src=">.gif" eni="45" balandligi="25 src=">..gif" kengligi="65" balandligi="33 src=">.gif" kengligi="134" balandligi = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.
Bu tenglikning chap tomonidagi ikkala qavs ham bir xil nolga teng..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> - bu (5.1) tenglama yechimi ..gif" width="129" height="25 src="> quyidagicha bo'ladi:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)
umumiy yechim yig'indisi sifatida taqdim etiladi https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)
va har qanday maxsus yechim https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> (6.1)..gif" tenglamasining yechimi bo'ladi. width="272" height="25 src="> f(x). Bu tenglik o'ziga xoslikdir, chunki..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Shuning uchun.gif" width="85" height="25 src=">.gif" eni ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> bu tenglamaning chiziqli mustaqil yechimlaridir. Shunday qilib:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src="> va bunday determinant, biz yuqorida ko'rganimizdek, nolga teng emas..gif" width="19" height="25 src="> tizimdan. tenglamalar (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src" ="> tenglamani echadi
https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> tenglamaga (6.5), biz olamiz
https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)
bu erda https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> tenglama (7.1) o'ng tomoni f(x) bo'lganda ) maxsus shaklga ega bu usul noaniq koeffitsientlar usuli deb ataladi va o'ng tomonning turiga qarab ma'lum bir yechimni tanlashdan iborat. Quyidagi shaklning o'ng tomonlarini ko'rib chiqing.
1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, nolga teng bo'lishi mumkin. Keling, bu holatda ma'lum bir yechim qabul qilinishi kerak bo'lgan shaklni ko'rsatamiz.
a) Agar raqam https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25" bo'lsa. src =>>.
Yechim.
Tenglama uchun https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src" = ">..gif" kengligi="101" balandligi="25 src=">.gif" kengligi="153" balandligi="25 src=">.gif" kengligi="383" balandligi="25 src= " >.
Ikkala qismni ham tenglikning chap va o'ng tomonida https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> ga qisqartiramiz.
https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">
Olingan tenglamalar tizimidan biz quyidagilarni topamiz: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src="> va berilganlarning umumiy yechimi. tenglama:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,
qaerda https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.
Yechim.
Tegishli xarakterli tenglama quyidagi shaklga ega:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Yakuniy umumiy yechim uchun quyidagi ifodaga egamiz:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> zo'r noldan. Keling, bu holda alohida yechim turini ko'rsatamiz.
a) Agar raqam https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,
bu yerda https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> - tenglama uchun xarakteristik tenglamaning ildizi (5..gif" kengligi = "229" balandligi = "25 src=">,
qaerda https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.
Yechim.
Tenglama uchun xarakteristik tenglamaning ildizlari https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" balandligi ="25 src=">.
3-misolda keltirilgan tenglamaning o'ng tomoni maxsus shaklga ega: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src=" ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.
Aniqlash uchun https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src="" > va uni berilgan tenglamaga almashtiring:
Shunga o'xshash shartlarni keltirib, koeffitsientlarni https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" balandligida tenglashtirish = "25 src=">.
Berilgan tenglamaning yakuniy umumiy yechimi: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47" Tegishli ravishda " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> va bu ko'phadlardan biri nolga teng bo'lishi mumkin, bu umumiy holatda alohida yechim turini ko'rsatamiz .
a) Agar raqam https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)
qaerda https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.
b) Agar https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src="> raqami bo'lsa, u holda lndu uchun maxsus yechim quyidagicha ko'rinadi:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. Ifodada (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.
4-misol. Tenglama uchun maxsus yechim turini ko'rsating
https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Lodu uchun umumiy yechim quyidagi shaklga ega:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.
Keyingi koeffitsientlar https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src="" > o'ng tomoni f1(x) va Variatsiya" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">ixtiyoriy konstantalarning o'zgarishi (Lagrange usuli) bilan tenglama uchun maxsus yechim mavjud.
O'zgarmas koeffitsientli va maxsus erkin shartli tenglamadan tashqari, tenglamaning ma'lum bir yechimini to'g'ridan-to'g'ri topish juda qiyin. Shuning uchun tenglamaning umumiy yechimini topish uchun odatda ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli qo'llaniladi, bu esa har doim mos keladigan bir jinsli tenglamaning asosiy echimlar tizimi ma'lum bo'lsa, kvadratlarda tenglamaning umumiy echimini topishga imkon beradi. . Bu usul quyidagicha.
Yuqoridagilarga ko'ra, chiziqli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> - konstantalar emas, balki f(x) ning hali noma'lum bo'lgan ba'zi funktsiyalari. . intervaldan olinishi kerak. Aslida, bu holda, Vronski determinanti intervalning barcha nuqtalarida, ya'ni butun fazoda - xarakterli tenglamaning kompleks ildizi..gif" width="20" height="25 src="> nolga teng emas. shaklning chiziqli mustaqil qisman yechimlari:
Umumiy yechim formulasida bu ildiz shaklning ifodasiga mos keladi.
Ushbu maqolada biz doimiy koeffitsientli chiziqli bir hil ikkinchi tartibli differentsial tenglamalarni yechish tamoyillarini ko'rib chiqamiz, bu erda p va q ixtiyoriy haqiqiy sonlardir. Birinchidan, nazariyaga to'xtalib o'tamiz, keyin olingan natijalarni misollar va muammolarni hal qilishda qo'llaymiz.
Agar siz notanish atamalarga duch kelsangiz, differentsial tenglamalar nazariyasining ta'riflari va tushunchalari bo'limiga murojaat qiling.
LOD ning umumiy yechimini qanday shaklda topish kerakligini ko'rsatadigan teoremani tuzamiz.
Teorema.
X integrasiya intervalida uzluksiz koeffitsientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi chiziqli birikma bilan aniqlanadi. 
, Qayerda 
X dagi LDE ning chiziqli mustaqil qisman yechimlari va ixtiyoriy doimiylardir.
Shunday qilib, doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi y 0 =C 1 ⋅y 1 +C 2 ⋅y 2 ko'rinishga ega bo'lib, bu erda y 1 va y 2 qisman chiziqli mustaqil echimlar va C 1. va C 2 ixtiyoriy doimiylardir. y 1 va y 2 qisman yechimlarni qanday topishni o'rganish qoladi.
Eyler shaklda maxsus echimlarni izlashni taklif qildi.
Agar biz doimiy koeffitsientli ikkinchi darajali LDE ning qisman yechimini olsak, bu yechimni tenglamaga almashtirganda, biz o'ziga xoslikni olishimiz kerak: 
Shunday qilib, biz shunday nom oldik xarakterli tenglama doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir hil differensial tenglama. Ushbu xarakteristik tenglamaning k 1 va k 2 yechimlari doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli LODE ning qisman yechimlarini aniqlaydi.
p va q koeffitsientlariga qarab xarakteristik tenglamaning ildizlari quyidagicha bo'lishi mumkin:
Birinchi holda Dastlabki differensial tenglamaning chiziqli mustaqil qisman yechimlari va , doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli LODE ning umumiy yechimi .
Funktsiyalar va, albatta, chiziqli mustaqildir, chunki Wronski determinanti har qanday haqiqiy x uchun nolga teng emas.
Ikkinchi holatda alohida yechimlardan biri funksiyadir. Ikkinchi maxsus yechim sifatida biz qabul qilamiz. Keling, doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli LODE ning aniq yechimi nima ekanligini ko'rsatamiz va y 1 va y 2 ning chiziqli mustaqilligini isbotlaymiz.
k 1 = k 0 va k 2 = k 0 xarakteristik tenglamaning bir xil ildizlari bo'lgani uchun u ko'rinishga ega. Shuning uchun asl chiziqli bir jinsli differentsial tenglama hisoblanadi. Keling, uni almashtiramiz va tenglama identifikatsiyaga aylanishiga ishonch hosil qilamiz: 
Shunday qilib, bu asl tenglamaning maxsus yechimidir.
Funksiyalarning chiziqli mustaqilligini ko'rsatamiz va . Buning uchun biz Wronski determinantini hisoblaymiz va uning noldan farqli ekanligiga ishonch hosil qilamiz. 
Xulosa: doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli LODElarning chiziqli mustaqil qisman yechimlari va , va umumiy yechim uchun mavjud.
Uchinchi holatda bizda LDE va ning bir juft murakkab qisman yechimlari mavjud. Umumiy yechim quyidagicha yoziladi 
. Ushbu maxsus echimlar ikkita haqiqiy funktsiya bilan almashtirilishi mumkin 
va , haqiqiy va xayoliy qismlarga mos keladi. Agar umumiy yechimni o'zgartirsak, buni aniq ko'rish mumkin dan formulalar yordamida kompleks o'zgaruvchining funksiya nazariyasi turi: 
bu erda C 3 va C 4 ixtiyoriy doimiylardir.
Shunday qilib, keling, nazariyani umumlashtiramiz.
Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimini topish algoritmi.
Keling, har bir holat uchun misollarni ko'rib chiqaylik.
Misol.
Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimini toping 
.