Barcha integrallar jadvali. Asosiy integratsiya usullari

Antiderivativlar jadvali ("integrallar"). Integrallar jadvali. Jadvalli noaniq integrallar. (Parametrli eng oddiy integrallar va integrallar). Qismlar bo'yicha integratsiya uchun formulalar. Nyuton-Leybnits formulasi.

Qismlar bo'yicha integratsiya uchun formulalar. Integratsiya qoidalari.

Hosilalar jadvali. Jadvalli hosilalar. Mahsulotning hosilasi. Bo'limning hosilasi. Murakkab funktsiyaning hosilasi.

Agar x mustaqil o'zgaruvchi bo'lsa, u holda:

Logarifmlarning xossalari. Logarifmlar uchun asosiy formulalar. O'nlik (lg) va natural logarifmlar (ln).

Natural logarifm ln (e ga logarifm = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Teylor seriyasi. Funksiyaning Teylor qator kengayishi.

Ma'lum bo'lishicha, ko'pchilik amalda duch kelgan Matematik funktsiyalar ma'lum bir nuqtaga yaqin joyda o'zgaruvchining kuchlarini o'sish tartibida o'z ichiga olgan darajalar qatori shaklida har qanday aniqlik bilan ifodalanishi mumkin. Masalan, x=1 nuqtaga yaqin joyda:

Seriyadan foydalanilganda chaqiriladi Teylor qatorlari, algebraik, trigonometrik va eksponensial funktsiyalarni o'z ichiga olgan aralash funktsiyalarni sof algebraik funktsiyalar sifatida ifodalash mumkin. Seriyalardan foydalanib, tez-tez farqlash va integratsiyani tezda amalga oshirishingiz mumkin.

A nuqtaga yaqin joylashgan Teylor qatori quyidagi shaklga ega:

1) , bu yerda f(x) funksiya x=a da barcha tartibli hosilalarga ega. R n - Teylor qatoridagi qolgan had ifoda bilan aniqlanadi

2)

Seriyaning k-koeffitsienti (x k da) formula bilan aniqlanadi

3) Teylor seriyasining alohida holati Maklaurin (=McLaren) seriyasidir (kengayish a=0 nuqta atrofida sodir bo'ladi)

a=0 da

qator a'zolari formula bilan aniqlanadi

Teylor seriyasidan foydalanish shartlari.

1. f(x) funksiya (-R;R) oraliqda Teylor qatoriga kengaytirilishi uchun buning uchun Teylor (Maklaurin (=McLaren)) formulasidagi qolgan had zarur va yetarli. funktsiya belgilangan intervalda (-R;R) k →∞ sifatida nolga intiladi.

2. Biz Teylor qatorini qurmoqchi bo'lgan yaqin nuqtada berilgan funksiya uchun hosilalar mavjud bo'lishi kerak.

Teylor seriyasining xossalari.

Agar f analitik funktsiya bo'lsa, u holda f ning aniqlanish sohasining istalgan a nuqtasida uning Teylor qatori a ning qaysidir qo'shnisida f ga yaqinlashadi.

Cheksiz differensiallanuvchi funksiyalar mavjudki, ularning Teylor qatorlari yaqinlashadi, lekin ayni paytda a ning istalgan qo‘shnisidagi funksiyadan farq qiladi. Masalan:

Teylor qatorlari funktsiyani polinomlar orqali yaqinlashtirishda (yaqinlashma ba'zi ob'ektlarni u yoki bu ma'noda asl ob'ektlarni boshqalar bilan almashtirishdan iborat bo'lgan ilmiy usul bo'lib, lekin soddaroq) qo'llaniladi. Xususan, linearizatsiya ((linearisdan - chiziqli), yopiq chiziqli bo'lmagan tizimlarni taxminiy ko'rsatish usullaridan biri bo'lib, unda chiziqli bo'lmagan tizimni o'rganish chiziqli tizimni tahlil qilish bilan almashtiriladi, qaysidir ma'noda asl tizimga teng. .) tenglamalar Teylor qatoriga kengayib, birinchi tartibdan yuqori barcha shartlarni kesib tashlash orqali yuzaga keladi.

Shunday qilib, deyarli har qanday funktsiya berilgan aniqlik bilan ko'phad sifatida ifodalanishi mumkin.

Maklaurin seriyalarida (=McLaren, Teylor 0 nuqta yaqinida) va 1 nuqta yaqinidagi Teylorda quvvat funksiyalarining ba'zi umumiy kengayishlariga misollar. Teylor va Maklaren qatorlarida asosiy funktsiyalarni kengaytirishning birinchi shartlari.

Maklaurin seriyasidagi quvvat funktsiyalarining ba'zi keng tarqalgan kengayishlariga misollar (=McLaren, Teylor 0 nuqtasi yaqinida)

1-bandga yaqin joyda ba'zi keng tarqalgan Teylor qator kengayishlariga misollar

Antihosil funksiya va noaniq integral

Fakt 1. Integratsiya - bu differentsiatsiyaning teskari harakati, ya'ni funktsiyani ushbu funktsiyaning ma'lum hosilasidan tiklash. Funktsiya shu tarzda tiklandi F(x) deyiladi antiderivativ funktsiya uchun f(x).

Ta'rif 1. Funktsiya F(x f(x) ma'lum bir oraliqda X, agar barcha qiymatlar uchun x bu oraliqdan boshlab tenglik amal qiladi F "(x)=f(x), ya'ni bu funktsiya f(x) antiderivativ funktsiyaning hosilasidir F(x). .

Masalan, funktsiya F(x) = gunoh x funksiyaning antiderivatividir f(x) = cos x butun son qatorida, chunki x ning istalgan qiymati uchun (gunoh x)" = (cos x) .

Ta'rif 2. Funktsiyaning noaniq integrali f(x) uning barcha antiderivativlari to'plamidir. Bunday holda, belgi qo'llaniladi

∫

f(x)dx

belgisi qayerda ∫ integral belgisi, funksiya deb ataladi f(x) – integral funksiya, va f(x)dx - integral ifodasi.

Shunday qilib, agar F(x) - uchun ba'zi antiderivativ f(x), Bu

∫

f(x)dx = F(x) +C

Qayerda C - ixtiyoriy doimiy (doimiy).

Funksiyaning noaniq integral sifatidagi antiderivativlar to'plamining ma'nosini tushunish uchun quyidagi o'xshashlik mos keladi. Eshik bo'lsin (an'anaviy yog'och eshik). Uning vazifasi "eshik bo'lish". Eshik nimadan yasalgan? Yog'ochdan yasalgan. Bu shuni anglatadiki, "eshik bo'lish" funksiyasi integralining antiderivativlari to'plami, ya'ni uning noaniq integrali "daraxt + C bo'lish" funktsiyasidir, bu erda C doimiy bo'lib, bu kontekstda mumkin. masalan, daraxt turini bildiradi. Eshik ba'zi asboblar yordamida yog'ochdan yasalgani kabi, funktsiyaning hosilasi antiderivativ funktsiyadan "yasaladi". hosilani o'rganayotganda biz o'rgangan formulalar .

Keyin umumiy ob'ektlar va ularga mos keladigan antiderivativlarning funktsiyalari jadvali ("eshik bo'lish" - "daraxt bo'lish", "qoshiq bo'lish" - "metall bo'lish" va boshqalar) asosiy jadvalga o'xshaydi. noaniq integrallar, ular quyida keltiriladi. Noaniq integrallar jadvalida bu funksiyalar "yasalgan" antiderivativlar ko'rsatilgan umumiy funktsiyalar ro'yxati keltirilgan. Noaniq integralni topishga oid masalalarning bir qismida to'g'ridan-to'g'ri ko'p kuch sarflamasdan, ya'ni noaniq integrallar jadvalidan foydalanib integrallash mumkin bo'lgan integrallar berilgan. Murakkabroq masalalarda jadval integrallaridan foydalanish uchun avvalo integralni o'zgartirish kerak.

Fakt 2. Funksiyani antiderivativ sifatida tiklashda biz ixtiyoriy konstantani (doimiy) hisobga olishimiz kerak. C, va 1 dan cheksizgacha bo'lgan turli konstantalarga ega bo'lgan antiderivativlar ro'yxatini yozmaslik uchun ixtiyoriy doimiyga ega bo'lgan antiderivativlar to'plamini yozish kerak. C, masalan, shunday: 5 x³+C. Demak, ixtiyoriy konstanta (doimiy) antiderivativning ifodasiga kiradi, chunki antiderivativ funktsiya bo'lishi mumkin, masalan, 5. x³+4 yoki 5 x³+3 va farqlanganda 4 yoki 3 yoki boshqa har qanday doimiy nolga aylanadi.

Keling, integratsiya muammosini qo'yaylik: bu funktsiya uchun f(x) bunday funktsiyani toping F(x), kimning hosilasi ga teng f(x).

1-misol. Funktsiyaning anti hosilalari to'plamini toping

Yechim. Bu funksiya uchun antiderivativ funksiya hisoblanadi

Funktsiya F(x) funksiya uchun antiderivativ deyiladi f(x), hosila bo'lsa F(x) ga teng f(x), yoki, bir xil narsa, differentsial F(x) teng f(x) dx, ya'ni.

(2)

Demak, funktsiya funktsiyaga qarshi hosiladir. Biroq, bu yagona antiderivativ emas. Ular, shuningdek, funktsiyalarni bajaradilar

Qayerda BILAN- ixtiyoriy doimiy. Buni farqlash orqali tekshirish mumkin.

Shunday qilib, agar funktsiya uchun bitta antiderivativ mavjud bo'lsa, u uchun doimiy had bilan farq qiluvchi cheksiz miqdordagi antiderivativlar mavjud. Funktsiya uchun barcha antiderivativlar yuqoridagi shaklda yozilgan. Bu quyidagi teoremadan kelib chiqadi.

Teorema (2-faktning rasmiy bayoni). Agar F(x) – funksiya uchun antiderivativ f(x) ma'lum bir oraliqda X, keyin uchun har qanday boshqa antiderivativ f(x) bir xil oraliqda shaklda ifodalanishi mumkin F(x) + C, Qayerda BILAN- ixtiyoriy doimiy.

Keyingi misolda noaniq integral xossalaridan keyin 3-bandda keltirilgan integrallar jadvaliga murojaat qilamiz. Yuqoridagilarning mohiyati aniq bo'lishi uchun biz buni butun jadvalni o'qishdan oldin qilamiz. Jadval va xususiyatlardan keyin biz ularni integratsiya paytida to'liq ishlatamiz.

2-misol. Antiderivativ funktsiyalar to'plamini toping:

Yechim. Biz antiderivativ funktsiyalar to'plamini topamiz, ulardan bu funktsiyalar "yasalgan". Integrallar jadvalidagi formulalar haqida gapirganda, hozircha shunday formulalar borligini qabul qiling va biz noaniq integrallar jadvalini biroz ko'proq o'rganamiz.

1) Integrallar jadvalidan (7) formulani qo'llash n= 3, biz olamiz

2) uchun integrallar jadvalidan (10) formuladan foydalanish n= 1/3, bizda bor

3) beri

keyin (7) formulaga muvofiq n= -1/4 topamiz

Funktsiyaning o'zi emas, balki integral belgisi ostida yoziladi f, va uning mahsuloti differentsial bo'yicha dx. Bu, birinchi navbatda, antiderivativ qaysi o'zgaruvchi tomonidan qidirilayotganligini ko'rsatish uchun amalga oshiriladi. Masalan,

, ;

bu yerda ikkala holatda ham integrasiya ga teng, lekin ko'rib chiqilgan hollarda uning noaniq integrallari boshqacha bo'lib chiqadi. Birinchi holda, bu funktsiya o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida qaraladi x, ikkinchisida esa - funktsiyasi sifatida z .

Funktsiyaning noaniq integralini topish jarayoni shu funksiyani integrallash deyiladi.

Noaniq integralning geometrik ma'nosi

Aytaylik, egri chiziqni topishimiz kerak y=F(x) va biz allaqachon bilamizki, uning har bir nuqtasidagi tangens burchakning tangensi berilgan funktsiyadir f(x) bu nuqtaning absissasi.

Hosilning geometrik ma'nosiga ko'ra, egri chiziqning ma'lum bir nuqtasida tangensning moyillik burchagi tangensi. y=F(x) hosila qiymatiga teng F"(x). Shunday qilib, biz bunday funktsiyani topishimiz kerak F(x), buning uchun F"(x)=f(x). Vazifada talab qilinadigan funksiya F(x) ning antiderivatividir f(x). Muammoning shartlari bir egri chiziq bilan emas, balki egri chiziqlar oilasi tomonidan qanoatlantiriladi. y=F(x)- shunday egri chiziqlardan biri va undan boshqa har qanday egri chiziqni o'q bo'ylab parallel ko'chirish orqali olish mumkin Oy.

ning anti hosilasi funksiyasining grafigini chaqiraylik f(x) integral egri chiziq. Agar F"(x)=f(x), keyin funksiya grafigi y=F(x) integral egri chiziq mavjud.

Fakt 3. Noaniq integral geometrik jihatdan barcha integral egri chiziqlar turkumi bilan ifodalanadi. , quyidagi rasmda bo'lgani kabi. Har bir egri chiziqning koordinatalar kelib chiqishidan masofasi ixtiyoriy integrasiya konstantasi bilan aniqlanadi C.

Noaniq integralning xossalari

Fakt 4. Teorema 1. Noaniq integralning hosilasi integralga, differentsiali esa integralga teng.

Fakt 5. Teorema 2. Funksiya differentsialining noaniq integrali f(x) funksiyaga teng f(x) doimiy muddatgacha , ya'ni.

(3)

1 va 2 teoremalar differentsiallash va integrasiya o‘zaro teskari amallar ekanligini ko‘rsatadi.

Fakt 6. Teorema 3. Integranddagi doimiy omilni noaniq integral belgisidan chiqarish mumkin. , ya'ni.

Integratsiya matematik tahlilning asosiy operatsiyalaridan biridir. Ma'lum bo'lgan antiderivativlar jadvallari foydali bo'lishi mumkin, ammo hozirda, kompyuter algebra tizimlari paydo bo'lgandan so'ng, ular o'z ahamiyatini yo'qotmoqda. Quyida eng keng tarqalgan primitivlar ro'yxati keltirilgan.

Asosiy integrallar jadvali

Boshqa, ixcham variant

Trigonometrik funksiyalarning integrallari jadvali

Ratsional funktsiyalardan

Irratsional funktsiyalardan

Transsendental funktsiyalarning integrallari

"C" ixtiyoriy integrasiya konstantasi bo'lib, u integralning istalgan nuqtadagi qiymati ma'lum bo'lsa aniqlanadi. Har bir funktsiya cheksiz miqdordagi antiderivativlarga ega.

Ko'pgina maktab o'quvchilari va talabalar integrallarni hisoblashda muammolarga duch kelishadi. Ushbu sahifa o'z ichiga oladi integral jadvallar hal qilishda yordam beradigan trigonometrik, ratsional, irratsional va transsendental funktsiyalardan. Losmalar jadvali ham sizga yordam beradi.

Video - integrallarni qanday topish mumkin

>>Integratsiya usullari

Asosiy integratsiya usullari

Integral ta'rifi, aniq va noaniq integral, integrallar jadvali, Nyuton-Leybnits formulasi, qismlar bo'yicha integrallash, integrallarni hisoblash misollari.

Noaniq integral

Berilgan X oraliqda differentsiallanuvchi F(x) funksiya deyiladi funktsiyaning antiderivativi f(x) yoki f(x) ning integrali, agar har bir x ∈X uchun quyidagi tenglik bajarilsa:

F "(x) = f(x). (8.1)

Berilgan funksiya uchun barcha antiderivativlarni topish uning deyiladi integratsiya. Noaniq integral funksiya f(x) berilgan oraliqda X - f(x) funksiya uchun barcha antiderivativ funksiyalar to'plami; belgilash -

Agar F(x) f(x) funksiyaning qandaydir anti hosilasi bo'lsa, u holda ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

bu erda C ixtiyoriy doimiydir.

Integrallar jadvali

To'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan biz noaniq integralning asosiy xususiyatlarini va jadvalli integrallar ro'yxatini olamiz:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Jadvalli integrallar ro'yxati

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arktan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

O'zgaruvchan almashtirish

Ko'p funktsiyalarni birlashtirish uchun o'zgaruvchini almashtirish usuli yoki foydalaning almashtirishlar, integrallarni jadval shakliga keltirish imkonini beradi.

Agar f(z) funksiya [a,b] da uzluksiz bo‘lsa, z =g(x) funksiya uzluksiz hosilaga va a ≤ g(x) ≤ b bo‘lsa, u holda

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Bundan tashqari, o'ng tomonda integrallashgandan so'ng, z=g(x) almashtirish amalga oshirilishi kerak.

Buni isbotlash uchun asl integralni quyidagi shaklda yozish kifoya:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Masalan:

1)

2) .

Qismlar bo'yicha integratsiya usuli

u = f(x) va v = g(x) funksiyalar uzluksiz ga ega bo'lsin. Keyin, ishga ko'ra,

d(uv))= udv + vdu yoki udv = d(uv) - vdu.

d(uv) ifodasi uchun antiderivativ shubhasiz uv bo'ladi, shuning uchun formula shunday bo'ladi:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Bu formula qoidani ifodalaydi qismlar bo'yicha integratsiya. U udv=uv"dx ifodasini vdu=vu"dx ifodasining integrasiyasiga olib keladi.

Masalan, siz ∫xcosx dx ni topmoqchisiz. Keling, u = x, dv = cosxdx, demak, du=dx, v=sinx. Keyin

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Qismlar bo'yicha integratsiya qoidasi o'zgaruvchilarni almashtirishdan ko'ra cheklanganroq doiraga ega. Ammo integrallarning butun sinflari mavjud, masalan,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax va boshqalar bo‘lib, ular qismlar bo‘yicha integrallash yordamida aniq hisoblanadi.

Aniq integral

Aniq integral tushunchasi quyidagicha kiritiladi. F(x) funksiya oraliqda aniqlansin. [a,b] segmentini ajratamiz n a= x 0 nuqtalar bo'yicha qismlar< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
D x i =x i - x i-1. f(p i)D x i ko'rinishdagi yig'indisi deyiladi integral yig'indisi, va uning l = maxDx i → 0 da chegarasi, agar u mavjud bo‘lsa va chekli bo‘lsa, deyiladi. aniq integral f(x) ning funksiyalari a oldin b va belgilanadi:

F(p i)Dx i (8.5).

Bu holda f(x) funksiya chaqiriladi oraliqda integrallash mumkin, a va b raqamlari chaqiriladi integralning pastki va yuqori chegaralari.

Aniq integral uchun quyidagi xususiyatlar to'g'ri keladi:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(l)(b-a) (l∈).

Oxirgi xususiyat deyiladi o'rtacha qiymat teoremasi.

f(x) uzluksiz bo'lsin. Keyin bu segmentda noaniq integral mavjud

∫f(x)dx = F(x) + C

va sodir bo'ladi Nyuton-Leybnits formulasi, aniq integralni noaniq integral bilan bog'lash:

F(b) - F(a). (8.6)

Geometrik talqin: aniq integral yuqoridan y=f(x) egri chizigʻi, x=a va x=b toʻgʻri chiziqlari va oʻq segmenti bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning maydonidir. ho'kiz.

Noto'g'ri integrallar

Cheksiz chegarali integrallar va uzluksiz (cheklanmagan) funksiyalarning integrallari deyiladi. sizniki emas. Birinchi turdagi noto'g'ri integrallar - Bular cheksiz oraliqdagi integrallar bo'lib, quyidagicha aniqlanadi:

(8.7)

Agar bu chegara mavjud bo'lsa va cheklangan bo'lsa, u deyiladi f(x) ning konvergent noto'g'ri integrali[a,+ ∞) oraliqda va f(x) funksiya chaqiriladi cheksiz oraliqda integrallash mumkin[a,+ ∞). Aks holda, integral shunday deyiladi mavjud emas yoki farqlanadi.

(-∞,b] va (-∞, + ∞) oraliqlaridagi noto'g'ri integrallar xuddi shunday aniqlanadi:

Cheklanmagan funksiyaning integrali tushunchasini aniqlaymiz. Agar f(x) barcha qiymatlar uchun uzluksiz bo'lsa x segment , f(x) cheksiz uzilishga ega bo'lgan c nuqtadan tashqari, keyin ikkinchi turdagi noto'g'ri integrali f(x) a dan b gacha miqdori deyiladi:

agar bu chegaralar mavjud bo'lsa va cheklangan bo'lsa. Belgilanishi:

Integral hisoblarga misollar

3.30-misol.∫dx/(x+2) ni hisoblang.

Yechim. t = x+2 ni belgilaymiz, keyin dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

3.31-misol. ∫ tgxdx ni toping.

Yechim.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. t=cosx bo‘lsin, u holda ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Yechim.

Misol3.33. Toping.

Yechim. =

.

Misol3.34 . ∫arctgxdx ni toping.

Yechim. Keling, qismlar bo'yicha birlashaylik. u=arctgx, dv=dx ni belgilaymiz. U holda du = dx/(x 2 +1), v=x, qaerdan ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; chunki
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Misol3.35 . ∫lnxdx ni hisoblang.

Yechim. Qismlar bo'yicha integratsiyani qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Keyin ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Misol3.36 . ∫e x sinxdx ni hisoblang.

Yechim. u = e x, dv = sinxdx, keyin du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx ni belgilaymiz. Shuningdek, ∫e x cosxdx integralini qismlarga ajratamiz: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Bizda ... bor:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Biz ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx munosabatini oldik, undan 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Misol 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/x ni hisoblang.

Yechim. Chunki dx/x = dlnx, u holda J= ∫cos(lnx)d(lnx). lnx ni t ga almashtirsak, J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C integrali jadvaliga kelamiz.

Misol 3.38 . J = ni hisoblang.

Yechim.= d(lnx) ekanligini hisobga olib, lnx = t ni almashtiramiz. Keyin J = .