Mexanik tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teorema. Harakat miqdori

§1. Tizim impulsi (tizim impulsi)

Harakat miqdori (tana impulsi) - vektor fizik miqdori tananing massasi va tezligining mahsulotiga teng:

Impuls (harakat miqdori) tananing yoki jismlar tizimining harakatining eng asosiy xususiyatlaridan biridir.

II yozamiz Nyuton qonuni bu tezlanishni hisobga olgan holda boshqa shaklda Keyin shuning uchun

Kuchning mahsuloti va uning ta'sir qilish vaqti tananing impuls o'sishiga teng:

Qayerda- kuch impulsi, bu kuchning natijasi nafaqat uning qiymatiga, balki uning ta'sir qilish davomiyligiga ham bog'liqligini ko'rsatadi.

Tizimning harakat miqdori (impuls) vektor miqdori deb ataladi , tizimning barcha nuqtalarining harakat (impuls) miqdorlarining geometrik yig'indisiga (asosiy vektor) teng. (2-rasm):

Chizmadan ko'rinib turibdiki, tizim nuqtalarining tezliklari qiymatlaridan qat'i nazar (agar bu tezliklar parallel bo'lmasa), vektorvektorlardan qurilgan ko'pburchak har qanday qiymatlarni qabul qilishi va hatto nolga teng bo'lishi mumkin, yopiladi. Shuning uchun, o'lchamdatizim harakatining mohiyatini to'liq hukm qilish mumkin emas.

2-rasm. Tizim harakati miqdori

§2. Impulsning o'zgarishi haqidagi teorema (impuls)

Massasi m bo'lgan jismga ma'lum bir qisqa vaqt davomida Dt ta'sir qilsin, bu kuch ta'sirida tananing tezligi ga o'zgaradi Shunday qilib, Dt vaqt davomida tana tezlanish bilan harakat qildi:

Dinamikaning asosiy qonunidan(Nyutonning ikkinchi qonuni) quyidagicha:

§3. Impulsning saqlanish qonuni (impulsning saqlanish qonuni)

Tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teoremadan quyidagi muhim xulosalarni olish mumkin:

1) Yopiq tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlar yig'indisi nolga teng bo'lsin:

Keyin tenglamadan. Bundan Q = = degan xulosa kelib chiqadi const. Shunday qilib, agar yopiq tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda tizimning impuls (impulsi) vektori kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'ladi.

2) Tizimga ta'sir etuvchi tashqi kuchlar shunday bo'lsinki, ularning qandaydir o'qqa proyeksiyalari yig'indisi (masalan, HAQIDA x ) nolga teng:

Keyin tenglamadan.bu holatda shundan kelib chiqadiQx= const. Shunday qilib, agar barcha ta'sir etuvchi tashqi kuchlarning har qanday o'qqa proyeksiyalari yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda tizimning harakat miqdori (impulsi) ning bu o'qga proyeksiyasi doimiy qiymatdir.

Bu natijalar ifodalanadi Tizim impulsining saqlanish qonuni: yopiq tizimni tashkil etuvchi jismlar o'rtasidagi o'zaro ta'sirning har qanday tabiati uchun ushbu tizimning umumiy momentum vektori doimo doimiy bo'lib qoladi.

Ulardan kelib chiqadiki, ichki kuchlar tizimning umumiy harakat miqdorini o'zgartira olmaydi.

Izolyatsiya qilingan sistemaning umumiy impulsning saqlanish qonuni tabiatning universal qonunidir. Keyinchalik umumiy holatda, tizim yopiq bo'lmaganda, danshundan kelib chiqadiki, ochiq tsiklli tizimning umumiy impulsi doimiy bo'lib qolmaydi. Uning vaqt birligidagi o'zgarishi barcha tashqi kuchlarning geometrik yig'indisiga teng.

Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik:

a) Orqaga qaytish yoki ortga qaytish hodisasi. Agar miltiq va o'qni bitta tizim deb hisoblasak, u holda otish paytida kukun gazlarining bosimi ichki kuch bo'ladi. Bu kuch tizimning umumiy momentumini o'zgartira olmaydi. Ammo o'qga ta'sir qiluvchi kukun gazlari unga oldinga yo'naltirilgan ma'lum miqdordagi harakatni berganligi sababli, ular miltiqqa bir vaqtning o'zida qarama-qarshi yo'nalishda bir xil miqdordagi harakatni berishi kerak. Bu miltiqning orqaga qarab harakatlanishiga olib keladi, ya'ni. qaytish deb ataladigan narsa. Xuddi shunday hodisa qurolni otishda (orqaga qaytish) sodir bo'ladi.

b) Pervanelning (parvona) ishlashi. Pervanel pervanelning o'qi bo'ylab ma'lum bir havo massasiga (yoki suvga) harakat qiladi va bu massani orqaga tashlaydi. Agar biz tashlangan massani va samolyotni (yoki kemani) bitta tizim deb hisoblasak, pervanel va atrof-muhit o'rtasidagi o'zaro ta'sir kuchlari ichki kuchlar sifatida ushbu tizimning umumiy harakat miqdorini o'zgartira olmaydi. Shuning uchun, havo (suv) massasi orqaga tashlanganda, samolyot (yoki kema) mos keladigan oldinga tezlikni oladi, shuning uchun ko'rib chiqilayotgan tizimning umumiy harakati nolga teng bo'lib qoladi, chunki u oldin nolga teng edi. harakat boshlandi.

Shunga o'xshash ta'sir eshkaklar yoki eshkak eshish g'ildiraklarining harakati bilan erishiladi.

c) reaktiv harakat. Raketada yoqilg'ining gazsimon yonish mahsulotlari raketaning dumidagi teshikdan (reaktiv dvigatelning nozulidan) yuqori tezlikda chiqariladi. Bu holda harakat qiluvchi bosim kuchlari ichki kuchlar bo'ladi va ular raketa tizimining umumiy harakat miqdorini - yoqilg'i yonish mahsulotlarini o'zgartira olmaydi. Ammo qochib ketgan gazlar orqaga yo'naltirilgan ma'lum miqdordagi harakatga ega bo'lganligi sababli, raketa mos keladigan oldinga tezlikni oladi.

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar:

Sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teorema qanday tuzilgan?

Mexanik sistemaning impuls momentining o’zgarishi haqidagi teoremaning differensial va integral ko’rinishdagi matematik ifodasini yozing.

Qaysi holatda mexanik tizimning impulsi o'zgarmaydi?

Cheklangan vaqt oralig'ida o'zgaruvchan kuchning impulsi qanday aniqlanadi? Kuchli impuls nima bilan tavsiflanadi?

Doimiy va o‘zgaruvchan kuch impulslarining koordinata o‘qlaridagi proyeksiyalari qanday?

Natijaning impulsi nima?

Aylana bo‘ylab bir tekis harakatlanuvchi nuqtaning impulsi qanday o‘zgaradi?

Mexanik tizimning impulsi qanday?

Og'irlik markazidan o'tuvchi qo'zg'almas o'q atrofida aylanayotgan mahovning impulsi qanday?

Mexanik tizimning impulsi qanday sharoitlarda o'zgarmaydi? Qanday sharoitlarda uning ma'lum bir o'qqa proyeksiyasi o'zgarmaydi?

Nima uchun qurol otilganda orqaga qaytib ketadi?

Ichki kuchlar tizimning impulsini yoki uning bir qismining impulsini o'zgartira oladimi?

Raketaning erkin harakat tezligini qanday omillar aniqlaydi?

Raketaning oxirgi tezligi yoqilg'ining yonish vaqtiga bog'liqmi?

Ko'rinish: Maqola 23264 marta o'qildi

Pdf Til tanlang... Ruscha ukraincha inglizcha

Qisqa sharh

To'liq material tilni tanlagandan so'ng yuqorida yuklab olinadi

Materiallar nuqtalarining mexanik tizimi yoki jismlar - ularning shunday yig'indisi bo'lib, unda har bir nuqtaning (yoki jismning) holati va harakati boshqalarning pozitsiyasi va harakatiga bog'liq.
Moddiy jism shu jismni tashkil etuvchi moddiy nuqtalar (zarralar) tizimi sifatida qaraladi.
Tashqi kuchlar tomonidan mexanik tizimning nuqtalari yoki jismlariga ushbu tizimga tegishli bo'lmagan nuqtalar yoki jismlardan ta'sir qiladigan kuchlar.
Ichki kuchlar tomonidan, bir xil tizimning nuqtalari yoki jismlaridan mexanik tizimning nuqtalari yoki jismlariga ta'sir qiluvchi kuchlar, ya'ni. ular bilan berilgan tizimning nuqtalari yoki jismlari bir-biri bilan o'zaro ta'sir qiladi.
Tizimning tashqi va ichki kuchlari, o'z navbatida, faol va reaktiv bo'lishi mumkin
Tizimning og'irligi Yagona tortishish maydonidagi tizimning barcha nuqtalari yoki jismlari massalarining algebraik yig'indisiga teng, buning uchun tananing har qanday zarrasining og'irligi uning massasiga proportsionaldir. Shuning uchun tanadagi massalarning taqsimlanishini uning og'irlik markazining joylashuvi - geometrik nuqta bilan aniqlash mumkin. BILAN, uning koordinatalari mexanik tizimning massa markazi yoki inersiya markazi deb ataladi
Mexanik sistemaning massalar markazining harakati haqidagi teorema: mexanik tizimning massa markazi massasi tizim massasiga teng bo'lgan va tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlar qo'llaniladigan moddiy nuqta sifatida harakat qiladi.
Xulosa:

Mexanik tizim yoki qattiq jismni kattaligiga emas, balki uning harakatining xususiyatiga qarab moddiy nuqta deb hisoblash mumkin.
Massalar markazining harakati haqidagi teoremada ichki kuchlar hisobga olinmaydi.
Massalar markazining harakati haqidagi teorema mexanik tizimning aylanish harakatini emas, balki faqat translyatsion harakatini tavsiflaydi.

Tizimning massa markazi harakatining saqlanish qonuni:
1. Agar tashqi kuchlar yig’indisi (asosiy vektor) doimo nolga teng bo’lsa, mexanik sistemaning massa markazi tinch holatda yoki bir tekis va to’g’ri chiziqli harakat qiladi.
2. Agar barcha tashqi kuchlarning har qanday o'qqa proyeksiyalari yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda tizimning massa markazining tezligining bir xil o'qga proyeksiyasi doimiy qiymatdir.

Impulsning o'zgarishi haqidagi teorema.

Moddiy nuqtaning harakat miqdori va nuqta massasi va uning tezligi vektorining mahsulotiga teng vektor kattalikdir.
Impulsning o'lchov birligi (kg m / s).
Mexanik tizim impulsi- sistemaning barcha nuqtalari impulsining geometrik yig'indisiga (asosiy vektor) teng vektor kattalik Yoki tizimning impulsi butun tizim massasi va uning massa markazi tezligining ko'paytmasiga teng.
Agar tana (yoki tizim) uning massa markazi harakatsiz bo'ladigan tarzda harakat qilsa, u holda tananing harakat miqdori nolga teng bo'ladi (masalan, jismning massa markazidan o'tadigan sobit o'q atrofida aylanishi). tanasi).
Agar tananing harakati murakkab bo'lsa, u holda massa markazi atrofida aylanayotganda harakatning aylanish qismini tavsiflamaydi. Ya'ni, harakat miqdori faqat tizimning translatsiya harakatini (massa markazi bilan birga) tavsiflaydi.
Impuls kuchi kuchning ma'lum vaqtdagi harakatini tavsiflaydi.
Cheklangan vaqt davri uchun kuch impulsi mos keladigan elementar impulslarning integral yig'indisi sifatida aniqlanadi.
Moddiy nuqta impulsining o'zgarishi haqidagi teorema:
(differensial shaklda): Moddiy nuqta impulsining vaqt bo'yicha hosilasi nuqtalarga ta'sir qiluvchi kuchlarning geometrik yig'indisiga teng.
(integral shaklda): Muayyan vaqt oralig'ida impulsning o'zgarishi bir vaqtning o'zida bir nuqtaga qo'llaniladigan kuchlar impulslarining geometrik yig'indisiga teng.

Mexanik tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teorema
(differensial shaklda): Tizim impulsining vaqt hosilasi tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning geometrik yig'indisiga teng.
(integral shaklda): ma'lum vaqt oralig'ida tizim impulsining o'zgarishi xuddi shu vaqt ichida tashqi kuchlar tizimiga ta'sir qiluvchi impulslarning geometrik yig'indisiga teng.
Teorema aniq noma'lum ichki kuchlarni ko'rib chiqishdan chiqarib tashlashga imkon beradi.
Mexanik tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teorema va massalar markazining harakati haqidagi teorema bir xil teoremaning ikki xil ko'rinishidir.
Tizim impulsining saqlanish qonuni.

Agar tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda tizim momentumining vektori yo'nalish va kattalik bo'yicha doimiy bo'ladi.
Agar barcha ta'sir etuvchi tashqi kuchlarning har qanday ixtiyoriy o'qqa proyeksiyalari yig'indisi nolga teng bo'lsa, impulsning bu o'qga proyeksiyasi doimiy qiymatdir.

Saqlanish qonunlari shuni ko'rsatadiki, ichki kuchlar tizimning umumiy harakat miqdorini o'zgartira olmaydi.

Mexanik tizimga ta'sir qiluvchi kuchlarning tasnifi
Ichki kuchlarning xossalari
Tizim massasi. Massa markazi
Mexanik tizim harakatining differensial tenglamalari
Mexanik sistemaning massalar markazining harakati haqidagi teorema
Tizimning massa markazi harakatining saqlanish qonuni
Impulsning o'zgarishi teoremasi
Tizim impulsining saqlanish qonuni

Til: rus, ukrain

Hajmi: 248K

Tishli uzatmani hisoblash misoli
Tishli uzatmani hisoblash misoli. Materialni tanlash, ruxsat etilgan kuchlanishlarni hisoblash, aloqa va bükme kuchini hisoblash amalga oshirildi.

Nurni egish masalasini yechish misoli
Misolda, ko'ndalang kuchlar va egilish momentlarining diagrammalari tuzilgan, xavfli uchastka topilgan va I-nur tanlangan. Muammo differensial bog'liqliklardan foydalangan holda diagrammalarni qurishni tahlil qildi va nurning turli kesimlarining qiyosiy tahlilini o'tkazdi.

Milning burilish muammosini echish misoli
Vazifa - berilgan diametrda, materialda va ruxsat etilgan kuchlanishda po'lat milning mustahkamligini tekshirish. Yechish vaqtida momentlar, kesish kuchlanishlari va burilish burchaklarining diagrammalari tuziladi. Milning o'z vazni hisobga olinmaydi

Rodning kuchlanish-siqish masalasini yechish misoli
Vazifa - belgilangan ruxsat etilgan kuchlanishlarda po'lat novda mustahkamligini tekshirish. Yechish jarayonida uzunlamasına kuchlar, normal kuchlanish va siljishlar diagrammalari tuziladi. Rodning o'z vazni hisobga olinmaydi

Kinetik energiyaning saqlanish teoremasini qo'llash
Mexanik sistemaning kinetik energiyasini saqlanish teoremasi yordamida masalani yechish misoli

Berilgan harakat tenglamalari yordamida nuqtaning tezligi va tezlanishini aniqlash
Berilgan harakat tenglamalari yordamida nuqtaning tezligi va tezlanishini aniqlash masalasini yechish misoli

Tekis-parallel harakat paytida qattiq jism nuqtalarining tezliklari va tezlanishlarini aniqlash.
Tekis-parallel harakat paytida qattiq jism nuqtalarining tezligi va tezlanishlarini aniqlash masalasini yechish misoli.

Tizimning harakatlanish miqdori sistemaning barcha moddiy nuqtalari harakat miqdorlarining geometrik yig'indisi deb ataladi

(70) ning jismoniy ma'nosini aniqlash uchun (64) ning hosilasini hisoblaylik.

. (71)

(70) va (71) ni birgalikda yechib, biz hosil qilamiz

. (72)

Shunday qilib, mexanik tizimning impuls vektori tizimning massasi va uning massa markazi tezligining mahsuloti bilan aniqlanadi..

(72) ning hosilasini hisoblaymiz.

. (73)

(73) va (67) ni birgalikda yechib, biz hosil qilamiz

. (74)

(74) tenglama quyidagi teoremani ifodalaydi.

Teorema: Tizim impuls vektorining vaqt hosilasi tizimning barcha tashqi kuchlarining geometrik yig'indisiga teng.

Muammolarni yechishda (74) tenglamani koordinata o'qlariga proyeksiya qilish kerak:

. (75)

(74) va (75) tahlilidan quyidagilar ko'rinadi: sistema impulsining saqlanish qonuni: Agar tizimning barcha kuchlarining yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda uning impuls vektori kattaligi va yo'nalishini saqlab qoladi.

Agar
, Bu
,Q = const . (76)

Muayyan holatda bu qonun koordinata o'qlaridan biri bo'ylab bajarilishi mumkin.

Agar
, Bu, Q z = const. (77)

Tizimga suyuqlik va gazsimon jismlar kiritilgan hollarda impulsning o'zgarishi haqidagi teoremadan foydalanish maqsadga muvofiqdir.

Mexanik sistemaning burchak impulsining o'zgarishi haqidagi teorema

Harakat miqdori faqat harakatning translyatsion komponentini tavsiflaydi. Jismning aylanish harakatini tavsiflash uchun tizimning berilgan markazga (kinetik moment) nisbatan asosiy burchak momenti tushunchasi kiritilgan.

Tizimning kinetik momenti berilgan markazga nisbatan uning barcha nuqtalarining bir xil markazga nisbatan harakat miqdorlari momentlarining geometrik yig‘indisi.

. (78)

(22) ni koordinata o‘qlariga proyeksiya qilib, koordinata o‘qlariga nisbatan kinetik momentning ifodasini olishimiz mumkin.

. (79)

Tananing o'qlarga nisbatan kinetik momenti jismning bu o'qqa nisbatan inersiya momenti va jismning burchak tezligi ko'paytmasiga teng

. (80)

(80) dan kelib chiqadiki, kinetik moment faqat harakatning aylanish komponentini xarakterlaydi.

Kuchning aylanish harakatining xarakteristikasi uning aylanish o'qiga nisbatan momentidir.

Burchak impulsining o'zgarishi haqidagi teorema aylanish harakatining xarakteristikasi va bu harakatni keltirib chiqaradigan kuch o'rtasidagi munosabatni o'rnatadi.

Teorema: Tizimning ba'zi markazga nisbatan burchak momentum vektorining vaqt hosilasi tizimning barcha tashqi kuchlari momentlarining geometrik yig'indisiga teng.xuddi shu markaz

. (81)

Muhandislik masalalarini echishda (81) koordinata o'qlari bo'yicha loyihalash kerak

Ularning (81) va (82) tahlillari nazarda tutadi burchak momentumining saqlanish qonuni: Agar markazga (yoki o'qqa) nisbatan barcha tashqi kuchlarning momentlari yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda tizimning ushbu markazga (yoki o'qga) nisbatan kinetik momenti o'zining kattaligi va yo'nalishini saqlab qoladi.

yoki

Kinetik momentni tizimning ichki kuchlari ta'sirida o'zgartirish mumkin emas, lekin bu kuchlar tufayli inersiya momentini va shuning uchun burchak tezligini o'zgartirish mumkin.

Xuddi bitta moddiy nuqta uchun bo'lgani kabi, biz tizim uchun impulsning o'zgarishi to'g'risidagi teoremani turli shakllarda olamiz.

Tenglamani o'zgartiramiz (mexanik tizimning massa markazining harakati haqidagi teorema)

quyida bayon qilinganidek:

;

Olingan tenglama mexanik tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani differensial shaklda ifodalaydi: mexanik tizim impulsining vaqtga nisbatan hosilasi tizimga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning asosiy vektoriga teng. .

Dekart koordinata o'qlariga proyeksiyalarda:

; ; .

Vaqt o'tishi bilan oxirgi tenglamalarning ikkala tomonining integrallarini olib, biz mexanik tizim impulsining integral ko'rinishidagi o'zgarishi haqida teorema olamiz: mexanik tizim impulsining o'zgarishi asosiy vektor impulsiga teng. tizimga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlar .

Yoki Dekart koordinata o'qlariga proyeksiyalarda:

; ; .

Teoremadan xulosalar (impulsning saqlanish qonunlari)

Impulsning saqlanish qonuni tashqi kuchlar tizimining xususiyatlariga qarab sistema uchun impulsning o'zgarishi haqidagi teoremaning maxsus holatlari sifatida olinadi. Ichki kuchlar har qanday bo'lishi mumkin, chunki ular impulsning o'zgarishiga ta'sir qilmaydi.

Ikkita mumkin bo'lgan holatlar mavjud:

1. Agar tizimga taalluqli barcha tashqi kuchlarning vektor yig‘indisi nolga teng bo‘lsa, sistemaning harakat miqdori kattaligi va yo‘nalishi bo‘yicha doimiy bo‘ladi.

2. Agar tashqi kuchlarning asosiy vektorining har qanday koordinata o'qiga proyeksiyasi va/yoki va/yoki nolga teng bo'lsa, u holda impulsning xuddi shu o'qlarga proyeksiyasi doimiy qiymatdir, ya'ni. va/yoki va/yoki mos ravishda.

Xuddi shunday yozuvlar moddiy nuqta uchun ham, moddiy nuqta uchun ham amalga oshirilishi mumkin.

Vazifa. Massasi bo'lgan quroldan M, massali snaryad gorizontal yo'nalishda uchadi m tezlik bilan v. Tezlikni toping V o'q otishdan keyin qurol.

Yechim. Mexanik qurol-raketa tizimiga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlar vertikaldir. Bu shuni anglatadiki, tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teoremaning natijasiga asoslanib, bizda: .

Otishdan oldin mexanik tizimning harakat miqdori:

Otishdan keyin mexanik tizimning harakat miqdori:

Ifodalarning o'ng tomonlarini tenglashtirib, biz buni olamiz

Olingan formuladagi "-" belgisi o'q otgandan so'ng qurol o'qga qarama-qarshi yo'nalishda qaytib ketishini ko'rsatadi. ho'kiz.

O'RNAK 2. Ko'ndalang kesimi F bo'lgan quvurdan zichlikdagi suyuqlik oqimi V tezlikda oqadi va vertikal devorga burchak ostida uriladi. Devordagi suyuqlik bosimini aniqlang.

YECHIMA. Massasi bo'lgan suyuqlik hajmiga integral ko'rinishdagi impulsning o'zgarishi haqidagi teoremani qo'llaymiz. m ma'lum vaqt ichida devorga urish t.

MESHCHERSKIY TENGLASHISHI

(massasi o'zgaruvchan jism dinamikasining asosiy tenglamasi)

Zamonaviy texnologiyada nuqta va tizimning massasi harakat paytida doimiy qolmasligi, balki o'zgarishi holatlari paydo bo'ladi. Shunday qilib, masalan, kosmik raketalarning parvozi paytida, yonish mahsulotlari va raketalarning alohida keraksiz qismlarining otilishi tufayli massa o'zgarishi umumiy boshlang'ich qiymatning 90-95% ga etadi. Ammo nafaqat kosmik texnologiya o'zgaruvchan massa harakati dinamikasiga misol bo'la oladi. To'qimachilik sanoatida mashinalar va mashinalarning zamonaviy ish tezligida turli xil shpindellar, bobinlar, rulolar massasida sezilarli o'zgarishlar mavjud.

O'zgaruvchan massali jismning translatsiya harakati misolidan foydalanib, massa o'zgarishi bilan bog'liq bo'lgan asosiy xususiyatlarni ko'rib chiqaylik. Dinamikaning asosiy qonunini o'zgaruvchan massali jismga to'g'ridan-to'g'ri qo'llash mumkin emas. Shuning uchun, sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani qo'llagan holda, o'zgaruvchan massali nuqta harakatining differentsial tenglamalarini olamiz.

Nuqta massaga ega bo'lsin m+dm tezlikda harakat qiladi. Keyin nuqtadan massali ma'lum bir zarra ajratiladi dm tezlikda harakatlanadi.

Zarracha chiqishidan oldin tananing harakat miqdori:

Jismdan va ajralgan zarrachadan tashkil topgan tizimning ajralgandan keyingi harakat miqdori:

Keyin impulsning o'zgarishi:

Tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teoremaga asoslanib:

Keling, miqdorni - zarrachaning nisbiy tezligini belgilaymiz:

belgilaylik

Hajmi R reaktiv kuch deb ataladi. Reaktiv kuch - bu ko'krakdan gazning chiqishi natijasida yuzaga keladigan dvigatelning surish kuchi.

Nihoyat, olamiz

Bu formula o'zgaruvchan massali jism dinamikasining asosiy tenglamasini ifodalaydi (Meshcherskiy formulasi). Oxirgi formuladan kelib chiqadiki, o'zgaruvchan massali nuqta harakatining differensial tenglamalari, massa o'zgarishi tufayli nuqtaga qo'llaniladigan qo'shimcha reaktiv kuchdan tashqari, doimiy massali nuqta bilan bir xil shaklga ega.

O'zgaruvchan massali jismning dinamikasi uchun asosiy tenglama shuni ko'rsatadiki, bu jismning tezlashishi nafaqat tashqi kuchlar, balki reaktiv kuch tufayli ham hosil bo'ladi.

Reaktiv kuch - otgan odam sezadigan kuchga o'xshash kuch - to'pponchadan o'q otishda qo'l bilan seziladi; Miltiqdan o'q otishda u yelka tomonidan seziladi.

Tsiolkovskiyning birinchi formulasi (bir bosqichli raketa uchun)

O'zgaruvchan massali nuqta yoki raketa faqat bitta reaktiv kuch ta'sirida to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlansin. Ko'pgina zamonaviy reaktiv dvigatellar uchun , bu erda vosita dizayni (dvigatelning surish kuchi) tomonidan ruxsat etilgan maksimal reaktiv kuch; - yer yuzasida joylashgan dvigatelga ta'sir qiluvchi tortishish kuchi. Bular. yuqoridagilar Meshcherskiy tenglamasidagi komponentni e'tiborsiz qoldirishga va ushbu tenglamani keyingi tahlil qilish uchun qabul qilishga imkon beradi: ,

Belgilaymiz:

Yoqilg'i zaxirasi (suyuq reaktiv dvigatellar uchun - raketaning quruq massasi (barcha yoqilg'i yoqilgandan keyin qolgan massasi);

Raketadan ajratilgan zarrachalar massasi; dan gacha oʻzgarib turadigan oʻzgaruvchan qiymat sifatida qaraladi.

O'zgaruvchan massali nuqtaning to'g'ri chiziqli harakati tenglamasini quyidagi shaklda yozamiz:

Raketaning o'zgaruvchan massasini aniqlash formulasi bo'lgani uchun

Demak, nuqtaning harakat tenglamalari Ikkala tomonning integrallarini olamiz

Qaerda - xarakterli tezlik- bu raketadan barcha zarrachalar otilib chiqqandan so'ng (suyuq reaktiv dvigatellar uchun - barcha yoqilg'i yonib ketganidan keyin) raketaning surish ta'sirida erishadigan tezligi.

Integral belgisidan tashqarida joylashgan (bu oliy matematikadan ma'lum bo'lgan o'rtacha qiymat teoremasi asosida amalga oshirilishi mumkin) raketadan chiqarilgan zarrachalarning o'rtacha tezligi.

va mexanik tizim

Moddiy nuqtaning impulsi mexanik harakatning vektor o'lchovidir, bu nuqta massasi va tezligining mahsulotiga teng, . SI tizimida impulsning o'lchov birligi
. Mexanik tizimning harakat miqdori tizimni tashkil etuvchi barcha moddiy nuqtalarning harakat miqdori yig'indisiga teng:

. (5.2)

Olingan formulani o'zgartiramiz

Formula bo'yicha (4.2)
, Shunung uchun

Shunday qilib, mexanik tizimning impulsi uning massasi va massa markazining tezligi mahsulotiga teng:

. (5.3)

Tizimning harakat miqdori uning faqat bitta nuqtasi (massa markazi) harakati bilan aniqlanganligi sababli, u tizim harakatining to'liq xarakteristikasi bo'la olmaydi. Haqiqatan ham, tizimning har qanday harakati uchun, uning massa markazi harakatsiz qolganda, tizimning impulsi nolga teng. Masalan, bu qattiq jism uning massa markazidan o'tuvchi sobit o'q atrofida aylanganda sodir bo'ladi.

Keling, mos yozuvlar tizimini joriy qilaylik Cxyz, mexanik tizimning massa markazida kelib chiqishiga ega BILAN va inertial sistemaga nisbatan translyatsion harakat
(5.1-rasm). Keyin har bir nuqtaning harakati
murakkab deb hisoblash mumkin: o'qlar bilan birga ko'chma harakat Cxyz va bu o'qlarga nisbatan harakat. O'qlarning progressiv harakati tufayli Cxyz har bir nuqtaning ko'chma tezligi tizimning massa markazining tezligiga teng bo'lib, (5.3) formula bo'yicha aniqlangan tizimning harakat miqdori faqat uning translyatsion ko'chma harakatini tavsiflaydi.

5.3. Impuls kuchi

Kuchning ma'lum bir vaqt oralig'idagi harakatini tavsiflash uchun kattalik deyiladi kuch impulsi . Quvvatning elementar impulsi - bu kuch ta'sirining vektor o'lchovi, uning ta'sirining elementar vaqt oralig'i bo'yicha kuchning mahsulotiga teng:

. (5.4)

Kuch impulsining SI birligi
, ya'ni. Kuch impulsi va impulsning o'lchamlari bir xil.

Cheklangan vaqt oralig'idagi kuch impulsi
elementar impulsning ma'lum bir integraliga teng:

. (5.5)

Doimiy kuchning impulsi kuch va uning ta'sir qilish vaqtining mahsulotiga teng:

. (5.6)

Umuman olganda, kuch impulsini uning koordinata o'qlariga proyeksiyalari bilan aniqlash mumkin:

. (5.7)

5.4. Impulsning o'zgarishi teoremasi

moddiy nuqta

Dinamikaning asosiy tenglamasida (1.2) moddiy nuqtaning massasi doimiy kattalik, uning tezlanishi
, bu esa ushbu tenglamani quyidagi shaklda yozishga imkon beradi:

. (5.8)

Olingan munosabatlar bizga shakllantirishga imkon beradi moddiy nuqta impulsining o'zgarishi haqidagi teorema differensial shaklda: Moddiy nuqta impulsining vaqt hosilasi nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchlarning geometrik yig'indisiga (bosh vektor) teng..

Endi bu teoremaning integral shaklini olamiz. (5.8) munosabatdan shunday xulosa kelib chiqadi

Keling, tenglikning ikkala tomonini vaqt momentlariga mos keladigan chegaralar ichida integrallashaylik Va ,

. (5.9)

O'ng tomondagi integrallar nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchlarning impulslarini ifodalaydi, shuning uchun chap tomonni integrallashdan keyin biz olamiz

. (5.10)

Shunday qilib isbotlangan moddiy nuqta impulsining o'zgarishi haqidagi teorema integral shaklda: Moddiy nuqta impulsining ma’lum vaqt oralig‘idagi o‘zgarishi shu vaqt oralig‘ida nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlar impulslarining geometrik yig‘indisiga teng..

(5.10) vektor tenglamasi koordinata o'qlariga proyeksiyalarda uchta tenglamalar tizimiga mos keladi:

;

; (5.11)

1-misol. Tana ufq bilan a burchak hosil qiluvchi eğimli tekislik bo'ylab translyatsion harakat qiladi. Dastlabki vaqtda u tezlikka ega edi , eğimli tekislik bo'ylab yuqoriga yo'naltirilgan (5.2-rasm).

Qaysi vaqtdan keyin ishqalanish koeffitsienti teng bo'lsa, tananing tezligi nolga teng bo'ladi f ?

Moddiy nuqta sifatida tarjima harakatlanuvchi jismni olaylik va unga ta'sir qiluvchi kuchlarni ko'rib chiqamiz. Bu tortishish
, oddiy tekislik reaktsiyasi va ishqalanish kuchi . Keling, o'qni yo'naltiramiz x qiya tekislik bo'ylab yuqoriga qarab tizimning 1-tenglamasini yozing (5.11)

bu yerda harakat miqdorlarining proyeksiyalari va doimiy kuchlar impulslarining proyeksiyalari
,Va kuchlar proektsiyalari va harakat vaqti mahsulotiga teng:

Jismning tezlanishi qiya tekislik bo'ylab yo'naltirilganligi sababli, o'qga proyeksiyalar yig'indisi y jismga ta'sir qiluvchi barcha kuchlar nolga teng:
, shundan kelib chiqadiki
. Ishqalanish kuchini topamiz

va (5.12) tenglamadan olamiz

u erdan biz tananing harakatlanish vaqtini aniqlaymiz