Determinantlar va matritsalar nazariyasi elementlari. Annotatsiya: Matritsalar va aniqlovchilar nazariyasi

Yaxshi ishingizni bilimlar bazasiga yuborish oddiy. Quyidagi shakldan foydalaning

Talabalar, aspirantlar, bilimlar bazasidan o‘z o‘qishlarida va ishlarida foydalanayotgan yosh olimlar sizdan juda minnatdor bo‘lishadi.

Determinantlar nazariyasining elementlari

Aniqlovchi - bu ma'lum qoidalarga muvofiq hisoblangan, kvadrat raqamlar jadvali shaklida yozilgan son.

Misol uchun, (1.1) jadvallarning har biri teng miqdordagi qator va ustunlardan iborat bo'lib, hisoblash qoidalari quyida muhokama qilinadigan raqamni ifodalaydi.

Qator va ustunlar soni determinantning tartibini belgilaydi. Demak, 1.1a) determinant uchinchi tartib, 1.1b) ikkinchi tartib, 1.1c) birinchi tartib. Ko'rib turganingizdek, birinchi tartibli determinant sonning o'zi.

Jadvalning chetlaridagi tekis vertikal qavslar determinantning belgisi va belgisidir. Determinant yunon alifbosining bosh harfi bilan ko'rsatilganmi? (delta).

Umumiy shaklda n-tartib aniqlovchi quyidagicha yoziladi:

Har bir element A ij determinant ikkita indeksga ega: birinchi indeks i qator raqamini ko'rsatadi, ikkinchi j- element joylashgan chorrahadagi ustunning raqami. Shunday qilib, determinant 1.1a) elementlar uchun A 11 , A 22 , A 23 , A 32 mos ravishda 2, 5, 4, 3 ga teng.

2-tartibli determinant formula yordamida hisoblanadi

2-tartibli determinant asosiy diagonaldagi elementlarning ko'paytmasi minus ikkilamchi diagonaldagi elementlarning ko'paytmasiga teng.

3-tartibli determinantni hisoblash uchun "uchburchak usuli" va Sarrus usuli qo'llaniladi. Ammo odatda amalda 3-darajali determinantni hisoblash uchun samarali tartibni qisqartirish deb ataladigan usul qo'llaniladi, bu quyida muhokama qilinadi.

Uchburchak usuli

Bu usul yordamida determinantni hisoblashda uning grafik tasviridan foydalanish qulay. Shaklda. 1.1 va 1.2, 3-tartibli determinantning elementlari sxematik nuqtalar bilan ifodalangan.

Guruch. 1.1-rasm. 1.2

Determinantni hisoblashda to'g'ri chiziqlar bilan bog'langan elementlarning mahsuloti rasmdagi diagrammaga amal qiladi. 1.1, ortiqcha belgisi bilan va shakldagi diagramma bo'yicha ulangan elementlarning mahsulotini oling. 1.2, minus belgisi bilan oling. Ushbu harakatlar natijasida hisoblash uchun ishlatiladigan formula quyidagi shaklni oladi:

3-tartibli determinantni hisoblang.

Sarrus usuli

Uni amalga oshirish uchun siz determinantning o'ng tomonidagi dastlabki ikkita ustunni belgilashingiz, asosiy diagonalda va unga parallel chiziqlarda joylashgan elementlarning mahsulotlarini tuzishingiz va ularni ortiqcha belgisi bilan olishingiz kerak. Keyin yon diagonalda va unga parallel joylashgan elementlarning mahsulotlarini minus belgisi bilan tuzing.

Sarrus usuli yordamida determinantni hisoblash sxemasi.

1.2-misolda berilgan determinantni Sarrus usuli yordamida hisoblang.

Determinant elementning minor va algebraik to'ldiruvchisi

Kichik M ij element A ij determinant deb ataladi ( n-1) -aniqlovchidan olingan tartib n-chizilgan tartib i-chi qator va j th ustun (ya'ni, element joylashgan chorrahadagi qator va ustunni kesib o'tish orqali A ij).

Elementlarning kichik qismini toping A 23 Va A 34 4-darajali determinant.

Element A 23 2-qator va 3-ustunda joylashgan. Ushbu misolda A 23 =4. Ushbu elementning kesishmasida 2-qator va 3-ustunni kesib o'tamiz (uslubiy maqsadlarda vertikal va gorizontal nuqtali chiziqlar bilan ko'rsatilgan), biz ushbu elementning kichik M 23 ni olamiz. Bu allaqachon uchinchi darajali determinant bo'ladi.

Voyaga etmaganlarni hisoblashda qator va ustunni kesib tashlash operatsiyasi aqliy ravishda amalga oshiriladi. Buni bajarib, biz olamiz

Algebraik to‘ldiruvchi A ij element A ij aniqlovchi n 1-tartib bu elementning minori bo'lib, (-1) belgisi bilan olinadi. i + j, Qayerda i+ j- element tegishli bo'lgan satr va ustun raqamlari yig'indisi A ij. Bular. a-prior A ij=(-1) i + jM ij

Agar miqdori aniq bo'lsa i+ j- u holda raqam juft bo'ladi A ij=M ij, Agar i+ j- demak, raqam g'alati A ij= - M ij.

Aniqlovchi uchun elementlarning algebraik to‘ldiruvchilarini toping A 23 Va A 31 .

Element uchun A 23 i=2, j=3 va i+ j=5 toq son, shuning uchun

Element uchun A 31 i=3, j=1 va i+ j=4 - juft son, ya'ni

Determinantlarning xossalari

1. Aniqlovchida har qanday ikkita parallel satr (ikki qator yoki ikkita ustun) almashtirilsa, aniqlovchining ishorasi teskari tomonga o'zgaradi.

2 ta parallel ustunni almashtiring (1 va 2).

2 ta parallel chiziqni almashtiring (1 va 3).

2. Har qanday satr (satr yoki ustun) elementlarining umumiy koeffitsienti aniqlovchi belgisidan chiqarilishi mumkin.

Determinantning xossalari nolga teng

3. Agar determinantdagi ma'lum qatorning barcha elementlari nolga teng bo'lsa, bunday aniqlovchi nolga teng.

4. Agar determinantda har qanday qatorning elementlari parallel qator elementlariga proporsional bo'lsa, determinant nolga teng.

Aniqlovchining o'zgarmasligi (o'zgarmasligi) xususiyatlari.

5. Aniqlovchidagi satr va ustunlar almashtirilsa, aniqlovchi o'zgarmaydi.

6. Har qanday parallel qatorning elementlari har qanday qatorning elementlariga qo‘shilsa, avval ma’lum songa ko‘paytirilsa, aniqlovchi o‘zgarmaydi.

6-xususiyat determinantlarni hisoblashda samarali tartibni qisqartirish usuli deb ataladigan usuldan keng foydalaniladi. Ushbu usulni qo'llashda bittadan tashqari barcha elementlarni bir qatorda (bitta satr yoki ustun) nolga keltirish kerak. Determinantning nolga teng bo'lmagan elementi, agar u bir xil kattalikdagi, ammo qarama-qarshi ishorali songa qo'shilsa, nolga teng bo'ladi.

Buning qanday amalga oshirilishini misol bilan ko'rsatamiz.

2 va 6 xossalardan foydalanib, determinantni istalgan qatorda ikkita nolga ega bo'lgan determinantga keltiring.

2-xususiyatdan foydalanib, umumiy omillar sifatida 1-qatordan 2 tani, 2-qatordan 4 tani va 3-qatordan 2 tani olib tashlash orqali aniqlovchini soddalashtiramiz.

Chunki element A 22 nolga teng bo'lsa, masalani hal qilish uchun 2-qator yoki 2-ustundagi istalgan elementni nolga tushirish kifoya. Buning bir necha usullari mavjud.

Masalan, elementni olaylik A 21 =2 dan nolga. Buning uchun 6-xususiyaga asoslanib, butun uchinchi ustunni (-2) ga ko'paytiring va birinchisiga qo'shing. Ushbu operatsiyani bajarib, biz olamiz

Elementni nol qilish mumkin A 12 =2, keyin ikkinchi ustunda nolga teng ikkita elementni olamiz. Buning uchun siz 3-qatorni (-2) ga ko'paytirishingiz va olingan qiymatlarni birinchi qatorga qo'shishingiz kerak.

Har qanday tartibning determinantini hisoblash

Har qanday tartibning determinantini hisoblash qoidasi Laplas teoremasiga asoslanadi.

Laplas teoremasi

Aniqlovchi har qanday satr (satr yoki ustun) elementlarining algebraik to'ldiruvchilari bo'yicha juft ko'paytmalari yig'indisiga teng.

Ushbu teoremaga ko'ra, determinantni har qanday satr yoki ustunning elementlari bo'yicha parchalash orqali hisoblash mumkin.

Umuman olganda, n-tartibli determinantni quyidagi usullar bilan kengaytirish va hisoblash mumkin:

Determinantni Laplas teoremasidan foydalanib, uni 3-qator elementlariga va 1-ustun elementlariga ajratish orqali hisoblang.

Determinantni 3-chiziq bo'ylab kengaytirib hisoblaymiz

Determinantni birinchi ustun ustiga kengaytirib hisoblaylik

Buyurtmani kamaytirishning samarali usuli

Laplas teoremasi yordamida determinantni hisoblashning murakkabligi, agar uning kengayishi qator yoki ustunda faqat bitta had bo'lsa, sezilarli darajada kamroq bo'ladi. Agar determinant kengaytirilgan qatorda (yoki ustunda) bittadan tashqari barcha elementlar nolga teng bo'lsa, bunday kengayish olinadi. Determinantning elementlarini "nollash" usuli avvalroq muhokama qilingan.

Tartibni kamaytirishning samarali usuli yordamida determinantni hisoblang.

Chunki 3-tartibning determinanti, keyin biz determinantning har qanday 2 elementini "nol" qilamiz. Buning uchun elementi bo'lgan 2-ustunni olish qulay A 22 = - 1. Element uchun tartibda A 21 nolga teng edi, 1-ustun 2-ga qo'shilishi kerak. Element uchun A 23 nolga teng edi, 2-ustunni 2 ga ko'paytirish va 3-ga qo'shish kerak. Ushbu amallarni bajargandan so'ng, berilgan aniqlovchi aniqlovchiga aylantiriladi

Endi biz ushbu determinantni 2-chiziq bo'ylab kengaytiramiz

Determinantni hisoblashuni uchburchak shaklida kesib oling

Asosiy diagonaldan yuqori yoki pastdagi barcha elementlar nolga teng bo'lgan determinantga uchburchak determinant deyiladi. Bunday holda, determinant uning asosiy diagonal elementlarining mahsulotiga teng bo'ladi.

Determinantni uchburchak shaklga qisqartirish har doim uning xususiyatlaridan kelib chiqqan holda mumkin.

Determinant berilgan. Uni uchburchak shaklga keltiring va hisoblang.

Masalan, asosiy diagonal ustida joylashgan barcha elementlarni "noldan chiqaramiz". Buning uchun siz uchta operatsiyani bajarishingiz kerak: 1-operatsiya - birinchi qatorni oxirgi bilan qo'shing, biz olamiz A 13 = 0. 2-operatsiya - oxirgi qatorni (-2) ga ko'paytirish va 2-ga qo'shish, biz olamiz A 23 = 0. Bu amallarning ketma-ket bajarilishi quyida ko'rsatilgan.

Elementni qayta o'rnatish uchun A 12 1 va 2 qatorlarni qo'shing

Matritsalar nazariyasi elementlari

Matritsa - bu raqamlar jadvali yoki boshqa elementlardan iborat m chiziqlar va n ustunlar.

Matritsaning umumiy ko'rinishi

Matritsa, determinant kabi, qo'sh indeks bilan jihozlangan elementlarga ega. Indekslarning ma'nosi determinantlar bilan bir xil.

Agar determinant raqamga teng bo'lsa, matritsa boshqa oddiyroq ob'ektga tenglashtirilmaydi.

Matritsaning yon tomonlaridagi qavslar uning belgisi yoki belgisidir (lekin determinantni bildiruvchi tekis qavslar emas). Qisqartirish uchun matritsa bosh harflar bilan belgilanadi A, B, C va hokazo.

Matritsa qatorlar va ustunlar soni bilan belgilanadigan o'lchamga ega bo'lib, u quyidagicha yoziladi: A m n.

Masalan, 23 o'lchamli raqamli matritsa shaklga ega, 31 o'lchamli shaklga ega, 14 o'lchamli shaklga ega va hokazo.

Qatorlar soni ustunlar soniga teng bo'lgan matritsa kvadrat deyiladi. Bu holda, determinantlarga kelsak, biz matritsaning tartibi haqida gapiramiz.

Masalan, 3-tartibli raqamli matritsa shaklga ega

Matritsalar turlari

Bir qatordan iborat matritsa qatorli matritsa deyiladi

Bitta ustundan tashkil topgan matritsaga ustun matritsasi deyiladi

Matritsa kvadrat deb ataladi n-chi tartib, agar uning satrlari soni ustunlar soniga teng bo'lsa va teng bo'lsa n.

Masalan, 3-tartibli kvadrat matritsa.

Diagonal matritsa - bu asosiy diagonaldagilardan tashqari barcha elementlar nolga teng bo'lgan kvadrat matritsa. Asosiy diagonal yuqori chap burchakdan pastki o'ng burchakka o'tadigan diagonaldir.

Masalan, uchinchi tartibli diagonal matritsa.

Barcha elementlari bittaga teng bo'lgan diagonal matritsa o'ziga xoslik deb ataladi va harf bilan belgilanadi. E yoki 1 raqami

Null matritsa - bu barcha elementlari nolga teng bo'lgan matritsa.

Yuqori uchburchak matritsa - bu asosiy diagonal ostida joylashgan barcha elementlar nolga teng bo'lgan matritsa.

Pastki uchburchak matritsa - bu asosiy diagonal ustida joylashgan barcha elementlar nolga teng bo'lgan matritsa.

Masalan

Yuqori uchburchak matritsa

Pastki uchburchak matritsa

Agar matritsada bo'lsa A satrlarni ustunlar bilan almashtiramiz, biz belgi bilan belgilanadigan ko'chirilgan matritsani olamiz A*.

Masalan, berilgan matritsa,

unga nisbatan transpozitsiya qilingan matritsa A*

Kvadrat matritsa A det bilan belgilanadigan aniqlovchiga ega A(det - fransuzcha qisqartirilgan so'z bo'lib, "aniqlovchi").

Masalan, matritsa uchun A

uning determinantini yozamiz

Matritsaning determinanti bilan barcha amallar avval muhokama qilinganidek.

Determinanti nolga teng bo'lgan matritsa maxsus yoki degenerativ yoki birlik deyiladi. Determinanti nolga teng bo'lmagan matritsa birlik bo'lmagan yoki yagona bo'lmagan deyiladi.

Birlashma yoki qo'shilgan matritsa.

Agar berilgan kvadrat matritsa uchun A uning barcha elementlarining algebraik to'ldiruvchilarini aniqlang va keyin ularni ko'chiring, keyin shu tarzda olingan matritsa matritsaga ittifoq yoki qo'shni deb nomlanadi. A va belgisi bilan ko'rsatiladi A

Matritsani topish uchun A.

Matritsaning determinantini tuzish A

Determinantning barcha elementlarining algebraik to'ldiruvchilarini formuladan foydalanib aniqlaymiz

Olingan algebraik qo'shimchalarni ko'chirish orqali biz ittifoqdosh yoki qo'shilgan matritsani olamiz A berilgan matritsaga nisbatan A.

Matritsalar ustida amallar

Matritsa tengligi

Ikki matritsa A Va IN teng deb hisoblanadi, agar:

a) ikkalasining o'lchami bir xil;

b) bu matritsalarning mos elementlari bir-biriga teng. Tegishli elementlar bir xil indekslarga ega bo'lgan elementlardir.

Matritsalarni qo'shish va ayirish

Siz faqat bir xil o'lchamdagi matritsalarni qo'shishingiz va ayirishingiz mumkin. Ikki matritsaning yig'indisi (farqi). A Va IN uchinchi matritsa bo'ladi BILAN, kimning elementlari BILAN ij mos keladigan matritsa elementlarining yig'indisiga (farqiga) teng A Va IN. Ta'rifga ko'ra, matritsa elementlari BILAN qoidaga muvofiqdir.

Masalan, agar

Matritsalar yig'indisi (farqi) tushunchasi matritsalarning har qanday chekli soniga taalluqlidir. Bunday holda, matritsalar yig'indisi quyidagi qonunlarga bo'ysunadi:

a) kommutativ A + B = B + A;

b) assotsiativ BILAN + (A + B) = (B + C)+ A.

Matritsani raqamga ko'paytirish.

Matritsani raqamga ko'paytirish uchun matritsaning har bir elementini shu raqamga ko'paytirish kerak.

Natija. Barcha matritsa elementlarining umumiy omili matritsa belgisidan chiqarilishi mumkin.

Masalan, .

Ko'rib turganingizdek, matritsalarni qo'shish, ayirish va matritsani songa ko'paytirish amallari raqamlardagi amallarga o'xshaydi. Matritsalarni ko'paytirish - bu ma'lum bir operatsiya.

Ikki matritsaning mahsuloti.

Hamma matritsalarni ko'paytirib bo'lmaydi. Ikki matritsaning mahsuloti A Va IN sanab o'tilgan tartibda A IN faqat birinchi omil ustunlar soni mumkin A ikkinchi omil qatorlari soniga teng IN.

Masalan, .

Matritsa hajmi A 33, matritsa o'lchami IN 23. Ish A IN imkonsiz, ish IN A Balki.

Ikki A va B matritsalarning ko‘paytmasi uchinchi C matritsa bo‘lib, uning elementi C ij birinchi omilning i-qatori va ikkinchisining j- ustuni elementlarining juft ko‘paytmalari yig‘indisiga teng. omil.

Bu holda matritsalar ko'paytmasi mumkinligi ko'rsatildi IN A

Ikki matritsa ko'paytmasining mavjudligi qoidasidan kelib chiqadiki, umumiy holatda ikkita matritsaning mahsuloti kommutativ qonunga bo'ysunmaydi, ya'ni. A INDA? IN A. Agar ma'lum bir holatda shunday bo'lsa A B = B A, u holda bunday matritsalar almashtiriladigan yoki kommutativ deyiladi.

Matritsa algebrasida oddiy algebradan farqli o'laroq, faktor matritsalarining hech biri nolga teng bo'lmaganda ham ikkita matritsaning ko'paytmasi nol matritsa bo'lishi mumkin.

Masalan, matritsalar hosilasi topilsin A IN, Agar

Siz bir nechta matritsalarni ko'paytirishingiz mumkin. Agar siz matritsalarni ko'paytirsangiz A, IN va bu matritsalarning mahsulotini matritsaga ko'paytirish mumkin BILAN, keyin mahsulotni tuzish mumkin ( A IN) BILAN Va A(IN BILAN). Bunday holda, ko'paytirishga oid kombinatsiya qonuni sodir bo'ladi ( A IN) BILAN = A(IN BILAN).

teskari matritsa

Agar ikkita matritsa A Va IN bir xil o'lcham va ularning mahsuloti A IN bir xillik matritsasi E, u holda B matritsa A ga teskari deyiladi va belgilanadi. A -1 , ya'ni. A A -1 = E.

teskari matritsa A -1 birlashma matritsasining nisbatiga teng A matritsaning determinantiga A

Bundan ko'rinib turibdiki, teskari matritsa mavjud bo'lishi uchun A -1 matritsaning det bo'lishi zarur va etarli A? 0, ya'ni, shunday qilib, matritsa A degenerativ emas edi.

Matritsani topish uchun A -1 .

Matritsaning aniqlovchi qiymatini aniqlash A

Chunki det A? 0 bo'lsa, teskari matritsa mavjud. Misol 2.1. berilgan determinant uchun ittifoq matritsasi topildi

A-prior

Matritsa darajasi

Bir qator matematik va amaliy muammolarni hal qilish va o'rganish uchun matritsa darajasi tushunchasi muhim ahamiyatga ega.

Matritsani ko'rib chiqing A hajmi m n

Matritsada tasodifiy tanlang Ak chiziqlar va k ustunlar. Tanlangan satr va ustunlar kesishmasida joylashgan elementlar kvadrat matritsa hosil qiladi k- bu buyruqdan. Ushbu matritsaning determinanti minor deb ataladi k-matritsaning tartibi A. Tanlang k chiziqlar va k ustunlar turli yo'llar bilan ishlatilishi mumkin, buning natijasida turli xil voyaga etmaganlar k- bu buyruqdan. 1-tartibdagi voyaga etmaganlar elementlarning o'zlari. Shubhasiz, voyaga etmaganlarning mumkin bo'lgan eng katta tartibi raqamlarning eng kichigiga teng m Va n. Har xil tartibdagi shakllangan voyaga etmaganlar orasida nolga teng va nolga teng bo'lmaganlar bo'ladi.

Nolga teng bo'lmagan matritsaning eng yuqori tartibi A matritsaning darajasi deyiladi.

Matritsa darajasi A daraja bilan belgilanadi A yoki r( A).

Agar matritsa o'rinli bo'lsa A teng r, u holda bu matritsaning nolga teng bo'lmagan tartib minoriga ega ekanligini anglatadi r, lekin har bir voyaga etmagan kattaroq tartibda bo'ladi r nolga teng.

Matritsa darajasining ta'rifidan kelib chiqadiki:

a) matritsa darajasi A m n uning o'lchamlaridan kichikroqdan oshmaydi, ya'ni. r(A) ? min(m, n);

b) r(A) = 0, agar matritsaning barcha elementlari nolga teng bo'lsa, ya'ni. A = 0;

c) kvadrat matritsa uchun n- tartib r(A) = n, agar matritsa yagona bo'lmasa.

Keling, voyaga etmaganlarni chegaralash usuli yordamida matritsaning darajasini aniqlash misolini ko'rib chiqaylik. Uning mohiyati matritsaning kichiklarini ketma-ket sanab, nolga teng bo'lmagan eng yuqori tartibli minorni topishdan iborat.

Matritsaning darajasini hisoblang.

Matritsa uchun A 3 4 r(A) ? min (3,4) = 3. Buning uchun matritsaning darajasi 3 ga teng yoki yo'qligini tekshiramiz, biz barcha uchinchi darajali kichiklarni hisoblaymiz (ulardan faqat 4 tasi bor, ular bittasini o'chirish orqali olinadi; matritsa ustunlari).

Barcha uchinchi darajali voyaga etmaganlar nolga teng bo'lgani uchun, r(A) ? 2. Masalan, ikkinchi tartibning nol minori borligi uchun

Bu r(A) = 2.

Tartibi uning darajasiga teng bo'lgan har qanday matritsaning nolga teng bo'lmagan minorlari bu matritsaning bazis minorlari deyiladi.

Matritsada bir nechta minor bazis bo'lishi mumkin, lekin bir nechta. Biroq, barcha bazis voyaga etmaganlarning tartiblari bir xil va matritsaning darajasiga teng.

Bazis minorini tashkil etuvchi qator va ustunlar bazis deyiladi.

Matritsaning har bir satri (ustunlari) asosiy satrlarning (ustunlarning) chiziqli birikmasidir.

Shunga o'xshash hujjatlar

Ikkinchi tartibli determinantlar tushunchasi va mohiyati. Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi asoslarini ko‘rib chiqish. n-tartibli determinantlarni va ularni hisoblash usullarini o'rganish. n ta noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasining xususiyatlari.

taqdimot, 11/14/2014 qo'shilgan

Ikkinchi va uchinchi tartibdagi aniqlovchilar. O'zgartirishlar va almashtirishlar. Minorlar va algebraik to‘ldiruvchilar. Determinantni uchburchak ko'rinishga keltirish, aniqlovchini aniqlovchilar yig'indisi sifatida ifodalash va chiziqli omillarni ajratib olish usullarini qo'llash.

kurs ishi, 2013-07-19 qo'shilgan

Matritsa tushunchasi va ulardagi chiziqli harakatlar. Matritsani qo‘shish amalining xossalari. Ikkinchi va uchinchi tartiblarning aniqlovchilari. Sarrus qoidasini qo'llash. Determinantlarni yechishning asosiy usullari. Elementar matritsa transformatsiyalari. Teskari matritsaning xossalari.

o'quv qo'llanma, 03/04/2010 qo'shilgan

Chiziqli algebra masalalari va usullari. Determinantlarning xossalari va ularni hisoblash tartibi. Gauss usuli yordamida teskari matritsani topish. Determinantlarni hisoblash va teskari matritsani topish uchun Paskal ABC dasturida hisoblash algoritmini ishlab chiqish.

kurs ishi, 02/01/2013 qo'shilgan

Determinantlar tushunchasi va maqsadi, ularning umumiy belgilari, hisoblash usullari va xossalari. Matritsa algebrasi. Chiziqli tenglamalar sistemalari va ularni yechish. Vektor algebrasi, uning qonunlari va tamoyillari. O'zaro faoliyat mahsulotning xususiyatlari va qo'llanilishi.

test, 01/04/2012 qo'shilgan

Chiziqli algebraning elementlari. Matritsalar turlari va ular ustida amallar. Matritsa determinantlarining xossalari va ularni hisoblash. Kramer formulalari va Gauss usuli yordamida matritsali chiziqli tenglamalar tizimini yechish. Differensial va integral hisob elementlari.

o'quv qo'llanma, 11/06/2011 qo'shilgan

Kvadrat matritsani tavsiflovchi raqam. Matritsaning birinchi va ikkinchi darajali determinantini hisoblash. Uchburchak qoidasidan foydalanish. Determinantning ayrim elementining algebraik to'ldiruvchisi. Determinantning ikki satri yoki ustunini qayta tartiblash.

taqdimot, 21/09/2013 qo'shilgan

Matritsa darajasi tushunchasi. Diversifikatsiyalangan iqtisodiyotning Leontiev modeli. Skayar mahsulotning xossalari. Koordinata o'qlari bo'yicha vektorning parchalanishi. Minor va algebraik to‘ldiruvchi. Ikkinchi va uchinchi tartibdagi aniqlovchilar. Kosmosdagi tekislik va to'g'ri chiziq.

ma'ruzalar kursi, 30.10.2013 yil qo'shilgan

P.Laplas, O.Koshi va K.Yakobi asarlarida determinantlar nazariyasi. Ikki noma'lumli ikkita chiziqli tenglamaning ikkinchi tartibli determinantlari va tizimlari. Uchinchi tartibli determinantlar va determinantlarning xossalari. Kramer qoidasi yordamida tenglamalar tizimini yechish.

taqdimot, 31/10/2016 qo'shilgan

Ikkinchi va uchinchi tartibli aniqlovchilar, aniqlovchilarning xossalari. Uchinchi tartibli determinantni hisoblashning ikkita usuli. Parchalanish teoremasi. Determinantlar yordamida chiziqli tenglamalar tizimini echishning amaliy usulini ta'minlovchi Kramer teoremasi.

Ikkinchi va uchinchi tartibdagi aniqlovchilar.

m va n raqamlari chaqiriladi o'lchamlari matritsalar.

Matritsa deyiladi kvadrat, agar m = n bo'lsa. Bu holda n raqami chaqiriladi tartibda; ... uchun kvadrat matritsa.

Har bir kvadrat matritsa matritsaning barcha elementlari yordamida yagona aniqlangan raqam bilan bog'lanishi mumkin. Bu raqam determinant deb ataladi.

Ikkinchi tartibli determinant 2-tartibli kvadrat matritsaning elementlari yordamida quyidagi tarzda olingan son: .

Bunday holda, matritsaning asosiy diagonali deb ataladigan (yuqori chapdan pastki o'ng burchakka) joylashgan elementlarning mahsulotidan ikkinchi yoki ikkilamchi diagonalda joylashgan elementlarning mahsuloti chiqariladi. .

Uchinchi tartibli determinant 3-tartibli kvadrat matritsaning elementlari yordamida quyidagi tarzda aniqlangan son:

Izoh. Ushbu formulani eslab qolishni osonlashtirish uchun siz Kramer qoidasi (uchburchaklar) deb ataladigan qoidadan foydalanishingiz mumkin. Bu quyidagicha: mahsuloti "+" belgisi bilan determinantga kiritilgan elementlar quyidagicha joylashtirilgan:

Asosiy diagonalga nisbatan simmetrik bo'lgan ikkita uchburchak hosil qilish. Mahsulotlari "-" belgisi bilan determinantga kiritilgan elementlar ikkilamchi diagonalga nisbatan o'xshash tarzda joylashgan:

14. Tartibning aniqlovchilari. (yuqori tartibli determinantlar)

Aniqlovchi n matritsaga mos keladigan tartib n'n, raqam deyiladi:

Determinantlarni hisoblashning asosiy usullari:

1) Buyurtmani qisqartirish usuli Aniqlovchi munosabatlarga asoslanadi: (1)

Qayerda th elementning algebraik to'ldiruvchisi deyiladi. Kichik th element determinant deb ataladi n-1 o'chirish yo'li bilan dastlabki determinantdan olingan tartib i-o'sha qator va j th ustun.

(1) munosabat determinantning kengayishi deyiladi i- o'sha qator. Xuddi shunday, determinantning kengayishini ustun bo'ylab yozishimiz mumkin:

Teorema: Har qanday kvadrat matritsa uchun tenglik amal qiladi ,

qaerda va Kronecker belgisi

2) Uchburchak shaklga qisqartirish usuli determinantlarning yettinchi xususiyatiga asoslanadi.

Misol: Aniqlovchini hisoblang: birinchi qatorni qolgan barcha qatorlardan ayirib tashlang.

3) Qaytalanish munosabati usuli berilgan aniqlovchini bir xil turdagi, lekin quyi tartibli determinant orqali ifodalash imkonini beradi.

Permutatsiyalar, inversiyalar.

1, 2, ... raqamlarining har qanday joylashuvi, n muayyan tartibda, deyiladi qayta tartibga solish dan n belgilar (raqamlar).

O'zgartirishning umumiy ko'rinishi: .

Ularning hech biri almashtirishda ikki marta sodir bo'lmaydi.

Permutatsiya deyiladi hatto , agar uning elementlari juft sonli inversiyalarni tashkil qilsa va g'alati aks holda.

O'zgartirishdagi k va p raqamlari inversiya (tartibsizlik), agar k > p, lekin k bu almashtirishda pdan oldin keladi.

Almashtirishning uchta xususiyati.

Mulk 1: Turli xil almashtirishlar soni ( , o'qiydi: " n faktorial").

Isbot. O'zgartirishlar soni turli xil almashtirishlarni tuzish usullari soniga to'g'ri keladi. Sifatida almashtirishlarni tuzishda j 1, siz 1, 2, ..., har qanday raqamlarni olishingiz mumkin. n, nima beradi n imkoniyatlar. Agar j 1 allaqachon tanlangan, keyin esa j 2 qolganlardan birini olishingiz mumkin n– 1 ta raqam va siz tanlashingiz mumkin bo'lgan usullar soni j 1 va j 2 teng bo'ladi va hokazo. O'zgartirishdagi oxirgi raqam faqat bitta usulda tanlanishi mumkin, bu esa beradi yo'llar va shuning uchun almashtirishlar.

Mulk 2: Har bir transpozitsiya almashtirish paritetini o'zgartiradi.

Isbot.1-holat. O'tkazilayotgan raqamlar almashtirishda yonma-yon joylashtiriladi, ya'ni. o'xshaydi (..., k,p, ...), bu erda ellips (...) transpozitsiya paytida o'z joylarida qoladigan raqamlarni belgilaydi. Transpozitsiya uni shaklning almashtirilishiga aylantiradi (..., p, k,...). Ushbu almashtirishlarda raqamlarning har biri k,R o‘rnida qolgan raqamlar bilan bir xil inversiyalarni amalga oshiradi. Agar raqamlar bo'lsa k Va p ilgari inversiyalarni tuzmagan (ya'ni. k < R), keyin yangi almashtirishda boshqa inversiya paydo bo'ladi va inversiyalar soni bittaga ko'payadi; agar k Va R inversiyani tashkil qilgan bo'lsa, transpozitsiyadan keyin inversiyalar soni bittaga kamayadi. Har holda, almashtirish pariteti o'zgaradi.

3-modda: Qayta tartibga solinganda, determinant belgini o'zgartiradi.

17. Aniqlovchilarning xossalari: ko‘chirilgan matritsaning aniqlovchisi, determinantdagi satrlarni almashtiruvchisi, bir xil qatorli matritsaning aniqlovchisi.

Mulk 1. Transpozitsiya paytida determinant o'zgarmaydi, ya'ni.

Isbot.

Izoh. Determinantlarning quyidagi xossalari faqat satrlar uchun shakllantiriladi. Bundan tashqari, 1-xususiyatdan ustunlar bir xil xususiyatlarga ega bo'ladi.

Mulk 6. Determinantning ikki qatorini qayta tartiblashda u -1 ga ko'paytiriladi.

Isbot.

Mulk 4. Ikki teng qatorga ega bo'lgan determinant 0 ga teng:

Isbot:

18. Aniqlovchining xossalari: aniqlovchining satrga ajralishi.

Kichik determinant elementi - tanlangan element paydo bo'lgan satr va ustunni kesib tashlash orqali berilgan elementdan olingan aniqlovchi.

Belgilanish: aniqlovchining tanlangan elementi, uning kichikligi.

Misol. Uchun

Algebraik to‘ldiruvchi determinantning elementi, agar bu elementning indekslari yig'indisi i+j bo'lsa, uning kichiki deyiladi, agar i+j toq bo'lsa, minorga qarama-qarshi bo'lgan son, ya'ni.

Uchinchi darajali determinantlarni hisoblashning yana bir usulini ko'rib chiqaylik - satr yoki ustunni kengaytirish. Buning uchun quyidagi teoremani isbotlaymiz:

Teorema: Determinant uning har qanday satrlari yoki ustunlari elementlari va ularning algebraik to'ldiruvchilari mahsuloti yig'indisiga teng, ya'ni: bu yerda i=1,2,3.

Isbot.

Determinantning birinchi qatori uchun teoremani isbotlaylik, chunki boshqa har qanday satr yoki ustun uchun biz shunga o'xshash mulohaza yuritishimiz va bir xil natijani olishimiz mumkin.

Birinchi qator elementlariga algebraik to‘ldiruvchilarni topamiz:

Ushbu xususiyatni 1.5 ta'rifi yordamida topilgan tenglikning chap va o'ng tomonlarini taqqoslash orqali o'zingiz isbotlashingiz mumkin.

45-son umumiy o’rta ta’lim maktabi.

Moskva shahri.

10-“B” sinf oʻquvchisi Goroxov Evgeniy

Kurs ishi (qoralama).

Matritsalar va determinantlar nazariyasiga kirish .

1996 yil

1. Matritsalar.

1.1 Matritsa tushunchasi.

Matritsa ma'lum miqdorni o'z ichiga olgan to'rtburchaklar jadvalidir m chiziqlar va ma'lum bir raqam n ustunlar. Raqamlar m Va n chaqiriladi buyurtmalar matritsalar. Agar m = n , matritsa kvadrat va raqam deb ataladi m = n - uni tartibda; ... uchun .

1.2 Matritsalar ustidagi asosiy amallar.

Matritsalar ustidagi asosiy arifmetik amallar matritsani songa ko‘paytirish, matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirishdan iborat.

Keling, matritsalar ustidagi asosiy amallarni aniqlashga o'tamiz.

Matritsa qo'shilishi : Ikki matritsaning yig'indisi, masalan: A Va B , qatorlar va ustunlar soni bir xil, boshqacha qilib aytganda, bir xil tartiblarga ega m Va n C matritsasi = ( BILAN ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) bir xil buyruqlar m Va n , elementlar Cij qaysilari tengdir.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) ( 1.2 )

Ikki matritsaning yig'indisini belgilash uchun yozuv ishlatiladi C = A + B. Matritsalarni yig'ish amali ularning deyiladi qo'shimcha

Shunday qilib, ta'rifga ko'ra bizda:

+ =

Matritsalar yig'indisining ta'rifidan yoki aniqrog'i formuladan ( 1.2 ) shundan darhol kelib chiqadiki, matritsalarni qo'shish amali haqiqiy sonlarni qo'shish amali bilan bir xil xususiyatlarga ega, xususan:

kommutativ xususiyat: A + B = B + A

mulkni birlashtirish: (A + B) + C = A + (B + C)

Ushbu xususiyatlar ikki yoki undan ortiq matritsalarni qo'shganda matritsa atamalarining tartibi haqida tashvishlanmaslik imkonini beradi.

Matritsani raqamga ko'paytirish :

Matritsa mahsuloti haqiqiy raqamga matritsa deb ataladi C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , uning elementlari teng

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). ( 1.3 )

Matritsa va sonning mahsulotini belgilash uchun yozuvdan foydalaniladi C= A yoki C=A . Matritsaning ko‘paytmasini songa yasash amali matritsani shu songa ko‘paytirish deyiladi.

To'g'ridan-to'g'ri formuladan ( 1.3 ) matritsani songa ko'paytirish quyidagi xususiyatlarga ega ekanligi aniq:

matritsalar yig'indisiga nisbatan taqsimlovchi xususiyat:

( A + B) = A+ B

Raqamli omilga nisbatan assotsiativ xususiyat:

( ) A= ( A)

raqamlar yig'indisiga nisbatan taqsimlovchi xususiyat:

( + ) A= A + A .

Izoh : Ikki matritsaning farqi A Va B bir xil tartiblardan iborat bo'lsa, bunday matritsani chaqirish tabiiydir C matritsa bilan yig'indisi bo'lgan bir xil tartiblar B matritsani beradi A . Ikki matritsa o'rtasidagi farqni ko'rsatish uchun tabiiy yozuv qo'llaniladi: C = A - B.

Matritsalarni ko'paytirish :

Matritsa mahsuloti A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , mos ravishda teng buyurtmalarga ega m Va n , har bir matritsa uchun B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , mos ravishda teng buyurtmalarga ega n Va p , matritsa deyiladi C= (BILAN ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , mos ravishda teng buyurtmalarga ega m Va p , va elementlar Cij , formula bilan aniqlanadi

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) ( 1.4 )

Matritsaning mahsulotini belgilash uchun A matritsaga B yozib olishdan foydalaning

C=AB . Matritsa mahsulotini tuzish operatsiyasi A matritsaga B chaqirdi ko'paytirish bu matritsalar. Yuqorida keltirilgan ta'rifdan kelib chiqadiki matritsa A har qanday matritsaga ko‘paytirib bo‘lmaydi B : matritsa ustunlari soni bo'lishi kerak A edi teng matritsa qatorlari soni B . Ikkala ish uchun ham AB Va B.A. nafaqat aniqlangan, balki bir xil tartibga ega bo'lgan, har ikkala matritsa zarur va etarli A Va B bir xil tartibdagi kvadrat matritsalar edi.

Formula ( 1.4 ) matritsa elementlarini tuzish qoidasini ifodalaydi C ,

bu matritsaning mahsulotidir A matritsaga B . Ushbu qoida og'zaki shaklda tuzilishi mumkin: Element Cij , chorrahada turgan i th qator va j- matritsa ustuni C=AB , teng mos keladigan elementlarning juft mahsuloti yig'indisi i th qator matritsalar A Va j- matritsa ustuni B . Ushbu qoidani qo'llashga misol sifatida biz ikkinchi tartibli kvadrat matritsalarni ko'paytirish formulasini keltiramiz

Formuladan ( 1.4 ) matritsa mahsulotining quyidagi xossalari quyidagicha: A matritsaga B :

assotsiativ mulk: ( AB) C = A(BC);

matritsalar yig'indisiga nisbatan taqsimlovchi xususiyat:

(A + B) C = AC + BC yoki A (B + C) = AB + AC.

Matritsalar mahsulotining almashtirish xossasi haqidagi savolni faqat bir xil tartibdagi kvadrat matritsalar uchun qo'yish mantiqan to'g'ri keladi. Buni boshlang'ich misollar ko'rsatadi bir xil tartibdagi ikkita kvadrat matritsaning mahsuloti, odatda, kommutatsiya xususiyatiga ega emas. Aslida, agar biz qo'ysak

A= , B = , Bu AB = , A BA =

Mahsulot kommutatsiya xususiyatiga ega bo'lgan bir xil matritsalar odatda deyiladi qatnov.

Kvadrat matritsalar orasida biz atalmish sinfni ajratib ko'rsatamiz diagonal matritsalar, ularning har biri nolga teng asosiy diagonaldan tashqarida joylashgan elementlarga ega. Asosiy diagonalda mos keladigan elementlarga ega bo'lgan barcha diagonal matritsalar orasida ikkita matritsa ayniqsa muhim rol o'ynaydi. Ushbu matritsalarning birinchisi bosh diagonalning barcha elementlari birga teng bo'lganda olinadi va bir xillik matritsasi deb ataladi. n- E . Ikkinchi matritsa barcha elementlar nolga teng bo'lgan holda olinadi va nol matritsa deb ataladi. n- tartib va belgi bilan belgilanadi O . Faraz qilaylik, ixtiyoriy matritsa mavjud A , Keyin

AE=EA=A , AO=OA=O .

Formulalarning birinchisi identifikatsiya matritsasining alohida rolini tavsiflaydi E , raqam o'ynagan rolga o'xshash 1 haqiqiy sonlarni ko'paytirishda. Nolinchi matritsaning alohida roliga kelsak HAQIDA , keyin u formulalarning ikkinchisi bilan emas, balki elementar tekshiriladigan tenglik bilan ham aniqlanadi: A+O=O+A=A . Nol matritsa tushunchasi kvadrat matritsalar uchun emas, balki kiritilishi mumkin.

2. Determinantlar.

2.1 Aniqlovchi tushunchasi.

Avvalo, determinantlar faqat kvadrat tipidagi matritsalar uchun mavjudligini yodda tutishingiz kerak, chunki boshqa turdagi matritsalar uchun determinantlar mavjud emas. Chiziqli tenglamalar sistemalari nazariyasida va boshqa ayrim masalalarda tushunchadan foydalanish qulay aniqlovchi , yoki aniqlovchi .

2.2 Determinantlarni hisoblash.

Matritsa shaklida yozilgan har qanday to'rtta raqamni ko'rib chiqing ikkita qatorda va har biri ikkita ustun , Aniqlovchi yoki aniqlovchi , ushbu jadvaldagi raqamlardan tuzilgan, raqam ad-bc , quyidagicha ifodalanadi: . Bunday determinant deyiladi ikkinchi tartibli determinant , chunki uni kompilyatsiya qilish uchun ikki qator va ikkita ustunli jadval olingan. Aniqlovchini tashkil etuvchi raqamlar uning deyiladi elementlar ; bir vaqtning o'zida ular elementlarni aytishadi a Va d grim surmoq, pardoz qilmoq; yasamoq, tuzmoq asosiy diagonal determinant va elementlar b Va c uning yon diagonali . Ko'rinib turibdiki, determinant uning asosiy va ikkilamchi diagonallarida joylashgan juft elementlar ko'paytmalari ayirmasiga teng. Uchinchi va boshqa har qanday tartibning determinanti taxminan bir xil, ya'ni: Aytaylik, bizda kvadrat matritsa bor . Quyidagi matritsaning determinanti quyidagi ifodadir: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31. . Ko'rib turganingizdek, ma'lum bir ketma-ketlikni eslab qolsangiz, u juda oson hisoblanadi. Ijobiy belgi bilan asosiy diagonal va asosiy diagonalga parallel tomoni bo'lgan elementlardan hosil bo'lgan uchburchaklar, bu holda ular uchburchaklardir. a12a23a31 , a13a21a32 .

Yon diagonali va unga parallel bo'lgan uchburchaklar salbiy belgiga ega, ya'ni. a11a23a32, a12a21a33 . Shu tarzda har qanday tartibning determinantlarini topish mumkin. Ammo bu usul ancha murakkab bo'ladigan holatlar mavjud, masalan, matritsada juda ko'p elementlar mavjud bo'lganda va determinantni hisoblash uchun siz ko'p vaqt va e'tibor sarflashingiz kerak.

Determinantni hisoblashning osonroq yo'li mavjud n- oh buyurtma, qayerda n 2 . Keling, har qanday elementni kichik deb atashga rozi bo'laylik Aij matritsalar n- o'chirish natijasida matritsadan olingan matritsaga mos keladigan birinchi tartibli determinant i th qator va j- th ustun (o'sha qator va chorrahasida element joylashgan ustun Aij ). Kichik element Aij belgisi bilan belgilaymiz . Bu belgida yuqori indeks satr raqamini, pastki indeks ustun raqamini va yuqoridagi satrni bildiradi. M belgilangan satr va ustunning chizilganligini bildiradi. Buyurtmani belgilovchi n , matritsaga mos keladigan, biz raqamni teng deb ataymiz va belgisi bilan belgilanadi .

1.1 teorema Qator raqami nima bo'lishidan qat'iy nazar i ( i =1, 2…, n) , aniqlovchi uchun n- kattalikning birinchi tartibi formulasi amal qiladi

= det A =

chaqirdi men- th qator . Ushbu formulada raqam ko'tariladigan ko'rsatkich (-1) element kesishgan joyda joylashgan satr va ustun raqamlari yig'indisiga teng ekanligini ta'kidlaymiz. Aij .

1.2 teorema Ustun raqami nima bo'lishidan qat'iy nazar j ( j =1, 2…, n) , aniqlovchi uchun n tartib formulasi amal qiladi

= det A =

chaqirdi yilda bu determinantning kengayishi j- th ustun .

2.3 Determinantlarning asosiy xossalari.

Determinantlar ham ularni hisoblash vazifasini osonlashtiradigan xususiyatlarga ega. Shunday qilib, quyida biz ixtiyoriy determinantga ega bo'lgan bir qator xususiyatlarni o'rnatamiz n - tartib.

1 . Qator-ustun tengligi xossasi . O'tkazish har qanday matritsa yoki determinant - bu tartibni saqlagan holda satrlar va ustunlar almashinadigan operatsiya. Matritsaning transpozitsiyasi natijasida A hosil bo'lgan matritsa matritsaga nisbatan ko'chirilgan deb ataladigan matritsa deb ataladi A va belgisi bilan ko'rsatiladi A .

Aniqlovchining birinchi xossasi quyidagicha ifodalanadi: transpozitsiya paytida determinantning qiymati saqlanib qoladi, ya'ni. = .

2 . Ikki qatorni (yoki ikkita ustunni) qayta tartiblashda antisimmetriya xususiyati . Ikki qator (yoki ikkita ustun) almashtirilganda determinant o'zining mutlaq qiymatini saqlab qoladi, lekin ishorani aksincha o'zgartiradi. Ikkinchi tartibli determinant uchun bu xususiyat elementar usulda tekshirilishi mumkin (ikkinchi tartibli determinantni hisoblash formulasidan darhol determinantlar faqat belgi bilan farqlanadi).

3 . Determinantning chiziqli xossasi. Biz aytamizki, ba'zi bir satr ( a) boshqa ikkita satrning chiziqli birikmasidir ( b Va c ) koeffitsientlar bilan Va . Chiziqli xususiyatni quyidagicha shakllantirish mumkin: agar determinantda bo'lsa n - tartib biroz i --chi qator ikki qatorning koeffitsientli chiziqli birikmasidir Va , Bu = + , Qayerda

– ega bo'lgan belgilovchi i --chi qator chiziqli birikmaning ikki qatoridan biriga teng, qolgan barcha qatorlar esa bir xil. , A - ega bo'lgan aniqlovchi men- i satr ikki satrning ikkinchisiga teng, qolgan barcha satrlar esa bir xil .

Bu uch xususiyat aniqlovchining asosiy xossalari bo'lib, uning tabiatini ochib beradi. Quyidagi besh xususiyat mavjud mantiqiy oqibatlar uchta asosiy xususiyat.

Xulosa 1. Ikkita bir xil satr (yoki ustun) bo'lgan determinant nolga teng.

Xulosa 2. Determinantning bir qator (yoki ustun) barcha elementlarini songa ko'paytirish a determinantni shu songa ko'paytirishga teng a . Boshqacha qilib aytganda, aniqlovchining ma'lum bir qatori (yoki qandaydir ustuni) barcha elementlarining umumiy koeffitsienti ushbu aniqlovchining belgisidan chiqarilishi mumkin.

Xulosa 3. Agar ma'lum bir satrning (yoki ba'zi ustunlarning) barcha elementlari nolga teng bo'lsa, determinantning o'zi nolga teng.

Xulosa 4. Agar determinantning ikkita satri (yoki ikkita ustuni) elementlari proportsional bo'lsa, determinant nolga teng bo'ladi.

Xulosa 5. Agar determinantning ma'lum bir satri (yoki qandaydir ustuni) elementlariga boshqa qatorning (boshqa ustunning) mos keladigan elementlarini qo'shsak, ixtiyoriy koeffitsientga ko'paytirish , u holda determinantning qiymati o'zgarmaydi. Xulosa 5, chiziqli xususiyat kabi, men satrlar uchun beraman, umumiy formulaga imkon beradi: agar determinantning ma'lum bir qatori elementlariga biz bir nechta boshqa qatorlarning chiziqli birikmasi bo'lgan satrning mos keladigan elementlarini qo'shsak. Ushbu determinantning (har qanday koeffitsientlar bilan), keyin determinantning qiymati o'zgarmaydi. Xulosa 5 aniqlovchilarni aniq hisoblashda keng qo'llaniladi.

3. Chiziqli tenglamalar sistemalari.

3.1 Asosiy ta'riflar.

…….

3.2 Chiziqli tenglamalar sistemalarining moslik sharti.

…….

3.3 Chiziqli tenglamalar sistemalarini Kramer usuli yordamida yechish.

Ma'lumki, matritsalar yordamida biz turli xil tenglamalar sistemalarini yechishimiz mumkin va bu tizimlar har qanday hajmda bo'lishi va istalgan sonli o'zgaruvchilarga ega bo'lishi mumkin. Bir nechta hosilalar va formulalar yordamida ulkan tenglamalar tizimini echish juda tez va oson bo'ladi.

Xususan, men Kramer va Gauss usullarini tasvirlab beraman. Eng oson yo'li - Kramer usuli (men uchun) yoki u ham deyiladi, Kramer formulasi. Deylik, bizda qandaydir tenglamalar tizimi mavjud . Asosiy determinant, siz allaqachon sezganingizdek, o'zgaruvchilar koeffitsientlaridan tashkil topgan matritsadir. Ular, shuningdek, ustunlar tartibida paydo bo'ladi, ya'ni birinchi ustunda topilgan koeffitsientlar mavjud x , ikkinchi ustunda da y , va hokazo. Bu juda muhim, chunki keyingi bosqichlarda biz o'zgaruvchi uchun koeffitsientlarning har bir ustunini tenglama javoblari ustuniga almashtiramiz. Shunday qilib, aytganimdek, biz birinchi o'zgaruvchidagi ustunni javoblar ustuniga almashtiramiz, keyin ikkinchisida, albatta, barchasi qancha o'zgaruvchini topishimiz kerakligiga bog'liq.

1 = , 2 = , 3 = .

Keyin determinantlarni topishingiz kerak tizimning hal qiluvchi omili .

3.4 Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish.

…….

4. Teskari matritsa.

4.1 Teskari matritsa haqida tushuncha.

4.2 Teskari matritsani hisoblash.

Adabiyotlar ro'yxati.

V. A. Ilyin, E. G. Poznyak "Chiziqli algebra"

2. G. D. Kim, E. V. Shikin “Chiziqli algebrada elementar transformatsiyalar”

1-mavzu. Matritsalar va matritsa determinantlari

Biz nimani o'rganamiz:

Chiziqli algebraning asosiy tushunchalari: matritsa, determinant.

Biz nimani o'rganamiz:

Matritsalar ustida amallarni bajarish;

Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar bilan hisoblang.

1.1-mavzu. Matritsa tushunchasi. Matritsalar ustida amallar

∆ Matritsa qatorlar va ustunlardan tashkil topgan, ba'zi matematik ob'ektlar bilan to'ldirilgan to'rtburchaklar jadvaldir.

Matritsalar katta lotin harflari bilan belgilanadi, jadvalning o'zi qavs ichiga olinadi (kamroq kvadrat yoki boshqa shakllarda).

Elementlar A ij chaqirdi matritsa elementlari . Birinchi indeks i– qator raqami, ikkinchij- ustun raqami. Ko'pincha elementlar raqamlardir.

"matritsa" yozuvi A hajmiga ega m× n» dan iborat matritsa haqida gapirayotganimizni bildiradim chiziqlar va n ustunlar.

Agar m = 1, a n > 1 bo'lsa, matritsa bo'ladimatritsa - qator . Agar m > 1, a n = 1, u holda matritsa bo'ladimatritsa - ustun .

Satrlar soni ustunlar soniga to'g'ri keladigan matritsa (m= n), chaqirildi kvadrat .

Elementlar a 11 , a 22 ,…, a nn kvadrat matritsaA (hajmi n× n) shakl asosiy diagonal , elementlar a 1 n , a 2 n -1 ,…, a n 1 - yon diagonali .

Matritsada
elementlar 5; 7 asosiy diagonalni tashkil qiladi, elementlar -5; 8 - yon diagonali.

Matritsalar A Va B chaqiriladi teng (A= B), agar ular bir xil o'lchamga ega bo'lsa va ularning bir xil pozitsiyalardagi elementlari mos tushsa, ya'ni.A ij = b ij .

Identifikatsiya matritsasi asosiy diagonalning elementlari bittaga, qolgan elementlari esa nolga teng bo'lgan kvadrat matritsa deyiladi. Identifikatsiya matritsasi odatda E bilan belgilanadi.

Matritsa ko'chirilgan kattalikdagi A matritsasigam× n, matritsa A deyiladi T o'lchami n× m, A matritsasidan olinadi, agar uning satrlari ustunlarga, ustunlari qatorlarga yozilsa.

Matritsalar ustidagi arifmetik amallar.

Topmoq matritsalar yig'indisi A Va B bir xil o'lchamdagi, bir xil indeksli elementlarni qo'shish kerak (bir xil joylarda):

Matritsalarni qo‘shish kommutativ, ya’ni A + B = B + A.

Topmoq matritsalar farqi A Va B bir xil o'lchamdagi, bir xil indeksli elementlarning farqini topish kerak:

Kimga ko'paytma matritsasi Araqam uchun k, Matritsaning har bir elementini ushbu raqamga ko'paytirish kerak:

Ish matritsalar AB faqat matritsalar uchun aniqlanishi mumkinA hajmi m× n Va B hajmi n× p, ya'ni. matritsa ustunlari soniA matritsa qatorlari soniga teng bo'lishi kerakIN. Qayerda A· B= C, matritsa C hajmiga ega m× p, va uning elementi c ij skalyar mahsulot sifatida topiladiith matritsa qatorlari A yoqilgan jth matritsa ustuniB: ( i=1,2,…, m; j=1,2,…, p).

!! Aslida, har bir qator kerak matritsalar A (chap tomonda) har bir matritsa ustuniga skalyar ko'paytiring B (o'ng tomonda).

Matritsalarning mahsuloti kommutativ emas, ya'niA·V ≠ V·A . ▲

☺ Nazariy materialni mustahkamlash uchun misollarni tahlil qilish kerak.

Misol 1. Matritsalar hajmini aniqlash.

Misol 2. Matritsa elementlarining ta'rifi.

Matritsa elementida A 11 = 2, A 12 = 5, A 13 = 3.

Matritsa elementida A 21 = 2, A 13 = 0.

3-misol: Matritsa transpozitsiyasini bajarish.

Misol 4. Matritsalar ustida amallarni bajarish.

Toping 2 A- B, Agar , .

Yechim. .

5-misol. Matritsalar ko‘paytmasini toping Va .

Yechim. Matritsa hajmiA – 3 × 2 , matritsalar IN – 2 × 2 . Shuning uchun mahsulotA·B topishingiz mumkin. Biz olamiz:

Ish VA topib bo'lmaydi.

6-misol. Toping A 3 agar A =
.

Yechim. A 2 = ·=
=
,

A 3 = ·=
=
.

6-misol. 2-ni toping A 2 + 3 A + 5 E da
,
.

Yechim. ,

,
,

,
.

Bajarilishi kerak bo'lgan vazifalar

1. Jadvalni to'ldiring.

Matritsa	Hajmi	Matritsa turi	Matritsa elementlari
Matritsa	Hajmi	Matritsa turi		a 12	a 23	a 32	a 33

2. Matritsalar ustida amallarni bajarish
Va
:

3. Matritsani ko‘paytirishni bajaring:

4. Matritsalarni ko‘chirish:

? 1. Matritsa nima?

2. Matritsani chiziqli algebraning boshqa elementlaridan qanday ajratish mumkin?

3. Matritsa hajmi qanday aniqlanadi? Bu nima uchun kerak?

4. Kirish nimani anglatadi? A ij ?

5. Quyidagi tushunchalarga izoh bering: matritsaning bosh diagonali, ikkilamchi diagonali.

6. Matritsalar ustida qanday amallarni bajarish mumkin?

7. Matritsani ko'paytirish amalining mohiyatini tushuntiring?

8. Har qanday matritsalarni ko'paytirish mumkinmi? Nega?

1.2-mavzu. Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar : m ularni hisoblash usullari

∆ Agar A kvadrat matritsa bo'lsa n-chi tartib, keyin biz u bilan nomli raqamni bog'lashimiz mumkin aniqlovchi n-tartib va |A| bilan belgilanadi. Ya'ni, determinant matritsa shaklida yoziladi, lekin qavslar o'rniga to'g'ri qavslar ichiga olinadi.

!! Ba'zan aniqlovchilar inglizcha usulda determinantlar deb ataladi, ya'ni = det A.

1-tartib determinant (o'lchamdagi A matritsasining determinanti1 × 1 ) A matritsasini o'z ichiga olgan elementning o'zi, ya'ni.

2-tartib aniqlovchi (matritsa determinanti A o'lchami 2 × 2 ) - bu qoida yordamida topish mumkin bo'lgan raqam:

(matritsaning asosiy diagonalidagi elementlarning hosilasi minus ikkilamchi diagonaldagi elementlarning mahsuloti).

3-tartib determinant (matritsa determinanti A o'lchami 3 × 3 ) "uchburchaklar" qoidasi yordamida topilishi mumkin bo'lgan raqam:

3-tartibli determinantlarni hisoblash uchun siz oddiyroq qoidadan foydalanishingiz mumkin - yo'nalishlar qoidasi (parallel chiziqlar).

Yo'nalish qoidasi : Bilan determinantning o'ng tomoni dastlabki ikkita ustunga qo'shiladi, asosiy diagonaldagi va unga parallel diagonallardagi elementlarning ko'paytmalari ortiqcha belgisi bilan olinadi; va ikkilamchi diagonal va unga parallel diagonallar elementlarining mahsuloti minus belgisi bilan.

!! Determinantlarni hisoblash uchun ularning har qanday tartibdagi determinantlar uchun amal qiladigan xossalaridan foydalanishingiz mumkin.

Determinantlarning xususiyatlari:

1° . Transpozitsiya paytida A matritsasining determinanti o'zgarmaydi, ya'ni. |A| = |A T |. Bu xususiyat satrlar va ustunlar tengligini tavsiflaydi.

2° . Ikki qatorni (ikkita ustun) qayta tartiblashda determinant oldingi qiymatini saqlab qoladi, lekin belgi teskari bo'ladi.

4° . Agar biron-bir satr yoki ustun umumiy koeffitsientni o'z ichiga olgan bo'lsa, u holda uni determinant belgisidan olib tashlash mumkin.

Xulosa 4.1. Agar determinantning istalgan qatorining barcha elementlari nolga teng bo'lsa, determinant nolga teng bo'ladi.

Xulosa 4.2. Agar determinantning har qanday qatorining elementlari unga parallel boʻlgan qatorning mos elementlariga proporsional boʻlsa, determinant nolga teng boʻladi.▲

☺ Determinantlarni hisoblash qoidalarini tahlil qilish kerak.

1-misol: Hisoblashikkinchi tartibli determinantlar,
.

Yechim.

45-sonli umumta’lim maktabi.

Moskva shahri.

10-“B” sinf oʻquvchisi Goroxov Evgeniy

Kurs ishi (qoralama).

Matritsalar va determinantlar nazariyasiga kirish .

1. Matritsalar................................................. ......... ................................................... ................................................................ ...................... ......

1.1 Matritsa tushunchasi.............................................. ...... ................................................... ...................... ...................................

1.2 Matritsalar ustidagi asosiy amallar...................................... ....... ................................................. ............. .

2. Aniqlovchilar................................................. ......... ................................................... ................................................................ .........

2.1 Aniqlovchi tushunchasi................................................. ........ ................................................ .............. .................................

2.2 Determinantlarni hisoblash...................................... ...... ................................................... ............ ...............

2.3 Determinantlarning asosiy xossalari...................................... ....... ................................................. .............

3. Chiziqli tenglamalar sistemalari...................................... ........ ................................................ .............. .

3.1 Asosiy ta'riflar ................................................... .... ................................................. ............ ...................................

3.2 Chiziqli tenglamalar sistemasi uchun izchillik sharti...................................... ............ ...............

3.3 Chiziqli tenglamalar tizimini Kramer usuli yordamida yechish...................................... ............ .........

3.4 Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish...................................... ............ .............

4. Teskari matritsa................................................. ...... ................................................... ...................... ...................................

4.1 Teskari matritsa tushunchasi...................................... ....... ................................................. ............. ................

4.2 Teskari matritsani hisoblash................................................... ........ ................................................ .............. .........

Adabiyotlar ro'yxati................................................ .................................................. ................................

Matritsa ma'lum miqdorni o'z ichiga olgan to'rtburchaklar jadvalidir m chiziqlar va ma'lum bir raqam n ustunlar. Raqamlar m Va n chaqiriladi buyurtmalar matritsalar. Agar m = n , matritsa kvadrat va raqam deb ataladi m = n -- uni tartibda; ... uchun .

Matritsalar ustidagi asosiy arifmetik amallar matritsani songa ko‘paytirish, matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirishdan iborat.

Keling, matritsalar ustidagi asosiy amallarni aniqlashga o'tamiz.

Matritsa qo'shilishi: Ikki matritsaning yig'indisi, masalan: A Va B , qatorlar va ustunlar soni bir xil, boshqacha qilib aytganda, bir xil tartiblarga ega m Va n C matritsasi = ( BILAN ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) bir xil buyruqlar m Va n , elementlar Cij qaysilari tengdir.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Ikki matritsaning yig'indisini belgilash uchun yozuv ishlatiladi C = A + B. Matritsalarni yig'ish amali ularning deyiladi qo'shimcha

Shunday qilib, ta'rifga ko'ra bizda:

+ =

Matritsalar yig'indisining ta'rifidan yoki aniqrog'i formuladan ( 1.2 ) shundan darhol kelib chiqadiki, matritsalarni qo'shish amali haqiqiy sonlarni qo'shish amali bilan bir xil xususiyatlarga ega, xususan:

1) kommutativ xususiyat: A + B = B + A

2) mulkni birlashtirish: (A + B) + C = A + (B + C)

Ushbu xususiyatlar ikki yoki undan ortiq matritsalarni qo'shganda matritsa atamalarining tartibi haqida tashvishlanmaslik imkonini beradi.

Matritsani raqamga ko'paytirish :

Matritsa mahsuloti haqiqiy son uchun matritsa deyiladi C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , uning elementlari teng

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

Matritsa va sonning mahsulotini belgilash uchun yozuvdan foydalaniladi C= A yoki C=A . Matritsaning ko‘paytmasini songa yasash amali matritsani shu songa ko‘paytirish deyiladi.

To'g'ridan-to'g'ri formuladan ( 1.3 ) matritsani songa ko'paytirish quyidagi xususiyatlarga ega ekanligi aniq:

1) matritsalar yig'indisiga nisbatan taqsimlovchi xususiyat:

( A + B) = A+ B

2) Raqamli omilga nisbatan assotsiativ xususiyat:

() A= ( A)

3) raqamlar yig'indisiga nisbatan taqsimlovchi xususiyat:

( + ) A= A + A .

Izoh :Ikki matritsaning farqi A Va B bir xil tartiblardan iborat bo'lsa, bunday matritsani chaqirish tabiiydir C matritsa bilan yig'indisi bo'lgan bir xil tartiblar B matritsani beradi A . Ikki matritsa o'rtasidagi farqni ko'rsatish uchun tabiiy yozuv qo'llaniladi: C = A - B.

Matritsalarni ko'paytirish :

Matritsa mahsuloti A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , mos ravishda teng buyurtmalarga ega m Va n , har bir matritsa uchun B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Matritsaning mahsulotini belgilash uchun A matritsaga B yozib olishdan foydalaning

C=AB . Matritsa mahsulotini tuzish operatsiyasi A matritsaga B chaqirdi ko'paytirish bu matritsalar. Yuqorida keltirilgan ta'rifdan kelib chiqadiki matritsa A har qanday matritsaga ko‘paytirib bo‘lmaydi B : matritsa ustunlari soni bo'lishi kerak A edi teng matritsa qatorlari soni B . Ikkala ish uchun ham AB Va B.A. nafaqat aniqlangan, balki bir xil tartibga ega bo'lgan, har ikkala matritsa zarur va etarli A Va B bir xil tartibdagi kvadrat matritsalar edi.

Formula ( 1.4 ) matritsa elementlarini tuzish qoidasini ifodalaydi C ,

bu matritsaning mahsulotidir A matritsaga B . Ushbu qoida og'zaki shaklda tuzilishi mumkin: Element Cij , chorrahada turgan i th qator va j- matritsa ustuni C=AB , teng mos keladigan elementlarning juft mahsuloti yig'indisi i th qator matritsalar A Va j- matritsa ustuni B . Ushbu qoidani qo'llashga misol sifatida biz ikkinchi tartibli kvadrat matritsalarni ko'paytirish formulasini keltiramiz

Formuladan ( 1.4 ) matritsa mahsulotining quyidagi xossalari quyidagicha: A matritsaga B :

1) assotsiativ mulk: ( AB) C = A(BC);

2) matritsalar yig'indisiga nisbatan taqsimlovchi xususiyat:

(A + B) C = AC + BC yoki A (B + C) = AB + AC.

Matritsalar mahsulotining almashtirish xossasi haqidagi savolni faqat bir xil tartibli kvadrat matritsalar uchun qo'yish mantiqan to'g'ri keladi. Elementar misollar shuni ko'rsatadiki, bir xil tartibdagi ikkita kvadrat matritsaning ko'paytmasi, odatda, kommutatsiya xususiyatiga ega emas. Aslida, agar biz qo'ysak

A =, B =, Bu AB = , A BA =

Mahsulot kommutatsiya xususiyatiga ega bo'lgan bir xil matritsalar odatda deyiladi qatnov.

Kvadrat matritsalar orasida biz atalmish sinfni ajratib ko'rsatamiz diagonal matritsalar, ularning har biri nolga teng asosiy diagonaldan tashqarida joylashgan elementlarga ega. Asosiy diagonalda mos keladigan elementlarga ega bo'lgan barcha diagonal matritsalar orasida ikkita matritsa ayniqsa muhim rol o'ynaydi. Ushbu matritsalarning birinchisi bosh diagonalning barcha elementlari birga teng bo'lganda olinadi va bir xillik matritsasi deb ataladi. n- E . Ikkinchi matritsa barcha elementlar nolga teng bo'lgan holda olinadi va nol matritsa deb ataladi. n- tartib va belgi bilan belgilanadi O . Faraz qilaylik, ixtiyoriy matritsa mavjud A , Keyin

AE=EA=A , AO=OA=O .

Formulalarning birinchisi identifikatsiya matritsasining alohida rolini tavsiflaydi E, raqam o'ynagan rolga o'xshash 1 haqiqiy sonlarni ko'paytirishda. Nolinchi matritsaning alohida roliga kelsak HAQIDA, keyin u formulalarning ikkinchisi bilan emas, balki elementar tekshiriladigan tenglik bilan ham aniqlanadi: A+O=O+A=A . Nol matritsa tushunchasi kvadrat matritsalar uchun emas, balki kiritilishi mumkin.

Ikki qatorli va matritsa shaklida yozilgan har qanday to'rtta sonni ko'rib chiqamiz ikkita ustun , Aniqlovchi yoki aniqlovchi, ushbu jadvaldagi raqamlardan tuzilgan, raqam ad-bc , quyidagicha ifodalanadi: .Bunday aniqlovchi deyiladi ikkinchi tartibli determinant, chunki uni kompilyatsiya qilish uchun ikki qator va ikkita ustunli jadval olingan. Aniqlovchini tashkil etuvchi raqamlar uning deyiladi elementlar; bir vaqtning o'zida ular elementlarni aytishadi a Va d grim surmoq, pardoz qilmoq; yasamoq, tuzmoq asosiy diagonal determinant va elementlar b Va c uning yon diagonali. Ko'rinib turibdiki, determinant uning asosiy va ikkilamchi diagonallarida joylashgan juft elementlar ko'paytmalari ayirmasiga teng. Uchinchi va boshqa har qanday tartibning determinanti taxminan bir xil, ya'ni: Aytaylik, bizda kvadrat matritsa bor . Quyidagi matritsaning determinanti quyidagi ifodadir: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31. . Ko'rib turganingizdek, ma'lum bir ketma-ketlikni eslab qolsangiz, u juda oson hisoblanadi. Ijobiy belgi bilan asosiy diagonal va asosiy diagonalga parallel tomoni bo'lgan elementlardan hosil bo'lgan uchburchaklar, bu holda ular uchburchaklardir. a12a23a31, a13a21a32 .

Determinantni hisoblashning osonroq yo'li mavjud n- oh buyurtma, qayerda n2 . Keling, har qanday elementni kichik deb atashga rozi bo'laylik Aij matritsalar n- o'chirish natijasida matritsadan olingan matritsaga mos keladigan birinchi tartibli determinant i th qator va j- th ustun (o'sha qator va chorrahasida element joylashgan ustun Aij ). Kichik element Aij belgisi bilan belgilanadi. Bu belgida yuqori indeks satr raqamini, pastki indeks ustun raqamini va yuqoridagi satrni bildiradi. M belgilangan satr va ustunning chizilganligini bildiradi. Buyurtmani belgilovchi n , matritsaga mos keladigan, biz raqamni teng deb ataymiz va belgisi bilan belgilanadi .

1.1 teorema Qator raqami nima bo'lishidan qat'iy nazar i ( i =1, 2…, n) , aniqlovchi uchun n- kattalikning birinchi tartibi formulasi amal qiladi

= det A =

chaqirdi men- th qator . Ushbu formulada raqam ko'tariladigan ko'rsatkich (-1) element kesishgan joyda joylashgan satr va ustun raqamlari yig'indisiga teng ekanligini ta'kidlaymiz. Aij .

1.2 teorema Ustun raqami nima bo'lishidan qat'iy nazar j ( j =1, 2…, n) , aniqlovchi uchun n tartib formulasi amal qiladi

= det A =

chaqirdi yilda bu determinantning kengayishi j- th ustun .

Determinantlar ham ularni hisoblash vazifasini osonlashtiradigan xususiyatlarga ega. Shunday qilib, quyida biz ixtiyoriy determinantga ega bo'lgan bir qator xususiyatlarni o'rnatamiz n - tartib.

1. Qator-ustun tengligi xossasi . O'tkazish har qanday matritsa yoki determinant - bu tartibni saqlagan holda satrlar va ustunlar almashinadigan operatsiya. Matritsaning transpozitsiyasi natijasida A hosil bo'lgan matritsa matritsaga nisbatan ko'chirilgan deb ataladigan matritsa deb ataladi A va belgisi bilan ko'rsatiladi A .

Aniqlovchining birinchi xossasi quyidagicha ifodalanadi: transpozitsiya vaqtida determinantning qiymati saqlanib qoladi, ya'ni =.

2. Ikki qatorni (yoki ikkita ustunni) qayta tartiblashda antisimmetriya xususiyati. Ikki qator (yoki ikkita ustun) almashtirilganda determinant o'zining mutlaq qiymatini saqlab qoladi, lekin ishorani aksincha o'zgartiradi. Ikkinchi tartibli determinant uchun bu xususiyat elementar usulda tekshirilishi mumkin (ikkinchi tartibli determinantni hisoblash formulasidan darhol determinantlar faqat belgi bilan farqlanadi).

3. Aniqlovchining chiziqli xossasi. Biz aytamizki, ba'zi bir satr ( a) boshqa ikkita satrning chiziqli birikmasidir ( b Va c ) koeffitsientlar bilan va. Chiziqli xususiyatni quyidagicha shakllantirish mumkin: agar determinantda bo'lsa n ba'zi buyurtma i Uchinchi qator koeffitsientlari bo'lgan ikki qatorning chiziqli birikmasidir va keyin = +, qayerda

- ega bo'lgan aniqlovchi i --chi qator chiziqli birikmaning ikki qatoridan biriga teng, qolgan barcha qatorlar esa bir xil. , a - buning uchun belgilovchi men- i satr ikki satrning ikkinchisiga teng, qolgan barcha satrlar esa bilan bir xil.

Bu uch xususiyat aniqlovchining asosiy xossalari bo'lib, uning tabiatini ochib beradi. Quyidagi besh xususiyat mavjud mantiqiy oqibatlar uchta asosiy xususiyat.

Xulosa 1. Ikkita bir xil satr (yoki ustun) bo'lgan determinant nolga teng.

Xulosa 2. Determinantning bir qator (yoki ustun) barcha elementlarini songa ko'paytirish a determinantni shu songa ko'paytirishga teng a . Boshqacha qilib aytganda, aniqlovchining ma'lum bir qatori (yoki qandaydir ustuni) barcha elementlarining umumiy koeffitsienti ushbu aniqlovchining belgisidan chiqarilishi mumkin.

Xulosa 3. Agar ma'lum bir satrning (yoki ba'zi ustunlarning) barcha elementlari nolga teng bo'lsa, determinantning o'zi nolga teng.

Xulosa 4. Agar determinantning ikkita satri (yoki ikkita ustuni) elementlari proportsional bo'lsa, determinant nolga teng bo'ladi.

Xulosa 5. Agar determinantning ma'lum bir satrining (yoki ba'zi ustunining) elementlariga biz boshqa qatorning (boshqa ustunning) mos keladigan elementlarini qo'shsak, ixtiyoriy koeffitsientga ko'paytirsak, u holda determinantning qiymati o'zgarmaydi. Xulosa 5, chiziqli xususiyat kabi, men satrlar uchun beraman, umumiy formulaga imkon beradi: agar determinantning ma'lum bir qatori elementlariga biz bir nechta boshqa qatorlarning chiziqli birikmasi bo'lgan satrning mos keladigan elementlarini qo'shsak. Ushbu determinantning (har qanday koeffitsientlar bilan), keyin determinantning qiymati o'zgarmaydi. Xulosa 5 aniqlovchilarni aniq hisoblashda keng qo'llaniladi.

Xususan, men Kramer va Gauss usullarini tasvirlab beraman. Eng oson yo'li - Kramer usuli (men uchun) yoki u ham deyiladi, Kramer formulasi. Deylik, bizda qandaydir tenglamalar tizimi mavjud

, Matritsa shaklida ushbu tizimni quyidagicha yozish mumkin: A= , bu erda tenglamalarga javoblar oxirgi ustunda bo'ladi. Endi fundamental determinant tushunchasini kiritamiz; bu holda u quyidagicha ko'rinadi:

= . Asosiy determinant, siz allaqachon sezganingizdek, o'zgaruvchilar koeffitsientlaridan tashkil topgan matritsadir. Ular, shuningdek, ustunlar tartibida paydo bo'ladi, ya'ni birinchi ustunda topilgan koeffitsientlar mavjud x , ikkinchi ustunda da y , va hokazo. Bu juda muhim, chunki keyingi bosqichlarda biz o'zgaruvchi uchun koeffitsientlarning har bir ustunini tenglama javoblari ustuniga almashtiramiz. Shunday qilib, aytganimdek, biz birinchi o'zgaruvchidagi ustunni javoblar ustuniga almashtiramiz, keyin ikkinchisida, albatta, barchasi qancha o'zgaruvchini topishimiz kerakligiga bog'liq.

1 = , 2 = , 3 = .

Keyin determinantlarni topishingiz kerak 1, 2, 3. Uchinchi tartibli determinantni qanday topishni allaqachon bilasiz. A Bu erda biz Kramer qoidasini qo'llaymiz. Bu shunday ko'rinadi:

x1 =, x2 =, x3 = – bu holat uchun, lekin umuman olganda, shunday ko'rinadi: x i = . Noma'lumlar uchun koeffitsientlardan tashkil topgan determinant deyiladi tizimning hal qiluvchi omili .

1. V. A. Ilyin, E. G. Poznyak "Chiziqli algebra"

2. G. D. Kim, E. V. Shikin “Chiziqli algebrada elementar transformatsiyalar”