Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa vektor formulasi. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa
Fazoda ma'lum p tekislik va ixtiyoriy M 0 nuqtani ko'rib chiqaylik. Keling, samolyotni tanlaylik normal vektor birligi n bilan boshi bir nuqtada M 1 ∈ p va M 0 nuqtadan p tekislikgacha bo'lgan masofa p(M 0 ,p) bo'lsin. Keyin (5.5-rasm)
r(M 0 ,p) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)
beri |n| = 1.
Agar p tekisligi berilgan bo'lsa uning umumiy tenglamasi bilan to'rtburchaklar koordinatalar tizimi Ax + By + Cz + D = 0, u holda uning normal vektori koordinatali vektor (A; B; C) va biz tanlashimiz mumkin.
(x 0 ; y 0 ; z 0) va (x 1 ; y 1 ; z 1) M 0 va M 1 nuqtalarning koordinatalari bo‘lsin. U holda Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 tengligi o'rinli bo'ladi, chunki M 1 nuqta tekislikka tegishli bo'lib, M 1 M 0 vektorining koordinatalarini topish mumkin: M 1 M 0 = (x 0 - x 1 y 0 -y 1 ; z 0 -z 1 ; Yozib olish skalyar mahsulot nM 1 M 0 koordinata shaklida va o'zgartirganda (5.8), biz olamiz
chunki Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Demak, nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash uchun nuqta koordinatalarini tekislikning umumiy tenglamasiga almashtirib, so'ngra mutlaq qiymatini bo'lish kerak. mos keladigan normal vektor uzunligiga teng bo'lgan normallashtiruvchi omil bilan natija.
, "Dars uchun taqdimot" tanlovi
Sinf: 11
Dars uchun taqdimot
Orqaga oldinga
Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot uchun mo'ljallangan va taqdimotning barcha xususiyatlarini aks ettirmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.
Maqsadlar:
- talabalarning bilim va ko'nikmalarini umumlashtirish va tizimlashtirish;
- tahlil qilish, taqqoslash, xulosa chiqarish ko'nikmalarini rivojlantirish.
Uskunalar:
- multimedia proyektori;
- kompyuter;
- muammoli matnli varaqlar
SINFNING OLISHI
I. Tashkiliy moment
II. Bilimlarni yangilash bosqichi(2-slayd)
Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa qanday aniqlanganligini takrorlaymiz
III. Leksiya(3-15 slaydlar)
Ushbu darsda biz nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishning turli usullarini ko'rib chiqamiz.
Birinchi usul: bosqichma-bosqich hisoblash
M nuqtadan a tekislikgacha bo'lgan masofa:
– M nuqtadan o‘tuvchi va a tekislikka parallel bo‘lgan a to‘g‘ri chiziqda yotgan ixtiyoriy P nuqtadan a tekislikka masofaga teng;
– b tekislikda yotgan, M nuqtadan o‘tuvchi va a tekislikka parallel bo‘lgan ixtiyoriy P nuqtadan a tekislikgacha bo‘lgan masofaga teng.
Biz quyidagi muammolarni hal qilamiz:
№1. A...D 1 kubida C 1 nuqtadan AB 1 C tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.
O 1 N segmentining uzunligi qiymatini hisoblash qoladi.
№2. Barcha qirralari 1 ga teng bo‘lgan A...F 1 muntazam olti burchakli prizmada A nuqtadan DEA 1 tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.
Keyingi usul: hajm usuli.
Agar ABCM piramidasining hajmi V ga teng bo'lsa, M nuqtadan ∆ABC ni o'z ichiga olgan a tekislikgacha bo'lgan masofa r(M; a) = r(M; ABC) = formula bilan hisoblanadi.
Masalalarni yechishda ikki xil usulda ifodalangan bir raqamning hajmlari tengligidan foydalanamiz.
Keling, quyidagi muammoni hal qilaylik:
№3. DABC piramidasining AD cheti ABC asos tekisligiga perpendikulyar. A dan AB, AC va AD qirralarning o'rta nuqtalaridan o'tuvchi tekislikgacha bo'lgan masofani toping, agar.
Muammolarni hal qilishda koordinata usuli M nuqtadan a tekislikgacha bo'lgan masofani r(M; a) = formulasi yordamida hisoblash mumkin 
, bu yerda M(x 0; y 0; z 0) va tekislik ax + by + cz + d = 0 tenglamasi bilan berilgan.
Keling, quyidagi muammoni hal qilaylik:
№4. A...D 1 birlik kubida A 1 nuqtadan BDC 1 tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.
Koordinatalar sistemasini koordinatalar sistemasini koordinatalar sistemasini koordinatalar koordinatasini koordinata sistemasining koordinatasini A nuqtada keltiramiz, y o’qi AB chekkasi bo’ylab, x o’qi AD chekkasi bo’ylab, z o’qi AA 1 cheti bo’ylab o’tadi. U holda B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) nuqtalarning koordinatalari.
B, D, C 1 nuqtalardan o'tuvchi tekislik uchun tenglama tuzamiz.
U holda – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Demak, r = 
Ushbu turdagi muammolarni hal qilish uchun quyidagi usuldan foydalanish mumkin muammolarni qo'llab-quvvatlash usuli.
Ushbu usulni qo'llash teorema sifatida tuzilgan ma'lum mos yozuvlar muammolaridan foydalanishdan iborat.
Keling, quyidagi muammoni hal qilaylik:
№5. A...D 1 birlik kubida D 1 nuqtadan AB 1 C tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.
Keling, arizani ko'rib chiqaylik vektor usuli.
№6. A...D 1 birlik kubida A 1 nuqtadan BDC 1 tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.
Shunday qilib, biz ushbu turdagi muammolarni hal qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan turli usullarni ko'rib chiqdik. Bir yoki boshqa usulni tanlash muayyan vazifaga va sizning afzalliklaringizga bog'liq.
IV. Guruh ishi
Muammoni turli yo'llar bilan hal qilishga harakat qiling.
№1. A...D 1 kubining cheti ga teng. C cho'qqisidan BDC 1 tekisligigacha bo'lgan masofani toping.
№2. Qirrali ABCD muntazam tetraedrida A nuqtadan BDC tekislikgacha bo'lgan masofani toping.
№3. Barcha qirralari 1 ga teng bo'lgan ABCA 1 B 1 C 1 muntazam uchburchak prizmasida A dan BCA 1 tekislikgacha bo'lgan masofani toping.
№4. Barcha qirralari 1 ga teng bo'lgan muntazam to'rtburchaklar SABCD piramidasida A dan SCD tekisligigacha bo'lgan masofani toping.
V. Dars xulosasi, uyga vazifa, mulohaza
O'rtasidagi masofani aniqlash: 1 - nuqta va tekislik; 2 - tekis va tekis; 3 - samolyotlar; 4 - kesishuvchi to'g'ri chiziqlar birgalikda ko'rib chiqiladi, chunki bu barcha masalalarni hal qilish algoritmi mohiyatan bir xil bo'lib, berilgan A nuqta va a tekislik orasidagi masofani aniqlash uchun bajarilishi kerak bo'lgan geometrik konstruktsiyalardan iborat. Agar biron-bir farq bo'lsa, u faqat 2 va 3-holatlarda masalani hal qilishni boshlashdan oldin m to'g'ri chiziqda (2-holat) yoki b tekislikda (3-holda) ixtiyoriy A nuqtani belgilash kerakligidan iborat. kesishuvchi to'g'ri chiziqlar orasidagi masofalar, avval ularni parallel a va b tekisliklarga o'rab olamiz va keyin bu tekisliklar orasidagi masofani aniqlaymiz.
Keling, muammoni hal qilishning har bir qayd etilgan holatlarini ko'rib chiqaylik.
1. Nuqta va tekislik orasidagi masofani aniqlash.
Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa nuqtadan tekislikka chizilgan perpendikulyar segment uzunligi bilan aniqlanadi.
Shuning uchun ushbu muammoni hal qilish quyidagi grafik operatsiyalarni ketma-ket bajarishdan iborat:
1) A nuqtadan a tekislikka perpendikulyar tushiramiz (269-rasm);
2) bu perpendikulyarning M = a ∩ a tekislik bilan kesishgan M nuqtasini toping;
3) segment uzunligini aniqlang.
Agar a tekislik umumiy holatda bo'lsa, u holda bu tekislikka perpendikulyar tushirish uchun avvalo shu tekislikning gorizontal va frontal proyeksiyalari yo'nalishini aniqlash kerak. Bu perpendikulyarning tekislik bilan uchrashish nuqtasini topish ham qo'shimcha geometrik konstruktsiyalarni talab qiladi.
Agar a tekislik proyeksiya tekisliklariga nisbatan ma'lum bir pozitsiyani egallasa, masalaning yechimi soddalashtirilgan. Bunda perpendikulyarning proyeksiyasi ham, uning tekislik bilan uchrashish nuqtasini topish ham hech qanday qo'shimcha yordamchi konstruktsiyalarsiz amalga oshiriladi.
O'RNAK 1. A nuqtadan frontal proyeksiyalovchi a tekislikgacha bo'lgan masofani aniqlang (270-rasm).
YECHIMA. A" orqali l" ⊥ h 0a perpendikulyarning gorizontal proyeksiyasini, A" orqali esa uning frontal proyeksiyasini l" ⊥ f 0a chizamiz. M" = l" ∩ f 0a nuqtasini belgilaymiz. AM ||dan beri p 2, keyin [A" M"] == |AM| = d.
Ko'rib chiqilgan misoldan, samolyot proyeksiya pozitsiyasini egallaganida muammo qanchalik sodda hal qilinishi aniq. Shuning uchun, agar manba ma'lumotlarida umumiy pozitsiya tekisligi ko'rsatilgan bo'lsa, u holda yechimga o'tishdan oldin tekislikni har qanday proyeksiya tekisligiga perpendikulyar holatga o'tkazish kerak.
O'RNAK 2. K nuqtadan DAVS ko'rsatilgan tekislikgacha bo'lgan masofani aniqlang (271-rasm).
1. DAVV tekisligini proyeksiya holatiga o'tkazamiz *. Buning uchun xp 2 /p 1 tizimidan x 1 p 3 /p 1 ga o'tamiz: yangi x 1 o'qning yo'nalishi uchburchakning gorizontal tekisligining gorizontal proyeksiyasiga perpendikulyar tanlangan.
2. DABC ni yangi p 3 tekislikka proyeksiya qiling (DABC tekisligi p 3 ga proyeksiyalangan, [ C " 1 B " 1 ] da).
3. K nuqtasini bir xil tekislikka proyeksiyalang (K" → K" 1).
4. K" 1 nuqta orqali (K" 1 M" 1)⊥ [C" 1 B" 1] segmentini chizamiz. Kerakli masofa d = |K" 1 M" 1 |
Agar tekislik izlar bilan aniqlangan bo'lsa, muammoni hal qilish soddalashtiriladi, chunki tekislik chiziqlarining proyeksiyalarini chizishning hojati yo'q.
O'RNAK 3. K nuqtadan yo'llar bilan belgilangan a tekislikgacha bo'lgan masofani aniqlang (272-rasm).
* Uchburchak tekisligini proyeksiyalash holatiga o'tkazishning eng oqilona usuli proyeksiya tekisliklarini almashtirishdir, chunki bu holda faqat bitta yordamchi proyeksiyani qurish kifoya.
YECHIMA. Biz p 1 tekislikni p 3 tekislik bilan almashtiramiz, buning uchun yangi o'qni x 1 ⊥ f 0a chizamiz. h 0a da ixtiyoriy 1" nuqtani belgilaymiz va uning p 3 (1" 1) tekislikdagi yangi gorizontal proyeksiyasini aniqlaymiz. X a 1 (X a 1 = h 0a 1 ∩ x 1) va 1" 1 nuqtalar orqali h 0a 1 ni chizamiz. K → K" 1 nuqtaning yangi gorizontal proyeksiyasini aniqlaymiz. K" 1 nuqtadan h 0a 1 ga perpendikulyar tushiramiz va uning h 0a 1 - M" 1 bilan kesishgan nuqtasini belgilaymiz. K" 1 M" 1 segmentining uzunligi kerakli masofani ko'rsatadi.
2. To'g'ri chiziq bilan tekislik orasidagi masofani aniqlash.
Chiziq va tekislik orasidagi masofa chiziqning ixtiyoriy nuqtasidan tekislikka tushirilgan perpendikulyar segmentning uzunligi bilan aniqlanadi (248-rasmga qarang).
Shuning uchun, to'g'ri chiziq m va tekislik orasidagi masofani aniqlash masalasini hal qilish nuqta va tekislik orasidagi masofani aniqlash uchun 1-bandda ko'rib chiqilgan misollardan farq qilmaydi (270-rasmga qarang ... 272). Nuqta sifatida siz m chiziqqa tegishli istalgan nuqtani olishingiz mumkin.
3. Samolyotlar orasidagi masofani aniqlash.
Samolyotlar orasidagi masofa bir tekislikda olingan nuqtadan boshqa tekislikka tushirilgan perpendikulyar segmentning kattaligi bilan aniqlanadi.
Bu ta’rifdan kelib chiqadiki, a va b tekisliklar orasidagi masofani topish masalasini yechish algoritmi m chiziqdan a tekislik orasidagi masofani aniqlashga oid masalani yechish algoritmidan faqat shu holatda farq qiladiki, m chiziq a tekislikka tegishli bo‘lishi kerak. , ya'ni a va b tekisliklar orasidagi masofani aniqlash uchun quyidagicha:
1) a tekislikda m to'g'ri chiziqni oling;
2) m chiziqda ixtiyoriy A nuqtani tanlang;
3) A nuqtadan b tekislikka l perpendikulyarni tushiring;
4) M nuqtani - l perpendikulyarning b tekislik bilan uchrashish nuqtasini aniqlang;
5) segmentning hajmini aniqlash.
Amalda, boshqa yechim algoritmini qo'llash maqsadga muvofiqdir, bu berilgan algoritmdan faqat birinchi bosqichga o'tishdan oldin tekisliklarni proyeksiya holatiga o'tkazish kerakligi bilan farq qiladi.
Ushbu qo'shimcha operatsiyani algoritmga kiritish boshqa barcha nuqtalarning bajarilishini istisnosiz soddalashtiradi, bu esa oxir-oqibat oddiyroq echimga olib keladi.
MISOL 1. a va b tekisliklar orasidagi masofani aniqlang (273-rasm).
YECHIMA. Biz xp 2 /p 1 sistemadan x 1 p 1 /p 3 ga o'tamiz. Yangi p 3 tekisligiga nisbatan a va b tekisliklar proyeksiyalovchi pozitsiyani egallaydi, shuning uchun f 0a 1 va f 0b 1 yangi frontal izlar orasidagi masofa kerakli bo'ladi.
Muhandislik amaliyotida ko'pincha berilgan tekislikka parallel va undan ma'lum masofada olib tashlangan tekislikni qurish masalasini hal qilish kerak. Quyidagi 2-misol bunday muammoning yechimini ko'rsatadi.
O'RNAK 2. Berilgan a (m || n) tekislikka parallel b tekislikning proyeksiyalarini, agar ular orasidagi masofa d ekanligi ma'lum bo'lsa, qurish talab qilinadi (274-rasm).
1. a tekislikda ixtiyoriy gorizontal chiziqlarni h (1, 3) va old chiziqlarni f (1,2) chizamiz.
2. 1-nuqtadan a(l" ⊥ h", l" ⊥ f") tekislikka l perpendikulyarni tiklaymiz.
3. Perpendikulyar l ustida ixtiyoriy A nuqtani belgilaymiz.
4. Segmentning uzunligini aniqlang - (pozitsiya diagrammada l to'g'ri chiziqning metrik jihatdan buzilmagan yo'nalishini ko'rsatadi).
5. 1 nuqtadan to'g'ri chiziqqa (1"A 0) = d segmentini qo'ying.
6. B 0 nuqtaga mos keladigan l" va l" B" va B nuqtalarni proyeksiyalarga belgilang.
7. B nuqta orqali b tekislikni o'tkazamiz (h 1 ∩ f 1). b || uchun a, h 1 || shartiga rioya qilish kerak h va f 1 || f.
4. Kesishgan chiziqlar orasidagi masofani aniqlash.
Kesishuvchi chiziqlar orasidagi masofa kesishuvchi chiziqlar tegishli bo'lgan parallel tekisliklar orasidagi perpendikulyar uzunligi bilan aniqlanadi.
Kesuvchi m va f to'g'ri chiziqlar orqali o'zaro parallel a va b tekisliklarni o'tkazish uchun A nuqtadan (A ∈ m) f to'g'ri chiziqqa parallel p to'g'ri chiziqni va B nuqtadan (B ∈ f) o'tkazish kifoya. to'g'ri chiziq k to'g'ri m ga parallel. Kesishuvchi chiziqlar m va p, f va k o'zaro parallel a va b tekisliklarni aniqlaydi (248-rasm, e ga qarang). a va b tekisliklar orasidagi masofa m va f kesishuvchi chiziqlar orasidagi kerakli masofaga teng.
Kesishuvchi chiziqlar orasidagi masofani aniqlashning boshqa usulini taklif qilish mumkin, bu ortogonal proyeksiyalarni o'zgartirishning ba'zi usullaridan foydalanib, kesishgan chiziqlardan biri proyeksiya holatiga o'tkazilishidan iborat. Bunday holda, chiziqning bir proyeksiyasi nuqtaga aylanadi. Kesishgan chiziqlarning yangi proyeksiyalari orasidagi masofa (A" 2 nuqta va C" 2 D" 2 segmenti) talab qilinadigan masofadir.
Shaklda. 275 da [AB] va [CD] segmentlari berilgan a va b kesishuvchi chiziqlar orasidagi masofani aniqlash muammosining yechimi ko'rsatilgan. Yechim quyidagi ketma-ketlikda amalga oshiriladi:
1. (a) kesishuvchi chiziqlardan birini p 3 tekislikka parallel holatga o'tkazing; Buning uchun xp 2 /p 1 proyeksiya tekisliklari tizimidan yangi x 1 p 1 /p 3 ga o'ting, x 1 o'qi a to'g'ri chiziqning gorizontal proyeksiyasiga parallel. a" 1 [A" 1 B" 1 ] va b" 1 ni aniqlang.
2. p 1 tekislikni p 4 tekislik bilan almashtirib, to‘g‘ri chiziqni o‘tkazamiz.
va a" 2 ni p 4 tekislikka perpendikulyar joylashtirish uchun (yangi x 2 o'qi a" 1 ga perpendikulyar chizilgan).
3. b" 2 - [ C" 2 D" 2 ] to'g'ri chiziqning yangi gorizontal proyeksiyasini tuzing.
4. A" 2 nuqtadan C" 2 D" 2 to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa (segment (A" 2 M" 2 ] (kerakli).
Shuni yodda tutish kerakki, kesishgan chiziqlardan birini proyeksiyalash holatiga o'tkazish, a va b chiziqlarni o'rab olish mumkin bo'lgan parallellik tekisliklarini, shuningdek, proyeksiya holatiga o'tkazishdan boshqa narsa emas.
Haqiqatdan ham, a chiziqni p 4 tekislikka perpendikulyar holatga ko‘chirish orqali biz a chiziqni o‘z ichiga olgan har qanday tekislikning p 4 tekislikka perpendikulyar bo‘lishini, shu jumladan a va m (a ∩ m, m | |. b). Agar endi a ga parallel va b chiziqqa parallel bo'lgan n to'g'ri chiziqni o'tkazsak, u holda parallelizmning ikkinchi tekisligi bo'lgan b tekislikni olamiz, unda kesishuvchi a va b to'g'rilar mavjud. b || dan beri a, keyin b ⊥ p 4 .
Samolyot bo'lsin 
. Keling, normal chizamiz 
koordinatalarning kelib chiqishi orqali O. Berilsin 
- normal tomonidan hosil qilingan burchaklar 
koordinata o'qlari bilan. 
. Mayli 
- normal segment uzunligi 
tekislik bilan kesishguncha. Agar normalning yo'nalishi kosinuslari ma'lum bo'lsa 
, tekislikning tenglamasini chiqaramiz 
.
Mayli 
) tekislikdagi ixtiyoriy nuqtadir. Birlik normal vektor koordinatalariga ega. Vektorning proyeksiyasini topamiz 
normal holatga.
Nuqtaidan beri M demak, samolyotga tegishli
.
Bu berilgan tekislikning tenglamasi deyiladi normal .
Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa
Samolyot berilsin 
,M*
- kosmosdagi nuqta; d
- uning samolyotdan masofasi.
Ta'rif.
Burilish
ball M* samolyotdan raqam deyiladi ( +
d),
Agar M*
tekislikning boshqa tomonida yotadi, bu erda normal nuqtalarning ijobiy yo'nalishi 
, va raqam (- d), agar nuqta tekislikning boshqa tomonida joylashgan bo'lsa:
.
Teorema.
Samolyotga ruxsat bering 
normal birlik bilan 
normal tenglama bilan berilgan:
Mayli M*
– fazodagi nuqta chetlanish t. M* tekislikdan ifoda bilan beriladi
Isbot. Proyeksiya t. 
* normal bilan belgilaymiz Q.
Nuqtadan chetlanish M* tekislikdan teng
.
Qoida. Topmoq og'ish
T. M* tekislikdan t koordinatalarini tekislikning normal tenglamasiga almashtirishingiz kerak. M*
. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa 
.
Umumiy tekislik tenglamasini normal shaklga keltirish
Xuddi shu tekislik ikkita tenglama bilan aniqlansin:
Umumiy tenglama
Oddiy tenglama.
Ikkala tenglama ham bir tekislikni aniqlaganligi sababli, ularning koeffitsientlari proportsionaldir:
Birinchi uchta tenglikni kvadratga aylantiramiz va ularni qo'shamiz:
Bu yerdan biz topamiz 
- normallashtiruvchi omil:
. (10)
Tekislikning umumiy tenglamasini normallashtiruvchi omilga ko'paytirib, tekislikning normal tenglamasini olamiz:
"Samolyot" mavzusidagi muammolarga misollar.
1-misol. Tekislik tenglamasini tuzing 
berilgan nuqtadan o'tish 
(2,1,-1) va tekislikka parallel.
Yechim. Oddiy samolyot 
:
. Samolyotlar parallel bo'lgani uchun, u holda normal 
kerakli tekislik uchun ham normaldir 
. Berilgan nuqtadan (3) o'tuvchi tekislik tenglamasidan foydalanib, biz tekislik uchun olamiz 
tenglama:
Javob:
2-misol. Perpendikulyarning asosi boshidan tekislikka tushdi 
, nuqta 
. Tekislik tenglamasini toping 
.
Yechim. Vektor 
samolyot uchun normaldir 
. Nuqta M 0
samolyotga tegishli. Berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasidan foydalanishingiz mumkin (3):
Javob:
3-misol. Samolyot qurish 
, nuqtalardan o'tish 
va tekislikka perpendikulyar 
:.
Shuning uchun, qaysidir ma'noda M
(x,
y,
z) samolyotga tegishli edi 
, uchta vektor bo'lishi kerak 
o'xshash edi:
=0.
Determinantni ochish va olingan ifodani umumiy tenglama (1) ko'rinishiga keltirish qoladi.
4-misol. Samolyot 
umumiy tenglama bilan berilgan:
Nuqtadan chetlanishni toping 
berilgan tekislikdan.
Yechim. Tekislik tenglamasini normal shaklga keltiramiz.
,
.
Olingan normal tenglamaga nuqta koordinatalarini almashtiramiz M*.
.
Javob: 
.
5-misol. Samolyot segmentni kesib o'tadimi?
Yechim. Kesmoq AB samolyotni kesib o'tdi, og'ishlar 
Va 
samolyotdan 
turli belgilar bo'lishi kerak:
.
6-misol. Uchta tekislikning bir nuqtada kesishishi.
.
Tizim noyob yechimga ega, shuning uchun uchta tekislik bitta umumiy nuqtaga ega.
7-misol. Berilgan ikkita tekislik hosil qilgan ikki burchakli burchakning bissektrisalarini topish.
Mayli 
Va 
- ma'lum bir nuqtaga og'ish 
birinchi va ikkinchi tekisliklardan.
Bissektrisa tekisliklaridan birida (koordinatalarning kelib chiqishi yotadigan burchakka mos keladi) bu og'ishlar kattalik va ishora jihatidan teng, ikkinchisida esa kattalik jihatidan teng va ishoraga qarama-qarshidir.
Bu birinchi bissektrisa tekisligining tenglamasi.
Bu ikkinchi bissektrisa tekisligining tenglamasi.
8-misol. Berilgan ikkita nuqtaning joylashishini aniqlash 
Va 
bu tekisliklar hosil qilgan dihedral burchaklarga nisbatan.
Mayli 
. Aniqlang: bitta, qo'shni yoki vertikal burchakda nuqtalar mavjud 
Va 
.
A). Agar 
Va 
bir tomonida yotish 
va dan 
, keyin ular bir xil dihedral burchakda yotadi.
b). Agar 
Va 
bir tomonida yotish 
va dan farq qiladi 
, keyin ular qo'shni burchaklarda yotadi.
V). Agar 
Va 
qarama-qarshi tomonlarida yotish 
Va 
, keyin ular vertikal burchaklarda yotadi.
Koordinata tizimlari 3
Samolyotdagi chiziqlar 8
Birinchi tartib qatorlari. To'g'ridan-to'g'ri samolyotda. 10
To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak 12
13-qatorning umumiy tenglamasi
Tugallanmagan birinchi darajali tenglama 14
“Segmentlarda” to‘g‘ri chiziq tenglamasi 14
Ikki chiziqli tenglamalarni birgalikda o'rganish 15
15-qator uchun normal
Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak 16
16-qatorning kanonik tenglamasi
17-chiziqning parametrik tenglamalari
18-chiziqning normal (normallashtirilgan) tenglamasi
Nuqtadan 19-chiziqgacha bo'lgan masofa
20-chiziq qalam tenglamasi
“Samolyotdagi chiziq” mavzusidagi masalalarga misollar 22
Vektorlarning vektor mahsuloti 24
O'zaro mahsulotning xususiyatlari 24
Geometrik xossalar 24
Algebraik xossalar 25
Vektor ko'paytmani omillar koordinatalari orqali ifodalash 26
Uch vektorning aralash mahsuloti 28
Aralash ko`paytmaning geometrik ma`nosi 28
Aralash hosilani vektor koordinatalari orqali ifodalash 29
Muammoni hal qilishga misollar
Nuqtadan tekislikgacha bo‘lgan masofani topish analitik geometriyaning turli masalalarini yechishda yuzaga keladigan keng tarqalgan masala bo‘lib, masalan, bu masalani kesishuvchi ikkita to‘g‘ri chiziq orasidagi yoki to‘g‘ri chiziq bilan tekislik orasidagi masofani topishga qisqartirish mumkin; bu.
$b$ tekisligini va $b$ tekisligiga tegishli bo'lmagan $(x_0;y_0; z_0)$ koordinatali $M_0$ nuqtasini ko'rib chiqaylik.
Ta'rif 1
Nuqta va tekislik orasidagi eng qisqa masofa $M_0$ nuqtadan $b$ tekislikka chizilgan perpendikulyar bo'ladi.
Shakl 1. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa. Avtor24 - talabalar ishlarini onlayn almashish
Quyida biz koordinata usuli yordamida nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani qanday topishni ko'rib chiqamiz.
Fazodagi nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishning koordinata usuli formulasini chiqarish
$M_1$ nuqtada $b$ tekislikni $(x_1;y_1; z_1)$ koordinatalari bilan kesishgan $M_0$ nuqtadan perpendikulyar yoʻnalish vektori $b$ tekislikning normal vektori boʻlgan toʻgʻri chiziqda yotadi. Bunda $n$ birlik vektorining uzunligi bittaga teng. Shunga ko'ra, $b$ dan $M_0$ nuqtasigacha bo'lgan masofa quyidagicha bo'ladi:
$r= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, bu yerda $\vec(M_1M_0)$ $b$ tekisligining normal vektori va $\vec( n)$ - ko'rib chiqilayotgan tekislikning normal vektor birligi.
Tekislik tenglamasi umumiy ko'rinishda $Ax+ By + Cz + D=0$ berilgan holatda tekislikning normal vektorining koordinatalari $\(A;B;C\) tenglamaning koeffitsientlari hisoblanadi. )$, va bu holda normal vektor birligi quyidagi tenglama yordamida hisoblangan koordinatalarga ega:
$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\o'ng)$.
Endi biz $\vec(M_1M_0)$ normal vektorining koordinatalarini topishimiz mumkin:
$\vec(M_0M_1)= \(x_0 - x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\chap (3\o'ng)$.
$D$ koeffitsientini $b$ tekisligida yotgan nuqta koordinatalari yordamida ham ifodalaymiz:
$D= Ax_1+By_1+Cz_1$
$(2)$ tenglikdan birlik normal vektorining koordinatalari $b$ tekisligi tenglamasiga almashtirilishi mumkin, keyin bizda:
$r= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2) +B^2+C^2))\chap(4\o‘ng)$
$(4)$ tengligi fazodagi nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topish formulasidir.
$M_0$ nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishning umumiy algoritmi
- Agar tekislikning tenglamasi umumiy shaklda berilmagan bo'lsa, avval uni umumiy shaklga keltirish kerak.
- Shundan so'ng, tekislikning umumiy tenglamasidan $M_0$ nuqta orqali berilgan tekislikning normal vektorini va berilgan tekislikka tegishli nuqtani ifodalash kerak, buning uchun $(3)$ tenglikdan foydalanishimiz kerak. .
- Keyingi bosqichda $(2)$ formulasi yordamida tekislikning normal vektor birligining koordinatalarini izlash amalga oshiriladi.
- Nihoyat, nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishni boshlashingiz mumkin, bu $\vec(n)$ va $\vec(M_1M_0)$ vektorlarining skalyar mahsulotini hisoblash orqali amalga oshiriladi.