Nazariy material. Nazariy material Sirtga tegish uchun tenglama tuzing

Depozit fayllaridan yuklab oling

4. YUZALAR NAZARIYASI.

4.1 SURAT TENGLAMALARI.

Uch o'lchovli fazoda sirtni belgilash mumkin:

1) bilvosita: F ( x , y , z ) =0 (4.1)

2) aniq: z = f ( x , y ) (4.2)

3) parametrik: (4.3)

yoki:
(4.3’)

skalar argumentlar qayerda
ba'zan egri chiziqli koordinatalar deb ataladi. Masalan, shar
sferik koordinatalarda belgilash qulay:
.

4.2 TANGENT TASIZLIK VA SIRTGA NORMAL.

Agar chiziq sirtda yotsa (4.1), u holda uning nuqtalarining koordinatalari sirt tenglamasini qanoatlantiradi:

Ushbu identifikatsiyani farqlash orqali biz quyidagilarni olamiz:

(4.4)

yoki
(4.4 ’ )

sirtdagi egri chiziqning har bir nuqtasida. Shunday qilib, sirtning yagona bo'lmagan nuqtalarida gradient vektori (bu funksiya (4.5) differensiallanadi va
) sirtdagi har qanday chiziqlarga teguvchi vektorlarga perpendikulyar, ya'ni M nuqtadagi teginish tekisligi tenglamasini tuzish uchun normal vektor sifatida foydalanish mumkin. 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) sirt

(4.6)

va normal tenglamada yo'nalish vektori sifatida:

(4.7)

Sirtning aniq (4.2) spetsifikatsiyasi bo'lsa, teginish tekisligi va normal tenglamalar mos ravishda quyidagi shaklni oladi:

(4.8)

Va
(4.9)

Sirtning parametrik tasviri bilan (4.3), vektorlar
tangens tekislikda yotadi va tangens tekislik tenglamasini quyidagicha yozish mumkin:

(4.10)

va ularning vektor mahsuloti normal vektor yo'nalishi sifatida olinishi mumkin:

va normal tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

(4.11)

Qayerda
- M nuqtasiga mos keladigan parametr qiymatlari 0 .

Keyinchalik vektorlar joylashgan sirt nuqtalarini ko'rib chiqish bilan cheklanamiz

nolga teng emas va parallel emas.

4.1-misol M nuqtadagi tangens tekislik va normal uchun tenglamalar tuzing 0 (1,1,2) inqilob paraboloidi yuzasiga
.

Yechish: Paraboloid tenglama aniq berilganligi sababli (4.8) va (4.9) ga muvofiq biz topishimiz kerak.
M nuqtasida 0 :

, va M nuqtada 0
. Keyin M nuqtadagi tangens tekislik tenglamasi 0 quyidagi shaklni oladi:

2(x -1)+2(y -1)-(z-2)=0 yoki 2 x +2 y – z - 2=0, va normal tenglama
.

4.2-misol Helikoidning ixtiyoriy nuqtasida tangens tekislik va normal uchun tenglamalar tuzing
, .

Yechim. Bu yerga ,

Tangens tekislik tenglamasi:

yoki

Oddiy tenglamalar:

.

4.3 BIRINCHI KVADRATIK YUZA FORMASI.

Agar sirt tenglama bilan berilgan bo'lsa

keyin egri chiziq
tenglama orqali berilishi mumkin
(4.12)

Radius vektor differensial
M nuqtadan siljishga mos keladigan egri chiziq bo'ylab 0 eng yaqin M nuqtaga, ga teng

(4.13)

Chunki
bir xil siljishga mos keladigan egri yoyining differentsialidir), keyin

(4.14)

Qayerda.

(4.14) ning o'ng tomonidagi ifoda sirtning birinchi kvadrat shakli deb ataladi va sirtlar nazariyasida juda katta rol o'ynaydi.

Men differentsialni birlashtiramands gacha t 0 (M nuqtasiga to'g'ri keladi 0 ) dan t gacha (M nuqtasiga to'g'ri keladi), biz egri chiziqning mos keladigan segmentining uzunligini olamiz

(4.15)

Sirtning birinchi kvadrat shaklini bilib, siz nafaqat uzunliklarni, balki egri chiziqlar orasidagi burchaklarni ham topishingiz mumkin.

Agar du , dv bir egri chiziq bo'ylab cheksiz kichik siljishga mos keladigan egri chiziqli koordinatalarning differentsiallari va
- boshqa tomondan, keyin (4.13) hisobga olingan holda:

(4.16)

Formuladan foydalanish

(4.17)

birinchi kvadratik shakl mintaqaning maydonini hisoblash imkonini beradi
yuzalar.

4.3-misol Helikoidda spiral uzunligini toping
ikki nuqta o'rtasida.

Yechim. Chunki spiralda
, Bu. Keling, nuqtani topamiz
birinchi kvadrat shakli. Belgilangan vav = t , shaklida bu spiralning tenglamasini olamiz. Kvadrat shakli:

= - birinchi kvadrat shakl.

Bu yerga . Bu holda (4.15) formulada
va yoy uzunligi:

=

4.4 IKKINCHI KVADRATIK YUZA FORMASI.

belgilaylik
- sirtga normal birlik vektor
:

(4.18) . (4.23)

Sirtdagi chiziq egri chiziq deb ataladi, agar uning har bir nuqtadagi yo'nalishi asosiy yo'nalish bo'lsa.

4.6 SURATDAGI GEODETIK CHIZIKLAR TUSHUNCHASI.

Ta'rif 4.1 . Sirtdagi egri chiziq, agar uning asosiy normasi bo'lsa, geodezik deyiladi egrilik nolga teng bo'lmagan har bir nuqtada u normal holatga to'g'ri keladi yuzasiga.

Sirtning har bir nuqtasi orqali istalgan yo'nalishda faqat bitta geodezik o'tadi. Sferada, masalan, katta doiralar geodeziyadir.

Agar koordinata chiziqlarining bir oilasi geodeziyadan iborat bo'lsa, ikkinchisi unga ortogonal bo'lsa, sirt parametrizatsiyasi yarim geodezik deyiladi. Masalan, sharda meridianlar (geodeziyalar) va parallellar mavjud.

Etarlicha kichik segmentdagi geodeziya bir xil nuqtalarni bog'laydigan unga yaqin bo'lgan barcha egri chiziqlar orasida eng qisqasi.

2 oʻzgaruvchili z = f(x,y) funksiya grafigi D funksiyaning aniqlanish sohasiga XOY tekisligiga proyeksiyalangan sirtdir.
Sirtni ko'rib chiqing σ , z = f(x,y) tenglama bilan berilgan, bu yerda f(x,y) differensiallanuvchi funksiya va M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) s sirtda qoʻzgʻalmas nuqta boʻlsin, yaʼni. z 0 = f(x 0 ,y 0). Maqsad. Onlayn kalkulyator topish uchun mo'ljallangan tangens tekislik va sirt normal tenglamalari. Yechim Word formatida tuzilgan. Agar egri chiziqqa teguvchi tenglamani topish kerak bo'lsa (y = f(x)), unda siz ushbu xizmatdan foydalanishingiz kerak.

Funksiyalarni kiritish qoidalari:

Funksiyalarni kiritish qoidalari:

Sirtga teginish tekisligi σ uning nuqtasida M 0 - sirtda chizilgan barcha egri chiziqlarning teglari yotadigan tekislik σ nuqta orqali M 0 .
M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) nuqtada z = f(x,y) tenglama bilan aniqlangan sirtga teginish tekisligining tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

Misol № 1. Sirt x 3 +5y tenglama bilan berilgan. M 0 (0;1) nuqtada sirtga teginish tekisligi tenglamasini toping.
Yechim. Tangens tenglamalarni umumiy shaklda yozamiz: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y) - y 0)
Masalaning shartlariga ko'ra, x 0 = 0, y 0 = 1, keyin z 0 = 5
z = x^3+5*y funksiyaning qisman hosilalari topilsin:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
M 0 (0,1) nuqtasida qisman hosilalarning qiymatlari:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Formuladan foydalanib, M 0 nuqtadagi sirtga teginish tekisligi tenglamasini olamiz: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) yoki -5 y+z = 0

Misol № 2. Sirt aniq y 2 -1/2*x 3 -8z sifatida aniqlanadi. M 0 (1;0;1) nuqtadagi sirtga teginish tekisligi tenglamasini toping.
Yechim. Funksiyaning qisman hosilalarini topish. Funktsiya bilvosita ko'rsatilganligi sababli, hosilalarni quyidagi formuladan foydalanib qidiramiz:

Bizning funktsiyamiz uchun:

Keyin:

M 0 (1,0,1) nuqtada qisman hosilalarning qiymatlari:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
Formuladan foydalanib, M 0 nuqtadagi sirtga teginish tekisligi tenglamasini olamiz: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) yoki 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Misol. Yuzaki σ tenglama bilan berilgan z= y/x + xy – 5x 3. Tangens tekislik va sirtga normal tenglamani toping σ nuqtada M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), unga tegishli bo'lsa, agar x 0 = –1, y 0 = 2.
Funktsiyaning qisman hosilalarini topamiz z= f(x,y) = y/x + xy – 5x 3:
f x '( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f y ' ( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ y = 1/x + x.
Nuqta M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) sirtga tegishli σ , shuning uchun biz hisoblashimiz mumkin z 0, berilgan o'rniga x 0 = –1 va y 0 = 2 sirt tenglamasiga:

z= y/x + xy – 5x 3

Misol № 1. z=f(x,y) funksiya va ikkita nuqta A(x 0, y 0) va B(x 1, y 1) berilgan. Talab qilinadi: 1) funksiyaning z 1 qiymatini B nuqtada hisoblash; 2) funksiyaning A nuqtadagi z 0 qiymatidan kelib chiqib, A nuqtadan B nuqtaga o‘tishda funksiyaning o‘sishini differentsial bilan almashtirib, B nuqtadagi funksiyaning taxminiy qiymati z 1 ni hisoblang; 3) C(x 0 ,y 0 ,z 0) nuqtada z = f(x,y) sirtga teginish tekisligi uchun tenglama tuzing.
Yechim.
Tangens tenglamalarni umumiy shaklda yozamiz:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
Masalaning shartlariga ko'ra, x 0 = 1, y 0 = 2, keyin z 0 = 25
z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2 funksiyaning qisman hosilalari topilsin:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
M 0 (1,2) nuqtada qisman hosilalarning qiymatlari:
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
Formuladan foydalanib, M 0 nuqtasida sirtga teginish tekisligi tenglamasini olamiz:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
yoki
-26 x-36 y+z+73 = 0

Misol № 2. (1;-1;3) nuqtadagi z = 2x 2 + y 2 elliptik paraboloidga teginish tekisligi va normal tenglamalarini yozing.

1°. Sirtni aniq belgilash holati uchun tangens tekislik va normal tenglamalar.

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning qisman hosilalarining geometrik qo‘llanilishidan birini ko‘rib chiqamiz. Funktsiyaga ruxsat bering z = f (x ;y) nuqtada farqlanadi (x 0; y 0) ba'zi hudud DÎ R 2. Keling, sirtni kesib tashlaymiz S, funksiyani ifodalaydi z, samolyotlar x = x 0 Va y = y 0(11-rasm).

Samolyot X = x 0 sirtini kesib o'tadi S ba'zi bir chiziq bo'ylab z 0 (y), tenglamasi asl funktsiya ifodasiga almashtirish orqali olinadi z ==f (x ;y) o'rniga X raqamlar x 0. Nuqta M 0 (x 0;y 0,f (x 0;y 0)) egri chiziqqa tegishli z 0 (y). Differensiallanuvchi funksiya tufayli z nuqtada M 0 funktsiyasi z 0 (y) nuqtada ham farqlanadi y =y 0 . Shuning uchun, samolyotda bu nuqtada x = x 0 egri chiziqqa z 0 (y) tangensni chizish mumkin l 1.

Bo'lim uchun shunga o'xshash fikr yuritish da = y 0, tangens quramiz l 2 egri chiziqqa z 0 (x) nuqtada X = x 0 - To'g'ridan-to'g'ri 1 1 Va 1 2 deb nomlangan tekislikni aniqlang tangens tekisligi yuzasiga S nuqtada M 0.

Uning tenglamasini tuzamiz. Samolyot nuqtadan o'tganligi sababli oy(x 0;y 0 ;z 0), u holda uning tenglamasini quyidagicha yozish mumkin

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

bu shunday qayta yozilishi mumkin:

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(tenglamani -C ga bo'lish va belgilash ).

Biz topamiz A 1 va B 1.

Tangens tenglamalar 1 1 Va 1 2 o'xshamoq

mos ravishda.

Tangent l 1 tekislikda yotadi a , shuning uchun barcha nuqtalarning koordinatalari l 1(1) tenglamani qanoatlantiring. Bu fakt tizim shaklida yozilishi mumkin

Ushbu tizimni B 1 ga nisbatan hal qilib, biz tangens uchun shunga o'xshash fikr yuritamiz l 3, buni aniqlash oson.

Qiymatlarni almashtirish A 1 va B 1 ni (1) tenglamaga kiritsak, biz kerakli tangens tekislik tenglamasini olamiz:

Nuqtadan o'tuvchi chiziq M 0 va sirtning shu nuqtasida qurilgan tangens tekislikka perpendikulyar uning deyiladi normal.

Chiziq va tekislikning perpendikulyarlik shartidan foydalanib, kanonik normal tenglamalarni olish oson:

Izoh. Sirtning oddiy, ya'ni maxsus bo'lmagan nuqtalari uchun teginish tekisligi va sirtga normal formulalar olinadi. Nuqta M 0 sirt deyiladi maxsus, agar bu nuqtada barcha qisman hosilalar nolga teng bo'lsa yoki ulardan kamida bittasi mavjud bo'lmasa. Biz bunday fikrlarni hisobga olmaymiz.

Misol. Tangens tekislik va uning nuqtasidagi sirtga normal tenglamalarni yozing M(2; -1; 1).

Yechim. Keling, ushbu funktsiyaning qisman hosilalari va ularning M nuqtadagi qiymatlarini topamiz

Bu erdan (2) va (3) formulalarni qo'llash orqali biz quyidagilarga ega bo'lamiz: z-1=2(x-2)+2(y+1) yoki 2x+2u-z-1=0- tangens tekislik tenglamasi va - normal tenglamalar.

2°. Tangens tekislik tenglamalari va sirtning aniq ta'rifi uchun normal.

Agar sirt S tenglama bilan berilgan F (x ; y;z)= 0, keyin (2) va (3) tenglamalar, qisman hosilalarni yashirin funktsiyaning hosilalari sifatida topish mumkinligini hisobga olgan holda.

Oddiy tekislik tenglamasi

1.

4.

Tangens tekislik va sirt normal

Ba'zi sirt berilgan bo'lsin, A - sirtning qo'zg'almas nuqtasi va B - sirtning o'zgaruvchan nuqtasi,

Nolga teng bo'lmagan vektor

F (x, y, z) = 0 sirt nuqtasi, agar bu nuqtada oddiy deyiladi

1. F " x , F "y , F " z qisman hosilalari uzluksiz;
2. (F " x )2 + (F "y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

Agar ushbu shartlardan kamida bittasi buzilgan bo'lsa, sirt nuqtasi chaqiriladi sirtning maxsus nuqtasi .

Teorema 1. Agar M(x 0 , y 0 , z 0 ) F (x , y , z) = 0 sirtining oddiy nuqtasi, u holda vektor

M nuqtada bu sirt uchun normaldir (x 0, y 0, z 0).

Isbot kitobida berilgan I.M. Petrushko, L.A. Kuznetsova, V.I. Proxorenko, V.F. Safonova ``Oliy matematika kursi: Integral hisob. Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari. Differensial tenglamalar. M.: MPEI nashriyoti, 2002 (128-bet).

Sirt uchun normal qaysidir nuqtada yoʻnalish vektori shu nuqtada sirtga normal boʻlgan va shu nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq mavjud.

Kanonik normal tenglamalar shaklida ifodalanishi mumkin

Tangens tekisligi ma'lum bir nuqtada sirtga - bu nuqtadan sirtga normal perpendikulyar bo'lgan bu nuqtadan o'tadigan tekislik.

Ushbu ta'rifdan kelib chiqadiki tangens tekislik tenglamasi shaklga ega:

Agar sirtdagi nuqta yagona bo'lsa, u holda sirtga normal vektor mavjud bo'lmasligi mumkin va shuning uchun sirt normal va teginish tekisligiga ega bo'lmasligi mumkin.

Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning to'liq differentsialining geometrik ma'nosi

z = f (x, y) funksiya a (x 0, y 0) nuqtada differentsiallanuvchi bo lsin. Uning grafigi sirtdir

f (x, y) − z = 0.

z 0 = f (x 0 , y 0 ) ni qo'yaylik. U holda A nuqta (x 0, y 0, z 0) sirtga tegishli.

F (x, y, z) = f (x, y) − z funksiyaning qisman hosilalari

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = - 1

va A nuqtada (x 0 , y 0 , z 0 )

1. ular doimiy;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Binobarin, A F (x, y, z) sirtining oddiy nuqtasidir va bu nuqtada sirtga teginish tekisligi mavjud. (3) ga binoan, tangens tekislik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

f " x (x 0 , y 0 ) (x - x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y - y 0 ) - (z - z 0 ) = 0.

A (x 0, y 0) nuqtadan ixtiyoriy p (x, y) nuqtaga o'tishda nuqtaning tangens tekislikdagi vertikal siljishi B Q ga teng (2-rasm). Murojaatlarning tegishli o'sishi

(z - z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x - x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y - y 0 )

Bu erda o'ng tomonda differentsial mavjud d z funksiya z = f (x, y) a nuqtada (x 0, x 0). Demak,
d f (x 0 , y 0 ). f (x, y) funksiya grafigiga (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)) nuqtadagi tangens tekislik qo‘llanilishining o‘sishidir.

Differensialning ta'rifidan kelib chiqadiki, funktsiya grafigidagi P nuqta bilan tangens tekislikdagi Q nuqta orasidagi masofa p nuqtadan a nuqtagacha bo'lgan masofadan yuqori tartibli cheksiz kichikdir.