Umumiy kuch nima? Umumiy kuchlar

1. Ta'rifga ko'ra (2.26), umumlashtirilgan kuch

Shuni hisobga olgan holda , olamiz

(2.28)

Umumiy kuchlarni aniqlashning bu usuli analitik deb ataladi.

2.11-misol. Umumiy kuchni toping Q q = j, agar krank-slayder mexanizmida bo'lsa (2.10-rasm) OA=AB= l,¾ vertikal va ¾ gorizontal kuch.

Yechim. Chunki F 1 x =0 Va F 2 y =0, keyin (2.28) ga muvofiq umumlashtirilgan kuch.

Kuchlarning proyeksiyalari va ularni qo'llash nuqtalarining koordinatalari quyidagicha aniqlanadi

F 1y =- F 1; F 2x = - F 2 ;

2.10-rasmy A = l gunoh j ; x B = 2 l cos j.

Demak, Q q = j= - F 1 l cos j + 2 F 2 l gunoh j.

2. Umumlashtirilgan hisoblashning oddiyroq usulini ko'rsatamiz

kuch, muammolarni hal qilishda foydali.

Bir qator erkinlik darajasiga ega mexanik tizimlar uchun umumiy kuchlar s=k > 1 umumlashtirilgan koordinatalar va shuning uchun ularning o'zgarishini hisobga olgan holda ketma-ket hisoblash tavsiya etiladi. bir-biridan mustaqil. Tizim har doim shunday virtual harakat haqida xabardor bo'lishi mumkin, unda faqat bitta umumlashtirilgan koordinata o'zgaradi, boshqalari esa o'zgarmaydi. Bu holda (2.27) dan

. olamiz

(2.29)

qayerda (2.30)

Indeks qi(2.30) tizimiga ta'sir etuvchi kuchlarning virtual ishi faqat bitta o'zgarishlarga mos keladigan ushbu kuchlarning qo'llanilishi nuqtalarining siljishi bilan aniqlanishini anglatadi. men – y umumlashtirilgan koordinatalar.

2.12-misol Shaklda ko'rsatilgan tizim uchun umumlashtirilgan kuchlarni toping. 2.11. Yukning massasi (1) ga teng m 1, tsilindrning massasi (2) ga teng m 2, va uning radiusi ¾ r. Ip blok (3) va silindr (2) bo'ylab siljimaydi. Tsilindrning massa markazi (2) vertikal bo'ylab harakatlanadi.

Yechim. Umumiy quvvatni aniqlash uchun biz o'sishni o'rnatamiz ds¹ 0 yuk koordinatasi (1) va burchak uchun j silindrning aylanishi (2) , taxmin qilamiz

dj =0. Bunda silindrning massa markazi (2)

yukning siljishiga teng siljishga ega bo'ladi. Demak,

2.11-rasm

Qayerda P 1 =m 1 g; P 2 =m 2 g.

Aniqlashda biz buni taxmin qilamiz ds=0 va dj¹ 0. Keyin

3. Agar mexanik tizimga ta'sir qiluvchi kuchlar potentsial bo'lsa, u holda aniqlash umumlashgan kuchlar kuch funksiyasidan foydalanishingiz mumkin U yoki potentsial energiya P tizimlari.

Potentsial kuch

(2.31)

Kuch proyeksiyalarini (2.30) ga almashtirsak, olamiz

Analitik mexanikada ma'lum jismga boshqa moddiy jismlarning ta'sirini tavsiflovchi vektor miqdori sifatida kuch tushunchasi bilan bir qatorda ular "kuch" tushunchasidan foydalanadilar. umumlashgan kuch. Aniqlash uchun umumlashtirilgan kuch Keling, tizim nuqtalariga qo'llaniladigan kuchlarning virtual ishini ko'rib chiqaylik.

Agar unga golonomik cheklov kuchlari qo'yilgan mexanik tizim bo'lsa h aloqalarga ega s =3n-soat erkinlik darajalari , keyin bu tizimning pozitsiyasi aniqlanadi ( i = s)

umumlashtirilgan koordinatalar va (2.11) : (2.13), (2.14) ga binoan virtual joy almashish k - th nuqtalari

(2.13)

(2.14)

(2.14): kuchlarning virtual ishi formulasiga qo'ying

(2.24), biz olamiz

Skalyar miqdor = (2.26)

chaqirdi umumlashgan kuch, mos keladi i umumlashtirilgan koordinata.

Umumiy kuchi ga mos keladi-th umumlashtirilgan koordinata - mexanik tizimga ta'sir qiluvchi kuchlarning virtual ishini ifodalashda berilgan umumlashtirilgan koordinataning o'zgarishi uchun ko'paytirgichga teng miqdor.

Virtual ish dan aniqlanadi

¾ cheklovlardan qat'iy nazar belgilangan faol kuchlar va

¾ bog'lanish reaktsiyalari (agar bog'lanishlar ideal bo'lmasa, muammoni hal qilish uchun qo'shimcha ravishda jismoniy bog'liqlikni o'rnatish kerak. T j dan N j , ( T j ¾ bular, qoida tariqasida, ishqalanish kuchlari yoki biz aniqlashimiz mumkin bo'lgan dumaloq ishqalanishga qarshilik momentlari).

Umuman umumlashgan kuch umumlashtirilgan koordinatalar, tizim nuqtalarining tezliklari va vaqtning funktsiyasidir. Ta'rifdan kelib chiqadiki umumlashgan kuch¾ - ma'lum mexanik tizim uchun tanlangan umumlashtirilgan koordinatalarga bog'liq bo'lgan skalyar miqdor. Bu shuni anglatadiki, berilgan tizimning o'rnini belgilovchi umumlashtirilgan koordinatalar to'plami o'zgarganda umumlashgan kuchlar.

2.10-misol. Radiusli disk uchun r va massa m, qiyalik tekislikda sirpanmasdan aylanadigan (2.9-rasm) umumlashtirilgan koordinata sifatida olinishi mumkin:

¾ yoki q = s¾ diskning massa markazining harakati,

¾yoki q= j ¾ diskning burilish burchagi. Agar biz aylanish qarshiligini e'tiborsiz qoldirsak, unda:

¾ birinchi holatda umumlashgan kuch bo'ladi

Guruch. 2.9 Q s = mg sina, a

¾ ikkinchi holatda ¾ Q j = mg r kosa.

Umumlashtirilgan koordinata mos keladigan o'lchov birligini ham aniqlaydi umumlashtirilgan kuch. Ifodasidan (2.25)

(2.27)

shundan kelib chiqadiki, o'lchov birligi umumlashtirilgan kuch umumlashtirilgan koordinata birligiga bo'lingan ish birligiga teng.

Agar umumlashtirilgan koordinata sifatida q qabul qilish q = s¾ har qanday nuqtaning harakati, keyin o'lchov birligi umumlashtirilgan kuch Q s ¾ bo'ladi [Nyuton] ,

Agar, a sifatida q= j ¾ tananing burilish burchagi (radianlarda), keyin o'lchov birligi olinadi umumlashtirilgan kuch Q j 2 [ bo'ladi Nyuton metr].

Umumlashgan kuchlarning ta'rifi

Erkinlik darajasi bir bo'lgan tizim uchun umumlashtirilgan koordinataga mos keladigan umumlashtirilgan kuch q, formula bilan aniqlangan miqdor deyiladi

qaerda d q- umumlashtirilgan koordinataning kichik o'sishi; - tizim kuchlarining uning mumkin bo'lgan harakati bo'yicha elementar ishlarining yig'indisi.

Eslatib o'tamiz, tizimning mumkin bo'lgan harakati tizimning ma'lum bir vaqtning o'zida ulanishlar tomonidan ruxsat etilgan cheksiz yaqin pozitsiyaga harakati sifatida aniqlanadi (batafsil ma'lumot uchun 1-ilovaga qarang).

Ma'lumki, sistemaning har qanday mumkin bo'lgan siljishida ideal bog'lanishlarning reaksiya kuchlari bajargan ishlarning yig'indisi nolga teng. Shuning uchun ideal bog'lanishlarga ega bo'lgan tizim uchun ifodada faqat tizimning faol kuchlarining ishi hisobga olinishi kerak. Agar ulanishlar ideal bo'lmasa, unda ularning reaktsiya kuchlari, masalan, ishqalanish kuchlari shartli ravishda faol kuchlar hisoblanadi (1.5-rasmdagi diagramma bo'yicha ko'rsatmalar uchun pastga qarang). Bunga faol kuchlarning elementar ishi va faol juft kuchlar momentlarining elementar ishi kiradi. Bu ishlarni aniqlash uchun formulalarni yozamiz. Aytaylik kuch ( F kx, F ky, F kz) nuqtada qo'llaniladi TO, radius vektori ( x k,y k,z k) va mumkin bo'lgan siljish - (d xk, d y k, d z k). Mumkin bo'lgan siljish bo'yicha kuchning elementar ishi analitik shaklda ifodaga mos keladigan skalyar mahsulotga teng.

d A( ) = F ga d r - cos(), (1.3a)

va koordinatali shaklda - ifoda

d A( ) = F kx d x k + F ky d y k + F kz d z k. (1.3b)

Agar bir lahza bilan bir juft kuchlar M burchak koordinatasi j va mumkin bo'lgan siljishi dj bo'lgan aylanuvchi jismga qo'llaniladi, u holda momentning elementar ishi. M mumkin bo'lgan siljish bo'yicha dj formula bilan aniqlanadi

d A(M) = ± M d j. (1,3v)

Bu erda (+) belgisi moment bo'lgan holatga mos keladi M va mumkin bo'lgan harakat dj yo'nalishi bo'yicha mos keladi; Ular qarama-qarshi yo'nalishda bo'lganda (-) belgisi.

(1.3) formuladan foydalanib, umumlashtirilgan kuchni aniqlash uchun jismlar va nuqtalarning mumkin bo'lgan harakatlarini umumlashtirilgan koordinata d ning kichik o'sishi bilan ifodalash kerak. q, bog'liqliklardan foydalanish (1)…(7) adj. 1.

Umumlashtirilgan kuchning ta'rifi Q, tanlangan umumlashtirilgan koordinataga mos keladi q, buni quyidagi tartibda bajarish tavsiya etiladi.

· Dizayn sxemasiga tizimning barcha faol kuchlarini chizing.

· Umumlashtirilgan koordinataga kichik o'sish bering d q> 0; hisoblash diagrammasida kuchlar qo'llaniladigan barcha nuqtalarning tegishli mumkin bo'lgan siljishlarini va kuchlar juftligi momentlari qo'llaniladigan barcha jismlarning mumkin bo'lgan burchak siljishlarini ko'rsating.

· Ushbu harakatlarga tizimning barcha faol kuchlarining elementar ishi uchun ifoda tuzing, mumkin bo'lgan harakatlarni d orqali ifodalang. q.

· (1.3) formuladan foydalanib, umumlashtirilgan kuchni aniqlang.

1.4-misol (1.1-rasmdagi shartga qarang).

Umumlashtirilgan koordinataga mos keladigan umumlashgan kuchni aniqlaylik s(1.4-rasm).

Faol kuchlar tizimga ta'sir qiladi: P- yukning og'irligi; G- baraban og'irligi va moment M.

Qo'pol moyil tekislik yuk uchun A nomukammal aloqa. Sürgülü ishqalanish kuchi F tr, yukga ta'sir qilish A bu bog'lanishdan, ga teng bo'ladi F tr = f N.

Kuchni aniqlash uchun N Harakat paytida tekislikdagi yukning normal bosimi, biz D'Alember printsipidan foydalanamiz: agar tizimning har bir nuqtasiga faol faol kuchlar va ulanishlarning reaktsiya kuchlaridan tashqari shartli inertial kuch qo'llanilsa, natijada kuchlar muvozanatlanadi va dinamik tenglamalar statik muvozanat tenglamalari ko'rinishida berilishi mumkin. Ushbu printsipni qo'llashning taniqli usulidan so'ng biz yukga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarni tasvirlaymiz. A(1.5-rasm), – va , bu yerda kabelning kuchlanish kuchi.

Guruch. 1.4-rasm. 1.5

Keling, inersiya kuchini qo'shamiz, bu erda yukning tezlanishi. O'qga proyeksiya qilishda d'Alember printsipining tenglamasi y kabi ko'rinadi N-Pcos a = 0.

Bu yerdan N = Pcos a. Endi sirpanish ishqalanish kuchini formula bilan aniqlash mumkin F tr = f P cos a.

Umumlashtirilgan koordinatani beraylik s kichik o'sish d s> 0. Bunda yuk (1.4-rasm) qiyalik tekislikdan d masofaga yuqoriga siljiydi. s, va baraban dj burchagi bilan soat miliga teskari buriladi.

(1.3a) va (1.3c) kabi formulalardan foydalanib, elementar moment ishlari yig'indisi uchun ifoda tuzamiz. M, kuch P Va F tr:

Bu tenglamada dj ni d orqali ifodalaymiz s: , Keyin

(1.3) formuladan foydalanib umumlashtirilgan kuchni aniqlaymiz.

Oldin yozilgan formulani hisobga olamiz F tr va biz nihoyat olamiz

Agar xuddi shu misolda umumlashtirilgan koordinata sifatida j burchakni olsak, u holda umumlashgan kuch Qj formula bilan ifodalanadi

1.4.2. Umumlashtirilgan tizim kuchlarini aniqlash
ikki darajadagi erkinlik bilan

Agar tizim mavjud bo'lsa n erkinlik darajalari, uning pozitsiyasi aniqlanadi n umumlashtirilgan koordinatalar. Har bir koordinata qi(i = 1,2,…,n) uning umumlashgan kuchiga mos keladi Qi, bu formula bilan aniqlanadi

faol kuchlarning elementar ishlarining yig'indisi qayerda i-tizimning mumkin bo'lgan harakati d q i > 0 va qolgan umumlashtirilgan koordinatalar o'zgarmaydi.

Aniqlashda (1.3) formula bo'yicha umumlashtirilgan kuchlarni aniqlash bo'yicha ko'rsatmalarni hisobga olish kerak.

Ikki erkinlik darajasiga ega sistemaning umumlashgan kuchlarini quyidagi tartibda aniqlash tavsiya etiladi.

· Dizayn sxemasida tizimning barcha faol kuchlarini ko'rsating.

· Birinchi umumlashgan kuchni aniqlang Q 1. Buning uchun, d qachon tizimga birinchi mumkin bo'lgan harakatni bering q 1 > 0 va d q 2 =q 1 tizimning barcha jismlari va nuqtalarining mumkin bo'lgan harakatlari; tuzish - birinchi mumkin bo'lgan siljish bo'yicha tizim kuchlarining elementar ishining ifodasi; d orqali ifodalangan mumkin bo'lgan harakatlar q 1; toping Q 1(1.4) formula bo'yicha, qabul qilish i = 1.

· Ikkinchi umumlashgan kuchni aniqlang Q 2. Buning uchun, d qachon tizimga ikkinchi mumkin bo'lgan harakatni bering q 2 > 0 va d q 1 = 0; dizayn diagrammasida mos keladigan d ni ko'rsating q 2 tizimning barcha jismlari va nuqtalarining mumkin bo'lgan harakatlari; tuzish - ikkinchi mumkin bo'lgan siljish bo'yicha tizim kuchlarining elementar ishining ifodasi; d orqali ifodalangan mumkin bo'lgan harakatlar q 2; toping Q 2(1.4) formula bo'yicha, qabul qilish i = 2.

1.5-misol (1.2-rasmdagi shartga qarang)

Keling, aniqlaymiz Q 1 Va Q 2, umumlashtirilgan koordinatalarga mos keladi xD Va xA(1.6-rasm, A).

Tizimda uchta faol kuch mavjud: P A = 2P, P B = P D = P.

Ta'rif Q 1. Tizimga d bo'lganda birinchi mumkin bo'lgan harakatni beraylik xD> 0, d x A = 0 (1.6-rasm, A). Shu bilan birga, yuk D xD, blok B dj burchagi bilan soat miliga teskari yo'nalishda aylanadi B, silindr o'qi A harakatsiz qoladi, silindr A o'q atrofida aylanadi A burchak ostida dj A soat yo'nalishi bo'yicha. Keling, ko'rsatilgan harakatlar bo'yicha ish yig'indisini tuzamiz:

aniqlaymiz

Keling, aniqlaymiz Q 2. Tizimga d bo'lganda ikkinchi mumkin bo'lgan harakatni beraylik x D = 0, d xA> 0 (1.6-rasm, b). Bunday holda, silindr o'qi A masofaga vertikal pastga siljiydi d xA, silindr A o'q atrofida aylanadi A soat yo'nalishi bo'yicha burchakka dj A, blok B va yuk D harakatsiz qoladi. Keling, ko'rsatilgan harakatlar bo'yicha ish yig'indisini tuzamiz:

aniqlaymiz

1.6-misol (1.3-rasmga qarang)

Keling, aniqlaymiz Q 1 Va Q 2, umumlashtirilgan j koordinatalariga mos keladi, s(1.7-rasm, A). Tizimda to'rtta faol kuch mavjud: novda og'irligi P, sharning og'irligi, prujinaning elastik kuchi va.

Buni hisobga olsak. Elastik kuchlar moduli (a) formula bilan aniqlanadi.

E'tibor bering, kuchni qo'llash nuqtasi F 2 harakatsiz, shuning uchun bu kuchning tizimning har qanday mumkin bo'lgan siljishidagi ishi umumlashtirilgan kuchlar kuchi ifodasida nolga teng. F 2 kirmaydi.

Ta'rif Q 1. Keling, tizimga dj bo'lganda birinchi mumkin bo'lgan harakatni beraylik > 0, d s = 0 (1.7-rasm, A). Bunday holda, tayoq AB o'q atrofida aylanadi z burchak dj tomonidan soat sohasi farqli o'laroq, to'pning mumkin bo'lgan harakatlari D va markaz E rodlar segmentga perpendikulyar yo'naltiriladi AD, bahorning uzunligi o'zgarmaydi. Keling, uni koordinatali shaklga keltiramiz [qarang. formula (1.3b)]:

(Iltimos, e'tibor bering, shuning uchun bu kuchning birinchi mumkin bo'lgan siljishida qilgan ishi nolga teng).

Siqishlarni ifodalaylik d x E va d xD dj orqali. Buning uchun biz avval yozamiz

Keyin (7) formulaga muvofiq adj. 1 topamiz

Topilgan qiymatlarni ga almashtirib, biz olamiz

ni hisobga olgan holda (1.4) formuladan foydalanib, aniqlaymiz

Ta'rif Q 2. Keling, tizimga dj bo'lganda ikkinchi mumkin bo'lgan harakatni beraylik = 0, d s> 0 (1.7-rasm, b). Bunday holda, tayoq AB harakatsiz qoladi va to'p M masofaga tayoq bo'ylab harakatlanadi d s. Keling, ko'rsatilgan harakatlar bo'yicha ish yig'indisini tuzamiz:

aniqlaymiz

kuch qiymatini almashtirish F 1 formuladan (a) olamiz

1.5. Tizimning kinetik energiyasini ifodalash
umumlashtirilgan koordinatalarda

Tizimning kinetik energiyasi uning jismlari va nuqtalarining kinetik energiyalari yig'indisiga teng (2-ilova). Qabul qilish uchun T(1.2) ifoda sistemaning barcha jismlari va nuqtalarining tezligini kinematik usullar yordamida umumlashtirilgan tezliklar orqali ifodalashi kerak. Bunday holda, tizim ixtiyoriy holatda deb hisoblanadi, uning barcha umumlashtirilgan tezliklari ijobiy hisoblanadi, ya'ni umumlashtirilgan koordinatalarni oshirishga qaratilgan.

1-misol. 7 (1.1-rasmdagi shartga qarang)

Masofani umumlashtirilgan koordinata sifatida olib, tizimning kinetik energiyasini aniqlaymiz (1.8-rasm). s,

T = T A + T B.

(2) va (3) formulalarga muvofiq adj. 2 bizda: .

Ushbu ma'lumotlarni ga almashtirish T va buni hisobga olsak, olamiz

1.8-misol(1.2-rasmdagi shartga qarang)

Shaklda tizimning kinetik energiyasini aniqlaymiz. 1.9, umumlashtirilgan sifatida qabul qilish miqdorlarni muvofiqlashtiradi xD Va xA,

T = T A + T B + T D.

(2), (3), (4) formulalarga muvofiq adj. 2 Biz yozamiz

ifoda qilaylik V A, V D, w B va w A orqali:

w ni aniqlashda A nuqtasi ekanligi hisobga olinadi O(1.9-rasm) - silindr tezligining oniy markazi A Va V k = V D(tegishli tushuntirishlarga qarang, masalan, 2-ilova).

Olingan natijalarni ga almashtirish T va shuni hisobga olgan holda

aniqlaymiz

1.9-misol(1.3-rasmdagi shartga qarang)

Shaklda tizimning kinetik energiyasini aniqlaymiz. 1.10, j ni qabul qilib va ​​umumlashtirilgan koordinatalar sifatida s,

T = T AB + T D.

(1) va (3) formulalarga muvofiq adj. 2 bizda bor

Keling, w ni ifodalaylik AB Va V D orqali va:

to'pni uzatish tezligi qayerda D, uning moduli formula bilan aniqlanadi

Segmentga perpendikulyar yo'naltirilgan AD j burchak ortishi yo'nalishida; - to'pning nisbiy tezligi, uning moduli koordinatalarni oshirishga yo'naltirilgan formula bilan aniqlanadi s. E'tibor bering, bu perpendikulyar

Ushbu natijalarga almashtirish T va shuni hisobga olgan holda

1.6. Differensial tenglamalarni tuzish
mexanik tizimlarning harakati

Kerakli tenglamalarni olish uchun Lagranj tenglamalariga (1.1) umumlashtirilgan koordinatalar va umumlashtirilgan kuchlardagi tizimning kinetik energiyasining ilgari topilgan ifodasini qo'yish kerak. Q 1 , Q 2 , … , Qn.

Qisman hosilalarni topishda T umumlashtirilgan koordinatalar va umumlashtirilgan tezliklardan foydalangan holda, o'zgaruvchilarni hisobga olish kerak q 1 , q 2 , … , q n; bir-biridan mustaqil deb hisoblanadi. Bu degani, qisman hosilani belgilashda T bu o'zgaruvchilardan biri uchun ifodadagi barcha boshqa o'zgaruvchilar T konstantalar sifatida qabul qilinishi kerak.

Amaliyotni bajarishda o'zgaruvchiga kiritilgan barcha o'zgaruvchilar vaqt bo'yicha farqlanishi kerak.

Biz Lagranj tenglamalari har bir umumlashtirilgan koordinata uchun yozilganligini ta'kidlaymiz qi (i = 1, 2,…n) tizimlari.

Tenglamalari yuqorida keltirilgan shaklga ega bo'lgan s cheklovchi bog'lanishlarga bo'ysunuvchi moddiy nuqtalar sistemasiga ega bo'lsin.

Agar tizim erkin bo'lsa, uning nuqtalarining barcha Dekart koordinatalari mustaqil bo'lar edi. Tizimning o'rnini ko'rsatish uchun uning nuqtalarining barcha Dekart koordinatalarini ko'rsatish kerak bo'ladi. Dekart koordinatalarining erkin bo'lmagan mexanik tizimida uning nuqtalari s cheklash tenglamalarini qondirishi kerak, shuning uchun faqat ular orasidagi koordinatalar mustaqil bo'ladi.

Mexanik tizimning fazodagi o'rnini yagona aniqlovchi o'zaro mustaqil skalyar miqdorlar soni sistemaning erkinlik darajalari soni deb ataladi.

Binobarin, N ta erkin moddiy nuqtadan tashkil topgan mexanik tizim erkinlik darajalariga ega. Erkinlik darajalarining s cheklovchi bog'lanishlariga ega bo'lgan N ta moddiy nuqtalarning erkin bo'lmagan tizimi.

Erkin bo'lmagan tizimning o'rnini aniqlashda biz mustaqil ravishda faqat koordinatalarni belgilashimiz mumkin; qolgan s koordinatalari cheklash tenglamalaridan aniqlanadi. Shu bilan birga, erkin bo'lmagan tizimning o'rnini yanada qulayroq tarzda ko'rsatish mumkin - mustaqil Dekart koordinatalari o'rniga bir xil miqdordagi boshqa geometrik miqdorlarni belgilash mumkin, ular orqali Dekart koordinatalarini (ham bog'liq, ham mustaqil) yagona tarzda ifodalash mumkin. Tizimning umumlashtirilgan koordinatalari deb ataladigan bunday kattaliklar sifatida burchaklar, chiziqli masofalar, maydonlar va boshqalar tanlanishi mumkin. Qulaylik shundaki, umumlashtirilgan koordinatalar yuklangan ulanishlarni hisobga olgan holda tanlanishi mumkin, ya'ni. butun o'rnatilgan ulanishlar to'plami tomonidan tizim uchun ruxsat etilgan harakatning tabiatiga muvofiq. Bunda bog`lanishlar avtomatik tarzda hisobga olinadi va bog`lanish tenglamalarini bog`liq koordinatalarga nisbatan yechishning hojati yo`q.

1-misol. O nuqtada ilmoqli og'ir O A dan iborat fizik mayatnikning holati burchakni o'rnatish orqali to'liq aniqlanadi (78-rasm). Agar burchak berilgan bo'lsa, u holda ma'lum masofaga ega bo'lgan novdaning istalgan nuqtasi uchun uning Dekart koordinatalarini hisoblash mumkin:

2-misol. Harakatlanuvchi platformadagi matematik mayatnikdan tashkil topgan mexanik tizim uchun (79-rasm) fazodagi holat s va (berilgan) qiymatlari bilan to‘liq aniqlanadi.

Platformaning pozitsiyasi s masofa bilan aniqlanadi, M nuqta massasining koordinatalari ham osonlik bilan hisoblab chiqiladi:

Miqdorlar (1-misol) va s (2-misol) ko'rsatilgan tizimlarning umumlashtirilgan koordinatalaridir. Bu kontseptsiyani ixtiyoriy mexanik tizim misolida ham kengaytirish mumkin.

Shunday qilib, mexanik tizimning umumlashtirilgan koordinatalari - bu tizimning fazodagi o'rnini yagona aniqlaydigan bir-biridan mustaqil har qanday geometrik miqdorlar. Umumlashtirilgan koordinatalar soni tizimning erkinlik darajalari soniga teng.

Geometrik ma'no va shunga mos ravishda o'lchovdan qat'i nazar, umumlashtirilgan koordinatalar bir xil tarzda, q harfi bilan quyidagi raqam bilan belgilanadi: . Umumlashtirilgan koordinatalar mexanik tizimning tanlangan Oxyz koordinata tizimidagi o'rnini yagona aniqlab berishidan, funksiyalar mavjudligi kelib chiqadi.

sistemaning barcha nuqtalarining dekart koordinatalarini umumlashtirilgan koordinatalar va, ehtimol, vaqt t orqali ifodalash. Ushbu funktsiyalarning o'ziga xos turi har bir tizim uchun boshqacha o'rnatiladi (1 va 2-misollarga qarang).

Agar siz () nuqtalarning radius vektorlarini kiritsangiz, bu funktsiyalar vektor shaklida ifodalanishi mumkin

Endi umumlashgan kuch tushunchasini kiritamiz. Keling, tizimni t ning ixtiyoriy momentida tuzatamiz va unga bu holatdan mumkin bo'lgan harakatni aytamiz.

Natijada, umumlashtirilgan koordinatalar o'sishni (variatsiyalarni) qabul qilsin. Belgilangan () vaqtdagi funktsiyalarning differentsiallarini hisoblash orqali tizim nuqtalarining mos keladigan elementar siljishlarini topamiz:

Qo'llaniladigan kuchlarning mumkin bo'lgan ishini hisoblab, biz quyidagilarni topamiz:

Ko'rinib turibdiki, mumkin bo'lgan ish koeffitsientlar bilan umumlashtirilgan koordinatalarning o'zgarishiga nisbatan birinchi darajali bir hil funktsiya (chiziqli shakl) bilan ifodalanadi.

ya'ni kabi ko'rinadi

Koeffitsientlar umumlashgan kuchlar deb ataladi.

Shunday qilib, har bir umumlashtirilgan koordinata o'zining umumlashtirilgan kuchiga ega. Bunday holda, umumlashtirilgan koordinataga mos keladigan umumlashtirilgan kuch tizim nuqtalariga qo'llaniladigan kuchlarning mumkin bo'lgan ishini ifodalashda ushbu umumlashtirilgan koordinataning o'zgarish koeffitsienti deb ataladi.

Umumiy kuchlar alohida kuchlar guruhlari uchun kiritilishi mumkin, masalan, faol kuchlar, bog'lanish reaktsiyalari, potentsial kuchlar va boshqalar. Keyin umumiy umumlashtirilgan kuch ushbu tanlangan guruhlarga mos keladigan umumlashtirilgan kuchlar yig'indisi bilan ifodalanadi. Shunday qilib, agar ta'sir qiluvchi kuchlar faol kuchlar va reaktsiya reaktsiyalariga bo'linsa, umumiy umumlashtirilgan kuchlar teng bo'ladi.

bu yerda umumlashgan faol kuchlar, ulanishlarning umumlashgan reaksiyalari.

Ideal bog'lanishlarning umumlashgan reaksiyalari har doim nolga teng. Shu sababli, umumlashgan kuchlarni hisoblashda ideal bog'lanishlarning reaktsiyalarini e'tiborsiz qoldirish mumkin.

3-misol. Uzunligi va massasi OA novdadan tashkil topgan fizik mayatnikning umumlashgan kuchini hisoblang (80-rasm).

Yechim. Jismoniy mayatnik - bu bir daraja erkinlikka ega tizim. Binobarin, mayatnikning holati bitta umumlashtirilgan koordinata bilan aniqlanadi, buning uchun biz vertikalga moyillik burchagini tanlaymiz.

Biz mayatnikni ixtiyoriy holatda tasvirlaymiz va ta'sir qiluvchi kuchlarni qo'llaymiz. A qo'llab-quvvatlashidagi reaktsiyani ko'rsatish kerak emas, chunki menteşe ideal aloqadir va uning umumiy kuchga qo'shgan hissasi nolga teng. Biz mumkin bo'lgan harakat tizimini ma'lum qilamiz - sarkacning ortib borayotgan burchak yo'nalishi bo'yicha burchak bilan elementar aylanishi. Ish faqat mayatnikning og'irligi bilan amalga oshiriladi. Uning qo'llanish nuqtasi (tayoqning og'irlik markazi C) uzunlikdagi yoyni tasvirlaydi va vertikal bo'ylab bir miqdorga ko'tarilib, elementar ishlarni bajaradi.

Albatta, bu umumlashtirilgan kuchni hisoblashda potentsial energiya umumlashtirilgan koordinatalarning funktsiyasi sifatida aniqlanishi kerak.

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Eslatmalar.

Birinchidan. Umumlashtirilgan reaktsiya kuchlarini hisoblashda ideal bog'lanishlar hisobga olinmaydi.

Ikkinchi. Umumlashtirilgan kuchning o'lchami umumlashtirilgan koordinataning o'lchamiga bog'liq. Shunday qilib, agar o'lcham [ q] – metr, keyin o‘lcham

[Q]= Nm/m = Nyuton, agar [ q] – radian, keyin [Q] = Nm; Agar [ q] = m 2, keyin [Q] = H/m va hokazo.

4-misol. Halqa vertikal tekislikda tebranayotgan novda bo'ylab siljiydi. M vazn R(10-rasm). Biz tayoqni vaznsiz deb hisoblaymiz. Umumiy kuchlarni aniqlaylik.

10-rasm

Yechim. Tizim ikki erkinlik darajasiga ega. Biz ikkita umumlashtirilgan koordinatalarni tayinlaymiz s Va .

Koordinataga mos keladigan umumlashgan kuch topilsin s. Biz koordinatani o'zgarishsiz qoldirib, yagona faol kuchning ishini hisoblab, bu koordinataga o'sish beramiz. R, biz umumlashgan kuchni olamiz

Keyin biz koordinatani oshiramiz, faraz qilamiz s= const. Rod burchak orqali aylantirilganda, kuch qo'llash nuqtasi R, uzuk M, ga o'tadi. Umumiy kuch bo'ladi

Tizim konservativ bo'lgani uchun potentsial energiya yordamida ham umumlashgan kuchlarni topish mumkin. olamiz Va . Bu ancha sodda bo'lib chiqdi.

Lagranj muvozanat tenglamalari

Ta'rif bo'yicha (7) umumlashtirilgan kuchlar , k = 1,2,3,…,s, Qayerda s- erkinlik darajalari soni.

Agar tizim muvozanatda bo'lsa, unda mumkin bo'lgan siljishlar printsipiga ko'ra (1) . Bu erda ulanishlar tomonidan ruxsat etilgan harakatlar, mumkin bo'lgan harakatlar. Shuning uchun, moddiy tizim muvozanatda bo'lganda, uning barcha umumlashtirilgan kuchlari nolga teng:

Q k= 0, (k=1,2,3,…, s). (10)

Bu tenglamalar umumlashtirilgan koordinatalarda muvozanat tenglamalari yoki Lagranj muvozanat tenglamalari , statik muammolarni hal qilish uchun yana bir usulga ruxsat bering.

Agar tizim konservativ bo'lsa, unda . Bu uning muvozanat holatida ekanligini anglatadi. Ya'ni, bunday moddiy tizimning muvozanat holatida uning potentsial energiyasi maksimal yoki minimal, ya'ni. P(q) funksiya ekstremumga ega.

Bu eng oddiy misol tahlilidan ko'rinib turibdi (11-rasm). To'pning pozitsiyadagi potentsial energiyasi M 1 minimal, o'rnida M 2 - maksimal. Pozitsiyada ekanligini ko'rish mumkin M 1 muvozanat barqaror bo'ladi; homilador M 2 - beqaror.

11-rasm

Agar bu holatda bo'lgan tanaga past tezlik berilsa yoki kichik masofaga siljitsa va kelajakda bu og'ishlar ortib ketmasa, muvozanat barqaror hisoblanadi.

Isbotlash mumkinki (Lagranj-Dirichlet teoremasi), agar konservativ tizimning muvozanat holatida uning potentsial energiyasi minimal bo'lsa, u holda bu muvozanat holati barqarordir.

Bir daraja erkinlikka ega bo'lgan konservativ tizim uchun minimal potentsial energiya sharti va shuning uchun muvozanat holatining barqarorligi ikkinchi hosila bilan belgilanadi, uning muvozanat holatidagi qiymati,

5-misol. Yadro O.A vazn R o'q atrofida vertikal tekislikda aylanishi mumkin HAQIDA(12-rasm). Keling, muvozanat pozitsiyalarining barqarorligini topamiz va o'rganamiz.

12-rasm

Yechim. Tayoq bir daraja erkinlikka ega. Umumiy koordinata - burchak.

Pastki, nol holatiga nisbatan, potentsial energiya P = Ph yoki

Muvozanat holatida bo'lishi kerak . Demak, bizda burchaklarga va (pozitsiyalar) mos keladigan ikkita muvozanat pozitsiyasi mavjud O.A 1 va O.A 2). Keling, ularning barqarorligini ko'rib chiqaylik. Ikkinchi hosilani topish. Albatta, , bilan. Muvozanat holati barqaror. Da , . Ikkinchi muvozanat holati beqaror. Natijalar aniq.

Umumlashgan inersiya kuchlari.

Umumlashtirilgan kuchlar hisoblangan bir xil usul (8) yordamida Q k, faol, belgilangan, kuchlarga mos keladigan, umumlashtirilgan kuchlar ham aniqlanadi S k, tizim nuqtalarining inertsiya kuchlariga mos keladi:

Va, beri Bu

Bir nechta matematik o'zgarishlar.

Shubhasiz,

Chunki a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), u holda

Demak, tezlikning qisman hosilasi ga nisbatan

Bundan tashqari, oxirgi muddatda (14) siz farqlash tartibini o'zgartirishingiz mumkin:

(15) va (16) ni (14) va keyin (14) ni (13) ga almashtirsak, biz hosil bo'lamiz.

Oxirgi yig'indini ikkiga bo'lib, hosilalarning yig'indisi yig'indining hosilasiga teng ekanligini hisobga olsak, biz hosil bo'lamiz.

sistemaning kinetik energiyasi bu yerda va umumiy tezlik.

Lagranj tenglamalari.

Ta'rif bo'yicha (7) va (12) umumlashtirilgan kuchlar

Ammo umumiy dinamika tenglamasiga (3) asoslanib, tenglikning o'ng tomoni nolga teng. Va hamma narsadan beri ( k = 1,2,3,…,s) noldan farq qiladi, keyin . Umumlashtirilgan inersiya kuchi (17) qiymatini almashtirib, tenglamani olamiz

Bu tenglamalar umumlashgan koordinatalarda harakatning differensial tenglamalari, ikkinchi turdagi Lagranj tenglamalari deyiladi yoki oddiygina – Lagranj tenglamalari.

Bu tenglamalar soni moddiy tizimning erkinlik darajalari soniga teng.

Agar tizim konservativ bo'lsa va potentsial maydon kuchlari ta'sirida harakat qilsa, umumlashtirilgan kuchlar bo'lganda, Lagranj tenglamalari shaklda tuzilishi mumkin.

Qayerda L = T- P deyiladi Lagrange funktsiyasi (potentsial energiya P umumlashtirilgan tezliklarga bog'liq emas deb taxmin qilinadi).

Ko'pincha, moddiy tizimlarning harakatini o'rganishda, ba'zi bir umumlashtirilgan koordinatalar paydo bo'ladi q j Lagrange funktsiyasiga aniq kiritilmagan (yoki T va P). Bunday koordinatalar deyiladi tsiklik. Ushbu koordinatalarga mos keladigan Lagranj tenglamalari oddiyroq olinadi.

Bunday tenglamalarning birinchi integralini darhol topish mumkin. U tsiklik integral deb ataladi:

Lagrange tenglamalarini keyingi o'rganish va o'zgartirishlar nazariy mexanikaning maxsus bo'limi - "Analitik mexanika" mavzusini tashkil qiladi.

Lagranj tenglamalari tizimlar harakatini o'rganishning boshqa usullariga nisbatan bir qator afzalliklarga ega. Asosiy afzalliklari: tenglamalar tuzish usuli barcha masalalarda bir xil, masalalarni yechishda ideal bog`lanishlarning reaksiyalari hisobga olinmaydi.

Va yana bir narsa - bu tenglamalar nafaqat mexanik, balki boshqa jismoniy tizimlarni (elektr, elektromagnit, optik va boshqalar) o'rganish uchun ishlatilishi mumkin.

6-misol. Keling, halqaning harakatini o'rganishni davom ettiramiz M chayqaladigan novda ustida (4-misol).

Umumiy koordinatalar tayinlanadi - va s (13-rasm). Umumiy kuchlar aniqlanadi: va .

13-rasm

Yechim. Halqaning kinetik energiyasi Bu erda a va.

Biz ikkita Lagrange tenglamasini tuzamiz

keyin tenglamalar quyidagicha ko'rinadi:

Biz ikkita chiziqli bo'lmagan ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni oldik, ularning yechimi maxsus usullarni talab qiladi.

7-misol. Nurning harakatining differensial tenglamasini tuzamiz AB, silindrsimon sirt bo'ylab siljishsiz aylanadi (14-rasm). Nur uzunligi AB = l, vazn - R.

Muvozanat holatida nur gorizontal va og'irlik markazida edi BILAN u silindrning yuqori nuqtasida joylashgan edi. Nur bir daraja erkinlikka ega. Uning joylashuvi umumlashtirilgan koordinata - burchak bilan aniqlanadi (76-rasm).

14-rasm

Yechim. Tizim konservativdir. Shuning uchun gorizontal holatga nisbatan hisoblangan P=mgh potentsial energiyadan foydalanib, Lagranj tenglamasini tuzamiz. Aloqa nuqtasida tezliklarning bir lahzali markazi va (burchak bilan dumaloq yoy uzunligiga teng) mavjud.

Shuning uchun (76-rasmga qarang) va.

Kinetik energiya (nur tekis-parallel harakatga uchraydi)

Tenglama uchun kerakli hosilalarni topamiz va

Keling, tenglama tuzamiz

yoki, nihoyat,

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar

Cheklangan mexanik tizimning mumkin bo'lgan harakati nima deb ataladi?

Tizimning mumkin bo'lgan va haqiqiy harakatlari qanday bog'liq?

Qanday bog'lanishlar deyiladi: a) statsionar; b) idealmi?

Mumkin bo'lgan harakatlar tamoyilini shakllantirish. Uning formulali ifodasini yozing.

Ideal bo'lmagan ulanishlarga ega tizimlarga virtual harakatlar tamoyilini qo'llash mumkinmi?

Mexanik tizimning umumlashtirilgan koordinatalari qanday?

Mexanik tizimning erkinlik darajalari soni qancha?

Qaysi holatda tizimdagi nuqtalarning dekart koordinatalari nafaqat umumlashtirilgan koordinatalarga, balki vaqtga ham bog'liq?

Mexanik tizimning mumkin bo'lgan harakatlari qanday nomlanadi?

Mumkin bo'lgan harakatlar tizimga ta'sir qiluvchi kuchlarga bog'liqmi?

Mexanik tizimning qanday ulanishlari ideal deb ataladi?

Nima uchun ishqalanish bilan tuzilgan bog'lanish ideal bog'lanish emas?

Mumkin bo'lgan harakatlar printsipi qanday tuzilgan?

Ish tenglamasi qanday turlarga ega bo'lishi mumkin?

Nima uchun mumkin bo'lgan siljishlar printsipi ko'p sonli jismlardan tashkil topgan cheklangan tizimlarga qo'llaniladigan kuchlar uchun muvozanat shartlarini chiqarishni soddalashtiradi?

Bir necha erkinlik darajasi bo'lgan mexanik tizimga ta'sir qiluvchi kuchlar uchun ish tenglamalari qanday tuziladi?

Oddiy mashinalarda harakatlantiruvchi kuch va qarshilik kuchi o'rtasida qanday bog'liqlik mavjud?

Mexanikaning oltin qoidasi qanday tuzilgan?

Mumkin bo'lgan harakatlar printsipi yordamida ulanishlarning reaktsiyalari qanday aniqlanadi?

Qanday bog'lanishlar golonomik deb ataladi?

Mexanik tizimning erkinlik darajalari soni qancha?

Tizimning umumlashtirilgan koordinatalari qanday?

Erkin bo'lmagan mexanik tizim nechta umumlashtirilgan koordinataga ega?

Avtomobil rulining necha erkinlik darajasi bor?

Umumiy kuch nima?

Umumlashtirilgan koordinatalarda tizimga taalluqli barcha kuchlarning umumiy elementar ishini ifodalovchi formulani yozing.

Umumlashtirilgan kuchning o'lchami qanday aniqlanadi?

Konservativ tizimlarda umumlashgan kuchlar qanday hisoblanadi?

Ideal bog`lanishli sistema dinamikasining umumiy tenglamasini ifodalovchi formulalardan birini yozing. Ushbu tenglamaning fizik ma'nosi nima?

Tizimga qo'llaniladigan faol kuchlarning umumlashgan kuchi nima?

Umumlashgan inersiya kuchi nima?

Umumlashgan kuchlarda d'Alember printsipini tuzing.

Dinamikaning umumiy tenglamasi nima?

Tizimning qandaydir umumlashgan koordinatasiga mos keladigan umumlashgan kuch nima deyiladi va u qanday o'lchamga ega?

Ideal bog'lanishlarning umumlashgan reaksiyalari qanday?

Umumlashgan kuchlarda dinamikaning umumiy tenglamasini chiqaring.

Umumlashgan kuchlardagi dinamikaning umumiy tenglamasidan olingan mexanik tizimga taalluqli kuchlar uchun muvozanat shartlari qanday shaklda bo‘ladi?

Dekart koordinatalarining qo'zg'almas o'qlariga kuchlarning proyeksiyalari orqali umumlashtirilgan kuchlarni qanday formulalar ifodalaydi?

Konservativ va nokonservativ kuchlarda umumlashgan kuchlar qanday aniqlanadi?

Qanday bog'lanishlar geometrik deyiladi?

Mumkin bo'lgan siljishlar printsipining vektor tasvirini keltiring.

Ideal statsionar geometrik bog`lanishlarga ega bo`lgan mexanik tizim muvozanatining zarur va yetarli shartini ayting.

Konservativ tizimning kuch funksiyasi muvozanat holatida qanday xususiyatga ega?

Ikkinchi turdagi Lagranj differensial tenglamalar tizimini yozing.

Cheklangan mexanik tizim uchun qancha ikkinchi turdagi Lagranj tenglamalarini tuzish mumkin?

Mexanik tizimning Lagranj tenglamalari soni tizimga kiritilgan jismlar soniga bog'liqmi?

Tizimning kinetik potentsiali nima?

Lagrange funktsiyasi qaysi mexanik tizimlar uchun mavjud?

Mexanik sistemaga mansub nuqtaning tezlik vektori funksiyasi qanday argumentlar bilan s erkinlik darajalari?

Tizimdagi nuqtaning tezlik vektorining qandaydir umumlashgan tezlikka nisbatan qisman hosilasi nimaga teng?

Golonomik statsionar bo'lmagan cheklovlarga duchor bo'lgan tizimning kinetik energiyasi qaysi argumentlarning funktsiyasidir?

Ikkinchi turdagi Lagranj tenglamalari qanday shaklga ega? Har bir mexanik tizim uchun bu tenglamalar soni qancha?

Tizimga bir vaqtda konservativ va konservativ bo'lmagan kuchlar ta'sir qilganda ikkinchi turdagi Lagranj tenglamalari qanday ko'rinishga ega bo'ladi?

Lagranj funktsiyasi yoki kinetik potentsial nima?

Konservativ tizim uchun ikkinchi turdagi Lagranj tenglamalari qanday shaklga ega?

Lagranj tenglamalarini tuzishda mexanik tizimning kinetik energiyasi qanday o'zgaruvchilarga qarab ifodalanishi kerak?

Elastik kuchlar ta'sirida mexanik tizimning potentsial energiyasi qanday aniqlanadi?

Mustaqil ravishda hal qilinadigan muammolar

Vazifa 1. Mumkin bo'lgan siljishlar printsipidan foydalanib, kompozit konstruktsiyalarning ulanish reaktsiyalarini aniqlang. Strukturaviy diagrammalar rasmda ko'rsatilgan. 15 va yechim uchun zarur bo'lgan ma'lumotlar jadvalda keltirilgan. 1. Rasmlarda barcha o'lchamlar metrda.

1-jadval

1-variant 2-variant

3-variant 4-variant

5-variant 6-variant

7-variant 8-variant

16-rasm 17-rasm

Yechim. Bu masalada Lagranj printsipini qo'llash uchun barcha shartlar bajarilganligini tekshirish oson (tizim muvozanatda, ulanishlar statsionar, golonomik, chegaralovchi va ideal).

Keling, reaktsiyaga mos keladigan aloqadan xalos bo'laylik X A (17-rasm). Buning uchun, A nuqtasida, sobit menteşe, masalan, novda tayanchi bilan almashtirilishi kerak, bu holda tizim bir daraja erkinlik oladi. Yuqorida aytib o'tilganidek, tizimning mumkin bo'lgan harakati unga qo'yilgan cheklovlar bilan belgilanadi va qo'llaniladigan kuchlarga bog'liq emas. Shuning uchun mumkin bo'lgan siljishlarni aniqlash kinematik muammodir. Ushbu misolda ramka faqat rasm tekisligida harakatlanishi mumkinligi sababli, uning mumkin bo'lgan harakatlari ham tekisdir. Tekis harakatda jismning harakatini tezliklarning oniy markazi atrofida aylanish deb hisoblash mumkin. Agar tezliklarning bir lahzali markazi cheksizlikda bo'lsa, u holda bu jismning barcha nuqtalarining siljishi bir xil bo'lgan lahzali translatsiya harakati holatiga mos keladi.

Tezliklarning lahzali markazini topish uchun jismning istalgan ikkita nuqtasi tezligining yo'nalishlarini bilish kerak. Shuning uchun kompozit konstruktsiyaning mumkin bo'lgan siljishlarini aniqlashni bunday tezliklar ma'lum bo'lgan elementning mumkin bo'lgan siljishlarini topishdan boshlash kerak. Bunday holda, siz ramkadan boshlashingiz kerak CDB, o'z nuqtasidan beri IN harakatsiz va shuning uchun bu ramkaning mumkin bo'lgan harakati uning B menteşesi orqali o'tadigan o'q atrofidagi burchak orqali aylanishidir. Endi nuqtaning mumkin bo'lgan harakatini bilib, BILAN(u bir vaqtning o'zida tizimning ikkala ramkasiga tegishli) va nuqtaning mumkin bo'lgan harakati A(A nuqtaning mumkin bo'lgan harakati uning o'qi bo'ylab harakatidir X), kadrning oniy tezlik markazi C 1 ni toping AES. Shunday qilib, ramkaning mumkin bo'lgan harakati AES C 1 nuqta atrofida burchak bilan aylanishidir. Burchaklar orasidagi bog'lanish va C nuqtasining harakati orqali aniqlanadi (17-rasmga qarang).

EC 1 C va BCD uchburchaklarining o'xshashligidan biz bor

Natijada biz bog'liqliklarni olamiz:

Mumkin bo'lgan harakatlar printsipiga ko'ra

Keling, bu erda mumkin bo'lgan ishlarni ketma-ket hisoblab chiqamiz:

Q=2q – taqsimlangan yukning natijasi, qo‘llanish nuqtasi rasmda ko‘rsatilgan. 79; u tomonidan bajarilishi mumkin bo'lgan ish tengdir.