Jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanishi. Qattiq jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish harakati Moddiy nuqtaning aylanish harakati

TA’RIF: Qattiq jismning aylanish harakati jismning barcha nuqtalari aylana bo'ylab harakatlanadigan, markazlari bir xil to'g'ri chiziqda yotadigan bunday harakatni aylanish o'qi deb nomlaymiz.

Aylanishning dinamikasini o'rganish uchun biz ma'lum kinematik miqdorlarga qo'shamiz ikki miqdor: kuch momenti(M) va inersiya momenti(J).

1. Tajribadan ma'lum: aylanish harakatining tezlashishi nafaqat jismga ta'sir etuvchi kuchning kattaligiga, balki aylanish o'qidan kuch harakat qiladigan chiziqqa qadar bo'lgan masofaga ham bog'liq. Ushbu holatni tavsiflash uchun jismoniy miqdor chaqiriladi kuch momenti.

Keling, eng oddiy ishni ko'rib chiqaylik.

TA'RIF: Kuchning ma'lum bir nuqtaga nisbatan momenti "O" - ifoda bilan aniqlangan vektor kattalikdir, bu erda "O" nuqtadan kuch qo'llash nuqtasiga chizilgan radius vektori.

Ta'rifdan kelib chiqadiki, bu eksenel vektor. Uning yo'nalishi shunday tanlanganki, vektorning "O" nuqtasi atrofida kuch va vektor yo'nalishi bo'yicha aylanishi o'ng qo'lli tizimni tashkil qiladi. Kuch momentining moduli ga teng, bu erda a - vektorlarning yo'nalishlari orasidagi burchak va , va l= r gunoh a - "O" nuqtadan kuch ta'sir qiladigan to'g'ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligi (deb ataladi) kuch yelkasi"O" nuqtasiga nisbatan) (4.2-rasm).

2. Eksperimental ma’lumotlar shuni ko‘rsatadiki, burchak tezlanishining kattaligiga nafaqat aylanuvchi jismning massasi, balki aylanish o‘qiga nisbatan massaning taqsimlanishi ham ta’sir qiladi. Ushbu holatni hisobga oladigan miqdor deyiladi inersiya momenti aylanish o'qiga nisbatan.

TA’RIFI: To‘g‘risini aytganda, inersiya momenti ma'lum aylanish o'qiga nisbatan jism elementar massalar mahsulotining ma'lum o'qdan masofalari kvadratlari yig'indisiga teng J qiymati deb ataladi.

Jamlama tana bo'lingan barcha elementar massalar bo'yicha amalga oshiriladi. Shuni yodda tutish kerakki, bu miqdor (J) aylanishdan qat'iy nazar mavjud (garchi qattiq jismning aylanishini ko'rib chiqishda inersiya momenti tushunchasi kiritilgan bo'lsa ham).

Har bir jism tinch holatda yoki aylanayotganidan qat'iy nazar, har qanday o'qqa nisbatan ma'lum bir inersiya momentiga ega, xuddi jismning harakatlanishidan yoki tinch holatda bo'lishidan qat'i nazar, uning massasi bor.

Shuni hisobga olib, inersiya momentini quyidagicha ifodalash mumkin: . Bu munosabat taxminiy bo'lib, elementar hajmlar va mos keladigan massa elementlari qanchalik kichik bo'lsa, shunchalik aniqroq bo'ladi. Binobarin, inersiya momentlarini topish vazifasi integratsiyaga tushadi: . Bu erda integratsiya tananing butun hajmida amalga oshiriladi.

Muntazam geometrik shakldagi ayrim jismlarning inersiya momentlarini yozamiz.

Bu erda inersiya momentini hisoblash juda oddiy, chunki Tana bir hil va simmetrik deb qabul qilinadi va inersiya momenti simmetriya o'qiga nisbatan aniqlanadi.

Jismning har qanday o'qqa nisbatan inersiya momentini aniqlash uchun Shtayner teoremasidan foydalanish kerak.

TA’RIF: Ixtiyoriy o'qga nisbatan J inersiya momenti berilganga parallel boʻlgan va tananing inersiya markazidan oʻtuvchi oʻqga nisbatan J c inersiya momentining yigʻindisiga va tana massasining oʻqlar orasidagi masofaning kvadratiga koʻpaytmasiga teng (1-rasm). 4.10).

Qattiq jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish harakati - bu jismga tegishli bo'lgan har qanday ikkita nuqta (yoki doimiy ravishda u bilan bog'langan) harakat davomida harakatsiz qoladigan harakatdir.(2.2-rasm) .

2.2-rasm

Belgilangan nuqtalardan o'tish A Va IN to'g'ri chiziq deyiladi aylanish o'qi. Qattiq jismning nuqtalari orasidagi masofa o'zgarishsiz qolishi kerakligi sababli, aylanish harakati paytida o'qga tegishli barcha nuqtalar harakatsiz bo'lishi aniq, qolganlari esa tekisliklari aylanish o'qiga perpendikulyar bo'lgan doiralarni tasvirlaydi. markazlari esa shu o'qda yotadi. Aylanadigan jismning holatini aniqlash uchun biz o'q yo'naltirilgan aylanish o'qi orqali chizamiz Az, yarim tekislik І - qo'zg'almas va yarim tekislik ІІ tananing o'ziga ko'milgan va u bilan aylanadi. Keyin tananing har qanday momentdagi holati mos keladigan belgi bilan olingan burchak bilan noyob tarzda aniqlanadi φ biz chaqiradigan bu samolyotlar orasida tananing aylanish burchagi. Biz burchakni ko'rib chiqamiz φ agar kechiktirilsa ijobiy sobit tekislikdan soat miliga teskari yo'nalishda (o'qning musbat uchidan qaraydigan kuzatuvchi uchun) Az), va agar soat yo'nalishi bo'yicha bo'lsa, salbiy. Burchakni o'lchash φ Biz radyanlarda bo'lamiz. Istalgan vaqtda tananing holatini bilish uchun burchakning bog'liqligini bilishingiz kerak φ vaqtdan boshlab t, ya'ni.

Bu tenglama ifodalaydi qattiq jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish harakati qonuni.

Qattiq jismning aylanish harakatining asosiy kinematik xususiyatlari uning burchak tezligidir. ω va burchak tezlanishi ε.

9.2.1. Jismning burchak tezligi va burchak tezlanishi

Vaqt o'tishi bilan ph burilish burchagining o'zgarish tezligini tavsiflovchi kattalikka burchak tezligi deyiladi.

Agar ma'lum bir vaqt ichida
tana burchak orqali aylanadi
, keyin bu vaqt oralig'ida tananing sonli o'rtacha burchak tezligi bo'ladi
. Cheklovda
olamiz

Shunday qilib, ma'lum vaqtdagi jismning burchak tezligining son qiymati aylanish burchagining vaqtga nisbatan birinchi hosilasiga teng.

Belgilanish qoidasi: aylanish soat miliga teskari bo'lganda, ω> 0, va qachon soat yo'nalishi bo'yicha, keyin ω< 0.

yoki radian o'lchovsiz kattalik bo'lgani uchun,
.

Nazariy hisob-kitoblarda burchak tezligi vektoridan foydalanish qulayroqdir , uning moduli teng va tananing aylanish o'qi bo'ylab soat sohasi farqli ravishda aylanish ko'rinadigan yo'nalishda yo'naltirilgan. Bu vektor darhol burchak tezligining kattaligini, aylanish o'qini va bu o'q atrofida aylanish yo'nalishini aniqlaydi.

Vaqt o'tishi bilan burchak tezligining o'zgarish tezligini tavsiflovchi kattalikka tananing burchak tezlanishi deyiladi.

Agar ma'lum bir vaqt ichida
burchak tezligining o'sishiga teng
, keyin munosabat
, ya'ni. aylanuvchi jismning vaqt bo'yicha o'rtacha tezlashishi qiymatini aniqlaydi
.

Intilish paytida
biz hozirgi vaqtda burchak tezlanishining kattaligini olamiz t:

Shunday qilib, ma'lum vaqtdagi jismning burchak tezlanishining son qiymati burchak tezligining birinchi hosilasiga yoki vaqtning vaqt bo'yicha burilish burchagining ikkinchi hosilasiga teng.

Odatda o'lchov birligi ishlatiladi yoki, bu ham,
.

Agar burchak tezligi moduli vaqt o'tishi bilan ortib borsa, tananing aylanishi deyiladi tezlashtirilgan, va agar u kamaysa, - sekin Qachon qadriyatlar ω Va ε bir xil belgilarga ega bo'lsa, keyin aylanish tezlashadi, ular boshqacha bo'lsa, u sekinlashadi. Burchak tezligiga o'xshab, burchak tezlanishini vektor sifatida ham ko'rsatish mumkin , aylanish o'qi bo'ylab yo'naltirilgan. Qayerda

.

Agar tana tezlashtirilgan yo'nalishda aylansa bilan mos keladi , va aksincha sekin aylanish bilan.

Agar harakat paytida jismning burchak tezligi doimiy bo'lib qolsa ( ω= const), keyin tananing aylanishi deyiladi forma.

Kimdan
bizda ... bor
. Shunday qilib, vaqtning dastlabki daqiqalarida hisobga olsak
burchak
, va ning chap tomonidagi integrallarni olish oldin , va o'ngda 0 dan t, biz nihoyat olamiz

Yagona aylanish bilan, qachon =0,
Va
.

Yagona aylanish tezligi ko'pincha daqiqada aylanishlar soni bilan belgilanadi va bu qiymatni quyidagicha ifodalaydi. n rpm orasidagi munosabatni topamiz n rpm va ω 1/s. Bir aylanish bilan tana 2p ga aylanadi va bilan n aylanish tezligi 2p n; bu burilish 1 daqiqada amalga oshiriladi, ya'ni. t= 1 min=60s. Bundan kelib chiqadi

Agar jismning burchak tezlanishi uning butun harakati davomida doimiy bo'lib qolsa (e = const), keyin aylanish chaqiriladi teng o'zgaruvchan.

Vaqtning dastlabki daqiqasida t=0 burchak
, va burchak tezligi
(- boshlang'ich burchak tezligi).
;
=ε
. ning chap tomonini birlashtirish oldin , va o'ngdagi 0 dan t, topamiz

Bu aylanishning burchak tezligi ō
. Agar ō va e ning belgilari bir xil bo'lsa, aylanish bo'ladi bir xilda tezlashtirilgan, va agar boshqacha bo'lsa - bir xil darajada sekin.

Va Savelyeva.

Jismning oldinga siljishi paytida (E. M. Nikitin darsligidagi § 60) uning barcha nuqtalari bir xil traektoriyalar bo'ylab harakatlanadi va har bir berilgan momentda ular teng tezlik va teng tezlanishga ega.

Shuning uchun jismning translatsiya harakati har qanday nuqtaning harakati, odatda og'irlik markazining harakati bilan belgilanadi.

Har qanday masalada avtomobil (147-muammo) yoki teplovoz (141-muammo) harakatini ko'rib chiqsak, biz aslida ularning og'irlik markazlarining harakatini hisobga olamiz.

Jismning aylanish harakati (E.M. Nikitin, § 61) uning biron bir nuqtasining harakati bilan aniqlanmaydi. Har qanday aylanadigan jismning o'qi (dizel volan, elektr motor rotori, mashina shpindeli, ventilyator pichoqlari va boshqalar) atrofdagi harakatsiz jismlarga nisbatan fazoda bir xil joyni egallaydi.

Moddiy nuqtaning harakati yoki oldinga harakat jismlar vaqtga qarab xarakterlanadi chiziqli miqdorlar s (yo'l, masofa), v (tezlik) va a (tezlanish) a t va a n komponentlari bilan.

Aylanma harakat vaqtga qarab jismlar t xarakterlanadi burchak qiymatlari: ph (radianlarda aylanish burchagi), ō (rad/sek.dagi burchak tezligi) va e (rad/sek. 2 da burchak tezlanishi).

Jismning aylanish harakati qonuni tenglama bilan ifodalanadi
ph = f(t).

Burchak tezligi- jismning aylanish tezligini tavsiflovchi miqdor umumiy holatda aylanish burchagining vaqtga nisbatan hosilasi sifatida aniqlanadi.
ō = dph/dt = f" (t).

Burchak tezlanishi- burchak tezligining o'zgarish tezligini tavsiflovchi miqdor burchak tezligining hosilasi sifatida aniqlanadi.
e = dō/dt = f"" (t).

Jismning aylanish harakati bo'yicha masalalarni yechishni boshlaganda shuni yodda tutish kerakki, texnik hisob-kitoblarda va masalalarda, qoida tariqasida, burchak siljishi radianlarda emas, balki ph ga yaqin aylanishlarda ifodalanadi.

Shuning uchun aylanishlar sonidan burchak siljishining radian o'lchamiga va aksincha o'tish imkoniyatiga ega bo'lish kerak.

Bitta to'liq inqilob 2p radga to'g'ri kelganligi sababli
ph = 2ph haqida va ph haqida = ph/(2p).

Texnik hisob-kitoblarda burchak tezligi juda tez-tez daqiqada ishlab chiqarilgan aylanishlarda (rpm) o'lchanadi, shuning uchun ō rad / sek va n rpm bir xil tushunchani ifodalashini aniq tushunish kerak - tananing aylanish tezligi (burchak tezligi) , lekin turli birliklarda - rad/sek yoki rpm da.

Burchak tezligining bir birligidan boshqasiga o'tish formulalar bo'yicha amalga oshiriladi
ō = pn/30 va n = 30ō/p.

Jism aylanganda uning barcha nuqtalari aylana bo'ylab harakatlanadi, ularning markazlari bitta qo'zg'almas to'g'ri chiziqda (aylanuvchi jismning o'qi) joylashgan. Ushbu bobda keltirilgan masalalarni yechishda jismning aylanish harakatini tavsiflovchi ph, ō va e burchak kattaliklari bilan s, v, a t va an chiziqli kattaliklari o'rtasidagi bog'liqlikni aniq tushunish juda muhimdir. bu tananing turli nuqtalarining harakati (205-rasm).

Agar R aylanuvchi jismning geometrik o'qidan istalgan A nuqtagacha bo'lgan masofa bo'lsa (205-rasmda R = OA), u holda ph - tananing burilish burchagi va s o'rtasidagi bog'liqlik - nuqta bosib o'tgan masofa. tanasi bir vaqtning o'zida quyidagicha ifodalanadi:
s = phR.

Jismning burchak tezligi va nuqtaning har bir berilgan momentdagi tezligi o'rtasidagi bog'liqlik tenglik bilan ifodalanadi.
v = ōR.

Nuqtaning tangensial tezlanishi burchak tezlanishiga bog'liq va formula bilan aniqlanadi
a t = eR.

Nuqtaning normal tezlashishi tananing burchak tezligiga bog'liq va munosabatlar bilan belgilanadi.
a n = ō 2 R.

Ushbu bobda keltirilgan masalani yechishda aylanma nuqta emas, balki qattiq jismning harakati ekanligini aniq tushunish kerak. Bitta moddiy nuqta aylanmaydi, lekin aylana bo'ylab harakat qiladi - u egri chiziqli harakatni amalga oshiradi.

§ 33. Bir tekis aylanish harakati

Agar burchak tezligi ō=const bo'lsa, aylanma harakat bir tekis deyiladi.

Yagona aylanish tenglamasi shaklga ega
ph = ph 0 + ōt.

Dastlabki burilish burchagi ph 0 =0 bo'lgan alohida holatda,
ph = ōt.

Bir tekis aylanuvchi jismning burchak tezligi
ō = ph/t
quyidagicha ifodalanishi mumkin:
ō = 2p/T,
bu erda T - tananing aylanish davri; ph=2p - bir davr uchun aylanish burchagi.

§ 34. Bir tekis o'zgaruvchan aylanish harakati

O'zgaruvchan burchak tezligi bilan aylanish harakati notekis deb ataladi (quyida § 35 ga qarang). Agar burchak tezlanishi e=const bo'lsa, u holda aylanish harakati deyiladi teng o'zgaruvchan. Shunday qilib, jismning bir tekis aylanishi bir tekis bo'lmagan aylanish harakatining alohida holatidir.

Bir tekis aylanish tenglamasi
(1) ph = ph 0 + ō 0 t + et 2 /2
va istalgan vaqtda jismning burchak tezligini ifodalovchi tenglama,
(2) ō = ō 0 + et
jismning bir tekis aylanish harakati uchun asosiy formulalar to'plamini ifodalaydi.

Bu formulalar faqat oltita miqdorni o'z ichiga oladi: berilgan masala uchun uchta doimiy ph 0, ō 0 va e va uchta o'zgaruvchi ph, ō va t. Shunday qilib, bir xil aylanish uchun har bir muammoning sharti kamida to'rtta belgilangan miqdorni o'z ichiga olishi kerak.

Ayrim masalalarni yechish qulayligi uchun (1) va (2) tenglamalardan yana ikkita yordamchi formulani olish mumkin.

(1) va (2) dan e burchak tezlanishini istisno qilaylik:
(3) ph = ph 0 + (ō + ō 0)t/2.

(1) va (2) dan t vaqtini istisno qilaylik:
(4) ph = ph 0 + (ō 2 - ō 0 2)/(2e).

Xotirjam holatdan boshlab bir tekis tezlashtirilgan aylanishning alohida holatida ph 0 =0 va ō 0 =0. Shuning uchun yuqoridagi asosiy va yordamchi formulalar quyidagi shaklni oladi:
(5) ph = et 2 /2;
(6) ō = et;
(7) ph = ōt/2;
(8) ph = ō 2 /(2e).

§ 35. Noto'g'ri aylanish harakati

Jismning bir tekis bo'lmagan aylanish harakati ko'rsatilgan masalani yechish misolini ko'rib chiqamiz.

Qattiq jismning harakati aylanish deyiladi, agar harakat paytida tananing aylanish o'qi deb ataladigan ma'lum bir to'g'ri chiziqda joylashgan barcha nuqtalari harakatsiz qolsa.(2.15-rasm).

Aylanish harakati paytida tananing holati odatda aniqlanadi aylanish burchagi tanasi , aylanish o'qi orqali o'tadigan qo'zg'almas va harakatlanuvchi tekisliklar orasidagi dihedral burchak sifatida o'lchanadi. Bundan tashqari, harakatlanuvchi tekislik aylanadigan tanaga ulangan.

Harakatlanuvchi va qo'zg'almas koordinata tizimlarini ko'rib chiqamiz, ularning kelib chiqishi aylanish o'qining ixtiyoriy O nuqtasiga joylashtiriladi. Harakatlanuvchi va qo'zg'almas koordinata tizimlari uchun umumiy bo'lgan Oz o'qi aylanish o'qi bo'ylab yo'naltiriladi. Oh qo'zg'almas koordinatalar sistemasining, biz uni Oz o'qiga perpendikulyar yo'naltiramiz, shunda u qo'zg'almas tekislikda, o'qda yotadi. Oh 1 Harakatlanuvchi koordinatalar sistemasini Oz o'qiga perpendikulyar qilib yo'naltiramizki, u harakatlanuvchi tekislikda yotsin (2.15-rasm).

Agar tananing aylanish o'qiga perpendikulyar tekislik bilan kesilgan qismini ko'rib chiqsak, u holda aylanish burchagi φ sobit o'q orasidagi burchak sifatida belgilanishi mumkin Oh va harakatlanuvchi o'q Oh 1, har doim aylanadigan tana bilan bog'liq (2.16-rasm).

Tananing burilish burchagi uchun mos yozuvlar yo'nalishi qabul qilinadi φ Oz o'qining musbat yo'nalishidan qaralganda soat sohasi farqli o'laroq ijobiy hisoblanadi.

Tenglik ph = ph(t), burchakning o'zgarishini tavsiflovchi φ vaqt ichida qattiq jismning aylanish harakati qonuni yoki tenglamasi deyiladi.

Qattiq jismning aylanish burchagining o'zgarish tezligi va yo'nalishi bilan tavsiflanadi burchak tezligi. Burchak tezligining mutlaq qiymati odatda yunon alifbosining harfi bilan belgilanadi ω (omega). Burchak tezligining algebraik qiymati odatda bilan belgilanadi. Burchak tezligining algebraik qiymati aylanish burchagining birinchi marta hosilasiga teng:

. (2.33)

Burchak tezligining birliklari vaqt birligiga bo'lingan burchak birliklariga teng, masalan, deg / min, rad / soat. SI tizimida burchak tezligining o'lchov birligi rad / s dir, lekin ko'pincha bu o'lchov birligining nomi 1 / s deb yoziladi.

Agar > 0 bo'lsa, u holda aylanish o'qi bilan tekislangan koordinata o'qining oxiridan qaralganda, tana soat sohasi farqli ravishda aylanadi.

Agar< 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

Burchak tezligining o'zgarish tezligi va yo'nalishi burchak tezlanishi bilan tavsiflanadi. Burchak tezlanishining mutlaq qiymati odatda yunon alifbosining e (epsilon) harfi bilan belgilanadi. Burchak tezlanishining algebraik qiymati odatda bilan belgilanadi. Burchak tezlanishining algebraik qiymati burchak tezligining algebraik qiymatining vaqtga nisbatan birinchi hosilasiga yoki burilish burchagining ikkinchi hosilasiga teng:

Burchak tezlanishining birliklari burchak birliklarining vaqtning kvadratiga bo'linishiga teng. Masalan, deg/s 2, rad/s 2. SI tizimida burchak tezlanishining o'lchov birligi rad/s 2, lekin ko'pincha bu o'lchov birligining nomi 1/s 2 sifatida yoziladi.

Agar burchak tezligi va burchak tezlanishining algebraik qiymatlari bir xil belgiga ega bo'lsa, u holda burchak tezligi vaqt o'tishi bilan kattalashib boradi va agar u boshqacha bo'lsa, u kamayadi.

Agar burchak tezligi doimiy bo'lsa ( ω = const), keyin tananing aylanishi bir xil deb aytish odatiy holdir. Ushbu holatda:

ph = t + ph 0, (2.35)

Qayerda φ 0 - dastlabki aylanish burchagi.

Agar burchak tezlanishi doimiy bo'lsa (e = const), u holda tananing aylanishi bir xil tezlashtirilgan (bir xil sekin) deb aytish odatiy holdir. Ushbu holatda:

Qayerda 0 - dastlabki burchak tezligi.

Boshqa hollarda, qaramlikni aniqlash φ dan Va (2.33), (2.34) ifodalarni berilgan boshlang’ich sharoitda integrallash zarur.

Chizmalarda tananing aylanish yo'nalishi ba'zan egri o'q bilan ko'rsatilgan (2.17-rasm).

Ko'pincha mexanikada burchak tezligi va burchak tezlanishi vektor kattaliklari sifatida qaraladi. Va . Bu vektorlarning ikkalasi ham tananing aylanish o'qi bo'ylab yo'naltirilgan. Bundan tashqari, vektor aylanish o'qi bilan mos keladigan koordinata o'qi yo'nalishini aniqlaydigan birlik vektori bilan bir yo'nalishda yo'naltirilgan, agar >0, va aksincha, agar
Vektorning yo'nalishi xuddi shu tarzda tanlanadi (2.18-rasm).

Jismning aylanish harakati paytida uning har bir nuqtasi (aylanish o'qida joylashgan nuqtalardan tashqari) radiusi nuqtadan aylanish o'qiga qadar eng qisqa masofaga teng bo'lgan aylana bo'lgan traektoriya bo'ylab harakatlanadi (2-rasm). 2.19).

Aylananing har qanday nuqtadagi tangensi radius bilan 90 ° burchak hosil qilganligi sababli, aylanish harakatini boshdan kechirayotgan jismning nuqtaning tezlik vektori radiusga perpendikulyar yo'naltiriladi va aylananing tekisligida yotadi. nuqta harakatining traektoriyasi. Tezlanishning tangensial komponenti tezlik bilan bir xil chiziqda yotadi va normal komponent aylana markaziga radial yo'naltiriladi. Shuning uchun, ba'zida aylanish harakati paytida tezlanishning tangensial va normal komponentlari mos ravishda chaqiriladi aylanish va markazlashtirilgan (eksenel) komponentlar (2.19-rasm)

Nuqta tezligining algebraik qiymati quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:

, (2.37)

bu erda R = OM - nuqtadan aylanish o'qigacha bo'lgan eng qisqa masofa.

Tezlanishning tangensial komponentining algebraik qiymati quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:

. (2.38)

Tezlanishning normal komponentining moduli quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:

. (2.39)

Aylanish harakati paytida nuqtaning tezlanish vektori parallelogramma qoidasi bilan tangens va normal komponentlarning geometrik yig'indisi sifatida aniqlanadi. Shunga ko'ra, tezlashtirish moduli Pifagor teoremasi yordamida aniqlanishi mumkin:

Agar burchak tezligi va burchak tezlanishi vektor miqdorlar sifatida aniqlansa , , u holda tezlik vektorlarini, tezlanishning tangensial va normal komponentlarini quyidagi formulalar bilan aniqlash mumkin:

bu erda aylanish o'qining ixtiyoriy nuqtasidan M nuqtaga chizilgan radius vektor (2.20-rasm).

Bir jismning aylanish harakati bilan bog'liq muammolarni hal qilish odatda hech qanday qiyinchilik tug'dirmaydi. (2.33)-(2.40) formulalar yordamida istalgan noma'lum parametrni osongina aniqlash mumkin.

Aylanma va tarjima harakatini amalga oshiradigan bir nechta o'zaro bog'langan jismlardan iborat mexanizmlarni o'rganish bilan bog'liq muammolarni hal qilishda ma'lum qiyinchiliklar paydo bo'ladi.

Bunday muammolarni hal qilishning umumiy yondashuvi shundan iboratki, bir jismdan ikkinchisiga harakat bir nuqta - teginish (kontakt) nuqtasi orqali uzatiladi. Bundan tashqari, aloqa qiluvchi jismlar aloqa nuqtasida teng tezlik va tangensial tezlanish komponentlariga ega. Aloqa nuqtasida aloqada bo'lgan jismlar uchun tezlashuvning normal komponentlari ular jismlarning nuqtalarining traektoriyasiga bog'liq;

Ushbu turdagi masalalarni echishda, aniq holatlarga qarab, uning harakatini tabiiy (2.7), (2.14) deb ko'rsatishda 2.3-bo'limda keltirilgan formulalardan ham, nuqtaning tezligi va tezlanishini aniqlash uchun formulalardan foydalanish qulaydir. ) (2.16) yoki koordinata (2.3), (2.4), (2.10), (2.11) usullari. Bundan tashqari, agar nuqta tegishli bo'lgan jismning harakati aylanma bo'lsa, nuqtaning traektoriyasi aylana bo'ladi. Agar tananing harakati to'g'ri chiziqli translatsiya bo'lsa, u holda nuqtaning traektoriyasi to'g'ri chiziq bo'ladi.

2.4-misol. Tana sobit o'q atrofida aylanadi. Tananing aylanish burchagi qonunga muvofiq o'zgaradi ph = p t 3 xursand. Aylanish o'qidan OM = R = 0,5 m masofada joylashgan nuqta uchun vaqt momentidagi tezlanish va tezlanishning tezligi, tangensi, normal komponentlarini aniqlang. t 1= 0,5 s. Ushbu vektorlarning yo'nalishini chizmada ko'rsating.

Jismning aylanish o'qiga perpendikulyar O nuqtadan o'tuvchi tekislik kesimini ko'rib chiqamiz (2.21-rasm). Bu rasmda O nuqta aylanish o'qi va kesish tekisligining kesishish nuqtasi, nuqta M o Va M 1- mos ravishda, M nuqtasining boshlang'ich va joriy holati. O nuqtalari orqali va M o qo'zg'almas o'qni chizish Oh, va O nuqtalari orqali va M 1 - harakatlanuvchi eksa Oh 1. Bu o'qlar orasidagi burchak teng bo'ladi

Aylanish burchagining o‘zgarish qonunini farqlash orqali jismning burchak tezligining o‘zgarish qonunini topamiz:

Ayni damda t 1 burchak tezligi ga teng bo'ladi

Jismning burchak tezlanishining oʻzgarish qonunini burchak tezligining oʻzgarish qonunini differensiallash orqali topamiz:

Ayni damda t 1 burchak tezlanishi quyidagilarga teng bo'ladi:

1/s 2,

(2.37), (2.38), (2.39), (2.40) formulalari yordamida tezlik vektorlarining algebraik qiymatlarini, tezlanishning tangensial komponentini, tezlanishning normal komponentining modulini va tezlanish modulini topamiz:

M/s 2 ;

m/s 2 .

Burchakdan beri ph 1>0 bo'lsa, biz uni Ox o'qidan soat miliga teskari tomonga o'tkazamiz. Va shundan beri > 0, keyin vektorlar radiusga perpendikulyar yo'naltirilgan bo'ladi OM 1 shuning uchun biz ularni soat miliga teskari yo'nalishda aylanayotganini ko'ramiz. Vektor radius bo'ylab yo'naltirilgan bo'ladi OM 1 aylanish o'qiga. Vektor Vektorlar ustida parallelogramm qoidasiga asosan quramiz τ Va .

2.5-misol. Yukning to'g'ri chiziqli ko'chirish harakatining berilgan tenglamasiga ko'ra 1 x = 0,6t 2 - 0,18 (m) tezlikni, shuningdek tezlanishning tangensial, normal komponentini va vaqt momentidagi mexanizmning M nuqtasining tezlashishini aniqlang. t 1, 1-yuk bosib o'tgan yo'l s = 0,2 m bo'lganda, masalani hal qilishda 2 va 3 jismlarning aloqa nuqtasida sirpanish yo'q deb hisoblaymiz. R 2= 1,0 m, r 2 = 0,6 m, R 3 = 0,5 m (2.22-rasm).

1-yukning to'g'ri chiziqli ko'chirish harakati qonuni koordinata shaklida berilgan. Keling, vaqtni aniqlaylik t 1, buning uchun 1-yuk bosib o'tgan yo'l s ga teng bo'ladi

s = x(t l)-x(0),

qayerdan olamiz:

0,2 = 0,18 + 0,6t 1 2 - 0,18.

Demak,

Harakat tenglamasini vaqtga nisbatan differensiallashtirib, 1-yukning Ox o'qiga tezligi va tezlanishi proyeksiyalarini topamiz:

Xonim 2 ;

Hozirgi vaqtda t = t 1 1-yuk tezligining proyeksiyasi quyidagilarga teng bo'ladi:

ya'ni 1-yukning tezlanishi proyeksiyasi kabi noldan katta bo'ladi. Shuning uchun 1-yuk t momentida bo'ladi. 1 bir xil tezlikda pastga siljiting, mos ravishda 2-tana soat miliga teskari yo'nalishda bir tekis tezlashtirilgan holda aylanadi va 3-tana soat yo'nalishi bo'yicha aylanadi.

2-korpus barabanga o'ralgan ip orqali 1-korpus tomonidan aylanish holatiga keltiriladi. Demak, jismning 1 nuqtalari, ip va 2 jismning barabani yuzasining tezliklari modullari teng, 1-tana nuqtalarining tezlanish modullari, ip va tezlanishning tangensial komponenti. 2 jismning baraban yuzasining nuqtalari ham teng bo'ladi, shuning uchun 2 jismning burchak tezligi moduli sifatida aniqlanishi mumkin

2 jismning burchak tezlanish moduli quyidagilarga teng bo'ladi:

1/s 2 .

2 jismning K nuqtasi - 2 va 3 jismlarning aloqa nuqtasi uchun tezlik modullari va tezlanishning tangensial komponentini aniqlaymiz:

Xonim, Xonim 2

2 va 3 jismlar o'zaro sirpanishsiz aylanayotganligi sababli, tezlikning kattaliklari va K nuqta tezlanishining tangensial komponenti - bu jismlar uchun aloqa nuqtasi teng bo'ladi.

Guruch. 6.4

Jismning har qanday ikkita nuqtasi bo'lgan bunday harakati (A Va IN rasmda. 6.4) harakatsiz qoladi, bu harakatsiz o'q atrofida aylanish deb ataladi.

Ko'rsatish mumkinki, bu holda nuqtalarni tutashtiruvchi to'g'ri chiziqda yotgan tananing istalgan nuqtasi harakatsiz qoladi. Oh V.

Ushbu nuqtalardan o'tadigan o'q deyiladi aylanish o'qi jismlar; uning ijobiy yo'nalishi o'zboshimchalik bilan tanlanadi (6.4-rasm).

Har qanday nuqta M Aylanish o'qida yotmagan jismning markazi aylanish o'qida joylashgan doirani tasvirlaydi (6.4-rasm).

Ruxsat etilgan aylanish o'qi bilan tananing holati z(6.5-rasm) faqat bitta skalyar parametr yordamida tasvirlanishi mumkin - aylanish burchagi (r. Bu aylanish o'qi orqali chizilgan ikkita tekislik orasidagi burchak: sobit tekislik N va harakatlanuvchi - R, tanaga qattiq bog'langan (6.5-rasm). Biz burchak mos yozuvlar yo'nalishini ijobiy deb qabul qilamiz o'qning oxiridan qaralganda soat yo'nalishi bo'yicha harakatga qarama-qarshi z.(6.5-rasmda yoy o'qi bilan ko'rsatilgan). Burchak uchun SI o'lchov birligi 1 radian «57,3°. Aylanish burchagining vaqtga funktsional bog'liqligi

jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish harakatini to'liq aniqlaydi. Shuning uchun (6.3) tenglik qattiq jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish tenglamasi deyiladi.

Jismning aylanish tezligi burchak tezligi bilan tavsiflanadi bilan vaqtga nisbatan aylanish burchagi hosilasi sifatida aniqlanadigan tana

va rad/s (yoki s"") o'lchamiga ega.

Aylanish harakatining ikkinchi kinematik xarakteristikasi burchak tezlanishi - tananing burchak tezligining hosilasi:

Burchak tezlanishining o'lchami rad/s 2 (yoki Bilan~ 2).

Izoh. Belgilar bilan va? V ushbu ma'ruzalarning asosiy qismi belgilangan algebraik burchak tezligi va burchak tezlanishi qiymatlari. Ularning belgilari aylanish yo'nalishini va uning tabiatini (tezlashtirilgan yoki sekinlashtirilgan) ko'rsatadi. Masalan, agar bilan = f> 0, keyin burchak (R vaqt o'tishi bilan ortadi va shuning uchun tana mos yozuvlar yo'nalishi bo'yicha aylanadi (R.

Aylanadigan jismning har bir nuqtasining tezligi va tezlanishi uning burchak tezligi va burchak tezlanishi bilan osongina bog'lanishi mumkin. Ixtiyoriy nuqtaning harakatini ko'rib chiqing M jismlar (6.6-rasm).

Uning traektoriyasi aylana bo'lganligi uchun nuqtaning yoy koordinatasi.9 M tanani burchak orqali aylantirgandan so'ng bo'ladi

Qayerda h- nuqtadan masofa M aylanish o'qiga (6.6-rasm).

Ushbu tenglikning ikkala tomonini vaqt bo'yicha farqlab, biz (5.14) va (6.4) ni hisobga olgan holda olamiz:

bu yerda g g nuqta tezligining r tangensiga proyeksiyasi, yoy.v va burchakning mos yozuvlar nuqtasiga yo‘naltirilgan.

Nuqtaning normal tezlanishining kattaligi M(5.20) va (6.6) ga muvofiq bo'ladi

va uning tangensial tezlanishining (5.19) va (6.5) ga muvofiq r tangensiga proyeksiyasi.

To'liq nuqta tezlashtirish moduli M

V vektor yo'nalishlari, a, a„, a, qachon uchun f> 0 va f > 0 rasmda ko'rsatilgan. 6.7.

Misol 1. Transmissiya mexanizmi g'ildiraklardan / va 2 dan iborat bo'lib, ular bir nuqtada bog'langan TO shunday qilib, ular aylanayotganda, o'zaro sirpanish bo'lmaydi. G'ildirakning aylanish tenglamasi 1:

musbat burchak mos yozuvlar yo'nalishi (R shakldagi yoy o'qi bilan ko'rsatilgan. 6.8.

Mexanizmning o'lchamlari ma'lum: G= 4 sm, R2= 6 sm, g 2 = 2 sm.

Nuqtaning tezligi va tezlanishini toping M g'ildiraklar 2 vaqt ichida bir lahza uchun /| = 2 s.

Yechim. G'ildirak mexanizmi harakat qilganda 1 va 2 nuqtadan o'tuvchi qo'zg'almas o'qlar atrofida aylanadi 0 Va 0 2 rasm tekisligiga perpendikulyar. 6.8. G'ildirakning burchak tezligi va burchak tezlanishini topish I vaqtida / = 2 s, ushbu miqdorlarning yuqoridagi ta'riflari (6.4) va (6.5) yordamida:

Ularning salbiy belgilari hozirgi vaqtda buni ko'rsatadi t- 2 s g'ildirak / soat yo'nalishi bo'yicha aylanadi (burchakni o'qish yo'nalishiga qarama-qarshi). (R) va bu aylanish tezlashadi. O'zaro g'ildirakning siljishi yo'qligi sababli I va ularning aloqa nuqtasidagi nuqtalarining 2 tezlik vektori TO teng bo'lishi kerak. Ushbu tezlikning kattaligini g'ildiraklarning burchak tezligida (6.6) yordamida ifodalaymiz:

Oxirgi tenglikdan 2 g'ildirakning burchak tezligi modulini ifodalaymiz va belgilangan vaqt momenti 6 = 2 s uchun uning qiymatini topamiz:

Tezlik yo'nalishi Kimga(6.9-rasm) 2-g'ildirak soat sohasi farqli ravishda aylanishini va shuning uchun oh> 0. (6.10) va oxirgi tengsizlikdan g'ildiraklarning burchak tezliklari doimiy manfiy omil (-) bilan farqlanishi aniq. g1g 2): 2 = bilan g (/g 2). Ammo keyin bu tezliklarning hosilalari - g'ildiraklarning burchak tezlashuvi - bir xil omil bilan farq qilishi kerak: e 2 =? ] (-g ] /g 1)=-2-(-4/2) = 4s ~ 2 .

Nuqtaning tezligi va tezlanishini topish M(6.6) - (6.9) formulalar yordamida pog'onali g'ildirak 2:

v va, a va d/ vektorlarining yo'nalishlari rasmda ko'rsatilgan. 6.9.