Moddiy nuqtaning impuls momentini o'zgartirish teoremasi natijadir. Nuqta va sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teoremalar

Moddiy nuqta kuch ta'sirida harakat qilsin F. Bu nuqtaning harakatlanuvchi tizimga nisbatan harakatini aniqlash talab qilinadi Oxyz(moddiy nuqtaning murakkab harakatiga qarang), statsionar tizimga nisbatan ma'lum tarzda harakat qiladi O 1 x 1 y 1 z 1 .

Statsionar tizimda dinamikaning asosiy tenglamasi

Nuqtaning absolyut tezlanishini Koriolis teoremasidan foydalanib yozamiz

Qayerda a abs- mutlaq tezlashtirish;

a rel- nisbiy tezlashuv;

a qator- portativ tezlashtirish;

a yadro- Koriolis tezlashishi.

(26) ni hisobga olgan holda (25) qayta yozamiz.

Keling, belgi bilan tanishtiramiz
- portativ inertsiya kuchi,
- Koriolis inersiya kuchi. Keyin (27) tenglama shaklni oladi

Nisbiy harakatni o'rganish uchun dinamikaning asosiy tenglamasi (28) mutlaq harakatdagi kabi yoziladi, nuqtaga ta'sir etuvchi kuchlarga faqat ko'chirish va Koriolis inersiya kuchlarini qo'shish kerak.

Moddiy nuqtaning dinamikasiga oid umumiy teoremalar

Ko'pgina muammolarni hal qilishda siz Nyutonning ikkinchi qonuni asosida olingan oldindan tayyorlangan blankalardan foydalanishingiz mumkin. Bunday muammolarni hal qilish usullari ushbu bo'limda birlashtirilgan.

Moddiy nuqta impulsining o'zgarishi haqidagi teorema

Keling, quyidagi dinamik xususiyatlarni keltiramiz:

1. Moddiy nuqtaning momenti– nuqta massasi va uning tezligi vektorining mahsulotiga teng vektor miqdori

. (29)

2. Kuchli impuls

Quvvatning elementar impulsi– kuch vektori va elementar vaqt oralig‘ining ko‘paytmasiga teng vektor miqdori

(30).

Keyin to'liq impuls

. (31)

Da F=const olamiz S=Ft.

Cheklangan vaqt oralig'idagi umumiy impulsni faqat ikkita holatda hisoblash mumkin, bunda nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch doimiy yoki vaqtga bog'liq. Boshqa hollarda, kuchni vaqt funktsiyasi sifatida ifodalash kerak.

Impuls (29) va impuls (30) o'lchovlarining tengligi ular o'rtasida miqdoriy munosabatni o'rnatishga imkon beradi.

Ixtiyoriy kuch ta'sirida M moddiy nuqtaning harakatini ko'rib chiqamiz F ixtiyoriy traektoriya bo'ylab.

HAQIDA UD:
. (32)

(32) dagi o'zgaruvchilarni ajratamiz va integrallaymiz

. (33)

Natijada, (31) ni hisobga olgan holda, biz olamiz

. (34)

(34) tenglama quyidagi teoremani ifodalaydi.

Teorema: Moddiy nuqta impulsining ma’lum vaqt oralig‘idagi o‘zgarishi shu vaqt oralig‘idagi nuqtaga ta’sir etuvchi kuchning impulsiga teng.

Masalalarni yechishda (34) tenglamani koordinata o'qlariga proyeksiya qilish kerak

Berilgan va noma’lum miqdorlar orasida nuqta massasi, uning boshlang‘ich va yakuniy tezligi, kuchlari va harakat vaqti bo‘lsa, bu teoremadan foydalanish qulay.

Moddiy nuqtaning burchak impulsining o'zgarishi haqidagi teorema

M
moddiy nuqtaning momentum momenti markazga nisbatan nuqta va elkaning momentum modulining mahsulotiga teng, ya'ni. markazdan tezlik vektoriga to'g'ri keladigan chiziqqa eng qisqa masofa (perpendikulyar).

, (36)

. (37)

Kuch momenti (sabab) va impuls momenti (ta'sir) o'rtasidagi bog'liqlik quyidagi teorema bilan o'rnatiladi.

Berilgan massaning M nuqtasi bo'lsin m kuch ta'sirida harakat qiladi F.

,
,

, (38)

. (39)

(39) ning hosilasini hisoblaymiz.

. (40)

(40) va (38) ni birlashtirib, biz nihoyat erishamiz

. (41)

(41) tenglama quyidagi teoremani ifodalaydi.

Teorema: Moddiy nuqtaning biror markazga nisbatan burchak momentum vektorining vaqt hosilasi shu markazga nisbatan nuqtaga ta’sir etuvchi kuch momentiga teng.

Masalalarni yechishda (41) tenglamani koordinata o'qlariga proyeksiya qilish kerak

(42) tenglamalarda koordinata o'qlariga nisbatan impuls va kuch momentlari hisoblanadi.

(41) dan kelib chiqadi burchak momentumining saqlanish qonuni (Kepler qonuni).

Agar biron bir markazga nisbatan moddiy nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch momenti nolga teng bo'lsa, u holda nuqtaning bu markazga nisbatan burchak momenti o'z kattaligini va yo'nalishini saqlab qoladi.

Agar
, Bu
.

Teorema va saqlanish qonuni egri chiziqli harakatga oid masalalarda, ayniqsa markaziy kuchlar ta'sirida qo'llaniladi.

Teoremada muhokama qilingan tizim har qanday jismlardan tashkil topgan har qanday mexanik tizim bo'lishi mumkin.

Teoremaning bayoni

Mexanik tizimning harakat (impuls) miqdori - bu tizimga kiritilgan barcha jismlarning harakat (impuls) miqdorlarining yig'indisiga teng miqdor. Sistema jismlariga ta'sir etuvchi tashqi kuchlar impulsi sistema jismlariga ta'sir etuvchi barcha tashqi kuchlar impulslarining yig'indisidir.

( kg m/s)

Tizimning impuls momentining o'zgarishi haqidagi teorema

Tizim impulsining ma'lum vaqt oralig'idagi o'zgarishi tizimga xuddi shu vaqt ichida ta'sir etuvchi tashqi kuchlarning impulsiga teng.

Tizim impulsining saqlanish qonuni

Agar sistemaga ta'sir etuvchi barcha tashqi kuchlar yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda sistemaning harakat miqdori (impulsi) doimiy kattalikdir.

, sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teorema ifodasini differentsial shaklda olamiz:

Olingan tenglikning ikkala tomonini ba'zi va o'rtasidagi o'zboshimchalik bilan olingan vaqt oralig'ida birlashtirgan holda, sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teorema ifodasini integral shaklda olamiz:

Impulsning saqlanish qonuni (Impulsning saqlanish qonuni) sistemaga ta'sir etuvchi tashqi kuchlarning vektor yig'indisi nolga teng bo'lsa, sistemaning barcha jismlari impulslarining vektor yig'indisi doimiy qiymat ekanligini bildiradi.

(impuls momenti m 2 kg s -1)

Burchak impulsining markazga nisbatan o'zgarishi haqidagi teorema

har qanday qo'zg'almas markazga nisbatan moddiy nuqtaning momentum momentining (kinetik moment) vaqt hosilasi bir xil markazga nisbatan nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch momentiga teng.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

O'qga nisbatan burchak momentining o'zgarishi haqidagi teorema

har qanday qo'zg'almas o'qga nisbatan moddiy nuqtaning momentum momentining (kinetik moment) vaqt hosilasi shu o'qga nisbatan ushbu nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchning momentiga teng.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Moddiy nuqtani ko'rib chiqing M massa m , kuch ta'siri ostida harakat qilish F (3.1-rasm). Burchak momentum vektorini yozamiz va tuzamiz (kinetik impuls) M Markazga nisbatan 0 moddiy nuqta O :

Keling, burchak momentumining ifodasini farqlaylik (kinetik moment k 0) vaqt bo'yicha:

Chunki dr /dt = V , keyin vektor mahsulot V ⊗ m ⋅ V (kollinear vektorlar V Va m ⋅ V ) nolga teng. Xuddi shu vaqtda d (m ⋅ V) /dt = F moddiy nuqtaning impulsi haqidagi teoremaga muvofiq. Shuning uchun biz buni olamiz

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

Qayerda r ⊗F = M 0 (F ) – vektor-kuch momenti F sobit markazga nisbatan O . Vektor k 0 ⊥ tekislik ( r , m ⊗V ) va vektor M 0 (F ) ⊥ samolyot ( r ,F ), biz nihoyat qildik

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Tenglama (3.4) markazga nisbatan moddiy nuqtaning burchak momentumining (burchak impulsining) o'zgarishi haqidagi teoremani ifodalaydi: har qanday qo'zg'almas markazga nisbatan moddiy nuqtaning momentum momentining (kinetik moment) vaqt hosilasi bir xil markazga nisbatan nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch momentiga teng.

Tenglikni (3.4) Dekart koordinatalari o'qlariga proyeksiya qilib, biz hosil qilamiz

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Tenglik (3.5) o'qqa nisbatan moddiy nuqtaning burchak momentumining (kinetik momentum) o'zgarishi haqidagi teoremani ifodalaydi: har qanday qo'zg'almas o'qga nisbatan moddiy nuqtaning momentum momentining (kinetik moment) vaqt hosilasi shu o'qga nisbatan ushbu nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchning momentiga teng.

(3.4) va (3.5) teoremalardan kelib chiqadigan oqibatlarni ko'rib chiqamiz.

Xulosa 1. Kuch bo'lganda vaziyatni ko'rib chiqing F nuqtaning butun harakati davomida statsionar markazdan o'tadi O (markaziy kuch holati), ya'ni. Qachon M 0 (F ) = 0. U holda (3.4) teoremadan shunday chiqadi k 0 = const ,

bular. markaziy kuch bo'lsa, bu kuchning markaziga nisbatan moddiy nuqtaning burchak momentum (kinetik momenti) kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'lib qoladi (3.2-rasm).

3.2-rasm

Shartdan k 0 = const shundan kelib chiqadiki, harakatlanuvchi nuqtaning traektoriyasi tekis egri chiziq bo'lib, uning tekisligi bu kuchning markazidan o'tadi.

Xulosa 2. Mayli M z (F ) = 0, ya'ni. kuch o'qni kesib o'tadi z yoki unga parallel. Bunday holda, (3.5) tenglamalarning uchinchi qismidan ko'rinib turibdiki, k z = const ,

bular. agar biron-bir qo'zg'almas o'qga nisbatan nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch momenti doimo nolga teng bo'lsa, u holda nuqtaning bu o'qqa nisbatan burchak momentum (kinetik momenti) doimiy bo'lib qoladi.

Impulsning o'zgarishi haqidagi teoremani isbotlash

Tizim massalari va tezlanishlari bo'lgan moddiy nuqtalardan iborat bo'lsin. Biz tizim jismlariga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarni ikki turga ajratamiz:

Tashqi kuchlar - bu ko'rib chiqilayotgan tizimga kirmagan jismlardan ta'sir qiluvchi kuchlar. Raqamli moddiy nuqtaga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning natijasi i belgilaylik

Ichki kuchlar - bu tizim jismlarining o'zi bir-biri bilan o'zaro ta'sir qiladigan kuchlar. Raqam bilan nuqtada qanday kuch i raqam bilan nuqta haqiqiydir k, biz , va ta'sir kuchini belgilaymiz i chi nuqta k nuqta -. Shubhasiz, qachon, keyin

Kiritilgan belgidan foydalanib, ko'rib chiqilayotgan har bir moddiy nuqta uchun Nyutonning ikkinchi qonunini shaklda yozamiz

Shuni hisobga olib Nyutonning ikkinchi qonunining barcha tenglamalarini jamlab, biz quyidagilarni olamiz:

Ifoda tizimda harakat qiluvchi barcha ichki kuchlarning yig'indisini ifodalaydi. Nyutonning uchinchi qonuniga ko'ra, bu yig'indida har bir kuch shunday kuchga to'g'ri keladiki, shuning uchun u ushlab turadi. Butun yig'indi shunday juftliklardan iborat bo'lgani uchun yig'indining o'zi nolga teng. Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin

Tizimning impulsi uchun yozuvdan foydalanib, biz olamiz

Tashqi kuchlar impulsining o'zgarishini hisobga olgan holda , sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teorema ifodasini differentsial shaklda olamiz:

Shunday qilib, olingan oxirgi tenglamalarning har biri shuni ta'kidlashga imkon beradi: tizim impulsining o'zgarishi faqat tashqi kuchlarning ta'siri natijasida sodir bo'ladi va ichki kuchlar bu qiymatga hech qanday ta'sir ko'rsata olmaydi.

Olingan tenglikning ikkala tomonini baʼzi va lar oʻrtasidagi ixtiyoriy qabul qilingan vaqt oraligʻida integrallab, tizim impulsining oʻzgarishi haqidagi teoremaning integral koʻrinishida ifodasini olamiz:

bu erda va vaqt momentlaridagi tizimning harakat miqdorining qiymatlari va mos ravishda va ma'lum vaqt oralig'idagi tashqi kuchlarning impulsi. Yuqorida aytilganlarga va kiritilgan belgilarga muvofiq,

Moddiy nuqta uchun dinamikaning asosiy qonuni sifatida ifodalanishi mumkin

Chapdagi bu munosabatning ikkala tomonini vektoriy ravishda radius vektoriga ko'paytirsak (3.9-rasm), biz hosil bo'lamiz.

(3.32)

Ushbu formulaning o'ng tomonida biz O nuqtaga nisbatan kuch momentiga egamiz. Vektor mahsulotining hosilasi uchun formulani qo'llash orqali chap tomonni o'zgartiramiz.

Lekin parallel vektorlarning vektor mahsuloti sifatida. Shundan so'ng biz olamiz

(3.33)

Har qanday markazga nisbatan nuqtaning momentum momentining vaqtiga nisbatan birinchi hosilasi xuddi shu markazga nisbatan kuch momentiga teng.

3.12-rasm

; ;

Berilgan kirish ma'lumotlari uchun tizimning burchak momentumi

Tizimning burchak impulsining o'zgarishi haqidagi teorema. Olingan tashqi va ichki kuchlarni tizimning har bir nuqtasiga qo'llaymiz. Tizimning har bir nuqtasi uchun burchak momentumining o'zgarishi haqidagi teoremani qo'llashingiz mumkin, masalan, (3.33) shaklida.

Tizimning barcha nuqtalarini yig'ib, hosilalarning yig'indisi yig'indining hosilasiga teng ekanligini hisobga olsak, biz hosil bo'lamiz.

Sistemaning kinetik momentini va tashqi va ichki kuchlarning xossalarini aniqlash orqali

Demak, natijaviy munosabat sifatida ifodalanishi mumkin

Har qanday nuqtaga nisbatan sistemaning burchak momentumining birinchi marta hosilasi sistemaga bir xil nuqtaga nisbatan taʼsir etuvchi tashqi kuchlarning bosh momentiga teng.

3.3.5. Kuch ishi

1) Kuchning elementar ishi kuchning skalyar ko`paytmasiga va kuch qo`llash nuqtasi vektorining differentsial radiusiga teng (3.13-rasm).

3.13-rasm

(3.36) ifodani quyidagi ekvivalent shakllarda ham yozish mumkin

bu erda kuchning kuch qo'llash nuqtasi tezligining yo'nalishi bo'yicha proyeksiyasi.

2) Yakuniy siljishda kuchning ishi

Quvvatning elementar ishini integrasiya qilib, A nuqtadan B nuqtaga yakuniy siljishdagi kuch ishining quyidagi ifodalarini olamiz.

3) Doimiy kuchning ishi

Agar kuch doimiy bo'lsa, u holda (3.38) dan kelib chiqadi

Doimiy kuchning ishi traektoriya shakliga bog'liq emas, balki faqat kuch qo'llash nuqtasining siljish vektoriga bog'liq.

4) Og'irlik kuchining ishi

Og'irlik kuchi uchun (3.14-rasm) va (3.39) dan biz olamiz

3.14-rasm

Agar harakat B nuqtadan A nuqtaga sodir bo'lsa, u holda

Umuman

"+" belgisi kuch qo'llash nuqtasining pastga harakatiga mos keladi, "-" belgisi - yuqoriga.

4) Elastik kuchning ishi

Prujinaning o'qi x o'qi bo'ylab yo'naltirilsin (3.15-rasm) va prujinaning oxiri 1 nuqtadan 2 nuqtaga o'tadi, keyin (3.38) dan olamiz.

Agar bahorning qattiqligi bo'lsa Bilan, shuning uchun

A (3.41)

Agar prujinaning uchi 0 nuqtadan 1 nuqtaga harakat qilsa, bu ifodada , ni almashtiramiz, u holda elastik kuchning ishi shaklni oladi.

(3.42)

bahorning cho'zilishi qayerda.

3.15-rasm

5) Aylanuvchi jismga ta'sir qiladigan kuch ishi. Hozirgi ish.

Shaklda. 3.16-rasmda o'zboshimchalik bilan kuch qo'llaniladigan aylanadigan jism ko'rsatilgan. Aylanish vaqtida bu kuchni qo'llash nuqtasi aylana bo'ylab harakatlanadi.

dan iborat n moddiy nuqtalar. Keling, ushbu tizimdan ma'lum bir nuqtani tanlaylik Mj massa bilan m j. Ma'lumki, bu nuqtada tashqi va ichki kuchlar harakat qiladi.

Keling, buni nuqtaga qo'yaylik Mj barcha ichki kuchlarning natijasidir F j i va barcha tashqi kuchlarning natijasi F j e(2.2-rasm). Tanlangan material nuqtasi uchun Mj(erkin nuqta uchun) impulsning o'zgarishi haqidagi teoremani differentsial shaklda yozamiz (2.3):

Mexanik tizimning barcha nuqtalari uchun o'xshash tenglamalarni yozamiz (j=1,2,3,…,n).

2.2-rasm

Keling, hammasini bo'lak-bo'lak qo'shamiz n tenglamalar:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Bu yerga ∑m j ×V j =Q– mexanik tizimning harakat miqdori;
∑F j e = R e- mexanik tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning asosiy vektori;
∑F j i = R i =0– tizimning ichki kuchlarining asosiy vektori (ichki kuchlar xususiyatiga ko‘ra u nolga teng).

Nihoyat, mexanik tizim uchun biz qo'lga kiritamiz

dQ/dt = R e. (2.11)

(2.11) ifoda mexanik sistemaning differensial ko’rinishdagi impuls momentining o’zgarishi haqidagi teorema (vektorli ifodada): mexanik tizim impuls vektorining vaqt hosilasi tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning asosiy vektoriga teng..

(2.11) vektor tengligini Dekart koordinata o'qlariga proyeksiya qilib, mexanik sistema impulsining koordinatali (skalyar) ifodadagi o'zgarishi haqidagi teorema uchun ifodalarni olamiz:

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

bular. mexanik tizim impulsining istalgan o'qqa proyeksiyasining vaqt hosilasi ushbu mexanik tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning asosiy vektorining ushbu o'qga proyeksiyasiga teng..

Tenglikning ikkala tomonini (2.12) ga ko'paytirish dt, biz teoremani boshqa differentsial shaklda olamiz:

dQ = R e ×dt = dS e, (2.13)

bular. mexanik tizimning differentsial impulsi tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning asosiy vektorining elementar impulsiga (elementar impulslar yig'indisiga) teng..

Tenglikni (2.13) 0 dan o'zgargan vaqt ichida integrallash t, biz mexanik tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani yakuniy (integral) shaklda (vektor ifodasida) olamiz:

Q - Q 0 = S e,

bular. Cheklangan vaqt oralig'ida mexanik tizim impulsining o'zgarishi, xuddi shu vaqt ichida tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning asosiy vektorining umumiy impulsiga (jami impulslar yig'indisiga) teng..

(2.14) vektor tengligini Dekart koordinata o'qlariga proyeksiya qilib, proyeksiyalarda (skalar ifodada) teorema uchun ifodalarni olamiz:

bular. mexanik tizim impulsining har qanday o'qqa chekli vaqt oralig'idagi proyeksiyasining o'zgarishi barcha tashqi kuchlarning asosiy vektorining umumiy impulsining (umumiy impulslar yig'indisi) bir xil o'qiga proyeksiyasiga teng. xuddi shu vaqt ichida mexanik tizimga ta'sir qiladi.

Ko'rib chiqilgan (2.11) - (2.15) teoremasidan quyidagi xulosalar kelib chiqadi:

1. Agar R e = ∑F j e = 0, Bu Q = konst– bizda mexanik tizimning impuls vektorining saqlanish qonuni mavjud: agar asosiy vektor bo'lsa R e mexanik tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlar nolga teng bo'lsa, bu tizimning impuls vektori kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'lib qoladi va uning boshlang'ich qiymatiga teng bo'ladi. Q 0, ya'ni. Q = Q 0.
2. Agar R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), Bu Q x = konst- bizda mexanik tizimning impuls o'qiga proyeksiyasining saqlanish qonuni mavjud: agar mexanik tizimga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarning asosiy vektorining istalgan o'qqa proyeksiyasi nolga teng bo'lsa, u holda bir xil o'qga proyeksiyasi nolga teng bo'lsa. bu tizimning impuls vektori doimiy qiymat bo'ladi va impulsning bu eksa boshlang'ich vektoriga proyeksiyaga teng bo'ladi, ya'ni. Q x = Q 0x.

Moddiy tizim impulsining oʻzgarishi haqidagi teoremaning differensial shakli kontinuum mexanikasida muhim va qiziqarli qoʻllanmalarga ega. (2.11) dan Eyler teoremasini olishimiz mumkin.

Kuch ta'sirida moddiy nuqta harakatining differensial tenglamasi F quyidagi vektor shaklida ifodalanishi mumkin:

Nuqtaning massasidan boshlab m doimiy sifatida qabul qilinadi, keyin hosila belgisi ostida kiritilishi mumkin. Keyin

Formula (1) nuqta impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani differentsial shaklda ifodalaydi: nuqta impulsining vaqtiga nisbatan birinchi hosilasi nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchga teng.

Koordinata o'qlariga proyeksiyalarda (1) quyidagicha ifodalanishi mumkin

Agar ikkala tomon (1) ga ko'paytirilsa dt, keyin biz bir xil teoremaning boshqa shaklini - differensial shakldagi impuls teoremasini olamiz:

bular. nuqta impulsining differensialligi nuqtaga ta’sir etuvchi kuchning elementar impulsiga teng.

(2) ning ikkala qismini koordinata o'qlariga proyeksiya qilib, biz hosil qilamiz

(2) ning ikkala qismini noldan t gacha integrallash (1-rasm), biz bor

nuqtaning ayni paytda tezligi qayerda t; - tezlik da t = 0;

S- vaqt o'tishi bilan kuchning impulsi t.

(3) ko'rinishdagi ifoda ko'pincha chekli (yoki integral) ko'rinishdagi impuls teoremasi deb ataladi: har qanday vaqt oralig'ida nuqta impulsining o'zgarishi xuddi shu vaqt oralig'idagi kuch impulsiga teng.

Koordinata o'qlariga proyeksiyalarda bu teorema quyidagi ko'rinishda ifodalanishi mumkin:

Moddiy nuqta uchun har qanday shakldagi impulsning o'zgarishi haqidagi teorema nuqta harakatining differensial tenglamalaridan mohiyatan farq qilmaydi.

Tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teorema

Tizimning harakat miqdori vektor miqdori deb ataladi Q, tizimning barcha nuqtalarining harakat miqdorlarining geometrik yig'indisiga (asosiy vektor) teng.

dan tashkil topgan tizimni ko'rib chiqing n moddiy nuqtalar. Keling, ushbu sistema uchun harakatning differensial tenglamalarini tuzamiz va ularni hadlar bo'yicha qo'shamiz. Keyin biz olamiz:

Ichki kuchlarning xususiyati tufayli oxirgi yig'indi nolga teng. Bundan tashqari,

Nihoyat biz topamiz:

(4) tenglama sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani differentsial shaklda ifodalaydi: sistema impulsining vaqt hosilasi sistemaga ta'sir etuvchi barcha tashqi kuchlarning geometrik yig'indisiga teng.

Teoremaning boshqa ifodasini topamiz. Vaqtga ruxsat bering t= 0 - tizimning harakat miqdori Q 0, va ayni paytda t 1 tenglashadi Q 1. Keyin, (4) tenglikning ikkala tomonini ko'paytiramiz dt va integratsiyalashgan holda biz quyidagilarni olamiz:

Yoki qayerda:

(S- kuch impulsi)

chunki o'ngdagi integrallar tashqi kuchlarning impulslarini beradi,

(5) tenglama sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani integral shaklda ifodalaydi: sistema impulsining ma'lum bir vaqt oralig'idagi o'zgarishi shu vaqt ichida tizimga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlar impulslari yig'indisiga teng.

Koordinata o'qlari bo'yicha proektsiyalarda biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

Impulsning saqlanish qonuni

Tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teoremadan quyidagi muhim xulosalarni olish mumkin:

1. Tizimga ta'sir etuvchi barcha tashqi kuchlar yig'indisi nolga teng bo'lsin:

Keyin (4) tenglamadan bu holda shunday xulosa chiqadi Q = konst.

Shunday qilib, agar tizimga ta'sir etuvchi barcha tashqi kuchlarning yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda tizim momentumining vektori kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'ladi.

2. 01Tizimga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar shunday bo‘lsinki, ularning qandaydir o‘qqa (masalan, Ox) proyeksiyalari yig‘indisi nolga teng bo‘lsin:

U holda (4`) tenglamalardan bu holda shunday xulosa chiqadi Q = konst.

Shunday qilib, agar barcha ta'sir etuvchi tashqi kuchlarning istalgan o'qqa proyeksiyalari yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda tizimning bu o'qga harakat miqdorining proyeksiyasi doimiy qiymatdir.

Bu natijalar ifodalanadi sistema impulsining saqlanish qonuni. Ulardan kelib chiqadiki, ichki kuchlar tizimning umumiy harakat miqdorini o'zgartira olmaydi.

Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik:

· Rulonning qaytishi haqidagi hodisa. Agar miltiq va o'qni bitta tizim deb hisoblasak, u holda otish paytida kukun gazlarining bosimi ichki kuch bo'ladi. Bu kuch tizimning umumiy momentumini o'zgartira olmaydi. Ammo o'qga ta'sir qiluvchi kukun gazlari unga oldinga yo'naltirilgan ma'lum miqdordagi harakatni berganligi sababli, ular miltiqqa bir vaqtning o'zida qarama-qarshi yo'nalishda bir xil miqdordagi harakatni berishi kerak. Bu miltiqning orqaga qarab harakatlanishiga olib keladi, ya'ni. qaytish deb ataladigan narsa. Xuddi shunday hodisa qurolni otishda (orqaga qaytish) sodir bo'ladi.

· Parvona (parvona) ishlashi. Pervanel pervanelning o'qi bo'ylab ma'lum bir havo massasiga (yoki suvga) harakat qiladi va bu massani orqaga tashlaydi. Agar biz tashlangan massani va samolyotni (yoki kemani) bitta tizim deb hisoblasak, pervanel va atrof-muhit o'rtasidagi o'zaro ta'sir kuchlari ichki kuchlar sifatida ushbu tizimning umumiy harakat miqdorini o'zgartira olmaydi. Shunday qilib, havo (suv) massasi orqaga tashlanganda, samolyot (yoki kema) tegishli oldinga tezlikni oladi, shunda ko'rib chiqilayotgan tizimning umumiy harakati nolga teng bo'lib qoladi, chunki harakat boshlanishidan oldin u nolga teng edi. .

Shunga o'xshash ta'sir eshkaklar yoki eshkak eshish g'ildiraklarining harakati bilan erishiladi.

· R e c t i v e Harakat.Raketada (raketada) yonilg'i yonishi natijasida hosil bo'lgan gazsimon mahsulotlar raketaning dum qismidagi teshikdan (reaktiv dvigatel nayidan) yuqori tezlikda chiqariladi. Bu holda ta'sir qiluvchi bosim kuchlari ichki kuchlar bo'ladi va ular raketa-chang gazlar tizimining umumiy impulsini o'zgartira olmaydi. Ammo qochib ketgan gazlar orqaga yo'naltirilgan ma'lum miqdordagi harakatga ega bo'lganligi sababli, raketa mos keladigan oldinga tezlikni oladi.

O'q haqidagi momentlar teoremasi.

Materialning massa nuqtasini ko'rib chiqing m, kuch ta'siri ostida harakat qilish F. Buning uchun vektorlar momentlari orasidagi bog'lanishni topamiz mV Va F ba'zi sobit Z o'qiga nisbatan.

m z (F) = xF - yF (7)

Xuddi shunday qiymat uchun m(mV), tashqariga chiqarilsa m qavslardan tashqarida bo'ladi

m z (mV) = m (xV - yV)(7`)

Bu tenglikning har ikki tomonidan vaqtga nisbatan hosilalarni olib, topamiz

Olingan ifodaning o'ng tomonida birinchi qavs 0 ga teng, chunki dx/dt=V va du/dt = V, (7) formula bo'yicha ikkinchi qavs teng

mz(F), chunki dinamikaning asosiy qonuniga ko'ra:

Nihoyat bizda (8)

Olingan tenglama o'qga nisbatan momentlar teoremasini ifodalaydi: nuqtaning har qanday o'qga nisbatan momentum momentining vaqt hosilasi bir xil o'qqa nisbatan ta'sir qiluvchi kuchning momentiga teng. Xuddi shunday teorema har qanday O markaziga nisbatan momentlar uchun amal qiladi.