Trapetsiya formulasining og'irlik markazi. Materiallarning mustahkamligiga oid masalalar yechish

6.1. Umumiy ma'lumot

Parallel kuchlar markazi
Keling, bir yo'nalishda yo'naltirilgan ikkita parallel kuchlarni ko'rib chiqaylik va , nuqtalarda tanaga tatbiq etiladi A 1 va A 2 (6.1-rasm). Ushbu kuchlar tizimi natijaga ega bo'lib, uning ta'sir chizig'i ma'lum bir nuqtadan o'tadi BILAN. Nuqta pozitsiyasi BILAN Varignon teoremasi yordamida topish mumkin:

Agar siz kuchlarni aylantirsangiz va nuqtalar yaqinida A 1 va A 2 bir yo'nalishda va bir xil burchakda, keyin biz bir xil modullarga ega bo'lgan yangi parallel salas tizimini olamiz. Bunday holda, ularning natijasi ham nuqtadan o'tadi BILAN. Bu nuqta parallel kuchlar markazi deb ataladi.
Qattiq jismga nuqtalarda qo'llaniladigan parallel va bir xil yo'naltirilgan kuchlar tizimini ko'rib chiqaylik. Ushbu tizimning natijasi bor.
Agar tizimning har bir kuchi ularni qo'llash nuqtalari yaqinida bir xil yo'nalishda va bir xil burchakda aylantirilsa, u holda bir xil modullar va qo'llash nuqtalari bilan bir xil yo'naltirilgan parallel kuchlarning yangi tizimlari olinadi. Bunday tizimlarning natijasi bir xil modulga ega bo'ladi R, lekin har safar boshqa yo'nalish. Mening kuchimni yig'ib F 1 va F 2 ularning natijasi ekanligini topamiz R 1, har doim nuqtadan o'tadi BILAN 1, pozitsiyasi tenglik bilan belgilanadi. Keyinchalik katlama R 1 va F 3, biz ularning natijasini topamiz, u har doim nuqtadan o'tadi BILAN 2 to'g'ri chiziqda yotish A 3 BILAN 2. Kuchlarni qo'shish jarayonini oxiriga etkazgandan so'ng, biz barcha kuchlarning natijasi har doim bir xil nuqtadan o'tadi degan xulosaga kelamiz. BILAN, ularning nuqtalarga nisbatan pozitsiyasi o'zgarmaydi.
Nuqta BILAN, Parallel kuchlarning natijaviy tizimining ta'sir chizig'i bu kuchlarning bir xil burchakda bir xil yo'nalishda qo'llanilishi nuqtalari yaqinida har qanday aylanish uchun o'tadi, parallel kuchlar markazi deb ataladi (6.2-rasm).

6.2-rasm

Parallel kuchlar markazining koordinatalarini aniqlaymiz. Nuqta pozitsiyasidan boshlab BILAN jismga nisbatan o'zgarmagan bo'lsa, u holda uning koordinatalari koordinatalar tizimini tanlashga bog'liq emas. Keling, barcha kuchlarni o'qga parallel bo'lishi uchun ularni qo'llash atrofida aylantiramiz OU va Varignon teoremasini aylantirilgan kuchlarga qo'llang. Chunki R" bu kuchlarning natijasi bo'lsa, Varignon teoremasiga ko'ra, bizda mavjud , chunki , , olamiz

Bu yerdan parallel kuchlar markazining koordinatasini topamiz zc:

Koordinatalarni aniqlash uchun xc kuchlarning o‘qqa nisbatan momentiga ifoda hosil qilaylik Oz.

Koordinatalarni aniqlash uchun yc keling, barcha kuchlarni o'qga parallel bo'ladigan tarzda aylantiramiz Oz.

Parallel kuchlar markazining boshlang'ichga nisbatan holati (6.2-rasm) uning radius vektori bilan aniqlanishi mumkin:

6.2. Qattiq jismning og'irlik markazi

Og'irlik markazi qattiq jismning nuqtasi doimo shu jism bilan bog'langan nuqtadir BILAN, bu orqali ma'lum bir jismning tortishish kuchlarining natijaviy ta'sir chizig'i o'tadi, tananing kosmosdagi har qanday pozitsiyasi uchun.
Og'irlik markazi jismlar va uzluksiz muhitlarning tortishish kuchi ta'sirida muvozanat pozitsiyalarining barqarorligini o'rganishda va boshqa ba'zi hollarda, xususan: materiallarning mustahkamligi va struktura mexanikasida - Vereshchagin qoidasini qo'llashda qo'llaniladi.
Jismning og'irlik markazini aniqlashning ikki yo'li mavjud: analitik va eksperimental. Og'irlik markazini aniqlashning analitik usuli to'g'ridan-to'g'ri parallel kuchlar markazi tushunchasidan kelib chiqadi.
Parallel kuchlar markazi sifatida tortishish markazining koordinatalari quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

Qayerda R- butun tana vazni; pk- tana zarralarining og'irligi; xk, yk, zk- tana zarralarining koordinatalari.
Bir hil tana uchun butun tananing og'irligi va uning har qanday qismi hajmga mutanosibdir P=Vg, pk =vk g, Qayerda γ - hajm birligi uchun og'irlik, V- tana hajmi. Ifodalarni almashtirish P, pk og'irlik markazining koordinatalarini aniqlash va umumiy omil bilan kamaytirish formulasiga γ , biz olamiz:

Nuqta BILAN, koordinatalari hosil bo'lgan formulalar bilan aniqlanadigan, deyiladi hajmning og'irlik markazi.
Agar tana nozik bir hil plastinka bo'lsa, unda tortishish markazi quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

Qayerda S- butun plastinkaning maydoni; sk- uning qismining maydoni; xk, yk- plastinka qismlarining og'irlik markazining koordinatalari.
Nuqta BILAN bu holda deyiladi hududning og'irlik markazi.
Tekis figuralarning og'irlik markazining koordinatalarini aniqlaydigan ifodalarning numeratorlari deyiladi. maydonning statik momentlari o'qlarga nisbatan da Va X:

Keyin maydonning og'irlik markazi quyidagi formulalar bilan aniqlanishi mumkin:

Uzunligi kesma o'lchamlaridan ko'p marta katta bo'lgan jismlar uchun chiziqning og'irlik markazini aniqlang. Chiziqning og'irlik markazining koordinatalari quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

Qayerda L- chiziq uzunligi; lk- uning qismlari uzunligi; xk, yk, zk- chiziq qismlarining og'irlik markazining koordinatasi.

6.3. Jismlarning og'irlik markazlarining koordinatalarini aniqlash usullari

Olingan formulalar asosida jismlarning og'irlik markazlarini aniqlashning amaliy usullarini taklif qilish mumkin.
1. Simmetriya. Agar tananing simmetriya markazi bo'lsa, unda tortishish markazi simmetriya markazida bo'ladi.
Agar tananing simmetriya tekisligi bo'lsa. Masalan, XOU tekisligi, keyin og'irlik markazi bu tekislikda yotadi.
2. Bo'linish. Oddiy shaklga ega bo'lgan jismlardan tashkil topgan jismlar uchun bo'linish usuli qo'llaniladi. Tana qismlarga bo'linadi, ularning og'irlik markazi simmetriya usuli bilan aniqlanadi. Butun tananing og'irlik markazi hajm (maydon) og'irlik markazi uchun formulalar bilan aniqlanadi.

Misol. Quyidagi rasmda ko'rsatilgan plastinkaning og'irlik markazini aniqlang (6.3-rasm). Plitani turli yo'llar bilan to'rtburchaklarga bo'lish va har bir to'rtburchakning og'irlik markazining koordinatalarini va ularning maydonini aniqlash mumkin.

6.3-rasm

Javob: xc=17,0 sm; yc=18,0 sm.

3. Qo'shish. Ushbu usul bo'linish usulining alohida holatidir. Tananing kesiklari, kesiklari va boshqalar mavjud bo'lganda, agar kesiksiz tananing og'irlik markazining koordinatalari ma'lum bo'lsa, qo'llaniladi.

Misol. Kesish radiusi bo'lgan dumaloq plastinkaning og'irlik markazini aniqlang r = 0,6 R(6.4-rasm).

6.4-rasm

Dumaloq plastinka simmetriya markaziga ega. Koordinatalarning boshini plastinka markaziga joylashtiramiz. Chiqib ketishsiz plastinka maydoni, kesish maydoni. Kesilgan kvadrat plastinka; .
Kesilgan plastinka simmetriya o'qiga ega O1 x, shuning uchun, yc=0.

4. Integratsiya. Agar tanani og'irlik markazlarining joylashuvi ma'lum bo'lgan cheklangan miqdordagi qismlarga bo'linib bo'lmasa, tana o'zboshimchalik bilan kichik hajmlarga bo'linadi, buning uchun bo'linish usuli yordamida formula quyidagi shaklni oladi: .
Keyin ular elementar hajmlarni nolga yo'naltirib, chegaraga o'tadilar, ya'ni. shartnoma hajmlarini ballarga bo'lish. Yig'inmalar tananing butun hajmiga cho'zilgan integrallar bilan almashtiriladi, so'ngra hajmning og'irlik markazining koordinatalarini aniqlash uchun formulalar shaklni oladi:

Hududning og'irlik markazining koordinatalarini aniqlash uchun formulalar:

Plitalar muvozanatini o'rganishda, struktura mexanikasida Mohr integralini hisoblashda hududning og'irlik markazining koordinatalari aniqlanishi kerak.

Misol. Radiusli dumaloq yoyning og‘irlik markazini aniqlang R markaziy burchak bilan AOB= 2a (6.5-rasm).

Guruch. 6.5

Doira yoyi o'qiga simmetrikdir Oh, shuning uchun yoyning og'irlik markazi o'qda yotadi Oh, ys = 0.
Chiziqning og'irlik markazi formulasiga ko'ra:

6.Eksperimental usul. Murakkab konfiguratsiyadagi bir hil bo'lmagan jismlarning og'irlik markazlarini eksperimental ravishda aniqlash mumkin: osish va tortish usuli bilan. Birinchi usul - korpusni turli nuqtalarda kabelda to'xtatib turish. Tana to'xtatilgan kabelning yo'nalishi tortishish yo'nalishini beradi. Ushbu yo'nalishlarning kesishish nuqtasi tananing og'irlik markazini belgilaydi.
Taroziga solish usuli birinchi navbatda tananing, masalan, avtomobilning og'irligini aniqlashni o'z ichiga oladi. Keyin tarozida avtomobilning orqa o'qining tayanchga bosimi aniqlanadi. Nuqtaga, masalan, old g'ildiraklarning o'qiga nisbatan muvozanat tenglamasini tuzib, siz ushbu o'qdan avtomobilning og'irlik markazigacha bo'lgan masofani hisoblashingiz mumkin (6.6-rasm).

6.6-rasm

Ba'zan, muammolarni hal qilishda bir vaqtning o'zida og'irlik markazining koordinatalarini aniqlashning turli usullarini qo'llash kerak bo'ladi.

6.4. Ba'zi oddiy geometrik figuralarning og'irlik markazlari

Tez-tez uchraydigan shakllar (uchburchak, aylana yoy, sektor, segment) jismlarining og'irlik markazlarini aniqlash uchun mos yozuvlar ma'lumotlaridan foydalanish qulay (6.1-jadval).

6.1-jadval

Ba'zi bir jinsli jismlarning og'irlik markazining koordinatalari

Dumaloq yoyning og'irlik markazi

Yoy simmetriya o'qiga ega. Og'irlik markazi bu o'qda yotadi, ya'ni. y C = 0 .

dl- yoy elementi, dl = Rdph, R- aylana radiusi, x = Rcosph, L= 2aR,

Demak:

x C = R(sina/a).

Dumaloq sektorning og'irlik markazi

Radius sektori R markaziy burchak bilan 2 α simmetriya o'qiga ega ho'kiz, og'irlik markazi joylashgan joyda.

Biz sektorni uchburchaklar deb hisoblash mumkin bo'lgan elementar sektorlarga ajratamiz. Elementar sektorlarning tortishish markazlari radiusli (2/3) aylana yoyda joylashgan. R.

Sektorning og'irlik markazi yoyning og'irlik markaziga to'g'ri keladi AB:

Yarim doira:

37. Kinematika. Nuqta kinematikasi. Nuqtaning harakatini belgilash usullari.

Kinematika– mexanikaning moddiy jismlarning harakati massa va ularga ta’sir etuvchi kuchlarni hisobga olmagan holda geometrik nuqtai nazardan o‘rganiladigan bo‘limi. Nuqta harakatini belgilash usullari: 1) natural, 2) koordinata, 3) vektor.

Nuqta kinematikasi- kinematikaning moddiy nuqtalar harakatining matematik tavsifini o'rganuvchi bo'limi. Kinematikaning asosiy vazifasi - bu harakatni keltirib chiqaradigan sabablarni aniqlamasdan, matematik apparat yordamida harakatni tasvirlashdir.

Tabiiy sp. nuqtaning traektoriyasi, uning shu traektoriya bo‘ylab harakatlanish qonuni, yoy koordinatasining boshlanishi va yo‘nalishi ko‘rsatilgan: s=f(t) – nuqtaning harakat qonuni. Chiziqli harakat uchun: x=f(t).

Koordinata sp. nuqtaning fazodagi o‘rni uchta koordinata bilan aniqlanadi, ulardagi o‘zgarishlar nuqtaning harakat qonunini aniqlaydi: x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Agar harakat tekislikda bo'lsa, unda ikkita harakat tenglamasi mavjud. Harakat tenglamalari traektoriya tenglamasini parametrik shaklda tasvirlaydi. Tenglamalardan t parametrini chiqarib tashlab, traektoriya tenglamasini odatiy shaklda olamiz: f(x,y)=0 (tekislik uchun).

Vector sp. nuqtaning joylashuvi uning qaysidir markazdan chizilgan radius vektori bilan aniqlanadi. Vektorning oxirigacha chizilgan egri chiziq deyiladi. godograf bu vektor. Bular. traektoriya - radius vektor godografi.

38. Koordinata va vektor o'rtasidagi bog'liqlik, nuqta harakatini ko'rsatishning koordinata va natural usullari.

VEKTOR USULNING KOORDINAT VA NATURAL USUL BILAN ALOQASI. nisbatlar bilan ifodalanadi:

bu erda ma'lum bir nuqtada traektoriyaga teginishning masofaviy mos yozuvlar tomon yo'naltirilgan birlik birligi va egrilik markaziga yo'naltirilgan ma'lum bir nuqtadagi traektoriyaning normal birligi (3-rasmga qarang). .

KOORDINATLAR USULINING TABIY BILAN BOG'LANISHI. Traektoriya tenglamasi f(x, y)=z; f 1 (x, z)=y harakat tenglamalaridan koordinata ko‘rinishidagi t vaqtni yo‘q qilib olinadi. Nuqta koordinatalari olishi mumkin bo'lgan qiymatlarning qo'shimcha tahlili egri chiziqning traektoriya bo'lgan qismini aniqlaydi. Masalan, nuqta harakati tenglamalar bilan berilgan bo'lsa: x=sin t; y=sin 2 t=x 2, u holda nuqtaning traektoriyasi y=x 2 parabolaning -1≤x≤+1, 0≤x≤1 bo‘lgan kesimidir. Masofani hisoblashning boshlanishi va yo'nalishi o'zboshimchalik bilan tanlanadi, bu qo'shimcha tezlik belgisini va boshlang'ich masofaning kattaligi va belgisini aniqlaydi s 0 .

Harakat qonuni quyidagi bog'liqlik bilan belgilanadi:

+ yoki - belgisi masofani o'lchashning qabul qilingan yo'nalishiga qarab belgilanadi.

Nuqta tezligi ko'rib chiqilayotgan mos yozuvlar tizimidagi ushbu nuqtaning radius vektorining vaqt hosilasiga teng bo'lgan uning harakatining kinematik o'lchovidir. Tezlik vektori harakat yo'nalishi bo'yicha nuqtaning traektoriyasiga tangens yo'naltiriladi

Tezlik vektori (v) jismning vaqt birligida ma'lum bir yo'nalishda bosib o'tgan masofasi. Iltimos, ta'rifga e'tibor bering tezlik vektori tezlik ta'rifiga juda o'xshaydi, bir muhim farqdan tashqari: jismning tezligi harakat yo'nalishini ko'rsatmaydi, lekin jismning tezlik vektori harakat tezligini ham, harakat yo'nalishini ham ko'rsatadi. Shuning uchun tananing tezlik vektorini tavsiflovchi ikkita o'zgaruvchiga ehtiyoj bor: tezlik va yo'nalish. Qiymati va yo'nalishi bo'lgan fizik kattaliklar vektor kattaliklar deyiladi.

Tezlik vektori tana vaqti-vaqti bilan o'zgarishi mumkin. Agar uning tezligi yoki yo'nalishi o'zgarsa, tananing tezligi ham o'zgaradi. Doimiy tezlik vektori doimiy tezlik va doimiy yo'nalishni nazarda tutadi, doimiy tezlik atamasi esa yo'nalishni hisobga olmagan holda faqat doimiy qiymatni bildiradi. "Tezlik vektori" atamasi ko'pincha "tezlik" atamasi bilan almashtiriladi. Ularning ikkalasi ham tananing vaqt birligida bosib o'tgan masofasini ifodalaydi

Nuqta tezlashishi- bu nuqta tezligining vaqtga nisbatan hosilasiga yoki nuqta radius vektorining vaqtga nisbatan ikkinchi hosilasiga teng bo'lgan uning tezligi o'zgarishining o'lchovidir. Tezlanish tezlik vektorining kattalik va yo'nalish bo'yicha o'zgarishini tavsiflaydi va traektoriyaning bo'g'ozligi tomon yo'naltiriladi.

Tezlanish vektori

Bu tezlik o'zgarishining ushbu o'zgarish sodir bo'lgan vaqt davriga nisbati. O'rtacha tezlanishni quyidagi formula bilan aniqlash mumkin:

Qaerda - tezlanish vektori.

Tezlanish vektorining yo'nalishi tezlikni D = - 0 o'zgarish yo'nalishiga to'g'ri keladi (bu erda 0 - boshlang'ich tezlik, ya'ni tananing tezlasha boshlagan tezligi).

t1 vaqtida (1.8-rasmga qarang) tananing tezligi 0 ga teng. t2 vaqtida tananing tezligi bor. Vektorni ayirish qoidasiga ko'ra, tezlikni o'zgartirish vektorini D = - 0 topamiz. Keyin tezlashuvni quyidagicha aniqlashingiz mumkin:

Yuqorida olingan umumiy formulalar asosida jismlarning og'irlik markazlarining koordinatalarini aniqlashning o'ziga xos usullarini ko'rsatish mumkin.

1. Simmetriya. Agar bir jinsli jismda tekislik, o'q yoki simmetriya markazi bo'lsa (7-rasm), u holda uning og'irlik markazi mos ravishda simmetriya tekisligida, simmetriya o'qida yoki simmetriya markazida yotadi.

7-rasm

2. Bo'linish. Tana cheklangan miqdordagi qismlarga bo'linadi (8-rasm), ularning har biri uchun og'irlik markazining holati va maydoni ma'lum.

8-rasm

3.Salbiy maydon usuli. Bo'lish usulining alohida holati (9-rasm). Agar kesiksiz tananing og'irlik markazlari va kesilgan qismi ma'lum bo'lsa, u kesiklari bo'lgan jismlarga taalluqlidir. Kesikli plastinka ko'rinishidagi korpus S 1 maydoni va S 2 kesilgan qismining maydoni bo'lgan qattiq plastinka (kesimsiz) birikmasi bilan ifodalanadi.

9-rasm

4.Guruhlash usuli. Bu oxirgi ikki usulga yaxshi qo'shimcha hisoblanadi. Shaklni uning tarkibiy elementlariga bo'lgandan so'ng, ushbu guruhning simmetriyasini hisobga olgan holda yechimni soddalashtirish uchun ularning ba'zilarini yana birlashtirish qulay.

Ayrim bir jinsli jismlarning tortishish markazlari.

1) Dumaloq yoyning og'irlik markazi. Arkni ko'rib chiqing AB radius R markaziy burchak bilan. Simmetriya tufayli bu yoyning og'irlik markazi o'qda yotadi ho'kiz(10-rasm).

10-rasm

Formuladan foydalanib koordinatani topamiz. Buni amalga oshirish uchun yoyni tanlang AB element MM' uzunligi, uning pozitsiyasi burchak bilan belgilanadi. Koordinata X element MM' bo'ladi. Ushbu qiymatlarni almashtirish X va d l va integral yoyning butun uzunligi bo'ylab cho'zilishi kerakligini yodda tutib, biz quyidagilarni olamiz:

Qayerda L- yoy uzunligi AB, ga teng.

Bu erdan nihoyat topamizki, aylana yoyning og'irlik markazi uning simmetriya o'qida markazdan uzoqda joylashgan. HAQIDA, teng

bu erda burchak radianlarda o'lchanadi.

2) Uchburchak maydonining og'irlik markazi. Samolyotda yotgan uchburchakni ko'rib chiqing Oksi, cho'qqilarining koordinatalari ma'lum: A i(x i,y i), (i= 1,2,3). Uchburchakni yon tomonga parallel ravishda tor chiziqlarga ajratish A 1 A 2, biz uchburchakning og'irlik markazi medianaga tegishli bo'lishi kerak degan xulosaga keldik. A 3 M 3 (11-rasm).

11-rasm

Uchburchakni yon tomonga parallel chiziqlarga ajratish A 2 A 3, biz uning medianada yotishi kerakligini tekshirishimiz mumkin A 1 M 1 . Shunday qilib, uchburchakning og'irlik markazi uning medianalarining kesishish nuqtasida yotadi, ma'lumki, mos keladigan tomondan hisoblab, har bir medianadan uchinchi qismni ajratib turadi.

Xususan, median uchun A 1 M 1 nuqtaning koordinatalarini hisobga olgan holda olamiz M 1 - cho'qqilar koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymati A 2 va A 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x M 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Shunday qilib, uchburchakning og'irlik markazining koordinatalari uning uchlari koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymati hisoblanadi:

x c =(1/3)S x i ; y c =(1/3)S y i.

3) Dumaloq sektor maydonining og'irlik markazi. Radiusli aylana sektorini ko'rib chiqing R 2a markaziy burchak bilan, o'qga nisbatan nosimmetrik joylashgan ho'kiz(12-rasm) .

Bu aniq y c = 0 va bu sektor kesilgan doira markazidan uning og'irlik markazigacha bo'lgan masofani formula bilan aniqlash mumkin:

12-rasm

Ushbu integralni hisoblashning eng oson usuli integratsiya sohasini burchak bilan elementar sektorlarga bo'lishdir. d ph. Birinchi tartibdagi cheksiz kichiklargacha aniq, bunday sektorni asosi teng bo'lgan uchburchak bilan almashtirish mumkin. R× d ph va balandlik R. Bunday uchburchakning maydoni dF=(1/2)R 2 ∙d ph, va uning og'irlik markazi 2/3 masofada joylashgan R tepadan, shuning uchun (5) ga qo'yamiz x = (2/3)R∙cosph. O'zgartirish (5) F= α R 2, biz olamiz:

Oxirgi formuladan foydalanib, biz, xususan, tortishish markaziga masofani hisoblaymiz yarim doira.

a = p/2 ni (2) ga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz: x c = (4R)/(3p) ≅ 0,4 R .

1-misol. Shaklda ko'rsatilgan bir hil jismning og'irlik markazini aniqlaymiz. 13.

13-rasm

Tana bir hil, nosimmetrik shaklga ega bo'lgan ikki qismdan iborat. Ularning tortishish markazlarining koordinatalari:

Ularning hajmlari:

Shuning uchun tananing og'irlik markazining koordinatalari

2-misol. To'g'ri burchak ostida egilgan plastinkaning og'irlik markazini topamiz. O'lchamlar chizmada (14-rasm).

14-rasm

Og'irlik markazlarining koordinatalari:

Hududlar:

15-rasm

Ushbu muammoda tanani ikki qismga bo'lish qulayroqdir: katta kvadrat va kvadrat teshik. Faqat teshikning maydoni salbiy deb hisoblanishi kerak. Keyin varaqning og'irlik markazining teshik bilan koordinatalari:

koordinata, chunki tananing simmetriya o'qi (diagonal).

4-misol. Tel braketi (16-rasm) teng uzunlikdagi uchta qismdan iborat l.

16-rasm

Bo'limlarning og'irlik markazlarining koordinatalari:

Shunday qilib, butun qavsning og'irlik markazining koordinatalari:

5-misol. Barcha novdalari bir xil chiziqli zichlikka ega bo'lgan trussning og'irlik markazining o'rnini aniqlang (17-rasm).

Eslatib o'tamiz, fizikada jismning zichligi r va uning solishtirma og'irligi g quyidagi munosabat bilan bog'langan: g= r g, Qayerda g- tortishishning tezlashishi. Bunday bir hil jismning massasini topish uchun zichlikni uning hajmiga ko'paytirish kerak.

17-rasm

"Chiziqli" yoki "chiziqli" zichlik atamasi truss novdasining massasini aniqlash uchun chiziqli zichlikni ushbu novda uzunligiga ko'paytirish kerakligini anglatadi.

Muammoni hal qilish uchun siz qismlarga ajratish usulidan foydalanishingiz mumkin. Berilgan trussni 6 ta alohida tayoqning yig'indisi sifatida ifodalab, biz quyidagilarni olamiz:

Qayerda L i uzunligi i th truss rod, va x i, y i- uning og'irlik markazining koordinatalari.

Ushbu muammoni hal qilish trussning oxirgi 5 barini guruhlash orqali soddalashtirilishi mumkin. Ko'rinib turibdiki, ular simmetriya markazi to'rtinchi novdaning o'rtasida joylashgan, bu novdalar guruhining og'irlik markazi joylashgan figurani tashkil qiladi.

Shunday qilib, ma'lum bir truss faqat ikkita novda guruhining kombinatsiyasi bilan ifodalanishi mumkin.

Birinchi guruh birinchi tayoqdan iborat, buning uchun L 1 = 4 m, x 1 = 0 m, y 1 = 2 m tayoqlarning ikkinchi guruhi beshta tayoqdan iborat, buning uchun L 2 = 20 m, x 2 = 3 m, y 2 = 2 m.

Trussning og'irlik markazining koordinatalari quyidagi formula yordamida topiladi:

x c = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

y c = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

E'tibor bering, markaz BILAN tutashtiruvchi toʻgʻri chiziqda yotadi BILAN 1 va BILAN 2 va segmentni ajratadi BILAN 1 BILAN 2 haqida: BILAN 1 BILAN/SS 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar

Parallel kuchlar markazi nima deyiladi?

Parallel kuchlar markazining koordinatalari qanday aniqlanadi?

Natijasi nolga teng bo'lgan parallel kuchlar markazini qanday aniqlash mumkin?

Parallel kuchlar markazi qanday xususiyatlarga ega?

Parallel kuchlar markazining koordinatalarini hisoblash uchun qanday formulalar qo'llaniladi?

Jismning og'irlik markazi nima?

Nima uchun Yerning jismning nuqtasiga ta'sir etuvchi tortishish kuchlarini parallel kuchlar tizimi sifatida qabul qilish mumkin?

Bir jinsli bo'lmagan va bir jinsli jismlarning og'irlik markazining o'rnini aniqlash formulasini, tekis kesmalarning og'irlik markazining o'rnini aniqlash formulasini yozing?

Oddiy geometrik shakllarning og'irlik markazining o'rnini aniqlash formulasini yozing: to'rtburchak, uchburchak, trapetsiya va yarim doira?

Maydonning statik momenti nimaga teng?

Og'irlik markazi tanadan tashqarida joylashgan jismga misol keltiring.

Jismlarning tortishish markazlarini aniqlashda simmetriya xossalaridan qanday foydalaniladi?

Salbiy og'irliklar usulining mohiyati nimada?

Aylana yoyning og‘irlik markazi qayerda?

Uchburchakning og'irlik markazini qanday grafik konstruktsiyadan topish mumkin?

Dumaloq sektorning og'irlik markazini aniqlaydigan formulani yozing.

Uchburchak va dumaloq sektorning og'irlik markazlarini aniqlaydigan formulalardan foydalanib, aylana segment uchun shunga o'xshash formulani oling.

Bir jinsli jismlarning og'irlik markazlarining koordinatalarini, tekis figuralarni va chiziqlarni hisoblash uchun qanday formulalar qo'llaniladi?

Samolyot figurasi maydonining o'qqa nisbatan statik momenti nima deb ataladi, u qanday hisoblanadi va u qanday o'lchamga ega?

Agar uning alohida qismlarining og'irlik markazlarining holati ma'lum bo'lsa, hududning og'irlik markazining holatini qanday aniqlash mumkin?

Og'irlik markazining o'rnini aniqlash uchun qanday yordamchi teoremalardan foydalaniladi?

Muhandislik amaliyotida og'irlik markazining joylashuvi ma'lum bo'lgan oddiy elementlardan tashkil topgan murakkab tekis figuraning og'irlik markazining koordinatalarini hisoblash zarurati paydo bo'ladi. Bu vazifa ... aniqlash vazifasining bir qismidir.

To'sinlar va novdalarning kompozit kesmalarining geometrik xarakteristikalari. Ko'pincha, kesish qoliplarini loyihalash bo'yicha muhandislar bosim markazining koordinatalarini aniqlashda, yuklarni joylashtirishda turli xil transport vositalari uchun yuklash sxemalarini ishlab chiquvchilar, elementlarning kesmalarini tanlashda metall konstruktsiyalarni qurish dizaynerlari va, albatta, shunga o'xshash savollarga duch kelishlari kerak. talabalar "Nazariy mexanika" va "Materiallar mustahkamligi" fanlarini o'rganishda.

Boshlang'ich raqamlar kutubxonasi.

Simmetrik tekislik figuralari uchun tortishish markazi simmetriya markaziga to'g'ri keladi. Elementar ob'ektlarning simmetrik guruhiga quyidagilar kiradi: aylana, to'rtburchaklar (shu jumladan kvadrat), parallelogramma (rombni o'z ichiga olgan holda), muntazam ko'pburchak.

Yuqoridagi rasmda keltirilgan o'nta raqamdan faqat ikkitasi asosiy hisoblanadi. Ya'ni, uchburchaklar va doira sektorlaridan foydalanib, siz amaliy qiziqishning deyarli har qanday shaklini birlashtira olasiz. Har qanday ixtiyoriy egri chiziqlar qismlarga bo'linishi va aylana yoylari bilan almashtirilishi mumkin.

Qolgan sakkizta raqam eng keng tarqalgan, shuning uchun ular ushbu noyob kutubxonaga kiritilgan. Bizning tasnifimizda bu elementlar asosiy emas. Ikkita uchburchakdan to'rtburchak, parallelogramm va trapezoid hosil qilish mumkin. Olti burchak to'rtta uchburchakning yig'indisidir. Doira segmenti aylananing sektori va uchburchak o'rtasidagi farqdir. Aylananing halqali sektori ikki sektor orasidagi farqdir. Doira - burchak a=2*p=360˚ bo'lgan doira sektori. Yarim doira, shunga ko'ra, burchak a=p=180˚ bo'lgan doira sektoridir.

Excelda kompozit figuraning og'irlik markazining koordinatalarini hisoblash.

Sof nazariy hisob-kitoblar yordamida masalani o'rganishdan ko'ra, misolni ko'rib chiqish orqali ma'lumotni etkazish va idrok etish har doim osonroqdir. Keling, "Og'irlik markazini qanday topish mumkin?" Degan muammoning echimini ko'rib chiqaylik. ushbu matn ostidagi rasmda ko'rsatilgan kompozitsion figuraning misolidan foydalanib.

Kompozit qism to'rtburchaklardir (o'lchamlari bilan a1 =80 mm, b1 =40 mm), uning yuqori chap tomoniga teng yonli uchburchak qo'shilgan (tayanch o'lchami bilan). a2 =24 mm va balandligi h2 =42 mm) va undan yuqori o'ng tomondan yarim doira (markazi koordinatali nuqtada) kesilgan. x03 =50 mm va y03 =40 mm, radius r3 =26 mm).

Hisob-kitoblarni amalga oshirishda sizga yordam beradigan dasturdan foydalanamiz MS Excel yoki dastur OOo Calc . Ulardan har biri bizning vazifamizni osonlikcha engishadi!

bilan hujayralarda sariq to'ldiramiz yordamchi dastlabki hisob-kitoblar .

Natijalarni och sariq rangli to'lg'azish bilan hujayralardagi hisoblaymiz.

Moviy shrift dastlabki ma'lumotlar .

Qora shrift oraliq hisoblash natijalari .

Qizil shrift final hisoblash natijalari .

Biz muammoni hal qilishni boshlaymiz - biz uchastkaning og'irlik markazining koordinatalarini qidirishni boshlaymiz.

Dastlabki ma'lumotlar:

1. Kompozit qismni tashkil etuvchi elementar figuralarning nomlarini mos ravishda yozamiz

D3 katagiga: To'rtburchak

E3 katakchaga: Uchburchak

F3 katakchaga: Yarim doira

2. Ushbu maqolada keltirilgan "Elementar figuralar kutubxonasi" dan foydalanib, biz kompozit qism elementlarining og'irlik markazlarining koordinatalarini aniqlaymiz. xci Va yci mm da o'zboshimchalik bilan tanlangan o'qlarga nisbatan 0x va 0y va yozing

D4 katakchaga: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

D5 katakchaga: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

E4 katakchaga: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

E5 katakchaga: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

F4 katakchaga: =50 =50,000

xc 3 = x03

F5 katagiga: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Keling, elementlarning maydonlarini hisoblaylik F 1 , F 2 , F3 mm2 da, yana "Elementar raqamlar kutubxonasi" bo'limidagi formulalar yordamida

D6 katakda: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

E6 katakchasida: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

F6 katakchasida: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-p/2*r3 ^2

Uchinchi elementning maydoni - yarim doira - manfiy, chunki u kesma - bo'sh joy!

Og'irlik markazi koordinatalarini hisoblash:

4. Yakuniy raqamning umumiy maydonini aniqlaymiz F0 mm2 da

birlashtirilgan D8E8F8 katakchasida: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Keling, kompozit figuraning statik momentlarini hisoblaymiz Sx Va Sy tanlangan 0x va 0y o'qlariga nisbatan mm3 da

birlashtirilgan D9E9F9 katakchasida: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

birlashtirilgan D10E10F10 katakchasida: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. Va nihoyat, kompozit qismning og'irlik markazining koordinatalarini hisoblaylik Xc Va Yc tanlangan koordinatalar tizimida mm da 0x - 0y

birlashtirilgan D11E11F11 katakchasida: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

birlashtirilgan D12E12F12 katakchasida: =D9/D8 =22,883

Yc =Sx /F0

Muammo hal qilindi, Excelda hisoblash tugallandi - uchta oddiy element yordamida tuzilgan bo'limning og'irlik markazining koordinatalari topildi!

Xulosa.

Murakkab qismning og'irlik markazini hisoblash metodologiyasini tushunishni osonlashtirish uchun maqoladagi misol juda oddiy qilib tanlangan. Usul shundan iboratki, har qanday murakkab raqam og'irlik markazlarining ma'lum joylari bilan oddiy elementlarga bo'linishi va butun bo'lim uchun yakuniy hisob-kitoblarni amalga oshirish kerak.

Agar bo'lim o'ralgan profillardan - burchaklar va kanallardan iborat bo'lsa, ularni dumaloq "p/2" sektorlari bilan to'rtburchaklar va kvadratlarga bo'lishning hojati yo'q. Ushbu profillarning og'irlik markazlarining koordinatalari GOST jadvallarida keltirilgan, ya'ni burchak va kanal ham kompozit qismlarni hisoblashda asosiy elementar elementlar bo'ladi (I-nurlari haqida gapirishning ma'nosi yo'q, quvurlar, novdalar va olti burchaklar - bu markaziy nosimmetrik qismlar).

Koordinata o'qlarining joylashishi, albatta, figuraning og'irlik markazining holatiga ta'sir qilmaydi! Shuning uchun, hisob-kitoblaringizni soddalashtiradigan koordinatalar tizimini tanlang. Agar, masalan, bizning misolimizda koordinatalar tizimini soat yo'nalishi bo'yicha 45˚ aylantirgan bo'lsam, u holda to'rtburchaklar, uchburchaklar va yarim doira og'irlik markazlarining koordinatalarini hisoblash amalga oshirib bo'lmaydigan hisob-kitoblarning boshqa alohida va noqulay bosqichiga aylanadi. boshida".

Quyida keltirilgan Excel hisoblash fayli bu holda dastur emas. To'g'rirog'i, bu kalkulyatorning eskizi, algoritm, shablon, har bir alohida holatda amal qiladi. yorqin sariq plomba bilan hujayralar uchun formulalar o'z ketma-ketligini yaratish.

Shunday qilib, endi siz har qanday bo'limning og'irlik markazini qanday topishni bilasiz! O'zboshimchalik bilan murakkab kompozitsion bo'limlarning barcha geometrik xususiyatlarini to'liq hisoblash "" bo'limidagi kelgusi maqolalardan birida ko'rib chiqiladi. Blogdagi yangiliklarni kuzatib boring.

Uchun qabul qilish yangi maqolalarning chiqarilishi haqida ma'lumot va uchun ishlaydigan dastur fayllarini yuklab olish Maqolaning oxirida joylashgan oynada yoki sahifaning yuqori qismidagi oynada e'lonlarga obuna bo'lishingizni so'rayman.

Elektron pochta manzilingizni kiritib, "Maqola e'lonlarini qabul qilish" tugmasini bosganingizdan so'ng ESDAN CHIQARMA OBUNANI TASHLAB QILING havolani bosish orqali ko'rsatilgan pochta orqali darhol sizga keladigan xatda (ba'zan papkada « Spam » )!

Maqolaning boshida "tasvir belgisi" da tasvirlangan stakan, tanga va ikkita vilkalar haqida bir necha so'z. Ko'pchiligingiz bolalar va noaniq kattalarning hayratlanarli nigohlarini uyg'otadigan ushbu "hiyla" bilan tanishsiz. Ushbu maqolaning mavzusi - tortishish markazi. Aynan u va tayanch nuqtasi bizning ongimiz va tajribamiz bilan o'ynab, ongimizni aldaydi!

"Vilka + tanga" tizimining og'irlik markazi har doim joylashgan belgilangan masofa vertikal pastga tanganing chetidan, bu esa o'z navbatida tayanch nuqtasidir. Bu barqaror muvozanat pozitsiyasi! Agar siz vilkalarni silkitsangiz, tizim avvalgi barqaror pozitsiyasini olishga intilayotgani darhol ayon bo'ladi! Mayatnikni tasavvur qiling - mahkamlash nuqtasi (= stakan chetidagi tanganing tayanch nuqtasi), mayatnikning novda o'qi (= bizning holatlarimizda, o'q virtualdir, chunki ikkita vilkaning massasi kosmosning turli yo'nalishlarida tarqalgan) va o'qning pastki qismidagi yuk (= butun "vilkalar" tizimining og'irlik markazi + tanga"). Agar siz mayatnikni vertikaldan istalgan yo'nalishda (oldinga, orqaga, chapga, o'ngga) burishni boshlasangiz, u tortishish kuchi ta'sirida muqarrar ravishda asl holatiga qaytadi. barqaror muvozanat holati(Bizning vilkalar va tangalar bilan ham xuddi shunday bo'ladi)!

Agar tushunmasangiz, lekin tushunmoqchi bo'lsangiz, buni o'zingiz aniqlang. O'zingizga "u erga borish" juda qiziq! Shuni qo'shimcha qilishim kerakki, barqaror muvozanatdan foydalanishning xuddi shunday printsipi Vanka-Get-Up o'yinchoqida ham amalga oshiriladi. Ushbu o'yinchoqning faqat og'irlik markazi tayanch nuqtasi ustida joylashgan, ammo qo'llab-quvvatlovchi yuzaning yarim sharining markazidan pastda.

Fikrlaringizni ko'rib doim xursand bo'laman, aziz o'quvchilar!!!

so'rang, HURMAT muallifning ishi, faylni yuklab olish OBUNA BO'LGAN KEYIN maqola e'lonlari uchun.

Hisob-kitoblarning natijasi nafaqat tasavvurlar maydoniga bog'liq, shuning uchun materiallarning mustahkamligi bo'yicha muammolarni hal qilishda aniqlanmasdan turib bo'lmaydi. figuralarning geometrik xarakteristikalari: statik, eksenel, qutbli va markazdan qochma inersiya momentlari. Bo'limning og'irlik markazining o'rnini aniqlay olish juda muhim (ro'yxatdagi geometrik xususiyatlar og'irlik markazining holatiga bog'liq). Ga qo'shimcha sifatida Oddiy figuralarning geometrik xarakteristikalari: to'rtburchaklar, kvadrat, teng va to'g'ri burchakli uchburchaklar, doira, yarim doira. Og'irlik markazi va asosiy markaziy o'qlarning joylashuvi ko'rsatiladi va ularga nisbatan geometrik xarakteristikalar, agar nur materiali bir hil bo'lsa, aniqlanadi.

To'rtburchak va kvadratning geometrik xarakteristikasi

To'rtburchakning eksenel inersiya momentlari (kvadrat)

To'g'ri burchakli uchburchakning geometrik xarakteristikalari

To'g'ri burchakli uchburchakning eksenel inersiya momentlari

Teng yonli uchburchakning geometrik xarakteristikasi

Teng yonli uchburchakning eksenel inersiya momentlari