Vektor mahsulotining koordinatalarini qanday topish mumkin. Oʻzaro mahsulot – taʼriflar, xossalar, formulalar, misollar va yechimlar
Ushbu darsda vektorlar bilan yana ikkita operatsiyani ko'rib chiqamiz: vektorlarning vektor mahsuloti Va vektorlarning aralash mahsuloti (muhtoj bo'lganlar uchun darhol havola). Yaxshi, ba'zida shunday bo'ladi, bundan tashqari, to'liq baxt uchun vektorlarning skalyar mahsuloti, ko'proq va ko'proq talab qilinadi. Bu vektorga qaramlik. Biz analitik geometriya o'rmoniga kirayotgandek tuyulishi mumkin. Bu unday emas. Oliy matematikaning ushbu bo'limida odatda ozgina yog'och mavjud, ehtimol Pinokkio uchun etarli. Darhaqiqat, material juda keng tarqalgan va oddiy - bir xildan ko'ra murakkabroq skalyar mahsulot, hatto kamroq odatiy vazifalar bo'ladi. Analitik geometriyadagi asosiy narsa, ko'pchilik amin bo'lgan yoki allaqachon ishonch hosil qilganidek, hisob-kitoblarda xato QILMASHdir. Sehr kabi takrorlang va baxtli bo'lasiz =)
Agar vektorlar ufqdagi chaqmoq kabi uzoq joyda porlasa, bu muhim emas, darsdan boshlang Dummies uchun vektorlar vektorlar haqidagi asosiy bilimlarni tiklash yoki qayta egallash. Ko'proq tayyor o'quvchilar ma'lumotlar bilan tanlab tanishishlari mumkin; Men amaliy ishda tez-tez uchraydigan eng to'liq misollar to'plamini to'plashga harakat qildim.
Sizni darhol nima xursand qiladi? Kichkinaligimda ikkita va hatto uchta to'pni jonglyor qila olardim. Bu yaxshi natija berdi. Endi siz umuman jonglyor qilishingiz shart emas, chunki biz ko'rib chiqamiz faqat fazoviy vektorlar, va ikkita koordinatali yassi vektorlar qoldiriladi. Nega? Bu harakatlar shunday tug'ildi - vektorlarning vektorlari va aralash mahsuloti aniqlanadi va uch o'lchovli fazoda ishlaydi. Bu allaqachon osonroq!
Bu operatsiya xuddi skalyar mahsulot kabi o'z ichiga oladi ikkita vektor. Bular o'zgarmas harflar bo'lsin.
Amalning o'zi bilan belgilanadi quyida bayon qilinganidek: . Boshqa variantlar ham bor, lekin men vektorlarning vektor mahsulotini shu tarzda, xoch bilan kvadrat qavs ichida belgilashga odatlanganman.
Va darhol savol: bo'lsa vektorlarning skalyar mahsuloti ikkita vektor ishtirok etadi va bu erda ikkita vektor ham ko'paytiriladi nima farqi bor? Aniq farq, birinchi navbatda, NATIJAda:
Vektorlarning skalyar ko‘paytmasining natijasi NUMBER:
Vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasining natijasi VEKTOR: , ya'ni vektorlarni ko'paytiramiz va yana vektorni olamiz. Yopiq klub. Aslida, operatsiya nomi shu erdan keladi. Turli o'quv adabiyotlarida belgilar ham farq qilishi mumkin, men harfdan foydalanaman.
O'zaro mahsulot ta'rifi
Avval rasm bilan ta'rif, keyin sharhlar bo'ladi.
Ta'rif: Vektor mahsuloti kollinear bo'lmagan vektorlar, ushbu tartibda olingan, VEKTOR deb ataladi, uzunligi bu raqamli parallelogramm maydoniga teng, bu vektorlar asosida qurilgan; vektor vektorlarga ortogonal, va asos to'g'ri yo'nalishga ega bo'lishi uchun yo'naltiriladi: 
Keling, ta'rifni parcha-parcha qilib olaylik, bu erda juda ko'p qiziqarli narsalar bor!
Shunday qilib, quyidagi muhim fikrlarni ajratib ko'rsatish mumkin:
1) Ta'rifi bo'yicha qizil o'qlar bilan ko'rsatilgan asl vektorlar qarama-qarshi emas. Kollinear vektorlar masalasini biroz keyinroq ko'rib chiqish maqsadga muvofiq bo'ladi.
2) Vektorlar olinadi qat'iy belgilangan tartibda: – "a" "bo'l" bilan ko'paytiriladi, "a" bilan "bo'lish" emas. Vektorni ko'paytirish natijasi VEKTOR bo'lib, u ko'k rangda ko'rsatilgan. Agar vektorlar teskari tartibda ko'paytirilsa, biz uzunligi teng va qarama-qarshi yo'nalishdagi vektorni olamiz (malina rangi). Ya'ni, tenglik haqiqatdir 
.
3) Endi vektor ko'paytmaning geometrik ma'nosi bilan tanishamiz. Bu juda muhim nuqta! Moviy vektorning UZUNLIGI (va demak, qip-qizil vektor) vektorlar ustiga qurilgan parallelogrammaning MAYOTiga son jihatdan teng. Rasmda bu parallelogramm qora rangga bo'yalgan.
Eslatma : chizma sxematik va tabiiyki, vektor mahsulotining nominal uzunligi parallelogramm maydoniga teng emas.
Keling, geometrik formulalardan birini eslaylik: Paralelogrammning maydoni qo'shni tomonlarning ko'paytmasiga va ular orasidagi burchakning sinusiga teng. Shuning uchun, yuqoridagilarga asoslanib, vektor mahsulotining UZUNLIKni hisoblash formulasi to'g'ri keladi:
Men formula vektorning o'zi haqida emas, balki vektorning UZUNLIGI haqida ekanligini ta'kidlayman. Amaliy ma'nosi nima? Va ma'nosi shundaki, analitik geometriya muammolarida parallelogrammning maydoni ko'pincha vektor mahsuloti tushunchasi orqali topiladi:
Keling, ikkinchi muhim formulani olamiz. Paralelogrammaning diagonali (qizil nuqta chiziq) uni ikkita teng uchburchakka ajratadi. Shuning uchun vektorlar (qizil soya) ustiga qurilgan uchburchakning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:
4) Xuddi shunday muhim fakt - vektor vektorlarga ortogonal, ya'ni 
. Albatta, qarama-qarshi yo'naltirilgan vektor (malinali o'q) ham asl vektorlarga ortogonaldir.
5) Vektor shunday yo'naltirilgan asos Unda bor to'g'ri orientatsiya. Haqida darsda yangi asosga o'tish haqida yetarlicha batafsil gapirib berdim tekislik yo'nalishi, va endi biz kosmik yo'nalish nima ekanligini aniqlaymiz. Men sizning barmoqlaringiz bilan tushuntiraman o'ng qo'l. Aqliy birlashtiring ko'rsatkich barmog'i vektor bilan va o'rta barmoq vektor bilan. Uzuk barmoq va kichik barmoq uni kaftingizga bosing. Natijada Bosh barmoq– vektor mahsuloti yuqoriga qaraydi. Bu o'ngga yo'naltirilgan asosdir (rasmda bu). Endi vektorlarni o'zgartiring ( ko'rsatkich va o'rta barmoqlar) ba'zi joylarda, natijada bosh barmog'i aylanadi va vektor mahsuloti allaqachon pastga qaraydi. Bu ham to'g'ri yo'naltirilgan asosdir. Sizda savol tug'ilishi mumkin: qaysi asosda yo'nalish qolgan? Xuddi shu barmoqlarga "tayinlash" chap qo'l vektorlar va fazoning chap asosi va chap yo'nalishini oling (bu holda, bosh barmog'i pastki vektor yo'nalishida joylashgan bo'ladi). Majoziy ma'noda, bu asoslar bo'shliqni turli yo'nalishlarda "burashadi" yoki yo'naltiradi. Va bu kontseptsiyani uzoq yoki mavhum narsa deb hisoblamaslik kerak - masalan, kosmosning yo'nalishi eng oddiy oyna tomonidan o'zgartiriladi va agar siz "aks etilgan ob'ektni ko'zoynakdan tortib olsangiz", umumiy holatda u uni "asl" bilan birlashtirib bo'lmaydi. Aytgancha, uchta barmog'ingizni oynaga tuting va aks ettirishni tahlil qiling ;-)
...siz endi bilganingiz qanchalik yaxshi o'ngga va chapga yo'naltirilgan asoslar, chunki ba'zi o'qituvchilarning yo'nalishning o'zgarishi haqidagi bayonotlari qo'rqinchli =)
Kollinear vektorlarning o'zaro ko'paytmasi
Ta'rif batafsil muhokama qilindi, vektorlar kollinear bo'lganda nima sodir bo'lishini bilish qoladi. Agar vektorlar kollinear bo'lsa, ularni bitta to'g'ri chiziqqa qo'yish mumkin va bizning parallelogramimiz ham bitta to'g'ri chiziqqa "buklanadi". Bunday soha, matematiklar aytganidek, degeneratsiya parallelogramma nolga teng. Xuddi shu formuladan kelib chiqadi - nol yoki 180 gradusning sinusi nolga teng, ya'ni maydon nolga teng.
Shunday qilib, agar bo'lsa, unda 
Va 
. Iltimos, vektor mahsulotining o'zi nol vektorga teng ekanligini unutmang, lekin amalda bu ko'pincha e'tiborga olinmaydi va ular ham nolga teng deb yoziladi.
Maxsus holat - vektorning o'zi bilan o'zaro ko'paytmasi:
Vektor mahsulotidan foydalanib, siz uch o'lchovli vektorlarning kollinearligini tekshirishingiz mumkin va biz boshqalar qatorida bu muammoni ham tahlil qilamiz.
Amaliy misollarni hal qilish uchun sizga kerak bo'lishi mumkin trigonometrik jadval undan sinuslarning qiymatlarini topish.
Xo'sh, keling, olov yoqaylik:
1-misol
a) Agar vektorlarning vektor ko'paytmasining uzunligini toping 
b) Agar vektorlar ustiga qurilgan parallelogrammning maydonini toping 
Yechim: Yo'q, bu xato emas, men ataylab bandlardagi dastlabki ma'lumotlarni bir xil qilib qo'ydim. Chunki yechimlarning dizayni boshqacha bo'ladi!
a) Shartga ko'ra, topish kerak uzunligi vektor (o'zaro mahsulot). Tegishli formula bo'yicha:
Javob:
Agar sizdan uzunlik haqida so'ralgan bo'lsa, javobda biz o'lchamni - birliklarni ko'rsatamiz.
b) Shartga ko'ra, topish kerak kvadrat vektorlar ustiga qurilgan parallelogramm. Ushbu parallelogrammning maydoni son jihatidan vektor mahsulotining uzunligiga teng:
Javob:
E'tibor bering, javob vektor mahsuloti haqida umuman gapirmaydi; bizdan so'ralgan rasmning maydoni, shunga ko'ra, o'lcham kvadrat birlikdir.
Biz har doim shartga ko'ra NIMA topishimiz kerakligini ko'rib chiqamiz va shunga asoslanib, biz formula qilamiz aniq javob. Bu so'zma-so'z bo'lib tuyulishi mumkin, lekin o'qituvchilar orasida literalistlar ko'p va topshiriqni qayta ko'rib chiqish uchun qaytarish uchun yaxshi imkoniyat bor. Garchi bu juda uzoq gap bo'lmasa-da - agar javob noto'g'ri bo'lsa, unda odam oddiy narsalarni tushunmaydi va/yoki topshiriqning mohiyatini tushunmaydi, degan taassurot paydo bo'ladi. Oliy matematikada va boshqa fanlarda ham har qanday masalani yechishda ushbu nuqta doimo nazorat ostida bo'lishi kerak.
Katta "en" harfi qayerga ketdi? Aslida, u qo'shimcha ravishda yechimga biriktirilgan bo'lishi mumkin edi, lekin kirishni qisqartirish uchun men buni qilmadim. Umid qilamanki, hamma buni tushunadi va xuddi shu narsa uchun belgidir.
DIY yechimiga mashhur misol:
2-misol
Agar vektorlar ustiga qurilgan uchburchakning maydonini toping 
Vektor mahsuloti orqali uchburchakning maydonini topish formulasi ta'rifga sharhlarda berilgan. Yechim va javob dars oxirida.
Amalda, vazifa haqiqatan ham juda keng tarqalgan, uchburchaklar sizni umuman qiynashi mumkin.
Boshqa muammolarni hal qilish uchun bizga kerak bo'ladi:
Vektorlarning vektor mahsulotining xossalari
Biz vektor mahsulotining ba'zi xususiyatlarini allaqachon ko'rib chiqdik, ammo men ularni ushbu ro'yxatga kiritaman.
Ixtiyoriy vektorlar va ixtiyoriy sonlar uchun quyidagi xususiyatlar to'g'ri bo'ladi:
1) Boshqa ma'lumot manbalarida bu element odatda xususiyatlarda ta'kidlanmaydi, lekin amaliy jihatdan juda muhimdir. Shunday bo'lsin.
2) 
– mulk ham yuqorida muhokama qilinadi, ba'zan deyiladi antikommutativlik. Boshqacha qilib aytganda, vektorlarning tartibi muhim.
3) – assotsiativ yoki assotsiativ vektor mahsulot qonunlari. Konstantalarni vektor mahsulotidan tashqariga osongina ko'chirish mumkin. Haqiqatan ham, ular u erda nima qilishlari kerak?
4) – tarqatish yoki tarqatuvchi vektor mahsulot qonunlari. Qavslarni ochishda ham muammolar yo'q.
Ko'rsatish uchun qisqa misolni ko'rib chiqaylik:
3-misol
Agar toping 
Yechim: Vaziyat yana vektor mahsulotining uzunligini topishni talab qiladi. Keling, miniatyuramizni chizamiz: 
(1) Assotsiativ qonunlarga ko'ra, biz konstantalarni vektor mahsuloti doirasidan tashqarida olamiz.
(2) Biz doimiyni moduldan tashqarida olamiz va modul minus belgisini "yeydi". Uzunlik salbiy bo'lishi mumkin emas.
(3) Qolganlari aniq.
Javob: 
Olovga ko'proq o'tin qo'shish vaqti keldi:
4-misol
Agar vektorlar ustiga qurilgan uchburchakning maydonini hisoblang 
Yechim: Formuladan foydalanib uchburchakning maydonini toping 
. Qizig'i shundaki, "tse" va "de" vektorlari o'zlari vektorlar yig'indisi sifatida taqdim etiladi. Bu erda algoritm standart bo'lib, darsning 3 va 4-sonli misollarini biroz eslatadi. Vektorlarning nuqta mahsuloti. Aniqlik uchun biz yechimni uch bosqichga ajratamiz:
1) Birinchi bosqichda vektor mahsulotini vektor mahsuloti orqali ifodalaymiz, aslida, vektorni vektor yordamida ifodalaymiz. Hali uzunlik haqida so'z yo'q!
(1) Vektorlar ifodalarini almashtiring.
(2) distributiv qonunlardan foydalanib, polinomlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra qavslarni ochamiz.
(3) Assotsiativ qonunlardan foydalanib, biz barcha konstantalarni vektor mahsulotidan tashqariga o'tkazamiz. Bir oz tajriba bilan 2 va 3-bosqichlarni bir vaqtning o'zida bajarish mumkin.
(4) Birinchi va oxirgi shartlar yoqimli xususiyat tufayli nolga teng (nol vektor). Ikkinchi muddatda vektor mahsulotining antikommutativlik xususiyatidan foydalanamiz:
(5) Biz shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz.
Natijada, vektor vektor orqali ifodalangan bo'lib chiqdi, bunga erishish kerak edi: 
2) Ikkinchi bosqichda biz kerakli vektor mahsulotining uzunligini topamiz. Bu harakat 3-misolga o'xshaydi: 
3) Kerakli uchburchakning maydonini toping: 
Yechimning 2-3 bosqichlari bir qatorda yozilishi mumkin edi.
Javob:
Ko'rib chiqilgan muammo testlarda juda keng tarqalgan, buni o'zingiz hal qilish uchun bir misol:
5-misol
Agar toping
Dars oxirida qisqacha yechim va javob. Keling, oldingi misollarni o'rganayotganda qanchalik diqqatli bo'lganingizni ko'raylik ;-)
Koordinatadagi vektorlarning ko‘paytmasi
, ortonormal asosda belgilangan, formula bilan ifodalanadi:
Formula juda oddiy: determinantning yuqori qatoriga biz koordinata vektorlarini yozamiz, ikkinchi va uchinchi qatorlarga vektorlarning koordinatalarini "qo'yamiz" va biz qo'yamiz. qat'iy tartibda– avval “ve” vektorining koordinatalari, keyin “ikki-ve” vektorining koordinatalari. Agar vektorlarni boshqa tartibda ko'paytirish kerak bo'lsa, u holda qatorlarni almashtirish kerak: 
10-misol
Quyidagi fazo vektorlari kollinear ekanligini tekshiring:
A)
b) 
Yechim: Tekshirish ushbu darsdagi bayonotlardan biriga asoslanadi: agar vektorlar kollinear bo'lsa, ularning vektor mahsuloti nolga teng (nol vektor): 
.
a) vektor mahsulotini toping: 
Shunday qilib, vektorlar kollinear emas.
b) vektor mahsulotini toping: 
Javob: a) chiziqli emas, b)
Bu erda, ehtimol, vektorlarning vektor mahsuloti haqidagi barcha asosiy ma'lumotlar.
Ushbu bo'lim unchalik katta bo'lmaydi, chunki vektorlarning aralash mahsulotidan foydalanilganda bir nechta muammolar mavjud. Aslida, hamma narsa ta'rifga, geometrik ma'noga va bir nechta ishchi formulalarga bog'liq bo'ladi.
Vektorlarning aralash mahsuloti uchta vektorning mahsulotidir:
Shunday qilib, ular poezd kabi saf tortdilar va aniqlanishini kutishmaydi.
Birinchidan, yana ta'rif va rasm:
Ta'rif: Aralash ish tekis bo'lmagan vektorlar, ushbu tartibda olingan, chaqirildi parallelepiped hajmi, bu vektorlar asosida qurilgan, agar asos to'g'ri bo'lsa, "+" belgisi bilan jihozlangan va agar asos qolsa, "-" belgisi bilan jihozlangan.
Keling, rasm chizamiz. Bizga ko'rinmas chiziqlar nuqtali chiziqlar bilan chizilgan: 
Keling, ta'rifga to'xtalib o'tamiz:
2) Vektorlar olinadi ma'lum bir tartibda, ya'ni mahsulotdagi vektorlarning qayta joylashishi, siz taxmin qilganingizdek, oqibatlarsiz sodir bo'lmaydi.
3) Geometrik ma'noni sharhlashdan oldin men aniq bir haqiqatni qayd etaman: vektorlarning aralash mahsuloti SON: . O'quv adabiyotlarida dizayn biroz boshqacha bo'lishi mumkin, men aralash mahsulotni "pe" harfi bilan va hisob-kitob natijasini belgilashga odatlanganman.
A-prior aralash mahsulot - parallelepipedning hajmi, vektorlar asosida qurilgan (rasm qizil vektorlar va qora chiziqlar bilan chizilgan). Ya'ni, bu raqam berilgan parallelepipedning hajmiga teng.
Eslatma : Chizma sxematik.
4) Keling, taglik va makonning yo'nalishi tushunchasi haqida yana tashvishlanmaylik. Yakuniy qismning ma'nosi shundaki, tovushga minus belgisi qo'shilishi mumkin. Oddiy so'zlar bilan aytganda, aralash mahsulot salbiy bo'lishi mumkin: .
Ta'rifdan to'g'ridan-to'g'ri vektorlarga qurilgan parallelepiped hajmini hisoblash formulasi keladi.
Vektor san'ati ikki omildan tuzilgan tekislikka perpendikulyar psevdovektor bo'lib, bu uch o'lchovli Evklid fazosida vektorlar ustidan "vektorlarni ko'paytirish" ikkilik operatsiyasining natijasidir. Vektor mahsuloti kommutativlik va assotsiativlik xossalariga ega emas (u antikommutativdir) va vektorlarning skalyar mahsulotidan farqli ravishda vektor hisoblanadi. Ko'pgina muhandislik va fizika ilovalarida keng qo'llaniladi. Masalan, burchak momenti va Lorents kuchi matematik tarzda vektor mahsuloti sifatida yoziladi. O'zaro ko'paytma vektorlarning perpendikulyarligini "o'lchash" uchun foydalidir - ikkita vektorning o'zaro ko'paytmasining moduli, agar ular perpendikulyar bo'lsa, ularning modullari ko'paytmasiga teng bo'ladi va vektorlar parallel yoki antiparallel bo'lsa, nolga kamayadi.
Vektor ko'paytmani turli yo'llar bilan aniqlash mumkin va nazariy jihatdan har qanday o'lchamli n bo'shliqda n-1 vektorlarning mahsulotini hisoblash mumkin va shu bilan ularning barchasiga perpendikulyar bo'lgan bitta vektorni olish mumkin. Ammo agar mahsulot vektor natijalari bilan ahamiyatsiz bo'lmagan ikkilik mahsulotlar bilan cheklangan bo'lsa, unda an'anaviy vektor mahsulot faqat uch o'lchovli va etti o'lchovli bo'shliqlarda aniqlanadi. Vektor mahsulotining natijasi, xuddi skalar mahsulot kabi, Evklid fazosining metrikasiga bog'liq.
Uch o'lchovli to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi koordinatalardan skalyar mahsulot vektorlarini hisoblash formulasidan farqli o'laroq, o'zaro mahsulot formulasi to'rtburchaklar koordinatalar tizimining yo'nalishiga yoki boshqacha aytganda, uning "xiralligiga" bog'liq.
Ta'rif:
R3 fazodagi a vektor b vektorining vektor mahsuloti c vektor bo'lib, quyidagi talablarga javob beradi:
c vektorining uzunligi a va b vektorlar uzunliklari va ular orasidagi ph burchak sinusining ko'paytmasiga teng:
|c|=|a||b|sin ph;
c vektor a va b vektorlarning har biriga ortogonal;
c vektor shunday yo'naltirilganki, abc vektorlarning uchligi o'ng tomonga;
R7 fazoda a, b, c vektorlar uchligining assotsiativligi talab qilinadi.
Belgilash:
c===a × b
Guruch. 1. Parallelogrammning maydoni vektor mahsulotining moduliga teng
Ko‘ndalang mahsulotning geometrik xossalari:
Ikki nolga teng bo'lmagan vektorning kollinearligi uchun zarur va etarli shart ularning vektor mahsuloti nolga teng bo'lishidir.
O'zaro mahsulot moduli maydoniga teng S umumiy kelib chiqishiga qisqartirilgan vektorlar ustida qurilgan parallelogramma a Va b(1-rasmga qarang).
Agar e- vektorlarga ortogonal birlik vektor a Va b va uchtasi shunday tanlangan a,b,e- to'g'ri, va S ular ustida qurilgan parallelogrammning maydoni (umumiy kelib chiqishiga qisqartirilgan), u holda vektor mahsuloti uchun formula to'g'ri keladi:
=S e
2-rasm. Vektorlarning vektor va skalyar ko'paytmasi yordamida parallelepipedning hajmi; nuqtali chiziqlar c vektorining a × b ga va a vektorining b × c ga proyeksiyalarini ko'rsatadi, birinchi qadam skalyar mahsulotlarni topishdir.
Agar c- ba'zi vektor, π
- ushbu vektorni o'z ichiga olgan har qanday tekislik, e- tekislikda yotgan birlik vektor π
va ortogonal c,g- tekislikka ortogonal birlik vektor π
va vektorlarning uch barobariga yo'naltirilgan ekg to'g'ri, keyin samolyotda yotgan har qanday uchun π
vektor a formula to'g'ri:
=Pr e a |c|g
Bu yerda Pr e a - e vektorning a ga proyeksiyasi
|c|-vektorning moduli c
Vektor va skalyar mahsulotlardan foydalanganda, umumiy kelib chiqishiga qisqartirilgan vektorlar asosida qurilgan parallelepiped hajmini hisoblashingiz mumkin. a, b Va c. Uch vektorning bunday mahsuloti aralash deyiladi.
V=|a (b×c)|
Rasmda ko'rsatilgandek, bu hajmni ikki yo'l bilan topish mumkin: "skalar" va "vektor" mahsulotlar almashtirilganda ham geometrik natija saqlanib qoladi:
V=a×b c=a b×c
Oʻzaro koʻpaytmaning kattaligi asl vektorlar orasidagi burchak sinusiga bogʻliq, shuning uchun oʻzaro koʻpaytma vektorlarning “perpendikulyarlik” darajasi sifatida qabul qilinishi mumkin, xuddi skalyar koʻpaytmani “parallellik” darajasi sifatida koʻrish mumkin. ”. Ikki birlik vektorning vektor ko'paytmasi, agar asl vektorlar perpendikulyar bo'lsa, 1 ga (birlik vektor), vektorlar parallel yoki antiparallel bo'lsa, 0 ga (nol vektor) teng bo'ladi.
Dekart koordinatalaridagi ko‘paytmaning ifodasi
Ikki vektor bo'lsa a Va b ularning to'rtburchaklar dekart koordinatalari bilan aniqlangan yoki aniqrog'i ortonormal asosda ifodalangan
a=(a x,a y,a z)
b=(b x,b y,b z)
va koordinatalar tizimi o'ng qo'lli bo'lsa, ularning vektor mahsuloti shaklga ega
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Ushbu formulani eslab qolish uchun:
i =∑e ijk a j b k
Qayerda e ijk- Levi-Civita ramzi.
7.1. O'zaro mahsulot ta'rifi
Ko'rsatilgan tartibda olingan uchta koplanar bo'lmagan a, b va c vektorlari o'ng tomonli uchlikni hosil qiladi, agar uchinchi c vektorning oxiridan birinchi a vektoridan ikkinchi b vektoriga eng qisqa burilish ko'rinsa. soat sohasi farqli o'laroq, chap qo'l uchlik bo'lsa, soat yo'nalishi bo'yicha (16-rasmga qarang).
a vektor b vektorining vektor mahsuloti c vektor deb ataladi, bu:
1. a va b vektorlarga perpendikulyar, ya'ni c ^ a va c ^ b ;
2. Uzunligi soni jihatidan a va vektorlarida qurilgan parallelogrammning maydoniga tengb tomonlarda bo'lgani kabi (17-rasmga qarang), ya'ni.
3. a, b va c vektorlari o'ng qo'l uchlik hosil qiladi.
Ko‘paytma a x b yoki [a,b] bilan belgilanadi. i birlik vektorlari orasidagi quyidagi munosabatlar vektor mahsulotning ta'rifidan bevosita kelib chiqadi, j Va k(18-rasmga qarang):
i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Masalan, buni isbotlaylik i xj =k.
1) k ^ i, k ^ j ;
2) |k |=1, lekin | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;
3) i, j va vektorlari k o'ng uchlik hosil qiladi (16-rasmga qarang).
7.2. O'zaro mahsulotning xususiyatlari
1. Faktorlarni qayta tartibga solishda vektor mahsuloti belgisini o'zgartiradi, ya'ni. va xb =(b xa) (19-rasmga qarang).
a xb va b xa vektorlari kollinear bo'lib, bir xil modullarga ega (paralelogrammaning maydoni o'zgarishsiz qoladi), lekin qarama-qarshi yo'naltirilgan (uchlik a, b, a xb va a, b, b x a qarama-qarshi yo'nalish). Anavi axb = -(b xa).
2. Vektor mahsuloti skalyar omilga nisbatan birlashtiruvchi xususiyatga ega, ya'ni l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).
l >0 bo'lsin. l (a xb) vektori a va b vektorlarga perpendikulyar. vektor ( l a) x b a va vektorlariga ham perpendikulyar b(a vektorlari, l lekin bir xil tekislikda yoting). Bu vektorlar degan ma'noni anglatadi l(a xb) va ( l a) x b kollinear. Ko'rinib turibdiki, ularning yo'nalishlari bir-biriga mos keladi. Ularning uzunligi bir xil:
Shunung uchun l(a xb)= l a xb. uchun ham xuddi shunday tarzda isbotlangan l<0.
3. Ikki nolga teng bo'lmagan vektor a va b agar ularning vektor ko'paytmasi nol vektorga teng bo'lsa, ular kollinear bo'ladi, ya'ni a ||b<=>va xb =0.
Xususan, i *i =j *j =k *k =0 .
4. Vektor mahsuloti taqsimot xususiyatiga ega:
(a+b) xc = a xc + b xs.
Biz isbotsiz qabul qilamiz.
7.3. Ko‘paytmani koordinatalar bilan ifodalash
Biz vektorlarning o'zaro mahsulot jadvalidan foydalanamiz i, j va k:
agar birinchi vektordan ikkinchisiga eng qisqa yo'lning yo'nalishi o'q yo'nalishiga to'g'ri kelsa, mahsulot uchinchi vektorga teng bo'ladi, agar u mos kelmasa, uchinchi vektor minus belgisi bilan olinadi.
Ikki a =a x i +a y vektor berilgan bo'lsin j+a z k va b =b x i+b y j+b z k. Bu vektorlarning vektor ko‘paytmasini ko‘phadga ko‘paytirish yo‘li bilan topamiz (vektor mahsulotining xossalariga ko‘ra):
Olingan formulani yanada qisqaroq yozish mumkin:
chunki (7.1) tenglikning o‘ng tomoni birinchi qator elementlari bo‘yicha uchinchi tartibli determinantning kengayishiga mos keladi.Tenglikni (7.2) eslab qolish oson.
7.4. O'zaro mahsulotning ba'zi ilovalari
Vektorlarning kollinearligini o'rnatish
Parallelogramm va uchburchakning maydonini topish
Vektorlarning vektor mahsuloti ta'rifiga ko'ra A va b |a xb | =|a | * |b |sin g, ya'ni S juft = |a x b |. Va shuning uchun D S =1/2|a x b |.
Bir nuqtaga nisbatan kuch momentini aniqlash
A nuqtaga kuch qo'llanilsin F =AB qo'yib yubor HAQIDA- kosmosdagi ba'zi nuqta (20-rasmga qarang).
Bu fizikadan ma'lum kuch momenti F nuqtaga nisbatan HAQIDA vektor deb ataladi M, qaysi nuqtadan o'tadi HAQIDA Va:
1) nuqtalardan o'tuvchi tekislikka perpendikulyar O, A, B;
2) son jihatdan bir qo'lning kuch mahsulotiga teng
3) OA va A B vektorlari bilan toʻgʻri uchlik hosil qiladi.
Shuning uchun M = OA x F.
Chiziqli aylanish tezligini topish
Tezlik v burchak tezlik bilan aylanadigan qattiq jismning M nuqtasi w qo'zg'almas o'q atrofida, Eyler formulasi v =w xr bilan aniqlanadi, bu erda r =OM, bu erda O - o'qning qandaydir qo'zg'almas nuqtasi (21-rasmga qarang).
Ingliz tili: Vikipediya saytni yanada xavfsizroq qiladi. Siz kelajakda Vikipediyaga ulana olmaydigan eski veb-brauzerdan foydalanyapsiz. Qurilmangizni yangilang yoki AT administratoringizga murojaat qiling.
中文: ① ② ③ ④. 您 您 正在 正在, 请 更新
ispancha: Vikipediya oʻz joyida. Usted está un utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse for Vikipedia in Futuro. Ma'muriyatga tegishli ma'lumotlarga murojaat qiling. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.
ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.
Fransiya: Vikipediya va uning xavfsizligini oshirish uchun sayt. Qadimgi veb-navigatorni ishga tushirish uchun Vikipediyaga ulanishdan foydalanish mumkin. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Ma'lumotlar qo'shimchalari va texnikalar va ingliz tilini o'z ichiga oladi.
日本語: ????? ITdínīnīnīīīīīīīīīīīīīīīīkōkōkōkōkīng
nemis tili: Vikipediya Sicherheit der Webseite deb nomlanadi. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Vikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-administrator va. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise englischer Sprache-da Du unten topdi.
Italiano: Vikipediya sta rendendo il sito più sicuro. Vikipediyaga kirish uchun brauzerda qoling. Eng afzal ko'rganingizda, ma'lumotni boshqarish yoki boshqarish imkoniyati mavjud. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico ingliz tilida.
magyar: Biz Vikipediyadan foydalanamiz. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).
Svenska: Vikipediyani ko'r sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Vikipediya va framtiden. Yangilash IT-administrator bilan aloqada bo'ladi. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på Engelska längre ned.
हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।
Biz ishonchsiz TLS protokoli versiyalari, xususan, saytlarimizga ulanishda brauzeringiz dasturiy taʼminotiga tayanadigan TLSv1.0 va TLSv1.1 uchun qoʻllab-quvvatlashni olib tashlaymiz. Bunga odatda eskirgan brauzerlar yoki eski Android smartfonlari sabab bo'ladi. Yoki bu korporativ yoki shaxsiy "Veb xavfsizligi" dasturiy ta'minotining aralashuvi bo'lishi mumkin, bu aslida ulanish xavfsizligini pasaytiradi.
Saytlarimizga kirish uchun veb-brauzeringizni yangilashingiz yoki boshqa yo'l bilan bu muammoni hal qilishingiz kerak. Bu xabar 2020-yil 1-yanvargacha qoladi. Shu sanadan keyin brauzeringiz serverlarimiz bilan aloqa o‘rnatolmaydi.
Biz i, j va k vektorlarining o'zaro mahsulot jadvalidan foydalanamiz:
agar birinchi vektordan ikkinchisiga eng qisqa yo'lning yo'nalishi o'q yo'nalishiga to'g'ri kelsa, mahsulot uchinchi vektorga teng bo'ladi, agar u mos kelmasa, uchinchi vektor minus belgisi bilan olinadi.
Ikki vektor a=axi +ayj +azk va b =bxi +byj +bzk berilsin. Bu vektorlarning vektor ko‘paytmasini ko‘phadga ko‘paytirish yo‘li bilan topamiz (vektor mahsulotining xossalariga ko‘ra): 
Olingan formulani yanada qisqaroq yozish mumkin: 
chunki (7.1) tenglikning o‘ng tomoni birinchi qator elementlari bo‘yicha uchinchi tartibli determinantning kengayishiga mos keladi.Tenglikni (7.2) eslab qolish oson.
7.4. O'zaro mahsulotning ba'zi ilovalari
Vektorlarning kollinearligini o'rnatish. 
Parallelogramm va uchburchakning maydonini topish
a va b |a xb | vektorlarining vektor mahsuloti ta'rifiga ko'ra = |a| * |b |qo'shiq aytish, ya'ni S juftlik = |a x b |. Va shuning uchun DS =1/2|a x b |.
Bir nuqtaga nisbatan kuch momentini aniqlash
A nuqtaga F =AB kuchi tatbiq qilinsin va O fazoda qandaydir nuqta bo'lsin 
Fizikadan ma'lumki, O nuqtaga nisbatan F kuch momenti O nuqtadan o'tuvchi M vektor va:
1) O, A, B nuqtalardan o'tuvchi tekislikka perpendikulyar;
2) son jihatdan yelkadagi kuch ko‘paytmasiga teng 3) OA va A B vektorlari bilan o‘ng uchlik hosil qiladi.
Shuning uchun M = OA x F. Chiziqli aylanish tezligini topish
Ruxsat etilgan o'q atrofida w burchak tezligi bilan aylanadigan qattiq jismning M nuqtasining v tezligi Eyler formulasi v =w xr bilan aniqlanadi, bu erda r =OM, bu erda O - o'qning biron bir qo'zg'almas nuqtasi (2-rasmga qarang). 21).
Vektorlar orasidagi burchak
Ikki vektorning skalyar ko'paytmasining ta'rifidan kelib chiqadiki, agar vektorlar va koordinatalari bilan belgilansa va 
, u holda (1.6.3.1) formula quyidagicha yoziladi: 
Vektorlar ustiga qurilgan parallelogrammning maydoni
Segmentlar uzunligini, nuqtalar orasidagi masofani, jismlarning sirt maydonlarini va hajmlarini o'lchash masalalari odatda metrik deb ataladigan masalalarning muhim sinfiga kiradi. Oldingi bo'limda biz vektor algebrasidan chiziq segmenti uzunligi va nuqtalar orasidagi masofani hisoblash uchun qanday foydalanishni o'rgandik. Endi biz maydonlar va hajmlarni hisoblash usullarini topamiz. Vektor algebrasi bunday muammolarni faqat juda oddiy holatlar uchun qo'yish va hal qilish imkonini beradi. Ixtiyoriy yuzalarning maydonlarini va ixtiyoriy jismlarning hajmlarini hisoblash uchun tahlil usullari talab qilinadi. Ammo tahlil usullari, o'z navbatida, vektor algebrasi beradigan natijalarga sezilarli darajada tayanadi.
Muammoni hal qilish uchun biz Hilbert Strang tomonidan taklif qilingan, ko'plab geometrik o'zgarishlar va mashaqqatli algebraik hisoblar bilan bog'liq bo'lgan juda uzoq va qiyin yo'lni tanladik. Maqsadga tezroq yetaklovchi boshqa yondashuvlar mavjudligiga qaramay, biz bu yo'lni tanladik, chunki bu bizga to'g'ridan-to'g'ri va tabiiy tuyuldi. Ilm-fandagi to'g'ridan-to'g'ri yo'l har doim ham eng oson emas. Tajribali odamlar bu haqda bilishadi va aylanma yo'llarni afzal ko'rishadi, lekin agar siz to'g'ri borishga harakat qilmasangiz, nazariyaning ba'zi nozikliklaridan bexabar qolishingiz mumkin.
Biz tanlagan yo'lda fazoviy orientatsiya, determinant, vektor va aralash mahsulotlar kabi tushunchalar tabiiy ravishda paydo bo'ladi. Determinantning geometrik ma'nosi va uning xossalari, ayniqsa, mikroskop ostidagidek aniq ochib beriladi. An'anaga ko'ra, determinant tushunchasi chiziqli tenglamalar tizimlari nazariyasiga kiritilgan, ammo aynan shunday tizimlarni echish uchun determinant deyarli foydasizdir. Determinantning geometrik ma'nosi vektor va tenzor algebrasi uchun zarurdir.
Keling, sabrli bo'laylik va eng oddiy va tushunarli holatlardan boshlaylik.
1. Vektorlar Dekart koordinata tizimining koordinata o'qlari bo'ylab yo'naltirilgan.
a vektori x o'qi bo'ylab, b vektori y o'qi bo'ylab yo'naltirilsin. Shaklda. 21-rasmda koordinata o'qlariga nisbatan vektorlarni joylashtirishning to'rt xil varianti ko'rsatilgan.
A va b vektorlar koordinata shaklida: Bu yerda a va b mos vektorning kattaligini bildiradi, a vektor koordinatasining belgisi.
Vektorlar ortogonal bo'lgani uchun ular ustida qurilgan parallelogrammalar to'rtburchaklardir. Ularning hududlari shunchaki tomonlarning hosilasidir. Keling, ushbu mahsulotlarni barcha to'rtta holat uchun vektor koordinatalari bilan ifodalaymiz.
Hududni hisoblash uchun barcha to'rtta formulalar belgidan tashqari bir xil. Siz shunchaki ko'zingizni yumib, yozishingiz mumkin, 
bu barcha holatlarda. Biroq, yana bir imkoniyat samaraliroq bo'lib chiqadi: belgiga qandaydir ma'no berish. Keling, rasmga diqqat bilan qaraylik. 21. Vektorning vektorga aylanishi soat yo'nalishi bo'yicha amalga oshiriladigan hollarda. Formulada minus belgisini ishlatishga majbur bo'lgan hollarda vektorning vektorga aylanishi soat miliga teskari yo'nalishda amalga oshiriladi. Bu kuzatish bizga maydon ifodalaridagi belgini tekislikning yo'nalishi bilan bog'lash imkonini beradi.
Plyus yoki minus belgisi bo'lgan a va b vektorlari ustiga qurilgan to'rtburchakning maydoni yo'naltirilgan maydon hisoblanadi va belgi vektorlar tomonidan ko'rsatilgan yo'nalish bilan bog'lanadi. Yo'naltirilgan maydon uchun biz ko'rib chiqilgan to'rtta holat uchun bitta formula yozishimiz mumkin: 
. Har doim ijobiy bo'lgan oddiy maydonni yo'naltirilgandan ajratish uchun S harfi ustidagi "vektor" satri belgisi kiritilgan.
Bundan tashqari, boshqa tartibda olingan bir xil vektorlar qarama-qarshi yo'nalishni aniqlashi aniq, shuning uchun . Biz maydonni S harfi bilan belgilashda davom etamiz va shuning uchun .
Endi hudud tushunchasini kengaytirish evaziga umumiy iborani olgandek tuyuladi, diqqatli o'quvchi biz barcha imkoniyatlarni ko'rib chiqmaganimizni aytadi. Darhaqiqat, rasmda keltirilgan vektorlarni joylashtirishning to'rtta variantiga qo'shimcha ravishda. 21, yana to'rttasi bor (22-rasm) 
Vektorlarni yana koordinata shaklida yozamiz: Vektorlarning koordinatalari orqali maydonlarni ifodalaymiz. 
4. . Yangi iboralardagi belgilar o'zgarmadi, lekin, afsuski, oldingi to'rtta holatga nisbatan yo'nalish o'zgardi. Shuning uchun, yo'naltirilgan maydon uchun biz yozishga majburmiz: 
. Garchi mohir soddalikka bo'lgan umid oqlanmagan bo'lsa-da, biz hali ham to'rtta holat uchun umumiy ifodani yozishimiz mumkin.
Ya'ni, vektorlar ustida qurilgan to'rtburchakning yo'naltirilgan maydoni, tomonlardagi kabi, ustunlardagi kabi vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinantga teng.
Bizning fikrimizcha, o'quvchi determinantlar nazariyasi bilan tanish, shuning uchun biz bu tushunchaga batafsil to'xtalmaymiz. Biroq, biz urg'uni o'zgartirish uchun tegishli ta'riflarni beramiz va bu tushunchaga sof geometrik fikrlardan kelib chiqish mumkinligini ko'rsatamiz. 
, , bir xil kontseptsiya uchun turli xil yozuv shakllari - ustunlar kabi vektor koordinatalaridan tashkil topgan determinant. Tenglik 
ikki o'lchovli holat uchun uning ta'rifi sifatida qabul qilinishi mumkin.
2. b vektor x o'qiga parallel emas; a/ vektori ixtiyoriy vektor. 
Bu holatni allaqachon ma'lum bo'lganlarga qisqartirish uchun vektorlarga qurilgan parallelogrammaning ba'zi geometrik o'zgarishlarini ko'rib chiqaylik va (rasm. Vektorlarning aralash mahsuloti va uning xossalari.