Matritsalar. Matritsalar ustida amallar

E'tibor bering, matritsa elementlari nafaqat raqamlar bo'lishi mumkin. Tasavvur qilaylik, siz kitob javoningizdagi kitoblarni tasvirlayapsiz. Rafingiz tartibda bo'lsin va barcha kitoblar qat'iy belgilangan joylarda bo'lsin. Kutubxonangiz tavsifi (javonlar va javondagi kitoblar tartibi bo'yicha) bo'lgan jadval ham matritsa bo'ladi. Ammo bunday matritsa raqamli bo'lmaydi. Yana bir misol. Raqamlar o'rniga qandaydir bog'liqlik bilan birlashtirilgan turli funktsiyalar mavjud. Olingan jadval matritsa deb ham ataladi. Boshqacha qilib aytganda, matritsa - bu har qanday to'rtburchaklar jadval bir hil elementlar. Bu erda va bundan keyin biz raqamlardan tashkil topgan matritsalar haqida gapiramiz.

Matritsalarni yozish uchun qavslar o'rniga kvadrat qavslar yoki to'g'ri qo'sh vertikal chiziqlar ishlatiladi.

(2.1*)

Ta'rif 2. Ifodada bo'lsa(1) m = n, keyin ular haqida gapirishadi kvadrat matritsa, Agar , keyin oh to'rtburchaklar.

M va n qiymatlariga qarab, matritsalarning bir nechta maxsus turlari ajratiladi:

Eng muhim xususiyat kvadrat matritsa u aniqlovchi yoki aniqlovchi, bu matritsa elementlaridan tuzilgan va belgilanadi

Shubhasiz, D E =1; .

Ta'rif 3. Agar , keyin matritsa A chaqirdi degenerativ bo'lmagan yoki maxsus emas.

Ta'rif 4. Agar detA = 0, keyin matritsa A chaqirdi degeneratsiya yoki maxsus.

Ta'rif 5. Ikki matritsa A Va B chaqiriladi teng va yozing A = B agar ular bir xil o'lchamlarga ega bo'lsa va ularning mos keladigan elementlari teng bo'lsa, ya'ni..

Masalan, matritsalar va teng, chunki ular hajmi bo'yicha tengdir va bitta matritsaning har bir elementi boshqa matritsaning mos keladigan elementiga teng. Ammo matritsalarni teng deb atash mumkin emas, garchi ikkala matritsaning determinantlari teng va matritsalarning o'lchamlari bir xil bo'lsa-da, lekin bir xil joylarda joylashgan barcha elementlar teng emas. Matritsalar har xil, chunki ular turli o'lchamlarga ega. Birinchi matritsa 2x3 o'lchamda, ikkinchisi esa 3x2. Elementlar soni bir xil bo'lsa-da - 6 va elementlarning o'zlari bir xil 1, 2, 3, 4, 5, 6, lekin ular har bir matritsada turli joylarda joylashgan. Ammo 5-ta'rifga ko'ra matritsalar tengdir.

Ta'rif 6. Agar ma'lum miqdordagi matritsa ustunlarini tuzatsangiz A va bir xil miqdordagi qatorlar, keyin ko'rsatilgan ustunlar va qatorlar kesishmasidagi elementlar kvadrat matritsa hosil qiladi n- th tartib, qaysi belgilovchi chaqirdi kichik k - tartibli matritsa A.

Misol. Matritsaning uchta ikkinchi darajali minorini yozing

Chiziqli algebra masalalari. Matritsa tushunchasi. Matritsalar turlari. Matritsalar bilan amallar. Matritsalarni o'zgartirish masalalarini yechish.

Matematikadan turli masalalarni yechishda siz ko'pincha matritsalar deb ataladigan raqamlar jadvallari bilan shug'ullanishingiz kerak. Matritsalardan foydalanib, chiziqli tenglamalar tizimini yechish, vektorlar bilan ko'p operatsiyalarni bajarish, turli xil kompyuter grafikasi masalalarini va boshqa muhandislik masalalarini echish qulay.

Matritsa deyiladi miqdorni o'z ichiga olgan to'rtburchak raqamlar jadvali m chiziqlar va ma'lum bir raqam P ustunlar. Raqamlar T Va P matritsa tartiblari deyiladi. Agar T = P, matritsa kvadrat va raqam deb ataladi m = n - uning buyrug'i.

Kelajakda matritsalarni yozish uchun ikkita chiziq yoki qavs ishlatiladi:

Yoki

Matritsani qisqacha belgilash uchun ko'pincha bitta bosh harf (masalan, A) yoki belgi ishlatiladi. || a ij ||, va ba'zan tushuntirish bilan: A = || a ij || = (a ij), Qayerda (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n).

Raqamlar aij, Ushbu matritsaga kiritilganlar uning elementlari deb ataladi. Yozib olishda a ij birinchi indeks і satr raqami va ikkinchi indeksni bildiradi j- ustun raqami. Kvadrat matritsa holatida

(1.1)

Asosiy va ikkilamchi diagonallar tushunchalari kiritiladi. (1.1) matritsaning asosiy diagonali diagonal deyiladi 11 dan 12 gacha … ann bu matritsaning yuqori chap burchagidan pastki o'ng burchagiga o'tish. Xuddi shu matritsaning yon diagonali diagonal deb ataladi a n 1 a (n -1)2… a 1 n, pastki chap burchakdan yuqori o'ng burchakka o'tish.

Matritsalar ustidagi asosiy amallar va ularning xossalari.

Keling, matritsalar ustidagi asosiy amallarni aniqlashga o'tamiz.

Matritsa qo'shilishi. Ikki matritsaning yig'indisi A = || a ij || , Qayerda Va B = || b ij || , Qayerda (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n) bir xil buyruqlar T Va P C = matritsasi deb ataladi || c ij || (i =1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n) bir xil buyruqlar T Va P, elementlar ij bilan formula bilan aniqlanadi

, Qayerda (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.2)

Ikki matritsaning yig'indisini belgilash uchun yozuv ishlatiladi C = A + B. Matritsalar yig'indisini tuzish amali ularni qo'shish deyiladi. Shunday qilib, ta'rifga ko'ra:

+ =

Matritsalar yig'indisining ta'rifidan yoki aniqrog'i (1.2) formulalardan darhol ma'lum bo'ladiki, matritsalarni qo'shish amali haqiqiy sonlarni qo'shish bilan bir xil xususiyatlarga ega, xususan:

1) kommutativ xususiyat: A + B = B + A,

2) assotsiativ mulk: ( A + B) + C = A + (B + C).

Ushbu xususiyatlar ikki yoki undan ortiq matritsalarni qo'shganda matritsa atamalarining tartibi haqida tashvishlanmaslik imkonini beradi.

Matritsani raqamga ko'paytirish. A matritsaning hosilasi = || a ij || , bu yerda (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) haqiqiy l soniga ko‘ra, matritsa deyiladi. C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), uning elementlari quyidagi formula bilan aniqlanadi:

, Qayerda (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.3)

Matritsa va sonning mahsulotini belgilash uchun yozuvdan foydalaniladi C = l A yoki C = A l. Matritsaning ko‘paytmasini songa yasash amali matritsani shu songa ko‘paytirish deyiladi.

To'g'ridan-to'g'ri (1.3) formuladan ma'lum bo'ladiki, matritsani songa ko'paytirish quyidagi xususiyatlarga ega:

1) son ko'paytiruvchining assotsiativ xususiyati: (l m) A = l (m A);

2) matritsalar yig'indisi bo'yicha taqsimlash xususiyati: l (A + B) = l A + l B;

3) raqamlar yig'indisi bo'yicha taqsimlovchi xususiyat: (l + m) A = l A + m A

Izoh. Ikki matritsaning farqi A Va IN bir xil buyurtmalar T Va P bunday matritsani chaqirish tabiiydir BILAN bir xil buyruqlar T Va P, bu matritsa bilan yig'iladi B A matritsasini beradi. Tabiiy yozuv ikki matritsaning farqini belgilash uchun ishlatiladi: C = A - B.

Farq borligini tekshirish juda oson BILAN ikkita matritsa A Va IN qoida bo'yicha olinishi mumkin C = A + (–1) V.

Matritsalar mahsuloti yoki matritsalarni ko'paytirish.

Matritsa mahsuloti A = || a ij || , bu yerda (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) mos ravishda teng buyurtmalarga ega bo'lish T Va n, matritsaga B = || b ij || , Qayerda (i = 1, 2, ..., n, j=1, 2, ..., p), mos ravishda teng buyurtmalarga ega bo'lish n Va R, matritsa deb ataladi C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), mos ravishda teng buyurtmalarga ega T Va R uning elementlari quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Qayerda (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

Matritsaning mahsulotini belgilash uchun A matritsaga IN yozib olishdan foydalaning C = A × B. Matritsa mahsulotini tuzish operatsiyasi A matritsaga IN bu matritsalarni ko'paytirish deyiladi.

Yuqoridagi ta'rifdan kelib chiqadiki A matritsasini har bir B matritsasiga ko'paytirib bo'lmaydi, matritsa ustunlari soni bo'lishi kerak A matritsa qatorlari soniga teng edi IN.

Formula (1.4) - matritsaning mahsuloti bo'lgan C matritsasining elementlarini tuzish qoidasi A matritsaga IN. Ushbu qoida og'zaki shaklda tuzilishi mumkin: C = A B matritsaning i-qatori va j-ustunining kesishmasida turgan c i j elementi A matritsaning i-qatori va j-ustunning mos keladigan elementlarining juft koʻpaytmalari yigʻindisiga teng. B matritsasi.

Ushbu qoidani qo'llashga misol sifatida biz ikkinchi tartibli kvadrat matritsalarni ko'paytirish formulasini keltiramiz.

× =

(1.4) formuladan matritsa mahsulotining quyidagi xossalari kelib chiqadi: A matritsada IN:

1) assotsiativ mulk: (A B) C = A (B C);

2) matritsalar yig'indisiga nisbatan taqsimlovchi xususiyat:

(A + B) C = A C + B C yoki A (B + C) = A B + A C.

Matritsa mahsulotining kommutativ xususiyati haqida savol A matritsaga IN uni faqat kvadrat matritsalar uchun belgilash mantiqan A va B bir xil tartib.

O'rin almashish xususiyati ham to'g'ri bo'lgan matritsalarning muhim maxsus holatlarini keltiraylik. Mahsuloti kommutatsiya xususiyatiga ega boʻlgan ikkita matritsa odatda kommutatsiya deb ataladi.

Kvadrat matritsalar orasida biz diagonal matritsalar deb ataladigan sinfni ajratib ko'rsatamiz, ularning har biri nolga teng asosiy diagonaldan tashqarida joylashgan elementlarga ega. Tartibning har bir diagonal matritsasi P kabi ko'rinadi

D= (1.5)

Qayerda d 1, d 2,… ,dn- har qanday raqamlar. Ko'rish oson, agar bu raqamlarning barchasi bir-biriga teng bo'lsa, ya'ni. d 1 = d 2 =… = d n keyin har qanday kvadrat matritsa uchun A buyurtma P tenglik haqiqatdir A D = D A.

Barcha diagonal matritsalar orasida (1.5) mos keladigan elementlar bilan d 1 = d 2 =… = dn= = d Ikki matritsa ayniqsa muhim rol o'ynaydi. Ushbu matritsalarning birinchisi tomonidan olinadi d = 1, identifikatsiya matritsasi deb ataladi n E. Ikkinchi matritsa qachon olinadi d = 0, nol matritsa deb ataladi n-chi tartib va ​​belgi bilan belgilanadi O. Shunday qilib,

E= O=

Yuqorida isbotlangan narsalar tufayli A E = E A Va A O = O A. Bundan tashqari, buni ko'rsatish oson

A E = E A = A, A O = O A = 0. (1.6)

Formulalarning birinchisi (1.6) identifikatsiya matritsasining alohida rolini tavsiflaydi E, haqiqiy sonlarni ko'paytirishda 1 raqamining roliga o'xshash. Nolinchi matritsaning alohida roliga kelsak HAQIDA, u holda u (1.7) formulalarning ikkinchisi bilan emas, balki elementar tekshiriladigan tenglik orqali ham aniqlanadi.

A + 0 = 0 + A = A.

Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, nol matritsa tushunchasi kvadrat bo'lmagan matritsalar uchun ham kiritilishi mumkin (nol deyiladi. har qanday matritsa, uning barcha elementlari nolga teng).

Blok matritsalari

Aytaylik, qandaydir matritsa A = || a ij || gorizontal va vertikal chiziqlar yordamida u alohida to'rtburchaklar hujayralarga bo'linadi, ularning har biri kichikroq o'lchamdagi matritsa bo'lib, asl matritsaning bloki deb ataladi. Bunday holda, asl matritsani ko'rib chiqish mumkin bo'ladi A ba'zi yangi (blok deb ataladigan) matritsa sifatida A = || a a b ||, uning elementlari ko'rsatilgan bloklardir. Biz bu elementlarni katta harf bilan belgilaymiz, ular umuman raqamlar emas, balki matritsalar va (oddiy raqamli elementlar kabi) biz ikkita indeksni beramiz, birinchisi "blok" qatorining sonini, ikkinchisi esa - "blok" » ustunining raqami.

Masalan, matritsa

blok matritsasi sifatida qaralishi mumkin

Elementlari quyidagi bloklardan iborat:

Ajablanarlisi shundaki, blok matritsalari bilan asosiy operatsiyalar oddiy raqamli matritsalar bilan bajariladigan bir xil qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi, faqat bloklar element sifatida ishlaydi.

Determinant tushunchasi.

Har qanday tartibli ixtiyoriy kvadrat matritsani ko'rib chiqing P:

A= (1.7)

Har bir bunday matritsa bilan biz ushbu matritsaga mos keladigan aniqlangan, aniqlovchi deb ataladigan raqamli xarakteristikani bog'laymiz.

Buyurtma bo'lsa n(1.7) matritsa bittaga teng bo'lsa, bu matritsa bitta elementdan iborat va men j bunday matritsaga mos keladigan birinchi tartibli determinant, biz ushbu elementning qiymatini chaqiramiz.

u holda bunday matritsaga mos keladigan ikkinchi tartibli determinant ga teng bo'ladi a 11 dan 22 gacha - 12 dan 21 gacha va belgilardan biri bilan belgilanadi:

Shunday qilib, ta'rifga ko'ra

(1.9)

Formula (1.9) mos matritsaning elementlaridan ikkinchi tartibli determinantni qurish qoidasi. Ushbu qoidaning og'zaki formulasi quyidagicha: (1.8) matritsaga mos keladigan ikkinchi tartibli determinant ushbu matritsaning asosiy diagonalidagi elementlarning ko'paytmasi bilan uning ikkilamchi diagonalidagi elementlarning mahsuloti o'rtasidagi farqga teng. Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishda ikkinchi va undan yuqori darajali aniqlovchilardan keng foydalaniladi.

Keling, ular qanday bajarilishini ko'rib chiqaylik MathCad tizimida matritsalar bilan amallar . Matritsa algebrasining eng oddiy amallari MathCad dasturida operatorlar shaklida amalga oshiriladi. Operatorlarning yozilishi ma'no jihatidan ularning matematik harakatlariga imkon qadar yaqin. Har bir operator tegishli belgi bilan ifodalanadi. MathCad 2001 da matritsa va vektor amallarini ko'rib chiqamiz. Vektorlar o'lchamli matritsalarning maxsus holatidir. n x 1, shuning uchun matritsalar bilan bir xil amallar ular uchun amal qiladi, agar cheklovlar aniq ko'rsatilmagan bo'lsa (masalan, ba'zi amallar faqat kvadrat matritsalar uchun amal qiladi) n x n). Ba'zi harakatlar faqat vektorlar uchun amal qiladi (masalan, skalyar ko'paytma), ba'zilari esa bir xil yozilishiga qaramay, vektorlar va matritsalarda boshqacha ishlaydi.

q OK tugmasini bosgandan so'ng matritsa elementlarini kiritish maydoni ochiladi. Matritsa elementini kiritish uchun kursorni belgilangan joyga qo'ying va klaviaturadan raqam yoki ifodani kiriting.

Asboblar paneli yordamida har qanday operatsiyani bajarish uchun sizga kerak:

q matritsani tanlang va paneldagi operatsiya tugmasini bosing,

q yoki paneldagi tugmani bosing va belgilangan joyga matritsa nomini kiriting.

"Rimzlar" menyusi uchta operatsiyani o'z ichiga oladi - ko‘chirish, inversiya, aniqlovchi.

Bu, masalan, buyruqni bajarish orqali matritsaning determinantini hisoblashingiz mumkinligini anglatadi Belgilar/matritsalar/aniqlovchi.

MathCAD ORIGIN o'zgaruvchisida matritsaning birinchi qatori (va birinchi ustuni) raqamini saqlaydi. Odatiy bo'lib, hisoblash noldan boshlanadi. Matematik yozuvda 1 dan sanash keng tarqalgan. MathCAD qator va ustun raqamlarini 1 dan sanash uchun ORIGIN:=1 o‘zgaruvchining qiymatini belgilash kerak.

Chiziqli algebra masalalari bilan ishlash uchun mo'ljallangan funksiyalar "Vektorlar va matritsalar" bo'limida "Funktsiyani qo'shish" dialog oynasida to'plangan (u "Standart" panelidagi tugma orqali chaqirilishini eslatib o'tamiz). Ushbu funktsiyalarning asosiylari keyinroq tavsiflanadi.

Transpoze qilish

Tegishli ma'lumotlar.

Matritsa - bu ba'zi matematik ob'ektlar bilan to'ldirilgan to'rtburchaklar jadval. Ko'pincha biz ba'zi bir sohaning elementlari bo'lgan matritsalarni ko'rib chiqamiz, garchi matritsalar elementlari assotsiativ (albatta kommutativ emas) halqaning elementlari deb hisoblansa, ko'plab takliflar o'z kuchini saqlab qoladi.

Ko'pincha matritsa elementlari bitta harf va elementning "manzilini" ko'rsatadigan ikkita indeks bilan belgilanadi - birinchi indeks elementni o'z ichiga olgan qatorning raqamini, ikkinchisi - ustun raqamini beradi. Shunday qilib, matritsa (o'lchamlar) shaklda yoziladi

Raqamlardan kiritilgan matritsalar chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqishda tabiiy ravishda paydo bo'ladi

Ushbu muammo uchun kirish ma'lumotlari tabiiy ravishda matritsani tashkil etuvchi koeffitsientlar to'plamidir

va faqat bitta ustunli matritsani tashkil etuvchi erkin a'zolar to'plami. Biz izlayotgan narsa noma'lum qiymatlar to'plami bo'lib, ular ma'lum bo'lishicha, bitta ustundan iborat matritsa sifatida ham qulay tarzda ifodalanishi mumkin.

Diagonal matritsalar muhim rol o'ynaydi. Bu nom asosiy diagonalning elementlari, ya'ni pozitsiyalardagi elementlardan tashqari barcha elementlari nolga teng bo'lgan kvadrat matritsalarga ishora qiladi.

Diagonal elementlari bo'lgan D diagonali matritsasi belgilanadi

A matritsasining bir nechta tanlangan qatorlari va bir nechta tanlangan ustunlar kesishmasida joylashgan elementlardan tashkil topgan matritsa A matritsasi uchun submatritsa deyiladi. Agar tanlangan satrlar soni va tanlangan ustunlar soni bo‘lsa, unda mos keladigan kichik matritsa bo‘ladi.

Xususan, matritsaning satr va ustunlarini uning submatritsalari deb hisoblash mumkin.

Matritsalar o'zgaruvchilarni chiziqli almashtirish (chiziqli o'zgartirish) bilan tabiiy tarzda bog'langan. Bu nom o'zgaruvchilarning dastlabki tizimidan formulalar bilan bog'liq bo'lgan boshqa, yangisiga o'tishni anglatadi.

O'zgaruvchilarni chiziqli almashtirish koeffitsient matritsasi yordamida aniqlanadi

Chiziqli tenglamalar tizimlari orasida tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng bo'lgan tizimlar eng katta ahamiyatga ega. O'zgaruvchilarning chiziqli almashtirishlari orasida asosiy rolni asl va yangi o'zgaruvchilar soni bir xil bo'lgan almashtirishlar o'ynaydi. Bunday hollarda koeffitsient matritsasi kvadratga aylanadi, ya'ni qatorlar va ustunlar soni bir xil bo'ladi; bu raqam kvadrat matritsaning tartibi deb ataladi.

"Bir satrdan iborat matritsa" va "bir ustundan iborat matritsa" deyish o'rniga ular qisqacha aytadilar: qator, ustun.

Matritsalar. Matritsalar ustida amallar. Matritsalar ustida amallarning xossalari. Matritsalar turlari.

Matritsalar (va shunga mos ravishda matematik bo'lim - matritsa algebrasi) amaliy matematikada muhim ahamiyatga ega, chunki ular ob'ektlar va jarayonlarning matematik modellarining muhim qismini juda oddiy shaklda yozishga imkon beradi. "Matritsa" atamasi 1850 yilda paydo bo'lgan. Matritsalar haqida birinchi marta qadimgi Xitoyda, keyinroq arab matematiklari tomonidan tilga olingan.

Matritsa A=A mn m*n tartibi deyiladi m - qatorlar va n - ustunlarni o'z ichiga olgan to'rtburchaklar jadvali.

Matritsa elementlari aij, buning uchun i=j diagonal va shakl deb ataladi asosiy diagonal.

Kvadrat matritsa (m=n) uchun bosh diagonal a 11, a 22,..., a nn elementlaridan hosil bo‘ladi.

Matritsa tengligi.

A=B, agar matritsa buyurtma qilsa A Va B bir xil va a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Matritsalar ustida amallar.

1. Matritsalarni qo'shish - elementlar bo'yicha operatsiya

2. Matritsalarni ayirish - elementlar bo'yicha amal

3. Matritsa va sonning ko‘paytmasi element bo‘yicha amaldir

4. Ko‘paytirish A*B matritsalar qoidaga muvofiq qatordan ustunga(A matritsa ustunlari soni B matritsasining qatorlari soniga teng bo'lishi kerak)

A mk *B kn =C mn va har bir element ij bilan matritsalar Cmn A matritsasining i-qatori elementlarining B matritsasining j-ustunining mos keladigan elementlariga koʻpaytmalari yigʻindisiga teng, yaʼni.

Keling, misol yordamida matritsalarni ko'paytirish amalini ko'rsatamiz

5. Ko‘rsatkich ko‘rsatkichi

m>1 musbat butun sondir. A - kvadrat matritsa (m=n) ya'ni. faqat kvadrat matritsalar uchun tegishli

6. A transpozitsiya matritsasi. Ko‘chirilgan matritsa A T yoki A bilan belgilanadi.

Qator va ustunlar almashtirildi

Misol

Matritsalar ustida amallarning xossalari

(A+B)+C=A+(B+C)

l(A+B)=lA+lB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

l(AB)=(lA)B=A(lB)

A(BC)=(AB)C

(lA)"=l(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Matritsalar turlari

1. To'rtburchaklar: m Va n- ixtiyoriy musbat butun sonlar

2. Kvadrat: m=n

3. Matritsa qatori: m=1. Masalan, (1 3 5 7) - ko'pgina amaliy masalalarda bunday matritsa vektor deb ataladi.

4. Matritsa ustuni: n=1. Masalan

5. Diagonal matritsa: m=n Va a ij =0, Agar i≠j. Masalan

6. Identifikatsiya matritsasi: m=n Va

7. Nol matritsa: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Uchburchak matritsa: asosiy diagonal ostidagi barcha elementlar 0 ga teng.

9. Simmetrik matritsa: m=n Va a ij =a ji(ya'ni, teng elementlar asosiy diagonalga nisbatan nosimmetrik joylarda joylashgan) va shuning uchun A"=A

Masalan,

10. Skew-simmetrik matritsa: m=n Va a ij =-a ji(ya'ni, qarama-qarshi elementlar asosiy diagonalga nisbatan nosimmetrik joylarda joylashgan). Shunday qilib, asosiy diagonalda nollar mavjud (qachondan beri i=j bizda ... bor a ii =-a ii)

Aniq, A"=-A

11. Ermit matritsasi: m=n Va a ii =-ã ii (ã ji- murakkab - konjugatsiya a ji, ya'ni. Agar A=3+2i, keyin murakkab konjugat Ã=3-2i)

Ko'rsatmalar. Onlayn yechim uchun siz matritsa ifodasini ko'rsatishingiz kerak. Ikkinchi bosqichda matritsalarning o'lchamini aniqlashtirish kerak bo'ladi. Amaldagi amallar: ko'paytirish (*), qo'shish (+), ayirish (-), teskari matritsa A^(-1), darajaga ko'tarish (A^2, B^3), matritsa transpozitsiyasi (A^T).

Amaldagi amallar: ko'paytirish (*), qo'shish (+), ayirish (-), teskari matritsa A^(-1), darajaga ko'tarish (A^2, B^3), matritsa transpozitsiyasi (A^T).
Amallar ro'yxatini bajarish uchun nuqta-vergul (;) ajratgichdan foydalaning. Masalan, uchta operatsiyani bajarish uchun:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
uni quyidagicha yozishingiz kerak bo'ladi: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Matritsa - bu m satr va n ta ustundan iborat to'rtburchaklar raqamli jadval, shuning uchun matritsa sxematik ravishda to'rtburchaklar shaklida ko'rsatilishi mumkin.
Nol matritsa (nol matritsa) barcha elementlari nolga teng va 0 bilan belgilanadigan matritsadir.
Identifikatsiya matritsasi shaklning kvadrat matritsasi deyiladi

Keling, aniqlaymiz matritsalar ustidagi asosiy amallar.

Matritsa qo'shilishi

6-misol. .
Matritsalarni qo'shish amali har qanday sonli atamalar holatiga taalluqlidir. Shubhasiz A+0=A.
Yana bir bor ta'kidlaymizki, faqat bir xil o'lchamdagi matritsalar qo'shilishi mumkin; Turli o'lchamdagi matritsalar uchun qo'shish amali aniqlanmagan.

Matritsalarni ayirish

Matritsalarni ko'paytirish

Ta'rif. Ikki matritsa A=||a i k || bo'lsin (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) va B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p) va A ustunlari soni B satrlar soniga teng. A va B ko‘paytmasi C=||c i k || matritsa bo‘lib, uning elementlari formula bo‘yicha topiladi. .
C=A·B bilan belgilanadi.
Sxematik ravishda matritsalarni ko'paytirish amalini quyidagicha tasvirlash mumkin:

va mahsulotdagi elementni hisoblash qoidasi:

Yana bir bor ta'kidlaymizki, A·B mahsuloti, agar birinchi omilning ustunlari soni ikkinchisining qatorlari soniga teng bo'lsa va mahsulot qatorlar soni teng bo'lgan matritsa hosil qilsagina mantiqiy bo'ladi. birinchi omil qatorlari soni va ustunlar soni ikkinchi ustunlar soniga teng. Maxsus onlayn kalkulyator yordamida ko'paytirish natijasini tekshirishingiz mumkin.

7-misol. Berilgan matritsalar Va . C = A·B va D = B·A matritsalarini toping.
Yechim. Avvalo, A·B mahsuloti mavjudligiga e'tibor bering, chunki A ustunlari soni B qatorlari soniga teng.

8-misol. Matritsa berilgan . 3A 2 – 2A ni toping.
Yechim.

.
; .
.
Keling, quyidagi qiziqarli faktga e'tibor qaratamiz.
Ma'lumki, nolga teng bo'lmagan ikkita sonning ko'paytmasi nolga teng emas. Matritsalar uchun shunga o'xshash holat yuzaga kelmasligi mumkin, ya'ni nolga teng bo'lmagan matritsalarning mahsuloti nol matritsaga teng bo'lishi mumkin.