Cheksiz katta funktsiyaning ta'rifi. Cheksiz katta ketma-ketlikning ta'rifi: cheksiz katta va ularning xossalari

Nuqtadagi cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalarning ta’riflari va xossalari. Xususiyat va teoremalarning isbotlari. Cheksiz kichik va cheksiz katta funktsiyalar o'rtasidagi bog'liqlik.

Tarkib

Shuningdek qarang: Infinitesimal ketma-ketliklar - ta'rifi va xususiyatlari
Cheksiz katta ketma-ketliklarning xossalari

Cheksiz va cheksiz kichik funksiyalarning ta’rifi

X bo'lsin 0 chekli yoki cheksiz nuqta: ∞, -∞ yoki +∞.

Cheksiz kichik funktsiyaning ta'rifi
Funktsiya a (x) chaqirdi cheksiz kichik chunki x x ga intiladi 0 0 , va u nolga teng:
.

Cheksiz katta funktsiyaning ta'rifi
Funktsiya f (x) chaqirdi cheksiz katta chunki x x ga intiladi 0 , agar funktsiya x → x kabi chegaraga ega bo'lsa 0 , va u cheksizlikka teng:
.

Cheksiz kichik funksiyalarning xossalari

Cheksiz kichik funksiyalar yig‘indisi, ayirmasi va mahsulotining xossasi

Yig'indi, farq va mahsulot x → x kabi cheksiz sonli cheksiz funksiyalar 0 x → x kabi cheksiz kichik funktsiyadir 0 .

Bu xususiyat funksiya chegaralarining arifmetik xossalarining bevosita natijasidir.

Cheklangan funksiya va cheksiz kichik ko‘paytmasi haqidagi teorema

Chegaralangan funksiya mahsuloti x nuqtasining ba'zi teshilgan mahallasida 0 , cheksiz kichikga, x → x kabi 0 , x → x kabi cheksiz kichik funktsiyadir 0 .

Funksiyani doimiy va cheksiz kichik funksiyalar yig‘indisi sifatida ifodalash xossasi

f funktsiyasi uchun (x) cheklangan chegarasi bor edi, bu zarur va yetarlidir
,
bu yerda cheksiz kichik funksiya x → x 0 .

Cheksiz katta funksiyalarning xossalari

Chegaralangan funksiya va cheksiz kattalik yig‘indisi haqidagi teorema

X nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisidagi chegaralangan funksiyaning yig'indisi yoki farqi 0 , va cheksiz katta funksiya x → x kabi 0 , x → x kabi cheksiz katta funksiyadir 0 .

Chegaralangan funktsiyani cheksiz kattaga bo'lish teoremasi

Agar funktsiya f (x) x → x kabi cheksiz katta 0 , va g funksiyasi (x)- x nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisi bilan chegaralangan 0 , Bu
.

Pastda cheksiz kichik bilan chegaralangan funksiyaning bo‘linishi haqidagi teorema

Agar funktsiya nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisida pastdan mutlaq qiymatdagi musbat son bilan chegaralangan bo'lsa:
,
funksiya esa x → x kabi cheksiz kichikdir 0 :
,
va nuqtaning teshilgan mahallasi bor, unda , keyin
.

Cheksiz katta funksiyalarning tengsizliklari xossasi

Agar funktsiya cheksiz katta bo'lsa:
,
va funksiyalari nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisida tengsizlikni qanoatlantiradi:
,
u holda funksiya ham cheksiz katta:
.

Bu mulkda ikkita maxsus holat mavjud.

Nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisida funksiyalar va tengsizlik qanoatlantirilsin:
.
Keyin agar , keyin va .
Agar , keyin va.

Cheksiz katta va cheksiz kichik funktsiyalar o'rtasidagi bog'liqlik

Oldingi ikkita xususiyatdan cheksiz katta va cheksiz kichik funktsiyalar o'rtasidagi bog'liqlik kelib chiqadi.

Agar funktsiya da cheksiz katta bo'lsa, u holda funksiya cheksiz kichik bo'ladi.

Agar funktsiya va uchun cheksiz kichik bo'lsa, u holda funktsiya uchun cheksiz katta bo'ladi.

Cheksiz kichik va cheksiz katta funktsiya o'rtasidagi munosabat ramziy ravishda ifodalanishi mumkin:
, .

Agar cheksiz kichik funktsiya ning ma'lum bir belgisiga ega bo'lsa, ya'ni nuqtaning biron bir teshilgan qo'shnisida ijobiy (yoki salbiy) bo'lsa, uni quyidagicha yozishimiz mumkin:
.
Xuddi shu tarzda, agar cheksiz katta funktsiyaning ma'lum bir belgisi bo'lsa, ular yozadilar:
, yoki .

Shunda cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar o‘rtasidagi ramziy bog‘lanishni quyidagi munosabatlar bilan to‘ldirish mumkin:
, ,
, .

Cheksizlik belgilari bilan bog'liq qo'shimcha formulalarni sahifada topish mumkin
“Cheksizlikdagi nuqtalar va ularning xossalari”.

Xususiyat va teoremalarni isbotlash

Chegaralangan funksiya va cheksiz kichik ko‘paytma haqidagi teoremani isbotlash

Ushbu teoremani isbotlash uchun biz dan foydalanamiz. Biz cheksiz kichik ketma-ketliklar xususiyatidan ham foydalanamiz, unga ko'ra

Funktsiya cheksiz kichik bo'lsin va funktsiya nuqtaning biron bir teshilgan qo'shnisida chegaralangan bo'lsin:
da .

Chegara mavjud bo'lganligi sababli, funktsiya aniqlangan nuqtaning teshilgan qo'shnisi mavjud. Mahallalarning kesishmasi bo'lsin va . Unda funksiyalar va aniqlanadi.


.
,
ketma-ketlik cheksiz kichikdir:
.

Chegaralangan ketma-ketlik va cheksiz kichik ketma-ketlikning mahsuloti cheksiz kichik ketma-ketlik ekanligidan foydalanamiz:
.
.

Teorema isbotlangan.

Funksiyani doimiy va cheksiz kichik funksiyalar yig‘indisi sifatida ifodalash xossasini isbotlash

Zaruriyat. Funksiya nuqtada chekli chegaraga ega bo'lsin
.
Funktsiyani ko'rib chiqing:
.
Funktsiyalar farqining chegarasi xususiyatidan foydalanib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
.
Ya'ni da cheksiz kichik funksiya mavjud.

Adekvatlik. Tinch qo'y, hamma narsa o'z holidagiday qo'sin; shunday bo'lsin. Funktsiyalar yig'indisining limiti xossasini qo'llaymiz:
.

Mulk isbotlangan.

Chegaralangan funksiya va cheksiz kattalik yig‘indisi haqidagi teoremani isbotlash

Teoremani isbotlash uchun Geynning funksiya chegarasi ta’rifidan foydalanamiz


da .

Chegara mavjud bo'lganligi sababli, funktsiya aniqlangan nuqtaning teshilgan qo'shnisi mavjud. Mahallalarning kesishmasi bo'lsin va . Unda funksiyalar va aniqlanadi.

Elementlari mahallaga tegishli bo'lgan ga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik bo'lsin:
.
Keyin ketma-ketliklar va aniqlanadi. Bundan tashqari, ketma-ketlik cheklangan:
,
ketma-ketlik cheksiz katta:
.

Cheklangan ketma-ketlikning yig'indisi yoki farqi va cheksiz kattaligi sababli
.
Keyin, Geyne bo'yicha ketma-ketlik chegarasining ta'rifiga ko'ra,
.

Teorema isbotlangan.

Chegaralangan funktsiyani cheksiz kattaga bo'lish qismi haqidagi teoremani isbotlash

Buni isbotlash uchun Geynening funksiya chegarasi ta’rifidan foydalanamiz. Biz cheksiz katta ketma-ketliklar xususiyatidan ham foydalanamiz, unga ko'ra cheksiz kichik ketma-ketlikdir.

Funktsiya cheksiz katta bo'lsin va funktsiya nuqtaning biron bir teshilgan qo'shnisida chegaralangan bo'lsin:
da .

Funktsiya cheksiz katta bo'lganligi sababli, u aniqlangan va yo'qolmaydigan nuqtaning teshilgan qo'shnisi mavjud:
da .
Mahallalarning kesishmasi bo'lsin va . Unda funksiyalar va aniqlanadi.

Elementlari mahallaga tegishli bo'lgan ga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik bo'lsin:
.
Keyin ketma-ketliklar va aniqlanadi. Bundan tashqari, ketma-ketlik cheklangan:
,
ketma-ketlik noldan farqli hadlar bilan cheksiz katta:
, .

Cheklangan ketma-ketlikni cheksiz kattaga bo'lish qismi cheksiz kichik ketma-ketlik bo'lgani uchun, u holda
.
Keyin, Geyne bo'yicha ketma-ketlik chegarasining ta'rifiga ko'ra,
.

Teorema isbotlangan.

Pastda chegaralangan funksiyani cheksiz kichikga bo‘lish uchun bo‘linmalar teoremasining isboti.

Bu xususiyatni isbotlash uchun Geynening funksiya chegarasi ta’rifidan foydalanamiz. Biz cheksiz katta ketma-ketliklar xususiyatidan ham foydalanamiz, unga ko'ra cheksiz katta ketma-ketlikdir.

Funktsiya uchun cheksiz kichik bo'lsin va funktsiya nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisida pastdan mutlaq qiymatda musbat son bilan chegaralansin:
da .

Shartga ko'ra, funktsiya aniqlangan va yo'qolmaydigan nuqtaning teshilgan qo'shnisi mavjud:
da .
Mahallalarning kesishmasi bo'lsin va . Unda funksiyalar va aniqlanadi. Bundan tashqari, va.

Elementlari mahallaga tegishli bo'lgan ga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik bo'lsin:
.
Keyin ketma-ketliklar va aniqlanadi. Bundan tashqari, ketma-ketlik quyida chegaralangan:
,
va ketma-ketlik nolga teng bo'lmagan hadlar bilan cheksiz kichikdir:
, .

Pastdan chegaralangan ketma-ketlikni cheksiz kichikga bo'lish qismi cheksiz katta ketma-ketlik bo'lgani uchun, u holda
.
Va qaysi nuqtaning teshilgan mahallasi bo'lsin
da .

ga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlikni olaylik. Keyin, N sonidan boshlab, ketma-ketlik elementlari ushbu mahallaga tegishli bo'ladi:
da .
Keyin
da .

Geyne bo'yicha funktsiya chegarasining ta'rifiga ko'ra,
.
Keyin, cheksiz katta ketma-ketliklarning tengsizliklari xususiyatiga ko'ra,
.
Ketma-ketlik ixtiyoriy bo'lganligi sababli, Geynega ko'ra funktsiya chegarasining ta'rifi bilan - ga yaqinlashadi.
.

Mulk isbotlangan.

Adabiyotlar:
L.D. Kudryavtsev. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 2003 yil.

Shuningdek qarang:

Cheksiz kichik funktsiyalar

%%f(x)%% funksiyasi chaqiriladi cheksiz kichik(b.m.) %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%% bilan, agar argumentning bu tendentsiyasi bilan funksiya chegarasi nolga teng bo'lsa.

b.m. haqida tushuncha. funktsiya o'z argumentini o'zgartirish bo'yicha ko'rsatmalar bilan uzviy bog'liqdir. Biz b.m haqida gapirishimiz mumkin. funksiyalari %%a \to a + 0%% va %%a \to a - 0%% gacha. Odatda b.m. funksiyalar yunon alifbosining birinchi harflari bilan belgilanadi %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Misollar

  1. %%f(x) = x%% funksiyasi b.m. da %%x \to 0%%, chunki uning %%a = 0%% nuqtasidagi chegarasi nolga teng. Ikki tomonlama chegara va bir tomonlama chegara o'rtasidagi bog'liqlik haqidagi teoremaga ko'ra, bu funktsiya b.m. ham %%x \to +0%% va %%x \to -0%% bilan.
  2. Funktsiya %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. %%x \to \infty%% da (shuningdek, %%x \to +\infty%% va %%x \to -\infty%% da).

Noldan boshqa doimiy son, mutlaq qiymati qanchalik kichik bo'lmasin, b.m emas. funktsiyasi. Doimiy sonlar uchun yagona istisno nolga teng, chunki %%f(x) \equiv 0%% funksiyasi nol chegarasiga ega.

Teorema

%%f(x)%% funksiyasi kengaytirilgan raqamlar qatorining %%a \in \overline(\mathbb(R))%% nuqtasida, agar va faqat bo‘lsa, %%b%% soniga teng yakuniy chegaraga ega. agar bu funktsiya ushbu raqamning yig'indisiga teng bo'lsa %%b%% va b.m. %%\alpha(x)%% funksiyalari %%x \to a%% yoki $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R) bilan ) \Chapga o'q \left(f(x) = b + \alfa(x)\o'ng) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alfa(x) = 0)\o'ng). $$

Cheksiz kichik funksiyalarning xossalari

%%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%% bilan chegaraga o'tish qoidalariga ko'ra, quyidagi bayonotlar keladi:

  1. Yakuniy sonning yig'indisi b.m. %%x \to a%% uchun funksiyalar b.m. %%x \to a%% da.
  2. Har qanday sonning hosilasi b.m. %%x \to a%% uchun funksiyalar b.m. %%x \to a%% da.

    3. Mahsulot b.m. %%x \to a%% da funksiyalar va ba'zi bir teshilgan mahallada chegaralangan funksiya %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% a nuqtada b.m. da %%x \to a%% funktsiyasi.

    Ko'rinib turibdiki, doimiy funktsiyaning mahsuloti va b.m. %%x \to a%% da b.m. %%x \to a%% da funksiya.

Ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar

%%\alpha(x), \beta(x)%% %%x \to a%% uchun cheksiz kichik funksiyalar deyiladi. ekvivalent va agar, %%\alpha(x) \sim \beta(x)%% yozing

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x)) )(\alfa(x))) = 1. $$

b.m.ni almashtirish haqidagi teorema. funksiyalar ekvivalenti

%%\alfa(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% b.m bo'lsin. %%x \to a%% uchun funktsiyalar, %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, keyin $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ limits_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Ekvivalent b.m. funktsiyalari.

%%\alfa(x)%% b.m bo'lsin. %%x \to a%% da funksiyasi, keyin

  1. %%\sin(\alfa(x)) \sim \alfa(x)%%
  2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
  3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
  4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
  5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
  6. %%\ln(1 + \alfa(x)) \sim \alfa(x)%%
  7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
  8. %%\displaystyle a^(\alfa(x)) - 1 \sim \alfa(x) \ln(a)%%

Misol

$$ \begin(massiv)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1))))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to) 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(massiv) $$

Cheksiz katta funksiyalar

%%f(x)%% funksiyasi chaqiriladi cheksiz katta(b.b.) %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%% bilan, agar argumentning bu tendentsiyasi bilan funksiya cheksiz chegaraga ega bo'lsa.

Xuddi b.m. funktsiyalar tushunchasi b.b. funktsiya o'z argumentini o'zgartirish bo'yicha ko'rsatmalar bilan uzviy bog'liqdir. Biz b.b haqida gapirishimiz mumkin. %%x \to a + 0%% va %%x \to a - 0%% uchun funksiyalar. "Cheksiz katta" atamasi funktsiyaning mutlaq qiymati haqida emas, balki uning ko'rib chiqilayotgan nuqta yaqinidagi o'zgarishi tabiati haqida gapiradi. Hech qanday doimiy son, mutlaq qiymati qanchalik katta bo'lmasin, cheksiz katta emas.

Misollar

  1. Funktsiya %%f(x) = 1/x%% - b.b. %%x \to 0%% gacha.
  2. Funktsiya %%f(x) = x%% - b.b. %%x \to \infty%% da.

Agar aniqlash shartlari $$ \begin(massiv)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)(f() x)) = -\infty, \end(massiv) $$

keyin ular haqida gapirishadi ijobiy yoki salbiy b.b. %%a%% funktsiyasida.

Misol

Funktsiya %%1/(x^2)%% - ijobiy b.b. %%x \to 0%% gacha.

b.b. oʻrtasidagi bogʻliqlik. va b.m. funktsiyalari

%%f(x)%% bo'lsa b.b. %%x \to a%% funktsiyasi bilan, keyin %%1/f(x)%% - b.m.

%%x \to a%% da. Agar %%\alfa(x)%% - b.m. %%x \to a%% uchun %%a%% nuqtaning ba'zi teshilgan qo'shnisida nolga teng bo'lmagan funksiya, keyin %%1/\alfa(x)%% b.b. %%x \to a%% da.

Cheksiz katta funksiyalarning xossalari

Keling, b.b.ning bir qancha xususiyatlarini keltiramiz. funktsiyalari. Bu xususiyatlar to'g'ridan-to'g'ri b.b ta'rifidan kelib chiqadi. chekli chegaralarga ega funksiyalar va funksiyalarning xossalari, shuningdek, b.b.lar orasidagi bog‘lanish teoremasidan. va b.m. funktsiyalari.

  1. Cheklangan sonning ko'paytmasi b.b. %%x \to a%% uchun funksiyalar b.b. %%x \to a%% da funksiyasi. Haqiqatan ham, agar %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% - b.b. funktsiya %%x \to a%% da, so'ngra nuqtaning ba'zi teshilgan mahallasida %%a%% %%f_k(x) \ne 0%% va bog‘lanish teoremasi bo‘yicha b.b. va b.m. funktsiyalari %%1/f_k(x)%% - b.m. %%x \to a%% da funksiyasi. Ko'rinib turibdiki, %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% - b.m funktsiyasi %%x \to a%% va %%\displaystyle\prod^(n) )_(k = 1)f_k(x)%% - b.b. %%x \to a%% da funksiyasi.
  2. Mahsulot b.b. %%x \to a%% uchun funksiyalar va %%a%% nuqtaning ba'zi teshilgan qo'shnilarida mutlaq qiymatda musbat doimiydan katta bo'lgan funksiya b.b. %%x \to a%% da funksiya. Xususan, mahsulot b.b. %%x \to a%% bo'lgan funksiya va %%a%% nuqtada chekli nolga teng bo'lmagan chegaraga ega bo'lgan funksiya b.b bo'ladi. %%x \to a%% da funksiya.

    3. %%a%% va b.b nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisida chegaralangan funktsiya yig'indisi. %%x \to a%% bilan funksiyalar b.b. %%x \to a%% da funksiya.

    Masalan, %%x - \sin x%% va %%x + \cos x%% funktsiyalari b.b. %%x \to \infty%% da.

  3. Ikki b.b.ning yigʻindisi. %%x \to a%% da noaniqlik mavjud. Shartlar belgisiga qarab, bunday summaning o'zgarishi tabiati juda boshqacha bo'lishi mumkin.

    Misol

    %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% funksiyalar berilsin. %%x \to \infty%% da ishlaydi. Keyin:

    • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. %%x \to \infty%% da funksiya;
    • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. %%x \to \infty%% da funksiya;
    • %%h(x) + v(x) = \sin x%%, %%x \to \infty%% gacha chegarasi yo'q.

Raqamli funktsiyaning ta'rifi. Funktsiyalarni belgilash usullari.

R sonlar qatoridagi D to'plam bo'lsin. Agar D ga tegishli bo'lgan har bir x bitta y=f(x) son bilan bog'langan bo'lsa, u holda f funktsiya berilgan deymiz.

Funktsiyalarni belgilash usullari:

1) jadvalli - cheklangan to'plamda aniqlangan funktsiyalar uchun.

2) analitik

3) grafik

2 va 3 - cheksiz to'plamda aniqlangan funktsiyalar uchun.

Teskari funksiya haqida tushuncha.

Agar y=f(x) funksiyasi x argumentining turli qiymatlari funksiyaning turli qiymatlariga mos keladigan bo‘lsa, x o‘zgaruvchisi y o‘zgaruvchisining funksiyasi sifatida ifodalanishi mumkin: x=g(y) ). g funksiya f ga teskari funksiya deyiladi va f^(-1) bilan belgilanadi.

Murakkab funksiya haqida tushuncha.

Murakkab funktsiya argumenti boshqa har qanday funktsiya bo'lgan funktsiyadir.

f(x) va g(x) funksiyalar berilsin. Ulardan ikkita murakkab funksiya yasaymiz. f funksiyani tashqi (asosiy), g funksiyani esa ichki deb hisoblab, u(x)=f(g(x)) murakkab funksiyani olamiz.

Ketma-ketlik chegarasini aniqlash.

a soni ketma-ketlikning chegarasi (xn) deb ataladi, agar har qanday musbat uchun n0 raqami bo'lsa, undan boshlab ketma-ketlikning barcha a'zolari moduli a dan e dan kichikroq farq qilsa (ya'ni, ular e-qo'shnisiga tushadi) a nuqtasidan):

Konvergent ketma-ketliklar chegaralarini hisoblash qoidalari.

1. Har bir konvergent ketma-ketlik faqat bitta chegaraga ega. 2. Agar (x n) ketma-ketlikning barcha elementlari C ga (doimiy) teng bo'lsa, u holda ketma-ketlikning chegarasi (x n) ham C ga teng bo'ladi. 3. ; 4. ; 5. .

Cheklangan ketma-ketlikning ta'rifi.

Agar X=(x n) sonlar to‘plami chegaralangan bo‘lsa (x n) ketma-ketlik chegaralangan deb ataladi: .

Cheksiz kichik ketma-ketlikning ta'rifi.

Ketma-ketlik (x n) cheksiz kichik deyiladi, agar har qanday (qanchalik kichik bo'lmasin) >0 uchun n 0 soni shunday bo'lsa, har qanday n>n 0 uchun |x n |< .

Cheksiz katta ketma-ketlikning ta'rifi.

Agar biron-bir (qanchalik katta bo'lishidan qat'iy nazar) A>0 soni uchun har bir n>n 0 soni uchun |x n |>A tengsizlik bajariladigan n 0 soni bo'lsa, ketma-ketlik cheksiz katta deyiladi.

Monotonik ketma-ketliklarning ta'rifi.

Monoton ketma-ketliklar: 1) ifx n ni oshirish Barcha n uchun x n +1, 4) o'smaydi, agar barcha n uchun x n x n +1 bo'lsa.

Funksiyaning nuqtadagi chegarasini aniqlash.

y=f(x) funksiyaning x 0 (yoki x x 0) nuqtasidagi chegarasi argumentning x 0 (barchasi x n x 0) ga yaqinlashuvchi har qanday ketma-ketlik (x n) qiymatlari uchun a if raqamidir. funktsiyaning (f(x n)) qiymatlari ketma-ketligi a chegarasiga yaqinlashadi.

Cheksiz kichik funktsiyaning ta'rifi.

F-iya f(x) cheksiz kichik deyiladi, agar x→A bo'lsa.

Cheksiz katta funktsiyaning ta'rifi.

F-iya f(x) x→A uchun cheksiz katta deyiladi, agar .

Cheksiz kichiklar va kattalar hisobi

Cheksiz kichik hisob- cheksiz kichik miqdorlar bilan bajariladigan hisoblar, bunda olingan natija cheksiz kichik miqdorlar yig'indisi sifatida qaraladi. Cheksiz kichiklar hisobi zamonaviy oliy matematikaning asosini tashkil etuvchi differensial va integral hisoblar uchun umumiy tushunchadir. Cheksiz kichik miqdor tushunchasi chegara tushunchasi bilan chambarchas bog'liq.

Cheksiz kichik

Keyingi ketma-ketlik a n chaqirdi cheksiz kichik, Agar . Masalan, sonlar ketma-ketligi cheksiz kichikdir.

Funktsiya chaqiriladi nuqta yaqinida cheksiz kichik x 0 agar .

Funktsiya chaqiriladi cheksizlikda cheksiz kichik, Agar yoki .

Shuningdek, infinitesimal funksiya va uning chegarasi o'rtasidagi farq, ya'ni agar , Bu f(x) − a = α( x) , .

Cheksiz katta miqdor

Keyingi ketma-ketlik a n chaqirdi cheksiz katta, Agar .

Funktsiya chaqiriladi nuqtaga yaqin joyda cheksiz katta x 0 agar .

Funktsiya chaqiriladi cheksizlikda cheksiz katta, Agar yoki .

Barcha holatlarda tenglik huquqining cheksizligi ma'lum bir belgiga ega bo'lishini nazarda tutadi (yoki "ortiqcha" yoki "minus"). Bu, masalan, funktsiya x gunoh x da cheksiz katta emas.

Cheksiz kichik va cheksiz kattalik xossalari

Cheksiz kichik miqdorlarni solishtirish

Cheksiz kichik miqdorlarni qanday solishtirish mumkin?
Cheksiz kichik miqdorlarning nisbati noaniqlik deb ataladigan narsani hosil qiladi.

Ta'riflar

Aytaylik, bizda cheksiz kichik qiymatlar mavjud a( x) va b( x) (yoki ta'rif uchun muhim bo'lmagan, cheksiz kichik ketma-ketliklar).

Bunday chegaralarni hisoblash uchun L'Hopital qoidasidan foydalanish qulay.

Taqqoslash misollari

Foydalanish HAQIDA-simbolizm, olingan natijalarni quyidagi shaklda yozish mumkin x 5 = o(x 3). Bunday holda, quyidagi yozuvlar to'g'ri bo'ladi: 2x 2 + 6x = O(x) Va x = O(2x 2 + 6x).

Ekvivalent qiymatlar

Ta'rif

Agar bo'lsa, u holda cheksiz kichik miqdorlar a va b deyiladi ekvivalent ().
Ko'rinib turibdiki, ekvivalent miqdorlar bir xil kichiklik tartibidagi cheksiz kichik miqdorlarning alohida holatidir.

Quyidagi ekvivalentlik munosabatlari o'rinli bo'lganda: , , .

Teorema

Ikki cheksiz kichik miqdorning (nisbati) chegarasi, agar ulardan biri (yoki ikkalasi) ekvivalent miqdorga almashtirilsa, o'zgarmaydi..

Bu teorema chegaralarni topishda amaliy ahamiyatga ega (misolga qarang).

Foydalanish misoli

O'zgartirish sin 2x ekvivalent qiymat 2 x, olamiz

Tarixiy eskiz

"Cheksiz" tushunchasi qadimgi davrlarda bo'linmas atomlar tushunchasi bilan bog'liq holda muhokama qilingan, ammo klassik matematikaga kiritilmagan. U 16-asrda "bo'linmaslar usuli" paydo bo'lishi bilan yana tiklandi - o'rganilayotgan raqamni cheksiz kichik qismlarga bo'lish.

17-asrda cheksiz kichik hisobni algebralash amalga oshirildi. Ular har qanday chekli (nol bo'lmagan) kattalikdan kichik bo'lgan, lekin nolga teng bo'lmagan sonli miqdorlar sifatida aniqlana boshladi. Tahlil san'ati cheksiz kichiklarni (differensiallarni) o'z ichiga olgan munosabatni tuzish va keyin uni integrallashdan iborat edi.

Qadimgi maktab matematiklari kontseptsiyani sinab ko'rishdi cheksiz kichik qattiq tanqid. Mishel Rol yangi hisob-kitoblar " aql bovar qilmaydigan xatolar to'plami"; Volter ta'kidlaganidek, hisob - bu mavjudligini isbotlab bo'lmaydigan narsalarni hisoblash va aniq o'lchash san'ati. Hatto Gyuygens ham yuqori darajadagi differentsiallarning ma'nosini tushunmaganligini tan oldi.

Taqdirning istehzosi sifatida, asrning o'rtalarida nostandart tahlilning paydo bo'lishini ko'rib chiqish mumkin, bu esa asl nuqtai nazar - haqiqiy cheksiz kichiklar ham izchil ekanligini va tahlil qilish uchun asos sifatida foydalanish mumkinligini isbotladi.

Shuningdek qarang

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Cheksiz katta" nima ekanligini ko'ring:

    Y o'zgaruvchan kattalik cheksiz kichik X miqdorga teskari, ya'ni Y = 1/X... Katta ensiklopedik lug'at

    y o'zgaruvchisi cheksiz kichik x ning teskarisi, ya'ni y = 1/x. * * * CHEKSIZ KAT CHEKSIZ KATTA, oʻzgaruvchan Y miqdor, X cheksiz kichik miqdorga teskari, yaʼni Y = 1/X ... ensiklopedik lug'at

    Matematikada ma'lum bir o'zgarish jarayonida oldindan belgilangan har qanday raqamdan mutlaq qiymatga ega bo'lgan va katta bo'lib qoladigan o'zgaruvchan miqdor. B.ni oʻrganish b. miqdorlarni cheksiz kichiklarni o'rganish uchun kamaytirish mumkin (Qarang. ... ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

Funktsiya y=f(x) chaqirdi cheksiz kichik da x→a yoki qachon x→∞, agar yoki bo'lsa, ya'ni. cheksiz kichik funksiya - berilgan nuqtadagi chegarasi nolga teng bo'lgan funksiya.

Misollar.

1. Funktsiya f(x)=(x-1) 2 da cheksiz kichikdir x→1, chunki (rasmga qarang).

2. Funktsiya f(x)= tg x– cheksiz kichik da x→0.

3. f(x)= jurnal (1+ x) – cheksiz kichik da x→0.

4. f(x) = 1/x– cheksiz kichik da x→∞.

Keling, quyidagi muhim munosabatlarni o'rnatamiz:

Teorema. Agar funktsiya y=f(x) bilan ifodalanadi x→a doimiy sonning yig'indisi sifatida b va cheksiz kichik kattalik a(x): f (x)=b+ a(x) Bu .

Aksincha, agar , keyin f (x)=b+a(x), Qayerda a(x)– cheksiz kichik da x→a.

Isbot.

1. Gapning birinchi qismini isbotlaylik. Tenglikdan f(x)=b+a(x) kerak |f(x) – b|=| a|. Ammo beri a(x) cheksiz kichik, u holda ixtiyoriy e uchun d – nuqta qo‘shnisi bo‘ladi. a, hammaning oldida x qaysi, qadriyatlar a(x) munosabatni qondirish |a(x)|< e. Keyin |f(x) – b|< e. Va bu shuni anglatadiki.

2. Agar , u holda har qanday e uchun >0 Barcha uchun X ba'zi d dan - nuqta qo'shnisi a bo'ladi |f(x) – b|< e. Ammo belgilasak f(x) – b= a, Bu |a(x)|< e, bu shuni anglatadiki a- cheksiz kichik.

Cheksiz kichik funksiyalarning asosiy xossalarini ko'rib chiqamiz.

Teorema 1. Ikki, uch va umuman har qanday chekli sonli cheksiz kichiklarning algebraik yig‘indisi cheksiz kichik funktsiyadir.

Isbot. Keling, ikkita atama uchun dalil keltiraylik. Mayli f(x)=a(x)+b(x), qayerda va . Biz buni har qanday ixtiyoriy kichik e uchun isbotlashimiz kerak > 0 topildi δ> 0, shuning uchun x, tengsizlikni qondirish |x – a|<δ , bajarildi |f(x)|< ε.

Shunday qilib, keling, ixtiyoriy e raqamini tuzatamiz > 0. Chunki teorema shartlariga ko'ra a(x) cheksiz kichik funksiya bo'lsa, u holda shunday d 1 bo'ladi > 0, ya'ni |x – a|< d 1 bizda bor |a(x)|< ε / 2. Xuddi shunday, beri b(x) cheksiz kichik bo'lsa, u holda shunday d 2 bo'ladi > 0, ya'ni |x – a|< d 2 bizda bor | b(x)|< ε / 2.

Keling, olamiz d=min( d 1 , d2 } .Keyin punktning mahallasida a radius δ tengsizliklarning har biri qanoatlantiriladi |a(x)|< ε / 2 va | b(x)|< ε / 2. Shuning uchun, bu mahallada bo'ladi

|f(x)|=| a(x)+b(x)| ≤ |a(x)| + | b(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

bular. |f(x)|< e, bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa.

Teorema 2. Cheksiz kichik funktsiyaning mahsuloti a(x) cheklangan funksiya uchun f(x) da x→a(yoki qachon x→∞) cheksiz kichik funksiyadir.


Isbot. Funktsiyadan beri f(x) cheklangan, keyin raqam bor M Shunday qilib, barcha qadriyatlar uchun x bir nuqtaning qaysidir mahallasidan a|f(x)|≤M. Bundan tashqari, beri a(x) da cheksiz kichik funksiya hisoblanadi x→a, keyin ixtiyoriy e uchun > 0 nuqtaning qo'shnisi bor a, unda tengsizlik o'rinli bo'ladi |a(x)|< ε /M. Keyin bu kichikroq mahallalarda bizda bor | af|< ε /M= e. Va bu shuni anglatadiki af- cheksiz kichik. Bayram uchun x→∞ isbotlash xuddi shunday amalga oshiriladi.

Tasdiqlangan teoremadan kelib chiqadi:

Xulosa 1. Agar va bo'lsa, unda.

Xulosa 2. Agar c= const, keyin .

Teorema 3. Cheksiz kichik funktsiyaning nisbati a(x) har bir funktsiya uchun f(x), chegarasi noldan farq qiladigan, cheksiz kichik funktsiyadir.

Isbot. Mayli. Keyin 1 /f(x) cheklangan funksiya mavjud. Shuning uchun kasr cheksiz kichik funktsiya va cheklangan funktsiyaning mahsulotidir, ya'ni. funksiya cheksiz kichikdir.