§7. Chiziqli fazolarga misollar

Chiziqli qobiq ham deyiladi yaratiladigan pastki fazo X. Odatda belgilanadi. Shuningdek, chiziqli qobiq deyiladi ustiga cho'zilgan bir guruh X .

Xususiyatlari

Shuningdek qarang

Havolalar

Wikimedia fondi. 2010 yil.

• Jangar
• To'lov balansi

Boshqa lug'atlarda "Chiziqli qobiq" nima ekanligini ko'ring:

Chiziqli qobiq- vektor fazosi to'plamini o'z ichiga olgan barcha pastki fazolarning M kesishishi E. Bundan tashqari, Mnaz. shuningdek, A. M. I. Voitsexovskiy tomonidan yaratilgan pastki fazo ... Matematik entsiklopediya

Chiziqli qobiq vektorlari

Chiziqli qobiq vektorlari- barcha mumkin bo'lgan koeffitsientlar (a1, …, a) bilan ∑aiai vektorlarining chiziqli birikmalari to'plami ... Iqtisodiy-matematik lug'at

chiziqli qobiq vektorlari- Bu vektorlarning barcha mumkin bo'lgan koeffitsientlari (?1, …, ?n) bilan chiziqli birikmalar to'plami??iai. Mavzular Iqtisodiyot EN chiziqli korpus …

chiziqli algebra- Matematik intizom, algebraning, xususan, chiziqli tenglamalar, matritsalar va determinantlar nazariyasini, shuningdek vektor (chiziqli) fazolar nazariyasini o'z ichiga olgan bo'limi. Chiziqli munosabat “shakl munosabati: a1x1 + a2x2 + … +… … Texnik tarjimon uchun qo'llanma

Chiziqli bog'liqlik- “shakl munosabati: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, bu erda a1, a2, …, an raqamlar, ulardan kamida bittasi nolga teng; x1, x2, ..., xn - qo'shish amallari aniqlangan ma'lum matematik ob'ektlar ... Iqtisodiy-matematik lug'at

Shell- chiziqli qobiqqa qarang ... Iqtisodiy-matematik lug'at

Chiziqli bog'liqlik

Chiziqli birikma- Chiziqli fazo yoki vektor fazo chiziqli algebraning asosiy tadqiqot ob'ektidir. Mundarija 1 Ta'rif 2 Eng oddiy xususiyatlar 3 Tegishli ta'riflar va xususiyatlar ... Vikipediya

LINEAR GURUH- cheklangan o'lchamli n bo'lgan V vektor fazosining ma'lum bir K tanasi ustidagi chiziqli o'zgarishlar guruhi. V fazoda asosni tanlash chiziqli guruhni K tanasi ustidagi n darajali degenerativ bo'lmagan kvadrat matritsalar guruhi sifatida amalga oshiradi. Shunday qilib, izomorfizm o'rnatiladi ... Matematik entsiklopediya

Kitoblar

• Chiziqli algebra. Ochiq kodli ta'lim uchun darslik va seminar 1471 UAHga sotib oling (faqat Ukrainada)
• Chiziqli algebra. Akademik bakalavriat uchun darslik va amaliy mashg‘ulot Kremer N.Sh.. Ushbu darslikda matritsa normasi, bazisni to‘ldirish usuli, chiziqli fazolar izomorfizmi, chiziqli pastki fazolar, chiziqli kabi bir qator yangi tushunchalar va qo‘shimcha savollar kiritilgan. ...

Vektor fazodan vektorlar sistemasi bo'lsin V maydon ustida P.

Ta'rif 2: Chiziqli qobiq L tizimlari A sistema vektorlarining barcha chiziqli birikmalari to'plamidir A. Belgilanish L(A).

Buni har qanday ikkita tizim uchun ko'rsatish mumkin A Va B,

A orqali chiziqli ifodalanadi B agar va faqat agar. (1)

A ekvivalent B keyin va faqat qachon L(A)=L(B). (2)

Dalil avvalgi mulkdan kelib chiqadi

3 Har qanday vektorlar sistemasining chiziqli oralig'i fazoning pastki fazosidir V.

Isbot

Istalgan ikkita vektorni va dan oling L(A) dan vektorlarda quyidagi kengayishlarga ega A: . Mezonning 1) va 2) shartlarining maqsadga muvofiqligini tekshiramiz:

Chunki u tizim vektorlarining chiziqli birikmasidir A.

Chunki u ham tizim vektorlarining chiziqli birikmasidir A.

Endi matritsani ko'rib chiqamiz. Matritsa qatorlarining chiziqli oralig'i A matritsaning qator fazosi deyiladi va belgilanadi Lr(A). Matritsa ustunlarining chiziqli oralig'i A ustun fazosi deyiladi va belgilanadi Lc(A). Shuni esda tutingki, matritsaning satr va ustun bo'shlig'i qachon A turli arifmetik fazolarning pastki fazolaridir Pn Va P m mos ravishda. (2) bayonotidan foydalanib, biz quyidagi xulosaga kelishimiz mumkin:

3-teorema: Agar bitta matritsa boshqasidan elementar o'zgarishlar zanjiri orqali olingan bo'lsa, unda bunday matritsalarning qator bo'shliqlari mos keladi.

Pastki bo'shliqlar yig'indisi va kesishishi

Mayli L Va M- kosmosning ikkita pastki fazosi R.

Miqdori L+M vektorlar to'plami deyiladi x+y , Qayerda x ∈L Va y ∈M. Shubhasiz, vektorlarning har qanday chiziqli birikmasi L+M tegishli L+M, shuning uchun L+M fazoning pastki fazosidir R(bo'sh joy bilan mos kelishi mumkin R).

Ketish orqali L∩M pastki bo'shliqlar L Va M- bir vaqtning o'zida pastki fazolarga tegishli vektorlar to'plami L Va M(faqat nol vektordan iborat bo'lishi mumkin).

6.1 teorema. Ixtiyoriy pastki bo'shliqlar o'lchamlari yig'indisi L Va M chekli o'lchovli chiziqli fazo R ushbu pastki bo'shliqlar yig'indisining o'lchamiga va ushbu pastki bo'shliqlarning kesishish o'lchamiga teng:

xira L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Isbot. belgilaylik F=L+M Va G=L∩M. Mayli G g- o'lchovli pastki fazo. Keling, unda asosni tanlaylik. Chunki G⊂L Va G⊂M, shuning uchun asos G asosga qo'shilishi mumkin L va bazaga M. Pastki bo'shliqning asosi bo'lsin L va pastki fazoning asosi bo'lsin M. Keling, vektorlar ekanligini ko'rsatamiz

(6.1) asosini tashkil etadi F=L+M. Vektorlar (6.1) fazoning asosini tashkil etishi uchun F ular chiziqli mustaqil va fazoning har qanday vektori bo'lishi kerak F vektorlarning chiziqli birikmasi bilan ifodalanishi mumkin (6.1).

Vektorlarning chiziqli mustaqilligini isbotlaylik (6.1). Fazoning nol vektori bo'lsin F(6.1) vektorlarning bir necha koeffitsientli chiziqli birikmasi bilan ifodalanadi:

(6.3) ning chap tomoni pastki fazo vektoridir L, va o'ng tomoni pastki fazo vektoridir M. Shuning uchun vektor

(6.4) pastki fazoga tegishli G=L∩M. Boshqa tomondan, vektor v pastki fazoning bazis vektorlarining chiziqli birikmasi bilan ifodalanishi mumkin G:

(6.5) (6.4) va (6.5) tenglamalardan bizda:

Ammo vektorlar pastki fazoning asosidir M, shuning uchun ular chiziqli mustaqil va. Keyin (6.2) quyidagi shaklni oladi:

Pastki fazo asosining chiziqli mustaqilligi tufayli L bizda ... bor:

(6.2) tenglamadagi barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lganligi sababli vektorlar

chiziqli mustaqil. Lekin har qanday vektor z dan F(pastki bo'shliqlar yig'indisining ta'rifi bo'yicha) yig'indisi bilan ifodalanishi mumkin x+y , Qayerda x ∈ L,y ∈ M. O'z navbatida x a vektorlarning chiziqli birikmasi bilan ifodalanadi y - vektorlarning chiziqli birikmasi. Shuning uchun (6.10) vektorlar pastki fazoni keltirib chiqaradi F. Biz vektorlar (6.10) asosni tashkil qilishini aniqladik F=L+M.

Subkosmik bazalarni o'rganish L Va M va pastki fazo asosi F=L+M(6.10), bizda: xira L=g+l, xira M=g+m, xira (L+M)=g+l+m. Demak:

xira L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Pastki bo'shliqlarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi

Ta'rif 6.2. Kosmos F pastki bo'shliqlarning bevosita yig'indisini ifodalaydi L Va M, agar har bir vektor x bo'sh joy F faqat yig'indi sifatida ifodalanishi mumkin x=y+z , Qayerda y ∈L va z ∈M.

To'g'ridan-to'g'ri miqdor ko'rsatilgan L⊕M. Agar shunday deyishadi F=L⊕M, Bu F uning pastki bo'shliqlarining bevosita yig'indisiga parchalanadi L Va M.

6.2 teorema. Uchun n- o'lchovli fazo R pastki bo'shliqlarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi edi L Va M, bu kesishish uchun etarli L Va M faqat nol elementni o'z ichiga olgan va R o'lchami pastki bo'shliqlar o'lchamlari yig'indisiga teng edi L Va M.

Isbot. L kichik fazoda qandaydir bazisni va M kichik fazoda qandaydir bazis tanlaylik. Buni isbotlaylik

(6.11) makonning asosidir R. Teorema shartlariga ko'ra fazoning o'lchami Rn pastki bo'shliqlar yig'indisiga teng L Va M (n=l+m). Elementlarning chiziqli mustaqilligini isbotlash kifoya (6.11). Fazoning nol vektori bo'lsin R(6.11) vektorlarning bir necha koeffitsientli chiziqli birikmasi bilan ifodalanadi:

(6.13) Chunki (6.13) ning chap tomoni pastki fazo vektori L, va o'ng tomoni pastki fazo vektoridir M Va L∩M=0 , Bu

(6.14) Lekin vektorlar pastki fazolarning asosidir L Va M mos ravishda. Shuning uchun ular chiziqli mustaqildir. Keyin

(6.15) Aniqlanishicha, (6.12) faqat (6.15) shartdagina amal qiladi va bu (6.11) vektorlarning chiziqli mustaqilligini isbotlaydi. Shuning uchun ular asosni tashkil qiladi R.

x∈R bo'lsin. Keling, uni (6.11) asosga muvofiq kengaytiramiz:

(6.16) (6.16) dan bizda:

(6.18) (6.17) va (6.18) dan har qanday vektor kelib chiqadi. R vektorlar yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin x 1 ∈L Va x 2 ∈M. Bu vakillik noyob ekanligini isbotlash uchun qoladi. (6.17) vakillikka qo'shimcha ravishda quyidagi ko'rinish bo'lsin:

(6.19) (6.17) dan (6.19) ayirib, hosil bo'lamiz

(6.20) dan beri, va L∩M=0 , keyin va . Shuning uchun va. ■

Pastki fazolar yig'indisining o'lchami haqidagi 8.4-teorema. Agar va chekli o'lchovli chiziqli fazoning pastki fazolari bo'lsa, u holda pastki fazolar yig'indisining o'lchami ularning kesishish o'lchamisiz o'lchamlari yig'indisiga teng ( Grassman formulasi):

Darhaqiqat, kesishuvning asosi bo'lsin. Keling, uni pastki fazoning asosigacha bo'lgan tartiblangan vektorlar to'plami va pastki fazoning asosigacha bo'lgan tartiblangan vektorlar to'plami bilan to'ldiramiz. Bunday qo'shish teorema 8.2 bo'yicha mumkin. Ushbu uchta vektorlar to'plamidan tartiblangan vektorlar to'plamini yaratamiz. Keling, ushbu vektorlar fazoning generatorlari ekanligini ko'rsatamiz. Darhaqiqat, bu fazoning har qanday vektori tartiblangan to'plamdagi vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi

Demak, . Keling, generatorlarning chiziqli mustaqil ekanligini isbotlaylik va shuning uchun ular makonning asosi hisoblanadi. Haqiqatan ham, keling, ushbu vektorlarning chiziqli birikmasini tuzamiz va uni nol vektorga tenglashtiramiz: . Ushbu kengayishning barcha koeffitsientlari nolga teng: ikki chiziqli shaklga ega vektor fazosining pastki bo'shliqlari dan har bir vektorga ortogonal bo'lgan barcha vektorlar to'plamidir. Bu to'plam vektor pastki bo'shliq bo'lib, u odatda bilan belgilanadi.

Maqolada chiziqli algebra asoslari yoritilgan: chiziqli fazo, uning xossalari, bazis tushunchasi, fazo o‘lchamlari, chiziqli korpus, chiziqli fazolar va matritsalar darajasi o‘rtasidagi bog‘liqlik.

Chiziqli fazo

Bir guruh L chaqirdi chiziqli bo'shliq, agar uning barcha elementlari uchun ikkita elementni qo'shish va elementni qanoatlantiruvchi songa ko'paytirish amallari bo'lsa. I guruh Veyl aksiomalari. Chiziqli fazoning elementlari deyiladi vektorlar. Bu to'liq ta'rif; qisqacha aytganda, chiziqli fazo - bu ikki elementni qo'shish va elementni songa ko'paytirish amallari aniqlangan elementlar to'plami, deyishimiz mumkin.

Veyl aksiomalari.

Hermann Vayl geometriyada bizda ikki turdagi ob'ektlar borligini taklif qildi ( vektorlar va nuqtalar), xossalari bo'limning asosini tashkil etgan quyidagi aksiomalar bilan tavsiflanadi chiziqli algebra. Aksiomalarni 3 ta guruhga bo'lish qulay.

I guruh

1. har qanday x va y vektorlar uchun x+y=y+x tengligi bajariladi;
2. har qanday x, y va z vektorlar uchun x+(y+z)=(x+y)+z tenglik bajariladi;
3. har qanday x vektor uchun x+o=x tengligi bajariladigan o vektor mavjud;
4. har qanday vektor uchun X x+(-x)=o shunday vektor (-x) mavjud;
5. har qanday vektor uchun X 1x=x tengligi bajariladi;
6. har qanday vektorlar uchun X Va da va har qanday raqam l tengligi l( X+da)=λ X+λ da;
7. har qanday vektor uchun X va har qanday l va m raqamlari tenglik bajariladi (l+m) X=λ X+μ X;
8. har qanday vektor uchun X va har qanday sonlar l va m tenglik l(m X)=(λμ) X;

II guruh

I guruh tushunchani belgilaydi vektorlarning chiziqli birikmasi, chiziqli bog'liqlik va chiziqli mustaqillik. Bu bizga yana ikkita aksiomani shakllantirish imkonini beradi:

1. n ta chiziqli mustaqil vektor mavjud;
2. har qanday (n+1) vektorlar chiziqli bog'liqdir.

Planimetriya uchun n=2, stereometriya uchun n=3.

III guruh

Bu guruh vektor juftligini tayinlaydigan skalyar ko'paytirish amali borligini taxmin qiladi X Va da raqam ( x,y). Bunda:

1. har qanday vektorlar uchun X Va da tenglik amal qiladi ( x,y)=(y, x);
2. har qanday vektorlar uchun X , da Va z tenglik amal qiladi ( x+y,z)=(x,z)+(y, z);
3. har qanday vektorlar uchun X Va da va har qanday raqam l tenglik (l x,y)=λ( x,y);
4. har qanday x vektor uchun tengsizlik amal qiladi ( x, x)≥0 va ( x, x)=0 agar va faqat agar X=0.

Chiziqli fazoning xossalari

Chiziqli fazoning aksariyat xossalari Veyl aksiomalariga asoslanadi:

1. Vektor O, uning mavjudligi aksioma 3 tomonidan kafolatlangan, o'ziga xos tarzda aniqlanadi;
2. vektor (- X), mavjudligi aksioma 4 tomonidan kafolatlangan, o'ziga xos tarzda aniqlanadi;
3. Har qanday ikkita vektor uchun A Va b kosmosga tegishli L, faqat bitta vektor mavjud X, shuningdek, kosmosga tegishli L, bu tenglamaning yechimidir a+x=b va vektor farqi deb ataladi b-a.

Ta'rif. Kichik toʻplam L' chiziqli fazo L chaqirdi chiziqli pastki fazo bo'sh joy L, agar uning o'zi chiziqli fazo bo'lsa, unda vektorlar yig'indisi va vektor va sonning ko'paytmasi xuddi shu tarzda aniqlanadi. L.

Ta'rif. Chiziqli qobiq L(x1, x2, x3, …, xk) vektorlar x1, x2, x3, Va xk bu vektorlarning barcha chiziqli birikmalari to'plami deyiladi. Chiziqli qobiq haqida biz buni aytishimiz mumkin

-chiziqli oraliq chiziqli pastki fazodir;

- chiziqli korpus vektorlarni o'z ichiga olgan minimal chiziqli pastki fazodir x1, x2, x3, Va xk.

Ta'rif. Chiziqli fazo Veyl aksioma tizimining II guruhini qanoatlantirsa, n o'lchovli fazo deyiladi. n raqami deyiladi o'lcham chiziqli fazo va yozish dimL=n.

Asos- har qanday buyurtma tizimi n fazoning chiziqli mustaqil vektorlari. Bazisning ma’nosi shundan iboratki, bazani tashkil etuvchi vektorlar fazodagi istalgan vektorni tasvirlash uchun ishlatilishi mumkin.

Teorema. L fazodagi har qanday n ta chiziqli mustaqil vektor bazis hosil qiladi.

Izomorfizm.

Ta'rif. Chiziqli bo'shliqlar L Va L' Agar ularning elementlari o'rtasida shunday yakkama-yakka muvofiqlik o'rnatilishi mumkin bo'lsa, ular izomorf deyiladi x↔x’, Nima:

1. Agar x↔x’, y↔y’, Bu x+y↔x’+y’;
2. Agar x↔x’, keyin l x↔λ X'.

Bu yozishmalarning o'zi deyiladi izomorfizm. Izomorfizm quyidagi fikrlarni aytishga imkon beradi:

• agar ikkita bo'shliq izomorf bo'lsa, ularning o'lchamlari teng;
• bir xil maydon va bir xil o'lchamdagi har qanday ikkita chiziqli bo'shliq izomorf bo'ladi.

1. Polinomlar to'plami P n (x) daraja yuqori emas n.

2. Bir guruh n-hajmli ketma-ketliklar (hajm boʻyicha qoʻshish va skalerga koʻpaytirish bilan).

3 . Ko'p xususiyatlar C [ A , b ] davomli [ A, b] va nuqta boʻyicha qoʻshish va skalerga koʻpaytirish bilan.

4. Ko'p funksiyalar [ da ko'rsatilgan A, b] va ba'zi bir qattiq ichki nuqtada g'oyib bo'ladi c: f (c) = 0 va skalerga qoʻshish va koʻpaytirishning nuqtaviy amallari bilan.

5. R+ sozlang, agar x ⊕ y  x  y, ⊙x x  .

§8. Pastki fazoning ta'rifi

To'plamga ruxsat bering V chiziqli fazoning kichik to‘plamidir V (V  V) va shunga o'xshash

a)  x, yV  x ⊕ yV;

b)  xV,    ⊙ xV.

Bu erda qo'shish va ko'paytirish amallari fazodagi kabi V(ular fazo induktsiyasi deb ataladi V).

Juda ko'p V fazoning pastki fazosi deb ataladi V.

7  . Subfazo V o'zi bo'shliqdir.

◀ Buni isbotlash uchun neytral element va uning teskarisi mavjudligini isbotlash kifoya. Tenglik 0⊙ x=  va (–1)⊙ X = –X zarurligini isbotlash.

Faqat neytral element () va fazoning o'zi bilan mos keladigan pastki fazodan iborat pastki fazo V, fazoning trivial pastki fazolari deyiladi V.

§9. Vektorlarning chiziqli birikmasi. Vektor sistemaning chiziqli oralig'i

Vektorlarga ruxsat bering e 1 ,e 2 , …e n V va  1,  2 , …  n .

Vektor x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = chiziqli deb ataladi vektorlar birikmasi e 1 , e 2 , … , e n 1 koeffitsientlari bilan,  2 , …  n .

Agar chiziqli kombinatsiyadagi barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lsa, u holda chiziqli birikma chaqirdi ahamiyatsiz.

Vektorlarning barcha mumkin bo'lgan chiziqli birikmalari to'plami
chiziqli korpus deb ataladi bu vektorlar tizimi va quyidagicha belgilanadi:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Skaler bilan qoʻshish va koʻpaytirish amallarining toʻgʻriligi shundan kelib chiqadiki, ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) barcha mumkin boʻlgan chiziqli birikmalar toʻplamidir. Neytral element arzimas chiziqli kombinatsiyadir. Element uchun X=
teskari element - x =
. Amaliyotlar qanoatlantirishi kerak bo'lgan aksiomalar ham qondiriladi. Shunday qilib, ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) chiziqli fazodir.

Har qanday chiziqli fazoda, umumiy holatda, cheksiz sonli boshqa chiziqli bo'shliqlar (pastki bo'shliqlar) - chiziqli qobiqlar mavjud.

Kelajakda biz quyidagi savollarga javob berishga harakat qilamiz:

Turli vektor sistemalarining chiziqli qobiqlari qachon bir xil vektorlardan iborat bo'ladi (ya'ni, mos keladi)?

2) Bir xil chiziqli oraliqni belgilaydigan vektorlarning minimal soni qancha?

3) Asl fazo ba'zi vektorlar sistemasining chiziqli oralig'imi?

§10. To'liq vektor tizimlari

Agar kosmosda bo'lsa V vektorlarning chekli to'plami mavjud
nima, ℒ
 V, keyin vektorlar sistemasi
to'liq tizim deb ataladi V, va fazo chekli o'lchovli deb ataladi. Shunday qilib, vektorlar tizimi e 1 , e 2 , …, e n V to'liq deb ataladi V tizim, ya'ni. Agar

XV   1 ,  2 , …  n shunday x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Agar kosmosda bo'lsa V chekli to'liq tizim mavjud emas (va to'liq tizim har doim mavjud - masalan, fazoning barcha vektorlari to'plami V), keyin bo'sh joy V cheksiz o'lchovli deb ataladi.

9  . Agar
to'la V vektorlar tizimi va y V, Bu ( e 1 , e 2 , …, e n , y) ham to'liq tizimdir.

◀ Chiziqli birikmalarda oldingi koeffitsient y 0 ga teng qabul qiling.

dan vektorlar sistemasi bo'lsin. Chiziqli qobiq vektor tizimlari- berilgan tizim vektorlarining barcha chiziqli birikmalari to'plami, ya'ni.

Chiziqli qobiqning xossalari: Agar , u holda va uchun.

Chiziqli qobiq chiziqli amallarga (songa qo'shish va ko'paytirish amallari) nisbatan yopiqlik xususiyatiga ega.

Fazoning sonlarga qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan yopilish xususiyatiga ega bo‘lgan kichik to‘plami deyiladi.fazoning chiziqli pastki fazosi .

Vektorlar sistemasining chiziqli qobig'i fazoning chiziqli pastki fazosidir.

dan vektorlar sistemasi bazis deb ataladi ,Agar

Har qanday vektor bazaviy vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin:

2. Vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil.

Lemma vektor kengayish koeffitsientlari asosiga ko'ra yagona aniqlanadi.

Vektor , vektor kengayish koeffitsientlaridan tashkil topgan asosiga ko'ra vektorning koordinata vektori deyiladi asosda .

Belgilanish . Ushbu yozuv vektorning koordinatalari asosga bog'liqligini ta'kidlaydi.

Chiziqli bo'shliqlar

Ta'riflar

Ixtiyoriy xarakterdagi elementlar to'plami berilgan bo'lsin. Ushbu to'plamning elementlari uchun ikkita amal aniqlansin: qo'shish va istalganga ko'paytirish haqiqiy raqam: , va oʻrnating yopiq Ushbu operatsiyalar bo'yicha: . Ushbu operatsiyalar aksiomalarga bo'ysunsin:

3. uchun xossaga ega nol vektor mavjud;

4. har biri uchun xossaga ega teskari vektor mavjud;

6. , uchun;

7. , uchun;

Keyin bunday to'plam chaqiriladi chiziqli (vektor) fazo, uning elementlari deyiladi vektorlar, va - ularning raqamlardan farqini ta'kidlash uchun - ikkinchisi deyiladi skalyarlar 1) . Faqat bitta nol vektordan iborat bo'shliq deyiladi ahamiyatsiz .

Agar 6 - 8 aksiomalarda biz murakkab skalerlar bilan ko'paytirishga ruxsat etilsa, unda bunday chiziqli fazo deyiladi. keng qamrovli. Fikrimizni soddalashtirish uchun biz faqat haqiqiy bo'shliqlarni ko'rib chiqamiz.

Chiziqli fazo qo'shish amaliga ko'ra guruh va Abel guruhidir.

Nol vektorning o'ziga xosligi va vektorga teskari vektorning yagonaligi osongina isbotlanadi: , odatda belgilanadi.

Chiziqli fazoning o'zi chiziqli fazo bo'lgan kichik to'plami (ya'ni vektorlarni qo'shish va ixtiyoriy skalerga ko'paytirish ostida yopilgan) deyiladi. chiziqli pastki fazo bo'sh joy. Arzimas pastki bo'shliqlar Chiziqli fazoning o'zi va bitta nol vektordan iborat bo'lgan fazo deyiladi.

Misol. Haqiqiy sonlarning tartiblangan uchlik fazosi

Tenglik bilan aniqlangan operatsiyalar:

Geometrik talqin ravshan: kosmosdagi vektorning kelib chiqishiga "bog'langan" uning oxiri koordinatalarida ko'rsatilishi mumkin. Rasmda shuningdek, fazoning tipik pastki fazosi ko'rsatilgan: boshlang'ichdan o'tadigan tekislik. Aniqrog‘i, elementlar vektorlar bo‘lib, ularning kelib chiqishi boshida bo‘lib, tekislik nuqtalarida tugaydi. Bunday to'plamning vektorlarni qo'shish va ularning kengayishiga nisbatan yopiqligi 2) aniq.

Ushbu geometrik talqinga asoslanib, ko'pincha ixtiyoriy chiziqli fazoning vektori deb ataladi kosmosdagi nuqta. Ba'zan bu nuqta "vektorning oxiri" deb ataladi. Assotsiativ idrok qilish qulayligidan tashqari, bu so'zlarga hech qanday rasmiy ma'no berilmaydi: chiziqli fazo aksiomatikasida "vektorning oxiri" tushunchasi mavjud emas.

Misol. Xuddi shu misolga asoslanib, biz vektor fazosining boshqacha talqinini berishimiz mumkin (aytmoqchi, "vektor" so'zining kelib chiqishiga kiritilgan 3)) - u kosmosdagi nuqtalarning "siljishlari" to'plamini belgilaydi. Ushbu siljishlar - yoki har qanday fazoviy figuraning parallel tarjimalari - tekislikka parallel bo'lishi uchun tanlangan.

Umuman olganda, vektor tushunchasining bunday talqinlari bilan hamma narsa unchalik oddiy emas. Uning jismoniy ma'nosiga - ega bo'lgan ob'ekt sifatida murojaat qilishga urinishlar hajmi Va yo'nalishi- qattiq matematiklarning adolatli tanbehiga sabab bo'ling. Vektor fazosining elementi sifatida vektorning ta'rifi bilan epizodni juda eslatadi sepulchami Stanislav Lemning mashhur ilmiy-fantastik hikoyasidan (qarang: ☞SHU YERDA). Keling, rasmiyatchilikka berilmaylik, balki bu loyqa ob'ektni o'ziga xos ko'rinishlarida o'rganamiz.

Misol. Tabiiy umumlashma fazodir: satr yoki ustun vektor fazosi . Pastki bo'shliqni belgilash usullaridan biri cheklovlar to'plamini belgilashdir.

Misol. Chiziqli bir hil tenglamalar tizimining yechimlari to'plami:

fazoning chiziqli pastki fazosini hosil qiladi. Aslida, agar

Tizimning yechimi, keyin

Har qanday uchun bir xil yechim. Agar

Tizim uchun yana bir yechim

Bu ham uning qarori bo'ladi.

Nima uchun tizimda ko'plab echimlar mavjud? heterojen tenglamalar chiziqli pastki fazo hosil qilmaydi?

Misol. Keyinchalik umumlashtirib, biz "cheksiz" satrlar yoki bo'shliqni ko'rib chiqishimiz mumkin ketma-ketliklar , odatda matematik tahlil ob'ekti - ketma-ketliklar va qatorlarni ko'rib chiqishda. Siz chiziqlarni (ketma-ketlikni) "har ikki yo'nalishda ham cheksiz" deb hisoblashingiz mumkin - ular SIGNAL NAZARIYASIda qo'llaniladi.

Misol. Matritsalarni qo‘shish va haqiqiy sonlarga ko‘paytirish amallari bilan haqiqiy elementlarga ega -matritsalar to‘plami chiziqli fazoni hosil qiladi.

Kvadrat tartibli matritsalar fazosida ikkita kichik fazoni ajratish mumkin: simmetrik matritsalarning pastki fazosi va qiyshiq simmetrik matritsalarning pastki fazosi. Bundan tashqari, pastki bo'shliqlar to'plamlarning har birini tashkil qiladi: yuqori uchburchak, pastki uchburchak idiagonal matritsalar.

Misol. ning koeffitsientlariga to'liq teng bo'lgan bir o'zgaruvchan darajali ko'phadlar to'plami (bu erda to'plamlarning har qandayi yoki ) ko'phadlarni qo'shish va songa ko'paytirishning odatiy operatsiyalari bilan. shakllanmaydi chiziqli fazo. Nega? - Chunki u qo`shish ostida yopilmaydi: ko`phadlar yig`indisi th darajali ko`phad bo`lmaydi. Ammo bu erda ko'plab darajali polinomlar mavjud yuqori emas

chiziqli fazo shakllari; faqat shu to'plamga bir xil nol ko'phadni ham qo'shishimiz kerak 4). Aniq pastki bo'shliqlar. Bundan tashqari, pastki bo'shliqlar eng ko'p darajali juft va toq polinomlar to'plami bo'ladi. Barcha mumkin bo'lgan ko'phadlar to'plami (darajalar bo'yicha cheklovlarsiz) ham chiziqli bo'shliqni hosil qiladi.

Misol. Oldingi holatni umumlashtirish koeffitsientlari ko'pi bilan bir necha darajali o'zgaruvchilarning polinomlar fazosi bo'ladi. Masalan, chiziqli ko'phadlar to'plami

chiziqli fazoni hosil qiladi. Darajali bir jinsli koʻphadlar (shakllar) toʻplami (bu toʻplamga bir xil nol koʻphad qoʻshilgan holda) ham chiziqli fazodir.

Yuqoridagi ta'rif nuqtai nazaridan, butun komponentli satrlar to'plami

ga komponentlar bo'yicha qo'shish va ko'paytirish amallariga nisbatan ko'rib chiqiladi butun sonlar skalerlar chiziqli fazo emas. Biroq, agar biz faqat butun sonlar skayarlari bilan ko'paytirishga ruxsat etilsa, barcha 1 - 8 aksiomalari qanoatlantiriladi. Ushbu bo'limda biz ushbu ob'ektga e'tibor qaratmaymiz, lekin u diskret matematikada juda foydali, masalan, ☞ KODLASH NAZARIYASI. Cheklangan maydonlar ustidagi chiziqli bo'shliqlar ☞ BU YERDA ko'rib chiqiladi.

O'zgaruvchilar th tartibli simmetrik matritsalar fazosiga izomorf bo'ladi. Izomorfizm yozishmalar bilan o'rnatiladi, biz buni misol uchun ko'rsatamiz:

Izomorfizm tushunchasi algebraning turli sohalarida paydo bo'ladigan, lekin operatsiyalarning "o'xshash" xususiyatlariga ega bo'lgan ob'ektlarni o'rganish uchun, bitta namunadan foydalanib, natijalarni ishlab chiqish uchun kiritilgan, keyinchalik ularni arzonroq takrorlash mumkin. Qaysi chiziqli bo'shliqni "namuna sifatida" olishimiz kerak? - Keyingi paragrafning oxiriga qarang