Differensial funktsiya birinchi differentsial shaklining o'zgarmasligidir. Funksiyaning birinchi differentsial xossalari

Ta'rifga ko'ra, funktsiyaning differentsial (birinchi differentsial) formula bilan hisoblanadi
Agar - mustaqil o'zgaruvchi.

MISOL.

Birinchi differensialning shakli funktsiya argumenti bo'lgan taqdirda ham o'zgarmas (o'zgarmas) qolishini ko'rsatamiz. o‘zi funksiya, ya’ni murakkab funksiya uchun
.

Mayli
farqlanadi, keyin ta'rifi bo'yicha

Bundan tashqari, buni isbotlash kerak edi.

MISOLLAR.

Birinchi differentsial shaklining tasdiqlangan o'zgarmasligi buni taxmin qilishga imkon beradi
ya'ni hosila funksiya differensialining nisbatiga teng uning argumentining farqi, argument mustaqil o'zgaruvchi yoki funktsiya bo'lishidan qat'i nazar.

Parametrik ko'rsatilgan funksiyani differentsiallash

If funktsiyasiga ruxsat bering
setda bor aksincha, keyin
Keyin tenglik
to'plamda aniqlanadi parametrik ravishda belgilangan funktsiya, – parametr (oraliq o'zgaruvchi).

MISOL. Funksiyaning grafigini tuzing
.

Tuzilgan egri chiziq deyiladi sikloid(25-rasm) va radiusi 1 boʻlgan aylana ustidagi nuqtaning OX oʻqi boʻylab sirgʻalmasdan aylanayotgan traektoriyasidir.

Izoh. Ba'zan, lekin har doim emas, parametrik egri tenglamalardan parametr chiqarib tashlanishi mumkin.

MISOLLAR.
aylananing parametrik tenglamalari, chunki, shubhasiz,

–ellipsning parametrik tenglamalari, chunki

-parabolaning parametrik tenglamalari

Parametrik aniqlangan funksiyaning hosilasini topamiz:

Parametrik ko'rsatilgan funksiyaning hosilasi ham parametrik ko'rsatilgan funksiyadir: .

TA’RIF. Funktsiyaning ikkinchi hosilasi birinchi hosilasining hosilasi deyiladi.

Hosil th tartib uning tartib hosilasining hosilasidir
.

Ikkinchi va hosilalarini belgilang - bu kabi tartib:

Ikkinchi hosilaning ta'rifidan va parametrik aniqlangan funktsiyani differentsiallash qoidasidan kelib chiqadiki
Uchinchi hosilani hisoblash uchun siz ikkinchi hosilani shaklda ko'rsatishingiz kerak
va natijada olingan qoidadan yana foydalaning. Yuqori tartibli hosilalar xuddi shunday hisoblab chiqiladi.

MISOL. Funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini toping

.

Differensial hisoblashning asosiy teoremalari

TEOREMA(ferma). Funktsiyaga ruxsat bering
nuqtaga ega
ekstremum. Agar mavjud bo'lsa
, Bu

ISLOV. Mayli
, masalan, minimal nuqta. Minimal nuqtaning ta'rifiga ko'ra, bu nuqtaning qo'shnisi mavjud
, uning ichida
, ya'ni
- o'sish
nuqtada
. A-prior
Nuqtada bir tomonlama hosilalarni hisoblaymiz
:

tengsizlikda chegaraga o'tish teoremasi bo'yicha,

chunki

, chunki
Ammo shartga ko'ra
mavjud, shuning uchun chap hosila o'ngga teng va bu faqat mumkin

Bu degan taxmin
- maksimal nuqta bir xil narsaga olib keladi.

Teoremaning geometrik ma'nosi:

TEOREMA(Rolla). Funktsiyaga ruxsat bering
davomiy
, farqlanadigan
Va
keyin bor
shu kabi

ISLOV. Chunki
davomiy
, keyin Veyershtrassning ikkinchi teoremasi bo'yicha u ga etadi
ularning eng kattasi
va eng kami
qiymatlar ekstremum nuqtalarda yoki segmentning oxirida.

1. Mayli
, Keyin

2. Mayli
Chunki
yoki
, yoki
ekstremum nuqtasiga erishiladi
, lekin Fermat teoremasiga ko'ra
Q.E.D.

TEOREMA(Lagrange). Funktsiyaga ruxsat bering
davomiy
va farqlanishi mumkin
, keyin bor
shu kabi
.

Teoremaning geometrik ma'nosi:

Chunki
, keyin sekant tangensga parallel bo'ladi. Shunday qilib, teorema A va B nuqtalardan o'tuvchi sekantga parallel tangens mavjudligini bildiradi.

ISLOV. A nuqtalari orqali
va B
AB sekantini chizamiz. Uning tenglamasi
Funktsiyani ko'rib chiqing

– grafik va AB sekantidagi mos nuqtalar orasidagi masofa.

1.
davomiy
uzluksiz funksiyalar farqi sifatida.

2.
farqlanishi mumkin
differensiallanuvchi funksiyalarning farqi sifatida.

3.

Ma'nosi,
Rol teoremasining shartlarini qondiradi, shuning uchun mavjud
shu kabi

Teorema isbotlangan.

Izoh. Formula deyiladi Lagrange formulasi.

TEOREMA(Koshi). Funktsiyalarga ruxsat bering
davomiy
, farqlanadigan
Va
, keyin bir nuqta bor
shu kabi
.

ISLOV. Keling, buni ko'rsataylik
. Agarda
, keyin funksiya
Rol teoremasining shartlarini qanoatlantiradi, shuning uchun bir nuqta bo'ladi
shu kabi
- shartga zid. Ma'nosi,
, va formulaning ikkala tomoni aniqlanadi. Keling, yordamchi funktsiyani ko'rib chiqaylik.

davomiy
, farqlanadigan
Va
, ya'ni
Rol teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. Keyin bir nuqta bor
, unda
, Lekin

Q.E.D.

Tasdiqlangan formula deyiladi Koshi formulasi.

L'Hopital qoidasi(L'Hopital-Bernulli teoremasi). Funktsiyalarga ruxsat bering
davomiy
, farqlanadigan
,
Va
. Bundan tashqari, chekli yoki cheksiz bor
.

Keyin bor

ISLOV. Chunki shart bo'yicha
, keyin aniqlaymiz
nuqtada
, faraz qilish
Keyin
uzluksiz holga keladi
. Keling, buni ko'rsataylik

Keling, shunday da'vo qilaylik
keyin bor
shu kabi
, funktsiyadan beri
yoqilgan
Rol teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. Ammo shartga ko'ra
- qarama-qarshilik. Shunung uchun

. Funksiyalar
Koshi teoremasining shartlarini istalgan oraliqda qanoatlantiring
, tarkibida mavjud
. Koshi formulasini yozamiz:

,
.

Bu erdan bizda:
, chunki agar
, Bu
.

O'zgaruvchini oxirgi chegarada qayta belgilab, biz kerakli narsani olamiz:

Izoh 1. L'Hopital qoidasi qachon ham o'z kuchida qoladi
Va
. Bu bizga nafaqat turdagi noaniqlikni ochib berishga imkon beradi , balki turi ham :

.

Izoh 2. Agar L'Hopital qoidasini qo'llaganingizdan so'ng, noaniqlik aniqlanmasa, uni yana qo'llash kerak.

MISOL.

Izoh 3 . L'Hopital qoidasi noaniqliklarni aniqlashning universal usulidir, ammo ilgari o'rganilgan maxsus usullardan faqat bittasi yordamida aniqlanishi mumkin bo'lgan chegaralar mavjud.

Lekin aniq
, chunki hisobning darajasi maxraj darajasiga teng va chegara eng yuqori darajalardagi koeffitsientlar nisbatiga teng.

Murakkab funktsiyani farqlash qoidasi bizni differensialning bir ajoyib va ​​muhim xususiyatiga olib keladi.

Funktsiyalar shunday bo'lsinki, ulardan murakkab funksiya tuzilsin: . Agar hosilalar mavjud bo'lsa, u holda - V qoidaga ko'ra - hosila ham mavjud

Biroq, uning hosilasini (7) ifoda bilan almashtirib, t ning funksiyasi sifatida x ning differentsial mavjudligini ta'kidlab, biz nihoyat hosil qilamiz:

ya'ni, differensialning oldingi shakliga qaytaylik!

Shunday qilib, eski mustaqil o'zgaruvchi yangisi bilan almashtirilsa ham, differentsialning shakli saqlanib qolishi mumkinligini ko'ramiz. Biz har doim y differensialni (5) ko'rinishda yozishda erkinmiz, x mustaqil o'zgaruvchimi yoki yo'qmi; yagona farq shundaki, agar mustaqil o'zgaruvchi sifatida t tanlansa, u ixtiyoriy o'sishni emas, balki x ning funksiyasi sifatidagi differentsialni bildiradi Bu xususiyat differentsial shaklining o'zgarmasligi deyiladi.

(5) formula to'g'ridan-to'g'ri hosilani differentsiallar orqali ifodalovchi (6) formulani berganligi sababli, oxirgi formula qanday mustaqil o'zgaruvchidan qat'i nazar (albatta, har ikkala holatda ham bir xil) yuqorida ko'rsatilgan farqlar hisoblanganligidan qat'iy nazar o'z kuchida qoladi.

Masalan, shunday bo'lsin

Keling, endi qo'yamiz Keyin bizda ham bo'ladi: Formulani tekshirish oson

yuqorida hisoblangan hosila uchun faqat boshqa ifodani beradi.

Bu holat, ayniqsa, y ning x ga bog'liqligi to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatilmagan, balki x va y o'zgaruvchilarning uchinchi, yordamchi o'zgaruvchiga (parametr deb ataladigan) bog'liqligi ko'rsatilgan hollarda foydalanish uchun qulaydir:

Bu funksiyalarning ikkalasi ham hosilalarga ega va ularning birinchisi uchun hosilasi bo‘lgan teskari funksiya mavjud deb faraz qilsak, u holda y ham x ning funksiyasi bo‘lib chiqishini ko‘rish oson:

buning uchun hosila ham mavjud. Ushbu lotinni hisoblash yuqoridagi qoidaga muvofiq amalga oshirilishi mumkin:

y ning x ga bevosita bog'liqligini tiklamasdan.

Misol uchun, agar hosila yuqorida bajarilgan tarzda aniqlanishi mumkin bo'lsa, tobelikni umuman ishlatmasdan.

Agar x va y ni tekislikdagi nuqtaning to’g’ri burchakli koordinatalari deb hisoblasak, (8) tenglamalar t parametrining har bir qiymatini ma’lum nuqtaga beradi, bu nuqta t ning o’zgarishi bilan tekislikdagi egri chiziqni tasvirlaydi. (8) tenglamalar bu egri chiziqning parametrik tenglamalari deyiladi.

Egri chiziqning parametrik ta'rifi bo'lsa, formula (10) tenglama (9) yordamida egri chiziqni belgilashga o'tmasdan, (8) tenglamalar yordamida tangensning burchak koeffitsientini bevosita o'rnatish imkonini beradi; aniq,

Izoh. Har qanday o'zgaruvchiga nisbatan olingan differentsiallar orqali hosilani ifodalash qobiliyati, xususan, formulalar

Leybnits yozuvida teskari funktsiya va murakkab funksiyani farqlash qoidalarini ifodalab, oddiy algebraik o'ziga xosliklarga aylanadi (chunki bu erda barcha differentsiallarni bir xil o'zgaruvchiga nisbatan olish mumkin). Biroq, bu yuqorida aytib o'tilgan formulalarga yangi xulosa beradi deb o'ylamaslik kerak: birinchi navbatda, bu erda chap hosilalarning mavjudligi isbotlanmagan, asosiysi biz differensial shaklining o'zgarmasligidan foydalanganmiz. , buning o'zi V qoidaning natijasidir.

Agar mustaqil o'zgaruvchilarning differentsiallanuvchi funksiyasi va uning to'liq differentsial dz ga teng bo'lsa Endi Keling, Faraz qilaylik nuqtada ((,?/) »?) va r)) funksiyalar (va rf, va at) ga nisbatan uzluksiz qisman hosilalarga ega. mos keladigan nuqta (x, y ) qisman hosilalari mavjud va uzluksiz va natijada r = f(x, y) funksiya bu nuqtada differensiallanadi a kompleks funksiya Differensial shaklining o'zgarmasligi Implicit funksiyalar Tangens tekislik va sirtga normal. To'liq differentsialning geometrik ma'nosi Sirtga normal. (2) formulalardan ko'rinib turibdiki, u va u uzluksiz nuqtada ((,*?). Demak, nuqtadagi funksiya differensiallanadi; £ va m mustaqil o‘zgaruvchilar funksiyasi uchun umumiy differentsial formulasiga ko‘ra, biz tengliklarning o‘ng tomoniga almashtirish (3) mavjud. ) u va u ularning ifodalarini (2) formulalardan topamiz, biz yoki shartga ko'ra, ((,17) nuqtadagi funktsiyalar uzluksiz qisman hosilalarga ega bo'lsa, u holda ular shu nuqtada differensiallanadi va (4) munosabatlariga erishamiz. va (5) biz (1) va (6) formulalarni taqqoslash shuni ko'rsatadiki, z = / (z, y) funktsiyaning to'liq differentsiali x argumentlari bilan bir xil shakldagi formula bilan ifodalanadi. va /(z, y) funktsiyasining y lari mustaqil o'zgaruvchilardir va bu argumentlar, o'z navbatida, ba'zi o'zgaruvchilarning funktsiyalari bo'lgan holatda. Shunday qilib, bir necha o'zgaruvchili funktsiyaning to'liq differentsiali shakl o'zgarmaslik xususiyatiga ega. Izoh. Umumiy differentsial shaklining o'zgarmasligidan kelib chiqadi: agar xnx va y har qanday cheklangan sonli o'zgaruvchilarning differentsial funksiyalari bo'lsa, u holda formula o'z kuchida qoladi, bu erda qandaydir G sohasida aniqlangan ikkita o'zgaruvchining funksiyasi bo'ladi xOy samolyotida. Agar ma'lum bir oraliqdagi (xo - 0, xo + ^o) har bir x qiymati uchun x bilan birgalikda (1) tenglamani qanoatlantiradigan aniq bitta y qiymat mavjud bo'lsa, bu y = y(x) funktsiyasini aniqlaydi, buning uchun. tenglik belgilangan oraliqda x bo'ylab bir xil tarzda yoziladi. Bu holda (1) tenglama y ni x ning yashirin funksiyasi sifatida belgilaydi. Boshqacha qilib aytganda, y ga nisbatan yechilmagan tenglama bilan aniqlangan funktsiya noaniq funktsiya deyiladi, agar y ning x ga bog'liqligi to'g'ridan-to'g'ri berilgan bo'lsa, u aniq bo'ladi butun OcW rx x ning bir qiymatli funksiyasi sifatida: 2. Tenglama bo'yicha y miqdori x ning bir qiymatli funksiyasi sifatida aniqlanadi. Tenglama x = 0, y = 0 juft qiymatlari bilan qondiriladi. Biz * parametrni ko'rib chiqamiz va funktsiyalarni ko'rib chiqamiz. Tanlangan xo uchun O ning mos keladigan yagona qiymati bormi degan savol shunday bo'ladiki, juftlik (2-tenglamani qanoatlantiradi) x ay egri chiziqlari va bitta nuqtani kesishga tushadi.XOy ustida ularning grafiklarini tuzamiz. tekislik (11-rasm) X parametr sifatida qaraladigan » = x + c sin y egri chizig'i Ox o'qi bo'ylab parallel ko'chirish va z = z sin y egri chizig'i har qanday x uchun geometrik jihatdan aniq x = y va z = t + c $1py egri chiziqlari yagona »kesishish nuqtasiga ega bo'lib, uning ordinatori x ning funksiyasi bo'lib, bu bog'liqlik elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydi 3. Tenglama bir xil argumentdagi x ning haqiqiy funksiyasini aniqlamaydi. Bir necha o'zgaruvchining yashirin funksiyalari haqida quyidagi teorema tenglamaning yagona yechilishi uchun etarli shartlarni beradi. berilgan nuqtaning ba'zi bir qo'shnisida (®o> 0) Teorema 8 (ko'rinmas funktsiyaning mavjudligi) Quyidagi shartlar bajarilsin: 1) funktsiya markazi nuqtada bo'lgan ma'lum bir to'rtburchakda aniqlangan va uzluksiz. nuqta y) funksiya n\l ga aylanadi, 3) D to‘rtburchakda uzluksiz qisman hosilalar mavjud va uzluksiz qisman hosilalar mavjud 4) Y) Yetarlicha ma/sueo musbat son e bo‘lganda, bu qo‘shnilikning qo‘shnisi bo‘lsa, bitta uzluksiz funksiya y bo‘ladi. = f(x) (rasm. 12) qiymatni qabul qiladigan), \y - yo'l tenglamasini qanoatlantiradi va (1) tenglamani o'ziga xoslikka aylantiradi: Bu funksiya Xq nuqta qo'shnisida uzluksiz differentsiallanadi va hosila uchun (3) formulani chiqaramiz. bu hosilaning mavjudligi isbotlangan deb hisoblangan holda, yashirin funktsiyaning. y = f(x) (1) tenglama bilan aniqlangan noaniq differentsiallanuvchi funksiya bo'lsin. Keyin oraliqda) bir xillik mavjud Kompleks funktsiyaning differensialligi differensial shaklining o'zgarmasligi Implicit funksiyalar Tangens tekislik va sirtga normal. oraliq Murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasiga ko'ra, nuqta qo'shnisiga (xo, yo) tegishli egri chiziqda yotgan har qanday nuqta (x, y)" tenglama bilan bog'liq bo'lgan koordinatalarga ega bo'lishi ma'nosida yagona mavjud. Demak, y = f(x) bilan biz buni va demak, Misolni olamiz. Tenglama bilan aniqlangan y = y(x) funksiyadan j* ni toping Bu holda bu yerdan (3) formulaga asosan Izoh. Teorema grafigi berilgan nuqtadan (xo, oo) o'tadigan yagona yashirin funktsiyaning mavjudligi uchun shart-sharoitlarni ta'minlaydi. etarli, lekin kerak emas. Aslini olganda, tenglamani ko'rib chiqing. Bu erda 0(0,0) nuqtasida nolga teng uzluksiz qisman hosilalar mavjud. Biroq, bu tenglama muammoda nolga teng yagona yechimga ega. (G) tenglamani qanoatlantiradigan bir qiymatli funksiya - tenglama berilsin. 1) Qancha bitta qiymatli funksiya (2") tenglamani (!") qanoatlantiradi? 2) Nechta bir qiymatli uzluksiz funksiyalar (!") tenglamani qanoatlantiradi? 4) Qancha bir qiymatli uzluksiz funksiyalar yetarlicha kichik bo‘lsa ham “(1” tenglamani qanoatlantiradi? 8-teoremaga o'xshash mavjudlik teoremasi 9-teorema tenglamasi bilan aniqlangan ikkita o'zgaruvchining yashirin funksiyasi z - z(x, y) uchun ham amal qiladi. Quyidagi shartlar bajarilsin d) funksiya aniqlangan va uzluksiz D sohasida mavjud va uzluksiz bo'laklar hosilalari U holda har qanday yetarlicha kichik e > 0 uchun (®o»Yo)/ nuqtaning D2 qo'shnisi mavjud bo'lib, unda yagona uzluksiz funksiya z - / (x, y), x = x0, y = y0 da qiymat olib, shartni qanoatlantirib, (4) tenglamani bir xillikka aylantiramiz: Bu holda Q sohasidagi funksiya uzluksiz qisman hosilalarga ega va GG topamiz. bu hosilalar uchun ifodalar. Tenglama z ni mustaqil o'zgaruvchilarning xnu bir qiymatli va differensiallanuvchi z = /(x, y) funksiyasi sifatida aniqlasin. Agar bu tenglamaga z o‘rniga f(x, y) funksiyasini qo‘ysak, o‘ziga xoslikka erishamiz Demak, y, z funksiyaning x va y ga nisbatan jami qisman hosilalari, bu yerda z = /(z, y) ), shuningdek, nolga teng bo'lishi kerak. Differensiatsiya qilish orqali biz ushbu formulalar ikkita mustaqil o'zgaruvchining yashirin funksiyasining qisman hosilalari uchun ifodalarni beradigan joyni topamiz. Misol. 4-tenglama bilan berilgan x(r,y) funksiyaning qisman hosilalarini toping. Bundan §11 ga ega bo'lamiz. Tangens tekislik va sirtga normal 11.1. Dastlabki ma'lumotlar Defined* tenglama bilan aniqlangan S sirtga ega bo'lsin. (1) sirtning M(x, y, z) nuqtasi, agar M nuqtada barcha uchta hosila mavjud bo'lsa va uzluksiz bo'lsa va ulardan kamida bittasi nolga teng bo'lmasa, ushbu sirtning oddiy nuqtasi deyiladi. Agar (1) sirtning My, z) nuqtasida uchala hosila ham nolga teng bo‘lsa yoki bu hosilalardan kamida bittasi mavjud bo‘lmasa, M nuqta sirtning yagona nuqtasi deyiladi. Misol. Dumaloq konusni ko'rib chiqaylik (13-rasm). Bu erda yagona nozik nuqta - 0(0,0,0) koordinatalarining kelib chiqishi: bu nuqtada qisman hosilalar bir vaqtning o'zida yo'qoladi. Guruch. 13 Parametrik tenglamalar bilan aniqlangan L fazoviy egri chizig'ini ko'rib chiqaylik. to parametrining qiymati bilan aniqlangan L egri chizig'ining oddiy nuqtasi bo'lsin, egri chiziqning yagona nuqtalarini ko'rib chiqaylik. Keyin nuqtadagi egri chiziqqa teguvchi vektor. Sirtning tangens tekisligi 5 sirti tenglama bilan berilgan bo'lsin, S sirtdagi oddiy P nuqtani oling va u orqali sirtda yotgan va parametrik tenglamalar bilan berilgan L egri chizig'ini o'tkazing. "/(0" C(0) ning (a)p) hech bir joyida bir vaqtning o'zida yo'q bo'lgan uzluksiz hosilalarga ega bo'lib, ta'rifga ko'ra, P nuqtadagi L egri chizig'i bu nuqtada 5 sirtiga tangens deb ataladi. 2) tenglama (1) ga almashtiriladi, u holda L egri chiziq S sirtida joylashganligi sababli (1) tenglama t ga nisbatan bir xillikka aylanadi: Kompleksni differensiallash qoidasidan foydalanib, bu o'xshashlikni t ga nisbatan farqlash. funktsiyani olamiz (3) ning chap tomonidagi ifoda ikki vektorning skalyar ko'paytmasi: P nuqtada z vektor bu nuqtada L egri chizig'iga tangens yo'naltirilgan (14-rasm n). , u faqat shu nuqtaning koordinatalariga va funksiya turiga bog'liq ^"(x, y, z) va P nuqtadan o'tadigan egri chiziq turiga bog'liq emas. P - sirtning oddiy nuqtasi 5, chunki, u holda n vektorning uzunligi noldan farq qiladi, skalyar ko'paytma P nuqtadagi L egri chizig'iga teguvchi r vektor bu nuqtada n vektorga perpendikulyar ekanligini bildiradi (1-rasm). 14). Bu argumentlar P nuqtadan o‘tuvchi va S sirtda yotuvchi har qanday egri chiziq uchun o‘z kuchini saqlab qoladi. Demak, P nuqtada 5 sirtga to‘g‘ri keladigan har qanday teginish chizig‘i n vektorga perpendikulyar va demak, bu chiziqlarning barchasi bir tekislikda yotadi, n vektoriga ham perpendikulyar. Berilgan oddiy P G 5 nuqtadan o'tuvchi 5 sirtga teguvchi barcha chiziqlar joylashgan tekislikka sirtning P nuqtadagi teginish tekisligi deyiladi (15-rasm). Vektor Kompleks funktsiyaning differentsial differensial shaklining o'zgarmasligi Implicit funksiyalar Tangens tekislik va sirtga normal. To'liq differentsialning geometrik ma'nosi. P nuqta. Bu yerdan biz darhol ZG sirtiga teginish tekisligi tenglamasini olamiz (bu sirtning oddiy P0 (®o, Uo" nuqtasida: Agar 5 sirt tenglama bilan berilgan bo'lsa, u holda bu tenglamani shaklda nuqtadagi tangens tekislik tenglamasini ham olamiz, u 11 ga o'xshaydi. 3. To'liq differentsialning geometrik ma'nosi Agar uni (7) formulaga qo'ysak, u holda u ko'rinishga ega bo'ladi (8) ning o'ng tomoni z funksiyaning M0(x0) yo) nuqtasidagi to'liq differentsialini ifodalaydi. tekislik xOy> shunday qilib, M0 nuqtadagi ikkita mustaqil o'zgaruvchining x va y funksiyasining z = /(x, y) to'liq differentsiali, o'zgaruvchilar va y ning Dx va Du o'sishlariga mos keladi. z - z0 M0(xo, Uo) nuqtadan o'tganda Z>(xo» Uo» /(, Uo)) nuqtada 5 sirtning teginish tekisligining z nuqtasini qo'llaydi - 11.4. Oddiy sirt ta'rifi. Sirtning Po(xo, y0, r0) nuqtasidan Po nuqtadagi sirtga teginish tekisligiga perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziq Pq nuqtadagi sirtga normal deyiladi. Vector)L - normalning yo'naltiruvchi vektori va uning tenglamalari ko'rinishga ega bo'lsa, sirt 5 tenglama bilan berilgan bo'lsa, u holda nuqtadagi normalning tenglamalari) quyidagicha ko'rinadi: nuqtada Bu erda nuqtada (0, 0) bu hosilalar nolga teng: va 0 (0,0,0) nuqtadagi tangens tekislik tenglamasi quyidagi ko rinishni oladi: (xOy tekislik). Oddiy tenglamalar

Differensial funktsiya formulasi shaklga ega

bu yerda mustaqil o‘zgaruvchining differentsiali.

Endi kompleks (differentsiallanuvchi) funksiya berilsin, bu yerda,.Keyin, kompleks funksiya hosilasi formulasidan foydalanib, topamiz.

chunki .

Shunday qilib, , ya'ni. Differensial formula mustaqil o'zgaruvchi va ning differensiallanuvchi funktsiyasi bo'lgan oraliq argument uchun bir xil shaklga ega.

Bu xususiyat odatda mulk deb ataladi differensialning formulasi yoki shaklining o'zgarmasligi. E'tibor bering, hosila bunday xususiyatga ega emas.

Davomiylik va differentsiallik o'rtasidagi bog'liqlik.

Teorema (funksiyaning differentsialligi uchun zaruriy shart). Agar funktsiya nuqtada differentsiallanadigan bo'lsa, u o'sha nuqtada uzluksizdir.

Isbot. Funktsiyaga ruxsat bering y=f(x) nuqtada farqlanadi X 0 . Ushbu nuqtada biz argumentga o'sishni beramiz  X. Funktsiya ortib boradi  da. Keling, topamiz.

Demak, y=f(x) bir nuqtada uzluksiz X 0 .

Natija. Agar X 0 - funksiyaning uzilish nuqtasi, u holda undagi funktsiyani differentsiallash mumkin emas.

Teoremaning teskarisi to'g'ri emas. Davomiylik farqlanishni anglatmaydi.

Differensial. Geometrik ma'no. Differensialni taxminiy hisob-kitoblarga qo'llash.

Ta'rif

Funktsiya farqi funktsiya o'sishining chiziqli nisbiy qismi deyiladi. U kakili bilan belgilanadi. Shunday qilib:

Izoh

Funktsiyaning differensialligi uning o'sishining asosiy qismini tashkil qiladi.

Izoh

Funksiya differensiali tushunchasi bilan bir qatorda argument differensiali tushunchasi ham kiritiladi. A-prior argument farqi argumentning ortishi:

Izoh

Funktsiyani differentsiallash formulasini quyidagicha yozish mumkin:

Bu erdan biz buni olamiz

Demak, bu hosila oddiy kasr – funksiya va argument differentsiallarining nisbati sifatida ifodalanishi mumkinligini bildiradi.

Differensialning geometrik ma'nosi

Funktsiyaning nuqtadagi differensialligi argumentning o'sishiga to'g'ri keladigan ushbu nuqtada funktsiya grafigiga chizilgan tangensning ordinata o'sishiga teng.

Farqlashning asosiy qoidalari. Doimiy miqdorning hosilasi, yig‘indining hosilasi.

Funktsiyalarning bir nuqtada hosilalari bo'lsin. Keyin

1. Doimiy hosila belgisidan chiqarish mumkin.

5. Differensial doimiy nolga teng.

2. Yig'indi/farqning hosilasi.

Ikki funktsiya yig'indisi/farqining hosilasi har bir funktsiyaning hosilalari yig'indisi/farqiga teng.

Farqlashning asosiy qoidalari. Mahsulotning hosilasi.

3. Mahsulotning hosilasi.

Farqlashning asosiy qoidalari. Kompleks va teskari funktsiyaning hosilasi.

5. Murakkab funktsiyaning hosilasi.

Murakkab funktsiyaning hosilasi bu funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasiga teng bo'lib, asosiy argumentga nisbatan oraliq argumentning hosilasiga ko'paytiriladi.

Va ular mos ravishda nuqtalarda hosilalarga ega. Keyin

Teorema

(Teskari funktsiyaning hosilasi haqida)

Agar funktsiya nuqtaning ba'zi qo'shnilarida uzluksiz va qat'iy monoton bo'lsa va shu nuqtada differentsial bo'lsa, u holda teskari funktsiya nuqtada hosilaga ega bo'ladi va .

Farqlash formulalari. Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi.