Теорема об изменении движения материальной точки. Теорема об изменении количества движения материальной точки
Просмотр: эта статья прочитана 14066 раз
Pdf Выберите язык... Русский Украинский Английский
Краткий обзор
Полностью материал скачивается выше, предварительно выбрав язык
Количество движения
Количество движения материальной точки - векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости.
Единицей измерения количества движения является (кг м/с).
Количество движения механической системы - векторная величина, равная геометрической сумме (главному вектору) количества движения механической системы равняется произведению массы всей системы на скорость ее центра масс.
Когда тело (или система) движется так, что ее центр масс неподвижен, то количество движения тела равняется нулю (например, вращение тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела).
В случае сложного движения, количество движения системы не будет характеризовать вращательную часть движения при вращении вокруг центра масс. Т.е., количество движения характеризует только поступательное движение системы (вместе с центром масс).
Импульс силы
Импульс силы характеризует действие силы за некоторый промежуток времени.
Импульс силы за конечный промежуток времени определяется как интегральная сумма соответствующих элементарных импульсов.
Теорема об изменении количества движения материальной точки
(в дифференциальной форм е ):
Производная по времени от количества движения материальной точки равна геометрической сумме действующих на точки сил.
(в интегральной форме ):
Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за этот промежуток времени.
Теорема об изменении количества движения механической системы
(в дифференциальной форме ):
Производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.
(в интегральной форме ):
Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов внешних сил, действующих на систему за этот промежуток времени.
Теорема позволяет исключить из рассмотрения заведомо неизвестные внутренние силы.
Теорема об изменении количества движения механической системы и теорема о движении центра масс являются двумя разными формами одной теоремы.
Закон сохранения количества движения системы
- Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянным по направлению и по модулю.
- Если сумма проекций всех действующих внешних сил на любую произвольную ось равна нулю, то проекция количества движения на эту ось является величиной постоянной.
Выводы :
- Законы сохранения свидетельствуют, что внутренние силы не могут изменить суммарное количество движения системы.
- Теорема об изменении количества движения механической системы не характеризует вращательное движение механической системы, а только поступательное.
Приведен пример: Определить количество движения диска определенной массы, если известна его угловая скорость и размер.
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи. Выполнен выбор материала, расчет допускаемых напряжений, расчет на контактную и изгибную прочность.
Пример решения задачи на изгиб балки
В примере построены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, найдено опасное сечение и подобран двутавр. В задаче проанализировано построение эпюр с помощью дифференциальных зависимостей, провелен сравнительный анализ различных поперечных сечений балки.
Пример решения задачи на кручение вала
Задача состоит в проверке прочности стального вала при заданном диаметре, материале и допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания. Собственный вес вала не учитывается
Пример решения задачи на растяжение-сжатие стержня
Задача состоит в проверке прочности стального стержня при заданных допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Собственный вес стержня не учитывается
Применение теоремы о сохранении кинетической энергии
Пример решения задачи на применение теоремы о сохранение кинетической энергии механической системы
Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения
Пример решение задачи на определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения
Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении
Пример решения задачи на определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении
Определение усилий в стержнях плоской фермы
Пример решения задачи на определение усилий в стержнях плоской фермы методом Риттера и методом вырезания узлов
Применение теоремы об изменении кинетического момента
Пример решения задачи на применение теоремы об изменении кинетического момента для определения угловой скорости тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси.
В качестве системы, о которой идёт речь в теореме, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел.
Формулировка теоремы
Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, - это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.
( кг·м/с)
Теорема об изменении количества движения системы утверждает
Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.
Закон сохранения количества движения системы
Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то количество движения (импульс) системы есть величина постоянная.
,
получим выражение теоремы об изменении
количества движения системы в
дифференциальной форме
:
Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:
Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения ) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.
(моме́нт коли́чества движе́ния м 2 ·кг·с −1 )
Теорема об изменении момента количества движения относительно центра
производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.
dk 0 /dt = M 0 (F ) .
Теорема об изменении момента количества движения относительно оси
производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.
dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .
Рассмотрим материальную точку M массой m , движущуюся под действием силы F (рисунок 3.1). Запишем и построим вектор момента количества движения (кинетического момента) M 0 материальной точки относительно центра O :
Дифференцируем выражение момента количества движения (кинетического момента k 0) по времени:
Так как dr /dt = V , то векторное произведение V ⊗ m ⋅ V (коллинеарных векторов V и m ⋅ V ) равно нулю. В то же время d(m ⋅ V) /dt = F согласно теореме о количестве движения материальной точки. Поэтому получаем, что
dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)
где r ⊗F = M 0 (F ) – вектор-момент силы F относительно неподвижного центра O . Вектор k 0 ⊥ плоскости (r , m ⊗V ), а вектор M 0 (F ) ⊥ плоскости (r ,F ), окончательно имеем
dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)
Уравнение (3.4) выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.
Проецируя равенство (3.4) на оси декартовых координат, получаем
dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)
Равенства (3.5) выражают теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно оси: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.
Рассмотрим следствия, вытекающие из теорем (3.4) и (3.5).
Следствие 1. Рассмотрим случай, когда сила F во все время движения точки проходит через неподвижный центр O (случай центральной силы), т.е. когда M 0 (F ) = 0. Тогда из теоремы (3.4) следует, что k 0 = const ,
т.е. в случае центральной силы момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным по модулю и направлению (рисунок 3.2).
Рисунок 3.2
Из условия k 0 = const следует, что траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую, плоскость которой проходит через центр этой силы.
Следствие 2. Пусть M z (F ) = 0, т.е. сила пересекает ось z или ей параллельна. В этом случае, как это видно из третьего из уравнений (3.5), k z = const ,
т.е. если момент действующей на точку силы относительно какой-либо неподвижной оси всегда равен нулю, то момент количества движения (кинетический момент) точки относительно этой оси остается постоянным.
Доказательство теоремы обь ихменении количества движения
Пусть система состоит из материальных точек с массами и ускорениями . Все силы, действующие на тела системы, разделим на два вида:
Внешние силы - силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i обозначим .
Внутренние силы - силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k , будем обозначать , а силу воздействия i -й точки на k -ю точку - . Очевидно, что при , то
Используя введённые обозначения, запишем второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек в виде
Учитывая,
что 
и
суммируя все уравнения второго закона
Ньютона, получаем:
Выражение представляет
собой сумму всех внутренних сил,
действующих в системе. По третьему
закону Ньютона в этой сумме каждой
силе соответствует
сила такая,
что и,
значит, выполняется 
Поскольку
вся сумма состоит из таких пар, то и сама
сумма равна нулю. Таким образом, можно
записать
Используя для количества движения системы обозначение , получим
Введя в
рассмотрение изменение импульса внешних
сил 
,
получим выражение теоремы об изменении
количества движения системы в
дифференциальной форме:
Таким образом, каждое из последних полученных уравнений позволяет утверждать: изменение количества движения системы происходит только в результате действия внешних сил, а внутренние силы никакого влияния на эту величину оказать не могут.
Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:
где и - значения количества движения системы в моменты времени и соответственно, а - импульс внешних сил за промежуток времени . В соответствии со сказанным ранее и введёнными обозначениями выполняется
Так как масса точки постоянна, а ее ускорение то уравнение (2), выражающее основной закон динамики, можно представить в виде
Уравнение (32) выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на точку сил
Пусть движущаяся точка имеет в момент времени скорость а в момент - скорость Умножим тогда обе части равенства (32) на и возьмем от них определенные интегралы. При этом справа, где интегрирование идет по времени, пределами интеграла будут а слева, где интегрируется скорость, пределами интеграла будут соответствующие значения скорости
Так как интеграл от равен то в результате получим
Стоящие справа интегралы, как следует из формулы (30), представляют собой импульсы действующих сил. Поэтому окончательно будет
Уравнение (33) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечном виде: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.
При решении задач вместо векторного уравнения (33) часто пользуются уравнениями в проекциях. Проектируя обе части равенства (33) на координатные оси, получим
В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси теорема выражается первым из этих уравнений.
Решение задач. Уравнения (33) или (34) позволяют, зная как при движении точки изменяется ее скорость, определить импульс действующих сил (первая задача динамики) или, зная импульсы действующих сил, определить, как изменяется при движении скорость точки (вторая задача динамики). При решении второй задачи, когда заданы силы, надо вычислить их импульсы, Как видно из равенств (30) или (31), это можно сделать лишь тогда, когда силы постоянны или зависят только от времени.
Таким образом, уравнения (33), (34) можно непосредственно использовать для решения второй задачи динамики, когда в задаче в число данных и искомых величин входят: действующие силы, время движения точки и ее начальная и конечная скорости (т. е. величины ), причем силы должны быть постоянными или зависящими только от времени.
Задача 95. Точка, масса которой кг, движется по окружности с численно постоянной скоростью Определить импульс действующей на точку силы за время, в течение которого точка проходит четверть окружности
Решение. По теореме об изменении количества движения Строя геометрически разность этих количеств движения (рис. 222), находим из полученного прямоугольного треугольника
Но по условиям задачи следовательно,
Для аналитического подсчета можно, используя первые два из уравнений (34), найти
Задача 96. Грузу, имеющему массу и лежащему на горизонтальной плоскости, сообщают (толчком) начальную скорость Последующее движение груза тормозится постоянной силой F. Определить, через сколько времени груз остановится,
Решение. По данным задачи видно, что для определения времени движения можно воспользоваться доказанной теоремой. Изображаем груз в произвольном положении (рис. 223). На него действуют сила тяжести Р, реакция плоскости N и тормозящая сила F. Направляя ось в сторону движения, составляем первое из уравнений (34)
В данном случае - скорость в момент остановки), а . Из сил проекцию на ось дает только сила F. Так как она постоянна, то где - время торможения. Подставляя все эти данные в уравнение (а), получаем откуда искомое время
Аналогично тому, как для одной материальной точки, выведем теорему об изменении количества движения для системы в различных формах.
Преобразуем уравнение (теорема о движении цента масс механической системы)
следующим образом:
;
Полученное уравнение выражает теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме: производная от количества движения механической системы по времени равна главному вектору внешних сил, действующих на систему .
В проекциях на декартовы оси координат:
; 
; 
.
Беря интегралы от обеих частей последних уравнений по времени, получим теорему об изменении количества движения механической системы в интегральной форме: изменение количества движения механической системы равно импульсу главного вектора внешних сил, действующих на систему .
.
Или в проекциях на декартовы оси координат:
; 
; 
.
Следствия из теоремы (законы сохранения количества движения)
Закон сохранения количества движения получаются как частные случаи теоремы об изменении количества движения для системы в зависимости от особенностей системы внешних сил. Внутренние силы могут быть любыми, так как они не влияют на изменения количества движения.
Возможны два случая:
1. Если векторная сумма всех внешних сил, приложенных к системе, равна нулю , то количество движения системы постоянно по величине и направлению
2. Если равна нулю проекция главного вектора внешних сил на какую либо координатную ось и/или и/или , то проекция количества движения на эти же оси является величиной постоянной, т.е. и/или и/или соответственно.
Аналогичные записи можно сделать и для материальной точки и для материальной точки.
Условие задачи . Из орудия, масса которого М , вылетает в горизонтальном направлении снаряд массы m со скоростью v . Найти скорость V орудия после выстрела.
Решение . Все внешние силы, действующие на механическую систему орудие-снаряд, вертикальны. Значит, на основании следствия из теоремы об изменении количества движения системы, имеем: .
Количество движения механической системы до выстрела:
Количество движения механической системы после выстрела:
.
Приравнивая правые части выражений, получим, что
.
Знак «-» в полученной формуле указывает на то, что после выстрела орудие откатится в направлении, противоположном оси Ox .
ПРИМЕР 2. Струя жидкости плотностью вытекает со скоростью V из трубы с площадью поперечного сечения F и ударяется под углом о вертикальную стенку. Определить давление жидкости на стену.
РЕШЕНИЕ. Применим теорему об изменении количества движения в интегральной форме к объему жидкости массой m ударяющемуся о стену за некоторый промежуток времени t .
УРАВНЕНИЕ МЕЩЕРСКОГО
(основное уравнение динамики тела переменной массы)
В современной технике возникают случаи, когда масса точки и системы не остается постоянной в процессе движения, а изменяется. Так, например, при полете космических ракет, вследствие выбрасывания продуктов сгорания и отдельных ненужных частей ракет, изменение массы достигает 90-95% общей начальной величины. Но не только космическая техника может быть примером динамики движения переменной массы. В текстильной промышленности происходит значительное изменения массы различных веретен, шпуль, рулонов при современных скоростях работы станков и машин.
Рассмотрим главные особенности, связанные с изменением массы, на примере поступательного движения тела переменной массы. К телу переменной массы нельзя непосредственно применить основной закон динамики. Поэтому получим дифференциальные уравнения движения точки переменной массы, применяя теорему об изменении количества движения системы.
Пусть точка массой m+dm движется со скоростью . Затем происходит отрыв от точки некоторой частицы массой dm движущейся со скоростью .
Количество движения тела до отрыва частицы:
Количество движения системы, состоящей из тела и оторвавшейся частицы, после ее отрыва:
Тогда изменение количества движения:
Исходя из теоремы об изменении количества движения системы:
Обозначим величину - относительная скорость частицы:
Обозначим 
Величину R называют реактивной силой. Реактивная сила является тягой двигателя, обусловленная выбросом газа из сопла.
Окончательно получим
-
Данная формула выражает основное уравнение динамики тела переменной массы (формула Мещерского). Из последней формулы следует, что дифференциальные уравнения движения точки переменной массы имеют такой же вид, как и для точки постоянной массы, кроме приложенных к точке дополнительно реактивной силы, обусловленной изменением массы.
Основное уравнение динамики тела переменной массы свидетельствует о том, что ускорение этого тела формируется не только за счет внешних сил, но и за счет реактивной силы.
Реактивная сила – это сила, родственная той, которую ощущает стреляющий человек - при стрельбе из пистолета она ощущается кистью руки; при стрельбе из винтовки воспринимается плечом.
Первая формула Циолковского (для одноступенчатой ракеты)
Пусть точка переменной массы или ракета движется прямолинейно под действием только одной реактивной силы. Так как для многих современных реактивных двигателей 
, где - максимально допускаемая конструкцией двигателя реактивная сила (тяга двигателя); - сила тяжести, действующая на двигатель, находящийся на земной поверхности. Т.е. изложенное позволяет составляющей в уравнении Мещерского пренебречь и к дальнейшему анализу принять это уравнение в форме: ,
Обозначим:
Запас топлива (при жидкостных реактивных двигателях - сухая масса ракеты (остающаяся её масса после выгорания всего топлива);
Масса отделившихся от ракеты частиц; рассматривается как переменная величина, изменяющаяся от до .
Запишем уравнение прямолинейного движения точки переменной массы в следующем виде вид
.
Так как формула для определения переменной массы ракеты
Следовательно, уравнения движения точки 
Беря интегралы от обеих частей получим
где - характеристическая скорость – это скорость, которую приобретает ракета под действием тяги после извержения из ракеты всех частиц (при жидкостных реактивных двигателях – после выгорания всего топлива).
Вынесенная за знак интеграла (что можно делать на основании известной из высшей математики теоремы о среднем) - это средняя скорость извергаемых из ракеты частиц.
Теорема об изменении количества движения точки
Так как масса точки постоянна, а ее ускорение то уравнение, выражающее основной закон динамики, можно представить в виде
Уравнение выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна геометрической сумме действующих на точку сил.
Проинтегрируем это уравнение. Пусть точка массы m , движущаяся под действием силы (рис.15), имеет в момент t =0 скорость , а в момент t 1 -скорость .
Рис.15
Умножим тогда обе части равенства на и возьмем от них определенные интегралы. При этом справа, где интегрирование идет по времени, пределами интегралов будут 0 и t
1 , а слева, где интегрируется скорость, пределами интеграла будут соответствующие значения скорости и
. Так как интеграл от 
равен ,
то в результате получим:
.
Стоящие справа интегралы представляют собою импульсы действующих сил. Поэтому окончательно будем иметь:
.
Уравнение выражает теорему об изменении количества движения точки в конечном виде: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени (рис. 15).
При решении задач вместо векторного уравнения часто пользуются уравнениями в проекциях.
В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси Ох теорема выражается первым из этих уравнений.
Пример 9.
Найти закон движения материальной точки массы m
, движущейся вдоль оси х
под действием постоянной по модулю силы F
(рис. 16) при начальных условиях: , при 
.
Рис.16
Решение.
Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось х
: . Интегрируя это уравнение, находим: 
. Постоянная определяется из начального условия для скорости и равна . Окончательно
.
Далее, учитывая, что v = dx/
dt
, приходим к дифференциальному уравнению: 
, интегрируя которое получаем
Постоянную определяем из начального условия для координаты точки. Она равна . Следовательно, закон движения точки имеет вид
Пример 10 . Груз веса Р (рис.17) начинает двигаться из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной плоскости под действием силы F = kt . Найти закон движения груза.
Рис.17
Решение.
Выберем начало отсчета системы координат О
в начальном положении груза и направим ось х
в сторону движения (рис. 17). Тогда начальные условия имеют вид: x
(t =
0) = 0,v(t =
0) = 0. На груз действуют силы F,
P
и сила реакции плоскости N
. Проекции этих сил на ось х
имеют значения F
x
= F
= kt
, Р
x
= 0, N x
= 0, поэтому соответствующее уравнение движения можно записать так: . Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении и затем интегрируя, получим: v = g
kt
2 /2P
+ C
1 . Подставляя начальные данные (v
(0) = 0), находим, чтоC
1 = 0, и получаем закон изменения скорости 
.
Последнее выражение, в свою очередь, является дифференциальным уравнением, интегрируя которое найдем закон движения материальной точки: 
. Входящую сюда постоянную определяем из второго начального условия х
(0) = 0. Легко убедиться, что . Окончательно
Пример 11. На груз, находящийся в покое на горизонтальной гладкой плоскости (см. рис. 17) на расстоянии a от начала координат, начинает действовать в положительном направлении осиx сила F = k 2 (P /g )x , где Р – вес груза. Найти закон движения груза.
Решение. Уравнение движения рассматриваемого груза (материальной точки) в проекции на ось х
Начальные условия уравнения (1) имеют вид: x (t = 0) = a , v(t = 0) = 0.
Входящую в уравнение (1) производную по времени от скорости представим так
.
Подставляя это выражение в уравнение (1) и сокращая на (P /g ), получим
Разделяя переменные в последнем уравнении, находим, что . Интегрируя последнее, имеем: . Используя начальные условия 
, получаем , и, следовательно,
, 
. (2)
Поскольку сила действует на груз в положительном направлении оси х , то ясно, что в том же направлении он должен и двигаться. Поэтому в решении (2) следует выбрать знак "плюс". Заменяя дальше во втором выражении (2) на , получаем дифференциальное уравнение для определения закона движения груза. Откуда, разделяя переменные, имеем
.
Интегрируя последнее, находим: 
. После нахождения постоянной окончательно получаем
Пример 12. Шар M массы m (рис.18) падает без начальной скорости под действием силы тяжести. При падении шар испытывает сопротивление , где – постоянный коэффициент сопротивления. Найти закон движения шара.
Рис.18
Решение. Введем систему координат с началом в точке местоположения шара при t = 0, направив ось у вертикально вниз (рис. 18). Дифференциальное уравнение движения шара в проекции на ось у имеет тогда вид
Начальные условия для шара записываются так: y (t = 0) = 0, v(t = 0) = 0.
Разделяя переменные в уравнении (1)
и интегрируя, находим: , где . Или после нахождения постоянной
или . (2)
Отсюда следует, что предельная скорость, т.е. скорость при , равна .
Чтобы найти закон движения, заменим в уравнении (2) v на dy/ dt . Тогда, интегрируя полученное уравнение с учетом начального условия, окончательно находим
.
Пример 13.
Научно-исследовательская подводная лодка шарообразной формы и массы m
= = 1.5×10 5 кг
начинает погружаться с выключенными двигателями, имея горизонтальную скорость v х
0 = 30 м/с
и отрицательную плавучесть Р
1 = 0.01mg
, где 
– векторная сумма архимедовой выталкивающей силы Q
и силы тяжести mg
, действующих на лодку (рис. 20). Сила сопротивления воды 
, кг/с
. Определить уравнения движения лодки и ее траекторию.