Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции. Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке Составить уравнение касательной и нормали в точке

Если функция задана в параметрической форме x(t) , y(t) , то уравнение нормали находят по формуле:

(x–x 0)x’+(y-y 0)y’=0

Назначение сервиса . Данный сервис предназначен для нахождения уравнения нормали к кривой . Решение оформляется в формате Word . Для получения уравнения необходимо выбрать вид заданной функции.

Алгоритм составления уравнения нормали к графику функции

1. Вычисление значения функции y 0 в точке x 0:y 0 = f(x 0). Если исходное значение y 0 задано, то переходим к п.2.
2. Нахождение производной y"(x).
3. Вычисление значения производной при x 0 .
4. Запись уравнения нормали к кривой линии в форме: y k = y 0 - 1/y"(y 0)(x - x 0)

Пример Задание №1
Найти уравнение нормали к параболе y = 1/2*x 2 в точке (-2;2).
Решение находим с помощью калькулятора .
Запишем уравнения нормали в общем виде:

По условию задачи x 0 = -2, тогда y 0 = 2
Теперь найдем производную:
y" = (1 / 2 x 2)" = x
следовательно:
f"(-2) = -2 = -2
В результате имеем:

или
y k = 1 / 2 x+3

Задание №2
Написать уравнения нормали к кривой y 2 -1/2*x 3 -8 в точке M 0 (0;2).
Решение .
Поскольку функция задана в неявном виде, то производную ищем по формуле:

Для нашей функции:


Тогда:

или

следовательно:
F x "(0;2) = 3 / 4 0 2 /2 = 0
В результате имеем:

или
x = 0

Задание №3
Написать уравнения нормали к эллипсу, заданному в параметрической форме: x = 5*sqrt(2)*cos(t);y = 3*sqrt(2)*sin(t) в точке M 0 (-5;3).
Решение .
Запишем уравнения нормали в для функции, заданной в параметрической форме:
(x - x 0)x" + (y - y 0)y" = 0
Данной точке M 0 (-5;3) соответствует значение t = 3 / 4 π
Для нашей функции:


следовательно:

В результате имеем:
(x +5)-5 + (y - 3)-3 = 0
или
y k = -5x-3y-16

Рассмотрим кривую, уравнение которой имеет вид

Уравнение касательной к данной кривой в точке имеет вид:

Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку, перпендикулярную к касательной в этой точке.

Уравнение нормали к данной кривой в точке имеет вид:

(35)

Длина отрезка касательной, заключенного между точкой касания и осью абсцисс называется длиной касательной , проекция этого отрезка на ось абсцисс называется подкасательной .

Длина отрезка нормали, заключенного между точкой касания и осью абсцисс называется длиной нормали ,проекция этого отрезка на ось абсцисс называется поднормалью.

Пример 17

Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке, абсцисса которой равна.

Решение:

Найдем значение функции в точке :

Найдем производную заданной функции в точке

Ответ: Уравнение касательной:

Уравнение нормали:.

Пример 18

Написать уравнения касательной и нормали, длины касательной и подкасательной, длины нормали и поднормали для эллипса

в точке , для которой.

Решение:

Найдем как производную функции, заданной параметрически по формуле (10):

Найдем координаты точки касания : и значение производной в точке касания :

Уравнение касательной найдем по формуле (34):

Найдем координаты точкипересечения касательной с осью:

Длина касательной равна длине отрезка :

Согласно определению, подкасательная равна

Где угол – угол между касательной и осью. Поэтому,- угловой коэффициент касательной, равный

Таким образом, подкасательная равна

Уравнение нормали найдем по формуле (35):

Найдем координатыточкипересечения нормали с осью:

Длина нормали равна длине отрезка :

Согласно определению, поднормаль равна

Где угол – угол между нормалью и осью. Поэтому,- угловой коэффициент нормали, равный

Поэтому, поднормаль равна:

Ответ: Уравнение касательной:

Уравнение нормали:

Длина касательной ; подкасательная;

Длина нормали ; поднормаль

Задания 7. Написать уравнения касательной и нормали:

1. К параболе в точке, абсцисса которой

2. К окружности в точках пересечения её с осью абсцисс

3. К циклоиде в точке, для которой

4. В каких точках кривой касательная параллельна:

а) оси Оx; б) прямой

.

10. Промежутки монотонности функции. Экстремумы функции.

Условие монотонности функции:

Для того, чтобы дифференцируемая на функцияне возрастала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неположительна.

Для того, чтобы дифференцируемая на функцияне убывала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неотрицательна.

Промежутки, на которых производная функции сохраняет определенный знак, называются промежутками монотонности функции

Пример 19

Найти промежутки монотонности функции .

Решение:

Найдем производную функции .

Найдем промежутки знакопостоянства полученной производной. Для этого

разложим полученный квадратный трехчлен на множители:

Исследуем знак полученного выражения, используя метод интервалов.

Таким образом, получаем согласно (36), (37),что заданная функция возрастает на и убывает на.

Ответ: Заданная функция возрастает наи убывает на.

Определение Функция имеет в точкелокальный максимум (минимум) , если существует такая окрестность точки , что для всехвыполняется условие

Локальный минимум или максимум функции называетсялокальным экстремумом.

Необходимое условие существования экстремума .

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки. Если функцияимеет в точкеэкстремумом, то производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Точка называетсякритической точкой функции , если производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Достаточные условия наличия экстремума в критической точке .

Пусть точка является критической.

Первое достаточное условие экстремума:

Пусть функция непрерывна в некоторой окрестноститочкии дифференцируема в каждой точке.

Точка является локальным максимумом, если при переходе через

производная функции меняет знак с плюса на минус.

Точка является локальным минимумом, если при переходе через

производная функции меняет знак с минуса на плюс.

Пример 20

Найти экстремумы функции .

Решение:

Найдем производную заданной функции

Приравнивая в полученной производной к нулю числитель и знаменатель, найдем критические точки:

Исследуем знак производной, используя метод интервалов.

Из рисунка видно, что при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в точке- локальный максимум.

При переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс.

Следовательно, в точке - локальный минимум.

При переходе через точку производная не меняет знак. Следовательно, критическая точкане является экстремумом заданной функции.

Ответ: - локальный максимум, - локальный минимум.

Второе достаточное условие экстремума:

Если первые производные функциив точкеравны нулю, а-ная производная функциив точкеотлична от нуля, то точкаявляется экстремумом функции, причем,

то -локальный минимум

то -локальный максимум.

Пример 21

Найти экстремумы функции, пользуясь второй производной .

Решение:

Найдем первую производную заданной функции

Найдем критические точки функции:

Точку мы не рассматриваем, так как функция определена только в левой окрестности.

Найдем вторую производную

Находим

Таким образом, на основании (39) делаем вывод о том, что при - локальный максимум.

Ответ: - локальный максимум.

Задания 8.

Исследовать на возростание и убывание функции:

Исследовать на экстремумы функции:

Определение: нормалью к кривой у= ¦(х) в точке М 0 называется прямая, проходящая через точку М 0 и перпендикулярна касательной в точке М 0 к этой кривой.

Напишем уравнение касательной и нормали, зная уравнение кривой и координаты точки М 0 . Касательная имеет угловой коэффициент к= t g = ¦ , (х 0). Из аналитической геометрии известно, что прямая имеет уравнение у- у 0 = к(х – х 0).

Поэтому уравнение касательной: у - у 0 = ¦ , (х 0)(х – х 0); (1)

Угловой коэффициент нормали К н = (так как они перпендикулярны), но тогда уравнение нормали:

у- у 0 =(-1/ ¦ , (х 0)(х – х 0); (2)

Если в точке не существует производная, то в этой точке не существует и касательная.

Например, функция ¦(х)=|х| в точке х=0 не имеет производной.

lim D х ®0 (D у/ D х)= lim D х ®0 (| D х|/ D х)=

Односторонние пределы существуют, но lim D х ®0 (D у/ D х) не существует

Касательная тоже.

Такая точка называется угловой точкой графика.

§4. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

Справедлива следующая теорема о дифференцируемой функции.

Теорема: если функция у= ¦(х) имеет конечную производную в точке х 0, то функция непрерывна в этой точке.

Доказательство:

Т.к. в точке х 0 существует производная ¦ , (х 0), т.е. существует предел

lim D х ®0 (D у/ D х)= ¦ , (х 0), то D у/ D х= ¦ , (х 0)+ , где

Б.м.в., зависящая от D х. При D х®0, ®0, т.к. = (D у/ D х) - ¦ , (х 0) ®0 при D х®0

Отсюда имеем: D у= ¦ , (х 0) D х + D х.

Но тогда

Бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, поэтому ¦(х) непрерывна в точке х 0 .

Важно понять, что обратная теорема не верна!

Не всякая непрерывная функция является дифференцируемой.

Так, ¦(х) =|х| является непрерывной в точке х 0 =0, график – сплошная линия, но ¦ , (0) не существует.

§5. Производные постоянной, синуса, косинуса и степенной функции.

1. у= ¦(х) =с; у, = (с) , = 0; (1)

Доказательство:

а) в любой точке х ¦(х) = с

б) дадим х приращение D х, х + D х, значение функции ¦ (х + D х)= с;

в) ¦ (х + D х)- ¦(х)= с- с= 0;

г) D у/ D х= 0/ D х = 0

д) lim D х ®0 (D у/ D х)= lim D х ®0 0 = 0

2. у= sin х; у, = (sin х) , = cos х; (2)

Доказательство:

а) в любой точке х ¦(х) = sin х;

б) дадим х приращение D х, х + D х, значение функции

Определение . Нормаль - это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.

Если существует конечная и отличная от нуля производная f"(x 0) то уравнение нормали к графику функции y=f(x) в точке x 0 выражается следующим уравнением:

Пример 1 . Написать уравнение нормали к кривой y=3x-x 2 в точке x 0 =2.

Решение.

1. Находим производную y"=3-2x

x 0 =2: f"(x 0)=f"(2)=3-2*2=-1

3. Находим значение функции в точке x 0 =2: f(x 0)=f(2)=3*2-2 2 =2

4. Подставляем найденные значения в уравнение нормали:

5. Получаем уравнение нормали: y=x

Калькулятор уравнения нормали

Найти уравнение нормали онлайн можно с помощью данного калькулятора.

Пример 2 . (Рассмотрим особый случай когда f"(x 0) равно нулю)

Написать уравнение нормали к кривой y=cos24x в точке x 0 =π/2

Решение.

1. Находим производную y"=2cos4x*(-sin4x*4)=-4sin2x

2. Находим значение производной в точке x 0 =π/2:

f"(x 0)=f"(π/2)=-4sin(2*π/2)=0 , следовательно уравнение нормали в данном случае применить нельзя.

Воспользуемся определением нормали,сначала находим , потом находим уравнение перпендикулярной прямой проходящей через данную точку.

Т е м а : Понятия касательной и нормали.

Уравнения касательной и нормали.

Цели:

Предметные: познакомить студентов с понятиями: касательная и нормаль к кривой; закрепить данные понятия при решении задач на составление уравнений касательной и нормали; выяснить, каким свойством обладают угловые коэффициенты касательной и нормали.

Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию невраждебным для оппонентов образом; уметь слушать и слышать друг друга.

Познавательные : устанавливать причинно-следственные связи; выражать смысл ситуации различными средствами (рисунки, символы, схемы, знаки).

Регулятивные: принимать познавательную цель, сохранять ее при выполнении учебных действий, регулировать весь процесс их выполнения и четко выполнять требования познавательной задачи.

Личностные: формирование познавательного интереса к изучению нового, мотивации к самостоятельной и коллективной исследовательской деятельности.

Ход урока:

1. Актуализация опорных знаний студентов:

(Введение понятий касательной и нормали к кривой)

Мы знаем аналитический и физический смысл производной: (ответы студентов :

аналитический смысл – это, физический – это скорость процесса, заданного функцией).

Выясним геометрический смысл производной.

Для этого введём понятие касательной к кривой в данной точке.

Из школьного курса геометрии, вы знаете понятие касательной к окружности. (ответы студентов : касательная к окружности определяется как прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и имеющая с ней единственную общую точку).

Но такое определение касательной неприменимо для случая произвольной кривой. Например, для параболы оси имеют по одной общей точке с параболой. Однако ось является касательной к параболе, а ось – нет. Дадим общее определение касательной к кривой в данной точке.

Пусть – некоторые точки произвольной кривой – секущая кривой. При приближении точки по кривой секущая будет поворачиваться вокруг точки

Определение. Предельное положение секущей при неограниченном приближении точки по кривой называется касательной к кривой в точке

Определение . Нормалью к кривой в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.

Если – касательная к кривой в точке,

то перпендикулярная будет нормалью к кривой в точке

Объяснение нового материала:

(Выясним, в чем заключается геометрический смысл производной , каким свойством обладают угловые коэффициенты касательной и нормали).

Пусть кривая является графиком функции. Точки

лежат на графике функции. Прямая – касательная к кривой.

Угол наклона касательной

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой в точке или угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке .

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид

(3)

Проблемные вопросы : посмотрите на уравнения касательной и нормали, в чем их различие и сходство?

Чему равно произведение? Почему так происходит?

(Студенты должны дать следующие ответы на вопросы: -1, так как касательная и нормаль взаимно перпендикулярны)

Закрепление теоретического материала на практике:

( Решение задач в аудитории)

П р и м е р 1. Вычислите угловые коэффициенты касательных к параболе в точках.

Решение. Из геометрического смысла производной (формула 1) угловой коэффициент касательной.

Найдём производную функции: .

. Следовательно, .

Найдём значение производной в точке

Следовательно, .

П р и м е р 2. У параболы проведены касательные в точках Найдите углы наклона касательных к оси Ох.

Решение. По формуле (1)

Найдём. .

Вычислим значение производной в точке: .

Следовательно, и.

Аналогично в точке.

Следовательно, и

П р и м е р 3. В какой точке касательная к кривой наклонена к оси Ох

под углом

Решение. По формуле (1)

; . Следовательно, и

Подставив в функцию, получим. Получили точку.

П р и м е р 4. Составить уравнение касательной и нормали к параболе в точке

Решение. Уравнение касательной к кривой имеет вид.

Из условия задачи. Найдём производную.

; .

Подставив все значения в уравнение получим уравнение касательной

или.

Составим уравнение нормали, воспользовавшись формулой:

или

Задачи для самостоятельного решения:

1.Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой в точке.

2.Кривая задана уравнением Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси, проведённых к кривой в точках в точках с абсциссами.

3.На кривой найти точку, в которой касательная параллельна прямой.

4.В какой точке касательная к кривой: а) параллельна оси; б) образует с осью угол 45?

5.Найти абсциссу точки параболы, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

6.Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой в точке.

7.В какой точке касательная к кривой образует с осью угол 30?

8.В какой точке касательная к графику функции образует угол 135

с осью?

9.В какой точке касательная к графику функции параллельна оси абсцисс?

10.В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе равен 3?

11.Найти угол наклона касательной к кривой в точке, абсцисса которой равна 2.

12.Составить уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой

13.Составить уравнение касательной к гиперболе в точке

14.Составить уравнение касательной к кривой в точке.

15.Найти касательную к кривой в точке с абсциссой.

Ответы : 1) .12 2). 45°, arctg 5 3) .(1;1) 4) .(0;-1) (0,5;-0,75) 5) .1/2 6) .1 7) .(/6;61/12) 8) .(0:-1) (4;3) 9) .(0;4) (1;-5) 10) .(1;1) (-1;-1) 11) . 45° 12) .у = -2х-1 13) .у = -х+2 14) .у=4х+6 15) .у = 4х-2.

Критерий оценки : «5»- 15 заданий

«4»- 11-14 заданий

«3»- 8 заданий

4. Итоги урока : выставление оценок; + и – урока для студента (что понял и в чем еше предстоит разобраться?)

5. Домашнее задание: подготовить ответы на вопросы:

Дайте определение касательной к кривой.

Что называется нормалью к кривой?

В чём заключается геометрический смысл производной? Запишите формулу.

Запишите уравнение касательной к кривой в данной точке.

Запишите уравнение нормали к кривой в данной точке.

Решить задачи 1-15 по выбору критерия оценки; дополнительно по желанию : составить и решить карточку по данной теме.