Элементы теории определителей и матрицы. Реферат: Теория Матриц и Определителей

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Элементы теории определителей

Определитель - это число, записанное в виде квадратной таблицы чисел, вычисляемое по определенным правилам.

Например, каждая из приведенных таблиц (1.1) состоит из равного числа строк и столбцов и представляет собой число, правила вычисления которого будут рассмотрены ниже.

Число строк и столбцов определяет порядок определителя. Так, определитель 1.1а) - третьего порядка, определитель 1.1б) - второго порядка, 1.1в) - первого порядка. Как видно, определитель первого порядка - это само число.

Прямые вертикальные скобки по краям таблицы - знак и символ определителя. Обозначается определитель заглавной буквой греческого алфавита? (дельта).

В общем виде определитель n-го порядка записывается так:

Каждый элемент а ij определителя имеет два индекса: первый индекс i указывает номер строки, второй j - номер столбца, на пересечении которых находится элемент. Так для определителя 1.1а) элементы а 11 , а 22 , а 23 , а 32 соответственно равны 2, 5, 4, 3.

Определитель 2-го порядка вычисляется по формуле

Определитель 2-го порядка равен произведению элементов, состоящих на главной диагонали минус произведение элементов, состоящих на побочной диагонали.

Для вычисления определителя 3-го порядка применяется «метод треугольников» и метод Саррюса. Но обычно на практике для вычисления определителя 3-го порядка применяется так называемый метод эффективного понижения порядка, который будет рассмотрен ниже.

Метод треугольников

При вычислении определителя этим методом удобно пользоваться графическим его представлением. На рис. 1.1 и 1.2 элементы определителя 3-го порядка схематически изображены точками.

Рис. 1.1 Рис. 1.2

При вычислении определителя следует произведение элементов, соединенных прямыми по схеме рис. 1.1, взять со знаком «плюс», а произведение элементов, соединенных по схеме рис. 1.2, взять со знаком «минус». В результате этих действий формула, по которой производится вычисление, имеет вид:

Вычислить определитель 3-го порядка.

Метод Саррюса

Для его реализации нужно справа от определителя приписать два первых столбца, составить произведения элементов, стоящих на главной диагонали и на прямых, параллельных ей, и взять их со знаком «плюс». Затем составить произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и параллельных к ней со знаком «минус».

Схема вычисления определителя методом Саррюса.

Вычислить определитель, данный в примере 1.2, методом Саррюса.

Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя

Минором М ij элемента а ij называется определитель (n -1) - го порядка, полученный из определителя n -го порядка путем вычеркивания i -ой строки и j -го столбца (т.е. вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится элемент а ij ).

Найти минор элементов а 23 и а 34 определителя 4-го порядка.

Элемент а 23 находится во 2-й строке и 3-м столбце. В данном примере а 23 =4. Вычеркивая на пересечении этого элемента 2-ю строку и 3-й столбец (показано в методических целях вертикальной и горизонтальной пунктирными линиями), получим минор М 23 этого элемента. Это уже будет определитель 3-го порядка.

При вычислении миноров операцию вычеркивания строки и столбца производят мысленно. Сделав это, получим

Алгебраическим дополнением А ij элемента а ij определителя n -го порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1) i + j , где i + j - сумма номеров строки и столбца, которым принадлежит элемент а ij . Т.е. по определению А ij =(-1) i + j М ij

Ясно, что если сумма i + j - число четное, то А ij =М ij , если i + j - число нечетное, то А ij = - М ij .

Для определителя найти алгебраические дополнения элементов а 23 и а 31 .

Для элемента а 23 i =2, j =3 и i + j =5 число нечетное, отсюда

Для элемента а 31 i =3, j =1 и i + j =4 число четное, значит

Свойства определителей

1. Если в определителе поменять местами два любых параллельных ряда (две строки или два столбца), знак определителя меняется на противоположный

Поменяли местами 2 параллельных столбца (1-й и 2-й).

Поменяли местами 2 параллельных строки (1-ю и 3-ю).

2. Общий множитель элементов любого ряда (строки или столбца) можно выносить за знак определителя.

Свойства равенства определителя нулю

3. Если все элементы некоторого ряда в определителе равны нулю, такой определитель равен нулю.

4. Если в определителе элементы любого ряда пропорциональны элементам параллельного ряда, определитель равен нулю.

Свойства инвариантности (неизменности) определителя.

5. Если в определителе поменять местами строки и столбцы, определитель не изменится.

6. Определитель не изменится, если к элементам любого ряда прибавить элементы любого параллельного ряда, умножив предварительно на некоторое число.

Свойство 6 широко применяется при вычислении определителей так называемым методом эффективного понижения порядка. При применении этого метода необходимо в одном ряду (одной строке или столбце) привести все элементы, кроме одного, к нулю. Отличный от нуля элемент определителя будет равен нулю, если его сложить с равным по величине, но противоположным по знаку числом.

Покажем на примере, как это делается.

Пользуясь свойствами 2 и 6 привести определитель к определителю, имеющему в каком-либо ряду два нуля.

Пользуясь свойством 2 упростим определитель, вынеся 2 из 1-й строки, 4 из 2-й строки и 2 из 3-й строки как общие множители.

Т.к. элемент а 22 равен нулю, то для решения задачи достаточно привести к нулю какой-либо элемент во 2-й строке или 2-м столбце. Сделать это можно несколькими способами.

Например, приведем элемент а 21 =2 к нулю. Для этого на основании свойства 6 умножим весь третий столбец на (-2) и сложим с первым. Выполнив эту операцию, получим

Можно привести к нулю элемент а 12 =2, тогда мы получим два элемента, равных нулю, во втором столбце. Для этого нужно 3-ю строку умножить на (-2) и полученные значения сложить с первой строкой

Вычисление определителя любого порядка

Правило для вычисления определителя любого порядка основано на теореме Лапласа.

Теорема Лапласа

Определитель равен сумме попарных произведений элементов любого ряда (строки или столбца) на их алгебраические дополнения.

В соответствии с этой теоремой определитель может быть вычислен путем его разложения или по элементам любой строки или любого столбца.

В общем виде определитель n-го порядка можно разложить и вычислить следующими способами:

Вычислить определитель по теореме Лапласа путем разложения его по элементам 3-ей строки и элементам 1-го столбца.

Вычисляем определитель путем разложения его по 3-ей строке

Вычислим определитель путем разложения его по первому столбцу

Метод эффективного понижения порядка

Трудоемкость вычисления определителя по теореме Лапласа будет существенно меньше, если в его разложении или по строке или по столбцу будет всего лишь одно слагаемое. Такое разложение получится, если в строке (или в столбце), по которой раскладывается определитель, все элементы, кроме одного равны нулю. Способ «обнуления» элементов определителя был рассмотрен ранее.

Вычислить определитель методом эффективного понижения порядка.

Т.к. определитель 3-го порядка, то «обнулим» какие-либо 2 элемента определителя. Удобно для этой цели взять 2-й столбец, элемент которого а 22 = - 1. Для того, чтобы элемент а 21 был равен нулю, следует 1-й столбец сложить со 2-м. Для того, чтобы элемент а 23 был равен нулю, нужно 2-й столбец умножить на 2 и сложить с 3-м. После выполнения этих операций заданный определитель преобразуется к определителю

Теперь этот определитель раскладываем по 2-й строке

Вычисление определителя прив едением его к треугольному виду

Определитель, у которого все элементы, находящиеся выше или ниже главной диагонали равны нулю, называется определителем треугольного вида. В этом случае определитель равен произведению его элементов главной диагонали.

Приведение определителя к треугольному виду всегда возможно на основании его свойств.

Дан определитель. Привести его к треугольному виду и вычислить.

«Обнулим», например, все элементы, расположенные выше главной диагонали. Для этого нужно выполнить три операции: 1-я операция - сложим первую строку с последней, получим а 13 = 0. 2-я операция - умножив последнюю строку на (-2) и сложив со 2-й, получим а 23 = 0. Ниже показано последовательное выполнение этих операций.

Для обнуления элемента а 12 сложим 1-ю и 2-ю строки

Элементы теории матриц

Матрицей называется таблица чисел или каких-либо других элементов, содержащая m строк и n столбцов.

Общий вид матрицы

Матрица, как и определитель, имеет элементы, снабженные двойным индексом. Смысл индексов тот же, что и для определителей.

Если определитель равен числу, то матрица ни к какому другому более простому объекту не приравнивается.

Круглые скобки по бокам матрицы - ее знак или символ (но не прямые скобки, которыми обозначается определитель). Для краткости матрица обозначается прописными (заглавными) буквами А, В, С и т.д.

Матрица имеет размер, который определяется ее количеством строк и столбцов, что записывается так - А m n .

Например, числовая матрица размером 23 имеет вид, размером 31 имеет вид, размером 14 имеет вид и т.д.

Матрица, в которой число сток равно числу столбцов, называется квадратной. В этом случае, как и для определителей, говорят о порядке матрицы.

Например, числовая матрица 3-го порядка имеет вид

Виды матриц

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом

Матрица называется квадратной n -го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n .

Например, - квадратная матрица 3-го порядка.

Диагональная матрица - квадратная матрица, у которой все элементы равны нулю, кроме тех, которые находятся на главной диагонали. Главная диагональ - это диагональ, идущая из верхнего левого угла в правый нижний угол.

Например, - диагональная матрица третьего порядка.

Диагональная матрица, все элементы которой равны единице, называется единичной и обозначается буквой Е или цифрой 1

Нуль-матрица - матрица, все элементы которой равны нулю.

Верхняя треугольная матрица - матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.

Нижняя треугольная матрица - матрица, все элементы которой, расположенные выше главной диагонали, равны нулю.

Например

Верхняя треугольная матрица

Нижняя треугольная матрица

Если в матрице А строки поменять столбцами, получим транспонированную матрицу, которая обозначается символом А* .

Например, заданная матрица,

транспонированная по отношению к ней матрица А*

Квадратная матрица А имеет определитель, который обозначается det A (det - сокращенное французское слово, обозначающее «определитель»).

Например, для матрицы А

ее определитель запишем

Все операции с определителем матрицы те же, что рассмотрены ранее.

Матрица, определитель которой равен нулю, называется особенной, или вырожденной, или сингулярной. Матрица, для которой ее определитель не равен нулю, называется неособенной или невырожденной.

Союзная или присоединенная матрица.

Если для заданной квадратной матрицы А определить алгебраические дополнения всех ее элементов и затем транспонировать их, то полученная таким образом матрица будет называться союзной или присоединенной по отношению к матрице А и обозначаться символом A

Для матрицы найти A .

Составляем определитель матрицы А

Определяем алгебраические дополнения всех элементов определителя по формуле

Транспонируя полученные алгебраические дополнения, получаем союзную или присоединенную матрицу A по отношению заданной матрицы А .

Действия над матрицами

Равенство матриц

Две матрицы А и В считаются равными, если:

а) обе они имеют один и тот же размер;

б) соответственные элементы этих матриц равны между собой. Под соответственными элементами понимаются элементы с одними и теми же индексами.

Сложение и вычитание матриц

Складывать и вычитать матрицы можно только одинаковой размерности. Суммой (разностью) двух матриц А и В будет третья матрица С , элементы которой С ij равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В . Согласно определению элементы матрицы С находятся по правилу.

Например, если

Понятие суммы (разности) матриц распространяется на любое конечное число матриц. При этом сумма матриц подчиняется таким законам:

а) переместительному А + В = В + А ;

б) сочетательному С + (А + В ) = (В + С ) + А .

Умножение матрицы на число.

Чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы.

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Например, .

Как видно, действия сложения, вычитания матриц, умножения матрицы на число аналогичны действиям над числами. Умножение матриц - операция специфическая.

Произведение двух матриц.

Не всякие матрицы можно перемножать. Произведение двух матриц А и В в указанном порядке А В возможно только тогда, когда число столбцов первого множителя А равно числу строк второго множителя В .

Например, .

Размер матрицы А 33, размер матрицы В 23. Произведение А В невозможно, произведение В А возможно.

Произведение двух матриц А и В есть третья матрица С, элемент С ij которой равен сумме попарных произведений элементов i-той строки первого множителя и j-того столбца второго множителя.

Было показано, что в данном случае возможно произведение матриц В А

Из правила существования произведения двух матриц следует, что произведение двух матриц в общем случае не подчиняется переместительному закону, т.е. А В? В А . Если в частном случае окажется, что А В = В А, то такие матрицы называются перестановочными или коммутативными.

В матричной алгебре произведение двух матриц может быть нулевой матрицей и тогда, когда ни одна из матриц сомножителей не является нулевой в противоположность обычной алгебре.

Например, найдем произведение матриц А В , если

Можно перемножать несколько матриц. Если можно перемножить матрицы А , В и произведение этих матриц можно умножить на матрицу С , то возможно составить произведение (А В ) С и А (В С ). В таком случае имеет место сочетательный закон относительно умножения (А В ) С = А (В С ).

Обратная матрица

Если две матрицы А и В одного и того же размера, а их произведение А В есть единичная матрица Е, то матрица В называется обратной к А и обозначается А -1 , т.е. А А -1 = Е .

Обратная матрица А -1 равна отношению союзной матрицы A к детерминанту матрицы А

Отсюда видно, что для того, чтобы существовала обратная матрица А -1 необходимо и достаточно, чтобы матрица detА ? 0, т.е., чтобы матрица А была невырожденной.

Для матрицы найти А -1 .

Определяем значение определителя матрицы А

Т.к. detА ? 0, обратная матрица существует. В примере 2.1. для заданного определителя была найдена союзная матрица

По определению

Ранг матрицы

Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

Рассмотрим матрицу А размером m n

Выделим произвольно в матрице А k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k -того порядка. Определитель этой матрицы называется минором k -того порядка матрицы А. Выделить k строк и k столбцов можно различными способами, в результате получаем различные миноры k -того порядка. Минорами 1-го порядка являются сами элементы. Очевидно, наибольший возможный порядок миноров равен наименьшему из чисел m и n . Среди образованных миноров различных порядков будут такие, которые равны нулю и не равны нулю.

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А называется рангом матрицы.

Ранг матрицы А обозначается rang A или r(А ).

Если ранг матрицы А равен r , то это означает, что в матрице имеется отличный от нуля минор порядка r , но всякий минор большего порядка, чем r равен нулю.

Из определения ранга матрицы следует, что:

а) ранг матрицы A m n не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. r (A ) ? min (m, n);

б) r (A ) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А = 0;

в) для квадратной матрицы n -го порядка r (A ) = n , если матрица невырожденная.

Рассмотрим на примере определение ранга матрицы методом окаймляющих миноров. Суть его заключается в последовательном переборе миноров матрицы и отыскания наивысшего порядка отличного от нуля минора.

Вычислить ранг матрицы.

Для матрицы А 3 4 r (A ) ? min (3,4) = 3. Проверим, равен ли ранг матрицы 3, для этого вычислим все миноры третьего порядка (их всего 4, они получаются при вычеркивании одного из столбцов матрицы).

Поскольку все миноры третьего порядка нулевые, r (A ) ? 2. Так как существует нулевой минор второго порядка, например

То r (A ) = 2.

Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которой равен ее рангу, называется базисным минором этой матрицы.

Матрица может иметь не один базисный минор, а несколько. Однако порядки всех базисных миноров одинаковы и равны рангу матрицы.

Строки и столбцы, образующие базисный минор, называются базисными.

Всякая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

Подобные документы

Понятие и сущность определителей второго порядка. Рассмотрение основ системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Изучение определителей n–ого порядка и методы их вычисления. Особенности системы из n линейных уравнений с n неизвестными.

презентация , добавлен 14.11.2014

Определители второго и третьего порядка. Перестановки и подстановки. Миноры и алгебраические дополнения. Применение методов приведения определителя к треугольному виду, представления определителя в виде суммы определителей, выделения линейных множителей.

курсовая работа , добавлен 19.07.2013

Понятие матрицы и линейные действия над ними. Свойства операции сложения матриц. Определители второго и третьего порядков. Применение правила Саррюса. Основные методы решения определителей. Элементарные преобразования матрицы. Свойства обратной матрицы.

учебное пособие , добавлен 04.03.2010

Задачи и методы линейной алгебры. Свойства определителей и порядок их вычисления. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Разработка вычислительного алгоритма в программе Pascal ABC для вычисления определителей и нахождения обратной матрицы.

курсовая работа , добавлен 01.02.2013

Понятие и назначение определителей, их общая характеристика, методика вычисления и свойства. Алгебра матриц. Системы линейных уравнений и их решение. Векторная алгебра, ее закономерности и принципы. Свойства и приложения векторного произведения.

контрольная работа , добавлен 04.01.2012

Элементы линейной алгебры. Виды матриц и операции над ними. Свойства определителей матрицы и их вычисление. Решение систем линейных уравнений в матричной форме, по формулам Крамера и методу Гаусса. Элементы дифференциального и интегрального исчислений.

учебное пособие , добавлен 06.11.2011

Число, характеризующее квадратную матрицу. Вычисление определителя первого и второго порядков матрицы. Использование правила треугольников. Алгебраическое дополнение некоторого элемента определителя. Перестановка двух строк или столбцов определителя.

презентация , добавлен 21.09.2013

Понятие ранга матрицы. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Свойства скалярного произведения. Разложение вектора по координатным осям. Минор и алгебраическое дополнение. Определители второго и третьего порядка. Плоскость и прямая в пространстве.

курс лекций , добавлен 30.10.2013

Теория определителей в трудах П. Лапласа, О. Коши и К. Якоби. Определители второго порядка и системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители третьего порядка и свойства определителей. Решение системы уравнений по правилу Крамера.

презентация , добавлен 31.10.2016

Определители второго и третьего порядков, свойства определителей. Два способа вычисления определителя третьего порядка. Теорема разложения. Теорема Крамера, которая дает практический способ решения систем линейных уравнений используя определители.

Определители второго и третьего порядка.

Числа m и n называются размерностями матрицы.

Матрица называется квадратной , если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.

Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом: .

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

Замечание. Для того чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило Крамера (треугольников). Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

Образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали:

14. Определители -го порядка. (определители высших порядков)

Определителем n -го порядка, соответствующим матрице n´n, называется число:

Основные методы вычисления определителей:

1) Метод понижения порядка определителя основан на соотношении: (1)

где называется алгебраическим дополнением элемента -го. Минором элемента -го называется определитель n-1 порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i -той строки и j -го столбца.

Соотношение (1) называется разложением определителя по i -той строке. Аналогично можно записать и разложение определителя по столбцу:

Теорема: Для любой квадратной матрицы имеет место равенство ,

где и – символ Кронекера

2) Метод приведения к треугольному виду основан на седьмом свойстве определителей.

Пример: Вычислить определитель: Вычтем первую строку из всех остальных.

3) Метод рекуррентных соотношений позволяет выразить данный определитель через определитель того же вида, но более низкого порядка.

Перестановки, инверсии.

Всякое расположение чисел 1, 2, ..., n в некотором определенном порядке, называется перестановкой из n символов (чисел).

Общий вид перестановки: .

Ни одно из не встречается в перестановке дважды.

Перестановка называется четной , если ее элементы составляют четное число инверсий, и нечетной в противном случае.

Числа k и р в перестановке составляют инверсию (беспорядок) , если k > р, но k стоит в этой перестановке перед р.

Три свойства перестановок.

Свойство 1: Число различных перестановок равно ( , читается: «n факториал»).

Доказательство. Число перестановок совпадает с числом способов, которыми можно составить различные перестановки. При составлении перестановок в качестве j 1 можно взять любое из чисел 1, 2, …, n , что дает n возможностей. Если j 1 уже выбрано, то в качестве j 2 можно взять одно из оставшихся n – 1 чисел, и число способов, которыми можно выбрать j 1 и j 2 будет равно и т.д. Последнее число в перестановке можно выбрать только одним способом, что дает способов, а значит, и перестановок.

Свойство 2: Всякая транспозиция меняет четность перестановки.

Доказательство. Случай 1. Транспонируемые числа стоят в перестановке рядом, т.е. она имеет вид (..., k , p , ...), здесь многоточием (...) отмечены числа, которые при транспозиции остаются на своих местах. Транспозиция превращает ее в перестановку вида (..., p , k ,...). В этих перестановках каждое из чисел k , р составляет одни и те же инверсии с числами, остающимися на местах. Если числа k и p ранее не составляли инверсии, (т.е. k < р ), то в новой перестановке появится еще одна инверсия и число инверсий увеличится на одну; если же k и р составляли инверсию, то после транспозиции число инверсий станет меньше на одну. В любом случае четность перестановки меняется.

Свойство 3: при перестановке определитель меняет знак.

17. Свойства определителей: определитель транспонированной матрицы, перемена местами строк в определителе, определитель матрицы с одинаковыми строками.

Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

Доказательство.

Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.

Свойство 6 . При перестановке двух строк определителя он умножается на –1.

Доказательство.

Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0:

Доказательство:

18. Свойства определителей: разложение определителя по строке.

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.

Обозначение: выбранный элемент определителя, его минор.

Пример. Для

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е.

Рассмотрим еще один способ вычисления определителей третьего порядка – так называемое разложение по строке или столбцу. Для этого докажем следующую теорему:

Теорема: Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.: где i=1,2,3.

Доказательство.

Докажем теорему для первой строки определителя, так как для любой другой строки или столбца можно провести аналогичные рассуждения и получить тот же результат.

Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки:

Доказательство этого свойства можно провести самостоятельно, сравнив значения левой и правой частей равенства, найденные с помощью определения 1.5.

Средняя школа № 45.

Город Москва.

Ученик 10 класса “Б” Горохов Евгений

Курсовая работа (черновик).

Введение в теорию матриц и определителей .

1996 год.

1. Матрицы.

1.1 Понятие матрицы.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m = n , матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком .

1.2 Основные операции над матрицами.

Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.

Перейдем к определению основных операций над матрицами.

Сложение матриц : Суммой двух матриц, например: A и B , имеющих одинаковое количество строк и столбцов, иными словами, одних и тех же порядков m и n называется матрица С = ( С ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) тех же порядков m и n , элементы Cij которой равны.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) ( 1.2 )

Для обозначения суммы двух матриц используется запись C = A + B. Операция составления суммы матриц называется их сложением

Итак по определению имеем:

+ =

Из определения суммы матриц, а точнее из формулы ( 1.2 ) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

переместительным свойством: A + B = B + A

сочетательным свойством: (A + B) + C = A + (B + C)

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число :

Произведением матрицы на вещественное число называется матрица C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , элементы которой равны

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). ( 1.3 )

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C = A или C = A . Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Непосредственно из формулы ( 1.3 ) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

распределительным свойством относительно суммы матриц:

( A + B) = A + B

сочетательным свойством относительно числового множителя:

( ) A = ( A)

распределительным свойством относительно суммы чисел:

( + ) A = A + A .

Замечание : Разностью двух матриц A и B одинаковых порядков естественно назвать такую матрицу C тех же порядков, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A . Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: C = A – B.

Перемножение матриц :

Произведением матрицы A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , имеющей порядки соответственно равные m и n , на матрицу B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , имеющую порядки соответственно равные n и p , называется матрица C = (С ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , имеющая порядки, соответственно равные m и p , и элементы Cij , определяемые формулой

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) ( 1.4 )

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись

C = AB . Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B : необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B . Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Формула ( 1.4 ) представляет собой правило составления элементов матрицы C ,

являющейся произведением матрицы A на матрицу B . Это правило можно сформулировать и словесно: Элемент Cij , стоящий на пересечении i -й строки и j- го столбца матрицы C = AB , равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы A и j- го столбца матрицы B . В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

Из формулы ( 1.4 ) вытекают следующие свойства произведения матрицы A на матрицу B :

сочетательное свойство: ( AB) C = A (BC);

распределительное относительно суммы матриц свойство:

(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.

Вопрос о перестановочном свойстве произведения матриц имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Элементарные примеры показывают, что произведений двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, перестановочным свойством. В самом деле, если положить

A = , B = , то AB = , а BA =

Те же матрицы, для произведения которых справедливо перестанавочное свойство, принято называть коммутирующими.

Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Среди всех диагональных матриц с совпадающими элементами на главной диагонали особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается, когда все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей n- E . Вторая матрица получается при всех элементах равных нулю и называется нулевой матрицей n- ого порядка и обозначается символом O . Допустим, что существует произвольная матрица A , тогда

AE = EA = A , AO = OA = O .

Первая из формул характеризует особую роль единичной матрицы Е , аналогичную то роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О , то ее выявляет не только вторая из формул, но и элементарно проверяемое равенство: A + O = O + A = A . Понятие нулевой матрицы можно вводить и не для квадратных матриц.

2. Определители.

2.1 Понятие определителя.

Прежде всего необходимо запомнить, что определители существуют только для матриц квадратного вида, ибо для матриц другого типа не существует определителей. В теории систем линейных уравнений и в некоторых других вопросах удобно использовать понятие определителя , или детерминанта .

2.2 Вычисление определителей.

Рассмотрим какую-либо четверку чисел, записанных в виде матрицы по два в строках и по два столбцах , Определителем или детерминантом , составленным из чисел этой таблицы, называется число ad-bc , обозначаемое так: . Такой определитель называется определителем второго порядка , поскольку для его составления взята таблица из двух строк и двух столбцов. Числа, из которых составлен определитель, называются его элементами ; при этом говорят, что элементы a и d составляют главную диагональ определителя, а элементы b и c его побочную диагональ . Видно, что определитель равен разности произведений пар элементов, стоящих на его главной и побочной диагоналях. Определитель третьего и любого другого порядка находится примерно также, а именно: Допустим, что у нас есть квадратная матрица . Определителем следующей матрицы является такое выражение: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Как вы видите он просчитывается довольно легко, если запомнить определенную последовательность. С положительным знаком идут главная диагональ и образующиеся из элементов треугольники, имеющие параллельную главной диагонали сторону, в данном случае это треугольники a12a23a31 , a13a21a32 .

С отрицательным знаком идут побочная диагональ и треугольники ей параллельные, т.е. a11a23a32 , a12a21a33 . Таким образом находятся определители любого порядка. Но бывают случаи, когда и этот метод становится довольно сложным, например, когда элементов в матрице очень много, и для того, чтобы сосчитать определитель нужно затратить уйму времени и внимания.

Существует более легкий способ вычисления определителя n- ого порядка, где n 2 . Договоримся называть минором любого элемента Aij матрицы n- ого порядка определитель, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы в результате вычеркивания i -й строки и j- ого столбца (той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij ). Минор элемента Aij будем обозначать символом . В этом обозначении верхний индекс обозначает номер строки, нижний – номер столбца, ф черта над M означает, что указанные строка и столбец вычеркиваются. Определителем порядка n , соответствующим матрице, назовем число, равное и обозначаемое символом .

Теорема 1.1 Каков бы ни был номер строки i ( i =1, 2 …, n) , для определителя n- ого порядка справедлива формула

= det A =

называемая i- й строке . Подчеркнем, что в этой формуле показатель степени, в которую возводится число (-1), равен сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij .

Теорема 1.2 Каков бы ни был номер столбца j ( j =1, 2 …, n) , для определителя n -го порядка справедлива формула

= det A =

называемая разложением этого определителя по j- ому столбцу .

2.3 Основные свойства определителей.

У определителей также есть свойства, с помощью которых задача их вычисления становится более легкой. Итак, ниже устанавливается ряд свойств, которыми обладает произвольный определитель n -го порядка.

1 . Свойство равноправности строк и столбцов . Транспонированием любой матрицы или определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате транспонирования матрицы A получается матрица, называется матрица, называемая транспонированной по отношению к матрице A и обозначается символом A .

Первое свойство определителя формулируется так: при транспонировании величина определителя сохраняется, т. е. = .

2 . Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (или двух столбцов) . При перестановке местами двух строк (или двух столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный. Для определителя второго порядка это свойство проверяется элементарно (из формулы вычисления определителя второго порядка сразу вытекает, что определители отличаются лишь знаком).

3 . Линейное свойство определителя. Будем говорить, что некоторая строка ( a) является линейной комбинацией двух других строк ( b и c ) с коэффициентами и . Линейное свойство можно сформулировать так: если в определителе n -го порядка некоторая i -я строка является линейной комбинацией двух строк с коэффициентами и , то = + , где

– определитель, у которого i -я строка равна одной из двух строк линейной комбинации, а все остальные строки те же, что и у , а – определитель, у которого i- я строка равна второй из двух строк, а все остальные строки те же, что и у .

Эти три свойства являются основными свойствами определителя, вскрывающими его природу. Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств.

Следствие 1. Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

Следствие 2. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число a равносильно умножению определителя на это число a . Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя можно вынести за знак этого определителя.

Следствие 3. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Следствие 4. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Следствие 5. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умножение на произвольный множитель , то величина определителя не изменяется. Следствие 5, как и линейное свойство, допускает более общую формулировку, которую я приведу для строк: если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы строки, являющейся линейной комбинацией нескольких других строк этого определителя (с какими угодно коэффициентами), то величена определителя не изменится. Следствие 5 широко применяется при конкретном вычислении определителей.

3. Системы линейных уравнений.

3.1 Основные определения.

…….

3.2 Условие совместности систем линейных уравнений.

…….

3.3 Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Известно, что используя матрицы мы можем решать различные системы уравнений, при чем эти системы могут быть какой угодно величены и иметь сколько угодно переменных. С помощью нескольких выводов и формул решение огромных систем уравнений становится довольно быстрым и более легким.

В частности, я опишу методы Крамера и Гаусса. Наилегчайшим способом является метод Крамера (для меня), или как его еще называют – формула Крамера. Итак, допустим, что мы имеем какую-либо систему уравнений . Основным определителем как вы уже заметили является матрица составленная из коэффициентов стоящих при переменных. Они также идут в порядке столбцов, т. е. в первом столбце стоят коэффициенты, которые находятся при x , во втором столбце при y , и так далее. Это очень важно, ибо в следующих действиях мы будем заменять каждый столбец коэффициентов при переменной на столбец ответов уравнений. Итак, как я уже говорил, мы заменяем столбец при первой переменной на столбец ответов, затем при второй, конечно это все зависит от того, сколько переменных нам нужно найти.

1 = , 2 = , 3 = .

Затем нужно найти определители определителем системы .

3.4 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

…….

4. Обратная матрица.

4.1 Понятие обратной матрицы.

4.2 Вычисление обратной матрицы.

Список литературы.

В. А. Ильин, Э. Г. Позняк “Линейная Алгебра”

2. Г. Д. Ким, Е. В. Шикин “Элементарные преобразования в линейной алгебре”

Тема 1. Матрицы и определители матриц

Что узнаем:

Основные понятия линейной алгебры: матрица, определитель.

Чему научимся:

Производить операции над матрицами;

Вычислять определителями второго и третьего порядка.

Тема 1.1. Понятие матрицы. Действия над матрицами

∆ Матрицей называется прямоугольная таблица, состоящая из строк и столбцов, заполненная некоторыми математическими объектами.

Матрицы обозначают большими латинскими буквами, саму таблицу заключают в круглые скобки (реже в квадратные или другой формы).

Элементы а ij называют элементами матрицы . Первый индекс i – номер строки, второй j – номер столбца. Чаще элементами являются числа.

Запись «матрица А имеет размер m × n » означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов.

Если m = 1, а n > 1 , то матрица является матрицей – строкой . Если m > 1, а n = 1 , то матрица является матрицей – столбцом .

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов (m = n ), называется квадратной .

Элементы a 11 , a 22 ,…, a nn квадратной матрицы A (размера n × n ) образуют главную диагональ , элементы a 1 n , a 2 n -1 ,…, a n 1 - побочную диагональ .

В матрице
элементы 5; 7 образуют главную диагональ, элементы –5; 8 – побочную диагональ.

Матрицы A и B называются равными (A = B ), если они имеют одинаковый размер и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают, т.е. а ij = b ij .

Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, а остальные элементы равны нулю. Единичную матрицу обычно обозначают Е.

Матрицей, транспонированной к матрице А размера m × n , называется матрица А Т размера n × m , полученная из матрицы А, если ее строки записать в столбцы, а столбцы – в строки.

Арифметические действия над матрицами.

Чтобы найти сумму матриц A и B одной размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):

Сложение матриц коммутативно, то есть А + В = В + А.

Чтобы найти разность матриц A и B одной размерности, необходимо найти разность элементов с одинаковыми индексами:

Чтобы умножить матрицу A на число k , необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

Произведение матриц AB можно определить только для матриц A размера m × n и B размера n × p , т.е. число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В . При этом A · B = C , матрица C имеет размер m × p , и ее элемент c ij находится как скалярное произведение i -й строки матрицы A на j -й столбец матрицы B : ( i =1,2,…, m ; j =1,2,…, p ).

!! Фактически необходимо каждую строку матрицы A (стоящей слева) умножить скалярно на каждый столбец матрицы B (стоящей справа).

Произведение матриц не коммутативно, то есть А·В ≠ В·А . ▲

☺ Необходимо разобрать примеры для закрепления теоретического материала.

Пример 1. Определение размера матриц.

Пример 2. Определение элементов матрицы.

В матрице элемент а 11 = 2, а 12 = 5, а 13 = 3.

В матрице элемент а 21 = 2, а 13 = 0.

Пример 3. Выполнение транспонирования матриц.

Пример 4. Выполнение операций над матрицами.

Найти 2 A - B , если , .

Решение. .

Пример 5. Найти произведение матриц и .

Решение. Размер матрицы A – 3 × 2 , матрицы В – 2 × 2 . Поэтому произведение А·В найти можно. Получаем:

Произведение В·А найти нельзя.

Пример 6. Найти А 3 , если А =
.

Решение. А 2 = ·=
=
,

А 3 = ·=
=
.

Пример 6. Найти 2 А 2 + 3 А + 5 Е при
,
.

Решение. ,

,
,

,
.

Задания для выполнения

1. Заполнить таблицу.

Матрица	Размер	Вид матрицы	Элементы матрицы
Матрица	Размер	Вид матрицы		а 12	а 23	а 32	а 33

2. Выполнить операции над матрицами
и
:

3. Выполнить умножение матриц:

4. Транспонировать матрицы:

? 1. Что такое матрица?

2. Как отличить матрицу от других элементов линейной алгебры?

3. Как определить размер матрицы? Для чего это необходимо?

4. Что означает запись а ij ?

5. Дайте пояснение следующим понятиям: главная диагональ, побочная диагональ матрицы.

6. Какие операции можно выполнять над матрицами?

7. Объясните суть операции умножения матриц?

8. Любые ли матрицы можно умножить? Почему?

Тема 1.2. Определители второго и третьего порядка : м етоды их вычисления

∆ Если А – квадратная матрица n -го порядка, то с ней можно связать число, называемое определителем n-го порядка и обозначаемое через |А|. То есть определитель записывается как матрица, но вместо круглых скобок заключается в прямые.

!! Иногда определители называют на английский манер детерминантами, то есть = det A.

Определитель 1-го порядка (определитель матрицы А размера 1 × 1 ) - это сам элемент, который содержит матрица А, то есть .

Определитель 2-го порядка (определитель матрицы Aразмера 2 × 2 ) – это число, которое можно найти по правилу:

(произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).

Определитель 3-го порядка (определитель матрицы Aразмера 3 × 3 ) – это число, которое можно найти по правилу «треугольников»:

Для вычисления определителей 3-го порядка можно использовать более простое правило – правило направлений (параллельных линий).

Правило направлений : с права от определителя дописывают два первых столбца, произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус".

!! Для вычисления определителей можно использовать их свойства, которые справедливы для определителей любого порядка.

Свойства определителей:

1° . Определитель матрицы А не меняется при транспонировании, т.е. |А| = |А Т |. Данное свойство характеризует равноправность строк и столбцов.

2° . При перестановке двух строк (двух столбцов) определитель сохраняет прежнее значение, а знак меняется на обратный.

4° . Если какая-нибудь строка или столбец содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Следствие 4.1. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Следствие 4.2. Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам параллельного ему ряда, то определитель равен нулю. ▲

☺ Необходимо разобрать правила вычисления определителей.

Пример 1. Вычисление определителей второго порядка ,
.

Решение.

Средняя школа № 45.

Город Москва.

Ученик 10 класса “Б” Горохов Евгений

Курсовая работа (черновик).

Введение в теорию матриц и определителей .

1. Матрицы.........................................................................................................................................................

1.1 Понятие матрицы....................................................................................................................................

1.2 Оновные операции над матрицами................................................................................................

2. Определители...........................................................................................................................................

2.1 Понятие определителя..........................................................................................................................

2.2 Вычисление определителей................................................................................................................

2.3 Основные свойства определителей................................................................................................

3. Системы линейных уравнений................................................................................................

3.1 Основные определения.........................................................................................................................

3.2 Условие совместности систем линейных уравнений...........................................................

3.3 Решение ситем линейных уравнений метедом Крамера.....................................................

3.4 Решение ситем линейных уравнений метедом Гаусса........................................................

4. Обратная матрица.................................................................................................................................

4.1 Понятие обратной матрицы................................................................................................................

4.2 Вычесление обратной матрицы........................................................................................................

Список литературы..................................................................................................................................

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m = n , матрица называется квадратной, а число m = n -- ее порядком .

Перейдем к определению основных операций над матрицами.

Сложение матриц : Суммой двух матриц, например: A и B , имеющих одинаковое количество строк и столбцов, иными словами, одних и тех же порядков m и n называется матрица С = ( С ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) тех же порядков m и n , элементы Cij которой равны.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Для обозначения суммы двух матриц используется запись C = A + B. Операция составления суммы матриц называется их сложением

Итак по определению имеем:

+ =

Из определения суммы матриц, а точнее из формулы (1.2 ) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

1) переместительным свойством: A + B = B + A

2) сочетательным свойством: (A + B) + C = A + (B + C)

Умножение матрицы на число :

Произведением матрицы на вещественное число называется матрица C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , элементы которой равны

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

Непосредственно из формулы (1.3 ) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1) распределительным свойством относительно суммы матриц:

( A + B) = A + B

2) сочетательным свойством относительно числового множителя:

() A = ( A)

3) распределительным свойством относительно суммы чисел:

( + ) A = A + A .

Замечание : Разностью двух матриц A и B одинаковых порядков естественно назвать такую матрицу C тех же порядков, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A . Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: C = A – B.

Перемножение матриц :

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись

C = AB . Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B : необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B . Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Формула (1.4 ) представляет собой правило составления элементов матрицы C ,

являющейся произведением матрицы A на матрицу B . Это правило можно сформулировать и словесно: Элемент Cij , стоящий на пересечении i -й строки и j- го столбца матрицы C = AB , равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы A и j- го столбца матрицы B . В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

Из формулы (1.4 ) вытекают следующие свойства произведения матрицы A на матрицу B :

1) сочетательное свойство: ( AB) C = A (BC);

2) распределительное относительно суммы матриц свойство:

(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.

A = , B = , то AB = , а BA =

Те же матрицы, для произведения которых справедливо перестанавочное свойство, принято называть коммутирующими.

Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Среди всех диагональных матриц с совпадающими элементами на главной диагонали особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается, когда все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей n- E . Вторая матрица получается при всех элементах равных нулю и называется нулевой матрицей n- ого порядка и обозначается символом O . Допустим, что существует произвольная матрица A , тогда

AE = EA = A , AO = OA = O .

Первая из формул характеризует особую роль единичной матрицы Е , аналогичную то роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О , то ее выявляет не только вторая из формул, но и элементарно проверяемое равенство: A + O = O + A = A . Понятие нулевой матрицы можно вводить и не для квадратных матриц.

Рассмотрим какую-либо четверку чисел, записанных в виде матрицы по два в строках и по два столбцах , Определителем или детерминантом , составленным из чисел этой таблицы, называется число ad-bc , обозначаемое так:.Такой определитель называется определителем второго порядка , поскольку для его составления взята таблица из двух строк и двух столбцов. Числа, из которых составлен определитель, называются его элементами ; при этом говорят, что элементы a и d составляют главную диагональ определителя, а элементы b и c его побочную диагональ . Видно, что определитель равен разности произведений пар элементов, стоящих на его главной и побочной диагоналях. Определитель третьего и любого другого порядка находится примерно также, а именно: Допустим, что у нас есть квадратная матрица . Определителем следующей матрицы является такое выражение: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Как вы видите он просчитывается довольно легко, если запомнить определенную последовательность. С положительным знаком идут главная диагональ и образующиеся из элементов треугольники, имеющие параллельную главной диагонали сторону, в данном случае это треугольники a12a23a31, a13a21a32 .

Существует более легкий способ вычисления определителя n- ого порядка, где n2 . Договоримся называть минором любого элемента Aij матрицы n- ого порядка определитель, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы в результате вычеркивания i -й строки и j- ого столбца (той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij ). Минор элемента Aij будем обозначать символом . В этом обозначении верхний индекс обозначает номер строки, нижний – номер столбца, ф черта над M означает, что указанные строка и столбец вычеркиваются. Определителем порядка n , соответствующим матрице, назовем число, равное и обозначаемое символом .

Теорема 1.1 Каков бы ни был номер строки i ( i =1, 2 …, n) , для определителя n- ого порядка справедлива формула

= det A =

называемая i- й строке . Подчеркнем, что в этой формуле показатель степени, в которую возводится число (-1), равен сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij .

Теорема 1.2 Каков бы ни был номер столбца j ( j =1, 2 …, n) , для определителя n -го порядка справедлива формула

= det A =

называемая разложением этого определителя по j- ому столбцу .

1. Свойство равноправности строк и столбцов . Транспонированием любой матрицы или определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате транспонирования матрицы A получается матрица, называется матрица, называемая транспонированной по отношению к матрице A и обозначается символом A .

2. Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (или двух столбцов) . При перестановке местами двух строк (или двух столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный. Для определителя второго порядка это свойство проверяется элементарно (из формулы вычисления определителя второго порядка сразу вытекает, что определители отличаются лишь знаком).

3. Линейное свойство определителя. Будем говорить, что некоторая строка ( a) является линейной комбинацией двух других строк ( b и c ) с коэффициентами и . Линейное свойство можно сформулировать так: если в определителе n -го порядка некоторая i -я строка является линейной комбинацией двух строк с коэффициентами и , то = + , где

– определитель, у которого i -я строка равна одной из двух строк линейной комбинации, а все остальные строки те же, что и у , а – определитель, у которого i- я строка равна второй из двух строк, а все остальные строки те же, что и у .

Эти три свойства являются основными свойствами определителя, вскрывающими его природу. Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств.

Следствие 1. Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

Следствие 2. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число a равносильно умножению определителя на это число a . Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя можно вынести за знак этого определителя.

Следствие 3. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Следствие 4. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Следствие 5. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умножение на произвольный множитель , то величина определителя не изменяется. Следствие 5, как и линейное свойство, допускает более общую формулировку, которую я приведу для строк: если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы строки, являющейся линейной комбинацией нескольких других строк этого определителя (с какими угодно коэффициентами), то величена определителя не изменится. Следствие 5 широко применяется при конкретном вычислении определителей.

, в виде матрицы эту систему можно записать таким образом: A = , где ответы будут уравнений будут находится в последнем столбце. Теперь мы введем понятие основного определителя; в данном случае он будет выглядеть таким образом:

= . Основным определителем как вы уже заметили является матрица составленная из коэффициентов стоящих при переменных. Они также идут в порядке столбцов, т. е. в первом столбце стоят коэффициенты, которые находятся при x , во втором столбце при y , и так далее. Это очень важно, ибо в следующих действиях мы будем заменять каждый столбец коэффициентов при переменной на столбец ответов уравнений. Итак, как я уже говорил, мы заменяем столбец при первой переменной на столбец ответов, затем при второй, конечно это все зависит от того, сколько переменных нам нужно найти.

1 = , 2 = , 3 = .

Затем нужно найти определители 1 , 2 , 3 . Как находится определитель третьего порядка вы уже знаете. А вот здесь мы и применяем правило Крамера. Оно выглядит так:

x1 = , x2 = , x3 = – для данного случая, а в общем виде оно выглядит следующим образом: x i = . Определитель составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы .

1. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк “Линейная Алгебра”

2. Г. Д. Ким, Е. В. Шикин “Элементарные преобразования в линейной алгебре”