Координаты фокусов эллипса онлайн калькулятор. Линии второго порядка
Линии второго порядка.
Эллипс и его каноническое уравнение. Окружность
После основательной проработки прямых на плоскости продолжаем изучать геометрию двухмерного мира. Ставки удваиваются, и я приглашаю вас посетить живописную галерею эллипсов, гипербол, парабол, которые являются типичными представителями линий второго порядка . Экскурсия уже началась, и сначала краткая информация обо всей экспозиции на разных этажах музея:
Понятие алгебраической линии и её порядка
Линию на плоскости называют алгебраической , если в аффинной системе координат её уравнение имеет вид , где – многочлен, состоящий из слагаемых вида ( – действительное число, – целые неотрицательные числа).
Как видите, уравнение алгебраической линии не содержит синусов, косинусов, логарифмов и прочего функционального бомонда. Только «иксы» и «игреки» в целых неотрицательных степенях.
Порядок линии равен максимальному значению входящих в него слагаемых.
По соответствующей теореме, понятие алгебраической линии, а также её порядок не зависят от выбора аффинной системы координат , поэтому для лёгкости бытия считаем, что все последующие выкладки имеют место быть в декартовых координатах .
Общее уравнение
линии второго порядка имеет вид , где 
– произвольные действительные числа ( принято записывать с множителем-«двойкой»)
, причём коэффициенты не равны одновременно нулю.
Если , то уравнение упрощается до 
, и если коэффициенты одновременно не равны нулю, то это в точности общее уравнение «плоской» прямой
, которая представляет собой линию первого порядка
.
Многие поняли смысл новых терминов, но, тем не менее, в целях 100%-го усвоения материала сунем пальцы в розетку. Чтобы определить порядок линии, нужно перебрать все слагаемые её уравнения и у каждого из них найти сумму степеней входящих переменных.
Например:
слагаемое содержит «икс» в 1-й степени;
слагаемое содержит «игрек» в 1-й степени;
в слагаемом переменные отсутствуют, поэтому сумма их степеней равна нулю.
Теперь разберёмся, почему уравнение задаёт линию второго порядка:
слагаемое содержит «икс» во 2-й степени;
у слагаемого сумма степеней переменных: 1 + 1 = 2;
слагаемое содержит «игрек» во 2-й степени;
все остальные слагаемые – меньшей
степени.
Максимальное значение: 2
Если к нашему уравнению дополнительно приплюсовать, скажем, , то оно уже будет определять линию третьего порядка
. Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
, где коэффициенты не равны одновременно нулю.
В том случае, если добавить одно или несколько подходящих слагаемых, которые содержат 
, то речь уже зайдёт о линии 4-го порядка
, и т.д.
С алгебраическими линиями 3-го, 4-го и более высоких порядков нам придется столкнуться ещё не раз, в частности, при знакомстве с полярной системой координат .
Однако вернёмся к общему уравнению и вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола , уравнение которой легко привести к общему виду , и гипербола с эквивалентным уравнением . Однако не всё так гладко….
Существенный недостаток общего уравнения состоит в том, что почти всегда не понятно, какую линию оно задаёт. Даже в простейшем случае не сразу сообразишь, что это гипербола. Такие расклады хороши только на маскараде, поэтому в курсе аналитической геометрии рассматривается типовая задача приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .
Что такое канонический вид уравнения?
Это общепринятый стандартный вид уравнения, когда в считанные секунды становится ясно, какой геометрический объект оно определяет. Кроме того, канонический вид очень удобен для решения многих практических заданий. Так, например, по каноническому уравнению «плоской» прямой , во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка и направляющий вектор .
Очевидно, что любая линия 1-го порядка представляет собой прямую. На втором же этаже нас ждёт уже не вахтёр, а гораздо более разнообразная компания из девяти статуй:
Классификация линий второго порядка
С помощью специального комплекса действий любое уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов:
( и – положительные действительные числа)
1) 
– каноническое уравнение эллипса;
2) – каноническое уравнение гиперболы;
3) 
– каноническое уравнение параболы;
4) – мнимый эллипс;
5) – пара пересекающихся прямых;
6) – пара мнимых пересекающихся прямых (с единственной действительной точкой пересечения в начале координат);
7) – пара параллельных прямых;
8) – пара мнимых параллельных прямых;
9) – пара совпавших прямых.
У ряда читателей может сложиться впечатление неполноты списка. Например, в пункте № 7 уравнение задаёт пару прямых , параллельных оси , и возникает вопрос: а где же уравнение , определяющее прямые , параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим . Прямые представляют собой тот же самый стандартный случай , повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись в классификации избыточна, поскольку не несёт ничего принципиально нового.
Таким образом, существует девять и только девять различных видов линий 2-го порядка, но на практике наиболее часто встречаются эллипс, гипербола и парабола .
Сначала рассмотрим эллипс. Как обычно, я акцентирую внимание на тех моментах, которые имеют большое значение для решения задач, и если вам необходим подробный вывод формул, доказательства теорем, пожалуйста, обратитесь, например, к учебнику Базылева/Атанасяна либо Александрова.
Эллипс и его каноническое уравнение
Правописание… пожалуйста, не повторяйте ошибок некоторых пользователей Яндекса, которых интересует «как построить эллибз», «отличие элипса от овала» и «эксцентриситет элебса».
Каноническое уравнение эллипса имеет вид , где – положительные действительные числа, причём . Само определение эллипса я сформулирую позже, а пока самое время отдохнуть от говорильни и решить распространённую задачу:
Как построить эллипс?
Да, вот взять его и просто начертить. Задание встречается часто, и значительная часть студентов не совсем грамотно справляются с чертежом:
Пример 1
Построить эллипс, заданный уравнением
Решение
: сначала приведём уравнение к каноническому виду:
Зачем приводить? Одно из преимуществ канонического уравнения заключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса , которые находятся в точках . Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению .
В данном случае :
Отрезок
называют большой осью
эллипса;
отрезок
– малой осью
;
число
называют большой полуосью
эллипса;
число
– малой полуосью
.
в нашем примере: .
Чтобы быстро представить, как выглядит тот или иной эллипс достаточно посмотреть на значения «а» и «бэ» его канонического уравнения.
Всё ладно, складно и красиво, но есть один нюанс: я выполнил чертёж с помощью программы . И вы можете выполнить чертёж с помощью какого-либо приложения. Однако в суровой действительности на столе лежит клетчатый листок бумаги, и на наших руках водят хороводы мыши. Люди с художественным талантом, конечно, могут поспорить, но мыши есть и у вас тоже (правда, поменьше). Таки не зря человечество изобрело линейку, циркуль, транспортир и другие нехитрые приспособления для черчения.
По этой причине нам вряд ли удастся аккуратно начертить эллипс, зная одни вершины. Ещё куда ни шло, если эллипс небольшой, например, с полуосями . Как вариант, можно уменьшить масштаб и, соответственно, размеры чертежа. Но в общем случае крайне желательно найти дополнительные точки.
Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Построение с помощью циркуля и линейки мне не нравится по причине не самого короткого алгоритма и существенной загроможденности чертежа. В случае крайней необходимости, пожалуйста, обратитесь к учебнику, а в реальности же гораздо рациональнее воспользоваться средствами алгебры. Из уравнения эллипса на черновике быстренько выражаем:
Далее уравнение распадается на две функции:
– определяет верхнюю дугу эллипса;
– определяет нижнюю дугу эллипса.
Заданный каноническим уравнением эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат
. И это отлично – симметрия почти всегда предвестник халявы. Очевидно, что достаточно разобраться с 1-й координатной четвертью, поэтому нам потребуется функция 
. Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами 
. Настукаем три смс-ки на калькуляторе:
Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка в вычислениях, то это сразу выяснится в ходе построения.
Отметим на чертеже точки (красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:
Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу. В результате должен получиться вполне достойный эллипс. Кстати, не желаете ли узнать, что это за кривая?
Определение эллипса. Фокусы эллипса и эксцентриситет эллипса
Эллипс – это частный случай овала. Слово «овал» не следует понимать в обывательском смысле («ребёнок нарисовал овал» и т.п.). Это математический термин, имеющий развёрнутую формулировку. Целью данного урока не является рассмотрение теории овалов и различных их видов, которым практически не уделяется внимания в стандартном курсе аналитической геометрии. И, в соответствии с более актуальными потребностями, мы сразу переходим к строгому определению эллипса:
Эллипс
– это множество всех точек плоскости, сумма расстояний до каждой из которых от двух данных точек , называемых фокусами
эллипса, – есть величина постоянная, численно равная длине большой оси этого эллипса: .
При этом расстояния между фокусами меньше данного значения: .
Сейчас станет всё понятнее:
Представьте, что синяя точка «ездит» по эллипсу. Так вот, какую бы точку эллипса мы ни взяли, сумма длин отрезков всегда будет одной и той же:
Убедимся, что в нашем примере значение суммы действительно равно восьми. Мысленно поместите точку «эм» в правую вершину эллипса, тогда: , что и требовалось проверить.
На определении эллипса основан ещё один способ его вычерчивания. Высшая математика, порой, причина напряжения и стресса, поэтому самое время провести очередной сеанс разгрузки. Пожалуйста, возьмите ватман либо большой лист картона и приколотите его к столу двумя гвоздиками. Это будут фокусы . К торчащим шляпкам гвоздей привяжите зелёную нитку и до упора оттяните её карандашом. Гриф карандаша окажется в некоторой точке , которая принадлежит эллипсу. Теперь начинайте вести карандаш по листу бумаги, сохраняя зелёную нить сильно натянутой. Продолжайте процесс до тех пор, пока не вернётесь в исходную точку… отлично… чертёж можно сдать на проверку врачу преподавателю =)
Как найти фокусы эллипса?
В приведённом примере я изобразил «готовенькие» точки фокуса, и сейчас мы научимся добывать их из недр геометрии.
Если эллипс задан каноническим уравнением , то его фокусы имеют координаты 
, где – это расстояние от каждого из фокусов до центра симметрии эллипса
.
Вычисления проще пареной репы: 
! Со значением «цэ» нельзя отождествлять конкретные координаты фокусов!
Повторюсь, что – это РАССТОЯНИЕ от каждого из фокусов до центра
(который в общем случае не обязан располагаться именно в начале координат).
И, следовательно, расстояние между фокусами тоже нельзя привязывать к каноническому положению эллипса. Иными словами, эллипс можно перенести в другое место и значение останется неизменным, в то время как фокусы, естественно, поменяют свои координаты. Пожалуйста, учитывайте данный момент в ходе дальнейшего изучения темы.
Эксцентриситет эллипса и его геометрический смысл
Эксцентриситетом эллипса называют отношение , которое может принимать значения в пределах .
В нашем случае:
Выясним, как форма эллипса зависит от его эксцентриситета. Для этого зафиксируем левую и правую вершины рассматриваемого эллипса, то есть, значение большой полуоси будет оставаться постоянным. Тогда формула эксцентриситета примет вид: .
Начнём приближать значение эксцентриситета к единице. Это возможно только в том случае, если . Что это значит? …вспоминаем про фокусы 
. Это значит, что фокусы эллипса будут «разъезжаться» по оси абсцисс к боковым вершинам. И, поскольку «зелёные отрезки не резиновые», то эллипс неизбежно начнёт сплющиваться, превращаясь всё в более и более тонкую сосиску, нанизанную на ось .
Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета эллипса к единице, тем эллипс более продолговат .
Теперь смоделируем противоположный процесс: фокусы эллипса 
пошли навстречу друг другу, приближаясь к центру. Это означает, что значение «цэ» становится всё меньше и, соответственно, эксцентриситет стремится к нулю: .
При этом «зелёным отрезкам» будет, наоборот – «становиться тесно» и они начнут «выталкивать» линию эллипса вверх и вниз.
Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета к нулю, тем эллипс больше похож на … смотрим предельный случай , когда фокусы успешно воссоединились в начале координат:
Окружность – это частный случай эллипса
Действительно, в случае равенства полуосей каноническое уравнение эллипса принимает вид , который рефлекторно преобразуется к – хорошо известному из школы уравнению окружности с центром в начале координат радиуса «а».
На практике чаще используют запись с «говорящей» буквой «эр»: . Радиусом называют длину отрезка , при этом каждая точка окружности удалена от центра на расстояние радиуса.
Заметьте, что определение эллипса остаётся полностью корректным: фокусы совпали , и сумма длин совпавших отрезков для каждой точки окружности – есть величина постоянная. Так как расстояние между фокусами , то эксцентриситет любой окружности равен нулю .
Строится окружность легко и быстро, достаточно вооружиться циркулем. Тем не менее, иногда бывает нужно выяснить координаты некоторых её точек, в этом случае идём знакомым путём – приводим уравнение к бодрому матановскому виду:
– функция верхней полуокружности;
– функция нижней полуокружности.
После чего находим нужные значения, дифференцируем , интегрируем и делаем другие хорошие вещи.
Статья, конечно, носит справочный характер, но как на свете без любви прожить? Творческое задание для самостоятельного решения
Пример 2
Составить каноническое уравнение эллипса, если известен один из его фокусов и малая полуось (центр находится в начале координат). Найти вершины, дополнительные точки и изобразить линию на чертеже. Вычислить эксцентриситет.
Решение и чертёж в конце урока
Добавим экшена:
Поворот и параллельный перенос эллипса
Вернёмся к каноническому уравнению эллипса , а именно, к условию , загадка которого терзает пытливые умы ещё со времён первого упоминания о данной кривой. Вот мы рассмотрели эллипс 
, но разве на практике не может встретиться уравнение 
? Ведь здесь , однако, это вроде бы как тоже эллипс!
Подобное уравнение нечасто, но действительно попадается. И оно действительно определяет эллипс. Развеем мистику:
В результате построения получен наш родной эллипс, повёрнутый на 90 градусов. То есть, 
– это неканоническая запись
эллипса 
. Запись!
– уравнение 
не задаёт какой-то другой эллипс, поскольку на оси не существует точек (фокусов), которые бы удовлетворяли определению эллипса.
Окружностью
называется замкнутая плоская кривая, все точки которой
равноудалены от заданной точки (центра окружности). Расстояние от любой точки окружности \(P\left({x,y} \right)\) до ее центра называется
радиусом
. Центр окружности и сама окружность лежат в одной и той же плоскости.
Уравнение окружности радиуса \(R\) с центром в начале координат (каноническое уравнение окружности
)
имеет вид
\({x^2} + {y^2} = {R^2}\).
Уравнение окружности
радиуса \(R\)
с центром в произвольной точке
\(A\left({a,b} \right)\) записывается как
\({\left({x - a} \right)^2} + {\left({y - b} \right)^2} = {R^2}\).
Уравнение окружности, проходящей через три точки
, записывается в виде:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} + {y^2}} & x & y & 1\\
{x_1^2 + y_1^2} & {{x_1}} & {{y_1}} & 1\\
{x_2^2 + y_2^2} & {{x_2}} & {{y_2}} & 1\\
{x_3^2 + y_3^2} & {{x_3}} & {{y_3}} & 1
\end{array}} \right| = 0.\\\)
Здесь \(A\left({{x_1},{y_1}} \right)\), \(B\left({{x_2},{y_2}} \right)\), \(C\left({{x_3},{y_3}} \right)\)
− три точки, лежащие на окружности.
Уравнение окружности в параметрической форме
\(\left\{
\begin{aligned}
x &= R \cos t \\
y &= R\sin t
\end{aligned}
\right.,
\;\;0 \le t \le 2\pi\),
где \(x\), \(y\) − координаты точек окружности, \(R\) − радиус окружности, \(t\) − параметр.
Общее уравнение окружности
\(A{x^2} + A{y^2} + Dx + Ey + F = 0\)
при условии \(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\).
Центр окружности расположен в точке с координатами \(\left({a,b} \right)\), где
\(a = - \large\frac{D}{{2A}}\normalsize,\;\;b = - \large\frac{E}{{2A}}\normalsize.\)
Радиус окружности равен
\(R = \sqrt {\large\frac{{{D^2} + {E^2} - 4AF}}{{2\left| A \right|}}\normalsize} \)
Эллипсом
называется плоская кривая, для каждой точки которой сумма
расстояний до двух заданных точек (фокусов эллипса
) постоянна.
Расстояние между фокусами называется фокусным расстоянием
и обозначается через \(2c\). Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром эллипса
.
У эллипса есть две оси симметрии: первая или фокальная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей вторая ось. Точки пересечения
этих осей с эллипсом называются вершинами
. Отрезок, соединяющий
центр эллипса с вершиной, называется полуосью эллипса
. Большая
полуось обозначается через \(a\), малая полуось − через \(b\). Эллипс, центр которого находится в начале координат,
а полуоси лежат на координатных прямых, описывается следующим каноническим уравнением
:
\(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize = 1.\)
Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов
постоянна:
\({r_1} + {r_2} = 2a\),
где \({r_1}\), \({r_2}\) − расстояния от произвольной точки \(P\left({x,y} \right)\) до
фокусов \({F_1}\) и \({F_2}\), \(a\) − большая полуось эллипса.
Соотношение между полуосями эллипса и фокусным расстоянием
\({a^2} = {b^2} + {c^2}\),
где \(a\) − большая полуось эллипса, \(b\) − малая полуось, \(c\) − половина
фокусного расстояния.
Эксцентриситет эллипса
\(e = \large\frac{c}{a}\normalsize
Уравнения директрис эллипса
Директрисой эллипса называется прямая, перпендикулярная его фокальной оси и пересекающая ее
на расстоянии \(\large\frac{a}{e}\normalsize\) от центра. Эллипс имеет две директрисы, отстоящие по разные стороны от центра.
Уравнения директрис записываются в виде
\(x = \pm \large\frac{a}{e}\normalsize = \pm \large\frac{{{a^2}}}{c}\normalsize.\)
Уравнение эллипса в параметрической форме
\(\left\{
\begin{aligned}
x &= a\cos t \\
y &= b\sin t
\end{aligned}
\right.,
\;\;0 \le t \le 2\pi\),
где \(a\), \(b\) − полуоси эллипса, \(t\) − параметр.
Общее уравнение эллипса
\(A{x^2} + Bxy + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\),
где \({B^2} - 4AC
Общее уравнение эллипса, полуоси которого параллельны осям координат
\(A{x^2} + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\),
где \(AC > 0\).
Периметр эллипса
\(L = 4aE\left(e \right)\),
где \(a\) − большая полуось эллипса, \(e\) − эксцентриситет, \(E\) −
полный эллиптический интеграл второго рода.
Приближенные формулы для периметра эллипса
\(L \approx \pi \left[ {\large\frac{3}{2}\normalsize\left({a + b} \right) - \sqrt {ab} } \right],\;\;L \approx \pi \sqrt {2\left({{a^2} + {b^2}} \right)},\)
где \(a\), \(b\) − полуоси эллипса.
Площадь эллипса
\(S = \pi ab\)
Точки F 1 (–c , 0) и F 2 (c , 0), где называются фокусами эллипса , при этом величина 2c определяет междуфокусное расстояние .
Точки А 1 (–а , 0), А 2 (а , 0), В 1 (0, –b ), B 2 (0, b ) называются вершинами эллипса (рис. 9.2), при этом А 1 А 2 = 2а образует большую ось эллипса, а В 1 В 2 – малую, – центр эллипса.
Основные параметры эллипса, характеризующие его форму:
ε = с /a – эксцентриситет эллипса ;
– фокальные радиусы эллипса (точка М принадлежит эллипсу), причем r 1 = a + εx , r 2 = a – εx ;
– директрисы эллипса .
Для эллипса справедливо: директрисы не пересекают границу и внутреннюю область эллипса, а также обладают свойством
Эксцентриситет эллипса выражает его меру «сжатости».
Если b > a > 0, то эллипс задается уравнением (9.7), для которого вместо условия (9.8) выполняется условие
Тогда 2а
– малая ось, 2b
– большая ось, – фокусы (рис. 9.3). При этом r
1 + r
2 = 2b
,
ε
= c
/b
, директрисы определяются уравнениями:
При условии имеем (в виде частного случая эллипса) окружность радиуса R = a . При этом с = 0, а значит, ε = 0.
Точки эллипса обладают характеристическим свойством : сумма расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2а (рис. 9.2).
Для параметрического задания эллипса (формула (9.7)) в случаях выполнения условий (9.8) и (9.9) в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-вектором точки, лежащей на эллипсе, и положительным направлением оси Ox :
Если центр эллипса с полуосями находится в точке то его уравнение имеет вид:
Пример 1. Привести уравнение эллипса x 2 + 4y 2 = 16 к каноническому виду и определить его параметры. Изобразить эллипс.
Решение . Разделим уравнение x 2 + 4y 2 = 16 на 16, после чего получим:
По виду полученного уравнения заключаем, что это каноническое уравнение эллипса (формула (9.7)), где а = 4 – большая полуось, b = 2 – малая полуось. Значит, вершинами эллипса являются точки A 1 (–4, 0), A 2 (4, 0), B 1 (0, –2), B 2 (0, 2). Так как – половина междуфокусного расстояния, то точки являются фокусами эллипса. Вычислим эксцентриситет:
Директрисы D 1 , D 2 описываются уравнениями:
Изображаем эллипс (рис. 9.4).
Пример 2. Определить параметры эллипса
Решение. Сравним данное уравнение с каноническим уравнением эллипса со смещенным центром. Находим центр эллипса С : Большая полуось малая полуось прямые – главные оси. Половина междуфокусного расстояния а значит, фокусы Эксцентриситет Директрисы D 1 и D 2 могут быть описаны с помощью уравнений: (рис. 9.5).
Пример 3. Определить, какая кривая задается уравнением, изобразить ее:
1) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0; 2) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 6 = 0;
3) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0; 4) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 17 = 0;
Решение. 1) Приведем уравнение к каноническому виду методом выделения полного квадрата двучлена:
x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0;
(x 2 + 4x ) + (y 2 – 2y ) + 4 = 0;
(x 2 + 4x + 4) – 4 + (y 2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;
(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.
Таким образом, уравнение может быть приведено к виду
(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.
Это уравнение окружности с центром в точке (–2, 1) и радиусом R = 1 (рис. 9.6).
2) Выделяем полные квадраты двучленов в левой части уравнения и получаем:
(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = –1.
Это уравнение не имеет смысла на множестве действительных чисел, так как левая часть неотрицательна при любых действительных значениях переменных x и y , а правая – отрицательна. Поэтому говорят, что это уравнение «мнимой окружности» или оно задает пустое множество точек плоскости.
3) Выделяем полные квадраты:
x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0;
(x 2 – 2x + 1) – 1 + 4(y 2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;
(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 16 = 0;
(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 16.
Значит, уравнение имеет вид:
Полученное уравнение, а следовательно, и исходное задают эллипс. Центр эллипса находится в точке О 1 (1, –2), главные оси задаются уравнениями y = –2, x = 1, причем большая полуось а = 4, малая полуось b = 2 (рис. 9.7).
4) После выделения полных квадратов имеем:
(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 17 + 17 = 0 или (x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 0.
Полученное уравнение задает единственную точку плоскости с координатами (1, –2).
5) Приведем уравнение к каноническому виду:
Очевидно, оно задает эллипс, центр которого находится в точке главные оси задаются уравнениями причем большая полуось малая полуось (рис. 9.8).
Пример 4. Записать уравнение касательной к окружности радиуса 2 с центром в правом фокусе эллипса x 2 + 4y 2 = 4 в точке пересечения с осью ординат.
Решение. Уравнение эллипса приведем к каноническому виду (9.7):
Значит, и правый фокус – Поэтому, искомое уравнение окружности радиуса 2 имеет вид (рис. 9.9):
Окружность пересекает ось ординат в точках, координаты которых определяются из системы уравнений:
Получаем:
Пусть это точки N (0; –1) и М (0; 1). Значит, можно построить две касательные, обозначим их Т 1 и Т 2 . По известному свойству касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Пусть Тогда уравнение касательной Т 1 примет вид:
Значит, или Т 1: Оно равносильно уравнению
Можно показать (мы этого не делаем), что уравнение (2) равносильно уравнению (1), хотя оно и получено из (1) путем неэквивалентных преобразований. Это и означает, что уравнение (2)-уравнение данного эллипса. Оно называется каноническим (т.е. наиболее простым).
Видно, что уравнение эллипса есть уравнение 2-ого порядка, т.е. эллипс-линия 2-го порядка.
Для эллипса введем понятие эксцентриситет. Это величина . Для эллипса эксцентриситет . Так как с и а известны, то тоже известен. Выражение фокальных радиусов точки М(х, у) эллипса легко получаем из предыдущих рассуждений: . r 2 найдем из равенства (3)
Замечание Если в стол вбить два гвоздя (F1 и F2), привязать к ним обоими концами шнурок, длина которого больше расстояния между гвоздями (2а ), натянуть шнур и куском мела вести по столу, то он вычертит замкнутую кривую-эллипс, которая симметрична относительно обеих осей и начала координат.
4. Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению.
В замечании мы из соображений наглядности сделали вывод о форме эллипса. Проведем теперь исследование формы эллипса, анализируя его каноническое уравнение:
Найдем точки пересечения с осями координат. Если ,у=0, то , , т.е. имеем две точки А1(-а,0) и А2(а,0). Если х=0, то , . Т.е. имеем две точки В1(0,-b) и B2(0,b) (т.к. , то ). Точки А1,А2,В1,В2 называют вершинами эллипса.
2) Область расположения эллипса можно определить из следующих соображений:
а) из уравнения эллипса следует, что , т.е. , т.е. или .
б) аналогично , т.е. или . Это показывает, что весь эллипс расположен в прямоугольнике, образованном прямыми и .
3) Далее, в уравнение эллипса переменные х и у входят только в четных степенях, а это означает, что кривая симметрична относительно каждой из осей и относительно начала координат. Д-но, если радиусу принадлежит точка (х, у), то ему принадлежат и точки (х, -у), (-х, у) и (-х, -у). Поэтому достаточно рассмотреть лишь ту часть эллипса, которая лежит в первой четверти, где и .
4) Из уравнения эллипса имеем , а в первой четверти . Если х=0, то у=b. Это есть точка B2(0,b). Пусть х увеличивается от 0 до а, тогда y уменьшается от b до 0. Тем самым точка М(х, у), начиная из точки В2(0, b) описывая дугу приходит в точку А(а,0). Можно строго доказать, что дуга выпуклостью направлена вверх. Отражая зеркально эту дугу в осях координат и начале, мы и получим весь эллипс. Оси симметрии эллипса называются его осями, точка О пересечения их-центром эллипса. Длину отрезков ОА1=ОА2=а называют большой полуосью эллипса, отрезков ОВ1,ОВ2=b-малой полуосью эллипса, (а>b), c-полуфокусным расстоянием. Величину просто пояснить геометрически.
При а=b получаем из канонического уравнения эллипса --уравнение окружности. Для окружности , т.е. F1=F2=0. .
Таким образом, окружность-это частный случай эллипса, когда фокусы его совпадают с центром и эксцентриситет=0. Чем больше эксцентриситет, тем больше вытянут эллипс.
Замечание. Из канонического уравнения эллипса легко заключить, что эллипс можно задать в параметрической форме. x=a cos t
y=b sin t, где a, b –большая и малая полуоси, t-угол.
5. Определение и вывод канонического уравнения гиперболы.
Гиперболой называется ГМТ плоскости, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек F1F2 плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина (не равная 0 и меньшая, чем фокусное расстояние F1F2).
Будем обозначать, по-прежнему, F1F2=2с, а разность расстояний-2а (а<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.
Пусть М (х,у)-текущая точка гиперболы. По определению МF1-MF2= или r 1 -r 2 = = или --(1). –это и есть уравнение гиперболы.
Избавляемся от иррациональности в (1): уединим один корень, возведем обе части в квадрат, получим: или , снова возведем в квадрат:
Откуда .
Разделим на . Введем обозначение . Тогда --(2). Уравнение (2), как можно показать, равносильно уравнению (1), а потому есть уравнение данной гиперболы. Его называют каноническим уравнением гиперболы. Видим, что уравнение гиперболы тоже второй степени, значит, гипербола-линия второго порядка .
Эксцентриситет гиперболы . Выражение фокальных радиусов через легко получить из предыдущего , тогда находим из .
6. Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению.
Рассуждаем аналогично тому, как при исследовании эллипса.
1. Находим точки пересечения с осями гиперболы. Если х=0, то . Точек пересечения с осью ОУ нет. Если у=0, то . Точки пересечения , . Они называются вершинами гиперболы.
2. Область расположения гиперболы: , т.е. или . Значит, гипербола расположена вне полосы, ограниченной прямыми x=-a и х=а .
3. Гипербола обладает всеми видами симметрии, т.к. х и у входят в четных степенях. Поэтому достаточно рассмотреть ту часть гиперболы, которая расположена в первой четверти.
4. Из уравнения гиперболы (2) в первой четверти имеем . При х=а, у=0 имеем точку ; при , т.е. кривая уходит вправо вверх. Чтобы ход представить яснее, рассмотрим две вспомогательные прямые, проходящие через начало координат и являющиеся диагоналями прямоугольника со сторонами 2а и 2b: BCB’C’. Они имеют уравнения и . Докажем, что текущая точка гиперболы М(х,у) уходя в бесконечность неограниченно приближается к прямой . Возьмем произвольную точку х и сравним соответствующие ординаты точки гиперболы и --прямой. Очевидно, что У>у . MN=Y-y= .
Видим, что при , т.е. кривая неограниченно приближается к прямой по мере удаления от начала координат. Это доказывает, что прямая является асимптотой гиперболы. Причем гипербола не пересекает асимптоту. Этого достаточно, чтобы построить часть гиперболы. Она обращена выпуклостью вверх. Остальные части достраиваются по симметрии. Заметим, что оси симметрии гиперболы (оси координат) называются ее осями , точка пересечения осей-центром гиперболы. Одна ось пересекает гиперболу (действительная ось), другая-нет (мнимая). Отрезок а называют действительной полуосью, отрезок b -мнимой полуосью. Прямоугольник BCB’C’-называется основным прямоугольником гиперболы.
Если а=b , то асимптоты образуют с осями координат углы по . Тогда гиперболу или называют равносторонней или равнобочной. Основной прямоугольник превращается в квадрат. Асимптоты ее перпендикулярны друг другу.
Замечание.
Иногда рассматривают гиперболу, каноническое уравнение которой --(3). Ее называют сопряженной по отношению к гиперболе (2). Гипербола (3) имеет действительную ось вертикальную, мнимую-горизонтальную. Ее вид сразу устанавливается, если переставить х и у , а и b (она превращается в прежнюю). Но тогда гипербола (3) имеет вид:
Вершины ее .
5.Как уже указывалось, уравнение равносторонней гиперболы (а=b) , когда оси координат совпадают с осями гиперболы, имеет вид . (4)
Т.к. асимптоты равносторонней гиперболы перпендикулярны, то их тоже можно взять за оси координат ОХ 1 и ОУ 1 . Это равносильно повороту прежней системы ОХУ на угол . Формулы поворота на угол следующие:
Тогда в новой системе координат ОХ 1 У 1 уравнение (4) перепишется:
Или или . Обозначая , получим или (5)-это уравнение равносторонней гиперболы , отнесенной к асимптотам (именно этот вид гиперболы рассматривался в школе).
Замечание : Из уравнения следует, что площадь любого прямоугольника, построенного на координатах любой точки гиперболы М(х,у) одна и та же: S=k 2 .
7. Определение и вывод канонического уравнение параболы.
Параболой называется ГМТ плоскости, для каждой из которых расстояние от фиксированной точки Fплоскости, называемой фокусом , равно расстоянию от фиксированной прямой, называемой директрисой (фокус вне директрисы).
Будем обозначать расстояние от Fдо директрисы через р и называть параметром параболы. Выберем следующим образом систему координат: ось ОХ проведем через точку Fперпендикулярно директрисе NP. Начало координат выберем в середине отрезкаFP.
В этой системе: .
Возьмем произвольную точку М(х,у) с текущими координатами (х,у). Поэтому
Отсюда (1)-это и есть уравнение параболы. Упростим:
Или (2)-это и есть каноническое уравнение параболы. Можно показать, что (1) и (2) равносильны.
Уравнение (2) есть уравнение 2-го порядка, т.е. парабола-линия 2-го порядка.
8. Исследование формы параболы по ее каноническому уравнению.
(р>0).
1) х=0, у=0 парабола проходит через начало координат точку О. Ее называют вершиной параболы.
2) , т.е. парабола располагается правее оси ОУ, в правой полуплоскости.
3) у входит в четной степени, потому парабола симметрична относительно оси ОХ, следовательно, достаточно построить в первой четверти.
4) в 1 четверти при , т.е. парабола идет вверх вправо. Можно показать, что выпуклостью-вверх. По симметрии строим внизу. Ось ОУ-касательная к параболе.
Очевидно, фокальный радиус-- . Отношение называется эксцентриситетом : . Ось симметрии параболы (у нас ОХ) называется осью параболы.
Заметим, что уравнение тоже есть парабола, но направленная в противоположную сторону. Уравнения тоже задают параболы, осью которых является ось ОУ.
или в более привычном виде , где .
Уравнение определяет обычную параболу со смещенной вершиной .
Замечания. 1) Между всеми четырьмя линиями 2-го порядка существует близкое родство-все они являются коническими сечениями . Если взять конус из двух полостей, то при сечении плоскостью перпендикулярной оси конуса получим окружность, если чуть наклонить плоскость сечения получим эллипс; если плоскость параллельна образующей, то в сечении-парабола, если плоскость пересекает обе
полости-гипербола.
2) Можно доказать, что если луч света исходя из фокуса параболы, отражается от нее, то отраженный луч идет параллельно оси параболы-это используется при действии прожекторов-параболический отражатель, а в фокусе-источник света. Получается направленный поток света.
3) Если представить запуск спутника Земли из точки Т, лежащей за пределами атмосферы в горизонтальном направлении, то если начальная скорость v 0 недостаточна, то спутник вращаться вокруг Земли не будет. При достижении 1-ой космической скорости спутник будет вращаться вокруг Земли по круговой орбите с центром в центре Земли. Если начальную скорость увеличить, то вращение будет происходить по эллипсу, центр Земли будет в одном из фокусов. При достижении 2-ой космической скорости траектория станет параболической и спутник не вернется в точку Т, но будет находиться в пределах Солнечной системы. Т.е. парабола есть эллипс с одним бесконечно удаленным фокусом. При дальнейшем увеличении начальной скорости траектория станет гиперболической и второй фокус появиться с другой стороны. Центр Земли будет все время находиться в фокусе орбиты. Спутник уйдет за пределы Солнечной системы.
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.
Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:
где A, B, C, D, E, F - числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.
При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.
Эллипс, заданный каноническим уравнением
Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.
Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
где a и b (a > b ) - длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.
Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.
Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a , О ) и (- a , О ), а ось ординат - в точках (b , О ) и (- b , О ). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат - малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.
Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность - частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a /b раз вдоль оси Oy .
Пример 1.
Проверить, является ли линия, заданная
общим уравнением 
,
эллипсом.
Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:
Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия - эллипс.
Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.
Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось - это a = 5 , меньшая полуось - это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:
Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где
называются фокусами .
называется эксцентриситетом эллипса.
Отношение b /a характеризует "сплюснутость" эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.
Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.
Решение. Делаем несложные умозаключения:
Если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,
Если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.
Подставляем и вычисляем:
Результат - каноническое уравнение эллипса:
Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .
Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c , нужное для вычисления длины меньшей полуоси:
.
Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:
Составляем каноническое уравнение эллипса:
Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .
Решение. Следует найти число c , определяющее первые координаты фокусов эллипса:
.
Получаем фокусы эллипса:
Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:
1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34
2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)
3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)
Продолжаем решать задачи на эллипс вместе
Если - произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и - расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний - следующие:
Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a .
Прямые, определяемые уравнениями
называются директрисами эллипса (на чертеже - красные линии по краям).
Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса
,
где и - расстояния этой точки до директрис и .
Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.
Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:
.
Получаем уравнение директрис эллипса:
Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .