Сформулируйте закон сохранения момента количества движения. §2

Законы сохранения кинетической энергии и количества движения долго конкурировали друг с другом, претендуя на ведущую роль, поскольку ни тот, ни другой закон не имеет строгого обоснования. Однако, ученые давно подозревали о наличии связи между ними, о чем говорил еще Х.Гюйгенс (1629-1695). По мнению Гюйгенса эта связь означает, что сохранение механической энергии в любой равномерно движущейся системе влечет за собой и сохранение количества движения. Поэтому после длительных споров ученые пришли к заключению об эквивалентности этих законов. Так, например, Даламбер по этому поводу сделал следующее заявление : “Нужно каждому предоставить свободу решать данный вопрос по его усмотрению. К тому же затронутый вопрос представляет собой не более как совершенно бесплодный метафизический спор о словах, недостойный внимания философов”.
Связь между законами сохранения кинетической энергии и количества движения была установлена В. Паули (1900-1958). Для доказательства этой связи он использует идею Гюйгенса. Цитируем по : “В системе, состоящей из соударяющихся частиц с массами скорости частиц переходят после ударов в скорости . Сохранение энергии выражается уравнением:

Пусть система приобретает добавочную скорость V . Скорости частиц до удара будут теперь равны , а после удара , и сохранение энергии выражается теперь соотношением:
,

Следовательно:

Скорость V - произвольна, поэтому написанное равенство будет справедливо только в том случае, когда:

Иначе говоря, импульс системы до соударения частиц, равный выражению, стоящему слева, сохраняется после соударения”.
Мы тоже рассмотрим этот вопрос в виду его особой важности на примере соударения шаров, но в несколько другой интерпретации (рис.1).
Пусть движение шаров происходит в произвольной инерциальной системе отсчета x- y в одном и том же направлении (рис.1,а) со скоростями и . После удара скорости шаров примут значения и . В соответствии с законом сохранения энергии будет справедливо следующее выражение:
, (1)

Теперь рассмотрим относительное движение, приняв один из шаров за систему отсчета. Для этого используем принцип обращения движения, то есть сообщим обоим шарам одну и ту же скорость, например, , что приведет к остановке первого шара, так как его суммарная скорость будет равна нулю. Скорость же второго шара будет равна относительной скорости:
(2)
Закон сохранения кинетической энергии в этом случае примет вид:
(3)

(4)
Решая совместно уравнения (1) и (4) , получим выражение:
, (5)

(7)
Таким образом, получается интересный результат: из закона сохранения энергии вытекает закон сохранения количества движения. Еще следует отметить, что полученный результат не зависит от выбора системы отсчета.
Если же рассматривать встречное движение шаров (рис.1,б), то для получения правильного результата скорость следует вычитать из скорости , то есть относительную скорость следует находить в соответствии с выражением (2), хотя, как видно из рисунка, эти скорости должны складываться. Это обстоятельство обусловлено тем, что скорости движения всех тел являются векторами, а это значит, что и при вычитании их величины могут суммироваться.
Таким образом, выражения (2), (5) и (7) следует рассматривать как векторные.
Решая совместно выражения (1) и (5), а также (3) и (7), найдем скорости шаров после удара, считая их векторами:
; (8)
; (9)
; (10)
(11)
Используя эти выражения, найдем относительные скорости шаров после удара:
; (12)
(13)
Таким образом, при упругом ударе относительные скорости шаров изменят только свое направление.
Выражение (1), характеризующее закон сохранения энергии, можно представить в другом виде:
(14)

; (15)
, (16)

; (17)
, (18)

• откуда следует, что энергия, приобретенная первым шаром, равна энергии, отданной вторым шаром.

Подставив значения скоростей и в выражения (7) и (8), получим:
; (19)
(20)
Посмотрим теперь, как будет выполняться связь между законами сохранения энергии и количества движения для более сложного случая удара – косого удара, когда скорости движущихся шаров направлены под углом друг к другу (рис.2). На рисунке шары разъединены для лучшего показа их картин скоростей. Принимаем, что скорость совпадает с направлением оси x .
Для решения задачи используем метод обращения движения, сообщив обоим шарам скорость , то есть в качестве системы отсчета в относительном движении выбираем первый шар, суммарная скорость которого будет равна нулю. Примем также для упрощения задачи, что результирующая скорость будет направлена по линии, соединяющей центры шаров. Тогда по известным значениям скоростей и для второго шара строится параллелограмм, с помощью которого устанавливается связь между этими скоростями и скоростью в относительном движении, а также может быть найден угол , так как угол задан.
Используя параллелограмм, с помощью теоремы косинусов получим выражение:
(21)

• которое преобразуем к виду:

(22)
Из данного уравнения находим скорость в относительном движении до начала удара – :
(23)
Угол , характеризующий направление вектора , находим из выражения, полученного с помощью теоремы косинусов:
, (24)

• откуда получим:

(25)
Таким образом, в результате проделанных операций получаем обычное соударение подвижного и неподвижного шаров по направлению линии их центров с начальной относительной скоростью .
Прежде чем определять скорости шаров после их соударения, установим связь между кинетическими энергиями шаров в абсолютном и в относительном движениях::
; (26)
(27)
Так как
(28)

• соответственно будут определяться и другие скорости в относительном движении:

; (29)
(30)
Подставив эти значения относительных скоростей в выражение (27), получим:
(31)
Сократив на два и возведя в квадрат разности скоростей, преобразуем выражение (31) к виду:
, (32)

Добавив в первое слагаемое правой части выражения и можно исключить члены, соответствующие выражению (26), в результате чего выражение (32) примет вид:
(33)
Сократив это выражение на и сделав группировку членов, получим:
(34)
Определив скорости , и в соответствии с выражениями (28) – (32):
(35)

• и подставив их в выражение (34), преобразуем его к виду:

(36)
Таким образом, мы установили связь между законами сохранения энергии и количества движения в абсолютном и в относительном движениях шаров при косом ударе.
Решая совместно уравнения (27) и (36), найдем скорости шаров в их относительном движении:
; (37)
, (38)

При решении уравнений для получения решения в векторной форме квадраты скоростей следует представлять как скалярное произведение двух одинаковых векторов .
Скорости шаров и в абсолютном движении могут быть найдены с помощью теоремы косинусов из параллелограммов, представленных на рис.2.
Для первого шара модуль скорости определится выражением:
, (39)

• откуда получим:

(40)
Для второго шара модуль скорости будет равен:
, (41)

• откуда найдем:

(42)
Углы и , характеризующие направления векторов и по отношению к векторам и , также находим с помощью теоремы косинусов:
; (43)
(44)
Подставляя в эти выражения значения скоростей и из формул (39) и (41), получим:
; (45)
(46)
Для проверки полученных решений можно найти значения кинетической энергии шаров после удара, так как до удара их энергия была равна:
, (47)

• а после удара будет:

(48)
Подставив в выражение (48) значения квадратов скоростей и из выражений (39) и (41), получим:
(49)
Теперь используем значения модулей скоростей и из выражений (37) и (38):
(50)
Подставляя в данное выражение значение модуля скорости в соответствии с формулой (23) и произведя преобразования, получим в итоге, что , то есть закон сохранения энергии будет выполняться.
Рассмотрим теперь неупругий удар двух шаров. В этом случае часть энергии будет затрачена на структурные изменения (неупругие деформации в шарах) и на их нагрев, то есть изменение внутренней энергии. Поэтому выражения законов сохранения энергии в двух системах отсчета примут вид:
; (51)
(52)

Решая совместно данную систему уравнений, получим закон сохранения количества движения в обычном его виде:
, (53)

• то есть потери энергии при взаимодействии тел не оказывают влияния на вид этого закона.

Используя уравнения (51) и (53), найдем скорости шаров после их неупругого столкновения:
; (54)
(55)
Очевидно, выражения (54) и (55) будут иметь физический смысл только при положительном значении подкоренного выражения. Из этого условия можно найти значение , при котором еще будет выполняться закон сохранения количества движения, приравняв подкоренное выражение нулю:
(56)

, (57)

(58)
Выражения (54) и (56) с учетом формулы (57) можно представить в виде:
; (59)
, (60)

(61)
В относительном движении выражения для скоростей примут вид:
; (62)
(63)
Из приведенных выражений следует, что при скорости шаров будут равны и они будут двигаться вместе как одно целое.
Если же коэффициент будет больше единицы, то подкоренное выражение будет отрицательным и выражения для скоростей потеряют физический смысл. Так как при шары будут двигаться как одно целое, для определения скорости их движения достаточно одного уравнения. При еще можно использовать закон сохранения количества движения, при следует использовать только закон сохранения энергии, хотя в математическом отношении закон сохранения количества движения будет выполняться и в этом случае. Таким образом, закон сохранения количества движения имеет пределы его использования. Это еще раз подтверждает приоритетную роль закона сохранения энергии по отношению к закону сохранения количества движения. Однако в принципе, возможно, что значения коэффициента не могут быть больше единицы, тогда оба закона будут справедливы всегда, но это утверждение требует экспериментальной проверки.
Так как шары при будут двигаться как единое целое с одной и той же скоростью закон сохранения энергии примет вид:
, (64)

• где, в соответствии с выражением (61),

(65)
Решая уравнение (64), получим:
(66)

• или в относительном движении:

(67)
Если вся энергия удара будет затрачена на потери, то есть когда будет выполняться соотношение:
, (68)

(69)
Правда, остаются сомнения, возможен ли такой случай в действительности.
В §5 первой главы было показано, что количество движения характеризует инертность тела и определяется отношением , то есть отношением изменения кинетической энергии тела и изменению его скорости. В связи с таким определением инертности тела можно дать другой вывод закона сохранения количества движения. Для этого используем выражения (15), (17) и (18), поделив их на изменение скорости первого тела: :
(70)
Полученное выражение преобразуем к виду:
(71)
Используя соотношение скоростей (12) в виде:
, (72)

• преобразуем выражение (71) к виду:

(73)

• откуда вытекает закон сохранения количества движения:

Законы сохранения энергии и количества движения широко применяется при решении различных задач механики. Однако, в виду того, что эти законы являются интегральными, так как учитывают состояния тел только до и после их взаимодействия, но не в момент самого взаимодействия, существует опасность утраты физического смысла самого взаимодействия, уход от объяснения этого физического смысла в связи с отсутствием его понимания, хотя конечный результат будет и правильным.
Докажем это утверждение на примере движения лодки, когда находящийся в ней человек бросит камень в воду (рис.3). Несомненно, что лодка будет двигаться в сторону, противоположную броску. Для решения задачи используется закон сохранения количества движения, который с учетом направления скоростей будет иметь вид:
, (74)

, (75)

• то есть, чем больше будет масса камня и его скорость, тем больше будет скорость лодки.

Если спросить преподавателей механики, какая причина заставляет двигаться лодку, то большинство из них ответит, что лодка будет двигаться потому, что должен выполняться закон сохранения количества движения. Такой ответ они дают потому, что не могут объяснить действительную причину движения, хотя прекрасно знают, что движение может происходить только под действием силы. Так какая же сила будет заставлять двигаться лодку?
Очевидно, здесь надо разобраться с взаимодействием рук человека и камня в момент бросания. Единственной причиной появления силы, действующей на человека, а через него и на лодку, является воздействие со стороны камня. Эта сила появится в том случае, если камень в момент броска будет двигаться ускоренно. Тогда он будет деформироваться и в нем возникнут упругие силы, которые и будут действовать на руки человека. Эти силы, как мы уже знаем, являются силами инерции и величина их будет равна произведению массы камня на его ускорение. Можно также сказать, что человек отталкивается от камня. Однако решить эту задачу с помощью второго закона Ньютона практически невозможно, так как мы не сможем найти ускорение движения камня в момент броска. Скорость его движения в первые моменты движения найти гораздо проще. Так что использование интегральных законов движения существенно упрощает решение многих задач механики. Правда, при этом не следует забывать и о физической сущности рассматриваемых явлений. В этом случае еще ярче раскроется математическая мощность интегральных законов сохранения.
Теперь рассмотрим более сложную задачу о дви­жении тележки, на которой расположены два груза, вращающиеся в разные стороны с одной и той же угловой скоростью (рис.4). Эта задача также решается с помощью закона сохранения количества движения:
, (76)

Из выражения (76) следует:
, (77)

• то есть тележка будет совершать гармонические колебания. Но какова же причина этих колебаний? Нельзя же утверждать, что тележка подчиняется закону сохранения количества движения. Колебаться тележку должна заставить сила, но какая? Единственным претендентом на эту роль может быть только центробежная сила инерции, действующая на вращающиеся грузы:

(78)
Под действием двух сил инерции тележка будет двигаться вдоль оси y . Характер движения тележки можно найти с помощью второго закона Ньютона:
(79)
Скорость движения тележки определится интегрированием данного выражения:
, (80)

• где С – постоянная интегрирования.

Для определения скорости движения тележки необходимо использовать начальные условия. Однако здесь возникает проблема: чему же будет равна скорость тележки при ? Предположим, что в начальный момент времени незакрепленная тележка и грузы были неподвижны, а затем грузы были приведены во вращение сразу же с постоянной угловой скоростью, то есть переходный режим движения будет отсутствовать. Таким образом, величина сил инерции сразу же примет конечное значение, определяемое выражением (78). Под действием сил инерции тележка должна была бы двигаться сразу в положительном направлении. Однако, надо иметь в виду, что при мгновенном появлении скорости движения грузов, появится теоретически бесконечное, а практически очень большое ускорение в направлении оси y , если грузы были расположены вдоль оси x , и соответствующая ему сила инерции в противоположном направлении, которая и заставит тележку двигаться в сторону ее действия в отрицательном направлении оси y , то есть фактически будет иметь место удар по тележке.
Примем, что начальная скорость тележки будет равна , тогда из уравнения (80) получим:
,

• откуда найдем постоянную интегрирования С :

(81)
В соответствии с этим скорость тележки будет:
(82)
Проинтегрировав это выражение, найдем перемещение тележки вдоль оси y :
(83)
При заданных условиях движение тележки будет гармоническим, поэтому выражение в круглых скобках должно равняться нулю. Тогда закон движения тележки примет вид:
, (84)

(85)
Тогда скорость движения тележки в функции угла поворота определится из выражения (80):
,

• что соответствует выражению (77).

Однако возможно и второе решение этой задачи, если считать, что сначала тележка закреплена, а грузы вращаются с постоянной скоростью . Затем, когда грузы займут положение вдоль оси x , тележка освобождается. При таких условиях силы инерции в направлении оси y будут отсутствовать, так как величина скорости вращения грузов изменяться не будет, поэтому не будет и удара по тележке в отрицательном направлении оси y и ее начальная скорость будет равна нулю. Тогда из уравнения (80) следует, что постоянная интегрирования С будет равна:
, (86)

• в связи с чем скорость тележки в функции времени будет иметь вид:

(87)
Интегрируя это выражение по времени, найдем перемещение тележки вдоль оси y:
(88)

, (89)

; (90)
(91)
Таким образом, периодически изменяющаяся проекция сил инерции грузов на ось y заставляет совершать тележку гармонические колебания и даже двигаться вдоль оси y в зависимости от начальных условий движения. Незакрепленная тележка будет совершать только гармонические колебания, а закрепленная и затем освобожденная тележка при будет совершать прямолинейное движение, на которое будет накладываться гармонические колебания.
Проведенный нами анализ был бы невозможен без учета действующих на тележку сил, каковыми являются в данном случае силы инерции. Если же движение тележки объяснять необходимостью выполнения закона сохранения количества движения, то это значит ничего не сказать по существу дела. Поэтому использование законов сохранения целесообразно совмещать с подробным силовым анализом рассматриваемой задачи.

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следующие важные следствия.

1. Пусть сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю:

Тогда из уравнения (20) следует, что при этом Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению.

2. Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, ) равна нулю:

Тогда из уравнений (20) следует, что при этом Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная.

Эти результаты и выражают закон сохранения количества движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить количество движения системы не могут. Рассмотрим некоторые примеры.

Явление отдачи или отката. Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле будет силой внутренней. Эта сила не может изменить количество движения системы, равное до выстрела кулю. Но так как пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей некоторое количество движения, направленное вперед, то они одновременно должны сообщить винтовке такое же количество движения в обратном направлении. Это вызовет движение винтовки назад, т. е. так называемую отдачу. Аналогичное явление получается при стрельбе из орудия (откат).

Работа гребного винта (пропеллера). Винт сообщает некоторой массе воздуха (или воды) движение вдоль оси винта, отбрасывая эту массу назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и самолет (или судно) как одну систему, то силы взаимодействия винта и среды, как внутренние, не могут изменить суммарное количество движения этой системы. Поэтому при отбрасывании массы воздуха (воды) назад самолет (или судно) получает соответствующую скорость движения вперед, такую, что общее количество движения рассматриваемой системы остается равным нулю, так как оно было нулем до начала движения.

Аналогичный эффект достигается действием весел или гребных колес

Реактивное движение. В реактивном снаряде (ракете) газообразные продукты горения топлива с большой скоростью выбрасываются из отверстия в хвостовой части ракеты (из сопла ракетного двигателя). Действующие при этом силы давления будут силами внутренними и не могут изменить количество движения системы ракета - продукты горения топлива. Но так как вырывающиеся газы имеют известное количество движения, направленное назад, то ракета получает при этом соответствующую скорость, направленную вперед. Величина этой скорости будет определена в § 114.

Обращаем внимание на то, что винтовой двигатель (предыдущий пример) сообщает объекту, например самолету, движение за счет отбрасывания назад частиц той среды, в которой он движется. В безвоздушном пространстве такое движение невозможно. Реактивный же двигатель сообщает движение за счет отброса назад масс, вырабатываемых в самом двигателе (продукты горения). Движение это в равной мере возможно и в воздухе, и в безвоздушном пространстве.

При решении задач применение теоремы позволяет исключить из рассмотрения все внутренние силы. Поэтому рассматриваемую систему надо стараться выбирать так, чтобы все (или часть) заранее неизвестных сил сделать внутренними.

Закон сохранения количества движения удобно применять в тех случаях, когда по изменению поступательной скорости одной части системы надо определить скорость другой части. В частности, этот закон широко используется в теории удара.

Задача 126. Пуля массой , летящая горизонтально со скоростью и, попадает в установленный на тележке ящик с песком (рис 289). С какой скоростью начнет двигаться тележка после удара, если масса тележки вместе с ящиком равна

Решение. Будем рассматривать пулю и тележку как одну систему Это позволит при решении задачи исключить силы, которые возникают при ударе пули о ящик. Сумма проекций приложенных к системе внешних сил на горизонтальную ось Ох равиа нулю. Следовательно, или где - количество движения системы до удара; - после удара.

Так как до удара тележка неподвижна, то .

После удара тележка и пуля движутся с общей скоростью, которую обозначим через v. Тогда .

Приравнивая правые части выражений , найдем

Задача 127. Определить скорость свободного отката орудия, если вес откатывающихся частей равен Р, вес снаряда , а скорость снаряда по отношению к каналу ствола равна в момент вылета .

Решение. Для исключения неизвестных сил давления пороховых газов рассмотрим снаряд и откатывающиеся части как одну систему.

Рассмотрим действие друг на друга двух изолированных тел не взаимодействующих с другими телами. Будем считать силы во все время взаимодействия постоянными. В соответствии со вторым законом динамики изменение количества движения первого тела:

где - интервал времени взаимодействия.

Изменение количества движения второго тела:

где -сила, действующая со стороны первого тела на второе.

Согласно третьему закону Ньютона

и, кроме того, очевидно,

Следовательно,

Независимо от природы сил взаимодействия и длительности их действия общее количество движения двух изолированных тел остается постоянным.

Полученный результат может быть распространен на любое число взаимодействующих тел и на силы, меняющиеся со временем. Для этого интервал времени в течение которого происходит взаимодействие тел, разобьем на столь малые промежутки в течение каждого из которых силу можно с заданной степенью точности считать постоянной. В течение каждого промежутка времени будет выполняться соотношение (1.8). Следовательно, оно будет справедливо и для всего интервала времени

Для обобщения вывода на взаимодействующих тел введем понятие замкнутой системы.

Замкнутой называется система тел, для которой результирующая внешних сил равна нулю.

Пусть материальных точек массами образуют замкнутую систему. Изменение количества движения каждой из этих точек в результате взаимодействия ее со всеми остальными точками системы соответственно:

Обозначим внутренние силы, действующие на точку массой со стороны других точек, через на точку массой и т. д. (Первый индекс обозначает точку, на которую действует сила; второй индекс указывает точку, ос стороны которой действует сила.)

Запишем в принятых обозначениях второй закон динамики для каждой точки в отдельности:

Число уравнений равно числу тел системы. Чтобы найти общее изменение количества движения системы, нужно подсчитать геометрическую сумму изменений количества движения всех точек системы. Просуммировав равенства (1.9), мы получим в левой части полный вектор изменения количества движения системы за время, а в правой части - элементарный импульс результирующей всех сил, действующих в системе. Но так как система замкнута, то результирующая сил равна нулю. В самом деле, по третьему закону динамики каждой силе в равенствах (1.9) соответствует сила причем

т. е. и т. д.,

и результирующая этих сил равна нулю. Следовательно, во всей замкнутой системе изменение количества движения равно нулю:

полное количество движения замкнутой системы - величина постоянная во все время движения (закон сохранения количества движения).

Закон сохранения количества движения - один из фундаментальных законов физики, справедливый как для систем макроскопических тел, так и для систем, образованных микроскопическими телами: молекулами, атомами и т. п.

Если на точки системы действуют внешние силы, то количество движения, которым обладает система, изменяется.

Напишем уравнения (1.9), включив в них результирующие внешних сил действующих соответственно на первую, вторую и т. д. До -й точки:

Сложив левые и правые части уравнений, мы получим: слева - полный вектор изменения количества движения системы; справа - импульс результирующей внешних сил:

или, обозначая результирующую внешних сил:

изменение полного количества движения системы тел равно импульсу результирующей внешних сил.

Равенство (1.13) может быть записано в другом виде:

производная по времени от общего количества движения системы точек равна результирующей внешних сил, действующих на точки системы.

Проецируя векторы количества движения системы и внешних сил на три взаимно перпендикулярные оси, вместо векторного равенства (6.14) получим три скалярных уравнения вида:

Если вдоль какой-либо оси, скажем, составляющая результирующей внешних сил равна нулю, то количество движения вдоль этой оси не изменяется, т. е., будучи вообще незамкнутой, в направлении система может рассматриваться как замкнутая.

Мы рассмотрели передачу механического движения от одних тел к другим без перехода его в другие формы движения материи.

Величина «mv оказывается здесь мерой просто перенесенного, т. е. продолжающегося, движения… ».

Применение закона изменения количества движения к задаче о движении системы тел позволяет исключить из рассмотрения все внутренние силы, что упрощает теоретическое исследования и решения практических задач.

1. Пусть на покоящейся тележке неподвижно стоит человек (рис. 2. а). Количество движения системы человек - тележка равно нулю. Замкнута ли эта система? На нее действуют внешние силы - сила тяжести и сила трения между колесами тележки и полом. Вообще говоря, система не замкнута. Однако, поставив тележку на рельсы и соответствующим образом обработав поверхность рельсов и колес, т. е. значительно уменьшив трение между ними, можно силой трения пренебречь.

Сила тяжести, направления вертикально вниз, уравновешивается реакцией деформированных рельсов, и результирующая этих сил не может сообщить системе горизонтального ускорения, т. е. не может изменить скорость, а следовательно, и количество движения системы. Таким образом, мы можем с известной степенью приближения считать данную систему замкнутой.

Положим теперь, что человек сходит с тележки влево(рис. 2. б), имея скорость. Чтобы приобрести эту скорость, человек должен, сократив свои мышцы, подействовать ступнями ног на площадку тележки и деформировать ее. Сила, действующая со стороны деформированной площадки на ступни человека, сообщает телу человека ускорение влево, а сила, действующая со стороны деформированных ступней человека (в соответствии с третьим законом динамики), сообщает тележке ускорение вправо. В результате, когда взаимодействие прекратится (человек сойдет с тележки), тележка приобретает некоторую скорость.

Для нахождения скоростей и с помощью основных законов динамики надо было бы знать, как меняются силы взаимодействия человека и тележки со временем и где приложены эти силы. Закон сохранения количества движения позволяет сразу найти отношение скоростей человека и тележки, а также указать их взаимную направленность, если известны значения масс человека и тележки.

Пока человек неподвижно стоит на тележке, общее количество движения системы остается равным нулю:

Скорости, приобретенные человеком и тележкой, обратно пропорциональны их массам. Знак «минус» указывает на их противоположную направленность.

2. Если человек, двигаясь со скоростью, вбегает на неподвижно стоящую тележку и останавливается на ней, то тележка приходит в движение, так что общее количество движения ее и человека оказывается равным количеству движения, которым обладал раньше человек один:

3. Человек, движущийся со скоростью,вбегает на тележку, перемещающуюся ему навстречу со скоростью, и останавливается на ней. Далее система человек - тележка движется с общей скоростью Общее количество движения человека и тележки равно сумме количеств движения, которыми они обладали каждый в отдельности:

4. Использовав то обстоятельство,что тележка может перемещаться только вдоль рельсов, можно продемонстрировать векторный характер изменения количества движения. Если человек входит и останавливается на неподвижной до этого тележке один раз вдоль направления возможного ее движения, второй раз - под углом 45є, а третий - под углом 90є к этому направлению, то во втором случае скорость, приобретенная тележкой, примерно в полтора раза меньше, чем в первом, а в третьем случае тележка неподвижна.

Рассмотрим наиболее общие законы сохранения, которым подчиняется весь материальный мир и которые вводят в физику ряд фундаментальных понятий: энергия, количество движения (импульс), момент импульса, заряд.

Закон сохранения импульса

Как известно, количеством движения, или импульсом, называют произведение скорости на массу движущегося тела: p = mv Эта физическая величина позволяет найти изменение движения тела за какой‑нибудь определенный промежуток времени. Для решения этой задачи следовало бы применять второй закон Ньютона бесчисленное число раз, во все промежуточные моменты времени. Закон сохранения количества движения (импульса) можно получить, используя второй и третий законы Ньютона. Если рассматривать две (или более) материальные точки (тела), взаимодействующие между собой и образующие систему, изолированную от действия внешних сил, то за время движения импульсы каждой точки (тела) могут изменяться, но общий импульс системы должен оставаться неизменным:

m 1 v +m 1 v 2 = const.

Взаимодействующие тела обмениваются импульсами при сохранении общего импульса.

В общем случае получаем:

где P Σ – общий, суммарный импульс системы,m i v i – импульсы отдельных взаимодействующих частей системы. Сформулируем закон сохранения импульса:

Если сумма внешних сил равна нулю, импульс системы тел остается постоянным при любых происходящих в ней процессах.

Пример действия закона сохранения импульса можно рассмотреть на процессе взаимодействия лодки с человеком, которая уткнулась носом в берег, а человек в лодке быстро идет из кормы в нос со скоростью v 1 . В этом случае лодка отойдет от берега со скоростьюv 2 :

Аналогичный пример можно привести со снарядом, который разорвался в воздухе на несколько частей. Векторная сумма импульсов всех осколков равна импульсу снаряда до разрыва.

Закон сохранения момента импульса

Вращение твердых тел удобно характеризовать физической величиной, которая называется моментом импульса.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая отдельная частица тела движется по окружности радиусом r i с какой‑то линейной скоростьюv i . Скоростьv i и импульсp = m i v i перпендикулярны радиусу r i . Произведение импульсаp = m i v i на радиусr i называется моментом импульса частицы:

L i = m i v i r i = P i r i ·

Момент импульса всего тела:

Если заменить линейную скорость угловой щ (v i = ωr i), то

где J = mr 2 – момент инерции.

Момент импульса замкнутой системы не изменяется во времени, то есть L = const и Jω = const.

При этом моменты импульса отдельных частиц вращающегося тела могут как угодно изменяться, однако общий момент импульса (сумма моментов импульса отдельных частей тела) остается постоянным. Продемонстрировать закон сохранения момента импульса можно, наблюдая вращение фигуриста на коньках с руками, вытянутыми в стороны, и с руками, поднятыми над головой. Так как Jω = const, то во втором случае момент инерции J уменьшается, значит, при этом должна возрасти угловая скорость щ, так как Jω = const.

Закон сохранения энергии

Энергия – это универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Энергия, отданная одним телом другому, всегда равна энергии, полученной другим телом. Для количественной оценки процесса обмена энергией между взаимодействующими телами в механике вводится понятие работы силы, вызывающей движение.

Кинетическая энергия механической системы – это энергия механического движения этой системы. Сила, вызывающая движение тела, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Как известно, тело массой m, движущееся со скоростьюv, обладает кинетической энергиейE =mv 2 /2.

Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, которые взаимодействуют посредством силовых полей, например посредством гравитационных сил. Работа, совершаемая этими силами, при перемещении тела из одного положения в другое не зависит от траектории движения, а зависит только от начального и конечного положения тела в силовом поле.

Такие силовые поля называют потенциальными, а силы, действующие в них, – консервативными. Гравитационные силы являются консервативными силами, а потенциальная энергия тела массойm, поднятого на высотуh над поверхностью Земли, равна

Е пот = mgh,

где g – ускорение свободного падения.

Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии:

E = Е кин + Е пот

Закон сохранения механической энергии (1686 г., Лейбниц) гласит, что в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется неизменной во времени. При этом могут происходить превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах.

Существуют еще один вид систем, в которых механическая энергия может уменьшаться за счет преобразования в другие формы энергии. Например, при движении системы с трением часть механической энергии уменьшается за счет трения. Такие системы называются диссипативными, то есть системами, рассеивающими механическую энергию. В таких системах закон сохранения полной механической энергии несправедлив. Однако при уменьшении механической энергии всегда возникает эквивалентное этому уменьшению количество энергии другого вида. Таким образом,энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. Здесь проявляется свойство неуничтожимости материи и ее движения.

В классической механике существуют два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии .

Импульс тела

Впервые понятие импульса ввёл французский математик, физик, механик и философ Декарт, назвавший импульс количеством движения .

С латинского «импульс» переводится как «толкать, двигать».

Любое тело, которое движется, обладает импульсом.

Представим себе тележку, стоящую неподвижно. Её импульс равен нулю. Но как только тележка начнёт двигаться, её импульс перестанет быть нулевым. Он начнёт изменяться, так как будет изменяться скорость.

Импульс материальной точки, или количество движения, – векторная величина, равная произведению массы точки на её скорость. Направление вектора импульса точки совпадает с направлением вектора скорости.

Если говорят о твёрдом физическом теле, то импульсом такого тела называют произведение массы этого тела на скорость центра масс.

Как вычислить импульс тела? Можно представить, что тело состоит из множества материальных точек, или системы материальных точек.

Если - импульс одной материальной точки, то импульс системы материальных точек

То есть, импульс системы материальных точек – это векторная сумма импульсов всех материальных точек, входящих в систему. Она равна произведению масс этих точек на их скорости.

Единица измерения импульса в международной системе единиц СИ – килограмм-метр в секунду (кг · м/сек).

Импульс силы

В механике существует тесная связь между импульсом тела и силой. Эти две величины связывает величина, которая называется импульсом силы .

Если на тело действует постоянная сила F в течение промежутка времени t , то согласно второму закону Ньютона

Эта формула показывает связь между силой, которая действует на тело, временем действия этой силы и изменением скорости тела.

Величина, равная произведению силы, действующей на тело, на время, в течение которого она действует, называется импульсом силы .

Как мы видим из уравнения, импульс силы равен разности импульсов тела в начальный и конечный момент времени, или изменению импульса за какое-то время.

Второй закон Ньютона в импульсной форме формулируется следующим образом: изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы. Нужно сказать, что сам Ньютон именно так и сформулировал первоначально свой закон.

Импульс силы – это также векторная величина.

Закон сохранения импульса вытекает из третьего закона Ньютона.

Нужно помнить, что этот закон действует только в замкнутой, или изолированной, физической системе. А замкнутой называют такую систему, в которой тела взаимодействуют только между собой и не взаимодействуют с внешними телами.

Представим замкнутую систему из двух физических тел. Силы взаимодействия тел друг с другом называют внутренними силами.

Импульс силы для первого тела равен

Согласно третьему закону Ньютона силы, которые действуют на тела при их взаимодействии, равны по величине и противоположны по направлению.

Следовательно, для второго тела импульс силы равен

Путём простых вычислений получаем математическое выражение закона сохранения импульса:

где m 1 и m 2 – массы тел,

v 1 и v 2 – скорости первого и второго тел до взаимодействия,

v 1 " и v 2 " – скорости первого и второго тел после взаимодействия.

p 1 = m 1 · v 1 - импульс первого тела до взаимодействия;

p 2 = m 2 · v 2 - импульс второго тела до взаимодействия;

p 1 "= m 1 · v 1 " - импульс первого тела после взаимодействия;

p 2 "= m 2 · v 2 " - импульс второго тела после взаимодействия;

То есть

p 1 + p 2 = p 1 " + p 2 "

В замкнутой системе тела только обмениваются импульсами. А векторная сумма импульсов этих тел до их взаимодействия равна векторной сумме их импульсов после взаимодействия.

Так, в результате выстрела из ружья импульс самого ружья и импульс пули изменятся. Но сумма импульсов ружья и находящейся в нём пули до выстрела останется равной сумме импульсов ружья и летящей пули после выстрела.

При стрельбе из пушки возникает отдача. Снаряд летит вперёд, а само орудие откатывается назад. Снаряд и пушка – замкнутая система, в которой действует закон сохранения импульса.

Импульс каждого из тел в замкнутой системе может изменяться в результате их взаимодействия друг с другом. Но векторная сумма импульсов тел, входящих в замкнутую систему, не изменяется при взаимодействии этих тел с течением времени, то есть остаётся постоянной величиной. Это и есть закон сохранения импульса .

Более точно закон сохранения импульса формулируется следующим образом: векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы – величина постоянная, если внешние силы, действующие на неё, отсутствуют, или же их векторная сумма равна нулю.

Импульс системы тел может измениться только в результате действия на систему внешних сил. И тогда закон сохранения импульса действовать не будет.

Нужно сказать, что в природе замкнутых систем не существует. Но, если время действия внешних сил очень мало, например, во время взрыва, выстрела и т.п., то в этом случае воздействием внешних сил на систему пренебрегают, а саму систему рассматривают как замкнутую.

Кроме того, если на систему действуют внешние силы, но сумма их проекций на одну из координатных осей равна нулю, (то есть силы уравновешены в направлении этой оси), то в этом направлении закон сохранения импульса выполняется.

Закон сохранения импульса называют также законом сохранения количества движения .

Самый яркий пример применения закона сохранения импульса – реактивное движение.

Реактивное движение

Реактивным движением называют движение тела, которое возникает при отделении от него с определённой скоростью какой-то его части. Само тело получает при этом противоположно направленный импульс.

Самый простой пример реактивного движения – полёт воздушного шарика, из которого выходит воздух. Если мы надуем шарик и отпустим его, он начнёт лететь в сторону, противоположную движению выходящего из него воздуха.

Пример реактивного движения в природе – выброс жидкости из плода бешеного огурца, когда он лопается. При этом сам огурец летит в противоположную сторону.

Медузы, каракатицы и другие обитатели морских глубин передвигаются, вбирая воду, а затем выбрасывая её.

На законе сохранения импульса основана реактивная тяга. Мы знаем, что при движении ракеты с реактивным двигателем в результате сгорания топлива из сопла выбрасывается струя жидкости или газа (реактивная струя ). В результате взаимодействия двигателя с вытекающим веществом появляется реактивная сила . Так как ракета вместе с выбрасываемым веществом является замкнутой системой, то импульс такой системы не меняется со временем.

Реактивная сила возникает в результате взаимодействия только частей системы. Внешние силы не оказывают никакого влияния на её появление.

До того, как ракета начала двигаться, сумма импульсов ракеты и горючего была равна нулю. Следовательно, по закону сохранения импульса после включения двигателей сумма этих импульсов тоже равна нулю.

где - масса ракеты

Скорость истечени газа

Изменение скорости ракеты

∆ m f - расход массы топлива

Предположим, ракета работала в течение времени t .

Разделив обе части уравнения на ∆ t , получим выражение

По второму закону Ньютона реактивная сила равна

Реактивная сила, или реактивная тяга, обеспечивает движение реактивного двигателя и объекта, связанного с ним, в сторону, противоположную направлению реактивной струи.

Реактивные двигатели применяются в современных самолётах и различных ракетах, военных, космических и др.