Vektorlarning chiziqli mustaqil ekanligini isbotlang. Vektorlar sistemasining chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi
Mayli L maydon ustidagi chiziqli fazodir R . Mayli A1, a2, ... , an (*) dan vektorlarning chekli tizimi L . Vektor IN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) chaqirdi Vektorlarning chiziqli birikmasi ( *), yoki vektor ayting IN vektorlar tizimi (*) orqali chiziqli ifodalangan.
Ta'rif 14. Vektorlar sistemasi (*) deyiladi chiziqli bog'liq , agar a1, a2, … koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud bo'lsa, a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Agar a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, keyin tizim (*) chaqiriladi chiziqli mustaqil.
Chiziqli bog`liqlik va mustaqillik xossalari.
10. Agar vektorlar sistemasi nol vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.
Haqiqatan ham, agar tizimda (*) vektor bo'lsa A1 = 0, Keyin 1 × 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .
20. Agar vektorlar sistemasi ikkita proporsional vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.
Mayli A1 = L×a2. Keyin 1 × A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.
30. n ³ 2 uchun cheklangan vektorlar tizimi (*) chiziqli bog'liq bo'ladi, agar uning vektorlaridan kamida bittasi ushbu tizimning boshqa vektorlarining chiziqli birikmasi bo'lsa.
Þ (*) chiziqli bog'liq bo'lsin. U holda a1, a2, … koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud bo'lib, a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Umumiylikni yo'qotmasdan, biz a1 ¹ 0 deb taxmin qilishimiz mumkin. Keyin mavjud A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× A N. Demak, vektor A1 qolgan vektorlarning chiziqli birikmasidir.
Ü Vektorlardan biri (*) boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lsin. Buni birinchi vektor deb taxmin qilishimiz mumkin, ya'ni. A1 = B2 A2+ … + milliard A N, demak (–1)× A1 + b2 A2+ … + milliard A N= 0 , ya'ni (*) chiziqli bog'liqdir.
Izoh. Oxirgi xususiyatdan foydalanib, cheksiz vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligini aniqlash mumkin.
Ta'rif 15. Vektor tizimi A1, a2, ... , an , … (**) deyiladi chiziqli bog'liq, Agar uning vektorlaridan kamida bittasi boshqa vektorlarning cheklangan sonining chiziqli birikmasi bo'lsa. Aks holda, tizim (**) chaqiriladi chiziqli mustaqil.
40. Cheklangan vektorlar sistemasi, agar uning birorta vektorini boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalab bo‘lmasa, chiziqli mustaqil hisoblanadi.
50. Agar vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil bo'lsa, uning har qanday quyi tizimlari ham chiziqli mustaqildir.
60. Agar berilgan vektorlar sistemasining qaysidir quyi tizimi chiziqli bog’liq bo’lsa, butun sistema ham chiziqli bog’liq bo’ladi.
Ikki vektor sistemasi berilgan bo'lsin A1, a2, ... , an , … (16) va V1, v2, … , vs, … (17). Agar (16) sistemaning har bir vektorini (17) sistemaning chekli sonli vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida tasvirlash mumkin bo'lsa, u holda (17) sistema (16) orqali chiziqli ifodalangan deymiz.
Ta'rif 16. Ikki vektor sistemasi deyiladi ekvivalent , agar ularning har biri chiziqli ravishda ikkinchisi bilan ifodalangan bo'lsa.
Teorema 9 (chiziqli bog'liqlik haqidagi asosiy teorema).
Qo'ying va dan vektorlarning ikkita chekli tizimidir L . Agar birinchi tizim chiziqli mustaqil bo'lsa va ikkinchisi bilan chiziqli ifodalangan bo'lsa, u holda N£ s.
Isbot. Keling, shunday da'vo qilaylik N> S. Teorema bo'yicha
|
|
Tizim chiziqli mustaqil bo'lgani uchun tenglik (18) w X1=x2=…=xN=0. Bu yerda vektor ifodalarini almashtiramiz: …+=0 (19). Shuning uchun (20). (18), (19) va (20) shartlar aniq ekvivalentdir. Lekin (18) faqat qachon qanoatlantiriladi X1=x2=…=xN=0.(20) tenglik qachon to'g'ri ekanligini topaylik. Agar uning barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lsa, u shubhasiz haqiqatdir. Ularni nolga tenglashtirib, (21) sistemani olamiz. Ushbu tizim nolga ega bo'lgani uchun, u |
(21)qo'shma. Tenglamalar soni noma'lumlar sonidan ko'p bo'lganligi sababli, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Shuning uchun u nolga teng bo'lmagan qiymatga ega x10, x20, …, xN0. Bu qiymatlar uchun tenglik (18) to'g'ri bo'ladi, bu vektorlar tizimining chiziqli mustaqil ekanligiga zid keladi. Shunday qilib, bizning taxminimiz noto'g'ri. Demak, N£ s.
Natija. Agar ikkita ekvivalent vektorlar tizimi chekli va chiziqli mustaqil bo'lsa, ular bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.
Ta'rif 17. Vektorlar sistemasi deyiladi Vektorlarning maksimal chiziqli mustaqil tizimi chiziqli fazo L , agar u chiziqli mustaqil bo'lsa, lekin unga har qanday vektorni qo'shsa L bu tizimga kirmasa, u chiziqli bog'liq bo'ladi.
Teorema 10. dan vektorlarning har qanday ikkita chekli maksimal chiziqli mustaqil tizimi L Bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.
Isbot vektorlarning har qanday ikkita maksimal chiziqli mustaqil tizimi ekvivalent ekanligidan kelib chiqadi .
Fazoviy vektorlarning har qanday chiziqli mustaqil sistemasini isbotlash oson L Ushbu fazoning vektorlarining maksimal chiziqli mustaqil tizimiga to'ldirilishi mumkin.
Misollar:
1. Barcha kollinear geometrik vektorlar to'plamida bitta nolga teng bo'lmagan vektordan iborat har qanday tizim maksimal chiziqli mustaqildir.
2. Barcha koplanar geometrik vektorlar to'plamida har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektor maksimal chiziqli mustaqil tizimni tashkil qiladi.
3. Uch o'lchovli Evklid fazosining barcha mumkin bo'lgan geometrik vektorlari to'plamida uchta koplanar bo'lmagan vektorlarning har qanday tizimi maksimal chiziqli mustaqildir.
4. Barcha ko‘phadlar to‘plamida daraja eng ko‘p N Haqiqiy (murakkab) koeffitsientlar bilan, polinomlar tizimi 1, x, x2, …, xn U maksimal chiziqli mustaqildir.
5. Haqiqiy (murakkab) koeffitsientli barcha ko‘phadlar to‘plamida maksimal chiziqli mustaqil sistemaga misollar keltiriladi.
A) 1, x, x2, … , xn, … ;
b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, …
6. O'lchov matritsalari to'plami M´ N chiziqli fazodir (uni tekshiring). Bu fazodagi maksimal chiziqli mustaqil sistemaga matritsalar sistemasi misol bo`la oladi E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .
Vektorlar sistemasi berilgan bo'lsin C1, c2, ... , qarang (*). (*) dan vektorlar quyi tizimi deyiladi Maksimal chiziqli mustaqil Quyi tizim Tizimlar ( *) , agar u chiziqli mustaqil bo'lsa, lekin unga ushbu tizimning boshqa har qanday vektori qo'shilsa, u chiziqli bog'liq bo'ladi. Agar tizim (*) chekli bo'lsa, uning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimlarining har qandayida bir xil miqdordagi vektorlar mavjud. (O'zingiz isbotlang.) Tizimning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimidagi vektorlar soni (*) deyiladi daraja Bu tizim. Shubhasiz, ekvivalent vektor tizimlari bir xil darajalarga ega.
Ta'rif. Vektorlarning chiziqli birikmasi a 1 , ..., a n koeffitsientlari x 1 , ..., x n vektor deyiladi.
x 1 a 1 + ... + x n a n.
ahamiyatsiz, agar barcha koeffitsientlar x 1 , ..., x n nolga teng bo'lsa.
Ta'rif. x 1 a 1 + ... + x n a n chiziqli birikma deyiladi ahamiyatsiz, agar x 1 , ..., x n koeffitsientlarining kamida bittasi nolga teng bo'lmasa.
chiziqli mustaqil, agar nol vektorga teng bu vektorlarning ahamiyatsiz bo'lmagan kombinatsiyasi bo'lmasa.
Ya'ni, a 1 , ..., a n vektorlari x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 bo'lsa, faqat x 1 = 0, ..., x n = 0 bo'lsa, chiziqli mustaqildir.
Ta'rif. a 1 , ..., a n vektorlari deyiladi chiziqli bog'liq, agar nol vektorga teng bu vektorlarning ahamiyatsiz bo'lmagan kombinatsiyasi mavjud bo'lsa.
Chiziqli bog'liq vektorlarning xossalari:
n o'lchovli vektorlar uchun.
n + 1 vektorlar har doim chiziqli bog'liqdir.
2 va 3 o'lchovli vektorlar uchun.
Ikki chiziqli qaram vektor kollineardir. (Kollinear vektorlar chiziqli bog'liqdir.) .
3 o'lchovli vektorlar uchun.
Uchta chiziqli bog'liq vektorlar koplanardir. (Uchta koplanar vektor chiziqli bog'liqdir.)
Vektorlarning chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi uchun topshiriqlarga misollar:
1-misol. a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring. .
Yechim:
Vektorlar chiziqli bog'liq bo'ladi, chunki vektorlarning o'lchami vektorlar sonidan kamroq.
2-misol. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring.
Yechim:
| x1 + x2 = 0 | |
| x1 + 2x2 - x3 = 0 | |
| x1 + x3 = 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
birinchi qatordan ikkinchisini olib tashlang; ikkinchi qatorni uchinchi qatorga qo'shing:
| ~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Bu yechim tizimning koʻplab yechimlarga ega ekanligini koʻrsatadi, yaʼni x 1 , x 2 , x 3 raqamlari qiymatlarining nolga teng boʻlmagan kombinatsiyasi mavjud boʻlib, a , b , c vektorlarining chiziqli birikmasi teng boʻladi. nol vektorga, masalan:
A + b + c = 0
ya'ni a, b, c vektorlari chiziqli bog'liqdir.
Javob: a , b , c vektorlari chiziqli bog'liqdir.
3-misol. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring.
Yechim: Ushbu vektorlarning chiziqli birikmasi nol vektorga teng bo'lgan koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz.
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0Bu vektor tenglamani chiziqli tenglamalar sistemasi sifatida yozish mumkin
| x1 + x2 = 0 | |
| x1 + 2x2 - x3 = 0 | |
| x1 + 2x3 = 0 |
Bu sistemani Gauss usuli yordamida yechamiz
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 2 | 0 |
ikkinchi qatordan birinchisini ayirish; uchinchi qatordan birinchisini ayirish:
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
birinchi qatordan ikkinchisini olib tashlang; ikkinchi qatorni uchinchi qatorga qo'shing.
Boshqacha qilib aytganda, vektorlar guruhining chiziqli bog'liqligi ular orasida ushbu guruhning boshqa vektorlarining chiziqli birikmasi bilan ifodalanishi mumkin bo'lgan vektor mavjudligini anglatadi.
Aytaylik. Keyin
Shuning uchun vektor x bu guruh vektorlariga chiziqli bog'liq.
Vektorlar x, y, ..., z chiziqli deyiladi mustaqil vektorlar agar (0) tenglikdan kelib chiqsa
α=β= ...= γ=0.
Ya'ni, vektorlar guruhlari chiziqli mustaqil bo'ladi, agar biron bir vektorni ushbu guruhdagi boshqa vektorlarning chiziqli birikmasi bilan ifodalash mumkin bo'lmasa.
Vektorlarning chiziqli bog'liqligini aniqlash
n tartibli satrlarning m vektori berilgan bo‘lsin:
Gauss istisnosini qilib, (2) matritsani yuqori uchburchak shaklga keltiramiz. Oxirgi ustunning elementlari faqat satrlar qayta tartiblanganda o'zgartiriladi. Yo'q qilish bosqichlaridan so'ng biz quyidagilarni olamiz:
Qayerda i 1 , i 2 , ..., i m - satrlarning mumkin bo'lgan almashtirilishidan olingan satrlar indekslari. Qator indekslaridan olingan qatorlarni hisobga olsak, biz satrlarning nol vektoriga mos keladiganlarni istisno qilamiz. Qolgan qatorlar chiziqli mustaqil vektorlarni hosil qiladi. E'tibor bering, (2) matritsani kompilyatsiya qilishda qator vektorlari ketma-ketligini o'zgartirish orqali chiziqli mustaqil vektorlarning boshqa guruhini olish mumkin. Ammo bu ikkala vektor guruhini tashkil etuvchi pastki fazo bir xil.
Biz tomonidan taqdim etilgan vektorlar ustida chiziqli amallar uchun turli iboralar yaratish imkonini beradi vektor kattaliklari va ushbu operatsiyalar uchun o'rnatilgan xususiyatlar yordamida ularni o'zgartiring.
Berilgan a 1 , ... va n vektorlar toʻplamiga asoslanib, shakl ifodasini tuzish mumkin.
bu yerda a 1 , ... va n ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Bu ifoda deyiladi vektorlarning chiziqli birikmasi a 1, ..., a n. a i , i = 1, n raqamlari chiziqli birikma koeffitsientlari. Vektorlar to'plami ham deyiladi vektor tizimi.
Kiritilgan vektorlarning chiziqli birikmasi tushunchasi bilan bog'liq holda berilgan a 1, ..., a n vektorlar tizimining chiziqli birikmasi sifatida yozilishi mumkin bo'lgan vektorlar to'plamini tavsiflash muammosi paydo bo'ladi. Bundan tashqari, vektorning chiziqli birikma shaklida tasviri mavjud bo'lgan shartlar va bunday tasvirning o'ziga xosligi haqidagi savollar tabiiydir.
Ta'rif 2.1. a 1 , ... va n vektorlari deyiladi chiziqli bog'liq, agar shunday a 1 , ... , a n koeffitsientlar to'plami mavjud bo'lsa, bu
a 1 a 1 + ... + a n a n = 0 (2.2)
va bu koeffitsientlarning kamida bittasi nolga teng emas. Belgilangan koeffitsientlar to'plami mavjud bo'lmasa, vektorlar chaqiriladi chiziqli mustaqil.
Agar a 1 = ... = a n = 0 bo'lsa, u holda, aniqki, a 1 a 1 + ... + a n a n = 0. Buni hisobga olib, biz quyidagilarni aytishimiz mumkin: a 1 , ..., va vektorlar. Agar (2.2) tenglikdan barcha a 1, ..., a n koeffitsientlari nolga teng ekanligi kelib chiqsa, n chiziqli mustaqildir.
Quyidagi teorema yangi tushunchaning nima uchun "bog'liqlik" (yoki "mustaqillik") atamasi deb atalishini tushuntiradi va chiziqli bog'liqlikning oddiy mezonini beradi.
2.1 teorema. a 1 , ..., va n, n > 1 vektorlari chiziqli bogʻliq boʻlishi uchun ulardan biri boshqalarning chiziqli birikmasi boʻlishi zarur va yetarli.
◄ Zarurlik. Faraz qilaylik, a 1, ... va n vektorlari chiziqli bog‘liq. Chiziqli bog'liqlikning 2.1 ta'rifiga ko'ra, (2.2) tenglikda chap tomonda kamida bitta nolga teng bo'lmagan koeffitsient mavjud, masalan a 1 . Birinchi atamani tenglikning chap tomonida qoldirib, qolganlarini o'ng tomonga o'tkazamiz, odatdagidek belgilarini o'zgartiramiz. Hosil bo'lgan tenglikni a 1 ga bo'lib, olamiz
a 1 =-a 2 /a 1 ⋅ a 2 - ... - a n / a 1 ⋅ a n
bular. a 1 vektorining qolgan a 2, ... va n vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi.
Adekvatlik. Masalan, birinchi vektor a 1 qolgan vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin: a 1 = b 2 a 2 + ... + b n a n. Barcha shartlarni o'ng tomondan chapga o'tkazsak, biz 1 - b 2 a 2 - ... - b n a n = 0 ni olamiz, ya'ni. a 1 , ... va n vektorlarining chiziqli birikmasi a 1 = 1, a 2 = - b 2 , ..., a n = - b n koeffitsientlari bilan, ga teng nol vektor. Ushbu chiziqli kombinatsiyada barcha koeffitsientlar nolga teng emas. 2.1 ta'rifga ko'ra, a 1, ... va n vektorlari chiziqli bog'liqdir.
Chiziqli bog'liqlikning ta'rifi va mezoni shunday tuzilganki, ular ikki yoki undan ortiq vektor mavjudligini bildiradi. Biroq, bitta vektorning chiziqli bog'liqligi haqida ham gapirish mumkin. Ushbu imkoniyatni amalga oshirish uchun "vektorlar chiziqli bog'liq" o'rniga "vektorlar tizimi chiziqli bog'liq" deyishimiz kerak. “Bitta vektorli sistema chiziqli bog’liq” iborasi bu yagona vektor nolga teng ekanligini anglatishini oson tushunish mumkin (chiziqli birikmada faqat bitta koeffitsient mavjud va u nolga teng bo’lmasligi kerak).
Chiziqli bog'liqlik tushunchasi oddiy geometrik talqinga ega. Ushbu talqin quyidagi uchta bayonot bilan aniqlangan.
2.2 teorema. Ikki vektor chiziqli bog'liq bo'ladi, agar ular faqat va agar ular kollinear.
◄ Agar a va b vektorlari chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda ulardan biri, masalan, a, ikkinchisi orqali ifodalanadi, ya'ni. ba'zi haqiqiy sonlar uchun a = lb. 1.7 ta'rifiga ko'ra ishlaydi vektorlar soni bo'yicha, a va b vektorlari kollineardir.
Endi a va b vektorlari kollinear bo'lsin. Agar ularning ikkalasi ham nolga teng bo'lsa, ularning chiziqli bog'liqligi aniq, chunki ularning har qanday chiziqli birikmasi nol vektorga teng. Bu vektorlardan biri 0 ga teng bo'lmasin, masalan b vektori. Vektorlar uzunliklarining nisbatini l bilan belgilang: l = |a|/|b|. Kollinear vektorlar bo'lishi mumkin bir tomonlama yoki qarama-qarshi yo'nalishlar. Ikkinchi holda, biz l belgisini o'zgartiramiz. Keyin, 1.7 ta'rifini tekshirib, a = lb ekanligini ko'ramiz. 2.1 teoremaga ko'ra a va b vektorlar chiziqli bog'liqdir.
Izoh 2.1. Ikki vektorda chiziqli bog'liqlik mezonini hisobga olgan holda, isbotlangan teoremani quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: ikkita vektor, agar ulardan biri ikkinchisining ko'paytmasi sifatida raqam bilan ifodalangan bo'lsa, ikkita vektor kollinear hisoblanadi. Bu ikki vektorning kollinearligi uchun qulay mezondir.
2.3 teorema. Uch vektor chiziqli bog'liq bo'ladi, agar ular bo'lsa o'xshash.
◄ Agar uchta a, b, c vektor chiziqli bogʻliq boʻlsa, 2.1-teoremaga koʻra, ulardan biri, masalan, a, boshqalarning chiziqli birikmasidir: a = bb + gs. b va c vektorlarning kelib chiqishini A nuqtada birlashtiramiz. Shunda bb, gc vektorlari A nuqtada umumiy koordinataga ega bo‘ladi va parallelogramma ularning yig'indisini boshqaradi, bular. a vektori A va boshli vektor bo'ladi oxiri, bu yig'indi vektorlari asosida qurilgan parallelogrammaning cho'qqisi. Shunday qilib, barcha vektorlar bir tekislikda yotadi, ya'ni ular koplanardir.
a, b, c vektorlari koplanar bo'lsin. Agar bu vektorlardan biri nolga teng bo'lsa, u boshqalarining chiziqli birikmasi bo'lishi aniq. Nolga teng chiziqli birikmaning barcha koeffitsientlarini olish kifoya. Shuning uchun biz uchta vektorning barchasi nolga teng emas deb taxmin qilishimiz mumkin. Mos boshlash umumiy nuqtada bu vektorlar O. Ularning uchlari mos ravishda A, B, C nuqtalari bo'lsin (2.1-rasm). C nuqta orqali O, A va O, B nuqtalari juftlari orqali o'tuvchi chiziqlarga parallel chiziqlar o'tkazing. Kesishish nuqtalarini A" va B" deb belgilab, biz OA"CB" parallelogrammasini olamiz, shuning uchun OC" = OA" + OB " . OA vektori" va nolga teng bo'lmagan a= OA vektori kollineardir va shuning uchun ularning birinchisini ikkinchisini haqiqiy songa ko'paytirish yo'li bilan olish mumkin a:OA" = aOA. Xuddi shunday, OB" = bOB , b ∈ R. Natijada, OC" = a OA + bOB ekanligini olamiz, ya'ni c vektori a va b vektorlarning chiziqli birikmasidir. 2.1-teoremaga ko'ra, a, b, c vektorlari chiziqli bog'liqdir.
2.4 teorema. Har qanday to'rt vektor chiziqli bog'liqdir.
◄ Isbot 2.3-teoremadagi kabi sxema bo'yicha amalga oshiriladi. A, b, c va d ixtiyoriy to'rt vektorni ko'rib chiqaylik. Agar to'rt vektordan biri nolga teng bo'lsa yoki ular orasida ikkita kollinear vektor bo'lsa yoki to'rt vektordan uchtasi koplanar bo'lsa, bu to'rt vektor chiziqli bog'liqdir. Misol uchun, a va b vektorlar kollinear bo'lsa, biz ularning chiziqli birikmasini nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar bilan aa + bb = 0 tuzishimiz mumkin, so'ngra nollarni koeffitsient sifatida qabul qilib, bu kombinatsiyaga qolgan ikkita vektorni qo'shishimiz mumkin. Biz 0 ga teng bo'lgan to'rtta vektorning chiziqli kombinatsiyasini olamiz, unda nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar mavjud.
Shunday qilib, tanlangan to'rtta vektor orasida nol, ikkitasi kollinear va uchtasi koplanar emas deb taxmin qilishimiz mumkin. Ularning umumiy boshlanishi sifatida O nuqtani tanlaymiz.Unda a,b,c,d vektorlarning uchlari ba'zi A,B,C,D nuqtalar bo'ladi (2.2-rasm). D nuqta orqali OV, OCA, OAB tekisliklariga parallel bo'lgan uchta tekislik o'tkazamiz va bu tekisliklarning mos ravishda OA, OB, OS chiziqlari bilan kesishgan nuqtalari A", B", S" bo'lsin.Parallelepipedni olamiz. OA"C"B"C" B"DA" va a,b,c vektorlari uning O cho'qqisidan chiqadigan qirralarida yotadi. OC"DC" to'rtburchak parallelogramm bo'lgani uchun OD = OC" + OC bo'ladi. " . O'z navbatida, OS" segmenti diagonali OA"C"B" parallelogrammasi, shuning uchun OC" = OA" + OB" , va OD = OA" + OB" + OC" .
Shuni ta'kidlash kerakki, OA ≠ 0 va OA" , OB ≠ 0 va OB" , OC ≠ 0 va OC" vektorlari juftligi kollineardir va shuning uchun biz a, b, g koeffitsientlarini tanlashimiz mumkin, shunda OA" = aOA , OB" = bOB va OC" = gOC . Nihoyat, biz OD = aOA + bOB + gOC ni olamiz. Binobarin, OD vektori qolgan uchta vektor bilan ifodalanadi va 2.1 teoremaga ko'ra barcha to'rt vektor chiziqli bog'liqdir.
a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.
Yechim. Biz tenglamalar tizimining umumiy yechimini qidiramiz
a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ
Gauss usuli. Buning uchun biz ushbu bir hil tizimni koordinatalarda yozamiz:
Tizim matritsasi
Ruxsat etilgan tizim quyidagicha ko'rinadi: 
(r A = 2, n= 3). Tizim izchil va aniqlanmagan. Uning umumiy yechimi ( x 2 - erkin o'zgaruvchi): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o =. Nolga teng bo'lmagan xususiy yechimning mavjudligi, masalan, , vektorlar ekanligini ko'rsatadi a
1 , a
2 , a
3
chiziqli bog'liq.
2-misol
Berilgan vektorlar sistemasi chiziqli bog'liqmi yoki chiziqli mustaqil ekanligini aniqlang:
1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.
Yechim. Bir jinsli tenglamalar tizimini ko'rib chiqing a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ
yoki kengaytirilgan (koordinatalar bo'yicha)
Tizim bir hil. Agar u degenerativ bo'lmasa, unda o'ziga xos echim bor. Bir hil sistemada nol (arzimas) yechim. Demak, bu holda vektorlar tizimi mustaqildir. Agar tizim buzilgan bo'lsa, u nolga teng bo'lmagan echimlarga ega va shuning uchun u bog'liqdir.
Tizimni degeneratsiyaga tekshirish:
= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.
Tizim degenerativ emas va shuning uchun vektorlar a 1 , a 2 , a 3 chiziqli mustaqildir.
Vazifalar. Berilgan vektorlar sistemasi chiziqli bog'liqmi yoki chiziqli mustaqil ekanligini aniqlang:
1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.
2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.
3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.
4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.
5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.
6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.
7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.
8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.
9. Vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq bo‘lishini isbotlang, agar u quyidagilardan iborat bo‘lsa:
a) ikkita teng vektor;
b) ikkita proportsional vektor.