Jak wyznaczać wektory liniowo zależne lub niezależne. Liniowa zależność wektorów

Zależność liniowa i niezależność liniowa wektorów.
Podstawa wektorów. Afiniczny układ współrzędnych

Na widowni stoi wózek z czekoladkami, a dziś każdy odwiedzający dostanie słodką parę – geometrię analityczną z algebrą liniową. W tym artykule poruszymy jednocześnie dwie sekcje wyższej matematyki i zobaczymy, jak sobie poradzą w jednym opakowaniu. Zrób sobie przerwę, zjedz Twixa! ... cholera, cóż, kłócić się bezsensownie. Chociaż dobrze, nie będę punktować, w końcu powinno być pozytywne nastawienie do nauki.

Liniowa zależność wektorów, liniowa niezależność wektorów, podstawa wektorowa i inne terminy mają nie tylko interpretację geometryczną, ale przede wszystkim znaczenie algebraiczne. Samo pojęcie „wektora” z punktu widzenia algebry liniowej nie zawsze jest „zwykłym” wektorem, który możemy przedstawić na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Nie musisz daleko szukać dowodu, spróbuj narysować wektor pięciowymiarowej przestrzeni . Lub wektor pogody, dla którego właśnie poszedłem do Gismeteo: - odpowiednio temperatura i ciśnienie atmosferyczne. Przykład jest oczywiście niepoprawny z punktu widzenia właściwości przestrzeni wektorowej, ale mimo to nikt nie zabrania sformalizowania tych parametrów jako wektora. Oddech jesieni...

Nie, nie będę cię zanudzać teorią, liniowymi przestrzeniami wektorowymi, zadanie polega na tym zrozumieć definicje i twierdzenia. Nowe terminy (zależność liniowa, niezależność, kombinacja liniowa, baza itp.) mają zastosowanie do wszystkich wektorów z algebraicznego punktu widzenia, ale przykłady zostaną podane w ujęciu geometrycznym. Dzięki temu wszystko jest proste, przystępne i wizualne. Oprócz problemów geometrii analitycznej rozważymy również niektóre typowe zadania algebry. Aby opanować materiał, wskazane jest zapoznanie się z lekcjami Wektory dla manekinów I Jak obliczyć wyznacznik?

Liniowa zależność i niezależność wektorów płaskich.
Podstawa płaszczyzny i afiniczny układ współrzędnych

Rozważ płaszczyznę biurka komputerowego (tylko stół, stolik nocny, podłoga, sufit, cokolwiek chcesz). Zadanie składać się będzie z następujących czynności:

1) Wybierz podstawę płaszczyzny. Z grubsza mówiąc, blat ma długość i szerokość, więc intuicyjnie wiadomo, że do zbudowania podstawy potrzebne są dwa wektory. Jeden wektor to wyraźnie za mało, trzy wektory to za dużo.

2) Na podstawie wybranej podstawy ustawić układ współrzędnych(siatka współrzędnych), aby przypisać współrzędne wszystkim elementom na stole.

Nie zdziw się, na początku wyjaśnienia będą na palcach. Co więcej, na twoim. Proszę umieścić palec wskazujący lewej ręki na krawędzi blatu, tak aby patrzył na monitor. To będzie wektor. Teraz miejsce mały palec prawej ręki na krawędzi stołu w ten sam sposób - tak, aby był skierowany w stronę ekranu monitora. To będzie wektor. Uśmiechnij się, wyglądasz świetnie! Co można powiedzieć o wektorach? Wektory danych współliniowy, co znaczy liniowo wyrażane przez siebie:
, cóż, lub odwrotnie: , gdzie jest liczbą różną od zera.

Możesz zobaczyć zdjęcie tej akcji w lekcji. Wektory dla manekinów, gdzie wyjaśniłem zasadę mnożenia wektora przez liczbę.

Czy Twoje palce ustawią podstawę na płaszczyźnie stołu komputerowego? Oczywiście, że nie. Wektory współliniowe poruszają się tam iz powrotem w sam kierunku, podczas gdy płaszczyzna ma długość i szerokość.

Takie wektory nazywamy liniowo zależne.

Odniesienie: Słowa „liniowy”, „liniowy” oznaczają fakt, że w równaniach matematycznych, wyrażeniach nie ma kwadratów, sześcianów, innych potęg, logarytmów, sinusów itp. Istnieją tylko wyrażenia i zależności liniowe (1. stopnia).

Dwa wektory płaskie liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są współliniowe.

Skrzyżuj palce na stole, tak aby między nimi był dowolny kąt oprócz 0 lub 180 stopni. Dwa wektory płaskieliniowo Nie są zależne wtedy i tylko wtedy, gdy nie są współliniowe. Tak więc podstawa jest odbierana. Nie trzeba się wstydzić, że podstawa okazała się „ukośna” z nieprostopadłymi wektorami o różnych długościach. Już wkrótce przekonamy się, że do jego budowy nadaje się nie tylko kąt 90 stopni, i nie tylko wektory jednostkowe równej długości

Każdy wektor samolot jedyny sposób rozbudowane pod względem podstawy:
, gdzie są liczbami rzeczywistymi. Numery są wywoływane współrzędne wektora w tej podstawie.

Tak też mówią wektorprzedstawiony w formularzu kombinacja liniowa wektory bazowe. Oznacza to, że wyrażenie nazywa się rozkład wektorowypodstawa Lub kombinacja liniowa wektory bazowe.

Na przykład, można powiedzieć, że wektor jest rozwinięty w ortonormalnej bazie płaszczyzny lub można powiedzieć, że jest reprezentowany jako liniowa kombinacja wektorów.

Sformułujmy się definicja podstawy formalnie: podstawa płaska jest parą liniowo niezależnych (niewspółliniowych) wektorów , , w której każdy wektor płaski jest liniową kombinacją wektorów bazowych.

Istotą definicji jest fakt, że wektory są brane w określonej kolejności. podstawy To dwie zupełnie różne bazy! Jak mówią, małego palca lewej ręki nie można przesunąć w miejsce małego palca prawej ręki.

Ustaliliśmy podstawę, ale nie wystarczy ustawić siatkę współrzędnych i przypisać współrzędne do każdego elementu na biurku komputera. Dlaczego nie wystarczy? Wektory są swobodne i wędrują po całej płaszczyźnie. Jak więc przypisać współrzędne tym małym, brudnym kropkom na stole, które pozostały po szalonym weekendzie? Potrzebny jest punkt wyjścia. A takim punktem odniesienia jest znany każdemu punkt - początek współrzędnych. Zrozumienie układu współrzędnych:

Zacznę od systemu „szkolnego”. Już na lekcji wprowadzającej Wektory dla manekinów Podkreśliłem niektóre różnice między prostokątnym układem współrzędnych a bazą ortonormalną. Oto standardowe zdjęcie:

kiedy mowa o prostokątny układ współrzędnych, to najczęściej oznaczają początek, osie współrzędnych i skalę wzdłuż osi. Spróbuj wpisać w wyszukiwarkę „prostokątny układ współrzędnych”, a zobaczysz, że wiele źródeł powie Ci o osiach współrzędnych znanych z klasy 5-6 oraz o tym, jak kreślić punkty na płaszczyźnie.

Z drugiej strony można odnieść wrażenie, że prostokątny układ współrzędnych można dobrze zdefiniować za pomocą bazy ortonormalnej. I prawie jest. Sformułowanie brzmi tak:

pochodzenie, I ortonormalny zestaw bazowy Kartezjański układ współrzędnych płaszczyzny . To znaczy prostokątny układ współrzędnych zdecydowanie jest zdefiniowany przez pojedynczy punkt i dwa jednostkowe wektory ortogonalne. Dlatego widzisz rysunek, który podałem powyżej - w problemach geometrycznych zarówno wektory, jak i osie współrzędnych są często (ale dalekie od zawsze) rysowane.

Myślę, że wszyscy to rozumieją za pomocą punktu (początku) i podstawy ortonormalnej DOWOLNY PUNKT płaszczyzny i DOWOLNY WEKTOR płaszczyzny można przypisać współrzędne. Mówiąc obrazowo, „wszystko na samolocie można policzyć”.

Czy wektory współrzędnych muszą być jednostkowe? Nie, mogą mieć dowolną niezerową długość. Rozważmy punkt i dwa ortogonalne wektory o dowolnej niezerowej długości:

Taka baza to tzw prostokątny. Początek współrzędnych z wektorami definiuje siatkę współrzędnych, a każdy punkt płaszczyzny, dowolny wektor ma swoje współrzędne w danej bazie. Na przykład lub. Oczywistą niedogodnością jest to, że wektory współrzędnych ogólnie mają różne długości inne niż jedność. Jeśli długości są równe jeden, wówczas uzyskuje się zwykłą bazę ortonormalną.

! Notatka : w bazie ortogonalnej, a także poniżej w podstawach afinicznych płaszczyzny i przestrzeni uwzględnia się jednostki wzdłuż osi WARUNKOWY. Na przykład jedna jednostka na odciętej zawiera 4 cm, jedna jednostka na rzędnej zawiera 2 cm.Ta informacja wystarczy, aby w razie potrzeby przeliczyć „niestandardowe” współrzędne na „nasze zwykłe centymetry”.

I drugie pytanie, na które już właściwie udzielono odpowiedzi - czy kąt między wektorami bazowymi musi być równy 90 stopni? NIE! Jak mówi definicja, wektory bazowe muszą być tylko niewspółliniowe. W związku z tym kąt może być dowolny z wyjątkiem 0 i 180 stopni.

Punkt na płaszczyźnie tzw pochodzenie, I niewspółliniowe wektory , , ustawić afiniczny układ współrzędnych płaszczyzny :

Czasami ten układ współrzędnych jest nazywany skośny system. Punkty i wektory pokazane są przykładowo na rysunku:

Jak rozumiesz, afiniczny układ współrzędnych jest jeszcze mniej wygodny, wzory na długości wektorów i odcinków, które rozważaliśmy w drugiej części lekcji, nie działają w nim. Wektory dla manekinów, wiele pysznych receptur związanych z iloczyn skalarny wektorów. Ale obowiązują zasady dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę, wzory dzielenia segmentu pod tym względem, a także niektóre inne rodzaje problemów, które wkrótce rozważymy.

Wniosek jest taki, że najwygodniejszym szczególnym przypadkiem afinicznego układu współrzędnych jest prostokątny układ kartezjański. Dlatego ona, jej własna, najczęściej musi być widziana. ... Jednak wszystko w tym życiu jest względne - jest wiele sytuacji, w których właściwe jest posiadanie skośnego (lub innego, np. polarny) system współrzędnych. Tak, a humanoidom takie systemy mogą przypaść do gustu =)

Przejdźmy do części praktycznej. Wszystkie problemy w tej lekcji dotyczą zarówno prostokątnego układu współrzędnych, jak i ogólnego przypadku afinicznego. Nie ma tu nic skomplikowanego, cały materiał jest dostępny nawet dla ucznia.

Jak określić współliniowość wektorów płaskich?

Typowa rzecz. W celu uzyskania dwóch wektorów płaskich są współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby ich odpowiednie współrzędne były proporcjonalne Zasadniczo jest to udoskonalenie oczywistej zależności współrzędna po współrzędnej.

Przykład 1

a) Sprawdź, czy wektory są współliniowe .
b) Czy wektory tworzą bazę? ?

Rozwiązanie:
a) Sprawdź, czy istnieje wektor współczynnik proporcjonalności, taki, że spełnione są równości:

Na pewno opowiem o „frutowatej” wersji stosowania tej zasady, która całkiem nieźle sprawdza się w praktyce. Chodzi o to, aby natychmiast sporządzić proporcję i sprawdzić, czy jest poprawna:

Zróbmy proporcję ze stosunków odpowiednich współrzędnych wektorów:

skracamy:
, zatem odpowiednie współrzędne są proporcjonalne, dlatego

Relację można utworzyć i odwrotnie, jest to równoważna opcja:

Do samotestowania można wykorzystać fakt, że wektory współliniowe wyrażają się liniowo przez siebie. W tym przypadku istnieją równości . Ich ważność można łatwo sprawdzić za pomocą elementarnych operacji na wektorach:

b) Dwa wektory płaskie tworzą bazę, jeśli nie są współliniowe (liniowo niezależne). Badamy wektory pod kątem współliniowości . Stwórzmy system:

Z pierwszego równania wynika, że ​​, z drugiego równania wynika, że ​​, co oznacza, system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem odpowiednie współrzędne wektorów nie są proporcjonalne.

Wniosek: wektory są liniowo niezależne i tworzą bazę.

Uproszczona wersja rozwiązania wygląda następująco:

Skomponuj proporcję z odpowiednich współrzędnych wektorów :
, stąd te wektory są liniowo niezależne i tworzą bazę.

Zwykle recenzenci nie odrzucają tej opcji, ale problem pojawia się w przypadkach, gdy niektóre współrzędne są równe zeru. Lubię to: . Lub tak: . Lub tak: . Jak tutaj przejść przez proporcję? (Naprawdę nie można dzielić przez zero). Z tego powodu nazwałem uproszczone rozwiązanie „frutowatym”.

Odpowiedź: a) , b) forma.

Mały kreatywny przykład niezależnego rozwiązania:

Przykład 2

Przy jakiej wartości wektorów parametrów będzie współliniowy?

W roztworze próbki parametr znajduje się w proporcji.

Istnieje elegancki algebraiczny sposób sprawdzania współliniowości wektorów.Usystematyzujmy naszą wiedzę i po prostu dodajmy ją jako piąty punkt:

Dla dwóch wektorów płaskich następujące stwierdzenia są równoważne:

2) wektory tworzą podstawę;
3) wektory nie są współliniowe;

+ 5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest różny od zera.

Odpowiednio, następujące przeciwstawne stwierdzenia są równoważne:
1) wektory są liniowo zależne;
2) wektory nie stanowią podstawy;
3) wektory są współliniowe;
4) wektory mogą być wyrażane liniowo przez siebie;
+ 5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest równy zeru.

Mam ogromną nadzieję, że w tej chwili rozumiesz już wszystkie terminy i stwierdzenia, które się pojawiły.

Przyjrzyjmy się bliżej nowemu, piątemu punktowi: dwa wektory płaskie są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych danych wektorów jest równy zeru:. Aby korzystać z tej funkcji, oczywiście musisz być w stanie znaleźć wyznaczniki.

Zdecydujemy Przykład 1 w drugi sposób:

a) Oblicz wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorów :
, więc te wektory są współliniowe.

b) Dwa wektory płaskie tworzą bazę, jeśli nie są współliniowe (liniowo niezależne). Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorów :
, stąd wektory są liniowo niezależne i tworzą bazę.

Odpowiedź: a) , b) forma.

Wygląda o wiele bardziej kompaktowo i ładniej niż rozwiązanie z proporcjami.

Za pomocą rozważanego materiału można ustalić nie tylko współliniowość wektorów, ale także udowodnić równoległość odcinków, prostych. Rozważ kilka problemów z określonymi kształtami geometrycznymi.

Przykład 3

Dane są wierzchołki czworokąta. Udowodnij, że czworokąt jest równoległobokiem.

Dowód: Nie ma potrzeby budowania rysunku w problemie, ponieważ rozwiązanie będzie czysto analityczne. Zapamiętaj definicję równoległoboku:
Równoległobok Nazywa się czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równoległe.

Należy więc udowodnić:
1) równoległość przeciwległych boków i;
2) równoległość przeciwległych boków i .

udowadniamy:

1) Znajdź wektory:

2) Znajdź wektory:

Rezultatem jest ten sam wektor („według szkoły” - równe wektory). Współliniowość jest dość oczywista, ale lepiej podjąć decyzję właściwie, z układem. Oblicz wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorów:
, więc te wektory są współliniowe, i .

Wniosek: Przeciwległe boki czworokąta są parami równoległe, więc z definicji jest to równoległobok. CO BYŁO DO OKAZANIA.

Więcej dobrych i różnych postaci:

Przykład 4

Dane są wierzchołki czworokąta. Udowodnij, że czworokąt jest trapezem.

Dla bardziej rygorystycznego sformułowania dowodu lepiej oczywiście otrzymać definicję trapezu, ale wystarczy zapamiętać, jak on wygląda.

Jest to zadanie do samodzielnej decyzji. Pełne rozwiązanie na końcu lekcji.

A teraz pora powoli przenieść się z samolotu w kosmos:

Jak określić współliniowość wektorów przestrzennych?

Zasada jest bardzo podobna. Aby dwa wektory przestrzenne były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby ich odpowiadające współrzędne były proporcjonalne do.

Przykład 5

Sprawdź, czy następujące wektory przestrzenne są współliniowe:

A) ;
B)
V)

Rozwiązanie:
a) Sprawdź, czy istnieje współczynnik proporcjonalności dla odpowiednich współrzędnych wektorów:

Układ nie ma rozwiązania, co oznacza, że ​​wektory nie są współliniowe.

„Uproszczony” sporządza się, sprawdzając proporcję. W tym przypadku:
– odpowiednie współrzędne nie są proporcjonalne, co oznacza, że ​​wektory nie są współliniowe.

Odpowiedź: wektory nie są współliniowe.

b-c) Są to punkty do samodzielnej decyzji. Wypróbuj na dwa sposoby.

Istnieje metoda sprawdzania współliniowości wektorów przestrzennych i za pomocą wyznacznika trzeciego rzędu metoda ta jest omówiona w artykule Iloczyn krzyżowy wektorów.

Podobnie jak w przypadku płaszczyzny, rozważane narzędzia mogą służyć do badania równoległości odcinków i linii przestrzennych.

Witamy w drugiej części:

Liniowa zależność i niezależność trójwymiarowych wektorów przestrzennych.
Podstawa przestrzenna i afiniczny układ współrzędnych

Wiele regularności, które rozważaliśmy na płaszczyźnie, będzie również obowiązywać w kosmosie. Starałem się zminimalizować streszczenie teorii, ponieważ lwia część informacji została już przeżuta. Niemniej jednak zalecam uważne przeczytanie części wprowadzającej, ponieważ pojawią się nowe terminy i koncepcje.

Teraz, zamiast płaszczyzny stołu komputerowego, zbadajmy przestrzeń trójwymiarową. Najpierw stwórzmy jego podstawę. Ktoś jest teraz w pomieszczeniu, ktoś na zewnątrz, ale w każdym razie nie możemy uciec od trzech wymiarów: szerokości, długości i wysokości. Dlatego do skonstruowania podstawy potrzebne są trzy wektory przestrzenne. Jeden lub dwa wektory to za mało, czwarty jest zbędny.

I znowu rozgrzewamy się na palcach. Proszę podnieść rękę i rozłożyć w różnych kierunkach kciuk, palec wskazujący i środkowy. Będą to wektory, patrzą w różnych kierunkach, mają różne długości i mają różne kąty między sobą. Gratulacje, podstawa trójwymiarowej przestrzeni jest gotowa! Nawiasem mówiąc, nie musisz tego demonstrować nauczycielom, bez względu na to, jak przekręcisz palce, ale nie możesz uciec od definicji =)

Następnie zadajemy ważne pytanie, czy dowolne trzy wektory tworzą podstawę przestrzeni trójwymiarowej? Proszę mocno nacisnąć trzema palcami na blat stołu komputera. Co się stało? Trzy wektory znajdują się w tej samej płaszczyźnie i, mówiąc z grubsza, straciliśmy jeden z pomiarów - wysokość. Takimi wektorami są współpłaszczyznowy i, całkiem oczywiste, że podstawa przestrzeni trójwymiarowej nie została stworzona.

Należy zauważyć, że wektory współpłaszczyznowe nie muszą leżeć w tej samej płaszczyźnie, mogą być w płaszczyznach równoległych (tylko nie rób tego palcami, tylko Salvador Dali tak wyszedł =)).

Definicja: nazywamy wektory współpłaszczyznowy jeśli istnieje płaszczyzna, do której są równoległe. Tutaj logiczne jest dodanie, że jeśli taka płaszczyzna nie istnieje, to wektory nie będą współpłaszczyznowe.

Trzy współpłaszczyznowe wektory są zawsze liniowo zależne, to znaczy, że są wyrażane liniowo przez siebie. Dla uproszczenia wyobraź sobie ponownie, że leżą w tej samej płaszczyźnie. Po pierwsze, wektory są nie tylko współpłaszczyznowe, ale mogą być również współliniowe, a następnie dowolny wektor można wyrazić za pomocą dowolnego wektora. W drugim przypadku, jeśli na przykład wektory nie są współliniowe, trzeci wektor jest przez nie wyrażany w unikalny sposób: (i dlaczego łatwo się domyślić z materiałów z poprzedniej sekcji).

Odwrotność jest również prawdziwa: trzy wektory niewspółpłaszczyznowe są zawsze liniowo niezależne, to znaczy, że nie są one w żaden sposób wyrażane przez siebie. I oczywiście tylko takie wektory mogą stanowić podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

Definicja: Podstawy przestrzeni trójwymiarowej nazywa się potrójną liniowo niezależnych (nie współpłaszczyznowych) wektorów, przyjmowane w określonej kolejności, podczas gdy dowolny wektor przestrzeni jedyny sposób rozwija się w danej bazie , gdzie to współrzędne wektora w danej bazie

Dla przypomnienia, możesz też powiedzieć, że wektor jest reprezentowany jako kombinacja liniowa wektory bazowe.

Pojęcie układu współrzędnych wprowadza się dokładnie tak samo, jak w przypadku płaszczyzny, wystarczy jeden punkt i dowolne trzy liniowo niezależne wektory:

pochodzenie, I niewspółpłaszczyznowy wektory , przyjmowane w określonej kolejności, ustawić afiniczny układ współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej :

Oczywiście siatka współrzędnych jest „skośna” i niewygodna, niemniej jednak skonstruowany układ współrzędnych pozwala nam zdecydowanie wyznaczyć współrzędne dowolnego wektora i współrzędne dowolnego punktu w przestrzeni. Podobnie jak w przypadku płaszczyzny, w afinicznym układzie współrzędnych przestrzeni niektóre formuły, o których już wspomniałem, nie będą działać.

Jak każdy może się domyślić, najbardziej znanym i wygodnym przypadkiem specjalnym afinicznego układu współrzędnych jest prostokątny układ współrzędnych przestrzeni:

punkt w przestrzeni tzw pochodzenie, I ortonormalny zestaw bazowy Kartezjański układ współrzędnych przestrzeni . znajome zdjęcie:

Przed przystąpieniem do praktycznych zadań ponownie systematyzujemy informacje:

Dla trzech wektorów przestrzennych poniższe instrukcje są równoważne:
1) wektory są liniowo niezależne;
2) wektory tworzą podstawę;
3) wektory nie są współpłaszczyznowe;
4) wektory nie mogą być wyrażane liniowo przez siebie;
5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest różny od zera.

Wydaje mi się, że zdania przeciwne są zrozumiałe.

Liniową zależność / niezależność wektorów przestrzennych tradycyjnie sprawdza się za pomocą wyznacznika (poz. 5). Pozostałe zadania praktyczne będą miały wyraźny charakter algebraiczny. Czas zawiesić geometryczny patyczek na gwoździu i dzierżyć kij bejsbolowy do algebry liniowej:

Trzy wektory kosmiczne są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych danych wektorów jest równy zeru: .

Zwracam uwagę na mały niuans techniczny: współrzędne wektorów można zapisać nie tylko w kolumnach, ale także w wierszach (wartość wyznacznika nie zmieni się od tego - patrz właściwości wyznaczników). Ale w kolumnach jest znacznie lepiej, ponieważ jest bardziej korzystny w rozwiązywaniu niektórych praktycznych problemów.

Tym czytelnikom, którzy trochę zapomnieli metody obliczania wyznaczników, a może w ogóle są słabo zorientowani, polecam jedną z moich najstarszych lekcji: Jak obliczyć wyznacznik?

Przykład 6

Sprawdź, czy następujące wektory tworzą podstawę przestrzeni trójwymiarowej:

Rozwiązanie: Właściwie całe rozwiązanie sprowadza się do obliczenia wyznacznika.

a) Oblicz wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorów (wyznacznik jest rozwinięty w pierwszym wierszu):

, co oznacza, że ​​wektory są liniowo niezależne (nie współpłaszczyznowe) i tworzą podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

Odpowiedź: te wektory tworzą podstawę

b) To jest punkt do samodzielnej decyzji. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Istnieją również zadania kreatywne:

Przykład 7

Przy jakiej wartości parametru wektory będą współpłaszczyznowe?

Rozwiązanie: Wektory są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych danych wektorów jest równy zeru:

Zasadniczo wymagane jest rozwiązanie równania z wyznacznikiem. Wlatujemy w zera jak latawce w skoczki - najbardziej opłaca się otworzyć wyznacznik w drugiej linii i od razu pozbyć się minusów:

Dokonujemy dalszych uproszczeń i sprowadzamy sprawę do najprostszego równania liniowego:

Odpowiedź: Na

Łatwo to sprawdzić tutaj, w tym celu musisz podstawić wynikową wartość do pierwotnego wyznacznika i upewnić się, że poprzez ponowne jego otwarcie.

Na zakończenie rozważmy inny typowy problem, który ma charakter bardziej algebraiczny i tradycyjnie jest uwzględniany w kursie algebry liniowej. Jest to tak powszechne, że zasługuje na osobny temat:

Udowodnij, że 3 wektory tworzą podstawę przestrzeni trójwymiarowej
i znajdź współrzędne czwartego wektora w podanej bazie

Przykład 8

Podano wektory. Wykaż, że wektory tworzą bazę przestrzeni trójwymiarowej i znajdź w tej bazie współrzędne wektora.

Rozwiązanie: Najpierw zajmijmy się warunkiem. Warunkowo podane są cztery wektory i, jak widać, mają one już współrzędne w jakiejś bazie. Jaka jest podstawa - nas nie interesuje. Interesująca jest następująca rzecz: trzy wektory mogą równie dobrze tworzyć nową bazę. Pierwszy krok jest całkowicie taki sam jak rozwiązanie z przykładu 6, konieczne jest sprawdzenie, czy wektory są naprawdę liniowo niezależne:

Oblicz wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorów:

, stąd wektory są liniowo niezależne i tworzą bazę przestrzeni trójwymiarowej.

! Ważny : współrzędne wektora Koniecznie zanotować w kolumny wyznacznik, a nie łańcuchy. W przeciwnym razie nastąpi zamieszanie w algorytmie dalszego rozwiązania.

Nazywa się system wektorów liniowo zależne, jeśli istnieją takie liczby, wśród których przynajmniej jedna jest różna od zera, że ​​równość https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Jeśli ta równość zachodzi tylko wtedy, gdy all , to nazywa się układ wektorów liniowo niezależny.

Twierdzenie. Układ wektorów będzie liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jego wektorów jest kombinacją liniową pozostałych.

Przykład 1 Wielomian jest liniową kombinacją wielomianów https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Wielomiany stanowią układ liniowo niezależny, ponieważ https wielomian: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Przykład 2 System macierzy , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> jest liniowo niezależny, ponieważ kombinacja liniowa jest równa macierz zerowa tylko wtedy, gdy https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> liniowo zależne.

Rozwiązanie.

Skomponuj liniową kombinację tych wektorów https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height =" 22">.

Zrównując współrzędne równych wektorów o tej samej nazwie, otrzymujemy https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Wreszcie dostajemy

I

Układ ma unikalne trywialne rozwiązanie, więc liniowa kombinacja tych wektorów wynosi zero tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki są równe zeru. Dlatego ten układ wektorów jest liniowo niezależny.

Przykład 4 Wektory są liniowo niezależne. Jakie będą układy wektorów

A).;

B).?

Rozwiązanie.

A). Skomponuj kombinację liniową i zrównaj ją do zera

Korzystając z właściwości operacji na wektorach w przestrzeni liniowej, przepisujemy ostatnią równość w postaci

Ponieważ wektory są liniowo niezależne, współczynniki dla muszą być równe zeru, tj..gif" width="12" height="23 src=">

Otrzymany układ równań ma unikalne trywialne rozwiązanie .

Od równości (*) wykonywane tylko na https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – liniowo niezależne;

B). Skomponuj równość https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Stosując podobne rozumowanie, otrzymujemy

Rozwiązując układ równań metodą Gaussa, otrzymujemy

Lub

Ostatni system ma nieskończoną liczbę rozwiązań https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Istnieje więc nie- zero zestaw współczynników, dla których równość (**) . Dlatego system wektorów jest liniowo zależny.

Przykład 5 Układ wektorowy jest liniowo niezależny, a układ wektorowy jest liniowo zależny..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

W równości (***) . Rzeczywiście, dla , system byłby liniowo zależny.

Z relacji (***) dostajemy Lub Oznaczać .

Dostawać

Zadania do samodzielnego rozwiązania (w klasie)

1. Układ zawierający wektor zerowy jest liniowo zależny.

2. System pojedynczych wektorów A, jest liniowo zależna wtedy i tylko wtedy, gdy a=0.

3. Układ składający się z dwóch wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są proporcjonalne (to znaczy, że jeden z nich otrzymuje się z drugiego przez pomnożenie przez liczbę).

4. Jeżeli do układu liniowo zależnego dodamy wektor, to otrzymamy układ liniowo zależny.

5. Jeżeli usuniemy wektor z układu liniowo niezależnego, to powstały układ wektorów jest liniowo niezależny.

6. Jeśli system S liniowo niezależny, ale staje się liniowo zależny po dodaniu wektora B, a następnie wektor B wyrażone liniowo za pomocą wektorów układu S.

C). Układ macierzy , , w przestrzeni macierzy drugiego rzędu.

10. Niech układ wektorów A,B,C przestrzeń wektorowa jest liniowo niezależna. Udowodnić liniową niezależność następujących układów wektorów:

A).+b, b, c.

B).+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– dowolna liczba

C).+b, a+c, b+c.

11. Pozwalać A,B,C to trzy wektory w płaszczyźnie, z których można utworzyć trójkąt. Czy wektory te będą liniowo zależne?

12. Biorąc pod uwagę dwa wektory a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Podnieś jeszcze dwa wektory 4D a3 ia4 aby system a1,a2,a3,a4 był liniowo niezależny .

W tym artykule omówimy:

• co to są wektory współliniowe;
• jakie są warunki dla wektorów współliniowych;
• jakie są własności wektorów współliniowych;
• jaka jest liniowa zależność wektorów współliniowych.

Wektory współliniowe to wektory, które są równoległe do tej samej prostej lub leżą na tej samej prostej.

Przykład 1

Warunki dla wektorów współliniowych

Dwa wektory są współliniowe, jeśli spełniony jest którykolwiek z poniższych warunków:

• warunek 1 . Wektory aib są współliniowe, jeśli istnieje liczba λ taka, że ​​a = λ b;
• warunek 2 . Wektory aib są współliniowe o jednakowym stosunku współrzędnych:

za = (za 1 ; za 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ za ∥ b ⇔ za 1 b 1 = za 2 b 2

• warunek 3 . Wektory a i b są współliniowe pod warunkiem, że iloczyn wektorowy i wektor zerowy są równe:

za ∥ b ⇔ za , b = 0

Uwaga 1

Warunek 2 nie ma zastosowania, jeśli jedna ze współrzędnych wektora wynosi zero.

Uwaga 2

Warunek 3 ma zastosowanie tylko do tych wektorów, które są dane w przestrzeni.

Przykłady problemów do badania współliniowości wektorów

Badamy wektory a \u003d (1; 3) i b \u003d (2; 1) pod kątem współliniowości.

Jak zdecydować?

W takim przypadku konieczne jest zastosowanie drugiego warunku współliniowości. Dla danych wektorów wygląda to tak:

Równość jest błędna. Z tego możemy wywnioskować, że wektory a i b nie są współliniowe.

Odpowiedź : za | | B

Przykład 2

Jaka wartość m wektora a = (1 ; 2) i b = (- 1 ; m) jest konieczna, aby wektory były współliniowe?

Jak zdecydować?

Korzystając z drugiego warunku współliniowości, wektory będą współliniowe, jeśli ich współrzędne są proporcjonalne:

To pokazuje, że m = - 2 .

Odpowiedź: m = - 2 .

Kryteria liniowej zależności i liniowej niezależności układów wektorów

Układ wektorów w przestrzeni wektorowej jest liniowo zależny tylko wtedy, gdy jeden z wektorów układu można wyrazić za pomocą pozostałych wektorów układu.

Dowód

Niech układ e 1 , e 2 , . . . , en jest liniowo zależne. Zapiszmy kombinację liniową tego układu równą wektorowi zerowemu:

za 1 mi 1 + za 2 mi 2 + . . . + za n mi n = 0

w którym co najmniej jeden ze współczynników kombinacji nie jest równy zeru.

Niech a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , N .

Dzielimy obie strony równości przez niezerowy współczynnik:

za k - 1 (a k - 1 za 1) mi 1 + (a k - 1 za k) mi k + . . . + (za k - 1 za n) mi n = 0

Oznaczać:

ZA k - 1 za m , gdzie m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , rz

W tym przypadku:

β 1 mi 1 + . . . + β k - 1 mi k - 1 + β k + 1 mi k + 1 + . . . + βn mi n = 0

lub mi k = (- β 1) mi 1 + . . . + (- β k - 1) mi k - 1 + (- β k + 1) mi k + 1 + . . . + (- β n) mi n

Wynika z tego, że jeden z wektorów układu jest wyrażony za pomocą wszystkich innych wektorów układu. Co należało udowodnić (p.t.d.).

Adekwatność

Niech jeden z wektorów będzie wyrażony liniowo w odniesieniu do wszystkich innych wektorów układu:

mi k = γ 1 mi 1 + . . . + γ k - 1 mi k - 1 + γ k + 1 mi k + 1 + . . . + γ n mi n

Przenosimy wektor e k na prawą stronę tej równości:

0 = y 1 mi 1 + . . . + γ k - 1 mi k - 1 - mi k + γ k + 1 mi k + 1 + . . . + γ n mi n

Ponieważ współczynnik wektora e k jest równy - 1 ≠ 0 , otrzymujemy nietrywialną reprezentację zera przez układ wektorów e 1 , e 2 , . . . , e n , a to z kolei oznacza, że ​​dany układ wektorów jest liniowo zależny. Co należało udowodnić (p.t.d.).

Konsekwencja:

• Układ wektorów jest liniowo niezależny, gdy żaden z jego wektorów nie może być wyrażony za pomocą wszystkich innych wektorów układu.
• Układ wektorów, który zawiera wektor zerowy lub dwa równe wektory, jest liniowo zależny.

Własności wektorów liniowo zależnych

1. Dla wektorów 2- i 3-wymiarowych warunek jest spełniony: dwa liniowo zależne wektory są współliniowe. Dwa współliniowe wektory są liniowo zależne.
2. Dla wektorów trójwymiarowych warunek jest spełniony: trzy liniowo zależne wektory są współpłaszczyznowe. (3 wektory współpłaszczyznowe - liniowo zależne).
3. Dla n-wymiarowych wektorów warunek jest spełniony: n + 1 wektorów jest zawsze liniowo zależnych.

Przykłady rozwiązywania problemów dla liniowej zależności lub liniowej niezależności wektorów

Sprawdźmy wektory a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 na liniową niezależność.

Rozwiązanie. Wektory są liniowo zależne, ponieważ wymiar wektorów jest mniejszy niż liczba wektorów.

Przykład 4

Sprawdźmy wektory a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 pod kątem liniowej niezależności.

Rozwiązanie. Znajdujemy wartości współczynników, przy których kombinacja liniowa będzie równa wektorowi zerowemu:

x 1 za + x 2 b + x 3 do 1 = 0

Piszemy równanie wektorowe w postaci liniowej:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Rozwiązujemy ten układ za pomocą metody Gaussa:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Od drugiej linii odejmujemy pierwszą, od trzeciej - pierwszą:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Odejmij drugą od pierwszej linii, dodaj drugą do trzeciej:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Z rozwiązania wynika, że ​​układ ma wiele rozwiązań. Oznacza to, że istnieje niezerowa kombinacja wartości takich liczb x 1 , x 2 , x 3, dla których kombinacja liniowa a , b , c równa się wektorowi zerowemu. Stąd wektory a , b , c są równe liniowo zależne. ​​​​​​​

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Pozwalać Ł- dowolna przestrzeń liniowa, a I Î Ł są jego elementami (wektorami).

Definicja 3.3.1. Wyrażenie , Gdzie , - dowolne liczby rzeczywiste, zwane kombinacją liniową wektory za 1 , za 2 ,…, za N.

Jeśli wektor R = , wtedy tak mówią R rozłożone na wektory za 1 , za 2 ,…, za N.

Definicja 3.3.2. Nazywa się liniową kombinację wektorów nietrywialne, jeśli wśród liczb jest co najmniej jedna różna od zera. W przeciwnym razie wywoływana jest kombinacja liniowa trywialny.

Definicja 3.3.3 . Wektory a 1 , a 2 ,…, a N nazywamy liniowo zależnymi, jeśli istnieje ich nietrywialna kombinacja liniowa taka, że

= 0 .

Definicja 3.3.4. Wektory a 1 , a 2 ,…, a N nazywamy liniowo niezależnymi, jeśli równość = 0 możliwe tylko wtedy, gdy wszystkie liczby l 1, l 2,…, l n są jednocześnie zerowe.

Zauważmy, że dowolny niezerowy element a 1 można uznać za układ liniowo niezależny, ponieważ równość l a 1 = 0 możliwe tylko pod warunkiem l= 0.

Twierdzenie 3.3.1. Warunek konieczny i wystarczający dla zależności liniowej a 1 , a 2 ,…, a N jest możliwość rozłożenia co najmniej jednego z tych pierwiastków na pozostałe.

Dowód. Konieczność. Niech elementy a 1 , a 2 ,…, a N liniowo zależne. To znaczy, że = 0 i co najmniej jedną z liczb l 1, l 2,…, l n różne od zera. Niech dla ścisłości l 1 ¹ 0. Wtedy

tzn. element a 1 rozkłada się na elementy a 2 , a 3 , …, a N.

Adekwatność. Niech element a 1 zostanie rozłożony na elementy a 2 , a 3 , …, a N, czyli a 1 = . wtedy = 0 , zatem istnieje nietrywialna kombinacja liniowa wektorów a 1 , a 2 ,…, a N równy 0 , więc są liniowo zależne .

Twierdzenie 3.3.2. Jeżeli przynajmniej jeden z elementów a 1 , a 2 ,…, a N zero, to wektory te są liniowo zależne.

Dowód . Pozwalać A N= 0 , wtedy = 0 , co oznacza liniową zależność wskazanych elementów.

Twierdzenie 3.3.3. Jeśli wśród n wektorów dowolny p (s< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Dowód. Niech dla ścisłości elementy a 1 , a 2 ,…, a P liniowo zależne. Oznacza to, że istnieje nietrywialna kombinacja liniowa taka, że = 0 . Wskazana równość zostanie zachowana, jeśli dodamy element do obu jego części. Następnie + = 0 , podczas gdy co najmniej jedna z liczb l 1, l 2,…, lp różne od zera. Zatem wektory a 1 , a 2 ,…, a N są liniowo zależne.

Wniosek 3.3.1. Jeśli n elementów jest liniowo niezależnych, to dowolne k z nich jest liniowo niezależnych (k< n).

Twierdzenie 3.3.4. Jeśli wektory za 1 , za 2 ,…, za N- 1 są liniowo niezależne, a elementy za 1 , za 2 ,…, za N- 1, za n są liniowo zależne, a następnie wektor A n można rozłożyć na wektory za 1 , za 2 ,…, za N- 1 .

Dowód. Ponieważ z warunku a 1 , a 2 ,…, A N- 1, za N są liniowo zależne, to istnieje ich nietrywialna kombinacja liniowa = 0 , oraz (w przeciwnym razie wektory a 1 , a 2 ,…, a N- 1). Ale potem wektor

co było do okazania

Innymi słowy, liniowa zależność grupy wektorów oznacza, że ​​wśród nich znajduje się wektor, który może być reprezentowany przez liniową kombinację innych wektorów tej grupy.

Powiedzmy . Następnie

Stąd wektor X liniowo zależne od wektorów tej grupy.

Wektory X, y, ..., z nazywamy liniowymi niezależne wektory jeśli z równości (0) wynika, że

α=β= ...= γ=0.

Oznacza to, że grupy wektorów są liniowo niezależne, jeśli żaden wektor nie może być reprezentowany przez liniową kombinację innych wektorów w tej grupie.

Wyznaczanie liniowej zależności wektorów

Niech będzie dane m wektorów wierszy rzędu n:

Po zrobieniu wyjątku Gaussa doprowadzamy macierz (2) do postaci górnego trójkąta. Elementy ostatniej kolumny są zmieniane tylko wtedy, gdy zmieniane są wiersze. Po m krokach eliminacji otrzymujemy:

Gdzie I 1 , I 2 , ..., I m - indeksy napisów otrzymane z możliwej permutacji napisów. Biorąc pod uwagę otrzymane wiersze z indeksów wierszy wykluczamy te, które odpowiadają zerowemu wektorowi wierszy. Pozostałe wiersze tworzą wektory liniowo niezależne. Zauważmy, że kompilując macierz (2), zmieniając kolejność wektorów wierszowych, można otrzymać kolejną grupę wektorów liniowo niezależnych. Ale podprzestrzeń, którą tworzą obie te grupy wektorów, jest taka sama.