Przykłady rzędów Lod 2 ze stałymi współczynnikami. Równania różniczkowe liniowe jednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach

Jednorodne liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach mają postać

gdzie p i q są liczbami rzeczywistymi. Przyjrzyjmy się przykładom rozwiązywania jednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu o stałych współczynnikach.

Rozwiązanie liniowego jednorodnego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu zależy od pierwiastków równania charakterystycznego. Równanie charakterystyczne to równanie k²+pk+q=0.

1) Jeżeli pierwiastkami równania charakterystycznego są różne liczby rzeczywiste:

wtedy ogólne rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu o stałych współczynnikach ma postać

2) Jeżeli pierwiastki równania charakterystycznego są równymi liczbami rzeczywistymi

(na przykład z wyróżnikiem równym zeru), to ogólne rozwiązanie jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu to

3) Jeśli pierwiastki równania charakterystycznego są liczbami zespolonymi

(na przykład z wyróżnikiem równym liczbie ujemnej), to ogólne rozwiązanie jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu jest zapisywane jako

Przykłady rozwiązywania równań różniczkowych liniowych jednorodnych drugiego rzędu o stałych współczynnikach

Znajdź ogólne rozwiązania jednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu:

Tworzymy równanie charakterystyczne: k²-7k+12=0. Jego wyróżnikiem jest D=b²-4ac=1>0, więc pierwiastki są różnymi liczbami rzeczywistymi.

Stąd ogólne rozwiązanie tego jednorodnego DE drugiego rzędu to

Tworzymy i rozwiązujemy równanie charakterystyczne:

Korzenie są prawdziwe i wyraźne. Stąd mamy ogólne rozwiązanie tego jednorodnego równania różniczkowego:

W tym przypadku charakterystyczne równanie

Korzenie są wyraźne i prawdziwe. Dlatego ogólne rozwiązanie jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu jest tutaj

Równanie charakterystyczne

Ponieważ pierwiastki są rzeczywiste i równe, zapisujemy ogólne rozwiązanie tego równania różniczkowego jako

Charakterystyczne równanie jest tutaj

Ponieważ dyskryminator jest liczbą ujemną, pierwiastki równania charakterystycznego są liczbami zespolonymi.

Ogólnym rozwiązaniem tego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu jest

Równanie charakterystyczne

Stąd znajdujemy ogólne rozwiązanie tej różnicy. równania:

Przykłady do autotestu.

Instytucja edukacyjna „Państwo Białoruskie

Akademia Rolnicza"

Katedra Matematyki Wyższej

Wytyczne

w sprawie studium tematu „Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu” przez studentów działu księgowości korespondencyjnej formy kształcenia (NISPO)

Górki, 2013

Liniowe równania różniczkowe

drugi rząd ze stałąwspółczynniki

1. Liniowe jednorodne równania różniczkowe

Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach nazywa się równaniem postaci

te. równanie, które zawiera pożądaną funkcję i jej pochodne tylko do pierwszego stopnia i nie zawiera ich iloczynów. W tym równaniu I
to niektóre liczby i funkcja
podane w pewnym przedziale
.

Jeśli
na interwale
, to równanie (1) przybiera postać

, (2)

i zadzwoniłem liniowy jednorodny . W przeciwnym razie wywoływane jest równanie (1). liniowy niejednorodny .

Rozważ funkcję zespoloną

, (3)

Gdzie
I
są funkcjami rzeczywistymi. Jeżeli funkcja (3) jest złożonym rozwiązaniem równania (2), to część rzeczywista
i część urojona
rozwiązania
wzięte oddzielnie są rozwiązaniami tego samego jednorodnego równania. Zatem każde złożone rozwiązanie równania (2) generuje dwa rzeczywiste rozwiązania tego równania.

Rozwiązania jednorodnego równania liniowego mają następujące właściwości:

Jeśli jest rozwiązaniem równania (2), to funkcja
, Gdzie Z- dowolna stała będzie również rozwiązaniem równania (2);

Jeśli I są rozwiązaniami równania (2), to funkcja
będzie również rozwiązaniem równania (2);

Jeśli I są rozwiązaniami równania (2), to ich kombinacja liniowa
będzie również rozwiązaniem równania (2), gdzie I
są dowolnymi stałymi.

Funkcje
I
zwany liniowo zależne na interwale
jeśli są takie numery I
, które nie są jednocześnie równe zeru, że na tym przedziale równość

Jeśli równość (4) zachodzi tylko wtedy, gdy
I
, a następnie funkcje
I
zwany liniowo niezależny na interwale
.

Przykład 1 . Funkcje
I
są liniowo zależne, ponieważ
wzdłuż całej linii liczbowej. w tym przykładzie
.

Przykład 2 . Funkcje
I
są liniowo niezależne na dowolnym przedziale, ponieważ równość
możliwe tylko wtedy, gdy i
, I
.

1. Konstrukcja ogólnego rozwiązania liniowej jednorodnej

równania

Aby znaleźć ogólne rozwiązanie równania (2), należy znaleźć dwa jego liniowo niezależne rozwiązania I . Liniowa kombinacja tych rozwiązań
, Gdzie I
są dowolnymi stałymi i dadzą ogólne rozwiązanie liniowego równania jednorodnego.

W postaci poszukiwane będą liniowo niezależne rozwiązania równania (2).

, (5)

Gdzie - jakiś numer Następnie
,
. Podstawmy te wyrażenia do równania (2):

Lub
.

Ponieważ
, To
. Więc funkcja
będzie rozwiązaniem równania (2), jeśli spełni równanie

. (6)

Wywołuje się równanie (6). równanie charakterystyczne dla równania (2). To równanie jest algebraicznym równaniem kwadratowym.

Pozwalać I są pierwiastkami tego równania. Mogą być albo rzeczywiste i różne, albo złożone, albo rzeczywiste i równe. Rozważmy te przypadki.

Niech korzenie I równania charakterystyczne są rzeczywiste i różne. Wówczas rozwiązaniami równania (2) będą funkcje
I
. Rozwiązania te są liniowo niezależne, ponieważ równość
można wykonać tylko wtedy, gdy
, I
. Dlatego rozwiązanie ogólne równania (2) ma postać

,

Gdzie I
są dowolnymi stałymi.

Przykład 3
.

Rozwiązanie . Równanie charakterystyczne dla tej różnicy będzie miało postać
. Rozwiązując to równanie kwadratowe, znajdujemy jego pierwiastki
I
. Funkcje
I
są rozwiązaniami równania różniczkowego. Ogólne rozwiązanie tego równania ma postać
.

Liczba zespolona nazywa się wyrażeniem formy
, Gdzie I są liczbami rzeczywistymi i
nazywamy jednostką urojoną. Jeśli
, a następnie numer
nazywa się czysto urojonym. Jeśli
, a następnie numer
jest identyfikowany z liczbą rzeczywistą .

Numer nazywa się częścią rzeczywistą liczby zespolonej, i - część urojona. Jeśli dwie liczby zespolone różnią się od siebie tylko znakiem części urojonej, wówczas nazywane są koniugatem:
,
.

Przykład 4 . Rozwiąż równanie kwadratowe
.

Rozwiązanie . Wyróżnik równania
. Następnie . Podobnie,
. Zatem to równanie kwadratowe ma sprzężone pierwiastki zespolone.

Niech pierwiastki równania charakterystycznego będą złożone, tj.
,
, Gdzie
. Rozwiązania równania (2) można zapisać jako
,
Lub
,
. Według wzorów Eulera

,
.

Następnie , . Jak wiadomo, jeśli funkcja zespolona jest rozwiązaniem liniowego równania jednorodnego, to rozwiązania tego równania są zarówno częściami rzeczywistą, jak i urojoną tej funkcji. Zatem rozwiązaniami równania (2) będą funkcje
I
. Od równości

można wykonać tylko wtedy, gdy
I
, to rozwiązania te są liniowo niezależne. Zatem ogólne rozwiązanie równania (2) ma postać

Gdzie I
są dowolnymi stałymi.

Przykład 5 . Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
.

Rozwiązanie . Równanie
jest charakterystyczny dla danej różniczki. Rozwiązujemy go i otrzymujemy złożone pierwiastki
,
. Funkcje
I
są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania różniczkowego. Ogólne rozwiązanie tego równania ma postać .

Niech pierwiastki charakterystycznego równania będą rzeczywiste i równe, tj.
. Wówczas rozwiązaniami równania (2) są funkcje
I
. Rozwiązania te są liniowo niezależne, ponieważ wyrażenie może być identycznie równe zeru tylko wtedy, gdy
I
. Zatem ogólne rozwiązanie równania (2) ma postać
.

Przykład 6 . Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
.

Rozwiązanie . Równanie charakterystyczne
ma równe korzenie
. W tym przypadku liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania różniczkowego są funkcje
I
. Rozwiązanie ogólne ma postać
.

Równania różniczkowe drugiego rzędu

§1. Metody obniżania rzędu równania.

Równanie różniczkowe drugiego rzędu ma postać:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( lub Różniczkowy" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">Równanie różniczkowe drugiego rzędu). Problem Cauchy'ego dla równania różniczkowego drugiego rzędu (1..gif" width="85" height= "25 src= ">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

Niech równanie różniczkowe drugiego rzędu będzie wyglądało następująco: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

Zatem równanie drugiego rzędu https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Rozwiązując go, otrzymujemy całkę ogólną pierwotnego równania różniczkowego zależną od dwóch dowolnych stałych: DIV_ADBLOCK219">

Przykład 1 Rozwiąż równanie różniczkowe https://pandia.ru/text/78/516/images/image021_18.gif" width="70" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.gif" width="39" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src=">.gif" width="112" height="25 src=">.

To jest rozdzielne równanie różniczkowe: https://pandia.ru/text/78/516/images/image026_19.gif" width="99" height="41 src=">, tj..gif" width= "96" wysokość="25 src=">.gif" szerokość="53" wysokość="25 src=">.gif" szerokość="48" wysokość="38 src=">..gif" szerokość="99" wysokość ="38 src=">..gif" width="95" height="25 src=">.

2..gif" width="117" height="25 src=">, tj..gif" width="102" height="25 src=">..gif" width="117" height="25 src =">.gif" width="106" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=" >.gif" width="111" height="27 src=">

Rozwiązanie.

To równanie drugiego rzędu wyraźnie nie obejmuje wymaganej funkcji https://pandia.ru/text/78/516/images/image043_16.gif" width="98" height="25 src=">.gif" width=" 33" height="25 src=">.gif" width="105" height="36 src="> które jest równaniem liniowym..gif" width="109" height="36 src=">.. gif" width="144" height="36 src=">.gif" height="25 src="> z niektórych funkcji..gif" width="25" height="25 src=">.gif" szerokość ="127" height="25 src=">.gif" width="60" height="25 src="> - obniżona kolejność równań.

§2. Liniowe równanie różniczkowe 2. rzędu.

Liniowe równanie różniczkowe (LDE) drugiego rzędu ma postać:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image059_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. gif" width="42" height="25 src="> i po wprowadzeniu nowej notacji dla współczynników zapisujemy równanie w postaci:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image064_12.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">. gif" width="30" height="25 src="> ciągły..gif" width="165" height="25 src=">.gif" width="95" height="25 src="> – dowolne liczby.

Twierdzenie. Jeśli https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> - rozwiązaniem jest

https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> również będzie rozwiązaniem tego równania.

Dowód.

Umieśćmy wyrażenie https://pandia.ru/text/78/516/images/image077_11.gif" width="420" height="25 src=">.

Uporządkujmy warunki:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image073_10.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="54" height="25 src=">. gif" width="94" height="25 src="> jest również rozwiązaniem tego równania.

Konsekwencja 2. Zakładając, że https://pandia.ru/text/78/516/images/image083_11.gif" width="58" height="25 src="> jest również rozwiązaniem tego równania.

Komentarz. Własność rozwiązań udowodnionych w twierdzeniu pozostaje ważna dla przypadku dowolnego rzędu.

§3. Wyznacznik Wrońskiego.

Definicja. Układ funkcji https://pandia.ru/text/78/516/images/image084_10.gif" width="61" height="25 src=">.gif" width="110" height="47 src= " >..gif" width="106" height="42 src=">..gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="181" height="47 src= " >.gif" width="42" height="25 src="> równania (2.3)..gif" width="182" height="25 src=">. (3.1)

Rzeczywiście, ..gif" width="18" height="25 src="> spełnia równanie (2..gif" width="42" height="25 src="> jest rozwiązaniem równania (3.1). .gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162" height="42 src="> .gif" width="51" height="25 src="> jest identyczny. Zatem

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, w którym wyznacznik dla liniowo niezależnych rozwiązań równania (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> Oba czynniki po prawej stronie wzoru (3.2) są niezerowe.

§4. Struktura rozwiązania ogólnego lod drugiego rzędu.

Twierdzenie. Jeśli https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">jest rozwiązaniem równania (2.3), wynika z twierdzenia o własnościach rozwiązań lodu drugiego rzędu..gif " width="85 "height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

Stałe https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> z tego układu liniowych równań algebraicznych są jednoznacznie określone, ponieważ ten system to https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Zgodnie z poprzednim akapitem ogólne rozwiązanie lodu drugiego rzędu można łatwo wyznaczyć, jeśli znane są dwa liniowo niezależne rozwiązania cząstkowe tego równania. Prosta metoda dla znalezienia częściowych rozwiązań równania o stałych współczynnikach zaproponowanych przez L. Eulera..gif" width="25" height="26 src=">, otrzymujemy równanie algebraiczne, które nazywa się cechą:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> będzie rozwiązaniem równania (5.1) tylko dla tych wartości k to są pierwiastki charakterystycznego równania (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> i rozwiązanie ogólne (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Sprawdź, czy ta funkcja spełnia równanie (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Podstawiając te wyrażenia do równanie (5.1), otrzymujemy

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, ponieważ.gif" width="137" height="26 src=" >.

Prywatne rozwiązania https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> są liniowo niezależne, ponieważ.gif" width="166" height= "26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height=" 25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

Oba nawiasy po lewej stronie tej równości są identycznie równe zeru..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> to rozwiązanie równania (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> będzie wyglądać następująco:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

reprezentowane jako suma rozwiązania ogólnego https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

a każde konkretne rozwiązanie https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> będzie rozwiązaniem równania (6.1)..gif" width=" 272" height="25 src="> f(x). Ta równość jest tożsamością, ponieważ..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Dlatego.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width= „138” height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> to liniowo niezależne rozwiązania tego równania. Zatem:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, a taki wyznacznik, jak widzieliśmy powyżej, jest różny od zera..gif" width="19" height="25 src="> z układu równań (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> będzie rozwiązaniem równania

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> do równania (6.5), otrzymujemy

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

gdzie https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> równania (7.1) w przypadku, gdy prawa strona f(x) ma specjalne Metoda ta nazywana jest metodą współczynników nieoznaczonych i polega na wyborze określonego rozwiązania w zależności od postaci prawej strony funkcji f(x). Rozważmy prawą stronę następującej postaci:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> może wynosić zero. Wskażmy, w jakiej formie należy w tym przypadku przyjąć dane rozwiązanie.

a) Jeśli numer to https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height=" 25 źródło =">.

Rozwiązanie.

Dla równania https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.

Obie części skracamy o https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> w lewej i prawej części równości

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

Z otrzymanego układu równań znajdujemy: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src="> oraz ogólne rozwiązanie podanego równanie to:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

gdzie https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

Rozwiązanie.

Odpowiednie równanie charakterystyczne ma postać:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Wreszcie mamy następujące wyrażenie na rozwiązanie ogólne:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> doskonałe od zera. Wskażmy w tym przypadku postać konkretnego rozwiązania.

a) Jeśli numer to https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

gdzie https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> jest pierwiastkiem charakterystycznego równania dla równania (5..gif" szerokość ="229 "wysokość="25 źródło=">,

gdzie https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

Rozwiązanie.

Korzenie charakterystycznego równania dla równania https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" wysokość="25 źródło=">.

Prawa strona równania podanego w przykładzie 3 ma specjalną postać: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

Aby zdefiniować https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > i podstawiamy do podanego równania:

Wprowadzanie podobnych warunków, zrównywanie współczynników na https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height= "25 źródło=">.

Ostateczne ogólne rozwiązanie podanego równania to: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> odpowiednio, a jeden z tych wielomianów może być równy zeru. Wskażmy postać konkretnego rozwiązania w tym ogólnym sprawa.

a) Jeśli liczba to https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

gdzie https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

b) Jeśli liczba to https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, to konkretne rozwiązanie będzie wyglądać następująco:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. W wyrażeniu (7..gif" width="121" height= " 25 źródło = ">.

Przykład 4 Wskaż typ konkretnego rozwiązania równania

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Ogólne rozwiązanie lod ma postać:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

Dalsze współczynniki https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > istnieje szczególne rozwiązanie dla równania z prawą stroną f1(x) i Wariacją" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">wariacjami dowolnych stałych (metoda Lagrange'a).

Bezpośrednie znalezienie konkretnego rozwiązania prostej, z wyjątkiem przypadku równania o stałych współczynnikach, a ponadto ze specjalnymi stałymi wyrazami, nastręcza wielkie trudności. Dlatego, aby znaleźć ogólne rozwiązanie linii, zwykle stosuje się metodę wariacji dowolnych stałych, która zawsze umożliwia znalezienie ogólnego rozwiązania prostej w kwadraturach, jeśli podstawowy układ rozwiązań odpowiedniego równania jednorodnego jest znana. Ta metoda jest następująca.

Zgodnie z powyższym ogólnym rozwiązaniem liniowego równania jednorodnego jest:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – nie stała, ale niektóre, jeszcze nieznane, funkcje f(x). . należy wziąć z przedziału. W rzeczywistości w tym przypadku wyznacznik Wronsky'ego jest niezerowy we wszystkich punktach przedziału, czyli w całej przestrzeni jest pierwiastkiem zespolonym równania charakterystycznego..gif" width="20" height="25 src="> liniowo niezależne rozwiązania szczególne postaci :

W ogólnym wzorze rozwiązania ten pierwiastek odpowiada wyrażeniu postaci.

W tym artykule przeanalizujemy zasady rozwiązywania liniowych jednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu o stałych współczynnikach , gdzie p i q są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Najpierw zastanówmy się nad teorią, a następnie zastosujmy uzyskane wyniki w rozwiązywaniu przykładów i problemów.

Jeśli natkniesz się na nieznane terminy, zapoznaj się z definicjami sekcji i pojęciami teorii równań różniczkowych.

Sformułujmy twierdzenie, które wskazuje, w jakiej postaci znaleźć rozwiązanie ogólne LODE.

Twierdzenie.

Ogólne rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego o ciągłych współczynnikach w przedziale całkowania X jest określone przez kombinację liniową , Gdzie są liniowo niezależnymi rozwiązaniami częściowymi LODE na X i są dowolnymi stałymi.

Zatem ogólne rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami ma postać y 0 = C 1 ⋅y 1 + C 2 ⋅y 2 dowolne stałe. Pozostaje nauczyć się znajdować konkretne rozwiązania y 1 i y 2 .

Euler zasugerował poszukiwanie konkretnych rozwiązań w postaci .

Jeżeli jako rozwiązanie szczególne przyjmiemy LODE drugiego rzędu o stałych współczynnikach, to podstawiając to rozwiązanie do równania powinniśmy otrzymać tożsamość:

Mamy więc tzw równanie charakterystyczne liniowe jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Rozwiązania k 1 i k 2 tego charakterystycznego równania wyznaczają również poszczególne rozwiązania naszego drugiego rzędu LODE o stałych współczynnikach.

W zależności od współczynników p i q pierwiastkami równania charakterystycznego mogą być:

W pierwszym przypadku liniowo niezależne rozwiązania cząstkowe pierwotnego równania różniczkowego to i , ogólne rozwiązanie LODE drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami to .

Funkcje i są rzeczywiście liniowo niezależne, ponieważ wyznacznik Wronsky'ego jest różny od zera dla każdego rzeczywistego x dla .

W drugim przypadku jednym szczególnym rozwiązaniem jest funkcja . Jako drugie przyjęto konkretne rozwiązanie. Pokażmy, co jest rzeczywiście rozwiązaniem szczególnym LODE drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami i udowodnijmy liniową niezależność y 1 i y 2 .

Ponieważ k 1 \u003d k 0 i k 2 \u003d k 0 są tymi samymi pierwiastkami równania charakterystycznego, to ma postać. Dlatego jest oryginalnym liniowym jednorodnym równaniem różniczkowym. Podstaw do niego i upewnij się, że równanie zamieni się w tożsamość:

Zatem jest szczególnym rozwiązaniem pierwotnego równania.

Pokażmy liniową niezależność funkcji i . Aby to zrobić, obliczamy wyznacznik Wronsky'ego i upewniamy się, że jest on różny od zera.

Wniosek: liniowo niezależnymi rozwiązaniami cząstkowymi LODE drugiego rzędu o stałych współczynnikach są i , a rozwiązaniem ogólnym jest .

W trzecim przypadku mamy parę złożonych konkretnych rozwiązań dla LODE i . Ogólne rozwiązanie jest zapisane jako . Te konkretne rozwiązania można zastąpić dwiema funkcjami rzeczywistymi i odpowiadające części rzeczywistej i urojonej. Widać to wyraźnie, jeśli przekształcimy rozwiązanie ogólne , korzystając ze wzorów z teoria funkcji zmiennej zespolonej Uprzejmy :


gdzie C3 i C4 są dowolnymi stałymi.

Podsumujmy więc teorię.

Algorytm znajdowania ogólnego rozwiązania liniowego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami.

Rozważ przykłady dla każdego przypadku.

Przykład.

Znajdź ogólne rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami .