Tabela wszystkich całek. Podstawowe metody integracji

Tabela funkcji pierwotnych („całek”). Tablica całek. Tabularne całki nieoznaczone. (Całki proste i całki z parametrem). Wzory na całkowanie przez części. Formuła Newtona-Leibniza.

Wzory na całkowanie przez części. Zasady integracji.

Tabela pochodna. Pochodne tabeli. Pochodna produktu. Pochodna prywatnego. Pochodna funkcji zespolonej.

Jeśli x jest zmienną niezależną, to:

Własności logarytmów. Podstawowe wzory logarytmów. Logarytmy dziesiętne (lg) i naturalne (ln).

Logarytm naturalny ln (podstawa logarytmu e = 2,718281828459045…) ln(e)=1; log(1)=0

szereg Taylora. Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora.

Okazuje się, że większość praktycznie występujące funkcje matematyczne można przedstawić z dowolną dokładnością w pobliżu pewnego punktu w postaci szeregów potęgowych zawierających potęgi zmiennej w porządku rosnącym. Np. w okolicach punktu x=1:

Podczas korzystania z wierszy o nazwie rzędy Taylora, funkcje mieszane zawierające, powiedzmy, funkcje algebraiczne, trygonometryczne i wykładnicze, można wyrazić jako funkcje czysto algebraiczne. Za pomocą szeregów często można szybko przeprowadzić różniczkowanie i całkowanie.

Szereg Taylora w pobliżu punktu a ma postać:

1) , gdzie f(x) jest funkcją, która ma pochodne wszystkich rzędów w punkcie x=a. R n - reszta wyrazu w szeregu Taylora jest określona przez wyrażenie

2)

k-ty współczynnik (przy x k) szeregu określa wzór

3) Szczególnym przypadkiem szeregu Taylora jest szereg Maclaurina (=McLaren) (rozkład odbywa się wokół punktu a=0)

dla a=0

członkowie serii są określani przez wzór

Warunki stosowania szeregu Taylora.

1. Aby funkcja f(x) była rozwinięta w szereg Taylora na przedziale (-R;R), konieczne i wystarczające jest, aby pozostała część we wzorze Taylora (Maclaurin (=McLaren)) dla tego funkcja dąży do zera w punkcie k →∞ w określonym przedziale (-R;R).

2. Konieczne jest, aby dla tej funkcji istniały pochodne w punkcie, w pobliżu którego będziemy budować szereg Taylora.

Własności szeregu Taylora.

Jeśli f jest funkcją analityczną, to jej szereg Taylora w dowolnym punkcie a dziedziny f zbiega się do f w pewnym sąsiedztwie a.

Istnieją nieskończenie różniczkowalne funkcje, których szereg Taylora jest zbieżny, ale różni się od funkcji w dowolnym sąsiedztwie a. Na przykład:

Szeregów Taylora używa się do aproksymacji (aproksymacja to metoda naukowa polegająca na zastępowaniu pewnych obiektów innymi, w pewnym sensie zbliżonymi do oryginału, ale prostszymi) funkcji przez wielomiany. W szczególności linearyzacja (od linearis - liniowy), jedna z metod przybliżonej reprezentacji zamkniętych układów nieliniowych, w której badanie układu nieliniowego zastępuje się analizą układu liniowego, w pewnym sensie równoważnym oryginalnemu .) równań następuje poprzez rozwinięcie w szereg Taylora i odcięcie wszystkich wyrazów powyżej pierwszego rzędu.

Zatem prawie każdą funkcję można przedstawić jako wielomian z określoną dokładnością.

Przykłady niektórych powszechnych rozwinięć funkcji potęgowych w szeregach Maclaurina (=McLaren,Taylor w okolicach punktu 0) i Taylora w okolicach punktu 1. Pierwsze wyrazy rozwinięć funkcji głównych w szeregach Taylora i MacLarena.

Przykłady niektórych typowych rozwinięć funkcji potęgowych w szeregu Maclaurina (= MacLaren, Taylor w pobliżu punktu 0)

Przykłady niektórych typowych rozwinięć szeregu Taylora wokół punktu 1

Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona

Fakt 1. Całkowanie jest przeciwieństwem różniczkowania, a mianowicie przywracaniem funkcji ze znanej pochodnej tej funkcji. Funkcja przywrócona w ten sposób F(X) jest nazywany prymitywny dla funkcji F(X).

Definicja 1. Funkcja F(X F(X) w pewnym przedziale X, jeśli dla wszystkich wartości X z tego przedziału równość F "(X)=F(X), czyli ta funkcja F(X) jest pochodną funkcji pierwotnej F(X). .

Na przykład funkcja F(X) = grzech X jest funkcją pierwotną funkcji F(X) = cos X na całej osi liczbowej, ponieważ dla dowolnej wartości x (grzech X)" = (cos X) .

Definicja 2. Całka nieoznaczona funkcji F(X) jest zbiorem wszystkich jego funkcji pierwotnych. Służy do tego notacja

∫

F(X)dx

gdzie jest znak ∫ nazywa się znakiem całki, funkcją F(X) jest całką i F(X)dx jest całką.

Zatem, jeśli F(X) jest jakąś funkcją pierwotną dla F(X) , To

∫

F(X)dx = F(X) +C

Gdzie C - dowolna stała (stała).

Aby zrozumieć znaczenie zbioru funkcji pierwotnych funkcji jako całki nieoznaczonej, odpowiednia jest następująca analogia. Niech będą drzwi (tradycyjne drewniane drzwi). Jego funkcją jest „być drzwiami”. Z czego wykonane są drzwi? Z drzewa. Oznacza to, że zbiorem funkcji pierwotnych całki „być drzwiami”, czyli jej całki nieoznaczonej, jest funkcja „być drzewem + C”, gdzie C jest stałą, która w tym kontekście może oznaczać np. przykład gatunek drzewa. Tak jak drzwi są wykonane z drewna za pomocą niektórych narzędzi, pochodna funkcji jest „wykonana” z funkcji pierwotnej z wzór, którego nauczyliśmy się badając pochodną .

Wtedy tablica funkcji przedmiotów wspólnych i odpowiadających im prymitywów („być drzwiami” – „być drzewem”, „być łyżką” – „być metalem” itp.) jest podobna do tablicy podstawowe całki nieoznaczone, które zostaną podane poniżej. Tabela całek nieoznaczonych zawiera listę typowych funkcji, wskazując funkcje pierwotne, z których te funkcje są „wykonane”. W ramach zadań znajdowania całki nieoznaczonej podane są takie całki, które można zintegrować bezpośrednio bez specjalnych wysiłków, to znaczy zgodnie z tabelą całek nieoznaczonych. W bardziej złożonych problemach całkę należy najpierw przekształcić, aby można było użyć całek tabelarycznych.

Fakt 2. Przywracając funkcję jako pierwotną, musimy wziąć pod uwagę dowolną stałą (stałą) C, a żeby nie pisać listy funkcji pierwotnych o różnych stałych od 1 do nieskończoności, musisz zapisać zestaw funkcji pierwotnych o dowolnej stałej C, tak: 5 X³+C. Zatem dowolna stała (stała) jest zawarta w wyrażeniu funkcji pierwotnej, ponieważ funkcja pierwotna może być funkcją, na przykład 5 X³+4 lub 5 X³+3 i przy różniczkowaniu 4 lub 3 lub dowolnej innej stałej znika.

Ustawiamy problem całkowania: dla danej funkcji F(X) znaleźć taką funkcję F(X), której pochodna jest równe F(X).

Przykład 1 Znajdź zbiór funkcji pierwotnych funkcji

Rozwiązanie. Dla tej funkcji funkcją pierwotną jest funkcja

Funkcjonować F(X) nazywa się funkcją pierwotną dla funkcji F(X) jeśli pochodna F(X) jest równe F(X) lub, co jest tym samym, różniczką F(X) jest równe F(X) dx, tj.

(2)

Dlatego funkcja jest funkcją pierwotną dla funkcji . Jednak nie jest to jedyna funkcja pierwotna dla . To też są funkcje

Gdzie Z jest dowolną stałą. Można to zweryfikować przez zróżnicowanie.

Tak więc, jeśli istnieje jedna funkcja pierwotna dla funkcji, to dla niej istnieje nieskończony zbiór funkcji pierwotnych, które różnią się o stałą sumę. Wszystkie funkcje pierwotne dla funkcji są zapisane w powyższej formie. Wynika to z następującego twierdzenia.

Twierdzenie (formalne stwierdzenie faktu 2). Jeśli F(X) jest funkcją pierwotną funkcji F(X) w pewnym przedziale X, to każda inna funkcja pierwotna dla F(X) w tym samym przedziale można przedstawić jako F(X) + C, Gdzie Z jest dowolną stałą.

W poniższym przykładzie zwracamy się już do tabeli całek, która zostanie podana w akapicie 3, po właściwościach całki nieoznaczonej. Robimy to przed zapoznaniem się z całą tabelą, aby istota powyższego była jasna. A po tabeli i właściwościach użyjemy ich w całości podczas integracji.

Przykład 2 Znajdź zestawy funkcji pierwotnych:

Rozwiązanie. Znajdujemy zestawy funkcji pierwotnych, z których te funkcje są „wykonane”. Wspominając o wzorach z tablicy całek, na razie zaakceptuj, że takie wzory istnieją, a tablicę całek nieoznaczonych przestudiujemy w całości nieco dalej.

1) Stosując wzór (7) z tablicy całek dla N= 3, otrzymujemy

2) Korzystając ze wzoru (10) z tablicy całek dla N= 1/3, mamy

3) Od

następnie zgodnie ze wzorem (7) o godz N= -1/4 znaleźć

Pod znakiem całki nie piszą samej funkcji F, a jego iloczyn przez różnicę dx. Odbywa się to przede wszystkim w celu wskazania, której zmiennej szukana jest funkcja pierwotna. Na przykład,

, ;

tutaj w obu przypadkach całka jest równa , ale jej całki nieoznaczone w rozpatrywanych przypadkach okazują się różne. W pierwszym przypadku funkcja ta jest traktowana jako funkcja zmiennej X, aw drugim - jako funkcja z .

Proces znajdowania całki nieoznaczonej funkcji nazywa się całkowaniem tej funkcji.

Geometryczne znaczenie całki nieoznaczonej

Niech będzie wymagane znalezienie krzywej y=F(x) i wiemy już, że tangens nachylenia stycznej w każdym z jej punktów jest daną funkcją f(x) odcięta tego punktu.

Zgodnie z geometrycznym znaczeniem pochodnej, tangens nachylenia stycznej w danym punkcie krzywej y=F(x) równa wartości pochodnej F"(x). Musimy więc znaleźć taką funkcję F(x), dla którego F"(x)=f(x). Wymagana funkcja w zadaniu F(x) pochodzi z f(x). Warunek problemu spełnia nie jedna krzywa, ale rodzina krzywych. y=F(x)- jedną z tych krzywych i dowolną inną krzywą można z niej uzyskać poprzez równoległe przesunięcie wzdłuż osi Ojej.

Nazwijmy wykres funkcji pierwotnej funkcji f(x) krzywa całkowa. Jeśli F"(x)=f(x), a następnie wykres funkcji y=F(x) jest krzywą całkową.

Fakt 3. Całka nieoznaczona jest geometrycznie reprezentowana przez rodzinę wszystkich krzywych całkowych jak na poniższym obrazku. Odległość każdej krzywej od początku jest określona przez dowolną stałą (stałą) całkowania C.

Własności całki nieoznaczonej

Fakt 4. Twierdzenie 1. Pochodna całki nieoznaczonej jest równa podcałce, a jej różniczka jest równa podcałce.

Fakt 5. Twierdzenie 2. Całka nieoznaczona z różniczki funkcji F(X) jest równe funkcji F(X) do stałego terminu , tj.

(3)

Twierdzenia 1 i 2 pokazują, że różniczkowanie i całkowanie są operacjami wzajemnie odwrotnymi.

Fakt 6. Twierdzenie 3. Stały czynnik w całce można wyjąć ze znaku całki nieoznaczonej , tj.

Integracja jest jedną z podstawowych operacji w analizie matematycznej. Tablice znanych funkcji pierwotnych mogą być przydatne, ale teraz, po pojawieniu się systemów algebry komputerowej, tracą na znaczeniu. Poniżej znajduje się lista najczęstszych funkcji pierwotnych.

Tabela podstawowych całek

Kolejna kompaktowa wersja

Tablica całek z funkcji trygonometrycznych

Z funkcji wymiernych

Z funkcji niewymiernych

Całki funkcji przestępnych

„C” jest dowolną stałą całkowania, która jest określana, jeśli znana jest wartość całki w pewnym punkcie. Każda funkcja ma nieskończoną liczbę funkcji pierwotnych.

Większość uczniów i studentów ma problemy z obliczaniem całek. Ta strona zawiera tablice całek z funkcji trygonometrycznych, wymiernych, irracjonalnych i transcendentalnych, które pomogą w rozwiązaniu. Pomoże Ci również tabela instrumentów pochodnych.

Wideo - jak znaleźć całki

>> Metody integracji

Podstawowe metody integracji

Definicja całki, całki oznaczonej i nieoznaczonej, tablica całek, wzór Newtona-Leibniza, całkowanie przez części, przykłady obliczania całek.

Całka nieoznaczona

Nazywamy funkcję F(x) różniczkowalną w danym przedziale X funkcja pierwotna dla funkcji f(x) lub całka z f(x), jeśli dla dowolnego x ∈X zachodzi równość:

fa "(x) = f(x). (8.1)

Znalezienie wszystkich funkcji pierwotnych dla danej funkcji nazywa się jej integracja. Całka nieoznaczona funkcji f(x) na danym przedziale X jest zbiorem wszystkich funkcji pierwotnych dla funkcji f(x); Przeznaczenie -

Jeśli F(x) jest jakąś funkcją pierwotną dla funkcji f(x), to ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

gdzie C jest dowolną stałą.

Tablica całek

Bezpośrednio z definicji otrzymujemy główne własności całki nieoznaczonej oraz listę całek tablicowych:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=stała)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Lista całek tabelarycznych

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x / ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = mi x + do

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - grzech x + do

7. = arctg x + C

8.=arcsin x + C

10.=-ctg x + C

Podstawianie zmiennych

Aby zintegrować wiele funkcji, stosuje się metodę zmiany zmiennej lub substytucje, pozwalające sprowadzić całek do postaci tabelarycznej.

Jeśli funkcja f(z) jest ciągła na [α,β], to funkcja z =g(x) ma ciągłą pochodną i α ≤ g(x) ≤ β, to

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

ponadto po całkowaniu z prawej strony należy dokonać podstawienia z=g(x).

Aby to udowodnić, wystarczy napisać pierwotną całkę w postaci:

∫ fa(g(x)) sol " (x) dx = ∫ fa(g(x)) dg(x).

Na przykład:

1)

2) .

Metoda całkowania przez części

Niech u = f(x) i v = g(x) będą funkcjami mającymi ciągłe . Następnie, zgodnie z dziełami,

d(uv))= udv + vdu lub udv = d(uv) - vdu.

Dla wyrażenia d(uv) funkcją pierwotną będzie oczywiście uv, więc wzór ma miejsce:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Ta formuła wyraża regułę całkowanie przez części. Przynosi całkowanie wyrażenia udv=uv"dx do całkowania wyrażenia vdu=vu"dx.

Niech np. wymagane jest znalezienie ∫xcosx dx. Niech u = x, dv = cosxdx, więc du=dx, v=sinx. Następnie

∫xcosxdx = ∫x re(grzech x) = x grzech x - ∫sin x dx = x grzech x + cosx + do.

Zasada całkowania przez części ma bardziej ograniczony zakres niż zmiana zmiennej. Istnieją jednak całe klasy całek, np.

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax i inne, które są obliczane dokładnie za pomocą całkowania przez części.

Określona całka

Pojęcie całki oznaczonej wprowadza się w następujący sposób. Niech funkcja f(x) będzie zdefiniowana na przedziale. Podzielmy odcinek [a,b] na N części według punktów a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x ja \u003d x ja - x i-1. Nazywa się sumę postaci f(ξ i)Δ x i suma integralna, a jego granica w λ = maxΔx i → 0, jeśli istnieje i jest skończona, nazywa się określona całka funkcje f(x) z A zanim B i jest oznaczony:

F(ξi)Δxi (8,5).

Funkcja f(x) w tym przypadku jest wywoływana całkowalne na segmencie, nazywamy liczby a i b dolna i górna granica całki.

Dla całki oznaczonej obowiązują następujące właściwości:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Ostatnia właściwość to tzw twierdzenie o wartości średniej.

Niech f(x) będzie ciągłe na . Wtedy na tym odcinku istnieje całka nieoznaczona

∫f(x)dx = F(x) + do

i ma miejsce Formuła Newtona-Leibniza, co łączy całkę oznaczoną z nieokreśloną:

F(b) - F(a). (8,6)

Interpretacja geometryczna: całka oznaczona to pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego z góry krzywą y=f(x), prostymi x = a i x = b oraz odcinkiem osi Wół.

Całki niewłaściwe

Nazywa się całki o nieskończonych granicach i całki funkcji nieciągłych (nieograniczonych). niewłaściwy. Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju - są to całki po nieskończonym przedziale, zdefiniowanym w następujący sposób:

(8.7)

Jeśli ta granica istnieje i jest skończona, to nazywa się ją zbieżna całka niewłaściwa f(x) na przedziale [а,+ ∞) i wywoływana jest funkcja f(x). całkowalne w nieskończonym przedziale[a,+ ∞). W przeciwnym razie mówi się, że całka jest nie istnieje lub jest rozbieżny.

Całki niewłaściwe na przedziałach (-∞,b] i (-∞, + ∞) definiuje się podobnie:

Zdefiniujmy pojęcie całki funkcji nieograniczonej. Jeśli f(x) jest ciągłe dla wszystkich wartości X odcinek , z wyjątkiem punktu c, w którym f(x) ma wtedy nieskończoną nieciągłość całka niewłaściwa drugiego rodzaju f(x) od a do b nazwał sumę:

jeśli te granice istnieją i są skończone. Przeznaczenie:

Przykłady obliczania całek

Przykład 3.30. Oblicz ∫dx/(x+2).

Rozwiązanie. Oznaczmy t = x+2, wtedy dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + do = ln|x+2| + C.

Przykład 3.31. Znajdź ∫ tgxdx.

Rozwiązanie.∫tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Niech t=cosx, wtedy ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Rozwiązanie.

Przykład3.33. Znajdować .

Rozwiązanie. =

.

Przykład3.34 . Znajdź ∫arctgxdx.

Rozwiązanie. Całkujemy przez części. Oznaczmy u=arctgx, dv=dx. Wtedy du = dx/(x 2 +1), v=x, skąd ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; ponieważ
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Przykład3.35 . Oblicz ∫lnxdx.

Rozwiązanie. Stosując formułę całkowania przez części, otrzymujemy:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Wtedy ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + do = xlnx - x + do.

Przykład3.36 . Oblicz ∫e x sinxdx.

Rozwiązanie. Oznaczmy u = mi x , dv = sinxdx, wtedy du = mi x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ mi x sinxdx = - mi x cosx + ∫ mi x cosxdx. Całka ∫e x cosxdx jest również całkowalna przez części: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Mamy:
∫ mi x cosxdx = mi x sinx - ∫ mi x sinxdx. Otrzymaliśmy zależność ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, skąd 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Przykład 3.37. Oblicz J = ∫cos(lnx)dx/x.

Rozwiązanie. Skoro dx/x = dlnx, to J= ∫cos(lnx)d(lnx). Zastępując lnx przez t, dochodzimy do całki tablicowej J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Przykład 3.38 . Oblicz J = .

Rozwiązanie. Biorąc pod uwagę, że = d(lnx), dokonujemy podstawienia lnx = t. Wtedy J = .