Qendra e gravitetit të formulës së trapezit. Zgjidhja e problemeve për forcën e materialeve

6.1. Informacion i pergjithshem

Qendra e Forcave Paralele
Konsideroni dy forca paralele të drejtuara në të njëjtin drejtim dhe , të aplikuara në trup në pikat A 1 dhe A 2 (fig.6.1). Ky sistem forcash ka një rezultante, linja e veprimit e së cilës kalon nëpër një pikë të caktuar ME. Pozicioni i pikës ME mund të gjendet duke përdorur teoremën e Varignon:

Nëse e ktheni forcën dhe pranë pikave A 1 dhe A 2 në një drejtim dhe në të njëjtin kënd, atëherë marrim një sistem të ri yndyrash paralele që kanë të njëjtat module. Në këtë rast, rezultati i tyre do të kalojë gjithashtu përmes pikës ME. Një pikë e tillë quhet qendra e forcave paralele.
Konsideroni një sistem të forcave paralele dhe të drejtuara njësoj të aplikuara në një trup të ngurtë në pika. Ky sistem ka një rezultat.
Nëse çdo forcë e sistemit rrotullohet pranë pikave të zbatimit të tyre në të njëjtin drejtim dhe në të njëjtin kënd, atëherë do të fitohen sisteme të reja të forcave paralele të drejtuara njësoj me të njëjtat module dhe pika zbatimi. Rezultantja e sistemeve të tilla do të ketë të njëjtin modul R, por çdo herë në një drejtim tjetër. Lëshoi ​​forcën F 1 dhe F 2 gjeni se rezultati i tyre R 1, e cila gjithmonë do të kalojë nëpër pikë ME 1, pozicioni i të cilit përcaktohet nga barazia. Duke shtuar më tej R 1 dhe F 3, gjeni rezultatin e tyre, i cili gjithmonë do të kalojë nëpër pikë ME 2 shtrirë në vijë A 3 ME 2. Pasi e kemi çuar në fund procesin e shtimit të forcave, do të arrijmë në përfundimin se rezultanta e të gjitha forcave do të kalojë me të vërtetë gjithmonë në të njëjtën pikë. ME, pozicioni i të cilit në raport me pikat do të jetë i pandryshuar.
Pika ME, nëpër të cilën kalon vija e veprimit e sistemit rezultant të forcave paralele për çdo rrotullim të këtyre forcave pranë pikave të zbatimit të tyre në të njëjtin drejtim në të njëjtin kënd quhet qendër e forcave paralele (Fig. 6.2).

Fig.6.2

Le të përcaktojmë koordinatat e qendrës së forcave paralele. Që nga pozicioni i pikës ME në lidhje me trupin është i pandryshuar, atëherë koordinatat e tij nuk varen nga zgjedhja e sistemit të koordinatave. Rrotulloni të gjitha forcat pranë zbatimit të tyre në mënyrë që ato të bëhen paralele me boshtin OU dhe zbatoni teoremën e Varignon-it për forcat e rrotulluara. Sepse R"është rezultantja e këtyre forcave, atëherë, sipas teoremës Varignon, kemi , sepse , , marrim

Nga këtu gjejmë koordinatat e qendrës së forcave paralele zc:

Për të përcaktuar koordinatat xc të hartojë një shprehje për momentin e forcave rreth boshtit Oz.

Për të përcaktuar koordinatat yc rrotullohen të gjitha forcat në mënyrë që ato të bëhen paralele me boshtin Oz.

Pozicioni i qendrës së forcave paralele në lidhje me origjinën (Fig. 6.2) mund të përcaktohet nga vektori i rrezes së tij:

6.2. Qendra e gravitetit të një trupi të ngurtë

qendra e gravitetit e një trupi të ngurtë është një pikë e lidhur pa ndryshim me këtë trup ME, nëpër të cilën kalon vija e veprimit e rezultantes së forcave të rëndesës së një trupi të caktuar, për çdo pozicion të trupit në hapësirë.
Qendra e gravitetit përdoret në studimin e qëndrueshmërisë së pozicioneve të ekuilibrit të trupave dhe mediave të vazhdueshme nën ndikimin e gravitetit dhe në disa raste të tjera, përkatësisht: në rezistencën e materialeve dhe në mekanikën strukturore - kur përdoret rregulli Vereshchagin.
Ka dy mënyra për të përcaktuar qendrën e gravitetit të një trupi: analitike dhe eksperimentale. Metoda analitike e përcaktimit të qendrës së gravitetit rrjedh drejtpërdrejt nga koncepti i qendrës së forcave paralele.
Koordinatat e qendrës së gravitetit, si qendër e forcave paralele, përcaktohen nga formula:

Ku R- pesha e të gjithë trupit; pk- pesha e grimcave të trupit; xk, yk, zk- koordinatat e grimcave të trupit.
Për një trup homogjen, pesha e të gjithë trupit dhe e çdo pjese të tij është në përpjesëtim me vëllimin P=Vγ, pk =vk γ, Ku γ - pesha për njësi vëllimi, V- vëllimi i trupit. Zëvendësimi i shprehjeve P, pk në formulat për përcaktimin e koordinatave të qendrës së gravitetit dhe reduktimin me një faktor të përbashkët γ , marrim:

Pika ME, koordinatat e të cilit përcaktohen me formulat e fituara, quhet qendra e gravitetit të vëllimit.
Nëse trupi është një pllakë e hollë homogjene, atëherë qendra e gravitetit përcaktohet nga formula:

Ku S- zona e të gjithë pllakës; sk- sipërfaqja e pjesës së saj; xk, yk- koordinatat e qendrës së gravitetit të pjesëve të pllakës.
Pika ME në këtë rast quhet zona e qendrës së gravitetit.
Numëruesit e shprehjeve që përcaktojnë koordinatat e qendrës së gravitetit të figurave të rrafshët thirren me momentet statike të zonës në lidhje me sëpatat në Dhe X:

Atëherë qendra e gravitetit të zonës mund të përcaktohet nga formula:

Për trupat gjatësia e të cilëve është shumë herë më e madhe se përmasat e prerjes tërthore, përcaktohet qendra e gravitetit të vijës. Koordinatat e qendrës së gravitetit të linjës përcaktohen nga formula:

Ku L- gjatësia e linjës; lk- gjatësia e pjesëve të saj; xk, yk, zk- koordinata e qendrës së rëndesës së pjesëve të vijës.

6.3. Metodat për përcaktimin e koordinatave të qendrave të rëndesës së trupave

Në bazë të formulave të marra, është e mundur të propozohen metoda praktike për përcaktimin e qendrave të gravitetit të trupave.
1. Simetria. Nëse trupi ka një qendër simetrie, atëherë qendra e gravitetit është në qendër të simetrisë.
Nëse trupi ka një rrafsh simetrie. Për shembull, rrafshi XOU, pastaj qendra e gravitetit qëndron në këtë plan.
2. ndarja. Për trupat që përbëhen nga trupa të thjeshtë, përdoret metoda e ndarjes. Trupi ndahet në pjesë, qendra e gravitetit të të cilave gjendet me metodën e simetrisë. Qendra e gravitetit të të gjithë trupit përcaktohet nga formula për qendrën e gravitetit të vëllimit (zonës).

Shembull. Përcaktoni qendrën e gravitetit të pllakës së treguar në figurën më poshtë (Fig. 6.3). Pllaka mund të ndahet në drejtkëndësha në mënyra të ndryshme dhe mund të përcaktohen koordinatat e qendrës së gravitetit të çdo drejtkëndëshi dhe zona e tyre.

Fig.6.3

Përgjigje: xc=17.0cm; yc= 18.0 cm.

3. Shtim. Kjo metodë është një rast i veçantë i metodës së ndarjes. Përdoret kur trupi ka prerje, prerje etj., nëse dihen koordinatat e qendrës së rëndesës së trupit pa prerje.

Shembull. Përcaktoni qendrën e gravitetit të një pllake të rrumbullakët që ka një prerje me rreze r = 0,6 R(Fig. 6.4).

Fig.6.4

Pllaka e rrumbullakët ka një qendër simetrie. Le të vendosim origjinën e koordinatave në qendër të pllakës. Zona e pllakës pa nivel, zona e nivelit. Zona e pllakës së prerë; .
Pllaka e prerë ka një bosht simetrie O1 x, prandaj, yc=0.

4. Integrimi. Nëse trupi nuk mund të ndahet në një numër të kufizuar pjesësh, pozicionet e qendrave të gravitetit të të cilave janë të njohura, trupi ndahet në vëllime të vogla arbitrare, për të cilat formula duke përdorur metodën e ndarjes merr formën: .
Më tej, ato kalojnë në kufi, duke i prirur vëllimet elementare në zero, d.m.th. kontraktimi i vëllimeve në pika. Shumat zëvendësohen me integrale të shtrira në të gjithë vëllimin e trupit, atëherë formulat për përcaktimin e koordinatave të qendrës së gravitetit të vëllimit marrin formën:

Formulat për përcaktimin e koordinatave të qendrës së gravitetit të zonës:

Koordinatat e qendrës së gravitetit të zonës duhet të përcaktohen kur studiohet ekuilibri i pllakave, kur llogaritet integrali Mohr në mekanikën strukturore.

Shembull. Përcaktoni qendrën e një harku rrethor me rreze R me kënd qendror AOB= 2α (Fig. 6.5).

Oriz. 6.5

Harku i një rrethi është simetrik me boshtin Oh, pra, qendra e gravitetit të harkut shtrihet në bosht Oh, po = 0.
Sipas formulës për qendrën e gravitetit të një linje:

6.Mënyrë eksperimentale. Qendrat e gravitetit të trupave johomogjenë me konfigurim kompleks mund të përcaktohen eksperimentalisht: duke varur dhe peshuar. Mënyra e parë është që trupi të jetë i pezulluar në një kabllo në pika të ndryshme. Drejtimi i litarit mbi të cilin është varur trupi do të japë drejtimin e gravitetit. Pika e kryqëzimit të këtyre drejtimeve përcakton qendrën e gravitetit të trupit.
Metoda e peshimit është që së pari të përcaktohet pesha e një trupi, siç është një makinë. Pastaj, në peshore, përcaktohet presioni i boshtit të pasmë të makinës në mbështetëse. Duke përpiluar një ekuacion ekuilibri në lidhje me një pikë, për shembull, boshtin e rrotave të përparme, mund të llogarisni distancën nga ky aks deri në qendrën e gravitetit të makinës (Fig. 6.6).

Fig.6.6

Ndonjëherë, gjatë zgjidhjes së problemeve, është e nevojshme të aplikohen njëkohësisht metoda të ndryshme për përcaktimin e koordinatave të qendrës së gravitetit.

6.4. Qendrat e gravitetit të disa formave të thjeshta gjeometrike

Për të përcaktuar qendrat e gravitetit të trupave të një forme të përbashkët (trekëndësh, hark rrethor, sektor, segment), është i përshtatshëm të përdoren të dhënat e referencës (Tabela 6.1).

Tabela 6.1

Koordinatat e qendrës së gravitetit të disa trupave homogjenë

Qendra e gravitetit të një harku rrethor

Harku ka një bosht simetrie. Qendra e gravitetit shtrihet në këtë bosht, d.m.th. y C = 0 .

dl- elementi i harkut, dl = Rdφ, Rështë rrezja e rrethit, x = Rcosφ, L= 2aR,

Prandaj:

x C = R(sinα/α).

Qendra e gravitetit të sektorit rrethor

Sektori i rrezes R me kënd qendror 2 α ka një bosht simetrie kau ku ndodhet qendra e gravitetit.

Sektorin e ndajmë në sektorë elementarë, të cilët mund të konsiderohen trekëndësha. Qendrat e gravitetit të sektorëve elementar janë të vendosura në harkun e një rrethi me rreze (2/3) R.

Qendra e gravitetit të sektorit përkon me qendrën e gravitetit të harkut AB:

Gjysmërreth:

37. Kinematika. Kinematika e pikave. Metodat për përcaktimin e lëvizjes së një pike.

Kinematika- një degë e mekanikës në të cilën lëvizja e trupave material studiohet nga pikëpamja gjeometrike, pa marrë parasysh masën dhe forcat që veprojnë mbi to. Metodat për përcaktimin e lëvizjes së një pike: 1) natyrore, 2) koordinative, 3) vektoriale.

Kinematika e pikave- një pjesë e kinematikës që studion përshkrimin matematikor të lëvizjes së pikave materiale. Detyra kryesore e kinematikës është të përshkruajë lëvizjen me ndihmën e një aparati matematikor pa sqaruar shkaqet që shkaktojnë këtë lëvizje.

banjë natyrore. tregohet trajektorja e pikës, ligji i lëvizjes së saj përgjatë kësaj trajektore, fillimi dhe drejtimi i koordinatës së harkut: s=f(t) – ligji i lëvizjes së pikës. Për lëvizjen drejtvizore: x=f(t).

Koordinata sp. pozicioni i një pike në hapësirë ​​përcaktohet nga tre koordinata, ndryshime në të cilat përcaktojnë ligjin e lëvizjes së pikës: x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Nëse lëvizja është në një rrafsh, atëherë ekzistojnë dy ekuacione të lëvizjes. Ekuacionet e lëvizjes përshkruajnë ekuacionin e trajektores në formë parametrike. Duke eleminuar parametrin t nga ekuacionet, marrim ekuacionin e trajektores në formën e zakonshme: f (x, y) = 0 (për një plan).

Spa vektoriale. pozicioni i një pike përcaktohet nga vektori i rrezes së saj të tërhequr nga një qendër. Një kurbë që vizatohet nga fundi i një vektori, e quajtur. hodograf këtë vektor. Ato. trajektorja është hodografi i vektorit të rrezes.

38. Lidhja ndërmjet koordinatës dhe vektorit, mënyrat koordinative dhe natyrore të specifikimit të lëvizjes së një pike.

LIDHJA E METODES VEKTORIKE ME KOORDINATE DHE NATYRORE shprehet me relacionet:

ku është vektori njësi i tangjentes me trajektoren në një pikë të caktuar, i drejtuar drejt leximit të distancës, është vektori njësi i normales me trajektoren në një pikë të caktuar, i drejtuar drejt qendrës së lakimit (shih Fig. 3).

LIDHJA E METODËS SË KOORDINATËS ME NATYREN. Ekuacioni i trajektores f(x, y)=z; f 1 (x, z)=y fitohet nga ekuacionet e lëvizjes në formë koordinative duke eliminuar kohën t. Një analizë shtesë e vlerave që mund të marrë koordinatat e një pike përcakton atë seksion të kurbës, e cila është një trajektore. Për shembull, nëse lëvizja e një pike jepet nga ekuacionet: x=sin t; y=sin 2 t=x 2, atëherë trajektorja e pikës është ajo pjesë e parabolës y=x 2 për të cilën -1≤x≤+1, 0≤x≤1. Fillimi dhe drejtimi i distancave të numërimit zgjidhen në mënyrë arbitrare, kjo përcakton më tej shenjën e shpejtësisë dhe madhësinë dhe shenjën e distancës fillestare s 0 .

Ligji i lëvizjes përcaktohet nga varësia:

shenja + ose - përcaktohet në varësi të drejtimit të pranuar të distancave të numërimit.

Shpejtësia e pikësështë një masë kinematike e lëvizjes së saj, e barabartë me derivatin kohor të vektorit të rrezes së kësaj pike në kuadrin e referencës në shqyrtim. Vektori i shpejtësisë drejtohet tangjencialisht në trajektoren e pikës në drejtim të lëvizjes

Vektori i shpejtësisë (v)është distanca që përshkon një trup në një drejtim të caktuar për njësi të kohës. Vini re se përkufizimi vektori i shpejtësisë shumë e ngjashme me përcaktimin e shpejtësisë, përveç një ndryshimi të rëndësishëm: shpejtësia e një trupi nuk tregon drejtimin e lëvizjes, por vektori i shpejtësisë së një trupi tregon shpejtësinë dhe drejtimin e lëvizjes. Prandaj duhen dy variabla që përshkruajnë vektorin e shpejtësisë së trupit: shpejtësia dhe drejtimi. Madhësitë fizike që kanë një kuptim dhe një drejtim quhen madhësi vektoriale.

Vektori i shpejtësisë trupi mund të ndryshojë herë pas here. Nëse shpejtësia ose drejtimi i tij ndryshon, shpejtësia e trupit gjithashtu ndryshon. Një vektor me shpejtësi konstante nënkupton një shpejtësi konstante dhe një drejtim konstant, ndërsa termi "shpejtësi konstante" nënkupton vetëm një vlerë konstante, pavarësisht nga drejtimi. Termi "vektor i shpejtësisë" shpesh përdoret në mënyrë të ndërsjellë me termin "shpejtësi". Ata të dy shprehin distancën që trupi përshkon për njësi të kohës.

nxitimi i pikësështë një masë e ndryshimit të shpejtësisë së saj, e barabartë me derivatin kohor të shpejtësisë së kësaj pike ose me derivatin e dytë të vektorit të rrezes së pikës në kohë. Nxitimi karakterizon ndryshimin e vektorit të shpejtësisë në madhësi dhe drejtim dhe drejtohet drejt konkavitetit të trajektores.

Vektori i nxitimit

është raporti i ndryshimit të shpejtësisë me intervalin kohor gjatë të cilit ka ndodhur ky ndryshim. Nxitimi mesatar mund të përcaktohet me formulën:

ku - vektor i nxitimit.

Drejtimi i vektorit të nxitimit përkon me drejtimin e ndryshimit të shpejtësisë Δ = - 0 (këtu 0 është shpejtësia fillestare, domethënë shpejtësia me të cilën trupi filloi të përshpejtohet).

Në kohën t1 (shih figurën 1.8) trupi ka një shpejtësi prej 0 . Në kohën t2 trupi ka një shpejtësi . Sipas rregullit të zbritjes së vektorit, gjejmë vektorin e ndryshimit të shpejtësisë Δ = - 0 . Atëherë nxitimi mund të përcaktohet si më poshtë:

Bazuar në formulat e përgjithshme të marra më sipër, është e mundur të tregohen metoda specifike për përcaktimin e koordinatave të qendrave të gravitetit të trupave.

1. Simetria. Nëse një trup homogjen ka një rrafsh, bosht ose qendër simetrie (Fig. 7), atëherë qendra e tij e rëndesës qëndron përkatësisht në rrafshin e simetrisë, boshtin e simetrisë ose në qendër të simetrisë.

Fig.7

2. Ndarja. Trupi është i ndarë në një numër të kufizuar pjesësh (Fig. 8), për secilën prej të cilave dihet pozicioni i qendrës së gravitetit dhe zona.

Fig.8

3.Metoda e zonave negative. Një rast i veçantë i metodës së ndarjes (Fig. 9). Zbatohet për trupat me prerje nëse dihen qendrat e gravitetit të trupit pa prerje dhe prerje. Një trup në formën e një pllake të prerë përfaqësohet nga një kombinim i një pllake të fortë (pa prerje) me zonën S 1 dhe zonën e pjesës së prerë S 2 .

Fig.9

4.metoda e grupimit.Është një shtesë e mirë për dy metodat e fundit. Pas ndarjes së figurës në elementët përbërës të saj, mund të jetë e përshtatshme të kombinohen përsëri disa prej tyre, në mënyrë që më pas të thjeshtohet zgjidhja duke marrë parasysh simetrinë e këtij grupi.

Qendrat e gravitetit të disa trupave homogjenë.

1) Qendra e gravitetit të një harku rrethor. Konsideroni harkun AB rreze R me kënd qendror. Për shkak të simetrisë, qendra e gravitetit të këtij harku shtrihet në bosht kau(Fig. 10).

Fig.10

Le të gjejmë koordinatat duke përdorur formulën. Për ta bërë këtë, zgjidhni në hark AB element MM' gjatësia, pozicioni i së cilës përcaktohet nga këndi. Koordinoni X element MM' do . Zëvendësimi i këtyre vlerave X dhe d l dhe duke pasur parasysh se integrali duhet të shtrihet në të gjithë gjatësinë e harkut, marrim:

Ku L- gjatësia e harkut AB, e barabartë me .

Nga këtu më në fund zbulojmë se qendra e gravitetit të harkut rrethor shtrihet në boshtin e tij të simetrisë në një distancë nga qendra RRETH e barabartë me

ku këndi matet në radianë.

2) Qendra e gravitetit të zonës së një trekëndëshi. Konsideroni një trekëndësh të shtrirë në aeroplan Oksi, koordinatat e kulmit të së cilës njihen: Ai(x i,y i), (i= 1,2,3). Thyerja e trekëndëshit në shirita të ngushtë paralel me anën A 1 A 2, arrijmë në përfundimin se qendra e gravitetit të trekëndëshit duhet t'i përkasë medianës A 3 M 3 (fig.11) .

Fig.11

Thyerja e trekëndëshit në shirita paralel me anën A 2 A 3, mund të siguroheni që duhet të shtrihet në mesatare A 1 M 1 . Kështu, qendra e gravitetit të një trekëndëshi shtrihet në pikën e kryqëzimit të ndërmjetësve të tij, e cila, siç e dini, ndan pjesën e tretë nga çdo mesatare, duke numëruar nga ana përkatëse.

Në veçanti, për mesataren A 1 M 1 marrim, duke pasur parasysh se koordinatat e pikës M 1 është mesatarja aritmetike e koordinatave të kulmit A 2 dhe A 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x M 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Kështu, koordinatat e qendrës së gravitetit të trekëndëshit janë mesatarja aritmetike e koordinatave të kulmeve të tij:

x c =(1/3)Σ x i ; y c =(1/3)Σ y i.

3) Qendra e gravitetit të zonës së sektorit rrethor. Konsideroni një sektor të një rrethi me rreze R me kënd qendror 2α, i vendosur në mënyrë simetrike rreth boshtit kau(Fig. 12) .

Është e qartë se y c = 0, dhe distanca nga qendra e rrethit nga e cila është prerë ky sektor në qendrën e tij të gravitetit mund të përcaktohet me formulën:

Fig.12

Mënyra më e lehtë për të llogaritur këtë integral është duke e ndarë domenin e integrimit në sektorë elementar me një kënd dφ. Deri në infinitezimalët e rendit të parë, një sektor i tillë mund të zëvendësohet nga një trekëndësh me një bazë të barabartë me R× dφ dhe lartësia R. Zona e një trekëndëshi të tillë dF=(1/2)R 2 ∙dφ, dhe qendra e tij e gravitetit është në një distancë prej 2/3 R nga lart, pra në (5) vendosim x = (2/3)R∙cosφ. Zëvendësimi në (5) F= α R 2, marrim:

Duke përdorur formulën e fundit, ne llogarisim, në veçanti, distancën nga qendra e gravitetit gjysmërreth.

Duke zëvendësuar në (2) α = π/2, marrim: x c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Shembulli 1 Le të përcaktojmë qendrën e gravitetit të trupit homogjen të paraqitur në Fig. 13.

Fig.13

Trupi është homogjen, i përbërë nga dy pjesë që kanë një formë simetrike. Koordinatat e qendrave të tyre të gravitetit:

Vëllimet e tyre:

Prandaj, koordinatat e qendrës së gravitetit të trupit

Shembulli 2 Gjeni qendrën e gravitetit të një pllake të përkulur në një kënd të drejtë. Dimensionet - në vizatim (Fig. 14).

Fig.14

Koordinatat e qendrave të gravitetit:

Sheshe:

Fig.15

Në këtë problem, është më e përshtatshme të ndash trupin në dy pjesë: një katror të madh dhe një vrimë katrore. Vetëm zona e vrimës duhet të konsiderohet negative. Pastaj koordinatat e qendrës së gravitetit të fletës me vrimën:

koordinata pasi trupi ka një bosht simetrie (diagonale).

Shembulli 4 Kllapa e telit (Fig. 16) përbëhet nga tre seksione me të njëjtën gjatësi l.

Fig.16

Koordinatat e qendrave të gravitetit të seksioneve:

Prandaj, koordinatat e qendrës së gravitetit të të gjithë kllapave:

Shembulli 5 Përcaktoni pozicionin e qendrës së rëndesës së trungut, të gjitha shufrat e të cilit kanë të njëjtën densitet linear (Fig. 17).

Kujtojmë se në fizikë, dendësia e një trupi ρ dhe graviteti i tij specifik g lidhen me relacionin: γ= ρ g, Ku g- nxitimi i gravitetit. Për të gjetur masën e një trupi të tillë homogjen, duhet të shumëzoni densitetin me vëllimin e tij.

Fig.17

Termi "dendësi lineare" ose "lineare" do të thotë që për të përcaktuar masën e shufrës së trungut, dendësia lineare duhet të shumëzohet me gjatësinë e kësaj shufre.

Për të zgjidhur problemin, mund të përdorni metodën e ndarjes. Duke përfaqësuar një trung të caktuar si një shumë prej 6 shufrash individuale, marrim:

Ku L i gjatësia i-th shufra e fermës, dhe x i, y i janë koordinatat e qendrës së saj të gravitetit.

Zgjidhja e këtij problemi mund të thjeshtohet duke grupuar 5 shufrat e fundit të trasave. Është e lehtë të shihet se ato formojnë një figurë me një qendër simetrie të vendosur në mes të shufrës së katërt, ku ndodhet qendra e gravitetit të këtij grupi shufrash.

Kështu, një demet i caktuar mund të përfaqësohet nga një kombinim i vetëm dy grupeve të shufrave.

Grupi i parë përbëhet nga shufra e parë, për të L 1 = 4 m, x 1 = 0 m, y 1 = 2 m Grupi i dytë i shufrave përbëhet nga pesë shufra, për të cilat L 2 = 20 m, x 2 = 3 m, y 2 = 2 m.

Koordinatat e qendrës së gravitetit të fermës gjenden me formulën:

x c = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

y c = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Vini re se qendra ME shtrihet në linjën lidhëse ME 1 dhe ME 2 dhe ndan segmentin ME 1 ME 2 në lidhje me: ME 1 ME/SS 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Pyetje për vetë-ekzaminim

Cila është qendra e forcave paralele?

Si përcaktohen koordinatat e qendrës së forcave paralele?

Si të përcaktohet qendra e forcave paralele, rezultanta e së cilës është zero?

Cila është vetia e qendrës së forcave paralele?

Cilat formula përdoren për llogaritjen e koordinatave të qendrës së forcave paralele?

Cila është qendra e gravitetit të një trupi?

Pse forcat e tërheqjes së Tokës, që veprojnë në një pikë të trupit, mund të merren si një sistem forcash paralele?

Shkruani formulën për përcaktimin e pozitës së qendrës së rëndesës së trupave johomogjenë dhe homogjenë, formulën e përcaktimit të pozicionit të qendrës së rëndesës së seksioneve të sheshta?

Shkruani formulën për përcaktimin e pozicionit të qendrës së gravitetit të formave të thjeshta gjeometrike: një drejtkëndësh, një trekëndësh, një trapez dhe një gjysmë rrethi?

Si quhet momenti statik i zonës?

Jepni një shembull të një trupi qendra e gravitetit të të cilit ndodhet jashtë trupit.

Si përdoren vetitë e simetrisë për të përcaktuar qendrat e gravitetit të trupave?

Cili është thelbi i metodës së peshave negative?

Ku ndodhet qendra e gravitetit të harkut rrethor?

Çfarë konstruksioni grafik mund të përdoret për të gjetur qendrën e gravitetit të një trekëndëshi?

Shkruani formulën që përcakton qendrën e gravitetit të një sektori rrethor.

Duke përdorur formulat që përcaktojnë qendrat e gravitetit të një trekëndëshi dhe një sektori rrethor, nxjerrin një formulë të ngjashme për një segment rrethor.

Cilat formula përdoren për të llogaritur koordinatat e qendrave të rëndesës së trupave homogjenë, figurave të rrafshët dhe vijave?

Si quhet momenti statik i sipërfaqes së një figure të sheshtë në raport me boshtin, si llogaritet dhe çfarë dimensioni ka?

Si të përcaktohet pozicioni i qendrës së gravitetit të zonës, nëse dihet pozicioni i qendrave të gravitetit të pjesëve të saj individuale?

Cilat teorema ndihmëse përdoren për të përcaktuar pozicionin e qendrës së gravitetit?

Në praktikën inxhinierike, ndodh që bëhet e nevojshme të llogariten koordinatat e qendrës së gravitetit të një figure komplekse të sheshtë të përbërë nga elementë të thjeshtë për të cilët dihet vendndodhja e qendrës së gravitetit. Kjo detyrë është pjesë e detyrës për të përcaktuar...

Karakteristikat gjeometrike të seksioneve të përbëra tërthore të trarëve dhe shufrave. Shpesh me pyetje të tilla përballen inxhinierët e projektimit të kapave të goditjes kur përcaktojnë koordinatat e qendrës së presionit, zhvilluesit e skemave të ngarkimit për automjete të ndryshme gjatë vendosjes së ngarkesave, projektuesit e ndërtimit të strukturave metalike kur zgjedhin seksione elementësh dhe, natyrisht, studentët kur studiojnë. disiplinat "Mekanika Teorike" dhe "Rezistenca e Materialeve".

Biblioteka e figurave elementare.

Për figurat e rrafshit simetrik, qendra e gravitetit përkon me qendrën e simetrisë. Grupi simetrik i objekteve elementare përfshin: një rreth, një drejtkëndësh (përfshirë një katror), një paralelogram (duke përfshirë një romb), një shumëkëndësh të rregullt.

Nga dhjetë figurat e paraqitura në figurën e mësipërme, vetëm dy janë themelore. Kjo do të thotë, duke përdorur trekëndëshat dhe sektorët e rrathëve, mund të kombinoni pothuajse çdo figurë me interes praktik. Çdo kthesë arbitrare mund të ndahet në seksione dhe të zëvendësohet me harqe rrathësh.

Tetë figurat e mbetura janë më të zakonshmet, prandaj janë përfshirë në këtë lloj biblioteke. Në klasifikimin tonë, këta elementë nuk janë bazë. Një drejtkëndësh, një paralelogram dhe një trapezoid mund të përbëhen nga dy trekëndësha. Një gjashtëkëndësh është shuma e katër trekëndëshave. Segmenti i rrethit është ndryshimi midis sektorit të rrethit dhe trekëndëshit. Sektori unazor i rrethit është ndryshimi midis dy sektorëve. Rrethi është një sektor i rrethit me kënd α=2*π=360˚. Një gjysmërreth është, përkatësisht, një sektor i një rrethi me një kënd α=π=180˚.

Llogaritja në Excel e koordinatave të qendrës së gravitetit të një figure të përbërë.

Është gjithmonë më e lehtë të transmetosh dhe të perceptosh informacionin duke marrë në konsideratë një shembull sesa të studiosh çështjen në llogaritje thjesht teorike. Konsideroni zgjidhjen e problemit "Si të gjeni qendrën e gravitetit?" në shembullin e një figure të përbërë të paraqitur në figurën e mëposhtme të këtij teksti.

Një seksion i përbërë është një drejtkëndësh (me dimensione a1 = 80 mm, b1 \u003d 40 mm), të cilit iu shtua një trekëndësh izoscelular lart majtas (me madhësinë e bazës a2 =24 mm dhe lartësia h2 \u003d 42 mm) dhe nga e cila u pre një gjysmërreth nga lart djathtas (në qendër në pikën me koordinata x03 =50 mm dhe y03 =40 mm, rrezja r3 = 26 mm).

Për t'ju ndihmuar të kryeni llogaritjen, ne do të përfshijmë programin MS Excel ose program Oo Calc . Secili prej tyre do të përballojë lehtësisht detyrën tonë!

Në qelizat me e verdhe mbushja është e mundur ndihmëse paraprake llogaritjet .

Në qelizat me mbushje të verdhë të lehtë, numërojmë rezultatet.

Blu fonti është të dhënat fillestare .

E zezë fonti është e ndërmjetme rezultatet e llogaritjes .

E kuqe fonti është përfundimtar rezultatet e llogaritjes .

Ne fillojmë të zgjidhim problemin - fillojmë të kërkojmë koordinatat e qendrës së gravitetit të seksionit.

Të dhënat fillestare:

1. Emrat e figurave elementare që formojnë seksionin e përbërë do të futen në përputhje me rrethanat

në qelizën D3: Drejtkëndësh

në qelizën E3: Trekëndëshi

në qelizën F3: Gjysmërreth

2. Duke përdorur "Bibliotekën e figurave elementare" të paraqitur në këtë artikull, ne përcaktojmë koordinatat e qendrave të gravitetit të elementeve të seksionit të përbërë. xci Dhe yci në mm në lidhje me akset e zgjedhura në mënyrë arbitrare 0x dhe 0y dhe shkruani

në qelizën D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

në qelizën D5: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

në qelizën E4: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

në qelizën E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

në qelizën F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

në qelizën F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Llogaritni sipërfaqen e elementeve F 1 , F 2 , F3 në mm2, duke përdorur përsëri formulat nga seksioni "Biblioteka e figurave elementare"

në qelizën D6: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

në qelizën E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

në qelizën F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Zona e elementit të tretë - gjysmërrethi - është negative sepse kjo prerje është një hapësirë ​​boshe!

Llogaritja e koordinatave të qendrës së gravitetit:

4. Përcaktoni sipërfaqen totale të figurës përfundimtare F0 në mm2

në qelizën e bashkuar D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Njehsoni momentet statike të figurës së përbërë Sx Dhe Sy në mm3 në lidhje me akset e zgjedhura 0x dhe 0y

në qelizën e bashkuar D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

në qelizën e bashkuar D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. Dhe së fundi, ne llogarisim koordinatat e qendrës së gravitetit të seksionit të përbërë Xc Dhe Yc në mm në sistemin e zgjedhur të koordinatave 0x - 0y

në qelizën e bashkuar D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

në qelizën e bashkuar D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc=Sx/F0

Detyra është zgjidhur, llogaritja në Excel është përfunduar - gjenden koordinatat e qendrës së gravitetit të seksionit, të përpiluara duke përdorur tre elementë të thjeshtë!

konkluzioni.

Shembulli në artikull u zgjodh të jetë shumë i thjeshtë në mënyrë që të bëhet më e lehtë për të kuptuar metodologjinë për llogaritjen e qendrës së gravitetit të një seksioni kompleks. Metoda qëndron në faktin se çdo figurë komplekse duhet të ndahet në elementë të thjeshtë me vendndodhje të njohura të qendrave të gravitetit dhe duhet të bëhen llogaritjet përfundimtare për të gjithë seksionin.

Nëse seksioni përbëhet nga profile të mbështjellë - qoshe dhe kanale, atëherë nuk ka nevojë t'i ndani ato në drejtkëndësha dhe katrorë me sektorë rrethorë të prerë "π / 2". Koordinatat e qendrave të gravitetit të këtyre profileve janë dhënë në tabelat GOST, domethënë, këndi dhe kanali do të jenë elementë bazë elementar në llogaritjet tuaja të seksioneve të përbëra (nuk ka kuptim të flasim për trarët I, tuba , shufra dhe gjashtëkëndësha - këto janë seksione simetrike qendrore).

Vendndodhja e boshteve të koordinatave në pozicionin e qendrës së gravitetit të figurës, natyrisht, nuk ndikon! Prandaj, zgjidhni një sistem koordinativ që thjeshton llogaritjet tuaja. Nëse, për shembull, në shembullin tonë do ta rrotulloja sistemin e koordinatave 45˚ në drejtim të akrepave të orës, atëherë llogaritja e koordinatave të qendrave të gravitetit të një drejtkëndëshi, trekëndëshi dhe gjysmërrethi do të kthehej në një hap tjetër llogaritjeje të veçantë dhe të rëndë që nuk mund ta bëni " në kokën tuaj".

Skedari i llogaritjes Excel i paraqitur më poshtë nuk është një program në këtë rast. Përkundrazi, është një skicë e një kalkulatori, një algoritmi, një shabllon që vijon në çdo rast. krijoni sekuencën tuaj të formulave për qelizat me një mbushje të verdhë të ndritshme.

Pra, tani ju e dini se si të gjeni qendrën e gravitetit të çdo seksioni! Një llogaritje e plotë e të gjitha karakteristikave gjeometrike të seksioneve komplekse arbitrare të përbërë do të konsiderohet në një nga artikujt vijues në titullin "". Ndiqni lajmet në blog.

Për marrjen informacion në lidhje me publikimin e artikujve të rinj dhe për shkarkimi i skedarëve të programit të punës Ju kërkoj të abonoheni në njoftimet në dritaren e vendosur në fund të artikullit ose në dritaren në krye të faqes.

Pasi të keni futur adresën tuaj të emailit dhe të klikoni në butonin "Merr njoftime për artikuj". MOS HARRO KONFIRMO ABONIMIN duke klikuar në lidhjen në një letër që do t'ju vijë menjëherë në postën e specifikuar (nganjëherë - në dosje « Të bllokuara » )!

Disa fjalë për një gotë, një monedhë dhe dy pirunë, të cilat janë paraqitur në "ilustrimin e ikonave" në fillim të artikullit. Shumë prej jush me siguri e njihni këtë "mashtrim" që ngjall shikime admiruese nga fëmijët dhe të rriturit e pa iniciuar. Tema e këtij artikulli është qendra e gravitetit. Është ai dhe pikëmbështetja, duke luajtur me vetëdijen dhe përvojën tonë, thjesht mashtrojnë mendjen tonë!

Qendra e gravitetit të sistemit "forks + monedhë" është gjithmonë e vendosur fikse largësia vertikale poshtë nga buza e monedhës, e cila nga ana tjetër është pikëmbështetja. Ky është një pozicion i ekuilibrit të qëndrueshëm! Nëse tundni pirunët, menjëherë bëhet e qartë se sistemi po përpiqet të marrë pozicionin e tij të dikurshëm të qëndrueshëm! Imagjinoni një lavjerrës - një pikë ngjitjeje (= pika e mbështetjes së monedhës në buzë të xhamit), një bosht shufër e lavjerrës (= në rastin tonë, boshti është virtual, pasi masa e dy pirunëve është e ndarë në drejtime të ndryshme të hapësirës) dhe ngarkesa në fund të boshtit (= qendra e gravitetit të të gjithë sistemit "pirun" + monedhë"). Nëse filloni të devijoni lavjerrësin nga vertikali në çdo drejtim (përpara, prapa, majtas, djathtas), atëherë ai në mënyrë të pashmangshme do të kthehet në pozicionin e tij origjinal nën ndikimin e gravitetit. gjendje e qëndrueshme ekuilibri(e njëjta gjë ndodh me pirunët dhe monedhën tonë)!

Kush nuk e kuptoi, por dëshiron të kuptojë - kuptoje vetë. Është shumë interesante të "arrij" veten! Do të shtoj se i njëjti parim i përdorimit të një ekuilibri të qëndrueshëm zbatohet edhe në lodrën Roly-Get Up. Vetëm qendra e gravitetit të kësaj lodre është e vendosur mbi pikëmbështetje, por nën qendrën e hemisferës së sipërfaqes mbështetëse.

Komentet tuaja janë gjithmonë të mirëseardhura, të dashur lexues!

Pyete, RESPEKTONI vepra e autorit, shkarko skedarin PAS ABONIMIT për njoftimet e artikujve.

Rezultati i llogaritjeve varet jo vetëm nga sipërfaqja e prerjes tërthore, prandaj, kur zgjidhen problemet për forcën e materialeve, nuk mund të bëhet pa përcaktuar karakteristikat gjeometrike të figurave: momentet statike, boshtore, polare dhe centrifugale të inercisë. Është e domosdoshme të jeni në gjendje të përcaktoni pozicionin e qendrës së gravitetit të seksionit (karakteristikat gjeometrike të listuara varen nga pozicioni i qendrës së gravitetit). Përveç të karakteristikat gjeometrike të formave të thjeshta: drejtkëndësh, katror, ​​dykëndësh dhe trekëndësh kënddrejtë, rreth, gjysmërreth. Tregohet qendra e gravitetit dhe pozicioni i akseve kryesore qendrore, dhe karakteristikat gjeometrike përcaktohen në lidhje me to, me kusht që materiali i rrezes të jetë homogjen.

Karakteristikat gjeometrike të një drejtkëndëshi dhe një katrori

Momentet boshtore të inercisë së një drejtkëndëshi (katror)

Karakteristikat gjeometrike të një trekëndëshi kënddrejtë

Momentet boshtore të inercisë së një trekëndëshi kënddrejtë

Karakteristikat gjeometrike të një trekëndëshi dykëndësh

Momentet boshtore të inercisë së një trekëndëshi dykëndësh